文档文本内容
专题 22.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:21)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:21)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:21)................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:38)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:38)(cid:21)........................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:38)(cid:21)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:50)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:21)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:21)......................................................................................................11
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:37)(cid:58)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:21)..........................................................................................13
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:59)(cid:60)(cid:10) + =2(cid:61) +1(cid:61) + =0(cid:61) +8=0(cid:61) = (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:65)1(cid:66) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:65)2(cid:66)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:65)3(cid:66)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
𝟐
（2)当c=0时，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
𝟐
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙,得 𝒃𝒙 =𝟎(𝒂≠𝟎).
𝟐
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:38)(cid:76)(cid:64)(cid:77)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:32).
2.(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:52)(cid:43)(cid:32)(cid:61)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:70)(cid:78)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:52)(cid:43)(cid:32)(cid:61)(cid:79)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:70)(cid:78)(cid:63)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:52)(cid:43)(cid:32).(cid:86) (cid:61) (cid:64)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + + =0( 0)(cid:34)(cid:70)(cid:78)(cid:52)(cid:43)(cid:32)(cid:61)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:70)(cid:78)(cid:73)(cid:41)(cid:90)(cid:91)(cid:61)(cid:92)(cid:82)(cid:93)(cid:94)(cid:77)(cid:70)(cid:78)(cid:73)(cid:41)(cid:37)𝑥1(cid:47)(cid:74)𝑥2(cid:75)(cid:95)
2
(cid:43)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:59)1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:17)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:104)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:105)(cid:78)(cid:30)(cid:31) x2﹣9=0(cid:106) (cid:65)2x+1(cid:66)(cid:65)2x﹣1(cid:66)=0(cid:106) x2=0(cid:106)
+1=1(cid:107)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:64)(cid:65) (cid:66) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:108)−2𝑥 B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)①D ② ③ ④
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:112)(cid:22)(cid:113)(cid:114)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:43)(cid:64)2(cid:106)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:118)0(cid:106)(cid:64)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
(cid:120)(cid:85)(cid:26)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:108)(cid:51)(cid:77)(cid:105)(cid:78)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:105)(cid:78)(cid:124)(cid:117)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:61)(cid:129)(cid:130)(cid:77)(cid:105)(cid:78)(cid:121)(cid:122)(cid:131)(cid:118)(cid:132)(cid:133)(cid:109)(cid:110)(cid:108)
(cid:47)(cid:10) x2﹣9=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
(cid:65)①2x+1(cid:66)(cid:65)2x﹣1(cid:66)=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
②x2=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
③ +1=1(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
2
(cid:134)④(cid:124)𝑥D−(cid:108)2𝑥
(cid:15)(cid:135)(cid:41)1-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:105)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:61)(cid:26)(cid:35)(cid:64)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:64)(cid:65) (cid:66)
A(cid:108) + 1 =0 B(cid:108) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:108) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)𝑥 C 𝑥−2 3𝑥−2𝑥𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:83)(cid:148)(cid:149)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:150)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:61)(cid:4)(cid:152)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:85)(cid:26)
(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:92)(cid:154)(cid:155)(cid:120)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:117)(cid:34)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:43)(cid:64)2(cid:34)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:80)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)A(cid:108)(cid:113)(cid:46)(cid:107)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
B(cid:108) =0(cid:159)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
C(cid:108)(cid:64)𝑎 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
D(cid:108)(cid:120)(cid:85)2(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)(cid:134)(cid:124)(cid:10)C(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)1-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:44)(cid:41)(cid:107)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:64)(cid:65) (cid:66)
A(cid:108)2 +1=0 B(cid:108) =0 C(cid:108)2 =0 D(cid:108) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)𝑥B 𝑥−2𝑦−3 𝑥 𝑦 −3𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:125)(cid:126)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)A(cid:108)2 +1=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
2
B(cid:108) =0(cid:64)(cid:28)𝑥 (cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
C(cid:108)𝑥2−2𝑦=−03(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:106)
2
D(cid:108) 𝑥 +4=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:63)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:152)(cid:108)
2
(cid:134)(cid:124)𝑦(cid:10)−B3(cid:108)𝑦
(cid:15)(cid:168)(cid:169)(cid:21)(cid:150)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:153)(cid:120)(cid:85)(cid:26)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:154)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:43)(cid:64)2(cid:34)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:148)(cid:141)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)1-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:88)(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:85)(cid:65) (cid:66)
3 =0(cid:106) + + =0(cid:106) + 1 =0(cid:106) 2 = (cid:106) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:108) − 1 𝑥 (cid:78) ②𝑎𝑥 B(cid:108) 𝑏𝑥 2(cid:78) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:108)3(cid:78) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:108) )( 4 𝑥− (cid:78) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:83)(cid:148)(cid:149)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:150)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:61)(cid:4)(cid:152)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:85)(cid:26)
(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:92)(cid:154)(cid:155)(cid:120)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:117)(cid:34)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:43)(cid:64)2(cid:34)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:80)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:108)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:167)(cid:82)
(cid:47)(cid:109)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) 3 =0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
2
+ +①=𝑥0(cid:61)−(cid:178)𝑥 = 0(cid:159)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
2
②𝑎𝑥
+
1𝑏
=
𝑥
0(cid:64)
𝑐
(cid:113)(cid:41)(cid:30)(cid:31)
𝑎
(cid:61)(cid:63)
0
(cid:64)
,𝑏
(cid:26)
≠
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
③3 2 𝑥 𝑥 = (cid:61)(cid:119)(cid:179)(cid:180)(cid:10) + =0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
2 2
④ 𝑥 −1 (𝑥−1)=(𝑥1−52) (cid:61)(cid:119)(cid:179)(cid:180)(cid:10)𝑥 3𝑥+−314=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:106)
2
⑤(cid:87)(cid:181)(5(cid:85)𝑥−22(cid:78))(3(cid:61)𝑥−7) 𝑥 −41𝑥
(cid:134)(cid:124)(cid:10)B(cid:108)
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:59)2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:174)(cid:182)(cid:183)(cid:184)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:185)(cid:75)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)( +1) | | + +5=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
4𝑚−2
𝑚 𝑥 27𝑚𝑥(cid:31)(cid:61)(cid:87) = (cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)𝑚(cid:21)1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:180)(cid:57) +1 0(cid:154)| | =2(cid:61)(cid:186)(cid:37)(cid:57)
(cid:109)(cid:110)(cid:167)(cid:82)(cid:108) 𝑚 ≠ 4𝑚 −2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)( +1) | | + +5=0(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)
4𝑚−2
+1 0(cid:154)∵| | =2(cid:61) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
∴(cid:47)𝑚(cid:180)(cid:10) ≠=1(cid:61)4𝑚 −2
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)𝑚(cid:10)1(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)2-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:174)(cid:182)(cid:187)(cid:188)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:30)(cid:31) +5=0(cid:64)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:87) (cid:34)(cid:189)(cid:38)
2
(cid:190)(cid:191)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:108) 0 B(cid:108) >3 C(cid:108) =0 D(cid:108) 0
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)𝑎≠A 𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:61)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:64)(cid:148)(cid:149)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:85)(cid:26)(cid:78)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:61)(cid:92)(cid:154)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:43)(cid:118)2(cid:34)(cid:119)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:148)(cid:149)(cid:26)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:118) + + =0( 0)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)𝑎(cid:21)𝑥(cid:47)(cid:10)𝑏(cid:30)𝑥 (cid:31)𝑐 𝑎+≠5=0(cid:64)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)
2
0(cid:61) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥
∴(cid:134)𝑎(cid:124)≠(cid:10)A(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)2-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:100)(cid:17)(cid:17)(cid:194)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:86)(cid:30)(cid:31)( +1) =0(cid:64)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:87)
2
3𝑎 −1
= (cid:108) 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:51)(cid:22)(cid:152)(cid:180)3 =2(cid:154) +1 0(cid:61)(cid:47)(cid:195)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:61)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
2
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108) 𝑎 −1 𝑎 ≠
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:30)(cid:31)( +1) =0(cid:64)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)
2
3𝑎 −1
3 =2(cid:154)∵ +1 𝑎 0(cid:61)𝑥 𝑥
2
∴ 𝑎=−11(cid:61) 𝑎 ≠
∴(cid:134)𝑎(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)1(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)2-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:174)(cid:182)(cid:137)(cid:196)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)( ) + =0(cid:85)
2 2
(cid:26)(cid:78)(cid:47)(cid:64)0(cid:61)(cid:87) = 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
𝑚(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)−(cid:22)1 (cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:197)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:132)(cid:133)(cid:37)(cid:57)m(cid:34)(cid:38)(cid:64)(cid:3)(cid:151)(cid:61)(cid:4)(cid:152)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:118)0(cid:106)
(cid:198) =0(cid:48)(cid:49)(cid:199)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:180)(cid:3)(cid:143)m(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:47)(cid:30)(cid:31)(cid:167)(cid:82)(cid:180)(cid:47)(cid:61)(cid:4)(cid:152) 0.
(cid:15)𝑥(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)( ) + =0𝑚(cid:85)−(cid:26)1≠(cid:78)(cid:47)(cid:64)0(cid:61)
2 2
=0(cid:154)∵ 0(cid:61) 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
2
∴(cid:47)𝑚(cid:180)−(cid:10)1 = 𝑚(cid:106)−1≠
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑚(cid:118)(cid:10)−1.
−1
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:59)3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:200)(cid:137)(cid:201)(cid:202)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:30)(cid:31)( +1)( )=5(cid:119)(cid:179)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:203)(cid:61)(cid:204)
(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:206)(cid:38)(cid:64) (cid:108) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21) 3
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21) − (cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:118) + + =0( 0)(cid:61)(cid:207)(cid:107)a(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:61)b(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:29)(cid:117)
2
(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:109)(cid:167)(cid:82)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41) + + =0( 0)(cid:208)(cid:207)(cid:72)(cid:3)(cid:192)(cid:193)(cid:61)(cid:148)(cid:141)(cid:170)(cid:171)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:51)( +1)( )=5(cid:61)𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:180)3 =03(cid:61)𝑥 𝑥−1
2
(cid:28)𝑥(cid:29)(cid:117)−2(cid:42)𝑥−(cid:43)6(cid:118)3(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)
∴ −23
(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:205)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:206)(cid:38)(cid:64) (cid:108)
2
−
3
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) (cid:108)
2
(cid:15)(cid:135)(cid:41)3-1(cid:21)−(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)3 +2=0(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:61)
2
(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:197)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:113)(cid:25)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:108) B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)3,−D5,−2 3,−5𝑥,2 3,5𝑥,−2 3,−5,2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:61)(cid:179)(cid:47)(cid:92)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:208)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:64)(cid:3)
(cid:151)(cid:108)
(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:192)(cid:193)(cid:208)(cid:26)(cid:39)(cid:41)“ + + =0( 0)”(cid:165)(cid:35)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑎3𝑥 𝑏𝑥+2𝑐=0(cid:34)𝑎(cid:28)≠(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:197)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:113)(cid:25)(cid:118) (cid:61)
2
(cid:134)(cid:124)(cid:10)D (cid:108) 𝑥 𝑥 −5𝑥 3,−5,2(cid:15)(cid:135)(cid:41)3-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:210)(cid:164)(cid:210)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:30)(cid:31) + = +5(cid:212)(cid:118)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:203)(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:197)(cid:209)(cid:43)
2
(cid:117)(cid:113)(cid:25)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:108)1(cid:197)3 B(cid:108)1(cid:197) C(cid:108)3(cid:197) D(cid:108)3(cid:197)4
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)C −6 −6
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:61)(cid:32)(cid:33) + + =0( 0)(cid:125)(cid:126)(cid:165)(cid:35)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:61) + = +5(cid:213)(cid:117)(cid:119)(cid:179)𝑎𝑥(cid:180)(cid:61)𝑏𝑥 +𝑐 𝑎=≠0(cid:61)
2 2
(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:197)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:113)(cid:25)𝑥(cid:118)34𝑥(cid:197)−1 (cid:108)𝑥 𝑥 3𝑥−6
∴(cid:134)(cid:124)(cid:10)C (cid:108) −6
(cid:15)(cid:135)(cid:41)3-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:214)(cid:137)(cid:215)(cid:164)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:216)(cid:57)(cid:26)(cid:78)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118)1(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:118)
(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:64) (cid:108)(cid:65)(cid:94)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:217)(cid:218)(cid:66) −3
−(cid:15)4(cid:109)(cid:110)(cid:21) =0
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)𝑥(cid:144)(cid:22)−3(cid:145)𝑥−(cid:146)4(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:10) + + =0( 0)(cid:61)(cid:207)(cid:107)
2
(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:118) (cid:61)(cid:125)(cid:126)(cid:219)(cid:109)(cid:167)(cid:82)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)𝑎(cid:51)(cid:22)(cid:152)(cid:61)(cid:82)(cid:180)(cid:30)(cid:31)𝑏(cid:118)(cid:10) 𝑐 =0(cid:106)
2
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) =0(cid:108) 𝑥 −3𝑥−4
2
𝑥 −3𝑥−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:59)4(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:100)(cid:17)(cid:220)(cid:221)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + = +12(cid:107)(cid:63)(cid:120)x(cid:34)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:61)
2
(cid:87)(cid:150)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:118) (cid:108) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21) =2, =
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)𝑥(cid:144)1(cid:22)(cid:145)(cid:146)𝑥2(cid:26)(cid:27)−(cid:28)2 (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:179)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:222)(cid:144)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:3)(cid:151)(cid:108)(cid:32)
(cid:33)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:223)(cid:133)(cid:35)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:61)(cid:224)(cid:203)(cid:133)(cid:35)(cid:42)(cid:43)(cid:61)(cid:47)(cid:30)(cid:31)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + = +12(cid:107)(cid:63)(cid:120)x(cid:34)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:61)
2
(cid:167) +( ∵) =12(cid:63)(cid:120)x𝑚(cid:34)𝑥(cid:26)(cid:29)𝑚(cid:117)𝑥(cid:61)3𝑥
2
𝑚𝑥 =0𝑚(cid:61)−3 𝑥
∴𝑚−=33(cid:61)
∴(cid:199)𝑚(cid:30)(cid:31)(cid:118)3 =12(cid:61)
2
∴(cid:47)(cid:180)(cid:10) =𝑥2, = (cid:61)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑥(cid:118)1(cid:10) 𝑥=2 2, −2= (cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)4-1(cid:21)𝑥1(cid:65)24-2𝑥52(cid:160)(cid:97)−2(cid:98)(cid:88)·(cid:225)(cid:226)(cid:162)(cid:188)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)( ) + + =0(cid:34)(cid:209)
2 2
𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1(cid:43)(cid:117)(cid:118)0(cid:61)(cid:87)m(cid:34)(cid:38)(cid:118)(cid:65) (cid:66)
A(cid:108)1 B(cid:108) C(cid:108)2 D(cid:108)±1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)B −1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:64)(cid:132)(cid:133)(cid:227)(cid:228)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:118)0(cid:34)(cid:38)(cid:61)(cid:93)(cid:94)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)
(cid:35)(cid:36)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
=0
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:51)(cid:22)(cid:152)(cid:180)(cid:10) (cid:61)
0
2
𝑚 −1
(cid:47)(cid:180) = (cid:61) 𝑚−1≠
(cid:134)(cid:124)𝑚(cid:10)B(cid:108)−1
(cid:15)(cid:135)(cid:41)4-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:200)(cid:137)(cid:229)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)3 + = (cid:212)(cid:90)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)
2
(cid:203)(cid:61)(cid:207)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118)1(cid:61)(cid:209)(cid:43)(cid:117)(cid:118) (cid:61)(cid:87)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:34)(cid:26)𝑥(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)(cid:118) 𝑥(cid:108) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)5 −2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:223)(cid:198)(cid:199)(cid:30)(cid:31)(cid:125)(cid:126)(cid:212)(cid:230)(cid:119)(cid:179)(cid:61)(cid:231)(cid:232)(cid:82)(cid:180)( ) +(1+ )
2
=0(cid:61)(cid:224)(cid:203)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:82)(cid:180) =1(cid:61)(cid:231)(cid:232)(cid:82)(cid:180)(cid:10) =2(cid:61)(cid:186)(cid:198)a(cid:34)(cid:38)(cid:48)(cid:49)1+ (cid:107)(cid:61)3(cid:125)−(cid:126)𝑎 (cid:227)𝑥 (cid:228)(cid:167)(cid:82)(cid:47)2𝑎(cid:109)(cid:108)
𝑥(cid:15)−(cid:111)2(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)3 + = 3−𝑎 (cid:61) 𝑎 2𝑎
2
3 + = 𝑥 𝑥−(cid:61)2 𝑎𝑥(𝑥−2)
2 2
3𝑥 𝑥−2+ +𝑎𝑥 −2𝑎𝑥=0(cid:61)
2 2
(𝑥 −)𝑎𝑥 +𝑥(1+2𝑎𝑥)−2 =0(cid:61)
2
(cid:51)3−(cid:22)𝑎(cid:152)𝑥(cid:180)(cid:10) 2=𝑎1𝑥(cid:61)−2
(cid:47)(cid:180)(cid:10) =23(cid:61)−𝑎
(cid:156)(cid:30)(cid:31)𝑎(cid:107)(cid:34)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:42)(cid:43)=1+ =1+2×2=5(cid:61)
∴(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)5(cid:108) 2𝑎
(cid:15)(cid:135)(cid:41)4-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:105)(cid:136)(cid:161)(cid:27)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)2 ( +1) = ( +1)(cid:212)(cid:90)(cid:26)(cid:39)
2
(cid:40)(cid:41)(cid:203)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:118)1(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)(cid:87) (cid:34)(cid:38)(cid:118) (cid:108) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21) −1 𝑚
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)−(cid:144)1(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:61)(cid:223)(cid:198)(cid:30)(cid:31)(cid:212)(cid:90)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:61)(cid:186)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:47)(cid:109)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:61)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:26)(cid:39)(cid:41)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)2 ( +1) = ( +1)(cid:61)
2
2 ( +1) 𝑥 (− +𝑚1)=𝑥0(cid:61)𝑥 𝑥
2
2𝑥 −(𝑚+1)𝑥−𝑥 𝑥 =0(cid:61)
2 2
𝑥 − 𝑚 𝑥−𝑥 −𝑥( +2) =0(cid:61)
2
𝑥(cid:212)−(cid:90)𝑚(cid:26)(cid:39)(cid:40)𝑥(cid:41)(cid:203)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:118)1(cid:61)(cid:26)(cid:29)(cid:117)(cid:34)(cid:42)(cid:43)(cid:118) (cid:61)
∵ ( +2)= (cid:61) −1
∴− =𝑚 (cid:61) −1
∴(cid:134)𝑚(cid:109)(cid:110)−(cid:118)1(cid:10) (cid:108)
−1
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:59)5(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:233)(cid:234)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:86) =4(cid:64)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31) =8(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:87) + (cid:34)
2
(cid:38)(cid:118) (cid:108) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)2021
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:64)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:74)(cid:75)
(cid:43)(cid:34)(cid:38)(cid:61)(cid:198) =4(cid:48)(cid:49) =8(cid:180)(cid:237) =4(cid:61)(cid:186)(cid:119)(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:38)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)𝑥(cid:10) =4(cid:64)𝑎𝑥(cid:3)(cid:143)−𝑏x𝑥(cid:34)(cid:30)(cid:31) 8𝑎−2𝑏=8(cid:34)(cid:47)(cid:61)
2
=8(cid:61)∵𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥
∴16𝑎−4𝑏=4(cid:61)
∴8𝑎−2𝑏 + = ( )= =2021(cid:61)
∴(cid:134)2(cid:109)02(cid:110)5−(cid:118)8(cid:10)𝑎 2022𝑏1(cid:108)2025− 8𝑎−2𝑏 2025−4
(cid:15)(cid:135)(cid:41)5-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:239)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:185)(cid:75)a(cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:87)( +4)( )
2
(cid:34)(cid:38)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
A(cid:108)1 B(cid:108)3 C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)C −3 −5
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:242)(cid:208)(cid:185)(cid:75)(cid:41)(cid:243)(cid:34)(cid:38)(cid:37)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:34)(cid:38)(cid:61)(cid:32)(cid:33)a(cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0
2
(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:82)(cid:180)(cid:57) + =1(cid:61)(cid:186)(cid:212)(cid:230)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:61)(cid:119)(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:108) 𝑥 3𝑥−1
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) a(cid:64)𝑎(cid:30)(cid:31)3𝑎 + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
+ =1 ∵ 𝑥 3𝑥−1
2
∴𝑎( +34𝑎)( )= + = + = =
2 2
∴(cid:134)𝑎(cid:124)(cid:10)C(cid:108)𝑎−1 𝑎 4𝑎−𝑎−4 𝑎 3𝑎−4 1−4 −3
(cid:15)(cid:135)(cid:41)5-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:214)(cid:137)(cid:244)(cid:245)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)m(cid:64)(cid:30)(cid:31) =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:87) + +19(cid:34)
2 2
(cid:38)(cid:118) (cid:108) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)17(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:61)(cid:170)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:82)(cid:180) =0(cid:61)(cid:167) =1(cid:61)(cid:119)(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:167)(cid:82)(cid:37)(cid:47)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:64)(cid:30)(cid:31) 𝑚=−03(cid:34)𝑚(cid:26)−1(cid:78)(cid:32)(cid:61) 𝑚 −3𝑚
2
=∵𝑚0(cid:61)(cid:167) 𝑥 −3𝑥=−11(cid:61)
2 2
∴𝑚 −3𝑚+−1 +19 𝑚 −3𝑚
2
∴=−2𝑚( 6𝑚 )+19
2
=−2 𝑚+1−93=𝑚17(cid:108)
(cid:134)(cid:109)−(cid:110)2 (cid:118)(cid:10)17(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)5-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:200)(cid:137)(cid:246)(cid:247)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:185)(cid:75) (cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:87)(cid:48)(cid:43)(cid:41)
2
+1) + + (cid:34)(cid:38)(cid:118) (cid:108) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
((cid:15)𝑚(cid:109)(cid:110)(cid:21)2 (𝑚 1)(𝑚−1)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:61)(cid:248)(cid:208)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:32)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:30)(cid:197)(cid:7)(cid:41)(cid:249)(cid:252)(cid:30)(cid:253)(cid:7)(cid:41)(cid:73)(cid:75)(cid:24)(cid:61)(cid:223)(cid:51)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:180)(cid:237) + =1(cid:61)(cid:186)(cid:51)(cid:119)(cid:41)(cid:254)(cid:158)(cid:255)(cid:228)(cid:212)(cid:230)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:180)(cid:237)2( + )(cid:61)(cid:256) + =1(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:38)
2 2 2
(cid:167)(cid:82)(cid:180)(cid:237)(cid:109)(cid:110)(cid:61)(cid:148)(cid:141)(cid:170)𝑚(cid:171)(cid:119)(cid:41)𝑚(cid:212)(cid:230)(cid:37)(cid:38)(cid:64)(cid:47)(cid:257)(cid:54)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108) 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
+ ∵=0𝑚(cid:61)(cid:87) 𝑥+ =𝑥−11(cid:61)
2 2
∴ 𝑚 +𝑚1)−1+ + 𝑚 𝑚
2
=∴ (𝑚+ +1(𝑚+ 1)(𝑚−1)
2 2
=𝑚2 +2𝑚 𝑚 −1
2
=2𝑚( +2𝑚)
2
=2(cid:61)𝑚 𝑚
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)2(cid:108)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:59)6(cid:21)(cid:65)2025·(cid:258)(cid:259)·(cid:26)(cid:260)(cid:66)(cid:185)(cid:75)m(cid:118)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:87)(cid:48)(cid:43)(cid:41) +2 +6(cid:34)(cid:38)(cid:118) (cid:108)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)9 𝑥 𝑥−3 𝑚 𝑚 −2𝑚
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:208)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:61)(cid:47)(cid:22)(cid:3)(cid:151)(cid:64)(cid:255)(cid:94)(cid:119)(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:261)(cid:262)(cid:125)(cid:126)(cid:47)(cid:22)(cid:108)(cid:223)(cid:256)m(cid:48)(cid:49)
(cid:30)(cid:31)(cid:180) + =3(cid:61)(cid:186)(cid:256) + =3(cid:48)(cid:49) ( +2) ( )(cid:135)(cid:40)(cid:203)(cid:34)(cid:41)(cid:243)(cid:125)(cid:126)(cid:212)(cid:230)(cid:37)(cid:38)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
2 2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)𝑚(cid:21)(cid:47)(cid:10)𝑚(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:180)(cid:10)𝑚 𝑚+ =3(cid:61)𝑚 𝑚 −2 𝑚−3
2
+2 +6 𝑚 𝑚
3 2
∵ 𝑚 𝑚 −2𝑚= + + +6
3 2 2
=𝑚( 𝑚+ )𝑚+ −2𝑚 +6
2 2
=𝑚 𝑚+ 𝑚 𝑚+6−2𝑚
2
=3𝑚+ 𝑚+−62𝑚
2
=𝑚3+6𝑚
=9(cid:108)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)9(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)6-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:161)(cid:17)(cid:263)(cid:174)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:60)(cid:264) (cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) = (cid:34)(cid:32)(cid:61)(cid:87)(cid:48)(cid:43)(cid:41)
2 2
+2024(cid:34)(cid:38)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:108)2021 B(cid:108)2022 C(cid:108)2023 D(cid:108)2024
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:119)(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:265)(cid:37)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:34)(cid:38)(cid:61)(cid:266)(cid:133)(cid:148)(cid:141)(cid:267)(cid:125)(cid:126)(cid:227)(cid:228)(cid:64)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:108)(cid:32)
(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:152)(cid:36)(cid:82)(cid:180) = (cid:61)(cid:231)(cid:232)(cid:82)(cid:180) = (cid:61)(cid:224)(cid:203)(cid:48)(cid:49)(cid:41)(cid:243)(cid:107)(cid:125)(cid:126)(cid:227)(cid:228)(cid:61)(cid:167)(cid:82)(cid:47)(cid:109)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑎 =3𝑎−2(cid:34)(cid:32)(cid:61) 𝑎 −3𝑎 −2
2
= (cid:61)∵𝑎 𝑥 3𝑥−2
2
∴𝑎 3𝑎=−2 (cid:61)
2
∴𝑎 −3𝑎+2−0224= +2024=2022(cid:61)
2
(cid:134)∴𝑎(cid:124)−(cid:10)3𝑎B(cid:108) −2
(cid:15)(cid:135)(cid:41)6-2(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:258)(cid:259)·(cid:103)(cid:104)(cid:66)(cid:86)a(cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)(cid:87) +2 +7(cid:34)(cid:38)(cid:118)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)11 𝑥 𝑥−4 𝑎 𝑎 −3𝑎
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:48)(cid:43)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:198) = (cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:237)
+ =0(cid:61)(cid:224)(cid:203)(cid:32)(cid:33)(cid:73)(cid:41)(cid:34)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:180) + =4(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:199)(cid:41)(cid:167)(cid:82)(cid:47)(cid:109)(cid:108) 𝑥 𝑎
2 2
𝑎(cid:15)(cid:111)(cid:47)𝑎−(cid:21)4(cid:47)(cid:10) a(cid:64)(cid:30)(cid:31) + =0(cid:34)(cid:26)𝑎(cid:78)(cid:32)𝑎(cid:61)
2
+ =0∵(cid:61) 𝑥 𝑥−4
2
∴𝑎 +𝑎−=44(cid:61)
2
∴𝑎 +𝑎2 +7
3 2
=∴𝑎 ( 𝑎+−)3+𝑎 +7
2 2
=𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑎+7−3𝑎
2
=4𝑎+ 𝑎+−73𝑎
2
𝑎 𝑎=4+7
=11(cid:61)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)11(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)6-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:99)(cid:271)(cid:272)(cid:273)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:185)(cid:75)a(cid:64)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:87) (cid:34)(cid:38)(cid:73)(cid:143) (cid:108)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)
21
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:64)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:43)
(cid:34)(cid:38)(cid:180)(cid:237) =0(cid:61)(cid:125)(cid:232)(cid:180)(cid:237) =11(cid:61) = (cid:61)(cid:186)(cid:198)(cid:155)(cid:37)(cid:41)(cid:243)(cid:274)(cid:212)(cid:118) (cid:61)(cid:33)(cid:150)(cid:119)
( ) ( )
𝑎
2 2 2 2 2
𝑎 −𝑎−11 𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
(cid:238)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:47)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) a(cid:64)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) =0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
=∵0(cid:61) 𝑥 −𝑥−11
2
∴𝑎 −𝑎−=1111(cid:61) = (cid:61)
2 2
∴𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎
2 2 11
𝑎 −11
3 2
∴ 𝑎 −3𝑎 +
=
(2 ) ( )
𝑎
3 2 2
= 𝑎 −2𝑎 − 𝑎 −11
( ) ( )
𝑎
2 2
= 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
𝑎
=212(cid:61)𝑎−𝑎
21
1
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) (cid:108)
21
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:59)7(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:275)(cid:174)(cid:276)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:277)(cid:7)(cid:278)(cid:279)(cid:97)(cid:26)(cid:280)(cid:34)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:118)200(cid:283)(cid:27)(cid:61)(cid:284)(cid:227)(cid:285)(cid:286)(cid:26)(cid:287)(cid:288)(cid:34)(cid:289)(cid:194)(cid:281)
(cid:282)(cid:236)(cid:290)(cid:237)950(cid:283)(cid:27)(cid:61)(cid:37)(cid:156)(cid:7)(cid:278)(cid:28)(cid:249)(cid:291)(cid:70)(cid:78)(cid:280)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:34)(cid:280)(cid:252)(cid:62)(cid:292)(cid:244)(cid:293)(cid:108)(cid:294)(cid:156)(cid:7)(cid:278)(cid:28)(cid:249)(cid:291)(cid:70)(cid:78)(cid:280)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:34)(cid:280)(cid:252)(cid:62)
(cid:292)(cid:244)(cid:293)(cid:118) (cid:61)(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:82)(cid:89)(cid:30)(cid:31)(cid:118)(cid:65) (cid:66)
𝑥
A(cid:108)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:108)200 1(cid:295) =950
2
2
C(cid:108)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:108)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)A 𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:296)(cid:94)(cid:61)(cid:294)(cid:156)(cid:7)(cid:278)(cid:28)(cid:249)(cid:291)(cid:70)(cid:78)(cid:280)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:34)(cid:280)(cid:252)(cid:62)(cid:292)(cid:244)(cid:293)(cid:118) (cid:61)(cid:87)(cid:28)(cid:280)
(cid:297)(cid:7)(cid:278)(cid:34)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:118)200(1+ )(cid:283)(cid:27)(cid:61)(cid:291)(cid:280)(cid:297)(cid:7)(cid:278)(cid:34)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:118)200(1+ ) (cid:283)(cid:27)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:286)(cid:26)(cid:287)(cid:288)(cid:34)(cid:289)𝑥(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:298)
2
(cid:299)(cid:26)(cid:280)(cid:249)(cid:28)(cid:280)(cid:249)(cid:291)(cid:280)(cid:34)(cid:194)(cid:281)𝑥(cid:282)(cid:289)(cid:197)(cid:61)(cid:82)(cid:89)(cid:30)(cid:31)200 1+(1+ )+(1+𝑥 ) =950(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:294)(cid:156)(cid:7)(cid:278)(cid:28)(cid:249)(cid:291)(cid:70)(cid:78)(cid:280)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:34)(cid:280)(cid:252)(cid:62)(cid:292)(cid:244)(cid:293)𝑥(cid:118) (cid:61) 𝑥
(cid:87)(cid:28)(cid:280)(cid:297)(cid:7)(cid:278)(cid:34)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:118)200(1+ )(cid:283)(cid:27)(cid:61) 𝑥
(cid:291)(cid:280)(cid:297)(cid:7)(cid:278)(cid:34)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:118)200(1+ )𝑥(cid:283)(cid:27)(cid:61)
2
(cid:286)(cid:26)(cid:287)(cid:288)(cid:34)(cid:289)(cid:194)(cid:281)(cid:282)(cid:236)(cid:290)(cid:237)95𝑥0(cid:283)(cid:27)(cid:61)
∵200+200(1+ )+200(1+ ) =950(cid:61)
2
(cid:167)∴200 1+(1+ )𝑥+(1+ ) =𝑥950(cid:108)
2
(cid:134)(cid:124)(cid:10)A(cid:108) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:135)(cid:41)7-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:99)(cid:271)(cid:300)(cid:301)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:99)(cid:61)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:11)(cid:308)(cid:207)(cid:309)(cid:307)(cid:11)(cid:310)(cid:311)1(cid:122)(cid:312)(cid:313)(cid:61)(cid:314)(cid:264)(cid:181)(cid:85)(cid:315)
(cid:310)(cid:312)(cid:313)870(cid:122)(cid:61)(cid:37)(cid:95)(cid:316)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:34)(cid:307)(cid:11)(cid:317)(cid:43)(cid:61)(cid:294)(cid:95)(cid:316)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:34)(cid:307)(cid:11)(cid:85)x(cid:317)(cid:61)(cid:318)(cid:319)(cid:82)(cid:89)(cid:57)(cid:30)(cid:31) (cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21) ( )=870
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)𝑥 (cid:22)𝑥−(cid:145)1(cid:146)(cid:147)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:294)(cid:95)(cid:316)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:34)(cid:307)(cid:11)(cid:85)x(cid:317)(cid:61)(cid:87)(cid:305)(cid:317)(cid:311)(cid:57)( )(cid:122)(cid:312)
(cid:313)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:181)(cid:311)(cid:312)(cid:313)870(cid:122)(cid:82)(cid:89)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:108) 𝑥−1
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:294)(cid:95)(cid:316)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:34)(cid:307)(cid:11)(cid:85)x(cid:317)(cid:61)(cid:87)(cid:305)(cid:317)(cid:311)(cid:57)( )(cid:122)(cid:312)(cid:313)(cid:61)
(cid:51)(cid:22)(cid:152)(cid:180)(cid:61) ( )=870(cid:108) 𝑥−1
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)𝑥x(𝑥−1)=870(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)7-2(cid:21)(cid:65)x−241-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:210)(cid:164)(cid:210)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:60)(cid:320)(cid:61)(cid:118)(cid:321)(cid:212)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:61)(cid:277)(cid:322)(cid:227)(cid:285)(cid:326)(cid:26)(cid:327)(cid:244)(cid:118)60m(cid:61)(cid:328)(cid:118)
40m(cid:34)(cid:329)(cid:40)(cid:330)(cid:267)(cid:99)(cid:61)(cid:331)(cid:332)(cid:26)(cid:78)(cid:329)(cid:40)(cid:333)(cid:334)(cid:61)(cid:92)(cid:256)(cid:333)(cid:334)(cid:105)(cid:335)(cid:336)(cid:88)(cid:34)(cid:330)(cid:267)(cid:332)(cid:90)(cid:307)(cid:337)(cid:328)(cid:34)(cid:196)(cid:338)(cid:108)(cid:86)(cid:196)(cid:338)(cid:155)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:64)
3
(cid:119)(cid:78)(cid:329)(cid:40)(cid:330)(cid:267)(cid:340)(cid:341)(cid:34) (cid:61)(cid:87)(cid:150)(cid:159)(cid:196)(cid:338)(cid:34)(cid:328)(cid:118) (cid:108)
8
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)5m
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:296)(cid:94)(cid:61)
(cid:223)(cid:294)(cid:196)(cid:338)(cid:34)(cid:328)(cid:118) m(cid:61)(cid:186)(cid:32)(cid:33)(cid:333)(cid:334)(cid:340)(cid:341)(cid:155)(cid:339)(cid:119)(cid:78)(cid:329)(cid:40)(cid:330)(cid:267)(cid:340)(cid:341)(cid:34) 3 )(cid:89)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:37)(cid:57)(cid:47)(cid:167)(cid:82).
8
𝑥 (1−
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:294)(cid:196)(cid:338)(cid:34)(cid:328)(cid:118) m(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:22)(cid:152)(cid:61)(cid:180)
𝑥=60×40× 3 )(cid:61)
8
(60−2𝑥)(40−2𝑥) (1−
(cid:47)(cid:180) =5, =45(cid:65)(cid:342)(cid:343)(cid:66)(cid:61)
(cid:155)(cid:242)𝑥(cid:196)1(cid:338)(cid:34)(cid:328)𝑥2(cid:118)5m.
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)5m.
(cid:15)(cid:135)(cid:41)7-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:258)(cid:259)(cid:225)(cid:344)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:345)(cid:346)(cid:34)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:102)(cid:242)(cid:305)(cid:78)30(cid:351)(cid:352)(cid:34)(cid:125)(cid:353)(cid:354)(cid:49)(cid:26)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)
(cid:360)(cid:61)(cid:92)(cid:242)(cid:305)(cid:78)50(cid:351)(cid:352)(cid:361)(cid:57)(cid:61)(cid:305)(cid:362)(cid:82)(cid:361)(cid:57)80(cid:78)(cid:108)(cid:33)(cid:363)(cid:146)(cid:364)(cid:365)(cid:61)(cid:305)(cid:78)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:34)(cid:361)(cid:353)(cid:305)(cid:50)(cid:366)2(cid:351)(cid:352)(cid:61)(cid:305)(cid:362)
(cid:82)(cid:367)(cid:361)(cid:57)10(cid:78)(cid:61)(cid:86)(cid:345)(cid:346)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:362)(cid:371)(cid:93)(cid:290)4000(cid:351)(cid:352)(cid:61)(cid:87)(cid:372)(cid:256)(cid:361)(cid:353)(cid:50)(cid:366)(cid:367)(cid:373)(cid:351)(cid:352)(cid:374)(cid:86)(cid:294)(cid:50)(cid:353) (cid:351)(cid:352)(cid:61)(cid:87)(cid:89)(cid:57)(cid:30)
(cid:31)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑥
A(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:108)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:108)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)5B0−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:296)(cid:94)(cid:61)(cid:294)(cid:50)(cid:353) (cid:351)(cid:352)(cid:61)(cid:87)(cid:305)(cid:78)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:34)(cid:93)(cid:375)(cid:118)( )
𝑥 50−𝑥−30
(cid:27)(cid:61)(cid:376)(cid:361)(cid:377)(cid:118) 80+ ×10 (cid:78)(cid:61)(cid:186)(cid:32)(cid:33)(cid:289)(cid:93)(cid:375)(cid:118)4000(cid:351)(cid:352)(cid:89)(cid:57)(cid:30)(cid:31)(cid:167)(cid:82)(cid:108)
2
𝑥
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:51)(cid:22)(cid:152)(cid:180)(cid:61)( ) 80+ ×10 =4000(cid:61)
2
𝑥
(cid:134)(cid:124)(cid:10)B(cid:108) 50−𝑥−30
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:59)8(cid:21)(cid:65)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:378)(cid:332)(cid:379)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + + =0( 0)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118)
2
=2024(cid:61)(cid:87)(cid:3)(cid:143) (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + + =𝑥0( 0)(cid:380)(cid:85)(cid:26)(cid:32)𝑎𝑥(cid:118)(cid:65)𝑏 𝑥 (cid:66)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 𝑦 B(cid:108) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:108) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:108) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)C −2024 −
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:64)(cid:179)(cid:47)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:61)(cid:381)(cid:143)(cid:107)(cid:145)(cid:209)(cid:145)(cid:22)(cid:23)(cid:108)
(cid:382)(cid:118) =2024(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:31) + + =0(cid:61)(cid:155)(cid:242)2024 + + =0(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:307)(cid:159)(cid:383)(cid:242)2024 (cid:167)(cid:82)(cid:133)(cid:35)(cid:155)(cid:37)
2 2 2
(cid:30)(cid:31)𝑥(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:198) =2024(cid:48)(cid:49)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + + =0(cid:61)(cid:180)2024 + + =0(cid:61)
2 2
(cid:70)(cid:71)(cid:383)(cid:242)2024 (cid:61) 𝑥 (cid:180) + 1 + 1 =0(cid:61) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
2024 2024
2
2
𝑎 𝑏 𝑐
1 + 1 + =0(cid:61)
2024 2024
2
∴ 𝑐 𝑏 𝑎1
(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + + =0( 0)(cid:34)(cid:26)(cid:32)(cid:61)
2024
2
(cid:134)∴(cid:124)(cid:10)C(cid:108) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 𝑎 𝑎𝑐≠
(cid:15)(cid:135)(cid:41)8-1(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:275)(cid:174)(cid:384)(cid:385)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)( + ) + =0(cid:65)h(cid:61)k(cid:62)(cid:118)(cid:209)(cid:43)(cid:66)(cid:34)(cid:47)
2
(cid:64) = (cid:61) =2(cid:61)(cid:87)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)( + ) + =0(cid:34)(cid:47)(cid:64) 𝑥 ℎ (cid:108)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:109)1(cid:110)(cid:21)−3=𝑥02(cid:386) =5 𝑥 ℎ−3 𝑘
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)𝑥(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)𝑥(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:47)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:198)(cid:30)(cid:31)( + ) + =0(cid:107)(cid:34) (cid:387)(cid:81)(cid:26)(cid:78)(cid:119)(cid:238)(cid:61)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:31)
2
( + ) + =0(cid:34)(cid:47)(cid:34)(cid:388)(cid:389)(cid:332)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:47)(cid:167)(cid:82)(cid:108) 𝑥 ℎ−3 𝑘 𝑥−3
2
(cid:15)𝑥(cid:111)(cid:47)ℎ (cid:21)(cid:47)𝑘(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)( + ) + =0(cid:65)h(cid:61)k(cid:62)(cid:118)(cid:209)(cid:43)(cid:66)(cid:34)(cid:47)(cid:64) = (cid:61) =2(cid:61)
2
(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:30)(cid:31)∵( + ) + 𝑥=0ℎ(cid:34)(cid:47)(cid:129)𝑘(cid:130) = (cid:386) =2(cid:61) 𝑥1 −3 𝑥2
2
∴(cid:47)(cid:180) =0(cid:386) =𝑥5(cid:61)ℎ−3 𝑘 𝑥−3 −3 𝑥−3
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑥 (cid:118)(cid:10) 𝑥=0(cid:386) =5(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)8-2(cid:21)𝑥(cid:65)24-2𝑥5(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:390)(cid:391)(cid:194)(cid:392)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + +2=0( 0)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118)
2
=2022(cid:61)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) ( +1) + + = (cid:380)(cid:85)(cid:32)(cid:118)(cid:65) (cid:66)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2023 B(cid:108)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:108)−20221 D(cid:108)2022
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)C
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:198) ( +1) + + = (cid:119)(cid:179)(cid:118) ( +1) + ( +1)+2=0(cid:61)(cid:167)(cid:82)(cid:125)(cid:126)(cid:47)(cid:109)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:47)(cid:21)(cid:47)𝑎(cid:10)𝑥(cid:198) ( +1𝑏)𝑥+𝑏 +−2= (cid:119)𝑎(cid:179)𝑥(cid:118) ( +1𝑏) 𝑥+ ( +1)+2=0(cid:61)
2 2
(cid:393) +1= (cid:61) 𝑎 𝑥 𝑏𝑥 𝑏 −2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
(cid:87)𝑥 + 𝐴+2=0(cid:61)
2
(cid:3)𝑎𝐴(cid:143)x(cid:34)𝑏𝐴(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + +2=0( 0)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118) =2022(cid:61)
2
∵ =2022(cid:61) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠ 𝑥
∴𝐴+1=2022(cid:61)(cid:47)(cid:180)(cid:10) =2021(cid:61)
(cid:134)∴𝑥(cid:124)(cid:10)C(cid:108) 𝑥
(cid:15)(cid:168)(cid:169)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:61)(cid:47)(cid:22)(cid:34)(cid:3)(cid:151)(cid:64)(cid:170)(cid:171)(cid:83)(cid:67)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:43)
(cid:34)(cid:38)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:41)8-3(cid:21)(cid:65)24-25(cid:160)(cid:97)(cid:98)(cid:88)·(cid:100)(cid:17)(cid:220)(cid:221)·(cid:103)(cid:107)(cid:66)(cid:86)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + +2= 0)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118)
2
=2025(cid:61)(cid:87)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) ( ) + +2= (cid:380)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118)(cid:65) (cid:66) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 B(cid:108)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:108)𝑏2026 D(cid:108)2027
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:21)C(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:144)(cid:22)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:47)(cid:10)(cid:83)(cid:67)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:43)(cid:34)(cid:38)(cid:64)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)
(cid:47)(cid:108)(cid:51)(cid:143)(cid:3)(cid:143)x(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) + +2=0(cid:65) 0(cid:66)(cid:85)(cid:26)(cid:32)(cid:118) =2025(cid:61)(cid:87)(cid:198)(cid:30)(cid:31) ( ) + ( )
2 2
+2=0(cid:387)(cid:219)(cid:3)(cid:143)( )(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:29)𝑥(cid:30)(cid:31)𝑏(cid:159)𝑥 (cid:85) =2𝑎0≠25(cid:61)(cid:47)(cid:180) =2𝑥026(cid:61)(cid:143)(cid:64)(cid:82)(cid:165)(cid:166)(cid:26)(cid:27)𝑎(cid:28)𝑥−(cid:29)1(cid:30)(cid:31)𝑏(𝑥−1)
2
+ ( )+2=0(cid:380)𝑥−(cid:85)1(cid:26)(cid:32)(cid:118) =2026(cid:108) 𝑥−1 𝑥 𝑎 𝑥−1
(cid:15)𝑏(cid:111)𝑥(cid:47)−(cid:21)1(cid:47)(cid:10) ( ) + +𝑥 2= (cid:61)
2
( ) + (∵𝑎 𝑥)−+12=𝑏0𝑥(cid:106) 𝑏
2
∴𝑎=𝑥−21025(cid:64)𝑏 𝑥−+1 +2= 0)(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
∵𝑥 =2025𝑎(cid:79)𝑥(cid:64)𝑏(𝑥 ) +0((𝑎≠ )+2=0(cid:34)(cid:26)(cid:78)(cid:32)(cid:61)
2
∴(cid:167)𝑥−=1 2025+1=𝑎20𝑥2−61(cid:61) 𝑏 𝑥−1
(cid:134)𝑥(cid:124)(cid:10)C(cid:108)
