文档文本内容
专题 21.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:19)................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:36)(cid:19)........................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:48)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)......................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:35)(cid:56)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................13
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:57)(cid:58)(cid:10) + =2(cid:59) +1(cid:59) + =0(cid:59) +8=0(cid:59) = (cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:63)1(cid:64) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:63)2(cid:64)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:63)3(cid:64)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
𝟐
（2)当c=0时，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
𝟐
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙,得 𝒃𝒙 =𝟎(𝒂≠𝟎).
𝟐
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:74)(cid:62)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:30).
2.(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:77)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:50)(cid:41)(cid:30).(cid:84) (cid:59) (cid:62)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0( 0)(cid:32)(cid:68)(cid:76)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:39)(cid:88)(cid:89)(cid:59)(cid:90)(cid:80)(cid:91)(cid:92)(cid:75)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:39)(cid:35)𝑥1(cid:45)(cid:72)𝑥2(cid:73)(cid:93)
2
(cid:41)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)·(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:104)(cid:76)(cid:28)(cid:29) x2﹣9=0(cid:105) (cid:63)2x+1(cid:64)(cid:63)2x﹣1(cid:64)=0(cid:105) x2=0(cid:105)
+1=1(cid:106)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:107)−2𝑥 B(cid:107) C(cid:107) D(cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)①D ② ③ ④
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41)(cid:62)2(cid:105)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:117)0(cid:105)(cid:62)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
(cid:119)(cid:83)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:107)(cid:49)(cid:75)(cid:104)(cid:76)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:104)(cid:76)(cid:123)(cid:116)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:59)(cid:128)(cid:129)(cid:75)(cid:104)(cid:76)(cid:120)(cid:121)(cid:130)(cid:117)(cid:131)(cid:132)(cid:108)(cid:109)(cid:107)
(cid:45)(cid:10) x2﹣9=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
(cid:63)①2x+1(cid:64)(cid:63)2x﹣1(cid:64)=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
②x2=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
③ +1=1(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
2
(cid:133)④(cid:123)𝑥D−(cid:107)2𝑥
(cid:15)(cid:134)(cid:39)1-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:104)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:106)(cid:59)(cid:24)(cid:33)(cid:62)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64)
A(cid:107) + 1 =0 B(cid:107) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:107) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)𝑥 C 𝑥−2 3𝑥−2𝑥𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:81)(cid:147)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:149)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:59)(cid:4)(cid:151)(cid:10)(cid:152)(cid:119)(cid:83)(cid:24)
(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:90)(cid:153)(cid:154)(cid:119)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:116)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41)(cid:62)2(cid:32)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)A(cid:107)(cid:112)(cid:44)(cid:106)(cid:119)(cid:83)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:155)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
B(cid:107) =0(cid:158)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:155)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
C(cid:107)(cid:62)𝑎 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:155)(cid:123)(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
D(cid:107)(cid:119)(cid:83)2(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:155)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)(cid:133)(cid:123)(cid:10)C(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)1-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:42)(cid:39)(cid:106)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64)
A(cid:107)2 +1=0 B(cid:107) =0 C(cid:107)2 =0 D(cid:107) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)𝑥B 𝑥−2𝑦−3 𝑥 𝑦 −3𝑦
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)A(cid:107)2 +1=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
2
B(cid:107) =0(cid:62)(cid:26)𝑥 (cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:123)(cid:116)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
C(cid:107)𝑥2−2𝑦=−03(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:105)
2
D(cid:107) 𝑥 +4=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:133)(cid:123)(cid:116)(cid:61)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:151)(cid:107)
2
(cid:133)(cid:123)𝑦(cid:10)−B3(cid:107)𝑦
(cid:15)(cid:167)(cid:168)(cid:19)(cid:149)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:152)(cid:119)(cid:83)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:153)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41)(cid:62)2(cid:32)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:147)(cid:140)(cid:169)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)1-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:83)(cid:63) (cid:64)
3 =0(cid:105) + + =0(cid:105) + 1 =0(cid:105) 2 = (cid:105) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:107) − 1 𝑥 (cid:76) ②𝑎𝑥 B(cid:107) 𝑏𝑥 2(cid:76) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:107)3(cid:76) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:107) )( 4 𝑥− (cid:76) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)B
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:81)(cid:147)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:149)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:59)(cid:4)(cid:151)(cid:10)(cid:152)(cid:119)(cid:83)(cid:24)
(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:90)(cid:153)(cid:154)(cid:119)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:116)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41)(cid:62)2(cid:32)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:80)
(cid:45)(cid:108)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) 3 =0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
2
+ +①=𝑥0(cid:59)−(cid:177)𝑥 = 0(cid:158)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
2
②𝑎𝑥
+
1𝑏
=
𝑥
0(cid:62)
𝑐
(cid:112)(cid:39)(cid:28)(cid:29)
𝑎
(cid:59)(cid:61)
0
(cid:62)
,𝑏
(cid:24)
≠
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
③3 2 𝑥 𝑥 = (cid:59)(cid:118)(cid:178)(cid:179)(cid:10) + =0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
2 2
④ 𝑥 −1 (𝑥−1)=(𝑥1−52) (cid:59)(cid:118)(cid:178)(cid:179)(cid:10)𝑥 3𝑥+−314=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)
2
⑤(cid:85)(cid:180)(5(cid:83)𝑥−22(cid:76))(3(cid:59)𝑥−7) 𝑥 −41𝑥
(cid:133)(cid:123)(cid:10)B(cid:107)
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:57)2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:173)(cid:181)(cid:182)(cid:183)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:184)(cid:73)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( +1) | | + +5=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
4𝑚−2
𝑚 𝑥 27𝑚𝑥(cid:29)(cid:59)(cid:85) = (cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)𝑚(cid:19)1
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:179)(cid:55) +1 0(cid:153)| | =2(cid:59)(cid:185)(cid:35)(cid:55)
(cid:108)(cid:109)(cid:166)(cid:80)(cid:107) 𝑚 ≠ 4𝑚 −2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( +1) | | + +5=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)
4𝑚−2
+1 0(cid:153)∵| | =2(cid:59) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
∴(cid:45)𝑚(cid:179)(cid:10) ≠=1(cid:59)4𝑚 −2
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)𝑚(cid:10)1(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)2-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:173)(cid:181)(cid:186)(cid:187)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:28)(cid:29) +5=0(cid:62)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:85) (cid:32)(cid:188)(cid:36)
2
(cid:189)(cid:190)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:107) 0 B(cid:107) >3 C(cid:107) =0 D(cid:107) 0
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)𝑎≠A 𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:191)(cid:192)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:59)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:62)(cid:147)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:152)(cid:119)(cid:83)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:59)(cid:90)(cid:153)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:41)(cid:117)2(cid:32)(cid:118)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:78)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:147)(cid:148)(cid:24)(cid:37)
(cid:38)(cid:39)(cid:117) + + =0( 0)(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)𝑎(cid:19)𝑥(cid:45)(cid:10)𝑏(cid:28)𝑥 (cid:29)𝑐 𝑎+≠5=0(cid:62)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)
2
0(cid:59) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥
∴(cid:133)𝑎(cid:123)≠(cid:10)A(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)2-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:99)(cid:193)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:84)(cid:28)(cid:29)( +1) =0(cid:62)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:85)
2
3𝑎 −1
= (cid:107) 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)1
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:49)(cid:20)(cid:151)(cid:179)3 =2(cid:153) +1 0(cid:59)(cid:45)(cid:194)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:59)(cid:169)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
2
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107) 𝑎 −1 𝑎 ≠
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:28)(cid:29)( +1) =0(cid:62)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)
2
3𝑎 −1
3 =2(cid:153)∵ +1 𝑎 0(cid:59)𝑥 𝑥
2
∴ 𝑎=−11(cid:59) 𝑎 ≠
∴(cid:133)𝑎(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)1(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)2-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:173)(cid:181)(cid:136)(cid:195)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)( ) + =0(cid:83)
2 2
(cid:24)(cid:76)(cid:45)(cid:62)0(cid:59)(cid:85) = 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
𝑚(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)−(cid:20)1 (cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:196)(cid:45)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:35)(cid:55)m(cid:32)(cid:36)(cid:62)(cid:3)(cid:150)(cid:59)(cid:4)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:61)(cid:117)0(cid:105)
(cid:197) =0(cid:46)(cid:47)(cid:198)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:179)(cid:3)(cid:142)m(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:166)(cid:80)(cid:179)(cid:45)(cid:59)(cid:4)(cid:151) 0.
(cid:15)𝑥(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)( ) + =0𝑚(cid:83)−(cid:24)1≠(cid:76)(cid:45)(cid:62)0(cid:59)
2 2
=0(cid:153)∵ 0(cid:59) 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
2
∴(cid:45)𝑚(cid:179)−(cid:10)1 = 𝑚(cid:105)−1≠
(cid:133)(cid:108)(cid:109)𝑚(cid:117)(cid:10)−1.
−1
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:57)3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:199)(cid:136)(cid:200)(cid:201)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:28)(cid:29)( +1)( )=5(cid:118)(cid:178)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:202)(cid:59)(cid:203)
(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:204)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:205)(cid:36)(cid:62) (cid:107) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19) 3
2
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19) − (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:117) + + =0( 0)(cid:59)(cid:206)(cid:106)a(cid:78)(cid:79)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:59)b(cid:78)(cid:79)(cid:24)(cid:27)(cid:116)
2
(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:108)(cid:166)(cid:80)(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39) + + =0( 0)(cid:207)(cid:206)(cid:70)(cid:3)(cid:191)(cid:192)(cid:59)(cid:147)(cid:140)(cid:169)(cid:170)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:49)( +1)( )=5(cid:59)𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:179)3 =03(cid:59)𝑥 𝑥−1
2
(cid:26)𝑥(cid:27)(cid:116)−2(cid:40)𝑥−(cid:41)6(cid:117)3(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)
∴ −23
(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:204)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:205)(cid:36)(cid:62) (cid:107)
2
−
3
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10) (cid:107)
2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)3-1(cid:19)−(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)3 +2=0(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:59)
2
(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:112)(cid:23)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:107) B(cid:107) C(cid:107) D(cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)3,−D5,−2 3,−5𝑥,2 3,5𝑥,−2 3,−5,2
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:191)(cid:192)(cid:59)(cid:178)(cid:45)(cid:90)(cid:169)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:191)(cid:192)(cid:207)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:62)(cid:3)
(cid:150)(cid:107)
(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:191)(cid:192)(cid:207)(cid:24)(cid:37)(cid:39)“ + + =0( 0)”(cid:164)(cid:33)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑎3𝑥 𝑏𝑥+2𝑐=0(cid:32)𝑎(cid:26)≠(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:112)(cid:23)(cid:117) (cid:59)
2
(cid:133)(cid:123)(cid:10)D (cid:107) 𝑥 𝑥 −5𝑥 3,−5,2(cid:15)(cid:134)(cid:39)3-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:209)(cid:163)(cid:209)(cid:210)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:28)(cid:29) + = +5(cid:211)(cid:117)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:202)(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:208)(cid:41)
2
(cid:116)(cid:112)(cid:23)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:107)1(cid:196)3 B(cid:107)1(cid:196) C(cid:107)3(cid:196) D(cid:107)3(cid:196)4
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)C −6 −6
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:59)(cid:30)(cid:31) + + =0( 0)(cid:124)(cid:125)(cid:164)(cid:33)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:59) + = +5(cid:212)(cid:116)(cid:118)(cid:178)𝑎𝑥(cid:179)(cid:59)𝑏𝑥 +𝑐 𝑎=≠0(cid:59)
2 2
(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:196)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:112)(cid:23)𝑥(cid:117)34𝑥(cid:196)−1 (cid:107)𝑥 𝑥 3𝑥−6
∴(cid:133)(cid:123)(cid:10)C (cid:107) −6
(cid:15)(cid:134)(cid:39)3-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:213)(cid:136)(cid:214)(cid:163)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:215)(cid:55)(cid:24)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117)1(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:117)
(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62) (cid:107)(cid:63)(cid:92)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:216)(cid:217)(cid:64) −3
−(cid:15)4(cid:108)(cid:109)(cid:19) =0
2
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)𝑥(cid:143)(cid:20)−3(cid:144)𝑥−(cid:145)4(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:10) + + =0( 0)(cid:59)(cid:206)(cid:106)
2
(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:117) (cid:59)(cid:124)(cid:125)(cid:218)(cid:108)(cid:166)(cid:80)(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)𝑎(cid:49)(cid:20)(cid:151)(cid:59)(cid:80)(cid:179)(cid:28)(cid:29)𝑏(cid:117)(cid:10) 𝑐 =0(cid:105)
2
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10) =0(cid:107) 𝑥 −3𝑥−4
2
𝑥 −3𝑥−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:57)4(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:219)(cid:220)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + = +12(cid:106)(cid:61)(cid:119)x(cid:32)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:59)
2
(cid:85)(cid:149)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:117) (cid:107) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19) =2, =
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)𝑥(cid:143)1(cid:20)(cid:144)(cid:145)𝑥2(cid:24)(cid:25)−(cid:26)2 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:45)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:178)(cid:45)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:221)(cid:143)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:3)(cid:150)(cid:107)(cid:30)
(cid:31)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:222)(cid:132)(cid:33)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:59)(cid:223)(cid:202)(cid:132)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:59)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + = +12(cid:106)(cid:61)(cid:119)x(cid:32)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:59)
2
(cid:166) +( ∵) =12(cid:61)(cid:119)x𝑚(cid:32)𝑥(cid:24)(cid:27)𝑚(cid:116)𝑥(cid:59)3𝑥
2
𝑚𝑥 =0𝑚(cid:59)−3 𝑥
∴𝑚−=33(cid:59)
∴(cid:198)𝑚(cid:28)(cid:29)(cid:117)3 =12(cid:59)
2
∴(cid:45)(cid:179)(cid:10) =𝑥2, = (cid:59)
(cid:133)(cid:108)(cid:109)𝑥(cid:117)1(cid:10) 𝑥=2 2, −2= (cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)4-1(cid:19)𝑥1(cid:63)24-2𝑥52(cid:159)(cid:95)−2(cid:96)(cid:86)·(cid:224)(cid:225)(cid:161)(cid:187)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)( ) + + =0(cid:32)(cid:208)
2 2
𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1(cid:41)(cid:116)(cid:117)0(cid:59)(cid:85)m(cid:32)(cid:36)(cid:117)(cid:63) (cid:64)
A(cid:107)1 B(cid:107) C(cid:107)2 D(cid:107)±1
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)B −1
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:62)(cid:131)(cid:132)(cid:226)(cid:227)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:117)0(cid:32)(cid:36)(cid:59)(cid:91)(cid:92)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
=0
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:49)(cid:20)(cid:151)(cid:179)(cid:10) (cid:59)
0
2
𝑚 −1
(cid:45)(cid:179) = (cid:59) 𝑚−1≠
(cid:133)(cid:123)𝑚(cid:10)B(cid:107)−1
(cid:15)(cid:134)(cid:39)4-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:199)(cid:136)(cid:228)(cid:210)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)3 + = (cid:211)(cid:88)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2
(cid:202)(cid:59)(cid:206)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117)1(cid:59)(cid:208)(cid:41)(cid:116)(cid:117) (cid:59)(cid:85)(cid:155)(cid:28)(cid:29)(cid:106)(cid:32)(cid:24)𝑥(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:117) 𝑥(cid:107) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)5 −2
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:59)(cid:222)(cid:197)(cid:198)(cid:28)(cid:29)(cid:124)(cid:125)(cid:211)(cid:229)(cid:118)(cid:178)(cid:59)(cid:230)(cid:231)(cid:80)(cid:179)( ) +(1+ )
2
=0(cid:59)(cid:223)(cid:202)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:80)(cid:179) =1(cid:59)(cid:230)(cid:231)(cid:80)(cid:179)(cid:10) =2(cid:59)(cid:185)(cid:197)a(cid:32)(cid:36)(cid:46)(cid:47)1+ (cid:106)(cid:59)3(cid:124)−(cid:125)𝑎 (cid:226)𝑥 (cid:227)(cid:166)(cid:80)(cid:45)2𝑎(cid:108)(cid:107)
𝑥(cid:15)−(cid:110)2(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)3 + = 3−𝑎 (cid:59) 𝑎 2𝑎
2
3 + = 𝑥 𝑥−(cid:59)2 𝑎𝑥(𝑥−2)
2 2
3𝑥 𝑥−2+ +𝑎𝑥 −2𝑎𝑥=0(cid:59)
2 2
(𝑥 −)𝑎𝑥 +𝑥(1+2𝑎𝑥)−2 =0(cid:59)
2
(cid:49)3−(cid:20)𝑎(cid:151)𝑥(cid:179)(cid:10) 2=𝑎1𝑥(cid:59)−2
(cid:45)(cid:179)(cid:10) =23(cid:59)−𝑎
(cid:155)(cid:28)(cid:29)𝑎(cid:106)(cid:32)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:40)(cid:41)=1+ =1+2×2=5(cid:59)
∴(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)5(cid:107) 2𝑎
(cid:15)(cid:134)(cid:39)4-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:104)(cid:135)(cid:160)(cid:25)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)2 ( +1) = ( +1)(cid:211)(cid:88)(cid:24)(cid:37)
2
(cid:38)(cid:39)(cid:202)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:117)1(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)(cid:85) (cid:32)(cid:36)(cid:117) (cid:107) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19) −1 𝑚
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)−(cid:143)1(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:59)(cid:222)(cid:197)(cid:28)(cid:29)(cid:211)(cid:88)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:59)(cid:185)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:45)(cid:108)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:59)(cid:169)(cid:170)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:39)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)2 ( +1) = ( +1)(cid:59)
2
2 ( +1) 𝑥 (− +𝑚1)=𝑥0(cid:59)𝑥 𝑥
2
2𝑥 −(𝑚+1)𝑥−𝑥 𝑥 =0(cid:59)
2 2
𝑥 − 𝑚 𝑥−𝑥 −𝑥( +2) =0(cid:59)
2
𝑥(cid:211)−(cid:88)𝑚(cid:24)(cid:37)(cid:38)𝑥(cid:39)(cid:202)(cid:26)(cid:27)(cid:116)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:117)1(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:116)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:117) (cid:59)
∵ ( +2)= (cid:59) −1
∴− =𝑚 (cid:59) −1
∴(cid:133)𝑚(cid:108)(cid:109)−(cid:117)1(cid:10) (cid:107)
−1
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:57)5(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:232)(cid:233)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:84) =4(cid:62)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29) =8(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:85) + (cid:32)
2
(cid:36)(cid:117) (cid:107) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)2021
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:62)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)
(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:59)(cid:197) =4(cid:46)(cid:47) =8(cid:179)(cid:236) =4(cid:59)(cid:185)(cid:118)(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:36)(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)𝑥(cid:10) =4(cid:62)𝑎𝑥(cid:3)(cid:142)−𝑏x𝑥(cid:32)(cid:28)(cid:29) 8𝑎−2𝑏=8(cid:32)(cid:45)(cid:59)
2
=8(cid:59)∵𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥
∴16𝑎−4𝑏=4(cid:59)
∴8𝑎−2𝑏 + = ( )= =2021(cid:59)
∴(cid:133)2(cid:108)02(cid:109)5−(cid:117)8(cid:10)𝑎 2022𝑏1(cid:107)2025− 8𝑎−2𝑏 2025−4
(cid:15)(cid:134)(cid:39)5-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:238)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:184)(cid:73)a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)( +4)( )
2
(cid:32)(cid:36)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
A(cid:107)1 B(cid:107)3 C(cid:107) D(cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)C −3 −5
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:241)(cid:207)(cid:184)(cid:73)(cid:39)(cid:242)(cid:32)(cid:36)(cid:35)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:32)(cid:36)(cid:59)(cid:30)(cid:31)a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0
2
(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:80)(cid:179)(cid:55) + =1(cid:59)(cid:185)(cid:211)(cid:229)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:59)(cid:118)(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:107) 𝑥 3𝑥−1
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) a(cid:62)𝑎(cid:28)(cid:29)3𝑎 + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
+ =1 ∵ 𝑥 3𝑥−1
2
∴𝑎( +34𝑎)( )= + = + = =
2 2
∴(cid:133)𝑎(cid:123)(cid:10)C(cid:107)𝑎−1 𝑎 4𝑎−𝑎−4 𝑎 3𝑎−4 1−4 −3
(cid:15)(cid:134)(cid:39)5-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:213)(cid:136)(cid:243)(cid:244)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)m(cid:62)(cid:28)(cid:29) =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85) + +19(cid:32)
2 2
(cid:36)(cid:117) (cid:107) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)17(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:169)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107)
(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:179) =0(cid:59)(cid:166) =1(cid:59)(cid:118)(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:166)(cid:80)(cid:35)(cid:45)(cid:107)
2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:62)(cid:28)(cid:29) 𝑚=−03(cid:32)𝑚(cid:24)−1(cid:76)(cid:30)(cid:59) 𝑚 −3𝑚
2
=∵𝑚0(cid:59)(cid:166) 𝑥 −3𝑥=−11(cid:59)
2 2
∴𝑚 −3𝑚+−1 +19 𝑚 −3𝑚
2
∴=−2𝑚( 6𝑚 )+19
2
=−2 𝑚+1−93=𝑚17(cid:107)
(cid:133)(cid:108)−(cid:109)2 (cid:117)(cid:10)17(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)5-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:199)(cid:136)(cid:245)(cid:246)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:184)(cid:73) (cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39)
2
+1) + + (cid:32)(cid:36)(cid:117) (cid:107) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
((cid:15)𝑚(cid:108)(cid:109)(cid:19)2 (𝑚 1)(𝑚−1)
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:247)(cid:207)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:30)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:28)(cid:196)(cid:7)(cid:39)(cid:248)(cid:251)(cid:28)(cid:252)(cid:7)(cid:39)(cid:71)(cid:73)(cid:22)(cid:59)(cid:222)(cid:49)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:179)(cid:236) + =1(cid:59)(cid:185)(cid:49)(cid:118)(cid:39)(cid:253)(cid:157)(cid:254)(cid:227)(cid:211)(cid:229)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:179)(cid:236)2( + )(cid:59)(cid:255) + =1(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:36)
2 2 2
(cid:166)(cid:80)(cid:179)(cid:236)(cid:108)(cid:109)(cid:59)(cid:147)(cid:140)(cid:169)𝑚(cid:170)(cid:118)(cid:39)𝑚(cid:211)(cid:229)(cid:35)(cid:36)(cid:62)(cid:45)(cid:256)(cid:52)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107) 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
+ ∵=0𝑚(cid:59)(cid:85) 𝑥+ =𝑥−11(cid:59)
2 2
∴ 𝑚 +𝑚1)−1+ + 𝑚 𝑚
2
=∴ (𝑚+ +1(𝑚+ 1)(𝑚−1)
2 2
=𝑚2 +2𝑚 𝑚 −1
2
=2𝑚( +2𝑚)
2
=2(cid:59)𝑚 𝑚
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)2(cid:107)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:57)6(cid:19)(cid:63)2025·(cid:257)(cid:258)·(cid:24)(cid:259)(cid:64)(cid:184)(cid:73)m(cid:117)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39) +2 +6(cid:32)(cid:36)(cid:117) (cid:107)
2 3 2
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)9 𝑥 𝑥−3 𝑚 𝑚 −2𝑚
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:207)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:45)(cid:20)(cid:3)(cid:150)(cid:62)(cid:254)(cid:92)(cid:118)(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:260)(cid:261)(cid:124)(cid:125)(cid:45)(cid:20)(cid:107)(cid:222)(cid:255)m(cid:46)(cid:47)
(cid:28)(cid:29)(cid:179) + =3(cid:59)(cid:185)(cid:255) + =3(cid:46)(cid:47) ( +2) ( )(cid:134)(cid:38)(cid:202)(cid:32)(cid:39)(cid:242)(cid:124)(cid:125)(cid:211)(cid:229)(cid:35)(cid:36)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
2 2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)𝑚(cid:19)(cid:45)(cid:10)𝑚(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:179)(cid:10)𝑚 𝑚+ =3(cid:59)𝑚 𝑚 −2 𝑚−3
2
+2 +6 𝑚 𝑚
3 2
∵ 𝑚 𝑚 −2𝑚= + + +6
3 2 2
=𝑚( 𝑚+ )𝑚+ −2𝑚 +6
2 2
=𝑚 𝑚+ 𝑚 𝑚+6−2𝑚
2
=3𝑚+ 𝑚+−62𝑚
2
=𝑚3+6𝑚
=9(cid:107)
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)9(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)6-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:160)(cid:99)(cid:262)(cid:173)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:58)(cid:263) (cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) = (cid:32)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39)
2 2
+2024(cid:32)(cid:36)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:107)2021 B(cid:107)2022 C(cid:107)2023 D(cid:107)2024
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)B
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:118)(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:264)(cid:35)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:32)(cid:36)(cid:59)(cid:265)(cid:132)(cid:147)(cid:140)(cid:266)(cid:124)(cid:125)(cid:226)(cid:227)(cid:62)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:107)(cid:30)
(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:151)(cid:34)(cid:80)(cid:179) = (cid:59)(cid:230)(cid:231)(cid:80)(cid:179) = (cid:59)(cid:223)(cid:202)(cid:46)(cid:47)(cid:39)(cid:242)(cid:106)(cid:124)(cid:125)(cid:226)(cid:227)(cid:59)(cid:166)(cid:80)(cid:45)(cid:108)(cid:107)
2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑎 =3𝑎−2(cid:32)(cid:30)(cid:59) 𝑎 −3𝑎 −2
2
= (cid:59)∵𝑎 𝑥 3𝑥−2
2
∴𝑎 3𝑎=−2 (cid:59)
2
∴𝑎 −3𝑎+2−0224= +2024=2022(cid:59)
2
(cid:133)∴𝑎(cid:123)−(cid:10)3𝑎B(cid:107) −2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)6-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:257)(cid:258)·(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:84)a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85) +2 +7(cid:32)(cid:36)(cid:117)
2 3 2
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)11 𝑥 𝑥−4 𝑎 𝑎 −3𝑎
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:46)(cid:41)(cid:39)(cid:35)(cid:36)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:197) = (cid:46)(cid:47)(cid:28)(cid:29)(cid:179)(cid:236)
+ =0(cid:59)(cid:223)(cid:202)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:39)(cid:32)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:179) + =4(cid:59)(cid:46)(cid:47)(cid:198)(cid:39)(cid:166)(cid:80)(cid:45)(cid:108)(cid:107) 𝑥 𝑎
2 2
𝑎(cid:15)(cid:110)(cid:45)𝑎−(cid:19)4(cid:45)(cid:10) a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)𝑎(cid:76)(cid:30)𝑎(cid:59)
2
+ =0∵(cid:59) 𝑥 𝑥−4
2
∴𝑎 +𝑎−=44(cid:59)
2
∴𝑎 +𝑎2 +7
3 2
=∴𝑎 ( 𝑎+−)3+𝑎 +7
2 2
=𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑎+7−3𝑎
2
=4𝑎+ 𝑎+−73𝑎
2
𝑎 𝑎=4+7
=11(cid:59)
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)11(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)6-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:97)(cid:270)(cid:271)(cid:272)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:184)(cid:73)a(cid:62)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:85) (cid:32)(cid:36)(cid:71)(cid:142) (cid:107)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
1
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)
21
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:62)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:41)
(cid:32)(cid:36)(cid:179)(cid:236) =0(cid:59)(cid:124)(cid:231)(cid:179)(cid:236) =11(cid:59) = (cid:59)(cid:185)(cid:197)(cid:154)(cid:35)(cid:39)(cid:242)(cid:273)(cid:211)(cid:117) (cid:59)(cid:31)(cid:149)(cid:118)
( ) ( )
𝑎
2 2 2 2 2
𝑎 −𝑎−11 𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
(cid:237)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:45)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) a(cid:62)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
=∵0(cid:59) 𝑥 −𝑥−11
2
∴𝑎 −𝑎−=1111(cid:59) = (cid:59)
2 2
∴𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎
2 2 11
𝑎 −11
3 2
∴ 𝑎 −3𝑎 +
=
(2 ) ( )
𝑎
3 2 2
= 𝑎 −2𝑎 − 𝑎 −11
( ) ( )
𝑎
2 2
= 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
𝑎
=212(cid:59)𝑎−𝑎
21
1
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10) (cid:107)
21
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)7(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:274)(cid:173)(cid:275)(cid:163)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:276)(cid:7)(cid:277)(cid:278)(cid:95)(cid:24)(cid:279)(cid:32)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:117)200(cid:282)(cid:25)(cid:59)(cid:283)(cid:226)(cid:284)(cid:285)(cid:24)(cid:286)(cid:287)(cid:32)(cid:288)(cid:193)(cid:280)
(cid:281)(cid:235)(cid:289)(cid:236)950(cid:282)(cid:25)(cid:59)(cid:35)(cid:155)(cid:7)(cid:277)(cid:26)(cid:248)(cid:290)(cid:68)(cid:76)(cid:279)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:279)(cid:251)(cid:60)(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:107)(cid:293)(cid:155)(cid:7)(cid:277)(cid:26)(cid:248)(cid:290)(cid:68)(cid:76)(cid:279)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:279)(cid:251)(cid:60)
(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:117) (cid:59)(cid:85)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:80)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:63) (cid:64)
𝑥
A(cid:107)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:107)200 1(cid:294) =950
2
2
C(cid:107)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:107)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)A 𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:50)(cid:51)(cid:295)(cid:92)(cid:59)(cid:293)(cid:155)(cid:7)(cid:277)(cid:26)(cid:248)(cid:290)(cid:68)(cid:76)(cid:279)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:279)(cid:251)(cid:60)(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:117) (cid:59)(cid:85)(cid:26)(cid:279)
(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:32)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:117)200(1+ )(cid:282)(cid:25)(cid:59)(cid:290)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:32)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:117)200(1+ ) (cid:282)(cid:25)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:285)(cid:24)(cid:286)(cid:287)(cid:32)(cid:288)𝑥(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:297)
2
(cid:298)(cid:24)(cid:279)(cid:248)(cid:26)(cid:279)(cid:248)(cid:290)(cid:279)(cid:32)(cid:193)(cid:280)𝑥(cid:281)(cid:288)(cid:196)(cid:59)(cid:80)(cid:87)(cid:28)(cid:29)200 1+(1+ )+(1+𝑥 ) =950(cid:107)
2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:293)(cid:155)(cid:7)(cid:277)(cid:26)(cid:248)(cid:290)(cid:68)(cid:76)(cid:279)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:32)(cid:279)(cid:251)(cid:60)(cid:291)(cid:243)(cid:292)𝑥(cid:117) (cid:59) 𝑥
(cid:85)(cid:26)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:32)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:117)200(1+ )(cid:282)(cid:25)(cid:59) 𝑥
(cid:290)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:32)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:117)200(1+ )𝑥(cid:282)(cid:25)(cid:59)
2
(cid:285)(cid:24)(cid:286)(cid:287)(cid:32)(cid:288)(cid:193)(cid:280)(cid:281)(cid:235)(cid:289)(cid:236)95𝑥0(cid:282)(cid:25)(cid:59)
∵200+200(1+ )+200(1+ ) =950(cid:59)
2
(cid:166)∴200 1+(1+ )𝑥+(1+ ) =𝑥950(cid:107)
2
(cid:133)(cid:123)(cid:10)A(cid:107) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:134)(cid:39)7-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:97)(cid:270)(cid:299)(cid:300)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:97)(cid:59)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:11)(cid:307)(cid:206)(cid:308)(cid:306)(cid:11)(cid:309)(cid:310)1(cid:121)(cid:311)(cid:312)(cid:59)(cid:313)(cid:263)(cid:180)(cid:83)(cid:314)
(cid:309)(cid:311)(cid:312)870(cid:121)(cid:59)(cid:35)(cid:93)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:32)(cid:306)(cid:11)(cid:16)(cid:41)(cid:59)(cid:293)(cid:93)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:32)(cid:306)(cid:11)(cid:83)x(cid:16)(cid:59)(cid:316)(cid:317)(cid:80)(cid:87)(cid:55)(cid:28)(cid:29) (cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19) ( )=870
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)𝑥 (cid:20)𝑥−(cid:144)1(cid:145)(cid:146)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:293)(cid:93)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:32)(cid:306)(cid:11)(cid:83)x(cid:16)(cid:59)(cid:85)(cid:304)(cid:16)(cid:310)(cid:55)( )(cid:121)(cid:311)
(cid:312)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:180)(cid:310)(cid:311)(cid:312)870(cid:121)(cid:80)(cid:87)(cid:55)(cid:28)(cid:29)(cid:107) 𝑥−1
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:293)(cid:93)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:32)(cid:306)(cid:11)(cid:83)x(cid:16)(cid:59)(cid:85)(cid:304)(cid:16)(cid:310)(cid:55)( )(cid:121)(cid:311)(cid:312)(cid:59)
(cid:49)(cid:20)(cid:151)(cid:179)(cid:59) ( )=870(cid:107) 𝑥−1
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)𝑥x(𝑥−1)=870(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)7-2(cid:19)(cid:63)x−241-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:209)(cid:163)(cid:209)(cid:210)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:58)(cid:318)(cid:59)(cid:117)(cid:319)(cid:211)(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:59)(cid:276)(cid:320)(cid:226)(cid:284)(cid:324)(cid:24)(cid:325)(cid:243)(cid:117)60m(cid:59)(cid:326)(cid:117)
40m(cid:32)(cid:327)(cid:38)(cid:328)(cid:266)(cid:97)(cid:59)(cid:329)(cid:330)(cid:24)(cid:76)(cid:327)(cid:38)(cid:331)(cid:332)(cid:59)(cid:90)(cid:255)(cid:331)(cid:332)(cid:104)(cid:333)(cid:334)(cid:86)(cid:32)(cid:328)(cid:266)(cid:330)(cid:88)(cid:306)(cid:335)(cid:326)(cid:32)(cid:195)(cid:336)(cid:107)(cid:84)(cid:195)(cid:336)(cid:154)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:62)
3
(cid:118)(cid:76)(cid:327)(cid:38)(cid:328)(cid:266)(cid:338)(cid:339)(cid:32) (cid:59)(cid:85)(cid:149)(cid:158)(cid:195)(cid:336)(cid:32)(cid:326)(cid:117) (cid:107)
8
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)5m
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:295)(cid:92)(cid:59)
(cid:222)(cid:293)(cid:195)(cid:336)(cid:32)(cid:326)(cid:117) m(cid:59)(cid:185)(cid:30)(cid:31)(cid:331)(cid:332)(cid:338)(cid:339)(cid:154)(cid:337)(cid:118)(cid:76)(cid:327)(cid:38)(cid:328)(cid:266)(cid:338)(cid:339)(cid:32) 3 )(cid:87)(cid:55)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:35)(cid:55)(cid:45)(cid:166)(cid:80).
8
𝑥 (1−
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:293)(cid:195)(cid:336)(cid:32)(cid:326)(cid:117) m(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:151)(cid:59)(cid:179)
𝑥=60×40× 3 )(cid:59)
8
(60−2𝑥)(40−2𝑥) (1−
(cid:45)(cid:179) =5, =45(cid:63)(cid:340)(cid:341)(cid:64)(cid:59)
(cid:154)(cid:241)𝑥(cid:195)1(cid:336)(cid:32)(cid:326)𝑥2(cid:117)5m.
(cid:133)(cid:108)(cid:109)(cid:117)(cid:10)5m.
(cid:15)(cid:134)(cid:39)7-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:257)(cid:258)(cid:224)(cid:342)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:343)(cid:344)(cid:32)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:101)(cid:241)(cid:304)(cid:76)30(cid:349)(cid:350)(cid:32)(cid:124)(cid:351)(cid:352)(cid:47)(cid:24)(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)
(cid:358)(cid:59)(cid:90)(cid:241)(cid:304)(cid:76)50(cid:349)(cid:350)(cid:359)(cid:55)(cid:59)(cid:304)(cid:360)(cid:80)(cid:359)(cid:55)80(cid:76)(cid:107)(cid:31)(cid:361)(cid:145)(cid:362)(cid:363)(cid:59)(cid:304)(cid:76)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:32)(cid:359)(cid:351)(cid:304)(cid:48)(cid:364)2(cid:349)(cid:350)(cid:59)(cid:304)(cid:360)
(cid:80)(cid:365)(cid:359)(cid:55)10(cid:76)(cid:59)(cid:84)(cid:343)(cid:344)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:360)(cid:369)(cid:91)(cid:289)4000(cid:349)(cid:350)(cid:59)(cid:85)(cid:370)(cid:255)(cid:359)(cid:351)(cid:48)(cid:364)(cid:365)(cid:371)(cid:349)(cid:350)(cid:372)(cid:84)(cid:293)(cid:48)(cid:351) (cid:349)(cid:350)(cid:59)(cid:85)(cid:87)(cid:55)(cid:28)
(cid:29)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑥
A(cid:107)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:107)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:107)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:107)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)5B0−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:50)(cid:51)(cid:295)(cid:92)(cid:59)(cid:293)(cid:48)(cid:351) (cid:349)(cid:350)(cid:59)(cid:85)(cid:304)(cid:76)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:32)(cid:91)(cid:373)(cid:117)( )
𝑥 50−𝑥−30
(cid:25)(cid:59)(cid:374)(cid:359)(cid:375)(cid:117) 80+ ×10 (cid:76)(cid:59)(cid:185)(cid:30)(cid:31)(cid:288)(cid:91)(cid:373)(cid:117)4000(cid:349)(cid:350)(cid:87)(cid:55)(cid:28)(cid:29)(cid:166)(cid:80)(cid:107)
2
𝑥
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:49)(cid:20)(cid:151)(cid:179)(cid:59)( ) 80+ ×10 =4000(cid:59)
2
𝑥
(cid:133)(cid:123)(cid:10)B(cid:107) 50−𝑥−30
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:57)8(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:376)(cid:330)(cid:377)(cid:163)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0( 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117)
2
=2024(cid:59)(cid:85)(cid:3)(cid:142) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =𝑥0( 0)(cid:378)(cid:83)(cid:24)(cid:30)𝑎𝑥(cid:117)(cid:63)𝑏 𝑥 (cid:64)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:107)2024 𝑦 B(cid:107) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:107) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:107) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)C −2024 −
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:62)(cid:178)(cid:45)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:59)(cid:379)(cid:142)(cid:106)(cid:144)(cid:208)(cid:144)(cid:20)(cid:21)(cid:107)
(cid:380)(cid:117) =2024(cid:128)(cid:129)(cid:28)(cid:29) + + =0(cid:59)(cid:154)(cid:241)2024 + + =0(cid:59)(cid:68)(cid:69)(cid:306)(cid:158)(cid:381)(cid:241)2024 (cid:166)(cid:80)(cid:132)(cid:33)(cid:154)(cid:35)
2 2 2
(cid:28)(cid:29)𝑥(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:197) =2024(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0(cid:59)(cid:179)2024 + + =0(cid:59)
2 2
(cid:68)(cid:69)(cid:381)(cid:241)2024 (cid:59) 𝑥 (cid:179) + 1 + 1 =0(cid:59) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
2024 2024
2
2
𝑎 𝑏 𝑐
1 + 1 + =0(cid:59)
2024 2024
2
∴ 𝑐 𝑏 𝑎1
(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0( 0)(cid:32)(cid:24)(cid:30)(cid:59)
2024
2
(cid:133)∴(cid:123)(cid:10)C(cid:107) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 𝑎 𝑎𝑐≠
(cid:15)(cid:134)(cid:39)8-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:274)(cid:173)(cid:382)(cid:383)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( + ) + =0(cid:63)h(cid:59)k(cid:60)(cid:117)(cid:208)(cid:41)(cid:64)(cid:32)(cid:45)
2
(cid:62) = (cid:59) =2(cid:59)(cid:85)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( + ) + =0(cid:32)(cid:45)(cid:62) 𝑥 ℎ (cid:107)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:108)1(cid:109)(cid:19)−3=𝑥02(cid:384) =5 𝑥 ℎ−3 𝑘
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)𝑥(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)𝑥(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:197)(cid:28)(cid:29)( + ) + =0(cid:106)(cid:32) (cid:385)(cid:79)(cid:24)(cid:76)(cid:118)(cid:237)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:29)
2
( + ) + =0(cid:32)(cid:45)(cid:32)(cid:386)(cid:387)(cid:330)(cid:89)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:45)(cid:166)(cid:80)(cid:107) 𝑥 ℎ−3 𝑘 𝑥−3
2
(cid:15)𝑥(cid:110)(cid:45)ℎ (cid:19)(cid:45)𝑘(cid:10) (cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( + ) + =0(cid:63)h(cid:59)k(cid:60)(cid:117)(cid:208)(cid:41)(cid:64)(cid:32)(cid:45)(cid:62) = (cid:59) =2(cid:59)
2
(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)∵( + ) + 𝑥=0ℎ(cid:32)(cid:45)(cid:128)𝑘(cid:129) = (cid:384) =2(cid:59) 𝑥1 −3 𝑥2
2
∴(cid:45)(cid:179) =0(cid:384) =𝑥5(cid:59)ℎ−3 𝑘 𝑥−3 −3 𝑥−3
(cid:133)(cid:108)(cid:109)𝑥 (cid:117)(cid:10) 𝑥=0(cid:384) =5(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)8-2(cid:19)𝑥(cid:63)24-2𝑥5(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:388)(cid:389)(cid:193)(cid:390)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2=0( 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117)
2
=2022(cid:59)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ( +1) + + = (cid:378)(cid:83)(cid:30)(cid:117)(cid:63) (cid:64)(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:107)2023 B(cid:107)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:107)−20221 D(cid:107)2022
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)C
(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:197) ( +1) + + = (cid:118)(cid:178)(cid:117) ( +1) + ( +1)+2=0(cid:59)(cid:166)(cid:80)(cid:124)(cid:125)(cid:45)(cid:108)(cid:107)
2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:45)(cid:19)(cid:45)𝑎(cid:10)𝑥(cid:197) ( +1𝑏)𝑥+𝑏 +−2= (cid:118)𝑎(cid:178)𝑥(cid:117) ( +1𝑏) 𝑥+ ( +1)+2=0(cid:59)
2 2
(cid:391) +1= (cid:59) 𝑎 𝑥 𝑏𝑥 𝑏 −2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
(cid:85)𝑥 + 𝐴+2=0(cid:59)
2
(cid:3)𝑎𝐴(cid:142)x(cid:32)𝑏𝐴(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2=0( 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117) =2022(cid:59)
2
∵ =2022(cid:59) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠ 𝑥
∴𝐴+1=2022(cid:59)(cid:45)(cid:179)(cid:10) =2021(cid:59)
(cid:133)∴𝑥(cid:123)(cid:10)C(cid:107) 𝑥
(cid:15)(cid:167)(cid:168)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:234)(cid:235)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:45)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:150)(cid:62)(cid:169)(cid:170)(cid:81)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:41)
(cid:32)(cid:36)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:107)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)8-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:159)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:219)(cid:220)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2= 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117)
2
=2025(cid:59)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ( ) + +2= (cid:378)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117)(cid:63) (cid:64) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:107)2024 B(cid:107)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:107)𝑏2026 D(cid:107)2027
(cid:15)(cid:108)(cid:109)(cid:19)C(cid:15)(cid:112)(cid:113)(cid:19)(cid:143)(cid:20)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:10)(cid:81)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)
(cid:45)(cid:107)(cid:49)(cid:142)(cid:3)(cid:142)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2=0(cid:63) 0(cid:64)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:117) =2025(cid:59)(cid:85)(cid:197)(cid:28)(cid:29) ( ) + ( )
2 2
+2=0(cid:385)(cid:218)(cid:3)(cid:142)( )(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑎(cid:27)𝑥(cid:28)(cid:29)𝑏(cid:158)𝑥 (cid:83) =2𝑎0≠25(cid:59)(cid:45)(cid:179) =2𝑥026(cid:59)(cid:142)(cid:62)(cid:80)(cid:164)(cid:165)(cid:24)(cid:25)𝑎(cid:26)𝑥−(cid:27)1(cid:28)(cid:29)𝑏(𝑥−1)
2
+ ( )+2=0(cid:378)𝑥−(cid:83)1(cid:24)(cid:30)(cid:117) =2026(cid:107) 𝑥−1 𝑥 𝑎 𝑥−1
(cid:15)𝑏(cid:110)𝑥(cid:45)−(cid:19)1(cid:45)(cid:10) ( ) + +𝑥 2= (cid:59)
2
( ) + (∵𝑎 𝑥)−+12=𝑏0𝑥(cid:105) 𝑏
2
∴𝑎=𝑥−21025(cid:62)𝑏 𝑥−+1 +2= 0)(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
∵𝑥 =2025𝑎(cid:77)𝑥(cid:62)𝑏(𝑥 ) +0((𝑎≠ )+2=0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
∴(cid:166)𝑥−=1 2025+1=𝑎20𝑥2−61(cid:59) 𝑏 𝑥−1
(cid:133)𝑥(cid:123)(cid:10)C(cid:107)
