专题 2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:20)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)..............................................................................................................12
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:20)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:20)......................................................................................................18
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:20)..................................................................................................................................................20
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. (cid:48)(cid:49)(cid:50)a(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53) (cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53)± (cid:55)
(cid:56)(cid:57)(cid:10)144(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:53) 1𝑎44=12(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:36)𝑎(cid:53)± 144= ±12(cid:55)
2. (cid:36)(cid:58)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:55)
(cid:56)(cid:57) =25(cid:54)(cid:29)(cid:64) =±5(cid:55)
2
(cid:30)(cid:65)(cid:66)𝑥(cid:54)(cid:46)(cid:67)(cid:27)(cid:34) 𝑥=p(cid:55)
2
>0 𝑥方程有两个不等的实数根 = ， =
𝑝=0 方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝒑=𝑥2 − 𝒑
𝑝<0 方程(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36) 𝑥1 𝑥2 𝟎
3. (cid:23)(cid:24)𝑝(cid:70)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:71)(cid:72)
(1)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) =p(cid:75)( + ) = ( 0, 0)(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:77)
2 2
(cid:78)2)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑥(cid:74)(cid:53)(cid:79)(cid:80)𝑚(cid:30)𝑥(cid:31)(cid:30)𝑛(cid:33)(cid:27)(cid:34)𝑝(cid:77)𝑝≥ 𝑚≠
(cid:78)3)(cid:29)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:30)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:64)(cid:81)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:55)
知识点2 配方法解一元二次方程
1. (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:83)(cid:54)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:89)(cid:90)(cid:54)(cid:91)(cid:85)(cid:92)(cid:37)(cid:93)(cid:90)(cid:35)(cid:94)(cid:44)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:54)(cid:100)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)
( + ) = (cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:57)(cid:101)(cid:89)(cid:90)(cid:102)(cid:30)(cid:80)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:29)(cid:55)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:94)(cid:98)(cid:99)
2
𝑥 𝑎 𝑏(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:40)(cid:61)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:55)
2. (cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)((cid:115)(cid:56))
(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72) (cid:27)(cid:28) (cid:69)(cid:56) =0)
2
(cid:73)(cid:86)(cid:50)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:89)(cid:90)(cid:54)(cid:44) (9𝑦 −18𝑦−4
(cid:30)(cid:88) (cid:88)(cid:87) =4
(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:93)(cid:90)
2
9𝑦 −18𝑦
(cid:27)(cid:34)(cid:93)(cid:117)(cid:89)(cid:79)(cid:90)(cid:118)(cid:83)(cid:119)(cid:107)(cid:32)(cid:33) 4
(cid:32)(cid:74) (cid:32)(cid:33)(cid:87)(cid:116)(cid:50)(cid:74)(cid:53)1 =
(cid:87)(cid:116)(cid:50) 9
2
𝑦 −2𝑦
4
+1= +1
(cid:27)(cid:34)(cid:93)(cid:117)(cid:89)(cid:79)(cid:90)(cid:118)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:30)(cid:33) 9
(cid:120)(cid:35) (cid:35)(cid:27) 2
(cid:87)(cid:116)(cid:50)(cid:30)(cid:123)(cid:37)(cid:26)(cid:27) 𝑦 −2𝑦
(cid:100) = 13
9
2
(𝑦−1)
(cid:108)(cid:109)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
13
(cid:124)(cid:25) (cid:25)(cid:26)(cid:27)
=±
(cid:27) 3
(y−1)
(cid:125)(cid:29) (cid:64)(cid:126)(cid:79)(cid:80)(cid:36) (cid:88)(cid:87)(cid:54)(cid:127)(cid:128)(cid:118)(cid:129)(cid:87) y =1+ 13 (cid:54)y = 13
3 3
1 2 1−
(cid:130)(cid:131)(cid:10)(cid:132)(cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:90)(cid:35)(cid:94)(cid:133)(cid:3)(cid:67)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:134)(cid:54)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:136)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:140)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)(cid:57)(cid:101)(cid:135)(cid:30)(cid:90)(cid:102)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:103)(cid:104)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:105)
(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
3. (cid:29)(cid:21)(cid:142)(cid:58)(cid:10) ± = ± + (cid:54)(cid:85)(cid:7)(cid:40)(cid:143)(cid:37) (cid:144)(cid:145)(cid:96)(cid:97)(cid:50) (cid:54)(cid:128)(cid:109) (cid:146)(cid:147)(cid:54)(cid:148) ± = ± +
2 2 2 2 2
(cid:55) (𝑎 𝑏) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑏) 𝑥 2𝑏𝑥
2
𝑏
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. (cid:46)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) + + = 0)(cid:54)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:27)(cid:106)(cid:64) + ) = (cid:54)(cid:148)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:151)
2 𝑏 2 𝑏 2 −4 2 𝑎𝑐 2
(cid:37)(cid:152)(cid:9)(cid:153)(cid:154)(cid:55) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ (𝑥 2𝑎 4𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:30)(cid:65)(cid:66)(cid:54)(cid:40)(cid:155) (cid:62)(cid:63)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) + + =0(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:113)(cid:86)(cid:109)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)“ ”(cid:160)(cid:115)(cid:92)(cid:54)(cid:100) =
𝟐 2 𝟐
(cid:55) 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ∆ ∆ 𝒃
−2.𝟒 (cid:36)𝒂𝒄(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40) (cid:37)(cid:152)(cid:9)(cid:161)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)
(cid:78)1(cid:162) > (cid:30)∆(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)∆=0⟺(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)
(cid:78)3(cid:162)∆<0⟺(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
∆ 0⟺3. (cid:163)(cid:109)
(cid:78)1(cid:162)(cid:137)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:38)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:36)(cid:58)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:110)(cid:158)(cid:159)(cid:116)(cid:50)(cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:55)
知识点4 公式法解一元二次方程
±
1. (cid:132) 0(cid:83)(cid:54)(cid:27)(cid:34) + + = 0)(cid:113)(cid:114)(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:168)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:106)(cid:169)(cid:53) = (cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:111)(cid:80)(cid:40)(cid:155)
𝟐
2 −𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
(cid:62)(cid:63)(cid:30)∆(cid:31)≥(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) 𝑎𝑥+ 𝑏+𝑥 =𝑐 0(cid:37)0((cid:110)𝑎(cid:36)≠(cid:7)(cid:40)(cid:55)(cid:73)(cid:170)(cid:116)(cid:50)(cid:23)(cid:24)(cid:146)(cid:171)(cid:110)(cid:36)(cid:7)𝒙(cid:40)(cid:54)(cid:111)(cid:112)𝟐𝒂(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)
2
(cid:62)(cid:63)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:55) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
>0 (cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) = ±
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
∆ 𝑥 2𝑎
=0 (cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) = =
𝑏
∆ 𝑥1 𝑥2 −2𝑎
<0 (cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)
2. (cid:108)∆(cid:109)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)
(cid:78)1(cid:162)(cid:85)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:30)(cid:65)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:172)(cid:154)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:37)(cid:47)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:110)(cid:126) = (cid:37)(cid:47)(cid:77)
2
∆ 𝑏 −4𝑎𝑐 ±
(cid:78)3(cid:162)(cid:173) 0(cid:54)(cid:148)(cid:73)a(cid:54)b(cid:54)c(cid:37)(cid:47)(cid:146)(cid:174)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40) = (cid:110)(cid:126)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:54)(cid:173) <0(cid:54)(cid:148)(cid:27)(cid:34)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
𝟐
−𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥ 𝒙 𝟐𝒂 ∆
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. (cid:84)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:54)(cid:175)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:33)(cid:40)(cid:37)(cid:176)(cid:177)(cid:139)(cid:67)0(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)(cid:91)(cid:175)(cid:111)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:33)(cid:40)(cid:42)(cid:39)(cid:139)(cid:67)0(cid:54)(cid:178)
(cid:179)(cid:69)(cid:180)(cid:70)(cid:33)(cid:54)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:55)
2. (cid:181)(cid:127)(cid:109)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:110)(cid:29)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:76)(cid:40)
3. (cid:108)(cid:109)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:65)(cid:71)(cid:72)一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
(cid:124)(cid:29) (cid:169)(cid:126)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:29)
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)1(cid:20)(cid:173)(cid:27)(cid:34)(x﹣4)2(cid:182)a(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:29)(cid:54)(cid:148)a(cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:102)( )
A(cid:55)a≤0 B(cid:55)a≥0 C(cid:55)a(cid:183)0 D(cid:55)a(cid:184)0
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)B
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:108)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:188)(cid:134)(cid:36)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:40)(cid:37)(cid:189)(cid:25)(cid:27)(cid:50)(cid:37)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:190)(cid:126)(cid:3)(cid:67)a(cid:37)(cid:137)(cid:139)(cid:40)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:188)
(cid:134)(cid:110)(cid:64)a(cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20) (cid:27)(cid:34)(x﹣4)2(cid:182)a(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:29)(cid:54)
x﹣4(cid:182)±∵a(cid:54)
∴a≥0(cid:54)
∴(cid:192)(cid:193)B(cid:55)
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)--(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:37)(cid:129)(cid:22)(cid:95)(cid:10)x2=a
(cid:78)a≥0(cid:162)(cid:77)ax2=b(cid:78)a(cid:54)b(cid:118)(cid:9)(cid:199)a≠0(cid:162)(cid:77)(cid:78)x+a(cid:162)2=b(cid:78)b≥0(cid:162)(cid:77)a(cid:78)x+b(cid:162)2=c(cid:78)a(cid:54)c(cid:118)(cid:9)(cid:199)a≠0(cid:162)(cid:55)(cid:28)(cid:148)(cid:10)(cid:200)(cid:85)
(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)“(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:89)(cid:86)(cid:50)(cid:54)(cid:84)(cid:85)(cid:116)(cid:50)(cid:74)(cid:53)1(cid:54)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:165)(cid:136)(cid:49)(cid:54)(cid:42)(cid:25)(cid:110)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:29)”(cid:55)(cid:29)(cid:185)(cid:201)(cid:21)(cid:83)(cid:54)(cid:202)(cid:108)(cid:109)(cid:133)
(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:40)(cid:95)(cid:59)(cid:60)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:111)(cid:30)(cid:97)(cid:205)(cid:194)(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)1-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:211)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)( ) =( ) (cid:55)
2 2
1 3𝑥−1 𝑥−1
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) =0(cid:54) = (cid:55)
2
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)𝑥(cid:196) 1 (cid:21)(cid:197)(cid:198)𝑥(cid:109) 2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:55)(cid:109)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:29)(cid:106)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)( ) =( ) (cid:54)
2 2
(cid:25)(cid:27)(cid:64) =±3𝑥(−1 )(cid:54) 𝑥−1
3=𝑥−1 (cid:75) 𝑥−1= +1(cid:54)
∴3𝑥−1 𝑥−1 13𝑥−1 −𝑥
=0(cid:54) = (cid:55)
2
∴(cid:15)𝑥(cid:206) 1 (cid:40)1-2 𝑥(cid:20) 2 (cid:76)(cid:57) + ) = 0)(cid:37)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
2
A(cid:55) =± (𝑥 𝑚B(cid:55) =𝑛±(𝑛≥+ C(cid:55) =± D(cid:55) = ±
𝑥 𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥 𝑛−𝑚 𝑥 −𝑚 𝑛(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)D
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:41)(cid:53)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:93)(cid:90)(cid:102)(cid:30)(cid:80)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:54)(cid:199)(cid:189)(cid:25)(cid:27)(cid:50)n≥0(cid:54)(cid:218)(cid:107)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:50)(cid:37)(cid:25)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:110)(cid:29)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:41)(cid:53)n≥0(cid:54)(cid:25)(cid:27)(cid:64)x(cid:219)m(cid:182)± n(cid:54)
(cid:88)(cid:87)(cid:64)(cid:10)x(cid:182)−m± n(cid:55)
(cid:192)(cid:193)D(cid:55)
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:220)(cid:200)(cid:221)(cid:109)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:54)(cid:226)(cid:85)(cid:189)(cid:25)(cid:27)(cid:50)(cid:144)(cid:94)(cid:222)(cid:223)(cid:54)(cid:199)(cid:200)(cid:4)(cid:59)n(cid:53)(cid:136)(cid:50)(cid:54)(cid:107)(cid:175)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:29)(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)1-3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:232)(cid:154)(cid:60)(cid:10) = (cid:55)(cid:173)( ) 3=1(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:47)(cid:53) (cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)3(cid:75) 𝑎⊗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗ 𝑥
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)−(cid:197)1(cid:198)(cid:133)(cid:232)(cid:154)(cid:60)(cid:221)(cid:51)(cid:54)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:36)(cid:58)(cid:21)(cid:59)(cid:64)(cid:81)( ) =1(cid:54)(cid:100)( ) =4(cid:54)(cid:64)(cid:81) =±2(cid:54)(cid:110)(cid:126) =3(cid:75) = (cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:64)(cid:81)(cid:185)(cid:186)(cid:55)
2 2
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) 𝑥−(cid:232)1(cid:154)(cid:60)−3(cid:10) =𝑥−1 (cid:54)( ) 𝑥3−=11(cid:54) 𝑥 𝑥 −1
2
( ) ∵=1(cid:54)(cid:100)( 𝑎⊗) 𝑏=4(cid:54)𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗
2 2
∴ 𝑥−1=±−32(cid:54) 𝑥−1
(cid:29)∴(cid:64)𝑥(cid:10)−1 =3(cid:75) = (cid:54)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:53)(cid:10)3(cid:75)𝑥 (cid:55)−1
−1
【题型2 配方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)2(cid:20)(cid:78)2025·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:30)(cid:231)(cid:162)(cid:241)(cid:50)(cid:11)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:37)(cid:124)(cid:174)(cid:107)(cid:24)(cid:246)(cid:37)(cid:27)(cid:40)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:247)(cid:174)(cid:49)(cid:248)
(cid:98)(cid:94)(cid:30)(cid:80)(cid:71)(cid:72)(cid:78)(cid:57)(cid:249)(cid:162)(cid:54)(cid:250)(cid:17)(cid:144)(cid:134)(cid:54)(cid:251)(cid:180)(cid:252)(cid:134)(cid:253)(cid:101)(cid:102)(cid:254)(cid:255)(cid:37)(cid:54)(cid:128)(cid:256)(cid:10)“(cid:254)(cid:255)(cid:102)(cid:178)(cid:241)(cid:257)(cid:118)(cid:11)(cid:49)(cid:248)(cid:37)(cid:71)(cid:72)(cid:25)(cid:258)(cid:126)
(cid:180)(cid:37)(cid:55)”(cid:148)(cid:111)(cid:257)(cid:118)(cid:11)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
A(cid:55)(cid:259) B(cid:55)(cid:260) C(cid:55)(cid:261) D(cid:55)(cid:262)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)B
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:84)(cid:85)2 + =0(cid:263)(cid:264)(cid:88)(cid:87)(cid:54)(cid:91)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:87)(cid:116)(cid:50)(cid:74)1(cid:54)(cid:188)(cid:134)
2
(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:91)(cid:29)(cid:126) (cid:37)(cid:47)(cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:145)(cid:185)(cid:55) 𝑥 4𝑥−1
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)𝑥(cid:142)(cid:21)(cid:59)(cid:54)2 + =0(cid:54)
2
(cid:88)(cid:87)(cid:64)2 + =1(cid:54) 𝑥 4𝑥−1
2
𝑥 4𝑥 1
(cid:222)(cid:265)(cid:64) + = (cid:54)
2
2
𝑥 2𝑥3
+ +1=
2
2
∴𝑥 2𝑥
3
( +1) = (cid:54)
2
2
∴ 𝑥
+1=± 3 =± 6
2 2
∴𝑥
= 6 = 6 (cid:55)
2 2
∴(cid:266)𝑥(cid:267) 1 (cid:107)(cid:268)−(cid:46)1(cid:269),𝑥2 (cid:54)(cid:64)−(cid:126)(cid:254)−(cid:255)1 (cid:102)(cid:178)(cid:260)(cid:118)(cid:11)(cid:49)(cid:248)(cid:37)(cid:71)(cid:72)(cid:25)(cid:258)(cid:126)(cid:180)(cid:37)(cid:54)
(cid:192)(cid:193)(cid:10)B
(cid:15)(cid:206)(cid:40)2-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:270)(cid:240)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34) + +3=0(cid:83)(cid:54)(cid:173)(cid:73)(cid:27)(cid:34)(cid:206)(cid:76)(cid:53)
2
( + ) = (cid:54)(cid:148) =(cid:78) (cid:162) 𝑥 8𝑥
2
𝑥 A𝑝(cid:55)9 𝑞 𝑞−𝑝 B(cid:55)17 C(cid:55)13 D(cid:55)5
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)A
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:71)(cid:72)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:77)
(cid:84)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:64)(cid:81)( +4) =13(cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:64)(cid:126)p(cid:117)q(cid:37)(cid:47)(cid:54)(cid:263)(cid:179)(cid:106)(cid:64)(cid:185)(cid:186).
2
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:27)(cid:34) +𝑥 +3=0(cid:100)(cid:53) + = (cid:54)
2 2
(cid:218)(cid:107) + +16=𝑥 8+𝑥16=13(cid:54) 𝑥 8𝑥 −3
2
(cid:100)( 𝑥+4)8𝑥=13(cid:54) −3
2
=𝑥 =13(cid:54)
∴𝑝 4=,𝑞 =9(cid:77)
(cid:192)∴𝑞(cid:193)−𝑝(cid:10)A.13−4
(cid:15)(cid:206)(cid:40)2-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:272)(cid:16)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)
(1) +12=0(cid:55)
2
(2)𝑥4 −8𝑥 +2=0(cid:77)
2
(cid:15)(cid:185)𝑥(cid:186)−(cid:20)7(𝑥1) =6(cid:54) =2(cid:55)
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)𝑥1(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:30)𝑥2(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:54)(cid:36)(cid:58)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:102)(cid:29)
(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(1) +12=0
2
+4 = 𝑥 −+84𝑥
2 2 2
𝑥( −8)𝑥 =4 −12
2
𝑥−4=±2
𝑥−4=2(cid:75) =
𝑥−4=6(cid:54)𝑥−=42(cid:55)−2
∴(cid:10)𝑥(12)4 𝑥2 +2=0(cid:54)
2
4 𝑥=−7𝑥
2
𝑥 −77𝑥
=
−1
(cid:54)
2
4 2
2
𝑥 − 𝑥 −
(cid:35)(cid:27)(cid:64) 7 + 7 7 = 1 (cid:54)
4 8 2 8 2 2
2
𝑥 − 𝑥 − −
7 49 1
=
8 2 64 2
∴ 𝑥− − −
7 17
=
8 2 64
∴ 𝑥−
7 =± 17 (cid:54)
8 8
∴𝑥−
7 17 17
x = (cid:54)x = (cid:55)
8 8
+ 7−
∴(cid:15)(cid:206) 1 (cid:40)2-3(cid:20)(cid:78)2 2 4-25(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:274)(cid:238)(cid:238)(cid:240)·(cid:271)(cid:275)(cid:162)(cid:210)(cid:276)(cid:102)(cid:244)(cid:277)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:114)(cid:34)(cid:54)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:128)(cid:98)(cid:94)(cid:138)(cid:163)
(cid:37)(cid:283)(cid:284)(cid:55)
(cid:29)(cid:10)3 + =0
2
(cid:32)(cid:33)(cid:87)𝑥(cid:116)(cid:50)1(cid:74)2𝑥(cid:53)−61(cid:54)(cid:64) + =0 ……………………(cid:285)(cid:30)(cid:71)
2
(cid:88)(cid:87)(cid:54)(cid:64) + =2(cid:55)𝑥……4…𝑥−…2…………(cid:285)(cid:32)(cid:71)
2
(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:64)𝑥 +4𝑥+4=2+4(cid:54)(cid:100) +2) =6(cid:55)……………………(cid:285)(cid:120)(cid:71)
2 2
(cid:151)(cid:286)(cid:54)(cid:106)𝑥(cid:64) +4𝑥2= 6(cid:55)…………(…𝑥 ………(cid:285)(cid:124)(cid:71)
(cid:218)(cid:107)(cid:54) = 𝑥 + 6……………………(cid:285)(cid:125)(cid:71)
(cid:283)(cid:284)(cid:30)𝑥(cid:117)(cid:287)−(cid:288)2(cid:10)
“(cid:285)(cid:32)(cid:71)”(cid:206)(cid:76)(cid:37)(cid:50)(cid:11)(cid:142)(cid:58)(cid:102) (cid:77)(cid:78)(cid:109)(cid:289)(cid:158)(cid:290)(cid:291)(cid:287)(cid:288)(cid:162)
①(cid:244)(cid:277)(cid:118)(cid:11)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:168)(cid:143)(cid:285)(cid:120)(cid:71)(cid:35)(cid:27)(cid:83)(cid:109)(cid:81)(cid:37)(cid:50)(cid:11)(cid:7)(cid:40)(cid:102) (cid:77)(cid:78)(cid:109)(cid:50)(cid:11)(cid:152)(cid:9)
②(cid:290)(cid:291)(cid:287)(cid:288)(cid:162)
(cid:244)(cid:277)(cid:118)(cid:11)(cid:37)(cid:29)(cid:21)(cid:114)(cid:34)(cid:143)(cid:54)(cid:178)(cid:285) (cid:71)(cid:25)(cid:258)(cid:126)(cid:180)(cid:254)(cid:255)(cid:54)(cid:254)(cid:255)(cid:37)(cid:82)(cid:41)(cid:102) (cid:55)
③(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:117)(cid:278)(cid:292)(cid:293)(cid:221)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:10)4 =0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)(cid:283)(cid:284)(cid:30)(cid:10) (cid:139)(cid:40)(cid:37)(cid:294)(cid:196)(cid:295)(cid:296)(cid:77) +𝑥 −+12𝑥−=2 ( + ) (cid:77) (cid:124)(cid:77)(cid:141)(cid:95)(cid:136)(cid:172)(cid:221)(cid:109)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)
2 2 2
(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:10) = 3 + ①11 (cid:54) = 3 11 ②𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ③
2 2 2 2
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)𝑥(cid:196) 1 (cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:139)(cid:40)(cid:37)𝑥2 (cid:295)(cid:296)−(cid:54)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:54)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:139)(cid:55)(cid:283)(cid:284)(cid:30)(cid:10) (cid:108)(cid:109)(cid:139)(cid:40)(cid:37)(cid:294)(cid:196)(cid:295)(cid:296)(cid:145)(cid:185)(cid:100)(cid:106)(cid:77) (cid:108)(cid:109)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:145)(cid:185)(cid:100)(cid:106)(cid:77) (cid:108)(cid:109)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:145)(cid:185)(cid:100)(cid:106)(cid:77)
(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:10)①(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:55) ② ③
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:283)(cid:284)(cid:30)(cid:10) (cid:139)(cid:40)(cid:37)(cid:294)(cid:196)(cid:295)(cid:296)(cid:77)(cid:75)(cid:287) (cid:139)(cid:40)(cid:79)(cid:90)(cid:118)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:78)(cid:75)(cid:297)(cid:298)(cid:162)(cid:118)(cid:30)(cid:80)(cid:222)(cid:40)(cid:54)(cid:218)(cid:64)(cid:253)(cid:101)(cid:299)(cid:102)
(cid:139)(cid:40) ①
+ + =( + ) (cid:54)
2 2 2
②𝑎 (cid:124)(cid:54)2(cid:141)𝑎𝑏(cid:95)(cid:136)𝑏(cid:172)(cid:221)(cid:109)𝑎 (cid:26)𝑏(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:60)(cid:77)
③(cid:283)(cid:284)(cid:32)(cid:10)(cid:29)(cid:10)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:106)(cid:74)(cid:53)(cid:10)4 =0(cid:54)
2
(cid:35)(cid:27)(cid:64)(cid:10) + 3 = 1 + 9 (cid:54) 𝑥 − (cid:100) 1 2𝑥−23 = 11 (cid:54)
2 2 2 4 2 2 4
2
𝑥 −3𝑥 𝑥−
3 =± 11 (cid:54)
2 4
∴𝑥−
= 3 + 11 (cid:75) = 3 11 (cid:55)
2 2 2 2
∴𝑥1 𝑥2 −
【题型3 根的判别式】
(cid:15)(cid:56)3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:274)(cid:16)(cid:300)(cid:301)·(cid:231)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:162)(cid:305)(cid:97)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) ( + ) + =0(cid:54)(cid:168)(cid:143) (cid:306)(cid:50)(cid:307)(cid:122)
2
(cid:37)(cid:46)(cid:163)(cid:194)(cid:57)(cid:249)(cid:218)(cid:115)(cid:54)(cid:148)(cid:111)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)(cid:78)𝑥 (cid:162) 𝑥 − 𝑚 𝑛 𝑥 𝑚𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:55)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36) B(cid:55)(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)
C(cid:55)(cid:79)(cid:36)(cid:308)(cid:309)(cid:244)(cid:67)0 D(cid:55)(cid:79)(cid:36)(cid:308)(cid:177)(cid:18)(cid:67)0
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)C
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:54)(cid:36)(cid:161)(cid:116)(cid:50)(cid:37)(cid:3)(cid:116)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:102)(cid:29)(cid:153)
(cid:286)(cid:129)(cid:310)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)(cid:36)(cid:58)(cid:50)(cid:307)(cid:122)(cid:160)(cid:115)(cid:37)(cid:194)(cid:37)(cid:47)(cid:309)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40) =( + ) (cid:54)(cid:38)(cid:154)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)
2
(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)(cid:253)(cid:127) + = + <0(cid:54) = <0(cid:106)(cid:64)(cid:185)Δ(cid:186)(cid:55)𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)𝑥(cid:151)1(cid:50)(cid:307)𝑥2(cid:144)(cid:126)𝑚 <𝑛0(cid:54) >𝑥10𝑥(cid:54)2| 𝑚|>𝑛| |(cid:54)
( + ) + =0(cid:102)𝑚(cid:3)(cid:67)x𝑛(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑚(cid:33)(cid:27)(cid:34)𝑛(cid:54)
2
∵𝑥 =−(𝑚 +𝑛)𝑥 𝑚𝑛(cid:54) + = + <0(cid:54) = <0(cid:54)
2
∴Δ <0𝑚(cid:54) 𝑛>0−(cid:54)4𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑛 𝑥1𝑥2 𝑚𝑛
∵𝑚 >𝑛0
∴−4=𝑚(𝑛 + ) >0(cid:54)
2
∴(cid:82)Δ (cid:27)(cid:34)𝑚(cid:95)(cid:79)𝑛(cid:80)−(cid:137)4(cid:138)𝑚𝑛(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
∴A(cid:54)B(cid:54)D(cid:137)(cid:152)(cid:127)(cid:21)(cid:59)(cid:54)C(cid:152)(cid:127)(cid:21)(cid:59)
∴(cid:192)(cid:193)(cid:10)C(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)3-1(cid:20)(cid:173)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34)3 + =0(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:165)(cid:47)(cid:166)(cid:167)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
2
A(cid:55) > 25 𝑥 B(cid:55) < 𝑥2−55𝑥 𝑎 C(cid:55) 25 𝑎 D(cid:55) 25
12 12 12 12
𝑎 𝑎 𝑎≤ 𝑎≥
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)A
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:102)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:55)(cid:36)(cid:58)(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:64)(cid:81) =( ) × <0(cid:54)(cid:29)(cid:137)(cid:139)(cid:40)(cid:100)
2
(cid:106)(cid:55) Δ −5 −4 3𝑎
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) (cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34)3 + =0(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)
2
=( ) ∵× 𝑥<0(cid:54) 𝑥 −5𝑥 𝑎
2
∴Δ −525 −4 3𝑎
(cid:29)(cid:64) > (cid:54)
12
(cid:192)(cid:193)𝑎(cid:10)A
(cid:15)(cid:206)(cid:40)3-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:311)(cid:312)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:305)(cid:97)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) +( +1) + =0(cid:55)
2
(1)(cid:110)(cid:313)(cid:10)(cid:68)(cid:314) (cid:165)(cid:315)(cid:47)(cid:54)(cid:286)(cid:27)(cid:34)(cid:316)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)𝑥(cid:55) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚
(2)(cid:132)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:30)(cid:80)𝑚(cid:36)(cid:102)1(cid:83)(cid:54)(cid:110) (cid:37)(cid:47)(cid:55)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)(1)(cid:313)(cid:277)(cid:317)(cid:29)(cid:187) 𝑚
2
(2) =
3
𝑚 −
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:108)(cid:109)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:27)(cid:34)(cid:29)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:78)1(cid:162)(cid:108)(cid:109)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:154)(cid:100)(cid:106)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:73) =1(cid:146)(cid:171) +( +1) + =0(cid:54)(cid:110)(cid:29)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
2
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)𝑥(cid:78)1(cid:162)(cid:29)(cid:10)𝑥 =2(𝑚 +1𝑥) 𝑚
2
=4 + + ∵Δ 2𝑚 −4𝑚
2
=4𝑚 +41𝑚>0(cid:54)1−4𝑚
2
(cid:68)(cid:314)𝑚 (cid:165)(cid:315)(cid:47)(cid:54)(cid:286)(cid:27)(cid:34)(cid:316)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:77)
(cid:78)∴ 2(cid:162)(cid:29)𝑚(cid:10)(cid:73) =1(cid:146)(cid:171) +( +1) + =0(cid:54)
2
(cid:64)1 +( +𝑥1)+ =𝑥0(cid:54) 2𝑚 𝑥 𝑚
2
2𝑚 2 𝑚
(cid:29)(cid:64)(cid:10) = (cid:55)
3
(cid:15)(cid:206)(cid:40)𝑚 3-3(cid:20)−(cid:78)2025·(cid:274)(cid:238)(cid:318)(cid:145)·(cid:32)(cid:231)(cid:162)(cid:154)(cid:60)(cid:221)(cid:51)(cid:10) ※ = + (cid:54)(cid:56)(cid:57)4※3=4 +4× ×3 (cid:54)(cid:148)
2 2 2 2
(cid:137)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:38)(cid:164)(cid:27)(cid:34)( +1)※2=0(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)𝑎 𝑏 (cid:55)𝑎 𝑎𝑏−2𝑏 3−2
𝑥(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:139)(cid:69)(cid:50)(cid:36)
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:232)(cid:154)(cid:60)(cid:54)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:265)(cid:29)(cid:232)(cid:154)(cid:60)(cid:37)(cid:221)(cid:51)(cid:54)(cid:64)(cid:126)(cid:27)(cid:34)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:84)(cid:108)(cid:109)(cid:232)(cid:154)(cid:60)(cid:64)(cid:81)( +1) +2( +1) ×2 =0(cid:54)(cid:91)(cid:85)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:30)(cid:65)(cid:40)(cid:54)(cid:263)(cid:179)(cid:38)(cid:164)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:152)(cid:9)(cid:54)(cid:110)(cid:29)(cid:100)
2 2
(cid:106)(cid:55) 𝑥 𝑥 −2
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) ( +1)※2=0(cid:54)
( +1) +2∵( 𝑥+1) ×2 =0(cid:54)
2 2
(cid:100)∴ 𝑥 + =𝑥0(cid:54) −2
2
𝑥= 4𝑥=−5 =
∵𝑎 =1,𝑏 4,𝑐=1−65+20=36>0
2
∴(cid:27)Δ (cid:34)𝑏( −+41𝑎)𝑐※2=0(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:139)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)
∴(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:53)(cid:10)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:139)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55)
【题型4 公式法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)4(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:272)(cid:16)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:306)(cid:109)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:110)(cid:241)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)(cid:83)(cid:54)(cid:64)(cid:81) =
5± ( ) ×2×( ) 𝑥
(cid:54)(cid:148)(cid:201)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:106)(cid:319)(cid:53)(cid:78) (cid:162)
22×2
−5 −4 −1
A(cid:55)2 + =0 B(cid:55)2 =0
2 2
C(cid:55) 𝑥 5𝑥−+1 1=0 D(cid:55)5𝑥 −5𝑥−1 =0
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)−2B𝑥 −5𝑥 𝑥 −2𝑥−1
±
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:54)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:36)(cid:58)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40) = (cid:54)(cid:46)(cid:269)(cid:305)(cid:97)(cid:40)(cid:155)
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:172)(cid:154)a(cid:54)b(cid:54) (cid:37)(cid:47)(cid:55) 𝑥 2𝑎
𝑐 5± ×2×
(cid:113)(cid:114)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40) = (cid:54)(cid:42)(cid:187)(cid:126)a(cid:54)b(cid:54) (cid:55)
22×2
(−5) −4 (−1)
𝑥 𝑐
± 5± ×2×
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:53) = (cid:54)(cid:305)(cid:97) = (cid:54)
2 22×2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐 (−5) −4 (−1)
(cid:151) =2×2(cid:54)(cid:106)(cid:64) =2(cid:54) 𝑥 2𝑎 𝑥
(cid:151)2𝑎 =5(cid:54)(cid:106)(cid:64) =𝑎 (cid:54)
(cid:151)−𝑏 =4×2×𝑏 −(cid:54)5(cid:106)(cid:64) = (cid:54)
(cid:73)4𝑎=𝑐 2(cid:54) = ((cid:54)−1)= (cid:146)𝑐(cid:171)(cid:30)−(cid:31)1(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) + + =0(cid:54)
2
(cid:64)𝑎(cid:81)2 𝑏 −5=0𝑐(cid:54)(cid:46)−(cid:163)1(cid:193)(cid:87)B(cid:55) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
(cid:192)(cid:193)(cid:10)𝑥B−(cid:55)5𝑥−1(cid:15)(cid:206)(cid:40)4-1(cid:20)(cid:78)23-24(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:99)(cid:320)·(cid:321)(cid:134)(cid:145)(cid:322)(cid:162)(cid:109)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:10)( )( )=0(cid:55)
𝑥−2 3𝑥−5
(cid:29)(cid:10)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)3 +10=0(cid:55)
2
= = 𝑥(cid:54)−11=𝑥10(cid:55)
𝑎 =3,𝑏 = 𝑐 ×3×10=1>0(cid:55)
2
Δ(cid:27)(cid:34)𝑏 − 4 𝑎𝑐 (cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:55) −4
= = (cid:54)
𝑥 5
(cid:100) = (cid:54) = (cid:55)
3
𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) (cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37) ( )± 1 11±1 2
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:36)(cid:58)(cid:7)−(cid:40)11(cid:28)(cid:29)(cid:30)((cid:31)−(cid:32)11(cid:33)) (cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:71)(cid:72)(cid:110)(cid:29)(cid:100)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)3 +10=0(cid:55)
2
=3(cid:54) = (cid:54) =10𝑥(cid:55)−11𝑥
𝑎 = 𝑏 −=11 ( 𝑐 ) ×3×10=1>0(cid:55)
2 2
Δ(cid:27)(cid:34)𝑏(cid:95)−(cid:79)4(cid:80)𝑎𝑐(cid:137)(cid:138)(cid:139)−(cid:37)11(cid:69)(cid:50)−4(cid:36)(cid:55)
= ( )± 1 = 11±1 (cid:54)
2×3 6
− −11
𝑥
5
(cid:100) =2(cid:54) = (cid:55)
3
𝑥1 𝑥2
( )± 1 11±1
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:53)(cid:10) (cid:77) (cid:77)(cid:95)(cid:79)(cid:80)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:77) (cid:77) (cid:77)2(cid:55)
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:20)(cid:196)−(cid:21)1(cid:197)1(cid:198)((cid:7)−(cid:40)11(cid:28)) (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:71)(cid:72)(cid:102)(cid:29)(cid:185)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)4-2(cid:20)(cid:78)23-24(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:99)(cid:320)·(cid:321)(cid:134)(cid:145)(cid:322)(cid:162)(cid:305)(cid:97) = (cid:78) 0(cid:162)(cid:54)(cid:148)(cid:40)(cid:155) + + (cid:37)(cid:47)
22
−𝑏+ 𝑏 −4𝑐 2 2
(cid:102) (cid:55) 𝑥 𝑏 −4𝑐≥ 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)0
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:54)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:233)(cid:216)(cid:221)(cid:109)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:54)(cid:196)(cid:21)(cid:323)(cid:67)(cid:294)(cid:324)(cid:21)(cid:22)(cid:54)(cid:36)(cid:58)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:100)(cid:106)(cid:110)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:151)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:110)(cid:36)(cid:7)(cid:40)(cid:106)(cid:97)(cid:10) + + =0(cid:37)(cid:168)(cid:143)(cid:30)(cid:80)(cid:29)(cid:53) = (cid:54)
22
2 −𝑏+ 𝑏 −4𝑐
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:53)(cid:10)0(cid:55) 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:15)(cid:206)(cid:40)4-3(cid:20)(cid:109)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10)
(1) = (cid:77)
2
(2)−23𝑥 1−𝑥=0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185) 𝑥 (cid:186) − (cid:20) 4 ( 𝑥 1 − ) 3 =3 13, = 13
2 2
+ 3−
𝑥1 𝑥2
(2) =2 10, = 10
2 2
+ 2−
(cid:15)(cid:42)𝑥1 (cid:187)(cid:20)(cid:78)1(cid:162)𝑥2
(cid:84)(cid:51)(cid:126) = =13(cid:54)(cid:91)(cid:146)(cid:171)(cid:7)(cid:40)(cid:263)(cid:264)(cid:325)(cid:51)(cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:64)(cid:81)(cid:185)(cid:186)(cid:77)
2
(cid:78)2(cid:162)(cid:84)(cid:51)(cid:126) = Δ =𝑏4−0(cid:54)4𝑎(cid:91)𝑐 (cid:146)(cid:171)(cid:7)(cid:40)(cid:263)(cid:264)(cid:325)(cid:51)(cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:64)(cid:81)(cid:185)(cid:186)(cid:77)
2
(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:7)Δ(cid:40)(cid:28)𝑏(cid:29)−(cid:30)4𝑎(cid:31)𝑐(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:136)(cid:172)(cid:234)(cid:235)(cid:138)(cid:3)(cid:295)(cid:296)(cid:326)(cid:327)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:78)1(cid:162)(cid:29)(cid:10) = (cid:54)
2
=0(cid:54) ∵−3𝑥 1−𝑥
2
∴𝑥 =−3𝑥−1 = ×1×( )=13(cid:54)
2
∴Δ =3±𝑏 1−34
=
𝑎𝑐3± 193−
(cid:54)
4 −1
2×1 2
∴𝑥
=3 13, = 13 (cid:77)
2 2
+ 3−
(cid:78)∴𝑥 2 1 (cid:162)(cid:29)(cid:10) 2 𝑥2 =0(cid:54)
2
= ∵ 𝑥 =−4𝑥−3 ×2×( )=40(cid:54)
2
∴Δ =4±𝑏 4−04
=
𝑎𝑐2± 1106
(cid:54)
−4 −3
2×2 2
∴𝑥
=2 10, = 10
2 2
+ 2−
∴𝑥1 𝑥2
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)5(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:328)(cid:246)(cid:312)(cid:329)(cid:330)(cid:331)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:173)(cid:27)(cid:34) +12=0(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:36)(cid:332)(cid:333)(cid:102)(cid:139)(cid:334) (cid:37)(cid:79)(cid:203)
2
(cid:90)(cid:335)(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:336)(cid:335)(cid:53)(cid:78) (cid:162)(cid:55) 𝑥 −8𝑥 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:55)10△𝐴𝐵𝐶 B(cid:55)14 C(cid:55)10(cid:75)14 D(cid:55)8(cid:75)10
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)B
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得 =2， =6，然后根
𝑥1 𝑥2据三角形三边的关系得到 的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) +12△=𝐴0𝐵，𝐶
2
解得 =2，𝑥 −=86𝑥，
因为这𝑥1个方程𝑥的2两个根恰好是等腰 的两条边长，
当 的腰为6，底边为2，则△𝐴𝐵𝐶 的周长为6+6+2=14；
①当△𝐴𝐵𝐶的腰为2，底边为6时，△不能𝐴𝐵构𝐶成三角形．
②综上所△述𝐴，𝐵𝐶该三角形的周长的14．
故选：B．
(cid:15)(cid:206)(cid:40)5-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:311)(cid:312)(cid:337)(cid:338)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34)
(1) =0
2
(2)𝑥 −4𝑥−=5
2
(cid:15)(cid:185)(𝑥(cid:186)−4(cid:20))(1) 10=(𝑥5−(cid:54)4) = (cid:54)
(2) =4(cid:54)𝑥1=14 𝑥2 −1
(cid:15)(cid:42)𝑥1(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)𝑥2(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:102)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:77)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:40)(cid:28)(cid:161)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:102)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:78)1(cid:162)(cid:108)(cid:109)(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:42)(cid:29)(cid:41)(cid:40)(cid:53)( )[( ) ]=0(cid:54)(cid:91)(cid:74)(cid:53)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:91)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:78)1(cid:162)(cid:29)(cid:10)𝑥−(4 )𝑥(−4+−1)10=0(cid:54)
(cid:29)(cid:64)(cid:10) =5(cid:54) =𝑥−5(cid:77)𝑥
(cid:78)2(cid:162)(cid:29)𝑥(cid:10)1 (cid:222)(cid:265)(cid:54)𝑥2(cid:64)(cid:10)−(1 ) ( )=0(cid:54)
2
(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:29)(cid:54)(cid:64)(cid:10)( )[𝑥(−4 )−10]𝑥=−40(cid:54)
(cid:100)(cid:10) =0(cid:75) 𝑥−4=0𝑥(cid:54)−4 −10
(cid:29)(cid:64)𝑥(cid:10)−4 =4(cid:54)𝑥−1=414(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)𝑥51-2(cid:20)(cid:78)2𝑥0225·(cid:227)(cid:228)(cid:227)(cid:339)·(cid:30)(cid:231)(cid:162)(cid:36)(cid:58)(cid:57)(cid:249)(cid:218)(cid:115)(cid:37)(cid:34)(cid:340)(cid:325)(cid:51)(cid:341)(cid:50) (cid:37)(cid:47)(cid:55)(cid:173)(cid:342)(cid:171) (cid:37)(cid:47)(cid:53)4(cid:54)(cid:148)(cid:342)(cid:126) (cid:37)(cid:47)
(cid:53)7(cid:55)(cid:173)(cid:342)(cid:126)(cid:37) (cid:47)(cid:53)13(cid:54)(cid:148)(cid:342)(cid:171)(cid:37) (cid:47)(cid:53) (cid:55) 𝑦 𝑥 𝑦
𝑦 𝑥
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) (cid:75)7/7(cid:75)
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)−(cid:196)3(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:341)−(cid:50)3(cid:47)(cid:117)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:84)(cid:36)(cid:58)(cid:305)(cid:97)(cid:110)(cid:64)b(cid:47)(cid:54)(cid:91)(cid:151) =13(cid:42)(cid:39)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:110)(cid:64)x(cid:47)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
𝑦(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) (cid:342)(cid:171) (cid:37)(cid:47)(cid:53)4(cid:54)(cid:148)(cid:342)(cid:126) (cid:37)(cid:47)(cid:53)7(cid:54)(cid:199)4>3(cid:54)
2×4+ =7∵(cid:54)(cid:29)(cid:64)𝑥 = (cid:54) 𝑦
∴(cid:173)(cid:342)(cid:126)(cid:37)𝑏(cid:47)(cid:53)13(cid:54) 𝑏 −1
(cid:148)(cid:132) >3𝑦(cid:83)(cid:54)(cid:151) =13(cid:64) =7(cid:77)
(cid:132) <𝑥 3(cid:83)(cid:54)(cid:151) 2𝑥−+11=13(cid:64)𝑥 = (cid:54) =4(cid:78)(cid:343)(cid:298)(cid:162)(cid:54)
2
(cid:344)𝑥(cid:122)(cid:54)(cid:173)(cid:342)(cid:126)(cid:37)𝑥 −(cid:47)𝑥(cid:53)13(cid:54)(cid:148)(cid:342)(cid:171)𝑥1(cid:37)x−(cid:47)3 (cid:53)𝑥2 (cid:75)7(cid:54)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)(cid:53)(cid:10) (cid:75)𝑦7(cid:55) −3
(cid:15)(cid:206)(cid:40)5-3(cid:20)−(cid:78)32025·(cid:312)(cid:345)(cid:86)(cid:339)·(cid:30)(cid:231)(cid:162)(cid:173) =20(cid:54) =24(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:47)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
2 2
A(cid:55)±8 B(cid:55)±12 𝑎 −𝑏C(cid:55)±14𝑎𝑏 2𝑎D−(cid:55)𝑏±16
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)A
24 24
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:36)(cid:58) =24(cid:64)(cid:81) = (cid:199)a(cid:54)b(cid:118)(cid:9)(cid:54)(cid:253)(cid:127) =20(cid:64)(cid:81) =20(cid:54)(cid:222)(cid:265)(cid:134)(cid:54)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
2
2 2 2
(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:48)𝑎(cid:49)𝑏(cid:295)(cid:54)(cid:29)(cid:27)(cid:34)𝑎(cid:54)(cid:110)𝑏(cid:146)(cid:50)(cid:40)(cid:37)(cid:47)(cid:54)(cid:233)(cid:216)(cid:234)𝑎(cid:235)−(cid:29)𝑏(cid:27)(cid:34)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)𝑏(cid:3)−(cid:236)𝑏(cid:55)
24
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:151) =24(cid:64)(cid:81) = (cid:199)a(cid:54)b(cid:118)(cid:9)(cid:54)
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
=20
2 2
∵𝑎24−𝑏
=20
2
2
∴( 𝑏 ) −+𝑏20 24 =0(cid:54)
2 2 2 2
∴(𝑏 +36)(𝑏 − )=0(cid:54)
2 2
∴(cid:346)𝑏 +36 𝑏36−(cid:54)16
2
𝑏 =≥0(cid:54)
2
∴(cid:29)𝑏(cid:64)−1=6±4(cid:54)
𝑏=6 =
(cid:192) (cid:75) (cid:54)
=4 =
𝑎 𝑎 −6
(cid:132) 𝑏= =4𝑏(cid:83)(cid:54)−4 =8(cid:77)
(cid:132)𝑎=6,𝑏 = (cid:83)2(cid:54)𝑎−𝑏 = (cid:77)
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)−A6(cid:55),𝑏 −4 2𝑎−𝑏 −8
【题型6 换元法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:56)6(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:230)(cid:228)(cid:347)(cid:348)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:305)(cid:97)(cid:69)(cid:50) (cid:349)(cid:350)(cid:27)(cid:34)( + )( )+6=0(cid:54)(cid:148) + (cid:37)(cid:47)
2 2 2
(cid:102) (cid:55) 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)3
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:351) = + (cid:54)(cid:148)(cid:82)(cid:40)(cid:53) ( )+6=0(cid:54)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:29)(cid:185)(cid:54)(cid:4)(cid:59)(cid:27)(cid:34)
2
(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:37)(cid:149)(cid:150)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55) 𝑡 𝑥 𝑥 𝑡 1−𝑡
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:351) = + (cid:54)
2
(cid:148)(cid:82)(cid:40)(cid:53) ( )𝑡+6𝑥=0(cid:54)𝑥
(cid:29)(cid:64) =𝑡3,1−=𝑡 (cid:54)
(cid:132) 𝑡+1 =3𝑡2(cid:83)(cid:54)−2=1 +4×1×3=13>0(cid:54)(cid:27)(cid:34)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)
2 2
(cid:132)𝑥 +𝑥= (cid:83)(cid:54)Δ =1 ×1×2= <0(cid:54)(cid:27)(cid:34)(cid:141)(cid:95)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:54)
2 2
𝑥 +𝑥 =−3(cid:54)2 Δ −4 −7
2
(cid:192)∴(cid:185)𝑥 (cid:186)(cid:53)𝑥 (cid:10)3(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)6-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:211)(cid:212)(cid:270)(cid:240)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:305)(cid:97)(cid:69)(cid:50)x(cid:349)(cid:350)( + ) ( + ) =0(cid:54)(cid:148)(cid:146)
2 2 2 2 2
(cid:50)(cid:40) + +1(cid:37)(cid:47)(cid:102)(cid:78) (cid:162) 𝑎 𝑏 −4 𝑎 𝑏 −12
2 2
A𝑎(cid:55)7 𝑏 B(cid:55) C(cid:55)7(cid:75) D(cid:55) (cid:75)3
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)A −1 −1 −5
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:146)(cid:50)(cid:40)(cid:110)(cid:47)(cid:55)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:146)(cid:50)(cid:40)(cid:110)(cid:47)
(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:352) + = (cid:54) >0(cid:54)(cid:148) =0(cid:54)(cid:106)(cid:110)(cid:349)(cid:350)(cid:200)(cid:110)(cid:29)(cid:53) =6(cid:54)(cid:188)(cid:134)(cid:146)(cid:47)(cid:110)(cid:29)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
2 2 2
(cid:15)𝑎(cid:191)(cid:29)(cid:20)𝑏(cid:29)(cid:10)𝑥(cid:352)𝑥 + =𝑥(cid:54)−4𝑥>−01(cid:54)2 𝑥
2 2
=0𝑎(cid:54) 𝑏 𝑥 𝑥
2
∴(𝑥+−24)𝑥(−12)=0(cid:54)
(cid:29)𝑥(cid:64)(cid:54) 𝑥=−6 (cid:78)(cid:343)(cid:298)(cid:162)(cid:75) =6(cid:54)
+ 𝑥 +−12=6+1=7(cid:54)𝑥
2 2
∴(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)𝑏A(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)6-2(cid:20)(cid:78)24-25(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:211)(cid:212)(cid:211)(cid:353)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34) ( + ) +2025=0(cid:37)(cid:29)(cid:102) = (cid:54) =2
2
(cid:78) (cid:117) (cid:117) (cid:354)(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:54) 0(cid:162)(cid:55) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑘 𝑥1 −3 𝑥2
(cid:310)𝑎(cid:21)(cid:10)𝑘 𝑏 𝑎≠
(cid:78)1(cid:162)(cid:3)(cid:67) (cid:37)(cid:27)(cid:34) ( +1+ ) +2025=0(cid:37)(cid:36)(cid:102) (cid:77)
2
(cid:78)2(cid:162)(cid:3)(cid:67)𝑥(cid:37)(cid:27)(cid:34)𝑎(𝑥 +4𝑘) +2025=0(cid:37)(cid:36)(cid:53) (cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) 𝑥 =𝑎 𝑥−(cid:54)𝑘 =1 = (cid:54) =
𝑥1 −4 𝑥2 𝑥1 −1 𝑥2 −6(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:234)(cid:235)(cid:221)(cid:109)(cid:43)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:78)1(cid:162)(cid:73) +1(cid:144)(cid:145)(cid:222)(cid:223)(cid:54)(cid:151)(cid:21)(cid:59)(cid:106)(cid:97) +1= (cid:54) +1=2(cid:91)(cid:110)(cid:29)(cid:100)(cid:106)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:355)𝑥(cid:356)(cid:78)1(cid:162)(cid:325)(cid:51)(cid:100)(cid:106)(cid:55) 𝑥 −3 𝑥
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:78)1(cid:162) (cid:27)(cid:34) ( + ) +2025=0(cid:37)(cid:29)(cid:102) = (cid:54) =2(cid:54)
2
(cid:352) = +1(cid:54)(cid:148) (∵+1𝑎+𝑥) +𝑘2025=0(cid:106)(cid:74)(cid:53) ( +𝑥1 ) −+3202𝑥52=0(cid:54)
2 2
∴ 𝑐= 𝑥(cid:54) =2𝑎(cid:54)𝑥 𝑘 𝑎 𝑐 𝑘
∴𝑐1+1−=3 𝑐(cid:54) 2 +1=2(cid:54)
∴(cid:29)𝑥(cid:64)(cid:10) −=3 𝑥(cid:54) =1(cid:55)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:53)1(cid:10) −4= 𝑥2(cid:54) =1(cid:55)
(cid:78)2(cid:162)(cid:352) +𝑥41= −4(cid:54)(cid:148)𝑥2( +4) +2025=0(cid:106)(cid:74)(cid:53) ( ) +2025=0(cid:54)
2 2
(cid:100) ( +𝑥) +202−5𝑡=0(cid:54)𝑎 𝑥−𝑘 𝑎 −𝑡−𝑘
2
(cid:3)𝑎(cid:67)𝑡 x(cid:37)𝑘 (cid:27)(cid:34) ( + ) +2025=0(cid:37)(cid:29)(cid:102) = (cid:54) =2(cid:54)
2
∵ = (cid:54) =𝑎2𝑥(cid:54)(cid:100)𝑘 = = (cid:54)𝑥1 −3 𝑥2
∴𝑡1+4−=3 𝑡2+4= −(cid:54)𝑡1 3,−𝑡2 −2
∴(cid:29)𝑥(cid:64)(cid:10) 3=,𝑥 (cid:54) −=2 (cid:55)
(cid:192)(cid:185)(cid:186)𝑥(cid:53)1(cid:10) −1= 𝑥2(cid:54) −6= (cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)6-3(cid:20)𝑥1(cid:78)24−-215(cid:207)𝑥2(cid:208)(cid:209)−(cid:210)6·(cid:211)(cid:212)(cid:127)(cid:357)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:281)(cid:282)(cid:161)(cid:224)(cid:197)(cid:10)
(cid:210)(cid:276)(cid:102)(cid:207)(cid:78)1(cid:162)(cid:358)(cid:11)(cid:217)(cid:244)(cid:245)(cid:359)(cid:360)(cid:295)(cid:11)(cid:217)(cid:361)(cid:362)(cid:37)(cid:363)(cid:42)(cid:326)(cid:327)(cid:54)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:128)(cid:98)(cid:94)(cid:138)(cid:163)(cid:283)(cid:284)(cid:55)(cid:359)(cid:360)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)
(cid:232)(cid:29)(cid:28)(cid:364)(cid:314)(cid:30)(cid:112)(cid:3)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:232)(cid:29)(cid:28)(cid:30)(cid:30)(cid:365)(cid:298)(cid:96)(cid:97)(cid:50)(cid:37)(cid:30)(cid:33)(cid:87)(cid:54)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:366)(cid:74)(cid:53)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:76)(cid:40)(cid:54)
(cid:73)(cid:168)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:263)(cid:30)(cid:71)(cid:110)(cid:64)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:55)
(cid:15)(cid:56)(cid:57)(cid:20)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) =0(cid:54)
2
(cid:352) = + (cid:78)m(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:162)𝑥(cid:54)−4𝑥−6
(cid:73)𝑥(cid:82)(cid:27)𝑦(cid:34)(cid:74)𝑚(cid:53)( + ) ( + ) =0(cid:54)
2
(cid:27)(cid:34) (cid:222)(cid:265)(cid:54)(cid:64)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:54)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:54)(cid:29)𝑦(cid:64) =2𝑚2(cid:55)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:132)2𝑚=−42(cid:83)(cid:54) 𝑚 =2 × = (cid:54)
2 2
𝑚(cid:27)(cid:34) (cid:74)(cid:53)𝑚 −4𝑚−=60(cid:54)(cid:29)−(cid:64)4 =2−610(cid:54)−10= 10(cid:54)
2
∴ =② + 𝑦=−__1_0________(cid:54)𝑦1= + 𝑦=2 ___−________(cid:55)
(cid:283)∴(cid:284)𝑥1(cid:10) 𝑦1 𝑚 𝑥2 𝑦2 𝑚(1)(cid:23)(cid:24)(cid:169)(cid:126)(cid:367)(cid:368)(cid:143)“ ”(cid:363)(cid:42)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29) =___________(cid:54) =___________(cid:55)
(2)(cid:369)(cid:356)(cid:367)(cid:368)(cid:143)“(cid:56)(cid:57)”(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:54)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑥1(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)3 + 𝑥+2 1=0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)(1) 10+2(cid:54) 10+2(cid:77) 𝑥 12𝑥
(2) = 33 (cid:54) = − 33
3 3
(cid:15)(cid:42)𝑥1 (cid:187)(cid:20)(cid:196)−(cid:21)2(cid:197)(cid:198)𝑥2 (cid:30)(cid:31)−(cid:32)(cid:33)−(cid:27)2(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:28)(cid:54)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:265)(cid:29)(cid:21)(cid:59)(cid:54)(cid:370)(cid:371)(cid:221)(cid:109)(cid:218)(cid:11)(cid:97)(cid:205)(cid:29)(cid:153)(cid:310)(cid:21)(cid:54)
(cid:78)1(cid:162)(cid:36)(cid:58)(cid:367)(cid:368)(cid:143)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:126)(cid:29)(cid:100)(cid:106)(cid:77)
(cid:78)2(cid:162)(cid:352) = + (cid:78)m(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:162)(cid:54)(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) + + + + 1 =0(cid:54)(cid:27)(cid:34)(cid:222)(cid:265)(cid:54)(cid:64) + + +
3
2 2
𝑥 𝑦 𝑚 (𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) 𝑦 (2𝑚 4)𝑦
+ + 1 =0(cid:54)(cid:351) +4=0(cid:29)(cid:64) = (cid:54)(cid:132) = (cid:83)(cid:54) + + 1 = 11 (cid:54)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) 11 =0(cid:54)(cid:29)
3 3 3 3
2 2 2
𝑚 4𝑚 2𝑚 𝑚 −2 𝑚 −2 𝑚 4𝑚 − 𝑦 −
33 33
(cid:64) = (cid:54), = (cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:110)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:55)
3 3
(cid:15)𝑦(cid:191) 1 (cid:29)(cid:20)(cid:78)1(cid:162)𝑦2 (cid:29)(cid:10)−(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34) =0(cid:54)
2
(cid:352) = + (cid:78)m(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:162)(cid:54) 𝑥 −4𝑥−6
(cid:73)𝑥(cid:82)(cid:27)𝑦(cid:34)(cid:74)𝑚(cid:53)( + ) ( + ) =0(cid:54)
2
(cid:27)(cid:34) (cid:222)(cid:265)(cid:54)(cid:64)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:54)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:54)(cid:29)𝑦(cid:64) =2𝑚2(cid:55)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:132)2𝑚=−42(cid:83)(cid:54) 𝑚 =2 × = (cid:54)
2 2
𝑚(cid:27)(cid:34) (cid:74)(cid:53)𝑚 −4𝑚−=60(cid:54)(cid:29)−(cid:64)4 =2−610(cid:54)−10= 10(cid:54)
2
∴ =② + 𝑦=−1010+2(cid:54) =𝑦1 + = 𝑦210+−2
(cid:192)∴(cid:185)𝑥(cid:186)1 (cid:53)𝑦(cid:10)1 1𝑚0+2(cid:54) 10+𝑥22(cid:77)𝑦2 𝑚 −
(cid:78)2(cid:162)(cid:352) = + (cid:78)m−(cid:53)(cid:86)(cid:50)(cid:162)(cid:54)
(cid:73)(cid:82)(cid:27)(cid:34) 𝑥 (cid:74)(cid:53) 𝑦 𝑚 + + + + 1 =0
3
2
(𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) ①
(cid:27)(cid:34) (cid:222)(cid:265)(cid:54)(cid:64)
+
①
+ + + +
1
=0
3
2 2
𝑦 (2𝑚 4)𝑦 𝑚 4𝑚 ②
(cid:351) +4=0(cid:29)(cid:64) = (cid:54)
(cid:132)
2𝑚
= (cid:83)(cid:54)
𝑚
+
−
+
21
=
11
(cid:54)
3 3
2
𝑚 −2 𝑚 4𝑚 −
(cid:27)(cid:34) (cid:74)(cid:53) 11 =0
3
2
∴ ② 𝑦 −
(cid:29)(cid:64) =
33
(cid:54) =
33
(cid:54)
3 3
𝑦1 𝑦2 −= + = 33 (cid:54) = + = 33 (cid:55)
3 3
∴ 𝑥1 𝑦1 𝑚 −2 𝑥2 𝑦2 𝑚 − −2
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
(cid:15)(cid:56)7(cid:20)(cid:78)24-25(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:274)(cid:238)(cid:211)(cid:240)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:95)(cid:174)(cid:256)“(cid:50)(cid:11)(cid:102)(cid:224)(cid:372)(cid:37)(cid:223)(cid:373)”(cid:54)(cid:221)(cid:109)(cid:309)(cid:234)(cid:235)(cid:374)(cid:200)(cid:37)“(cid:50)(cid:11)(cid:224)(cid:225)”(cid:309)“(cid:50)
(cid:11)(cid:27)(cid:28)”(cid:102)(cid:11)(cid:333)(cid:50)(cid:11)(cid:37)(cid:375)(cid:200)(cid:28)(cid:376)(cid:55)(cid:281)(cid:282)(cid:210)(cid:190)(cid:56)(cid:21)(cid:268)(cid:168)(cid:29)(cid:185)(cid:114)(cid:34)(cid:10)
(cid:56)(cid:10)(cid:29)(cid:27)(cid:34) =0(cid:55)
2
(cid:29)(cid:10) (cid:132) 𝑥 0−(cid:83)2|(cid:54)𝑥|−(cid:82)3(cid:27)(cid:34)(cid:53) =0(cid:54)
2
(cid:29)(cid:64)①=𝑥≥(cid:78)(cid:161) 0(cid:377)(cid:378)(cid:54)𝑥(cid:343)−(cid:298)2𝑥(cid:162)−(cid:54)3 =3(cid:55)
(cid:132)𝑥1<0−(cid:83)1(cid:54)(cid:82)(cid:27)𝑥≥(cid:34)(cid:53) + =0(cid:54)𝑥2
2
②(cid:29)(cid:64)𝑥 =1(cid:78)(cid:161) <0(cid:377)(cid:378)𝑥(cid:54)(cid:343)2𝑥(cid:298)−(cid:162)3(cid:54) = (cid:55)
(cid:218)(cid:107)𝑥(cid:82)1(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:36)𝑥(cid:102) =3(cid:54) = (cid:55)𝑥2 −3
(cid:306)(cid:122)(cid:276)(cid:37)(cid:29)(cid:185)(cid:114)(cid:34)𝑥(cid:143)1(cid:54)(cid:379)(cid:380)𝑥(cid:46)2 x(cid:263)−3(cid:264)(cid:364)(cid:314)(cid:54)(cid:178)(cid:179)(cid:74)(cid:381)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:55)(cid:111)(cid:102)(cid:29)(cid:153)(cid:50)(cid:11)(cid:310)(cid:21)(cid:37)(cid:30)(cid:112)(cid:375)(cid:200)(cid:224)(cid:225)——(cid:42)(cid:129)
(cid:364)(cid:314)(cid:55)
(cid:283)(cid:284)(cid:10)(cid:278)(cid:382)(cid:356)(cid:122)(cid:383)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:10) =0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) =2(cid:54) = 𝑥 −|𝑥|−2
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)𝑥(cid:196)1(cid:21)(cid:197)(cid:198)𝑥(cid:133)2(cid:29)(cid:30)−2(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:265)(cid:29)(cid:21)(cid:59)(cid:54)(cid:11)(cid:226)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:129)(cid:364)(cid:314)(cid:37)(cid:224)(cid:225)(cid:224)
(cid:197)(cid:310)(cid:21)(cid:55)
(cid:196)(cid:21)(cid:84)(cid:42)(cid:129)(cid:364)(cid:314)(cid:54)(cid:73)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:263)(cid:179)(cid:110)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:343)(cid:384)(cid:137)(cid:152)(cid:127)(cid:203)(cid:204)(cid:37)(cid:185)(cid:186)(cid:54)(cid:100)
(cid:106)(cid:64)(cid:81)(cid:196)(cid:21)(cid:37)(cid:185)(cid:186)(cid:77)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:42)(cid:79)(cid:112)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:314)
(cid:78)1(cid:162)(cid:132) 0(cid:83)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:106)(cid:74)(cid:53) =0(cid:54)
2
(cid:29)(cid:64)(cid:10) 𝑥=≥2(cid:54) = (cid:78)(cid:343)(cid:298)(cid:162)𝑥(cid:77)−𝑥−2
(cid:78)2(cid:162)(cid:132)𝑥1 <0(cid:83)𝑥(cid:54)2(cid:82)(cid:27)−(cid:34)1 (cid:106)(cid:74)(cid:53) + =0(cid:54)
2
(cid:29)(cid:64)(cid:10) 𝑥= (cid:54) =1(cid:78)(cid:343)(cid:298)(cid:162)𝑥(cid:77) 𝑥−2
(cid:344)(cid:122)(cid:218)𝑥1(cid:383)(cid:54)−(cid:82)2(cid:27)(cid:34)𝑥2(cid:37)(cid:36)(cid:102) =2(cid:54) = (cid:55)
∴(cid:15)(cid:206)(cid:40)7-1(cid:20)(cid:78)22-23(cid:273)(cid:208)(cid:209)𝑥1(cid:122)·(cid:385)(cid:386)𝑥(cid:387)2(cid:388)·−(cid:214)2(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34) + =0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) =2, = 𝑥 −|𝑥 1|−1
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)𝑥(cid:36)1(cid:58)(cid:21)𝑥(cid:59)2 (cid:42)−1(cid:79)(cid:112)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:314)(cid:54)(cid:74)(cid:381)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:54)(cid:188)(cid:134)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:110)(cid:29)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:42)(cid:79)(cid:112)(cid:149)(cid:150)(cid:10)(cid:132) +1 0(cid:54)(cid:100) (cid:83)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) ( +1) =0(cid:54)(cid:29)(cid:64) =2, = (cid:77)
2
①(cid:132)𝑥+1≥<0(cid:54)(cid:100)𝑥≥<−1(cid:83)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53)𝑥 −+(𝑥+1)−1=0(cid:54)(cid:29)(cid:64)𝑥1=0(cid:78)𝑥2(cid:343)−(cid:298)1(cid:162)(cid:54) = (cid:78)(cid:343)(cid:298)(cid:162)(cid:55)
2
②(cid:344)(cid:122)(cid:218)𝑥(cid:383)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)𝑥(cid:37)−(cid:29)1(cid:102) =2, = (cid:55)𝑥 𝑥 −1 𝑥3 𝑥4 −1
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:29)(cid:30)𝑥(cid:31)1(cid:32)(cid:33)𝑥(cid:27)2 (cid:34)−1(cid:54)(cid:42)(cid:129)(cid:364)(cid:314)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)7-2(cid:20)(cid:29)(cid:27)(cid:34) |2 +3|+9=0(cid:55)
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) =1, =3𝑥 −2 𝑥
𝑥1 𝑥2
3 3
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:355)(cid:356)(cid:56)(cid:21)(cid:54)(cid:42) (cid:161) < (cid:54)(cid:74)(cid:381)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:64)(cid:81)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:110)(cid:29)(cid:55)
2 2
𝑥≥− 𝑥 −
3
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:132)2 +1 0(cid:54)(cid:100) (cid:83)(cid:54)
2
(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:106)(cid:74)(cid:53)𝑥(cid:10) ≥ 𝑥
+
≥
3
−
)+9=0
2
(cid:222)(cid:265)(cid:64)(cid:10) +𝑥3−=20(2𝑥
2
(cid:29)(cid:64)(cid:10) =𝑥1−, 4𝑥=3
𝑥1 𝑥2
3
(cid:132)2 +1<0(cid:54)(cid:100) < (cid:83)(cid:54)
2
(cid:82)(cid:27)𝑥(cid:34)(cid:106)(cid:74)(cid:53)(cid:10)𝑥 −
+2(2 +3)+9=0
2
(cid:222)(cid:265)(cid:64) +4 +1𝑥5=0 𝑥
2
=4 𝑥 ×1𝑥×15= <0,
2
∵(cid:286)Δ (cid:27)(cid:34)−(cid:68)4 (cid:69)(cid:50)(cid:29)(cid:54)−44
∴(cid:344)(cid:122)(cid:218)(cid:383)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:29)(cid:53)(cid:10) =1, =3
(cid:15)(cid:194)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑥(cid:32)1(cid:33)(cid:27)𝑥(cid:34)2 (cid:54)(cid:42)(cid:129)(cid:364)(cid:314)(cid:74)(cid:381)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)
(cid:15)(cid:206)(cid:40)7-3(cid:20)(cid:78)22-23(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:230)(cid:386)(cid:389)(cid:82)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)(cid:29)(cid:27)(cid:34) =0
2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20) = 29 (cid:54) = 29 𝑥 −|𝑥−5|−2
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)𝑥(cid:36) 1 (cid:58)(cid:21)(cid:59)(cid:42)x 𝑥 -5 2 ≥0(cid:309)x-5(cid:184)0(cid:79)(cid:112)(cid:149)(cid:150)(cid:54)(cid:42)(cid:39)(cid:29)(cid:27)(cid:34)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) (cid:132)x-5≥0(cid:83)(cid:54)(cid:100)x≥5(cid:83)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) + =0(cid:54)(cid:100) +3=0(cid:54)
2 2
=1, = =①3(cid:54) 𝑥 −𝑥 5−2 𝑥 −𝑥
𝑎 =𝑏 −1,𝑐=( ) ×1×3= <0(cid:54)
2 2
∴(cid:82)Δ (cid:27)𝑏(cid:34)−(cid:68)4𝑎(cid:29)𝑐 (cid:54)−1 −4 −11
∴ (cid:132)x-5(cid:184)0(cid:83)(cid:54)(cid:100)x(cid:184)5(cid:83)(cid:54)(cid:82)(cid:27)(cid:34)(cid:74)(cid:53) + =0(cid:54)(cid:100) + =0(cid:54)
2 2
②=1, =1, = (cid:54) 𝑥 𝑥−5−2 𝑥 𝑥−7
𝑎 =𝑏 𝑐 =−17 ×1×( )=29>0
2 2
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐 −4 −7± 29
=
2×1
−1
𝑥
29 29
(cid:29)(cid:64)(cid:10) = (cid:54) = (cid:55)
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:194)(cid:195)𝑥(cid:20) 1 (cid:286)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)𝑥(cid:29) 2 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:54)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:36)(cid:58)(cid:21)(cid:59)(cid:42)(cid:79)(cid:112)(cid:149)(cid:150)(cid:364)(cid:314)(cid:55)
【题型8 配方法】
(cid:15)(cid:56)8(cid:20)(cid:78)2025·(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:211)·(cid:30)(cid:231)(cid:162)(cid:305)(cid:97) (cid:54) (cid:54) (cid:53)(cid:69)(cid:50)(cid:54)(cid:199) + = +3 (cid:54) = + (cid:54)(cid:148) (cid:54)
2 2
(cid:54) (cid:308)(cid:390)(cid:37)(cid:18)(cid:244)(cid:3)(cid:116)(cid:102)(cid:78) (cid:162) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧A(cid:55) < B(cid:55) < C(cid:55) < D(cid:55) <
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:37)(cid:163)(cid:109)(cid:54)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:163)(cid:109)(cid:55)(cid:84)(cid:36)(cid:58)(cid:305)(cid:97)(cid:139)(cid:40)(cid:110)(cid:126) = +2(cid:54) =2
2 2
+3(cid:54)(cid:91)(cid:108)(cid:109)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:38)(cid:164)(cid:126) > (cid:54) (cid:54)(cid:151)(cid:286)(cid:100)(cid:106)(cid:64)(cid:126)(cid:185)(cid:186)(cid:55) 𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥
−(cid:15)3(cid:191)𝑥(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) + = +3 (cid:54) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:54)
2 2
(cid:29)(cid:64) = ∵+𝑦2(cid:54)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:54)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:54)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:77)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:54)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:54)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:54)
∴(cid:192)𝑥(cid:193)(cid:10)𝑦A≤(cid:55)𝑧
(cid:15)(cid:206)(cid:40)8-1(cid:20)(cid:78)24-25(cid:273)(cid:208)(cid:209)(cid:122)·(cid:274)(cid:238)(cid:336)(cid:391)·(cid:271)(cid:143)(cid:162)(cid:173)(cid:146)(cid:50)(cid:40) + (cid:106)(cid:74)(cid:53)( + ) (cid:54)(cid:148) + (cid:37)(cid:47)(cid:102)
2 2
(cid:78) (cid:162) 𝑥 −4𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −1 𝑎 𝑏
A(cid:55)2 B(cid:55)1 C(cid:55) D(cid:55)
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)B −2 −1
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:37)(cid:102)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:102)(cid:163)(cid:109)(cid:54)(cid:234)(cid:235)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:102)(cid:29)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:55)(cid:36)(cid:58)(cid:98)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:7)(cid:40)(cid:85)(cid:82)(cid:40)(cid:206)(cid:76)(cid:54)
(cid:91)(cid:36)(cid:58)(cid:21)(cid:59)(cid:110)(cid:126) =3(cid:54) = (cid:54)(cid:325)(cid:51)(cid:100)(cid:106)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10) 𝑎 + 𝑏 −2
2
= + 𝑥 −+4𝑥 𝑎
2
=𝑥( −4𝑥) +4−4 (cid:54)𝑎
2
(cid:151)(cid:21)𝑥(cid:59)−(cid:64)2 (cid:10) 𝑎=−4 (cid:54) = (cid:54)
𝑏 −2 𝑎−4 −1(cid:29)(cid:64)(cid:10) =3(cid:54) = (cid:54)
(cid:148) + 𝑎= 𝑏=1−(cid:54)2
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)𝑏B(cid:55)3−2
(cid:15)(cid:206)(cid:40)8-2(cid:20)(cid:78)2025·(cid:211)(cid:212)(cid:392)(cid:339)·(cid:231)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:162)(cid:305)(cid:97)(cid:69)(cid:50)a(cid:54)b(cid:349)(cid:350) + = >0(cid:54)(cid:148)(cid:210)(cid:190)(cid:38)(cid:164)(cid:136)(cid:172)(cid:37)(cid:102)(cid:78) (cid:162)
A(cid:55) + >2, + + <4 B(cid:55) + <2, 𝑎+ 2𝑏+ 4,<𝑎 4
2 2
C(cid:55)𝑎+𝑏>2,𝑎 +5𝑎+2𝑏>4 D(cid:55)𝑎+𝑏 <2,𝑎 +5𝑎+2𝑏 >4
2 2
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)𝑎C 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:137)(cid:139)(cid:40)(cid:37)(cid:295)(cid:296)(cid:268)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:163)(cid:109)(cid:54)(cid:29)(cid:153)(cid:196)(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:102)(cid:233)(cid:216)(cid:234)(cid:235)(cid:137)(cid:139)(cid:40)(cid:37)(cid:295)(cid:296)(cid:268)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:37)
(cid:163)(cid:109)(cid:54)(cid:151) + =4(cid:106)(cid:64) = (cid:54)(cid:106)(cid:64) + = + = = 4 .(cid:106)(cid:64)(cid:126) 4 > 4 =2(cid:54) (cid:100) + >2(cid:46)
2 2 2 2 2 2
4−𝑎 4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+ 𝑎+
(cid:218)(cid:95) >0 𝑎(cid:94)(cid:393)2𝑏(cid:55)(cid:73) = 𝑏 (cid:146)(cid:171) + 𝑎 + 𝑏 (cid:64)𝑎(cid:10) + + = + + = + +4 𝑎 = 𝑏 +2)
2 2 2 2 2
.(cid:106)(cid:64)𝑎 +2) >2 2=𝑏 4(cid:54)4 −(cid:91)𝑎(cid:38)(cid:164)𝑎(cid:100)(cid:106)5(cid:55)𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
2 2
(𝑎
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:151) + =4(cid:106)(cid:64) = (cid:54)
2
4−𝑎
𝑎 2𝑏 𝑏
4
+ = + = = .
2 2 2
4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+
∴ 𝑎 𝑏 𝑎
>0(cid:54)
∵𝑎+4>4(cid:54)
∴𝑎 4 > 4 =2(cid:54)
2 2
𝑎+
∴
(cid:100) + >2(cid:46)(cid:218)(cid:95) >0(cid:94)(cid:393)(cid:55)
(cid:73)𝑎 =𝑏 (cid:146)(cid:171) 𝑎+ + (cid:64)(cid:10)
2
2+𝑏 4+−𝑎 = 𝑎 + 5𝑎+ 2𝑏 = + +4= +2) .
2 2 2 2
𝑎 >5𝑎0(cid:54) 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
∵𝑎+2>2(cid:54)
∴𝑎 +2) >2 =4(cid:54)
2 2
(cid:100)∴(𝑎 + + >4(cid:46)(cid:218)(cid:95) >0(cid:94)(cid:393)(cid:55)
2
(cid:192)𝑎(cid:193)(cid:10)C5(cid:55)𝑎 2𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:206)(cid:40)8-3(cid:20)(cid:78)2025·(cid:230)(cid:228)(cid:394)(cid:395)·(cid:30)(cid:231)(cid:162)(cid:305)(cid:97) (cid:53)(cid:69)(cid:50)(cid:54)(cid:352) = + +25 +5(cid:54)(cid:148) (cid:37)(cid:252)(cid:18)(cid:47)(cid:102)
2 2
(cid:78) (cid:162) 𝑥 𝑑 𝑥 6𝑥 − 𝑥 −2𝑥 𝑑
A(cid:55)2 2 B(cid:55)2 5 C(cid:55)5 D(cid:55)6
(cid:15)(cid:185)(cid:186)(cid:20)B(cid:15)(cid:42)(cid:187)(cid:20)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:198)(cid:133)(cid:396)(cid:397)(cid:154)(cid:265)(cid:117)(cid:79)(cid:194)(cid:308)(cid:390)(cid:37)(cid:398)(cid:399)(cid:54)(cid:234)(cid:235)(cid:306)(cid:26)(cid:276)(cid:23)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:116)(cid:143)(cid:110)(cid:126)(cid:79)(cid:194)(cid:390)(cid:37)(cid:398)(cid:399)(cid:37)(cid:7)(cid:40)(cid:102)(cid:29)
(cid:21)(cid:37)(cid:3)(cid:236)(cid:54)(cid:84)(cid:265)(cid:29)(cid:21)(cid:59)(cid:54)(cid:221)(cid:109)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:85)(cid:189)(cid:25)(cid:27)(cid:50)(cid:206)(cid:76)(cid:54)(cid:91)(cid:36)(cid:58)(cid:120)(cid:400)(cid:76)(cid:37)(cid:120)(cid:90)(cid:3)(cid:116)(cid:263)(cid:264)(cid:42)(cid:187)(cid:54)(cid:107)(cid:268)(cid:79)(cid:194)(cid:390)(cid:37)
(cid:398)(cid:399)(cid:7)(cid:40)(cid:190)(cid:40)(cid:325)(cid:51)(cid:54)(cid:100)(cid:106)(cid:145)(cid:185)(cid:55)
(cid:15)(cid:191)(cid:29)(cid:20)(cid:29)(cid:10)(cid:142)(cid:21)(cid:59)(cid:54) + +25= + +16+9=( +3) +4 (cid:54)
2 2 2 2
(cid:122)(cid:40)(cid:160)(cid:115) ( )(cid:161) ( 𝑥 )(cid:308)6(cid:390)𝑥(cid:37)(cid:398)(cid:399)(cid:54)𝑥 6𝑥 𝑥
+𝐴5=𝑥,0 𝐵 −+31,4+4=( ) +2 (cid:54)
2 2 2 2
(cid:122)𝑥 (cid:40)−2(cid:160)𝑥(cid:115) ( 𝑥)(cid:161)−2𝑥(1,2)(cid:308)(cid:390)(cid:37)(cid:398)𝑥(cid:399)−1(cid:54)
𝐴 𝑥,0 𝐶
(cid:151)(cid:396)(cid:397)(cid:154)(cid:265)(cid:64) = ( ) +( ) =2 5(cid:54)
2 2
𝐵𝐶 −3−1 4−2
(cid:253)(cid:127)(cid:120)(cid:400)(cid:76)(cid:120)(cid:90)(cid:3)(cid:116)(cid:64) (cid:37)(cid:252)(cid:18)(cid:47)(cid:102)(cid:194)B(cid:309)(cid:194)C(cid:37)(cid:398)(cid:399)(cid:54)(cid:100) (cid:37)(cid:252)(cid:18)(cid:47)=2 5(cid:54)
(cid:192)(cid:193)(cid:10)B(cid:55) 𝑑 𝑑
