文档文本内容
专题 1.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:19)................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:32)(cid:36)(cid:19)........................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:48)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:35)(cid:56)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:19)............................................................................................5
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:57)(cid:58)(cid:10) + =2(cid:59) +1(cid:59) + =0(cid:59) +8=0(cid:59) = (cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:63)1(cid:64) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:63)2(cid:64)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:63)3(cid:64)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
𝟐
（2)当c=0时，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
𝟐
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙,得 𝒃𝒙 =𝟎(𝒂≠𝟎).
𝟐
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:41)(cid:32)(cid:36)(cid:74)(cid:62)(cid:75)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:30).
2.(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:77)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:50)(cid:41)(cid:30).(cid:84) (cid:59) (cid:62)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0( 0)(cid:32)(cid:68)(cid:76)(cid:50)(cid:41)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:39)(cid:88)(cid:89)(cid:59)(cid:90)(cid:80)(cid:91)(cid:92)(cid:75)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:39)(cid:35)𝑥1(cid:45)(cid:72)𝑥2(cid:73)(cid:93)
2
(cid:41)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)·(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:104)(cid:76)(cid:28)(cid:29) x2﹣9=0(cid:105) (cid:63)2x+1(cid:64)(cid:63)2x﹣1(cid:64)=0(cid:105) x2=0(cid:105)
+1=1(cid:106)(cid:59)(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:107)−2𝑥 B(cid:107) C(cid:107) D(cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:39)①1-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)②(cid:97)·(cid:104)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)③(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:106)(cid:59)(cid:24)(cid:33)(cid:62)④(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64)
A(cid:107) + 1 =0 B(cid:107) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:107) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:39)𝑥1-2(cid:19)𝑥(cid:63)−224-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:86)3(cid:87)𝑥−(cid:42)2(cid:39)𝑥𝑦(cid:106)(cid:59)𝑦(cid:61)(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:62)(cid:63) (cid:64)
A(cid:107)2 +1=0 B(cid:107) =0 C(cid:107)2 =0 D(cid:107) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:39)1𝑥-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)𝑥−(cid:86)2·𝑦(cid:122)−(cid:123)3(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)𝑥 (cid:115)(cid:64)(cid:86)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:24)(cid:25)𝑦(cid:26)−(cid:27)3𝑦(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:83)(cid:63) (cid:64)
3 =0(cid:105) + + =0(cid:105) + 1 =0(cid:105) 2 = (cid:105) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:107) − 1 𝑥 (cid:76) ②𝑎𝑥 B(cid:107) 𝑏𝑥 2(cid:76) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:107)3(cid:76) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:107) )( 4 𝑥− (cid:76) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:57)2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:124)(cid:16)(cid:128)(cid:129)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:130)(cid:73)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( +1) | | + +5=0(cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
4𝑚−2
(cid:29)(cid:59)(cid:85) = (cid:107) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
(cid:15)(cid:108)(cid:39)𝑚2-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:124)(cid:16)(cid:131)(cid:132)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:28)(cid:29) +5=0(cid:62)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:85) (cid:32)(cid:133)(cid:36)
2
(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:107) 0 B(cid:107) >3 C(cid:107) =0 D(cid:107) 0
(cid:15)(cid:108)(cid:39)𝑎2-≠2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)𝑎(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:99)(cid:137)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑎(cid:64)(cid:84)(cid:28)(cid:29)( +1) 𝑎=≥0(cid:62)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:59)(cid:85)
2
3𝑎 −1
= (cid:107) 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎(cid:15)(cid:108)(cid:39)2-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:124)(cid:16)(cid:110)(cid:138)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)( ) + =0(cid:83)
2 2
𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1(cid:24)(cid:76)(cid:45)(cid:62)0(cid:59)(cid:85) =
𝑚
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:57)3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:139)(cid:110)(cid:140)(cid:141)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:28)(cid:29)( +1)( )=5(cid:142)(cid:143)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:144)(cid:59)(cid:145)
(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:148)(cid:36)(cid:62) (cid:107) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:108)(cid:39)3-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)3 +2=0(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:59)
2
(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:41)(cid:146)(cid:151)(cid:23)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:107) B(cid:107) C(cid:107) D(cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:39)33,-−2(cid:19)5,−(cid:63)224-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)3,(cid:97)−5·(cid:152)𝑥,2(cid:121)(cid:152)(cid:153)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:28)3(cid:29),5𝑥,−+2 = +5(cid:154)3(cid:136),−(cid:24)5,2(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:144)(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:150)(cid:41)
2
(cid:146)(cid:151)(cid:23)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:107)1(cid:149)3 B(cid:107)1(cid:149) C(cid:107)3(cid:149) D(cid:107)3(cid:149)4
(cid:15)(cid:108)(cid:39)3-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·−(cid:155)6(cid:110)(cid:156)(cid:121)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:157)−(cid:55)6 (cid:24)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:136)1(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:136) (cid:59)(cid:150)(cid:41)(cid:146)(cid:136)
(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62) (cid:107)(cid:63)(cid:92)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:158)(cid:159)(cid:64) −3
−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:57)4(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:160)(cid:161)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + = +12(cid:106)(cid:61)(cid:162)x(cid:32)(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:59)
2
(cid:85)(cid:163)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:45)(cid:136) (cid:107) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:108)(cid:39)4-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:164)(cid:165)(cid:119)(cid:132)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)( ) + + =0(cid:32)(cid:150)
2 2
(cid:41)(cid:146)(cid:136)0(cid:59)(cid:85)m(cid:32)(cid:36)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1
A(cid:107)1 B(cid:107) C(cid:107)2 D(cid:107)±1
(cid:15)(cid:108)(cid:39)4-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)−(cid:97)1·(cid:139)(cid:110)(cid:166)(cid:153)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)3 + = (cid:154)(cid:88)(cid:24)(cid:37)(cid:38)(cid:39)
2
(cid:144)(cid:59)(cid:167)(cid:26)(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:136)1(cid:59)(cid:150)(cid:41)(cid:146)(cid:136) (cid:59)(cid:85)(cid:168)(cid:28)(cid:29)(cid:106)(cid:32)(cid:24)𝑥(cid:27)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:136) 𝑥(cid:107) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:108)(cid:39)4-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:104)(cid:109)−2(cid:118)(cid:25)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)2 ( +1) = ( +1)(cid:154)(cid:88)(cid:24)(cid:37)
2
(cid:38)(cid:39)(cid:144)(cid:26)(cid:27)(cid:146)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:136)1(cid:59)(cid:24)(cid:27)(cid:146)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:136) (cid:59)(cid:85) (cid:32)(cid:36)(cid:136) (cid:107) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
−1 𝑚
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:57)5(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:169)(cid:170)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:84) =4(cid:62)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:28)(cid:29) =8(cid:32)(cid:45)(cid:59)(cid:85) + (cid:32)
2
(cid:36)(cid:136) (cid:107) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:108)(cid:39)5-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:171)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:130)(cid:73)a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)( +4)( )
2
(cid:32)(cid:36)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
A(cid:107)1 B(cid:107)3 C(cid:107) D(cid:107)
−3 −5(cid:15)(cid:108)(cid:39)5-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:155)(cid:110)(cid:174)(cid:175)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)m(cid:62)(cid:28)(cid:29) =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85) + +19(cid:32)
2 2
(cid:36)(cid:136) (cid:107) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:108)(cid:39)5-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:139)(cid:110)(cid:176)(cid:177)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:130)(cid:73) (cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39)
2
+1) + + (cid:32)(cid:36)(cid:136) (cid:107) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
(𝑚 (𝑚 1)(𝑚−1)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:57)6(cid:19)(cid:63)2025·(cid:178)(cid:179)·(cid:24)(cid:180)(cid:64)(cid:130)(cid:73)m(cid:136)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39) +2 +6(cid:32)(cid:36)(cid:136) (cid:107)
2 3 2
(cid:15)(cid:108)(cid:39)6-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:118)(cid:99)(cid:181)(cid:124)·(cid:112)𝑥(cid:113)(cid:114)𝑥−(cid:115)3(cid:64)(cid:58)(cid:182) (cid:62)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑚= 𝑚 −(cid:32)2(cid:30)𝑚(cid:59)(cid:85)(cid:46)(cid:41)(cid:39)
2 2
+2024(cid:32)(cid:36)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:107)2021 B(cid:107)2022 C(cid:107)2023 D(cid:107)2024
(cid:15)(cid:108)(cid:39)6-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:178)(cid:179)·(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:84)a(cid:62)(cid:28)(cid:29) + =0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)(cid:85) +2 +7(cid:32)(cid:36)(cid:136)
2 3 2
(cid:15)(cid:108)(cid:39)6-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:97)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:130)(cid:73)𝑥a(cid:62)𝑥(cid:3)−4(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑎 𝑎 −3𝑎=0(cid:32)(cid:24)(cid:76)(cid:30)(cid:59)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:85) (cid:32)(cid:36)(cid:71)(cid:116) (cid:107)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)7(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:186)(cid:124)(cid:187)(cid:121)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:188)(cid:7)(cid:189)(cid:190)(cid:95)(cid:24)(cid:191)(cid:32)(cid:137)(cid:192)(cid:193)(cid:136)200(cid:194)(cid:25)(cid:59)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:24)(cid:199)(cid:200)(cid:32)(cid:201)(cid:137)(cid:192)
(cid:193)(cid:202)(cid:203)(cid:204)950(cid:194)(cid:25)(cid:59)(cid:35)(cid:168)(cid:7)(cid:189)(cid:26)(cid:205)(cid:206)(cid:68)(cid:76)(cid:191)(cid:137)(cid:192)(cid:193)(cid:32)(cid:191)(cid:207)(cid:60)(cid:208)(cid:174)(cid:209)(cid:107)(cid:210)(cid:168)(cid:7)(cid:189)(cid:26)(cid:205)(cid:206)(cid:68)(cid:76)(cid:191)(cid:137)(cid:192)(cid:193)(cid:32)(cid:191)(cid:207)(cid:60)
(cid:208)(cid:174)(cid:209)(cid:136) (cid:59)(cid:85)(cid:30)(cid:31)(cid:20)(cid:211)(cid:80)(cid:87)(cid:28)(cid:29)(cid:136)(cid:63) (cid:64)
𝑥
A(cid:107)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:107)200 1(cid:212) =950
2
2
C(cid:107)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:107)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:108)(cid:39)7-1(cid:19)(cid:63)24-𝑥25(cid:117)(cid:95)(cid:96)𝑥(cid:86)·(cid:97)(cid:183)(cid:213)(cid:214)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:97)(cid:59)𝑥(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:11)(cid:221)(cid:167)(cid:222)(cid:220)(cid:11)(cid:223)(cid:224)1(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:59)(cid:228)(cid:182)(cid:229)(cid:83)(cid:230)
(cid:223)(cid:226)(cid:227)870(cid:225)(cid:59)(cid:35)(cid:93)(cid:231)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:32)(cid:220)(cid:11)(cid:232)(cid:41)(cid:59)(cid:210)(cid:93)(cid:231)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:32)(cid:220)(cid:11)(cid:83)x(cid:232)(cid:59)(cid:233)(cid:234)(cid:80)(cid:87)(cid:55)(cid:28)(cid:29) (cid:107)
(cid:15)(cid:108)(cid:39)7-2(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:152)(cid:121)(cid:152)(cid:153)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:58)(cid:235)(cid:59)(cid:136)(cid:236)(cid:154)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:59)(cid:188)(cid:237)(cid:196)(cid:197)(cid:241)(cid:24)(cid:242)(cid:174)(cid:136)60m(cid:59)(cid:243)(cid:136)
40m(cid:32)(cid:244)(cid:38)(cid:245)(cid:246)(cid:97)(cid:59)(cid:247)(cid:248)(cid:24)(cid:76)(cid:244)(cid:38)(cid:249)(cid:250)(cid:59)(cid:90)(cid:251)(cid:249)(cid:250)(cid:104)(cid:252)(cid:253)(cid:86)(cid:32)(cid:245)(cid:246)(cid:248)(cid:88)(cid:220)(cid:254)(cid:243)(cid:32)(cid:138)(cid:255)(cid:107)(cid:84)(cid:138)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:62)
3
(cid:142)(cid:76)(cid:244)(cid:38)(cid:245)(cid:246)(cid:258)(cid:259)(cid:32) (cid:59)(cid:85)(cid:163)(cid:260)(cid:138)(cid:255)(cid:32)(cid:243)(cid:136) (cid:107)
8
(cid:15)(cid:108)(cid:39)7-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:178)(cid:179)(cid:164)(cid:261)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:262)(cid:263)(cid:32)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:101)(cid:268)(cid:218)(cid:76)30(cid:269)(cid:270)(cid:32)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:47)(cid:24)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:59)(cid:90)(cid:268)(cid:218)(cid:76)50(cid:269)(cid:270)(cid:280)(cid:55)(cid:59)(cid:218)(cid:281)(cid:80)(cid:280)(cid:55)80(cid:76)(cid:107)(cid:31)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:59)(cid:218)(cid:76)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:32)(cid:280)(cid:272)(cid:218)(cid:48)(cid:286)2(cid:269)(cid:270)(cid:59)(cid:218)(cid:281)
(cid:80)(cid:287)(cid:280)(cid:55)10(cid:76)(cid:59)(cid:84)(cid:262)(cid:263)(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:281)(cid:291)(cid:91)(cid:203)4000(cid:269)(cid:270)(cid:59)(cid:85)(cid:292)(cid:251)(cid:280)(cid:272)(cid:48)(cid:286)(cid:287)(cid:293)(cid:269)(cid:270)(cid:294)(cid:84)(cid:210)(cid:48)(cid:272) (cid:269)(cid:270)(cid:59)(cid:85)(cid:87)(cid:55)(cid:28)
(cid:29)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑥
A(cid:107)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:107)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:107)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:107)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
50−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:57)8(cid:19)(cid:63)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:295)(cid:248)(cid:296)(cid:121)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =0( 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:136)
2
=2024(cid:59)(cid:85)(cid:3)(cid:116) (cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + + =𝑥0( 0)(cid:297)(cid:83)(cid:24)(cid:30)𝑎𝑥(cid:136)(cid:63)𝑏 𝑥 (cid:64)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:107)2024 𝑦 B(cid:107) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:107) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:107) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:108)(cid:39)8-1(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)−(cid:86)20 · 2(cid:186)4(cid:124)(cid:298)(cid:299)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( + − ) + =0(cid:63)h(cid:59)k(cid:60)(cid:136)(cid:150)(cid:41)(cid:64)(cid:32)(cid:45)
2
(cid:62) = (cid:59) =2(cid:59)(cid:85)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:28)(cid:29)( + ) + =0(cid:32)(cid:45)(cid:62) 𝑥 ℎ (cid:107)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:108)1(cid:39)8−-32(cid:19)(cid:63)𝑥224-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:300)(cid:301)(cid:137)(cid:302)𝑥·(cid:102)ℎ(cid:106)−(cid:64)3 (cid:84)(cid:3)𝑘(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2=0( 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:136)
2
=2022(cid:59)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ( +1) + + = (cid:297)(cid:83)(cid:30)(cid:136)(cid:63) (cid:64)(cid:107) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:107)2023 B(cid:107)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:107)−20221 D(cid:107)2022
(cid:15)(cid:108)(cid:39)8-3(cid:19)(cid:63)24-25(cid:117)(cid:95)(cid:96)(cid:86)·(cid:98)(cid:99)(cid:160)(cid:161)·(cid:102)(cid:106)(cid:64)(cid:84)(cid:3)(cid:116)x(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +2= 0)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:136)
2
=2025(cid:59)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ( ) + +2= (cid:297)(cid:83)(cid:24)(cid:30)(cid:136)(cid:63) (cid:64) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:107)2024 B(cid:107)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:107)𝑏2026 D(cid:107)2027
