文档文本内容
专题 21.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:22)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:22)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:38)(cid:43)(cid:44)(cid:22)................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:39)(cid:38)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:39)(cid:22)........................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:38)(cid:39)(cid:22)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:51)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:22)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:23)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:22)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:38)(cid:59)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:22)............................................................................................5
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:60)(cid:61)(cid:10) + =2(cid:62) +1(cid:62) + =0(cid:62) +8=0(cid:62) = (cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:66)1(cid:67) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:66)2(cid:67)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:66)3(cid:67)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
教
辅
资 𝟐
（2)当c= 源 0时，，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
关
注
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙, 𝟐 得 𝒃𝒙 公 =𝟎 众 (𝒂≠号𝟎).
★
全
科
𝟐 A
A
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎 +知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:35)(cid:75)(cid:76)(cid:44)(cid:35)(cid:39)(cid:77)(cid:65)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:62)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:33).
2.(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:62)(cid:83)(cid:84)(cid:86)(cid:71)(cid:79)(cid:73)(cid:74)(cid:35)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:62)(cid:80)(cid:83)(cid:84)(cid:86)(cid:71)(cid:79)(cid:64)(cid:73)(cid:74)(cid:35)(cid:53)(cid:44)(cid:33).(cid:87) (cid:62) (cid:65)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + + =0( 0)(cid:35)(cid:71)(cid:79)(cid:53)(cid:44)(cid:33)(cid:62)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:71)(cid:79)(cid:74)(cid:42)(cid:91)(cid:92)(cid:62)(cid:93)(cid:83)(cid:94)(cid:95)(cid:78)(cid:71)(cid:79)(cid:74)(cid:42)(cid:38)𝑥1(cid:48)(cid:75)𝑥2(cid:76)(cid:96)
2
(cid:44)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:60)1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:105)(cid:106)(cid:67)(cid:89)(cid:90)(cid:20)(cid:79)(cid:31)(cid:32) x2﹣9=0(cid:107) (cid:66)2x+1(cid:67)(cid:66)2x﹣1(cid:67)=0(cid:107) x2=0(cid:107)
+1=1(cid:108)(cid:62)(cid:64)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:65)(cid:66) (cid:67) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:109)−2𝑥 B(cid:109) C(cid:109) D(cid:109)
(cid:15)(cid:110)(cid:42)①1-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)②(cid:100)·(cid:20)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)③(cid:67)(cid:89)(cid:90)(cid:31)(cid:32)(cid:108)(cid:62)(cid:27)(cid:36)(cid:65)④(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:65)(cid:66) (cid:67)
A(cid:109) + 1 =0 B(cid:109) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:109) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:109) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:42)𝑥1-2(cid:22)𝑥(cid:66)−224-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:89)3(cid:90)𝑥−(cid:45)2(cid:42)𝑥𝑦(cid:108)(cid:62)𝑦(cid:64)(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:65)(cid:66) (cid:67)
A(cid:109)2 +1=0 B(cid:109) =0 C(cid:109)2 =0 D(cid:109) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:42)1𝑥-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)𝑥−(cid:89)2·𝑦(cid:124)−(cid:125)3(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)𝑥 (cid:117)(cid:67)(cid:89)(cid:90)(cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:27)(cid:28)𝑦(cid:29)−(cid:30)3𝑦(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:86)(cid:66) (cid:67)
3 =0(cid:107) + + =0(cid:107) + 1 =0(cid:107) 2 = (cid:107) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:109) − 1 𝑥 (cid:79) ②𝑎𝑥 B(cid:109) 𝑏𝑥 2(cid:79) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:109)3(cid:79) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:109) )( 4 𝑥− (cid:79) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:60)2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:126)(cid:130)(cid:131)(cid:132)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:133)(cid:76)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:31)(cid:32)( +1) | | + +5=0(cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
4𝑚−2
(cid:32)(cid:62)(cid:88) = (cid:109) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
(cid:15)(cid:110)(cid:42)𝑚2-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:126)(cid:130)(cid:134)(cid:135)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)(cid:31)(cid:32) +5=0(cid:65)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:88) (cid:35)(cid:136)(cid:39)
2
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:109) 0 B(cid:109) >3 C(cid:109) =0 D(cid:109) 0
教
(cid:15)(cid:110)辅(cid:42)𝑎2资-≠2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)𝑎(cid:89)·(cid:101)(cid:102)(cid:102)(cid:140)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)𝑎(cid:67)(cid:87)(cid:31)(cid:32)( +1) 𝑎=≥0(cid:65)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:88)
源
， 2
关 3𝑎 −1
注
= (cid:109) 公 𝑎 𝑥 𝑥
众
号
★
全
𝑎(cid:15)(cid:110)(cid:42)2-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:126)(cid:130)(cid:112)(cid:141)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)科(cid:67)(cid:87) A (cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)( ) + =0(cid:86)
A
+
2 2
𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1(cid:27)(cid:79)(cid:48)(cid:65)0(cid:62)(cid:88) =
𝑚
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:60)3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:31)(cid:32)( +1)( )=5(cid:145)(cid:146)(cid:91)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:147)(cid:62)(cid:148)
(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:150)(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:35)(cid:151)(cid:39)(cid:65) (cid:109) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:110)(cid:42)3-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)3 +2=0(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:62)
2
(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:152)(cid:153)(cid:44)(cid:149)(cid:154)(cid:26)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:109) B(cid:109) C(cid:109) D(cid:109)
(cid:15)(cid:110)(cid:42)33,-−2(cid:22)5,−(cid:66)224-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)3(cid:100),−5·(cid:155)𝑥,2(cid:123)(cid:155)(cid:156)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:31)3(cid:32),5𝑥,−+2 = +5(cid:157)3(cid:139),−(cid:27)5,(cid:40)2 (cid:41)(cid:42)(cid:147)(cid:62)(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:152)(cid:153)(cid:44)
2
(cid:149)(cid:154)(cid:26)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:109)1(cid:152)3 B(cid:109)1(cid:152) C(cid:109)3(cid:152) D(cid:109)3(cid:152)4
(cid:15)(cid:110)(cid:42)3-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·−(cid:158)6(cid:112)(cid:159)(cid:123)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:160)−(cid:58)6(cid:27)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:139)1(cid:62)(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:139) (cid:62)(cid:153)(cid:44)(cid:149)(cid:139)
(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:65) (cid:109)(cid:66)(cid:95)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:161)(cid:162)(cid:67) −3
−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:60)4(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:101)(cid:102)(cid:163)(cid:164)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + = +12(cid:108)(cid:64)(cid:165)x(cid:35)(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:62)
2
(cid:88)(cid:166)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:48)(cid:139) (cid:109) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:110)(cid:42)4-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:167)(cid:168)(cid:121)(cid:135)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)( ) + + =0(cid:35)(cid:153)
2 2
(cid:44)(cid:149)(cid:139)0(cid:62)(cid:88)m(cid:35)(cid:39)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1
A(cid:109)1 B(cid:109) C(cid:109)2 D(cid:109)±1
(cid:15)(cid:110)(cid:42)4-2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)−(cid:100)1·(cid:142)(cid:112)(cid:169)(cid:156)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)3 + = (cid:157)(cid:91)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
2
(cid:147)(cid:62)(cid:170)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:139)1(cid:62)(cid:153)(cid:44)(cid:149)(cid:139) (cid:62)(cid:88)(cid:171)(cid:31)(cid:32)(cid:108)(cid:35)(cid:27)𝑥 (cid:30)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:139) 𝑥(cid:109) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:110)(cid:42)4-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:20)(cid:111)−2(cid:120)(cid:28)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)(cid:3)(cid:118)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)2 ( +1) = ( +1)(cid:157)(cid:91)(cid:27)(cid:40)
2
(cid:41)(cid:42)(cid:147)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:139)1(cid:62)(cid:27)(cid:30)(cid:149)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:139) (cid:62)(cid:88) (cid:35)(cid:39)(cid:139) (cid:109) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
−1 𝑚
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:60)5(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:172)(cid:173)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:87) =4(cid:65)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:31)(cid:32) =8(cid:35)(cid:48)(cid:62)(cid:88) + (cid:35)
2
(cid:39)(cid:139) (cid:109) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
教
(cid:15)(cid:110)辅(cid:42)5资-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:174)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:133)(cid:76)a(cid:65)(cid:31)(cid:32) + =0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)(cid:88)( +4)( )
源
，
关 2
注
(cid:35)(cid:39)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 公 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
众
号
★
全
A(cid:109)1 B(cid:109)3 C(cid:109)科
A
D(cid:109)
A
+
−3 −5(cid:15)(cid:110)(cid:42)5-2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:158)(cid:112)(cid:177)(cid:178)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)m(cid:65)(cid:31)(cid:32) =0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)(cid:88) + +19(cid:35)
2 2
(cid:39)(cid:139) (cid:109) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:110)(cid:42)5-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:142)(cid:112)(cid:179)(cid:180)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:133)(cid:76) (cid:65)(cid:31)(cid:32) + =0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)(cid:88)(cid:49)(cid:44)(cid:42)
2
+1) + + (cid:35)(cid:39)(cid:139) (cid:109) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
(𝑚 (𝑚 1)(𝑚−1)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:60)6(cid:22)(cid:66)2025·(cid:181)(cid:182)·(cid:27)(cid:183)(cid:67)(cid:133)(cid:76)m(cid:139)(cid:31)(cid:32) + =0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)(cid:88)(cid:49)(cid:44)(cid:42) +2 +6(cid:35)(cid:39)(cid:139) (cid:109)
2 3 2
(cid:15)(cid:110)(cid:42)6-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:120)(cid:102)(cid:184)(cid:126)·(cid:114)𝑥(cid:115)(cid:116)𝑥−(cid:117)3(cid:67)(cid:61)(cid:185) (cid:65)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑚= 𝑚 −(cid:35)2(cid:33)𝑚(cid:62)(cid:88)(cid:49)(cid:44)(cid:42)
2 2
+2024(cid:35)(cid:39)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:109)2021 B(cid:109)2022 C(cid:109)2023 D(cid:109)2024
(cid:15)(cid:110)(cid:42)6-2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:181)(cid:182)·(cid:105)(cid:106)(cid:67)(cid:87)a(cid:65)(cid:31)(cid:32) + =0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)(cid:88) +2 +7(cid:35)(cid:39)(cid:139)
2 3 2
(cid:15)(cid:110)(cid:42)6-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:100)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:133)(cid:76)𝑥a(cid:65)𝑥(cid:3)−4(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑎 𝑎 −3𝑎=0(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:33)(cid:62)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:88) (cid:35)(cid:39)(cid:74)(cid:118) (cid:109)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:60)7(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:189)(cid:126)(cid:190)(cid:123)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:191)(cid:7)(cid:192)(cid:193)(cid:98)(cid:27)(cid:194)(cid:35)(cid:140)(cid:195)(cid:196)(cid:139)200(cid:197)(cid:28)(cid:62)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:27)(cid:202)(cid:203)(cid:35)(cid:204)(cid:140)(cid:195)
(cid:196)(cid:205)(cid:206)(cid:207)950(cid:197)(cid:28)(cid:62)(cid:38)(cid:171)(cid:7)(cid:192)(cid:29)(cid:208)(cid:209)(cid:71)(cid:79)(cid:194)(cid:140)(cid:195)(cid:196)(cid:35)(cid:194)(cid:210)(cid:63)(cid:211)(cid:177)(cid:212)(cid:109)(cid:213)(cid:171)(cid:7)(cid:192)(cid:29)(cid:208)(cid:209)(cid:71)(cid:79)(cid:194)(cid:140)(cid:195)(cid:196)(cid:35)(cid:194)(cid:210)(cid:63)
(cid:211)(cid:177)(cid:212)(cid:139) (cid:62)(cid:88)(cid:33)(cid:34)(cid:23)(cid:214)(cid:83)(cid:90)(cid:31)(cid:32)(cid:139)(cid:66) (cid:67)
𝑥
A(cid:109)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:109)200 1(cid:215) =950
2
2
C(cid:109)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:109)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:110)(cid:42)7-1(cid:22)(cid:66)24-𝑥25(cid:119)(cid:98)(cid:99)𝑥(cid:89)·(cid:100)(cid:186)(cid:216)(cid:217)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:100)(cid:62)𝑥(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:11)(cid:224)(cid:170)(cid:225)(cid:223)(cid:11)(cid:226)(cid:227)1(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:62)(cid:231)(cid:185)(cid:232)(cid:86)(cid:233)
(cid:226)(cid:229)(cid:230)870(cid:228)(cid:62)(cid:38)(cid:96)(cid:234)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:35)(cid:223)(cid:11)(cid:235)(cid:44)(cid:62)(cid:213)(cid:96)(cid:234)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:35)(cid:223)(cid:11)(cid:86)x(cid:235)(cid:62)(cid:236)(cid:237)(cid:83)(cid:90)(cid:58)(cid:31)(cid:32) (cid:109)
(cid:15)(cid:110)(cid:42)7-2(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:155)(cid:123)(cid:155)(cid:156)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:61)(cid:238)(cid:62)(cid:139)(cid:239)(cid:157)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:62)(cid:191)(cid:240)(cid:199)(cid:200)(cid:244)(cid:27)(cid:245)(cid:177)(cid:139)60m(cid:62)(cid:246)(cid:139)
40m(cid:35)(cid:247)(cid:41)(cid:248)(cid:249)(cid:100)(cid:62)(cid:250)(cid:251)(cid:27)(cid:79)(cid:247)(cid:41)(cid:252)(cid:253)(cid:62)(cid:93)(cid:254)(cid:252)(cid:253)(cid:20)(cid:255)(cid:256)(cid:89)(cid:35)(cid:248)(cid:249)(cid:251)(cid:91)(cid:223)(cid:257)(cid:246)(cid:35)(cid:141)(cid:258)(cid:109)(cid:87)(cid:141)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:65)
3
(cid:145)(cid:79)(cid:247)(cid:41)(cid:248)(cid:249)(cid:261)(cid:262)(cid:35) (cid:62)(cid:88)(cid:166)(cid:263)(cid:141)(cid:258)(cid:35)(cid:246)(cid:139) (cid:109)
8
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
(cid:15)(cid:110)(cid:42)7-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:181)(cid:182)(cid:167)(cid:264)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:265)科(cid:266)(cid:35)
A
(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:104)(cid:271)(cid:221)(cid:79)30(cid:272)(cid:273)(cid:35)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:50)(cid:27)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)
A
+(cid:282)(cid:62)(cid:93)(cid:271)(cid:221)(cid:79)50(cid:272)(cid:273)(cid:283)(cid:58)(cid:62)(cid:221)(cid:284)(cid:83)(cid:283)(cid:58)80(cid:79)(cid:109)(cid:34)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:62)(cid:221)(cid:79)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:35)(cid:283)(cid:275)(cid:221)(cid:51)(cid:289)2(cid:272)(cid:273)(cid:62)(cid:221)(cid:284)
(cid:83)(cid:290)(cid:283)(cid:58)10(cid:79)(cid:62)(cid:87)(cid:265)(cid:266)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:284)(cid:294)(cid:94)(cid:206)4000(cid:272)(cid:273)(cid:62)(cid:88)(cid:295)(cid:254)(cid:283)(cid:275)(cid:51)(cid:289)(cid:290)(cid:296)(cid:272)(cid:273)(cid:297)(cid:87)(cid:213)(cid:51)(cid:275) (cid:272)(cid:273)(cid:62)(cid:88)(cid:90)(cid:58)(cid:31)
(cid:32)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑥
A(cid:109)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:109)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:109)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:109)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
50−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:60)8(cid:22)(cid:66)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:298)(cid:251)(cid:299)(cid:123)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + + =0( 0)(cid:86)(cid:27)(cid:33)(cid:139)
2
=2024(cid:62)(cid:88)(cid:3)(cid:118) (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + + =𝑥0( 0)(cid:300)(cid:86)(cid:27)(cid:33)𝑎𝑥(cid:139)(cid:66)𝑏 𝑥 (cid:67)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:109)2024 𝑦 B(cid:109) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:109) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:109) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:110)(cid:42)8-1(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)−(cid:89)20 · 2(cid:189)4(cid:126)(cid:301)(cid:302)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:67)(cid:87)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:31)(cid:32)( + − ) + =0(cid:66)h(cid:62)k(cid:63)(cid:139)(cid:153)(cid:44)(cid:67)(cid:35)(cid:48)
2
(cid:65) = (cid:62) =2(cid:62)(cid:88)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:31)(cid:32)( + ) + =0(cid:35)(cid:48)(cid:65) 𝑥 ℎ (cid:109)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:110)1(cid:42)8−-32(cid:22)(cid:66)𝑥224-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:303)(cid:304)(cid:140)(cid:305)𝑥·(cid:105)ℎ(cid:108)−(cid:67)3 (cid:87)(cid:3)𝑘(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + +2=0( 0)(cid:86)(cid:27)(cid:33)(cid:139)
2
=2022(cid:62)(cid:88)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) ( +1) + + = (cid:300)(cid:86)(cid:33)(cid:139)(cid:66) (cid:67)(cid:109) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:109)2023 B(cid:109)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:109)−20221 D(cid:109)2022
(cid:15)(cid:110)(cid:42)8-3(cid:22)(cid:66)24-25(cid:119)(cid:98)(cid:99)(cid:89)·(cid:101)(cid:102)(cid:163)(cid:164)·(cid:105)(cid:108)(cid:67)(cid:87)(cid:3)(cid:118)x(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) + +2= 0)(cid:86)(cid:27)(cid:33)(cid:139)
2
=2025(cid:62)(cid:88)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32) ( ) + +2= (cid:300)(cid:86)(cid:27)(cid:33)(cid:139)(cid:66) (cid:67) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:109)2024 B(cid:109)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:109)𝑏2026 D(cid:109)2027
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
