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第 14 课 一元二次方程的根与系数的关系
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．若 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系 解答即可
∵ ， ，则
故本题选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
2．一元二次方程 的两个根为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两根之和是一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积是常数项与二次项系数的商．
根据题意得 ．
，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决的关键是完全平方公式的变形x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，．
3．下列一元二次方程中，两根均为负数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和− 是否小于零及
两根之积 是否大于零，同时 必须大于等于0．
△
检查方程是否正确，不要只看两实数根的和是否小于零，两根之积是否大于零，还要检验 是否大于等于
0． △
A选项中，两根之和大于零，两根之积大于零，所以此选项不正确；
B选项中，两根之和大于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；
C选项中，两根之和小于零，两根之积大于零，所以此选项正确；
D选项中，两根之和小于零，两根之积小于零，所以此选项不正确；
故选C．
【点睛】
考查了根与系数之间的关系，解题关键是抓住：两根之积为正，说明两根同号，反之为异号；两根之和为
正，说明两根为正或两根中绝对值大的为正，两根之和为负说明两根为负或两根中绝对值大的为负．
4．若 、 是一元二次方程的两个根，且 ，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设这个一元二次方程为 ，则由题意可得 ， ，由此即可得到答案．
解：设这个一元二次方程为 ，∵ 、 是一元二次方程的两个根，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴这个一元二次方程为 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关
系．
5．若 、 是关于x的一元二次方程 的两个实数根， ，则必有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系计算x+x，x•x 的值，再根据 ，得出x+x＜0，从而得出m和n的
1 2 1 2 1 2
范围；
解：∵
∵
∵x，x 是一元二次方程的两个实数根，
1 2
∴x+x=m-1，x•x=n-2，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ， ，
∴x+x=m-1＜0，x＜0，
1 2 2
∴m＜1，x•x＞0，
1 2
∴n-2＞0，
∴n＞2，故选：C
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， ．
1 2
6．设 是一元二次方程 的两根，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
解：∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．
7．已知一元二次方程 的两根为 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出 ， ，将其代入 中即
可求出结论．
解：∵方程 的两根是 、 ，
∴ ，即 ，
∴原式 ．故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，得出
， 是解题的关键．
8．若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
此方程根的判别式 ，且 ，
解得 且 ，
又 关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题关键．
9．下列关于x的一元二次方程 的命题中，真命题有（ ）
①若 ，则 ；②若方程 两根为1和－2，则 ；
③若方程 有一个根是 ，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】
【分析】
把b=a+c代入判别式中得到 =（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到 ，
根据根的定义可得 ，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得 ，即可对③
进行判断．
解：a-b+c=0，则b=a+c， =（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴ ，则 ，
∴ ，所以②正确；
∵方程 有一个根是 ，
∴
∴
∴
所以③正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘
方逆运算变形后换为xx，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出xx，代入整理后的式子中，即可
1 2 1 2
求出所求式子的值．
解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012，
1 2
又xx=（cd）2012-2012，
1 2
则（ab）2012-（cd）2012=xx−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
1 2
故选：A．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，
即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x，x，则有x+x= ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
二、填空题
11．设 ， 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出 、 ，再根据 求得x＝2，代入 k的表达式，求解即可．
2
解： ， 是关于x的方程 的两个根，
， ，
，
，即 ，则 ，
故答案为： ．【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先把 通分后化为 ，根据根与系数的关系得 + =- ， 代入进行计
算即可．
解：∵ 、 是一元二次方程 的两根，
∴ + =- ， ，
∴ = =
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x+x= ，
1 2 1 2
xx= ．
1 2
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数
q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
【答案】 ﹣2 ﹣3
【解析】
【分析】
由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p
无误，根据所得两根之和可得p和q的值．
解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为 和 ，∴ ，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为 和 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，x，x 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x＋x＝﹣ ，
1 2 1 2
x•x＝ ，解题关键熟记根与系数的关系．
1 2
14．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根与系数的关系表示出 + 和 的值，然后根据完全平方公式把 变形
后代入计算即可.
由一元二次方程根与系数的关系可得，
+ =-2， -5，
∴
=
=4+5
=9.
故答案为9.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与完全平方公式的变形相结合解题是经常使
用的一种解题方法. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若x，x 为方程的两个根，则x，x 与系数的
1 2 1 2关系式： ， .
15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x，x，则x＋x(x2－3x)＝____．
1 2 1 2 2 2
【答案】3
【解析】
试题解析：有题意可知，
由韦达定理可得，
故答案为
点睛：一元二次方程 根与系数的关系满足：
16．已知关于x的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m的取值范围
是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
解：由题意得： ，
所以 ，
依题意得： ，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-
4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
17．已知 是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将
其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经
常使用的解题方法．
18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞
a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个
根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-
（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④．
解：若方程两根为-1和2，则 =-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确；
由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误；
若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确．若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），
而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2
=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=4abm-4abm-4ac+b2
=b2-4ac．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有
两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
三、解答题
19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系： ，求解即可．
解：（1）原式整理为： ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）原式整理为： ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
20．已知关于x的方程 ．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为 ， ，若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可得 即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
(1)
根据题意可知： ，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)
有题意得：
∴ ，解得
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并
会熟练计算．
21．在等腰 中， 、 、 的对边分别是 、 、 ；已知 ， 、 分别是方程
的两个根，试求 的周长．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得 ，分情况讨论：当a=3为其腰时，则b=a或c=a，得三角
形三边为3，3，9，因为 ，所以不能构成三角形；当a=3为其底时，b=c，得 ，则周长为
15；即可得 的周长为15．
解：∵b、c是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ， ，
当a=3为其腰时，则b=a或c=a，此时三角形三边为3，3，9，
∵ ，
∴不能构成三角形；
当a=3为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴ ，
此时三角形三边为6，6，3，周长为 ，
综上， 的周长为15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和一元二次方
程．
22．方程 是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为 ．
（1）求m的取值范围；
（2）若 ，求m的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式 ，求解一元一次不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，求得 ， ，代入求解即可．
解：（1）∵一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，解得 ；（2）由根与系数的关系，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，符合题意，
∴
【点睛】
此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
23．设 是一元二次方程 的两根，
（1）试推导 ；
（2）求代数式 的值．
【答案】（1）推导见解析；（2）0．
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程的求根公式表示出 ，再代入所求式子，即可推导出结论；
（1）根据题意可得： ， ，然后将原式变形为
，从而得到 ，即可求解．
解：（1）∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ；
；（2）∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系的推导过程和方程的解的定义求解，熟练掌握一元二次
方程的求根公式，并理解一元二次方程解的含义是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．若 和 是关于x的方程 的两根，且 ，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，代入 得到关于b的方程，求
出b的值即可．
解：∵ 和 是关于x的方程 的两根，
∴ ，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为- ，两根之积为 是解题的关键．
2．关于 的方程 （ 为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
解：由题意得：方程可化为 ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
设该方程的两个根为 ，则根据根与系数的关系可知： ，
∴该方程的两个根为一正一负，
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数
的关系是解题的关键．
3．若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且 ，
则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又
∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，
方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合 ，找出关于m的一元二次方程．
4．设 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x+x=-(1-m)=m-1，xx=n，，然后根据 ，
1 2 1 2
得出m-1<0，n>0，即可求解．解：∵x2+x+n=mx，
∴x2+（1-m）x+n=0，
∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根．
∴x+x=-(1-m)=m-1，xx=n，
1 2 1 2
∵ ，
∴x+x<0，xx>0，
1 2 1 2
∴m-1<0，n>0，
∴m<1，n>0，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“ ， 是关于x的一元
二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x+x=- ，xx= ”是解题的关键．
1 2 1 2
5．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 ，并规定 ，例如
，则 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
据题意，可以将方程 转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
解：∵方程 ，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程 两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
6．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得到a2=−a+2021，再用a表示a3，得到a3=2022a−2021，所以原式变形为
2024(a+b)，再根据一元二次方程根与的关系得到a+b=−1，利用整体代入法计算，即可求得．
解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，
∴a2+a﹣2021＝0，
即a2＝﹣a+2021，
∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，
∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），
∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用等式的恒等变式
和一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
7．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
【答案】C【解析】
解：原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程．
当|x-3|<0时，x无解；
当|x-3|=0时，只有1解；
当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解．
所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根．
①当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得 =-2
②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，
解得即a>0．
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．
8．若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【解析】
解：由 得：
∴
又由 可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
9．已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 ．下列结论错
误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正
确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N
也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的
一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，
x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数
根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方
程的解等知识，掌握它们是关键．
10．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
设方程 的两根为x、x，方程 同的两根为y、y．①根据方程解的情况可
1 2 1 2
得出x•x=2n＞0、y•y=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x+x=-2m、y+y=-2n，进而得出这两个方程
1 2 1 2 1 2 1 2
的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）
2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y+1）（y+1）-1、2n-2m=
1 2
（x+1）（x+1）-1，结合x、x、y、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
1 2 1 2 1 2
设方程 的两根为x、x，方程 同的两根为y、y．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x•x=2n＞0，y•y=2m＞0，
1 2 1 2
∵x+x=-2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y•y=2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y+y+y=（y+1）（y+1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y、y 均为负整数，
1 2
∴（y+1）（y+1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x•x=2n，x+x=-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x+x=（x+1）（x+1）-1，
1 1 2 1 2
∵x、x 均为负整数，
1 2∴（x+1）（x+1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是
解决本题的关键,也是解决问题的难点．
二、填空题
11．已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2 1 2
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，再根据
1 2 1 2 1 1
＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
12．若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是_________．
【答案】2018
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到 ，再根据根与系数的关系得到 ，然后利用整
体代入的方法计算．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴
∴
∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴
故答案为：2018．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．
13．已知关于x的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m的取值范围
是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
解：由题意得： ，
所以 ，
依题意得： ，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方
程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-
4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
14．一元二次方程 的两根为x，x， ＋2xx＋ ＝_____．
1 2 1 2
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数之间的关系解答即可．
解：由方程 得 ，
∴x+x= =-1，x·x= = ，
1 2 1 2
∵ ＋2xx＋
1 2= +2xx
1 2
=
=-5
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数之间的关系，解题关键是将代数式转化成含有两根的和与积的形式．
15．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x、x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
1 2
①x≠x；②xx＜ab；③x2+x2＜a2+b2；④当a+b＝ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是
1 2 1 2 1 2
____________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的判别式即可判断①；利用一元二次方程根与系数的关系即可判断②；利用一元二次
方程根与系数的关系、完全平方公式进行变形运算即可判断③；先将方程转化为 ，再利
用因式分解法解方程即可判断④．
解：关于 的方程 ，
此方程根的判别式为 ，
此方程有两个不相等的实数根，
，结论①正确；
由一元二次方程根与系数的关系得： ，结论②正确；
由一元二次方程根与系数的关系得： ，
，，
，
则结论③错误；
当 时，方程可转化为 ，
即 ，
解得 或 ，
即当 时，方程有一根为1，结论④正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式
是解题关键．
16．若α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，且α2﹣α＋β＝5，α≠β，则k＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
由α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，可得 是方程 的两根，进而根据一元二次方程根与系数
的关系求得 ，进而代入α2﹣α＋β＝5，即可求得 的值
α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，
是方程 的两根，
α2﹣α＋β＝5，α2﹣2α＝-k
即
解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，求得 是解题的关键．
17．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x，x，且满足数轴上x，x 所表示的点到2
1 2 1 2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正
确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x＝3x，关于x的方程px2﹣x 0是关于2的等距方程．
1 2
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】
①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x＝x 或x+x＝4，当x＝x 时，x
1 2 1 2 1 2 1
＝x＝ ，不能判断a与b之间的关系，当x+x＝4时，即 ＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
2 1 2
④根据韦达定理和x＝3x，得出3x2＝ （3x+x）＝3x，解得x＝1或x＝0（舍去），然后利用关于2
1 2 2 2 2 2 2 2
的等距方程的定义进行判断．
解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x＝0，x＝4，
1 2
则|x﹣2|＝|x﹣2|，
1 2
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x＝﹣1，x ，
1 2
∵5m＝﹣n，
∴x＝5，
2
∴|x﹣2|＝|x﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
1 2
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x+x＝ ，
1 2∵方程是2的等距方程，
∴|x﹣2|＝|x﹣2|，
1 2
则x﹣2＝x﹣2或x﹣2＝2﹣x，
1 2 1 2
∴x＝x 或x+x＝4，
1 2 1 2
当x＝x 时，x＝x＝ ，不能判断a与b之间的关系，
1 2 1 2
当x+x＝4时，即 ＝4，
1 2
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x ＝0有两根满足x＝3x，
1 2
由韦达定理得：xx＝ ，x+x＝ ，
1 2 1 2
∴xx＝ × ＝ （x+x），
1 2 1 2
∴3x2＝ （3x+x）＝3x，
2 2 2 2
∴x＝1或x＝0（舍去），
2 2
∴x＝3x＝3，
1 2
∴|x﹣2|＝|x﹣2|，
1 2
即px2﹣x+ ＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．
18．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是__________
（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】
仿照题意所给的方法，得到原方程为 ，由此求解
即可．
解；∵一元三次方程 三个非零实数根分别 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的
关键．
三、解答题
19．已知关于x的方程 有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x，x，且x2＋x2＝6xx-15，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)
(2)k＝4
【解析】
【分析】
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出x＋x 和x•x，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
1 2 1 2
（1）∵关于x的方程 有两个实数根，∴ ，
解得 ；
（2）∵方程的两实数根分别为x，x，∴x＋x＝k＋1， ，∵x2＋x2＝6xx-15，∴（x＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1
x）2-8xx+15＝0，∴k2-2k-8＝0，解得：k＝4，k＝-2，又∵ ，∴k＝4．
2 1 2 1 2
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．
20．已知 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 的两个根，第三边
BC的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
(3)当n为何值时， 是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
(3)n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）计算判别式Δ＞0，即可得证；
（2）根据△ABC是等腰三角形，可知x=10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n=12时，②当n=10
时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长；
（3）根据根与系数的关系，可得AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，求出n的值，
再检验即可确定n．
(1)
证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)
解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
(3)
解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，∴AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾
股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那
么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝
0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)18
(2)0或
【解析】
【分析】
（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（4）根据定义可求出n=2m或n= m，代入原式后即可求出答案；
(1)
由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m•2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案为18；
(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x ，
∴ 2或 ，
当n＝2m时， 0，
当n m时， ；
故代数式 的值0或 ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．
22．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋
bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2 ac＝0；我们记“K＝b2 ac”，即K＝0时，方
程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程 是倍根方程，
求此倍根方程．
【答案】(1)②
(2)0
(3)
【解析】
【分析】
（1）据倍根方程定义判断即可；
（2）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x=2，x=- 得到m=-n或m=- n，从而得到m+n=0，
1 24m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=0；
（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax2-3atx+2t2a，从而得倍根方
程满足b2- ac=0，据此求解可得．
(1)
①x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x＝﹣1，x＝2，
1 2
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2)(x﹣4)＝0,
x＝2，x＝4，
1 2
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
故答案为②；
(2)
mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，
解得：x＝2，x ，
1 2
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2 或4 ，即m＝﹣n或m n，
∴m+n＝0或4m+n＝0；
∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；
(3)
设其中一根为t，则另一个根为2t，
则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，
∴b2 ac＝0，
∵x2 n＝0是倍根方程，
∴（ ）2 n＝0，整理，得：m＝3n，∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程为x2 x 0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理
解“倍根方程”的定义是解题的关键．
23．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，∴ ， ．故
1 2
答案为： ； ．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴ ， ，∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴
， ，∵ ∴ 或
，当 时， ，当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出
或 ，是解答本题的关键．
24．材料一：若一个各位数字均不为零的自然数满足各位数字之和不大于10，则称该数为“易数”．例如
“1123”，因为 ，所以“1123”为“易数”．
材料二：以三位数 中的b，c构造一元二次方程 ，若该方程有两个实数根 ，则称为m的“系数关联数”．
(1)一个各位数字均不相等的四位数k它是“易数”，请直接写出满足该条件的最小易数______和最大易数
______；
(2)请将材料二中的“系数关联数”n用字母b、c表示出来；
(3)已知一个三位数 为易数，t的“系数关联数”n为8的倍数，求满足条件的所有三位数t．
【答案】(1)1234，4321；
(2) ；
(3)114或121或136或143或172．
【解析】
【分析】
（1）根据“易数”的定义直接写出即可；
（2）根据根与系数的关系可得 ， ，然后将“系数关联数”n展开后计算即可；
（3）根据易数的定义以及n为8的倍数求出满足条件的b和c的值即可．
(1)
解：由题意可知，满足条件的最小易数是1234，最大易数是4321；
故答案为：1234，4321；
(2)
∵一元二次方程 有两个实数根 、 ，
∴ ， ，
∴ ；
(3)
由题意得： ， ，
∵n为8的倍数，
∴当b＝1时， ，满足n是8的倍数时c＝4；
当b＝2时， ，满足n是8的倍数时c＝1；
当b＝3时， ，满足n是8的倍数时c＝6；
当b＝4时， ，满足n是8的倍数时c＝3；当b＝5时， ，满足n是8的倍数的c不存在；
当b＝6时， ，满足n是8的倍数的c不存在；
当b＝7时， ，满足n是8的倍数时c＝2；
当b＝8时， ，满足n是8的倍数的c不存在；
∴满足条件的所有三位数t为：114或121或136或143或172．
【点睛】
本题考查了新定义以及一元二次方程根与系数的关系，正确理解新定义是解题的关键．
25．阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
____________．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3)-1
【解析】
【分析】
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；（2）由题意得出 、 可看作方程 ，据此知 ， ，将其代入计算可得；
（3）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程 的两根，继
而知 ， ，进一步代入计算可得．
（1） ， ；故答案为 ； ；
（2） ， ，且 ， 、 可看作方程 ， ，
， ；
（3）把 变形为 ，实数 和 可看作方程 的两根， ，
， ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运
算顺序和运算法则．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若
，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是
解题关键．
2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
【答案】A
【解析】
【分析】
结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．【点睛】
此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是
解题的关键．
4．（2018·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
x，x．若 ，则m的值是（ ）
1 2
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
先由二次项系数非零及根的判别式 ，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出 ， ，结合 ，即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+ =0有两个不相等的实数根x、x，
1 2
∴ ，
解得：m>−1且m≠0，
∵x、x 是方程mx2−(m+2)x+ =0的两个实数根，
1 2
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非
零及根的判别式 ，找出关于m的不等式组；(2)牢记 ， ．
5．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，
且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】【分析】
利用根与系数的关系得出 ， ，进而得出关于 的一元二次方程求出即可．
解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 ， ， ， 为常数）根与系数的关系： ， ．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又
∴
把 代入整理得,
解得,
故选A
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，
方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合 ，找出关于m的一元二次方程．
7．（2021·四川南充·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得 ， ，再代入通分计算即可求解．∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系
是解决问题的关键．
8．（2015·湖南株洲·中考真题）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中
a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【解析】
解：A、∵M有两个不相等的实数根，
∴△＞0即 而此时N的判别式△＝ ，故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符
合题意；
B、M的两根符号相同：即 ，而N的两根之积＝ 也大于0，故N的两个根也是同号的，故此
选项不符合题意；
C、如果5是M的一个根，则有： ①，我们只需要考虑将 代入N方程看是否成立，代入得：
②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合
题意；D、比较方程M与N可得： ，
∴ ，
∵a·c≠0，a≠c，
∴ ，
故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故此选项符合题意；
二、填空题
9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 的值
为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系得到
a+b=4，ab=3，再根据 进行求解即可．
解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的
关键．
10．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x 则x+x﹣x•x 的值为 ___．
1 2 1 2 1 2
【答案】2．
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x，
1 2
∴ ，
∴x+x﹣x•x=1-（-1）=2．
1 2 1 2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若 为一元二次方程 的两个根，则有
，熟记知识点是解题的关键．
11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其
代入整理后的代数式计算即可．
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程 ( )的两根时， ，
1 2
．也考查了一元二次方程的解．12．（2022·四川内江·中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝
1 2
x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，再根据
1 2 1 2 1 1
＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
13．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程 的两根为 ，则
________________【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系表示出 和 即可；
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，
= ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
14．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为
，所以 ．若 是一元二次方程 的两个根，则 _________．
【答案】0
【解析】
【分析】
求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
解： ，
解得： ，即 ，
则 ，
故答案为：0．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
三、解答题
15．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ，
．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再结合（1）的结论即可得．
（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根， 此方程根的判别式
，解得 ．
（2）解：由题意得： ，解得 或 ，由（1）已得： ，则 的值为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关
键．
16．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有实数根．(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【答案】(1)k ；
(2)k=3
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2） 0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
（1）解：∵一元二次方程 有实数根．∴ 0，即32-4（k-2） 0，解得k
∆
（2）∵方程的两个实数根分别为 ，∴ ，∵ ，∴
，∴ ，解得k=3．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识
是解题的关键．
17．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求 的值．
【答案】（1）k>-1；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据∆>0列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
解：（1）由题意得
∆=4+4k>0，
∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴
=
=
=
=1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x，x 为方
1 2
程的两个根，则x，x 与系数的关系式： ， ．
1 2
18．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3) 或【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后将 进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出 ， ，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，∴ ， ．故
1 2
答案为： ； ．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴ ， ，∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴
， ，∵ ∴ 或
，当 时， ，当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出
或 ，是解答本题的关键．
