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第 14 课 一元二次方程的根与系数的关系
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．若 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程 的两个根为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．14
3．下列一元二次方程中，两根均为负数的是( )
A． B．
C． D．
4．若 、 是一元二次方程的两个根，且 ，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若 、 是关于x的一元二次方程 的两个实数根， ，则必有
（ ）
A． B． C． D．
6．设 是一元二次方程 的两根，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
7．已知一元二次方程 的两根为 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
9．下列关于x的一元二次方程 的命题中，真命题有（ ）
①若 ，则 ；②若方程 两根为1和－2，则 ；
③若方程 有一个根是 ，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
二、填空题
11．设 ， 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 ______．
12．若 、 是一元二次方程 的两根，则 的值是_______．
13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数
q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．
14．已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为__．
15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x，x，则x＋x(x2－3x)＝____．
1 2 1 2 2 2
16．已知关于x的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m的取值范围
是_________．
17．已知 是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则 _____．
18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞
a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个
根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．
三、解答题
19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1） ； （2） ．
20．已知关于x的方程 ．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为 ， ，若 ，求m的值．
21．在等腰 中， 、 、 的对边分别是 、 、 ；已知 ， 、 分别是方程
的两个根，试求 的周长．
22．方程 是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为 ．（1）求m的取值范围；
（2）若 ，求m的值．
23．设 是一元二次方程 的两根，
（1）试推导 ；
（2）求代数式 的值．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．若 和 是关于x的方程 的两根，且 ，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
2．关于 的方程 （ 为常数）根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根
3．若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
4．设 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成 ，并规定 ，例如
，则 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021
7．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
8．若a≠b，且 则 的值为（ ）A． B．1 C．.4 D．3
9．已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 ．下列结论错
误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
10．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②
；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2 1 2
12．若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是_________．
13．已知关于x的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m的取值范围
是_________．
14．一元二次方程 的两根为x，x， ＋2xx＋ ＝_____．
1 2 1 2
15．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x、x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
1 2
①x≠x；②xx＜ab；③x2+x2＜a2+b2；④当a+b＝ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是
1 2 1 2 1 2
____________．
16．若α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，且α2﹣α＋β＝5，α≠β，则k＝___．
17．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x，x，且满足数轴上x，x 所表示的点到2
1 2 1 2
所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正
确的有___．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x＝3x，关于x的方程px2﹣x 0是关于2的等距方程．
1 2
18．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是__________
（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
19．已知关于x的方程 有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x，x，且x2＋x2＝6xx-15，求k的值．
1 2 1 2 1 2
20．已知 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 的两个根，第三边
BC的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
(3)当n为何值时， 是以BC为斜边的直角三角形？
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那
么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝
0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式 的值．
22．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋
bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2 ac＝0；我们记“K＝b2 ac”，即K＝0时，方
程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
(1)以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程 是倍根方程，
求此倍根方程．
23．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
24．材料一：若一个各位数字均不为零的自然数满足各位数字之和不大于10，则称该数为“易数”．例如
“1123”，因为 ，所以“1123”为“易数”．
材料二：以三位数 中的b，c构造一元二次方程 ，若该方程有两个实数根 ，则称
为m的“系数关联数”．
(1)一个各位数字均不相等的四位数k它是“易数”，请直接写出满足该条件的最小易数______和最大易数
______；
(2)请将材料二中的“系数关联数”n用字母b、c表示出来；
(3)已知一个三位数 为易数，t的“系数关联数”n为8的倍数，求满足条件的所有三位数t．
25．阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
____________．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．3或 B． 或9 C．3或 D． 或6
3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
4．（2018·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
x，x．若 ，则m的值是（ ）
1 2
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
5．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，
且 ，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
6．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
且 ，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
7．（2021·四川南充·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2015·湖南株洲·中考真题）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中
a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
二、填空题
9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则 的值为 _____．
10．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x、x 则x+x﹣x•x 的值为
1 2 1 2 1 2
___．
11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
___________．
12．（2022·四川内江·中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝
1 2
x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
13．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程 的两根为 ，则
________________
14．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为
，所以 ．若 是一元二次方程 的两个根，则 _________．
三、解答题
15．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根
， ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
16．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
17．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求 的值．
18．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
