专题21.4二次函数与一元二次方程(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪科)

专题 21.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:19)............................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:45)x(cid:26)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:46)(cid:24)(cid:47)(cid:19)....................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)..............................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:19)......................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:45)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:19)......................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:19)..................................................................................................26
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:67)(cid:27)(cid:68)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:19)......................................................................................................29
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y=0(cid:71)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:76)(cid:70)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)
(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:77)x
1
(cid:72)x
2
(cid:72)(cid:89)x
1
(cid:72)x
2
(cid:77)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(
a≠0)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:83)
(cid:84)2(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:35)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:10)知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:27)(cid:48)(cid:92)(cid:93)(cid:94)
(cid:84)1(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)(cid:98)(cid:65)(cid:90)(cid:99)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:102)(cid:103)(cid:72)(cid:75)(cid:84)2(cid:85)(cid:104)(cid:27)(cid:65)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:105)(cid:106)(cid:72)(cid:107)(cid:31)(cid:106)(cid:108)(cid:109)(cid:105)(cid:108)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:89)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:78)(cid:79)y(cid:57)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:112)(cid:27)(cid:113)
(cid:40)(cid:83)
(cid:114)(cid:115)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:115)(cid:41)(cid:10)
(cid:75)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:71)(cid:72)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:76)(cid:96)(cid:118)(cid:75)(cid:78)(cid:79)(cid:27)y(cid:57)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:112)(cid:27)(cid:119)(cid:120)(cid:72)(cid:121)(cid:76)(cid:70)(cid:78)x(cid:56)(cid:48)(cid:91)(cid:102)(cid:57)(cid:72)(cid:122)y(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:98)(cid:65)
(cid:90)(cid:57)(cid:72)(cid:123)(cid:111)(cid:61)(cid:124)(cid:110)(cid:63)(cid:123)(cid:110)(cid:61)(cid:124)(cid:111)(cid:72)(cid:125)(cid:71)x(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:78)(cid:79)(cid:57)(cid:100)(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:72)(cid:128)(cid:129)x(cid:123)x (cid:56)(cid:130)x (cid:71)(cid:72)(cid:78)(cid:79)y(cid:27)
1 2
(cid:57)(cid:96)(cid:118)y
1
>0(cid:72)y
2
<0(cid:63)y
1
<0(cid:72)y
2
>0(cid:72)(cid:131)(cid:132)x
1
(cid:72)x
2
(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:72)(cid:128)(cid:133)|y
1
|(cid:25)|y
2
|(cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:72)(cid:86)|y
1
|>|y
2
|(cid:72)
(cid:89)(cid:136)(cid:137)x (cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:97)(cid:73)(cid:100)(cid:72)(cid:89)(cid:136)(cid:137)x (cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:83)(cid:138)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:139)(cid:140)(cid:72)(cid:84)x(cid:72)y(cid:85)(cid:141)x(cid:26)(cid:142)(cid:50)(cid:72)y(cid:57)(cid:142)(cid:143)(cid:50)0(cid:72)(cid:144)y=0
2 1
(cid:71)x(cid:27)(cid:57)(cid:76)(cid:70)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:38)(cid:145)(cid:42)(cid:83)
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:93)(cid:94):
(cid:84)1(cid:85)(cid:146)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:147)(cid:77)ax2+bx+c>0((cid:63)<0)(cid:27)(cid:148)(cid:55)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:137)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:149)(cid:91)(cid:35)a(cid:27)(cid:110)(cid:111)(cid:150)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:75)y(cid:26)(cid:98)(cid:152)(cid:72)(cid:107)(cid:106)(cid:108)b 2 −4ac(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:153)(cid:96)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:154)(cid:36)(cid:97)
(cid:84)4(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:40)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:134)(cid:155)(cid:156)(cid:72)(cid:75)x(cid:26)(cid:157)(cid:40)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:135)(cid:155)(cid:156)(cid:83)
(cid:158)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:77)(cid:159)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:129)(cid:157)(cid:103)(cid:10)
=b2 ac >0 =0 <0
∆ −4 ∆ ∆ ∆
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
y=ax2+bx+c
(a>0)(cid:27)(cid:36)(cid:160)
(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)
b
ax2+bx+c=0 x 1 (cid:72)x 2 x 1 =x 2 =− (cid:161)(cid:127)(cid:162)(cid:35)(cid:42)
2a
(a>0)(cid:27)(cid:42)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)
x<x 或x>x x≠x (cid:27)(cid:48)(cid:145)(cid:162)(cid:35) (cid:163)(cid:117)(cid:162)(cid:35)
1 2 1
ax2+bx+c>0(a>0)(cid:27)(cid:52)(cid:66)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)
ax2+bx+c<0 x <x<x (cid:164)(cid:52) (cid:164)(cid:52)
1 2
(a>0)(cid:27)(cid:52)(cid:66)
【题型1 抛物线与x轴的交点】
(cid:15)(cid:159)1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:163)(cid:168)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−4ax+4a+4(cid:84)a(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:173)a≠0(cid:85)(cid:83)
(1)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:175)(cid:115)(4,0)(cid:72)(cid:45)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:103)(cid:177)(cid:55)(cid:83)
(2)(cid:86)a>0(cid:72)(cid:178)(cid:179)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:35)(cid:107)(cid:180)(cid:137)(cid:83)
(3)(cid:86)(cid:176)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:29)A(x ,y ),B(x ,y )(cid:72)(cid:181)(cid:104)x <x (cid:72)(cid:86)a<0(cid:72)x +x >4(cid:83)(cid:45)(cid:180)(cid:10)y >y (cid:83)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)y=−x2+4x
(2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析
(3)(cid:184)(cid:52)(cid:185)
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:29)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:189)(cid:190)(cid:150)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:72)
(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:194)(cid:52)(cid:20)(cid:195)(cid:72)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:31)(cid:199)(cid:11)(cid:171)(cid:200)(cid:52)(cid:201)(cid:69)(cid:20)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:30)(cid:31)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:84)2(cid:85)(cid:204)ax2−4ax+4a+4=0(cid:72)(cid:203)(cid:205)Δ=(−4a)2−4a(4a+4)=−16a<0(cid:72)(cid:89)(cid:40)(cid:41)ax2−4ax+4a+4=0(cid:164)(cid:162)(cid:35)(cid:52)(cid:72)(cid:202)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:164)(cid:28)(cid:29)(cid:83)
(cid:84)3(cid:85)(cid:123)(cid:20)(cid:195)(cid:205)y =ax 2−4ax +4a+4(cid:72)y =ax 2−4ax +4a+4(cid:72)(cid:89)(cid:203)(cid:205)y −y >0(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:205)y >y (cid:83)
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:146)(4,0)(cid:207)(cid:208)y=ax2−4ax+4a+4(cid:72)
(cid:205)16a−16a+4a+4=0(cid:72)
(cid:52)(cid:205)a=−1(cid:72)
(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:103)(cid:177)(cid:55)(cid:77)y=−x2+4x(cid:83)
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:164)(cid:28)(cid:29)(cid:83)
(cid:180)(cid:137)(cid:10)(cid:204)ax2−4ax+4a+4=0(cid:72)
a>0(cid:72)
∵Δ=(−4a)2−4a(4a+4)=16a2−16a2−16a=−16a<0(cid:72)
∴(cid:40)(cid:41)ax2−4ax+4a+4=0(cid:164)(cid:162)(cid:35)(cid:52)(cid:72)
∴(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:164)(cid:28)(cid:29)(cid:83)
∴(cid:84)3(cid:85)(cid:180)(cid:137)(cid:10) (cid:176)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:29)A(x ,y ),B(x ,y )(cid:72)
1 1 2 2
∵y =ax 2−4ax +4a+4(cid:72)y =ax 2−4ax +4a+4(cid:72)(cid:72)
1 1 1 2 2 2
∴y −y =a(x 2−x 2)−4a(x −x )=a(x +x )(x −x )−4a(x −x )=a(x +x −4)(x −x )(cid:72)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴x <x (cid:72)x +x >4(cid:72)
1 2 1 2
∵x −x <0(cid:72)x +x −4>0(cid:72)
1 2 1 2
∴a<0(cid:72)
∵a(x +x −4)(x −x )>0(cid:72)
1 2 1 2
∴y −y >0(cid:72)
1 2
(cid:202)∴ y >y (cid:83)
1 2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:163)(cid:168)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2−6x+a(cid:25)x(cid:26)(cid:209)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:7)(cid:210)(cid:29)(cid:72)(cid:89)a(cid:27)(cid:57)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)9
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:194)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)
(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:102)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:123)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:10)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41)0=x2−6x+a(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:212)(cid:54)(cid:27)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:72)
Δ=36−4a=0(cid:72)
(cid:52)∴ (cid:205)(cid:10)a=9(cid:72)
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)9(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:189)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=x2+2mx+m2−2m−3(m(cid:77)(cid:172)(cid:35))(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:127)
(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:174)x>2(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:225)(cid:134)(cid:72)(cid:89)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)m≥− 3 B(cid:83)− 3 ≤m≤2 C(cid:83)m<2 D(cid:83)m≥−2
2 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)A
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:137)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:35)(cid:25)(cid:178)(cid:88)(cid:55)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:226)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)
(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
3
(cid:42)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:127)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:205)(cid:96)(cid:178)(cid:88)(cid:55)Δ≥0(cid:72)(cid:138)(cid:144)(cid:52)(cid:205)m≥− (cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:45)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72)
2
(cid:173)(cid:174)x>2(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:225)(cid:134)(cid:72)(cid:203)(cid:205)m≥−2(cid:72)(cid:138)(cid:144)(cid:205)(cid:96)(cid:236)(cid:149)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=x2+2mx+m2−2m−3(cid:84)m(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:85)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:127)(cid:28)(cid:29)(cid:72)
Δ=(2m)2−4×1∵×(m2−2m−3)≥0(cid:72)
∴ 3
(cid:52)(cid:205)(cid:10)m≥− (cid:72)
2
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=− 2m =−m(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72)(cid:174)x>2(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:225)(cid:134)(cid:72)
2×1
∵−m≤2(cid:72)
∴m≥−2
∴ 3
m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)m≥− (cid:72)
2
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)A(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:238)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−(a+1)x−2a−1(cid:84)a(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:72)a>0(cid:85)(cid:83)
(1)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:29)M(1,y )(cid:72)N(2,y )(cid:244)(cid:245)y <y (cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:97)
1 2 1 2
(3)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:246)(cid:27)(cid:29)M(x ,y )(cid:72)N(x ,y )(cid:244)(cid:245)x +x =−2(cid:72)(cid:45)y +y (cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)a=1(cid:97)
1
(2)a> (cid:97)
2
(3)y +y ≥0 (cid:83)
1 2
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:247)(cid:248)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:7)(cid:55)(cid:158)(cid:226)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:96)a=1(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:146)(cid:29)M(1,y )(cid:72)N(2,y )(cid:207)(cid:208)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:72)(cid:103)(cid:249)(cid:96)y −y (cid:72)(cid:42)(cid:64)y <y (cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:97)
1 2 1 2 1 2
(cid:84)3(cid:85)(cid:146)(cid:29)M(x ,y )(cid:72)N(x ,y )(cid:207)(cid:208)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:72)(cid:231)(cid:232)x +x =−2(cid:72)(cid:103)(cid:249)(cid:96)y +y (cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−(a+1)x−2a−1(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=− −(a 1) = a 1 (cid:72)
2a 2a
+ +
a 1
1= (cid:72)
2a
+
∴(cid:52)(cid:205)(cid:10)a=1(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10) (cid:29)M(1,y )(cid:72)N(2,y )(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:72)
1 2
y =a−(a+1∵)−2a−1=−2a−2(cid:72)
1
y∴=4a−2(a+1)−2a−1=−3(cid:72)
2
y −y =−2a−2−(−3)=−2a+1(cid:72)
1 2
∴y <y (cid:72)
1 2
∵y −y =−2a+1<0(cid:72)
1 2
∴ 1
(cid:52)(cid:205)(cid:10)a> (cid:97)
2
(cid:84)3(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:29)M(x ,y )(cid:72)N(x ,y )(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:72)
1 1 2 2y =ax 2−(a+1)x −2a−1(cid:72)y =ax 2−(a+1)x −2a−1(cid:72)
1 1 1 2 2 2
∴x +x =−2(cid:72)
1 2
∵x =−2−x (cid:72)
2 1
∴(cid:207)(cid:208)y =ax 2−(a+1)x −2a−1(cid:205)y =a(−2−x )2−(a+1)(−2−x )−2a−1 =ax 2+(5a+1)x +4a+1(cid:72)
2 2 2 2 1 1 1 1
y +y =ax 2−(a+1)x −2a−1+ax 2+(5a+1)x +4a+1
1 2 1 1 1 1
∴=2ax 2+4ax +2a
1 1
=2a x 2+2x +1
1 1
=2a(x +1)2(cid:72)
1
a>0(cid:72)(x +1)2≥0(cid:72)
1
∵y +y =2a(x +1)2≥0(cid:83)
1 2 1
∴ 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
(cid:15)(cid:159)2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:256)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:176)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:78)
(cid:151)(cid:26)(cid:70)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:25)y(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:70)2(cid:83)(cid:89)(cid:157)(cid:102)(cid:231)(cid:258)(cid:10) 2a+b=0(cid:97) (cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:42)
(cid:75)−2(cid:218)−1(cid:100)(cid:101)(cid:97) (cid:40)(cid:41)ax2+bx+c−a=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:212)(cid:54)(cid:27)(cid:162)(cid:35)①(cid:42)(cid:97) (cid:29)A②(x ,y )(cid:72)B(x ,y )(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:72)(cid:173)
1 1 2 2
③ 8 ④
x <1<x (cid:72)(cid:174)x +x >2(cid:71)(cid:72)y >y (cid:97) (cid:34)(cid:35)y(cid:27)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:134)(cid:155) (cid:83)(cid:181)(cid:104)(cid:110)(cid:38)(cid:231)(cid:258)(cid:27)(cid:90)(cid:35)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
1 2 1 2 1 2 3
⑤
A(cid:83)5(cid:90) B(cid:83)4(cid:90) C(cid:83)3(cid:90) D(cid:83)2(cid:90)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)B
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:42)(cid:25)(cid:91)(cid:35)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:29)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:189)
(cid:190)(cid:72)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:247)(cid:248)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:218)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:260)(cid:261)(cid:198)(cid:31)(cid:35)(cid:148)(cid:231)(cid:232)(cid:27)(cid:40)(cid:192)(cid:52)(cid:201)(cid:69)(cid:20)(cid:83)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:78)(cid:151)
(cid:227)(cid:72)(cid:233)(cid:234)(cid:40)(cid:235)(cid:54)(cid:262)(cid:178)(cid:179)(cid:231)(cid:258) (cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:262)(cid:178)(cid:179)(cid:231)(cid:258) (cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:225)(cid:263)(cid:227)(cid:72)
(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:178)(cid:179)(cid:231)(cid:258) (cid:202)(cid:203)(cid:83)①② ③
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:22)④(cid:23)⑤(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)
− b =1(cid:72) ∵
2a
∴b=−2a(cid:72)(cid:202)2a+b=1(cid:72)(cid:213) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0①)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)2(cid:218)3(cid:100)(cid:101)(cid:72)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)−1(cid:218)0(cid:100)(cid:101)(cid:72)
∴(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:75)−1(cid:218)0(cid:100)(cid:101)(cid:72)(cid:213) (cid:265)(cid:266)(cid:97)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:36)(cid:37)(cid:25)y(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:70)②2(cid:72)
∵c=2(cid:72)
∴ax2−2ax+2−a=0(cid:72)
∴Δ=(−2a)2−4a×(2−a)=8a2−8a=8a(a−1)(cid:72)
∴(cid:204)Δ=0(cid:72)(cid:205)8a2−8a=8a(a−1)=0(cid:72)
a=0(cid:63)a=1(cid:72)
∴a<0(cid:72)
∵Δ>0(cid:72)
∴(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c−a=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:212)(cid:54)(cid:27)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:72)(cid:213) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72) ③
∵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:141)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:142)(cid:268)y(cid:57)(cid:142)(cid:135)(cid:72)(cid:267)(cid:141)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:142)(cid:50)y(cid:57)(cid:142)(cid:134)(cid:72)
∴x +x >2(cid:72)
1 2
∵x >2−x (cid:72)
1 2
∴−x <−2+x (cid:72)
1 2
∴1−x <−2+x +1(cid:72)
1 2
∴1−x <x −1(cid:72)
1 2
∴A(cid:29)(cid:130)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:267)(cid:141)(cid:70)1−x (cid:72)B(cid:29)(cid:130)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:267)(cid:141)(cid:70)x −1(cid:72)
1 2
∵y >y (cid:72)(cid:213) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
1 2
(cid:129)∴ (cid:36)(cid:72)(cid:174)x=④3(cid:71)(cid:72)y<0(cid:72)
9a−6a+2<0(cid:72)
∴ 2
−a> (cid:72)
3
∴
8
2−a> (cid:72)
3
∴
8
(cid:174)x=1(cid:71)(cid:72)y =a−2a+2=2−a> (cid:72)
最大 3
8
(cid:34)(cid:35)y(cid:27)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:134)(cid:155) (cid:72)(cid:213) (cid:110)(cid:38)(cid:72)
3
∴ ⑤(cid:269)(cid:67)(cid:199)(cid:270)(cid:72)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:231)(cid:258)(cid:127)(cid:10) (cid:72)(cid:210)4(cid:90)(cid:72)
(cid:213)(cid:236)(cid:10)B(cid:83) ①③④⑤
(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:238)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:271)(cid:272)(cid:271)(cid:273)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:70)x=3(cid:72)(cid:173)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:70)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:89)(cid:125)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)x=−1
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:158)(cid:226)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:227)(cid:72)(cid:137)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:155)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:78)(cid:151)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:42)(cid:64)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:227)(cid:72)(cid:203)(cid:171)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:202)(cid:77)(cid:40)
(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:65)(cid:42)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:78)(cid:151)(cid:227)(cid:272)(cid:274)(cid:3)(cid:91)(cid:55)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:275)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:42)(cid:77)x (cid:72)
2
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:70)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)
∵x 1 x 2=1(cid:72)(cid:202) 3 x 2=1(cid:72)
2 2
+ +
∴
(cid:52)(cid:205)(cid:72)x=−1(cid:72)
(cid:264)(cid:48)(cid:42)(cid:77)x=−1(cid:72)
(cid:213)∴ (cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)x=−1(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-2(cid:19)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2(cid:25)(cid:237)(cid:24)y=bx+c(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:77)A(−2,4)(cid:72)B(1,1)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41)ax2−bx−
c=0(cid:27)(cid:52)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)x =−2(cid:72)x =1
1 2
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:150)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:171)(cid:200)(cid:72)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:31)(cid:199)(cid:11)(cid:171)(cid:200)(cid:72)(cid:11)
(cid:276)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:52)(cid:201)(cid:162)(cid:277)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:202)(cid:203)(cid:52)(cid:201)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:52)(cid:76)(cid:70)(cid:65)(cid:90)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:171)(cid:72)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41)ax2−bx−c=0(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2(cid:25)(cid:237)(cid:24)y=bx+c(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)
(cid:87)(cid:88)(cid:77)A(−2,4)(cid:72)B(1,1)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:72)
(cid:202)x =−2(cid:72)x =1(cid:83)
1 2
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)x =−2(cid:72)x =1(cid:83)
1 2(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:85)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(−1,0)(cid:218)(3,0)(cid:72)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)
(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)cx2+bx+a=0(c≠0)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:87)(cid:88)(cid:70)m(cid:218)n(cid:72)(cid:89) n + m = (cid:83)
m n
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)− 10 /−3 1
3 3
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:91)(cid:35)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:45)(cid:205)− b
a
c 2
=−1+3=2(cid:72) =−1×3=−3(cid:72)(cid:205)(cid:130)b=−2a(cid:72)c=−3a(cid:72)(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:203)(cid:282)(cid:147)(cid:77)3x2+2x−1=0(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:42)(cid:25)(cid:91)(cid:35)(cid:27)(cid:3)(cid:91)m+n=− (cid:72)
a 3
1 n m (m n)2−2mn
mn=− (cid:72)(cid:283)(cid:146) + (cid:99)(cid:194)(cid:205)(cid:130) (cid:72)(cid:207)(cid:208)(cid:35)(cid:64)(cid:106)(cid:108)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
3 m n mn
+
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(−1,0)(cid:218)(3,0)(cid:72)
− b =−1+3=2(cid:72) c =−1×3=−3(cid:72)
a a
∴
b=−2a(cid:72)c=−3a(cid:72)
∴(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)cx2+bx+a=0(c≠0)(cid:77)−3ax2−2ax+a=0(cid:72)
∴(cid:202)3x2+2x−1=0(cid:72)
(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)cx2+bx+a=0(c≠0)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:87)(cid:88)(cid:70)m(cid:218)n(cid:72)
∵ 2 1
m+n=− (cid:72)mn=− (cid:72)
3 3
∴ n+ m = n2 m2 = (m n)2−2mn = 4 9 2 3=− 10 (cid:72)
m n m
+
n
+
mn −+ 1
3
3
∴
10
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)− (cid:83)
3
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
(cid:15)(cid:159)3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:284)(cid:252)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:75)(cid:285)(cid:286)(cid:237)(cid:287)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:83)
(1)(cid:174)a=c(cid:71)(cid:72)
(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:83)
①(cid:146)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:157)(cid:285)(cid:289)m(cid:90)(cid:290)(cid:119)(m>0)(cid:72)(cid:86)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:115)(cid:29)(0,−8)(cid:72)(cid:173)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:267)(cid:141)(cid:77)6(cid:72)(cid:45)m
②(cid:27)(cid:57)(cid:83)
(2)(cid:170)(cid:171)(cid:29)M(2,2n+1)(cid:72)N(−1,3n+2)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:72)(cid:173)c<0(cid:72)(cid:45)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1) (1,0)(cid:97) m=9(cid:72)
1 ① ②
(2)−1<n<−
2
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:285)(cid:289)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:260)(cid:261)(cid:247)(cid:248)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:285)(cid:289)(cid:291)(cid:292)“(cid:67)(cid:293)(cid:157)(cid:263)”(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85) (cid:294)a=c(cid:207)(cid:208)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:72)(cid:205)y=a(x−1)2(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:205)(cid:96)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:97)
(cid:42)(cid:64)①(cid:285)(cid:289)(cid:291)(cid:292)(cid:205)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:77)y=a(x−1)2−m(cid:72)(cid:294)(0,−8)(cid:207)(cid:208)(cid:72)(cid:45)(cid:205)a=m−8(cid:72)(cid:89)y=(m−8)x2−2(m−8)x
② −8(cid:72)(cid:275)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)x (cid:72)x (cid:72)(cid:89)x +x =2(cid:72)x x = 8 (cid:72)(cid:295)|x −x |=6(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:205)(cid:96) 16−4m − 16
1 2 1 2 1 2 8−m 1 2 8−m 8−m
⋅
=36(cid:72)(cid:52)(cid:100)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
1
(cid:84)2(cid:85)(cid:294)M(2,2n+1)(cid:72)(cid:207)(cid:208)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:72)(cid:205)c=2n+1(cid:72)(cid:42)(cid:64)c<0(cid:72)(cid:45)(cid:205)n<− (cid:97)(cid:294)N(−1,3n+2)(cid:207)(cid:208)y=ax2−2ax+
2
c(a>0)(cid:72)(cid:205)c=3n−3a+2(cid:72)(cid:42)(cid:64)c=2n+1(cid:218)a>0(cid:72)(cid:45)(cid:205)n>−1(cid:72)(cid:296)(cid:144)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10) y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:72)a=c
y=ax2−2ax+a=a(x−1①)2∵
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77)(1,0)(cid:72)
∴ (cid:146)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:157)(cid:285)(cid:289)m(cid:90)(cid:290)(cid:119)(m>0)(cid:72)
②(cid:285)∵(cid:289)(cid:230)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:77)y=a(x−1)2−m(cid:72)
∴(cid:294)(0,−8)(cid:207)(cid:208)(cid:72)(cid:205)a(0−1)2−m=−8(cid:72)
a=m−8
∴y=(m−8)(x−1)2−m=(m−8)x2−2(m−8)x−8
∴(cid:275)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)x (cid:72)x (cid:72)
1 2
8
(cid:89)x +x =2(cid:72)x x = (cid:72)
1 2 1 2 8−m
⋅
x 2+2x x +x 2=4
1 1 2 2
∴ x 2+x 2=16−4m
1 2 8−m
∴
(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:267)(cid:141)(cid:77)6(cid:72)
∵|x −x |=6
1 2
∴x 2−2x x +x 2=36
1 1 2 2
∴16−4m − 16 =36
8−m 8−m
∴
(cid:52)(cid:205)(cid:10)m=9
(cid:175)(cid:297)(cid:298)(cid:72)m=9(cid:70)(cid:87)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:173)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:72)
m=9(cid:83)
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:294)M(2,2n+1)(cid:72)(cid:207)(cid:208)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:72)(cid:205)c=2n+1(cid:72)
c<0(cid:72)
∵2n+1<0(cid:72)
∴ 1
n<− (cid:72)
2
∴(cid:294)N(−1,3n+2)(cid:207)(cid:208)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:72)(cid:205)
3a+c=3n+2(cid:72)
c=3n−3a+2(cid:72)
∴c=2n+1(cid:72)
∵ n 1
a= (cid:72)
3
+
∴
a= n 1 >0(cid:72)
3
+
∵
n>−1(cid:72)
∴ 1
−1<n<− (cid:83)
2
∴(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:284)(cid:252)(cid:300)(cid:301)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:85)(cid:275)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y =(x−x )(x−x )(x ≠x ) (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y =6x+2
1 1 2 1 2 2
(cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:28)(cid:155)(cid:29) (x ,0)(cid:72)(cid:86)(cid:34)(cid:35) y=y +y (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25) x (cid:26)(cid:302)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:89) |x −x | (cid:27)(cid:57)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
1 1 2 1 2
17
A(cid:83)6 B(cid:83)8 C(cid:83) D(cid:83)7
3
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)A
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:125)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:158)(cid:226)(cid:305)(cid:24)(cid:67)(cid:29)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:304)(cid:260)(cid:261)(cid:247)(cid:248)(cid:72)(cid:52)(cid:182)
(cid:125)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:178)(cid:179)(cid:96)(cid:10)(cid:34)(cid:35)y=y +y (cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:77)(x (cid:72)0)(cid:83)
1 2 1
1
(cid:306)(cid:307)(cid:42)(cid:64)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =6x+2 (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:28)(cid:155)(cid:29) (x ,0)(cid:72)(cid:203)(cid:205)x =− (cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:42)(cid:64)(cid:34)(cid:35)y=y +y (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:302)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:28)
2 1 1 3 1 2
(cid:29)(cid:72)(cid:203)(cid:205)(cid:34)(cid:35)y=y +y (cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:77)(x ,0)(cid:72)(cid:296)(cid:144)(cid:203)(cid:205)y=(x+ 1 ) 2 =x2+ 2 x+ 1 (cid:72)(cid:283)(cid:231)(cid:232)y=x2+(6−x + 1 )x− 1 x +2(cid:45)(cid:52)
1 2 1 3 3 9 2 3 3 2
(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =6x+2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:175)(cid:115)(cid:29)(x ,0)(cid:72)
2 1
∵ 1
6x +2=0(cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)x =− (cid:72)
1 1 3
∴
(cid:174)x=x (cid:71)(cid:72)y =0(cid:72)y =0(cid:72)
1 1 2
∵(cid:174)x=x (cid:71)(cid:72)y=y +y =0(cid:72)
1 1 2
∴(cid:34)(cid:35) y=y +y (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25) x (cid:26)(cid:302)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:72)
1 2
∵y=y +y (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:77)(− 1 ,0)(cid:72)
1 2 3
∴
y=(x+ 1 ) 2 =x2+ 2 x+ 1
3 3 9
∴
(cid:295) y =(x+ 1 )(x−x )=x2+ 1 x−x x− 1 x (cid:72)
1 3 2 3 2 3 2
∵
y=y +y =x2+ 1 x−x x− 1 x +6x+2
1 2 3 2 3 2
∴
=x2+(6−x + 1 )x− 1 x +2(cid:72)
2 3 3 2
1 2
6−x + =
− 1 3 x 2 2 + 3 2= 3 1 9 (cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)x 2 = 1 3 7
∴
| |
|x −x |= − 1 − 17 =6(cid:72)
1 2 3 3
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)A(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:300)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)x2−(a−1)x+a−2=0(cid:83)
(1)(cid:45)(cid:180)(cid:10)(cid:176)(cid:40)(cid:41)(cid:311)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:97)
(2)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2−(a−1)x+a−2(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29)A(cid:72)B(cid:72)(cid:173)AB=2(cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:57)(cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)(cid:184)(cid:52)(cid:185)
(2)a=1(cid:63)5
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:27)(cid:178)(cid:88)(cid:55)(cid:72)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:25)(cid:91)(cid:35)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:312)(cid:163)(cid:285)(cid:40)(cid:7)(cid:55)(cid:226)(cid:313)(cid:40)(cid:192)(cid:72)(cid:260)(cid:261)(cid:247)(cid:248)(cid:314)(cid:315)(cid:227)(cid:228)(cid:218)(cid:40)(cid:192)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:237)(cid:143)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:27)(cid:178)(cid:88)(cid:55)(cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:313)(cid:40)(cid:192)(cid:296)(cid:316)(cid:178)(cid:88)(cid:202)(cid:203)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:204)y=0(cid:72)(cid:205)(cid:10)x2−(a−1)x+a−2=0(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:27)(cid:178)(cid:88)(cid:55)(cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:312)(cid:163)(cid:285)(cid:40)(cid:7)(cid:55)(cid:226)(cid:313)(cid:40)(cid:192)(cid:205)(cid:96)(x −x )2(cid:3)(cid:155)a(cid:27)(cid:55)
1 2
(cid:317)(cid:72)(cid:283)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:205)(cid:96)AB=|x −x |=2(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:205)(cid:96)(cid:3)(cid:155)a(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:72)(cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
1 2
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10) Δ=(a−1)2−4(a−2)
=a2−6a+9 ∵
=(a−3)2≥0(cid:72)
(cid:176)(cid:40)(cid:41)(cid:311)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:97)
(cid:84)∴ 2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:204)y=0(cid:72)(cid:205)(cid:10)x2−(a−1)x+a−2=0(cid:72)
x +x =a−1(cid:72)x x =a−2(cid:72)
1 2 1 2
∴(x −x )2=x 2+x 2−2x x =(x +x )2−4x x =(a−1)2−4(a−2)(cid:72)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2−(a−1)x+a−2(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29)A(cid:72)B(cid:72)(cid:173)AB=2(cid:72)
∵|x −x |=2(cid:72)
1 2
∴(x −x )2=(a−1)2−4(a−2)=4(cid:72)
1 2
∴(cid:147)(cid:318)(cid:77)(cid:10)a2−6a+5=0(cid:72)
(cid:52)(cid:205)(cid:10)a=1(cid:63)5(cid:83)
1
(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:239)(cid:240)(cid:232)(cid:319)·(cid:48)(cid:220)(cid:85)(cid:170)(cid:171)P(x ,y )(cid:72)Q(x ,y )(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx− (cid:67)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:246)(cid:29)(cid:83)
1 1 2 2 4
b2
(1)(cid:86)P(cid:72)Q(cid:65)(cid:29)(cid:320)(cid:75)(cid:237)(cid:24)y=− (cid:67)(cid:72)(cid:45)(cid:24)(cid:321)PQ(cid:27)(cid:47)(cid:97)
4
1 1
(2)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:3)(cid:155)y(cid:26)(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:115)(cid:81)(cid:82)(cid:322)(cid:29)O(cid:72)(cid:45) + (cid:27)(cid:57)(cid:97)
OP OQ
(3)(cid:86)(cid:29)P(cid:72)Q(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:323)(cid:152)(cid:72)x (cid:72)x (cid:77)(cid:99)(cid:35)(cid:72)(cid:173)x <x (cid:72)(cid:180)(cid:137)(cid:10)x −x +y −y (cid:77)(cid:110)(cid:57)(cid:83)
1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)1
1 1
(2) + =4
OP OQ
(3)(cid:184)(cid:52)(cid:185)
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:130)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:285)(cid:316)(cid:155)x(cid:26)(cid:72)(cid:204)x2+bx− 1 =− b2 (cid:72)(cid:45)(cid:96)x= −b±1 (cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:207)(cid:208)|x −x |(cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:97)
4 4 2 1 2
(cid:84)2(cid:85)(cid:306)(cid:307)(cid:45)(cid:96)b=0(cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:87)(cid:65)(cid:324)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:174)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:325)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:71)(cid:72)(cid:203)(cid:205) 1 + 1 =4(cid:72)
OP OQ
y=x2− 1
k± k2 1 1 1
(cid:174)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:53)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:326)(cid:274) 4(cid:45)(cid:96)x= (cid:72)(cid:275)x >x (cid:72)(cid:45)(cid:96)x x (cid:72)x −x (cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:207)(cid:208) + (cid:45)(cid:52)(cid:202)
y=kx 2 2 1 1 2 2 1 OP OQ
+
(cid:203)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:306)(cid:307)(cid:205)(cid:130)x −x +y −y =(x −x )(x +x +b+1)(cid:72)(cid:42)(cid:64)x <x <− b (cid:45)(cid:96)x <− b −1(cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)x −x <0(cid:202)(cid:203)(cid:180)(cid:137)(cid:83)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10) (cid:237)(cid:24)PQ(cid:285)(cid:316)(cid:155)x(cid:26)(cid:72)
(cid:204)x2+bx− 1 =− b2 (cid:72)(cid:202) ∵ x2+bx+ b2−1=0(cid:72)
4 4 4
∴
−b±1
(cid:52)(cid:205)x= (cid:72)
2
| |
(cid:24)(cid:321)PQ(cid:27)(cid:47)(cid:327)(cid:77)|x −x |= −b 1 − −b−1 =1(cid:83)
1 2 2 2
+
∴
1
(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx− (cid:3)(cid:155)y(cid:26)(cid:78)(cid:151)(cid:72)
4
∵
b=0
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2− 1
4
∴
(cid:86)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:325)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:72)(cid:174)y=0(cid:71)(cid:72)(cid:202)0=x2− 1
4
∴
(cid:52)(cid:205)x=± 1
2
1
OP=OQ=
2
∴
1 + 1 =2+2=4(cid:97)
OP OQ
∴
(cid:86)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:53)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:72)
y=x2− 1
(cid:275)(cid:237)(cid:24)PQ(cid:27)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:77)y=kx(cid:72)(cid:326)(cid:274)(cid:40)(cid:41)(cid:72) 4
y=kx
(cid:205)x2−kx− 1 =0(cid:72)
4
k± k2 1
(cid:52)(cid:205)x= (cid:83)
2
+
(cid:53)(cid:328)(cid:275)x >x (cid:72)
2 1
x x =k k2 1×k− k2 1=− 1 (cid:72)x −x = k2+1(cid:72)
1 2 2 2 4 2 1
+ + +
∴
1 + 1 = 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1 x 1−x 2 =4(cid:83)
OP OQ x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 1 k2 |x 1 | |x 2 | 1 k2 x 1 x 2
∴ (cid:84)3(cid:85)(cid:180)(cid:137)(cid:10) + x −x + + y −y +=x −x +x 2−x 2++b(x −x )=(x −x )(x +x +b+1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b
x <x <− (cid:72)(cid:173)x (cid:72)x (cid:77)(cid:99)(cid:35)(cid:72)
1 2 2 1 2
∵
x ≤x −1<− b −1(cid:72)(cid:202)x <− b −1
1 2 2 1 2
∴
x +x +b+1<− b −1− b +b+1=0(cid:72)
1 2 2 2
∴
(cid:295)x −x <0(cid:72)
1 2
x −x +y −y (cid:77)(cid:110)(cid:57)(cid:83)
1 2 1 2
∴(cid:15)(cid:29)(cid:329)(cid:19)(cid:125)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:218)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:218)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:54)(cid:171)(cid:200)(cid:72)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:247)(cid:248)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:218)(cid:227)(cid:228)(cid:83)
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
(cid:15)(cid:159)4(cid:19)(cid:84)2025·(cid:330)(cid:331)(cid:332)(cid:323)·(cid:333)(cid:220)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:29)(cid:87)(cid:88)(cid:77)A(2.68,0.54)(cid:72)
B(2.18,−0.56)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41) ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:203)(cid:334)(cid:70)(cid:84) (cid:85)A(cid:83)2.18 B(cid:83)2.68 C(cid:83)−0.56 D(cid:83)2.45
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)D
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:218)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:194)(cid:52)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:218)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:70)(cid:52)(cid:182)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:139)(cid:140)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:205)y=0(cid:27)(cid:29)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)2.18(cid:218)2.68(cid:100)(cid:101)(cid:72)(cid:296)(cid:144)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:138)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:122)(cid:72)y=0(cid:27)(cid:29)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)2.18(cid:218)2.68(cid:100)(cid:101)(cid:72)
(cid:144)(cid:75)2.18(cid:218)2.68(cid:100)(cid:101)(cid:335)(cid:236)(cid:149)(cid:104)(cid:27)(cid:35)(cid:77)2.45(cid:72)
ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:203)(cid:334)(cid:77)2.45(cid:83)
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:271)(cid:272)(cid:336)(cid:337)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:129)(cid:103)(cid:104)(cid:102)(cid:96)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:48)(cid:315)(cid:78)(cid:79)(cid:57)(cid:72)(cid:89)(cid:48)
(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(a≠0)(cid:27)(cid:52)x(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:70) (cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:212)(cid:338)(cid:99)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:85)
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 1 2 1 −2 −7 …
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)−4<x<−3(cid:63)−1<x<0
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:36)(cid:160)(cid:192)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:70)(cid:194)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:218)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:83)(cid:64)(cid:125)(cid:52)(cid:182)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) x=−1,y=1>0(cid:72)x=0,y=−2<0(cid:72)
(cid:42)(cid:64)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:339)∵(cid:340)(cid:227)(cid:203)(cid:205)(cid:75)−1 0(cid:100)(cid:101)(cid:72)(cid:341)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:72)(cid:342)(cid:205)y=0(cid:72)
∴x=−3(cid:218)x=−1(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:212)(cid:54)(cid:72)∼
∵(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:10)x=−3−1=−2(cid:72)
2
∴
(cid:42)(cid:64)(cid:78)(cid:151)(cid:227)(cid:203)(cid:205)(cid:10)(cid:75)−4 −3(cid:100)(cid:101)(cid:72)(cid:121)(cid:341)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:72)(cid:342)(cid:205)y=0(cid:72)
∴(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=∼0(a≠0)(cid:27)(cid:52)x(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:70)−4<x<−3(cid:63)−1<x<0(cid:72)
∴(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)−4<x<−3(cid:63)−1<x<0(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:234)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:135)(cid:137)(cid:31)GGB(cid:346)(cid:347)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:84)a≠0,a(cid:150)b(cid:150)c(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:85)(cid:27)
(cid:42)(cid:72)(cid:153)(cid:96)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:107)(cid:45)(cid:205)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)x=−3.4(cid:72)(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:84)(cid:348)(cid:38)(cid:130)0.1(cid:85)(cid:77)(cid:84) (cid:85)A(cid:83)2.4 B(cid:83)2.6 C(cid:83)1.4 D(cid:83)1.6
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)C
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:72)(cid:123)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:227)(cid:203)(cid:205)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77)
(1.4,0)(cid:72)(cid:64)(cid:125)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:72)(cid:247)(cid:248)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:77)(−3.4,0)(cid:72)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=−1(cid:72)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)∵(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77)(1.4,0)(cid:72)
∴(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:77)1.4(cid:72)
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-3(cid:19)(cid:75)(cid:162)(cid:277)(cid:69)(cid:20)(cid:104)(cid:349)(cid:349)(cid:350)(cid:304)(cid:45)(cid:205)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:314)(cid:90)(cid:71)(cid:351)(cid:72)(cid:352)(cid:353)(cid:114)(cid:172)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:262)(cid:312)(cid:124)(cid:83)(cid:129)(cid:72)
(cid:45)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:354)0(cid:27)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:139)(cid:140)(cid:34)(cid:35)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:355)(cid:118)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)2(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)
(cid:135)(cid:155)0(cid:84)(cid:29)(cid:84)2(cid:72)﹣2(cid:85)(cid:75)x(cid:26)(cid:157)(cid:40)(cid:85)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)3(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:134)(cid:155)0(cid:84)(cid:29)(cid:84)3(cid:72)1(cid:85)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:40)(cid:85)(cid:83)(cid:356)(cid:77)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:70)(cid:48)(cid:357)(cid:339)(cid:340)(cid:53)(cid:179)(cid:27)(cid:305)(cid:24)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:75)2(cid:358)x(cid:358)3(cid:314)(cid:48)(cid:321)(cid:175)(cid:115)x(cid:26)(cid:72)(cid:121)(cid:76)(cid:70)
(cid:136)(cid:72)(cid:174)x(cid:56)2(cid:150)3(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:359)(cid:90)(cid:57)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:77)0(cid:72)(cid:202)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:354)0(cid:75)2(cid:150)3(cid:100)(cid:101)(cid:127)(cid:42)(cid:83)(cid:296)(cid:48)(cid:93)(cid:72)(cid:352)(cid:353)(cid:56)2
(cid:218)3(cid:27)(cid:285)(cid:360)(cid:35)2.5(cid:72)(cid:106)(cid:108)(cid:203)(cid:171)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)﹣0.75(cid:72)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)3(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:361)(cid:9)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:314)(cid:90)(cid:42)(cid:75)2.5(cid:25)3
(cid:100)(cid:101)(cid:362)(cid:195)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:153)(cid:77)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:363)(cid:162)(cid:57)(cid:27)(cid:364)(cid:320)(cid:53)(cid:276)(cid:134)(cid:155)3﹣2.5(cid:354)0.5(cid:83)(cid:365)(cid:366)(cid:158)(cid:67)(cid:367)(cid:153)(cid:72)(cid:224)(cid:368)(cid:367)(cid:153)(cid:33)
(cid:35)(cid:225)(cid:293)(cid:72)(cid:42)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:57)(cid:142)(cid:262)(cid:142)(cid:143)(cid:50)(cid:363)(cid:162)(cid:57)(cid:83)(cid:31)(cid:158)(cid:67)(cid:40)(cid:192)(cid:45)(cid:205)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:354)0(cid:27)(cid:135)(cid:155)0(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:107)(cid:173)(cid:342)(cid:205)(cid:199)(cid:45)
(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:363)(cid:162)(cid:57)(cid:27)(cid:364)(cid:53)(cid:369)(cid:115)0.3(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:77)(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)﹣0.75
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:34)(cid:35)y(cid:354)x2−2x−2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:355)(cid:118)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)0(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:135)(cid:155)0(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)−1(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)
(cid:134)(cid:155)0(cid:72)(cid:45)(cid:205)−1(cid:218)0(cid:27)(cid:285)(cid:360)(cid:35)−0.5(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)−0.75(cid:72)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)−1(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:361)(cid:9)(cid:72)(cid:283)(cid:45)−1(cid:218)−0.5(cid:27)(cid:285)
(cid:360)(cid:35)−0.75(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)0.0625(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:205)(cid:314)(cid:90)(cid:42)(cid:75)−0.75(cid:25)−0.5(cid:100)(cid:101)(cid:362)(cid:195)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:153)(cid:77)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:123)−0.5−
(cid:84)−0.75(cid:85)(cid:354)0.25(cid:358)0.3(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:205)(cid:50)(cid:51)(cid:57)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:34)(cid:35)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:355)(cid:118)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)0(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:135)(cid:155)0(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)﹣1(cid:71)(cid:72)
(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:134)(cid:155)0(cid:72)(cid:356)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:70)(cid:48)(cid:357)(cid:339)(cid:340)(cid:53)(cid:179)(cid:27)(cid:305)(cid:24)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y(cid:354)x2﹣2x﹣2(cid:75)﹣1(cid:358)x(cid:358)0(cid:314)
(cid:48)(cid:321)(cid:175)(cid:115)x(cid:26)(cid:72)(cid:121)(cid:76)(cid:70)(cid:136)(cid:72)(cid:174)x(cid:56)﹣1(cid:150)0(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:359)(cid:90)(cid:57)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:77)0(cid:72)(cid:202)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:354)0(cid:75)﹣1(cid:150)0(cid:100)
(cid:101)(cid:127)(cid:42)(cid:83)
(cid:352)(cid:353)(cid:56)﹣1(cid:218)0(cid:27)(cid:285)(cid:360)(cid:35)﹣0.5(cid:72)(cid:106)(cid:108)(cid:203)(cid:171)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)﹣0.75(cid:72)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)﹣1(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:361)(cid:9)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:314)(cid:90)
(cid:42)(cid:75)﹣1(cid:25)﹣0.5(cid:100)(cid:101)(cid:72)(cid:56)﹣1(cid:218)﹣0.5(cid:27)(cid:285)(cid:360)(cid:35)﹣0.75(cid:72)(cid:106)(cid:108)(cid:203)(cid:171)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)0.0625(cid:72)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)﹣0.5
(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:361)(cid:9)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:314)(cid:90)(cid:42)(cid:75)﹣0.75(cid:25)﹣0.5(cid:100)(cid:101)(cid:362)(cid:195)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:153)(cid:77)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:363)(cid:162)(cid:57)(cid:27)(cid:364)(cid:320)(cid:53)(cid:276)(cid:134)
(cid:155)﹣0.5﹣(cid:84)﹣0.75(cid:85)(cid:354)0.25(cid:358)0.3(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:77)﹣0.75(cid:72)
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)﹣0.75(cid:83)
(cid:15)(cid:29)(cid:329)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:27)(cid:70)(cid:42)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:370)(cid:371)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:138)(cid:104)(cid:372)(cid:56)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:6)(cid:373)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
(cid:15)(cid:159)5(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:365)(cid:374)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:72)(cid:89)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c≤3(cid:27)
(cid:52)(cid:66)(cid:70) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)x≤0(cid:63)x≥2
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:203)(cid:45)(cid:96)(cid:174)y=3(cid:71)(cid:72)x=0(cid:63)x=2(cid:72)(cid:283)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:37)
(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:72)(cid:247)(cid:248)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:148)(cid:231)(cid:232)(cid:45)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:171)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)
(cid:174)y=3(cid:71)(cid:72)x=0(cid:63)x=2(cid:72)
(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:171)(cid:10)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c≤3(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:70)x≤0(cid:63)x≥2(cid:72)
∴(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)x≤0(cid:63)x≥2(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:343)(cid:344)(cid:233)(cid:375)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=x2−x−2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:72)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:61)
(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)x<−1 B(cid:83)x>2 C(cid:83)−1<x<2 D(cid:83)x<−1(cid:63)x>2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)D
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:83)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:72)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:45)
(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:40)(cid:71)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)x(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:72)(cid:123)(cid:125)(cid:205)(cid:130)(cid:182)(cid:183)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:139)(cid:140)(cid:36)(cid:37)(cid:171)(cid:72)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:61)(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)x<−1(cid:63)x>2(cid:72)
(cid:213)(cid:236)(cid:10)D(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:376)(cid:300)(cid:377)(cid:378)·(cid:379)(cid:321)(cid:261)(cid:380)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:182)
(cid:157)(cid:102)(cid:69)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:237)(cid:143)(cid:381)(cid:96)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:97)
(2)(cid:237)(cid:143)(cid:381)(cid:96)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:263)(cid:135)(cid:71)(cid:60)(cid:61)(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:97)
(3)(cid:237)(cid:143)(cid:381)(cid:96)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c<0(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)x =1(cid:72)x =3
1 2
(2)x≥2
(3)x<1(cid:63)x>3
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:218)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:10)(cid:294)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:84)a(cid:72)b(cid:72)c(cid:70)
(cid:172)(cid:35)(cid:72)a≠0(cid:85)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:20)(cid:282)(cid:147)(cid:77)(cid:52)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:122)(cid:72)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29)(1,0)(cid:72)(3,0)
∵(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:70)x =1(cid:72)x =3(cid:97)
1 2
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:138)(cid:36)(cid:37)(cid:122)(cid:72)
(cid:174)x≥2(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:225)(cid:134)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:138)(cid:36)(cid:37)(cid:122)(cid:72)
(cid:174)x<1(cid:63)x>3(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:75)x(cid:26)
∵(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c<0(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:70)(cid:10)x<1(cid:63)x>3(cid:83)
∴
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:330)(cid:279)(cid:382)(cid:268)·(cid:48)(cid:220)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29) −1(cid:72)0 (cid:72)(cid:288)(cid:29)
(cid:81)(cid:82)(cid:77) 1(cid:72)m (cid:72)(cid:157)(cid:102)(cid:231)(cid:258)(cid:10) ac<0(cid:97) 8a+4b=0(cid:97) (cid:78)(cid:155)(cid:362)(cid:195)(cid:162)(cid:35)n(cid:72)(cid:320)(cid:127)an2+bn+c≥m(cid:97) (cid:174)−1<x<3(cid:71)(cid:72)
y>0(cid:83)(cid:181)(cid:104)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:90)(cid:35)(cid:70)(cid:84)(cid:383)①(cid:383)(cid:85) ② ③ ④
A(cid:83)1 B(cid:83)2 C(cid:83)3 D(cid:83)4
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)C
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:91)(cid:35)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:3)
(cid:91)(cid:54)(cid:171)(cid:200)(cid:29)(cid:72)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:124)(cid:77)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:42)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:203)(cid:171)a<0(cid:72)(cid:25)y(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:75)(cid:322)(cid:29)(cid:67)(cid:40)(cid:203)(cid:171)c>0(cid:72)(cid:64)(cid:125)(cid:203)(cid:178)(cid:179) (cid:97)(cid:356)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)
①
−1(cid:72)0 (cid:72)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:264)(cid:48)(cid:28)(cid:29)(cid:77) 3(cid:72)0 (cid:72)(cid:89)9a+3b+c=0(cid:150)a−b+c=0(cid:65)(cid:55)(cid:212)(cid:263)(cid:203)(cid:205)8a+4b=0(cid:72)(cid:203)(cid:178)
(cid:179) (cid:97)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77) 1(cid:72)m (cid:72)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)(cid:89)m(cid:77)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:72)(cid:78)(cid:155)(cid:362)(cid:195)(cid:162)(cid:35)n(cid:72)(cid:320)(cid:127)an2+bn+c≤m(cid:72)(cid:64)(cid:125)(cid:203)(cid:178)
(cid:179)②(cid:97)(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:205)(cid:174)−1<x<3(cid:71)(cid:72)y>0(cid:72)(cid:64)(cid:125)(cid:203)(cid:178)(cid:39) (cid:83)
(cid:15)③(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72) ④
a<0(cid:72) ∵
∴(cid:25)y(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:75)(cid:322)(cid:29)(cid:67)(cid:40)(cid:203)(cid:72)
∵c>0(cid:72)
∴ac<0(cid:72)(cid:202) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
∴ ①
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155) −1(cid:72)0 (cid:72)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:72)
∵(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:264)(cid:48)(cid:28)(cid:29)(cid:77) 3(cid:72)0 (cid:72)
∴(cid:174)x=3(cid:71)(cid:72)9a+3b+c=0(cid:97)(cid:174)x=−1(cid:71)(cid:72)a−b+c=0(cid:72)
∴(cid:65)(cid:55)(cid:212)(cid:263)(cid:203)(cid:205)8a+4b=0(cid:72)(cid:202) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
∴ ②
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77) −1(cid:72)0 (cid:72)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)
∵m(cid:77)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:72)
∴(cid:78)(cid:155)(cid:362)(cid:195)(cid:162)(cid:35)n(cid:72)(cid:320)(cid:127)an2+bn+c≤m(cid:72)(cid:202) (cid:265)(cid:266)(cid:97)
∴ (cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:205)(cid:72)(cid:174)−1<x<3(cid:71)(cid:72)y>0(cid:72)(cid:202) ③(cid:110)(cid:38)(cid:83)
④(cid:269)(cid:67)(cid:72)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:127)3(cid:90)(cid:83) ④
(cid:213)(cid:236)C(cid:83)
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
(cid:15)(cid:159)6(cid:19)(cid:84)2025·(cid:239)(cid:240)(cid:239)(cid:374)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:100)
1 2
(cid:218)(cid:77)4(cid:83)
(1)(cid:45)n(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:170)(cid:171)A(s,t)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:72)B(p,q)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:83)
1 2
(cid:84)i(cid:85)(cid:86)(cid:302)(cid:341)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:110)(cid:35)s(cid:72)(cid:342)(cid:205)s+t=0(cid:72)(cid:45)p+q(cid:27)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:97)
(cid:84)ii(cid:85)(cid:86)p=s+2(cid:72)(cid:173)(cid:174)1<s<2(cid:71)(cid:72)(cid:311)(cid:127)t+q<4(cid:72)(cid:45)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)4
(2)(cid:84)i(cid:85)9(cid:97)(cid:84)ii(cid:85)m≥−4
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:87)(cid:88)(cid:45)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:72)(cid:272)(cid:274)(cid:3)(cid:155)n(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:97)
1 2
(cid:84)2(cid:85)(cid:84)i(cid:85)(cid:123)(cid:84)1(cid:85)(cid:205)y =x2+mx+4(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:130)−s=s2+ms+4(cid:72)(cid:202)s2+(m+1)s+4=0(cid:72)(cid:123)(cid:302)(cid:341)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:110)(cid:35)s(cid:72)(cid:342)
1
(cid:205)s+t=0(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:155)s(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)s2+(m+1)s+4=0(cid:72)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:212)(cid:54)(cid:27)(cid:110)(cid:35)(cid:42)(cid:72)(cid:45)(cid:96)m =3,m =−5(cid:72)m=−5(cid:72)(cid:205)(cid:130)p+
1 2
q=−p2+6p=−(p−3)2+9(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:52)(cid:182)(cid:97)(cid:84)ii(cid:85)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:45)(cid:96)t=s2+ms+4(cid:72)
q=−s2−(4+m)s−2m−4(cid:72)(cid:123)t+q<4(cid:72)(cid:205)(cid:130)s2+ms+4+[−s2−(4+m)s−2m−4]<4(cid:72)(cid:45)(cid:96)−2m<4+4s(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:52)(cid:182)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10) y =x2+mx+n= x+ m 2 + 4n−m2 (cid:72)y =−x2−mx=− x+ m + m2 (cid:72)
1 2 4 2 2 4
∵
(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77) −
m
,
4n−m2
(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:77) −
m
,
m2
(cid:72)
1 2 4 2 2 4
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:100)(cid:218)(cid:77)4(cid:72)
1 2
∵4n−m2
+
m2
=4(cid:72)(cid:202)n=4(cid:97)
4 4
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:84)i(cid:85)(cid:123)(cid:84)1(cid:85)(cid:171)n=4(cid:72)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+4(cid:72)
1
∴A(s,t)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:72)
1
∵t=s2+ms+4(cid:72)
∴s+t=0(cid:72)(cid:202)t=−s(cid:72)
∵−s=s2+ms+4(cid:72)(cid:202)s2+(m+1)s+4=0(cid:72)
∴(cid:302)(cid:341)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:110)(cid:35)s(cid:72)(cid:342)(cid:205)s+t=0(cid:72)
∵(cid:3)(cid:155)s(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)s2+(m+1)s+4=0(cid:72)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:212)(cid:54)(cid:27)(cid:110)(cid:35)(cid:42)(cid:72)
∴Δ=(m+1)2−4×1×4=0(cid:72)(cid:202)(m+1)2=16(cid:72)
∴(cid:52)(cid:205)(cid:10)m =3,m =−5(cid:72)
1 2
(cid:174)m=3(cid:71)(cid:72)s2+4s+4=0(cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)s=−2<0(cid:84)(cid:384)(cid:385)(cid:72)(cid:53)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:85)(cid:97)
(cid:174)m=−5(cid:71)(cid:72)s2−4s+4=0(cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)s=2>0(cid:84)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:85)(cid:97)
m=−5(cid:72)
∴y =−x2+5x(cid:72)
2
∴B(p,q)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:72)
2
∵q=−p2+5p(cid:72)
∴p+q=−p2+6p=−(p−3)2+9(cid:72)
∴−1<0(cid:72)
∵(cid:174)p=3(cid:71)(cid:72)p+q(cid:127)(cid:259)(cid:134)(cid:57)9(cid:97)
∴(cid:84)ii(cid:85) t=s2+ms+4(cid:72)p=s+2(cid:72)(cid:173)B(p,q)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:67)(cid:72)
2
q=−(∵s+2)2−m(s+2)=−s2−(4+m)s−2m−4(cid:72)
∴t+q<4(cid:72)
∵s2+ms+4+[−s2−(4+m)s−2m−4]<4(cid:72)
∴−2m<4+4s(cid:72)
∴1<s<2(cid:72)
∵8<4+4s<12(cid:72)
∴−2m≤8(cid:72)
∴m≥−4(cid:83)
∴(cid:15)(cid:29)(cid:329)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:72)(cid:110)(cid:38)(cid:247)(cid:248)(cid:212)(cid:3)(cid:227)(cid:228)(cid:214)(cid:386)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:271)(cid:272)(cid:300)(cid:387)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−6ax+c(cid:72)(cid:174)1<x<2(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:97)(cid:174)x>5(cid:71)(cid:72)y
<0(cid:83)(cid:86)(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:320)(cid:75)(cid:34)(cid:35)y=ax2−6ax+c(cid:67)(cid:72)(cid:173)m>n>5a(cid:72)(cid:89)t(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)2<t<4
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:218)(cid:227)(cid:228)(cid:83)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:130)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=3(cid:72)(cid:283)(cid:123)(cid:174)1<x<2
(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:97)(cid:174)x>5(cid:71)(cid:72)y<0(cid:72)(cid:203)(cid:205)a<0(cid:72)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)5(cid:218)1(cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:87)(cid:65)(cid:324)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:86)
(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:360)(cid:75)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:388)(cid:152)(cid:72)(cid:86)(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:360)(cid:75)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:152)(cid:72)(cid:231)(cid:232)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:52)(cid:182)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=− −6a =3(cid:72)
2a
(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)5(cid:3)(cid:155)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)1(cid:72)
∴(cid:174)1<x<2(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:97)(cid:174)x>5(cid:71)(cid:72)y<0(cid:72)
∵a<0(cid:72)(cid:173)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)5(cid:218)1(cid:72)
∴(cid:174)x<3(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:225)(cid:134)(cid:72)(cid:174)x≥3(cid:71)(cid:72)y(cid:224)x(cid:27)(cid:225)(cid:134)(cid:144)(cid:263)(cid:135)(cid:72)
∴(cid:86)(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:360)(cid:75)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:388)(cid:152)(cid:72)
(cid:125)(cid:71)t≥3(cid:72)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)5(cid:218)1(cid:72)
∵(cid:174)x=1(cid:71)(cid:72)y=0(cid:72)
∴a−6a+c=0(cid:72)(cid:202)c=5a(cid:72)
∴(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:77)y=ax2−6ax+5a(cid:72)
∴(cid:174)x=0(cid:71)(cid:72)y=5a(cid:72)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)y(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:77)(0,5a)(cid:72)
∴(cid:29)(0,5a)(cid:3)(cid:155)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:29)(cid:77)(6,5a)(cid:72)
∴m>n>5a(cid:72)
∵t+2<6(cid:72)
∴(cid:202)t<4(cid:72)
(cid:125)(cid:71)3≤t<4(cid:97)
(cid:86)(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:360)(cid:75)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:152)(cid:72)(cid:89)
3−t<t+2−3(cid:72)
(cid:202)t>2(cid:97)
(cid:269)(cid:67)(cid:199)(cid:270)(cid:72)t(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)2<t<4(cid:83)(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)2<t<4
(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:134)(cid:374)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−bx(a≠0)(cid:72)(cid:175)(cid:115)(cid:29)P(m,2)(cid:83)(cid:174)y>−1(cid:71)(cid:72)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)
(cid:58)(cid:59)(cid:77)x<t−1(cid:63)x>−3−t(cid:83)(cid:89)(cid:129)(cid:157)(cid:68)(cid:90)(cid:57)(cid:104)(cid:127)(cid:203)(cid:334)(cid:77)m(cid:27)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)1 B(cid:83)2 C(cid:83)3 D(cid:83)4
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)A
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:203)(cid:205)(cid:174)y=−1(cid:71)(cid:72)x=t−1
(cid:63)x=−3−t(cid:72)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72)(cid:202)a>0(cid:72)(cid:89)(cid:203)(cid:45)(cid:96)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x=−2(cid:72)(cid:89)(cid:203)(cid:205)(cid:130)b=−4a(cid:72)(cid:294)(m,2)(cid:207)(cid:208)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:205)
(cid:130)a= 2 ≥ 1 (cid:72)(cid:64)(cid:125)(cid:45)(cid:96)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:202)(cid:203)(cid:205)(cid:130)(cid:182)(cid:183)(cid:83)
m2 4m 4
+
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:174)y>−1(cid:71)(cid:72)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:77)x<t−1(cid:63)x>−3−t(cid:72)
(cid:174)y=−1(cid:71)(cid:72)x∵=t−1(cid:63)x=−3−t(cid:72)(cid:173)(cid:34)(cid:35)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72)(cid:202)a>0(cid:72)
∴(t−1,−1)(cid:72)(−3−t,−1)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:27)(cid:29)(cid:72)
∴ (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x= t−1−3−t =−2(cid:72)
2
∴
b=−2(cid:72)
2a
∴
b=−4a(cid:72)
∴y=ax2+4ax=a(x+2)2−4a(cid:72)
∴ 1
(cid:174)a>0(cid:71)(cid:72)−4a≤−1(cid:72)(cid:52)(cid:205)a≥ (cid:72)
4
(cid:146)(m,2)(cid:207)(cid:208)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:205)am2+4am=2(cid:72)
a= 2 ≥ 1 (cid:72)
m2 4m 4
∴ 0<m2+
+4m≤8(cid:72)
∴4<(m+2)2≤12(cid:72)
∴−2−2 3≤m<−4(cid:63)0<m≤−2+2 3(cid:72)
∴2.25<3<4(cid:72)
∵1.5< 3<2(cid:72)
∴3<2 3<4(cid:72)
∴1<−2+2 3<2(cid:72)
∴(cid:269)(cid:67)(cid:199)(cid:270)(cid:72)m(cid:27)(cid:203)(cid:334)(cid:56)(cid:57)(cid:77)1(cid:72)
(cid:213)(cid:236)(cid:10)A(cid:83)(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:239)(cid:240)(cid:232)(cid:319)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:75)(cid:285)(cid:286)(cid:237)(cid:287)(cid:81)(cid:82)(cid:91)xOy(cid:104)(cid:72)(cid:237)(cid:24)y=2x(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx−4(cid:28)(cid:155)(cid:29)A
(x ,y )(cid:150)B(x ,y )(cid:72)(cid:173)x <x (cid:72)(cid:29)P(cid:70)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:119)(cid:155)A(cid:72)B(cid:65)(cid:29)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:389)(cid:29)(cid:83)
1 1 2 2 1 2
(1)(cid:174)x =−1(cid:72)x =2(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:97)
1 2
(2)(cid:75)(cid:84)1(cid:85)(cid:27)(cid:357)(cid:390)(cid:157)(cid:72)(cid:174) PAB(cid:286)(cid:391)(cid:259)(cid:134)(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:29)P(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:97)
△ 2 m
(3)(cid:275)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:288)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)ℎ(cid:72)(cid:174)x =m(cid:72)x =n(cid:173)n≥ (cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:180)(cid:10)ℎ≥ (cid:83)
1 2 a 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)y=2x2−4
1 7
(2)P ,−
2 2
(3)(cid:206)(cid:184)(cid:52)(cid:185)
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:148)(cid:27)(cid:286)(cid:391)(cid:72)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:72)(cid:247)(cid:248)(cid:171)(cid:200)(cid:29)(cid:27)(cid:79)(cid:31)
(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:30)(cid:31)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:96)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:202)(cid:203)(cid:97)
2
(cid:84)2(cid:85)(cid:115)(cid:29)P(cid:153)PQ x(cid:26)(cid:28)(cid:237)(cid:24)y=2x(cid:155)(cid:29)Q(cid:72)(cid:275)(cid:29)P(t,2t2−4)(cid:72)(cid:89)Q(t,2t)(cid:72)(cid:89)S =−3 t− 1 + 27 (cid:72)(cid:283)(cid:114)(cid:115)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
PAB 2 4
⊥ △
(cid:35)(cid:27)(cid:227)(cid:228)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:146)A(m,2m)(cid:72)B(n,2n)(cid:207)(cid:208)y=ax2+bx−4(cid:205)2m=am2+bm−4 (cid:72)2n=an2+bn−4 (cid:72)(cid:213)(cid:127)2(m−n)=a(m+n)(m−n)
+b(m−n)(cid:72)(cid:89)n=2−b −m= 2 − b −m(cid:72)(cid:295)n≥ 2 (cid:72)(cid:199)(cid:158) 2 − b −m≥ 2 (cid:72)(cid:138)(cid:144)(cid:45) ① (cid:180)(cid:83) ②
a a a a a a a
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:174)x =−1(cid:71)(cid:72)y =2×(−1)=−2(cid:72)x =2(cid:71)(cid:72)y =2×2=4(cid:72)
1 1 2 1
(cid:146)A(−1,−2)(cid:72)B(2,4)(cid:207)(cid:208)y=ax2+bx−4(cid:205)
∴a−b−4=−2 a=2
(cid:72)(cid:52)(cid:205) (cid:72)
4a+2b−4=4 b=0
y=2x2−4(cid:97)
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:115)(cid:29)P(cid:153)PQ x(cid:26)(cid:28)(cid:237)(cid:24)y=2x(cid:155)(cid:29)Q(cid:72)
⊥(cid:275)(cid:29)P(t,2t2−4)(cid:72)(cid:89)Q(t,2t)(cid:72)
PQ=2t−2t2+4(cid:72)
∴S =S +S
PAB PAQ PBQ
∵ 1△ △ △
= PQ x −x
2 B A
=−3t2+3t+6
2
=−3 t− 1 + 27 (cid:72)
2 4
1
(cid:174)t= (cid:71)(cid:72)S (cid:127)(cid:259)(cid:134)(cid:57)(cid:72)
2 PAB
∴ △
1 7
P ,− (cid:97)
2 2
∴(cid:84)3(cid:85)(cid:52)(cid:10)(cid:174)x =m(cid:72)x =n(cid:72)(cid:173)m<n(cid:72)
1 2
(cid:146)A(m,2m)(cid:72)B(n,2n)(cid:207)(cid:208)y=ax2+bx−4(cid:205)(cid:10)
2m=am2+bm−4 (cid:72)2n=an2+bn−4 (cid:72)
− (cid:205)(cid:10)2(m①−n)=a(m+n)(m−n)②+b(m−n)(cid:72)
①a(m②+n)+b=2(cid:72)
∴ n=2−b −m= 2 − b −m(cid:72)
a a a
∴
2
n≥ (cid:72)
a
∵ 2 − b −m≥ 2 (cid:72)
a a a
∴
b
m≤− (cid:72)
a
∴ m ≤− b (cid:72)(cid:202)ℎ≥ m (cid:83)
2 2a 2
∴【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
(cid:15)(cid:159)7(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:309)(cid:392)(cid:393)(cid:394)·(cid:169)(cid:243)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx+c(cid:175)(cid:115)(cid:65)(cid:29)A(2,−3)(cid:72)B(4,5)(cid:83)
(1)(cid:45)b(cid:72)c(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:174)1≤x≤4(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)y=x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:311)(cid:134)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2+bx+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:72)(cid:173)(cid:34)(cid:35)y=−7x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:311)(cid:135)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2
+bx+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:72)(cid:237)(cid:143)(cid:381)(cid:96)(cid:244)(cid:245)(cid:20)(cid:195)(cid:27)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)(1)b=−2,c=−3
(2)1<n<3
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:45)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:52)(cid:185)(cid:55)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:97)
(cid:84)1(cid:85)(cid:30)(cid:31)(cid:191)(cid:39)(cid:91)(cid:35)(cid:192)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:205)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:395)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:72)(cid:45)(cid:205)(cid:34)(cid:35)y=x+n(cid:158)(cid:226)(cid:34)(cid:35)y=−7x+n(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:115)(cid:396)(cid:29)(cid:71)(cid:27)n(cid:27)(cid:57)(cid:72)(cid:203)(cid:158)(cid:178)(cid:179)(cid:205)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx+c(cid:175)(cid:115)(cid:65)(cid:29)A(2,−3)(cid:72)B(4,5)(cid:83)
4+2b+c=−3 ∵
16+4b+c=5
∴ b=−2
c=−3
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:72)(cid:174)x=1(cid:71)(cid:72)y=−4(cid:72)(cid:174)x=4(cid:71)(cid:72)y=5(cid:97)
(cid:34)(cid:35)y=x+n(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:72)(cid:174)x=4(cid:72)y=5(cid:71)(cid:72)n=1(cid:97)
(cid:34)(cid:35)y=−7x+n(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:72)(cid:174)x=1(cid:72)y=−4(cid:71)n=3(cid:72)
1≤x≤4(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)y=x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:311)(cid:134)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2+bx+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:72)(cid:173)(cid:34)(cid:35)y=−7x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:311)(cid:135)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2+bx
∵+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:83)
1<n<3(cid:83)
∴(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:330)(cid:279)(cid:330)(cid:273)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =mx+n(m≠0)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)
1 2
(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:72)(cid:89)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+(b−m)x+c>n(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)x<3 B(cid:83)x>−4 C(cid:83)−4<x<3 D(cid:83)x>3(cid:63)x<−4
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)C(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:269)(cid:232)(cid:83)(cid:139)(cid:140)(cid:36)(cid:37)(cid:205)(cid:10)(cid:174)−4<x<3(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:119)(cid:155)(cid:48)(cid:33)(cid:34)
(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:67)(cid:40)(cid:72)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:139)(cid:140)(cid:36)(cid:37)(cid:205)(cid:10)(cid:174)−4<x<3(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:119)(cid:155)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:67)(cid:40)(cid:72)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c>mx+n(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:77)−4<x<3(cid:72)
∴(cid:202)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+(b−m)x+c>n(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:77)−4<x<3(cid:83)
(cid:213)(cid:236)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:284)(cid:252)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =ax2−ax−1(a≠0),y =x2−bx+3(cid:72)(cid:89)(cid:157)(cid:102)(cid:231)(cid:258)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:70)
1 2
(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)(cid:86)−2<a<0<b(cid:72)(cid:89)y <y B(cid:83)(cid:86)−2<a<b<0(cid:72)(cid:89)y <y
1 2 1 2
C(cid:83)(cid:86)0<a<2<b(cid:72)(cid:89)y <y D(cid:83)(cid:86)0<a<b<2(cid:72)(cid:89)y <y
1 2 1 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)B
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:227)(cid:228)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:194)(cid:52)(cid:107)(cid:196)(cid:197)
(cid:198)(cid:31)(cid:212)(cid:3)(cid:171)(cid:200)(cid:70)(cid:52)(cid:182)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)(cid:307)(cid:397)(cid:398)(cid:364)(cid:34)(cid:35)y=y −y =(1−a)x2+(a−b)x+4(cid:72)(cid:283)(cid:42)(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:227)(cid:228)(cid:72)(cid:158)(cid:226)
2 2
(cid:78)(cid:79)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:275)(cid:34)(cid:35)y=y −y =(1−a)x2+(a−b)x+4(cid:72)
2 1
(cid:304)(cid:342)y <y (cid:72)(cid:209)(cid:350)y>0(cid:399)(cid:124)(cid:274)(cid:72)
1 2
(cid:174)1−a=0(cid:202)a=1(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)y=(1−b)x+4(cid:70)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:72)(cid:400)(cid:229)y>0(cid:53)(cid:399)(cid:124)(cid:274)(cid:72)
(cid:174)1−a<0(cid:202)a>1(cid:71)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)
y>0(cid:53)(cid:399)(cid:124)(cid:274)(cid:72)(cid:213)(cid:236)(cid:149)C(cid:150)D(cid:53)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:97)
∴(cid:209)(cid:350)1−a>0(cid:72)(cid:173)Δ=(a−b)2−16(1−a)<0(cid:399)(cid:124)(cid:274)(cid:72)
∴(cid:174)−2<a<0<b(cid:71)(cid:72)(cid:244)(cid:245)1−a>0(cid:72)(cid:401)b(cid:57)(cid:53)(cid:38)(cid:39)(cid:72)(cid:174)b(cid:402)(cid:134)(cid:71)(cid:72)Δ(cid:203)(cid:334)(cid:134)(cid:155)0(cid:72)(cid:213)(cid:236)(cid:149)A(cid:53)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:97)
(cid:174)−2<a<b<0(cid:71)(cid:72)(cid:244)(cid:245)1−a>1(cid:72)−2<a−b<0(cid:72)
Δ=(a−b)2−16(1−a)<0(cid:399)(cid:124)(cid:274)(cid:72)(cid:213)(cid:236)(cid:149)B(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:72)
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:134)(cid:374)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:39)(cid:403)(cid:10)(cid:86)(cid:34)(cid:35)C (cid:218)(cid:34)(cid:35)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=m(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:89)(cid:151)
1 2
(cid:34)(cid:35)C (cid:218)C (cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=m(cid:404)(cid:77)“(cid:218)(cid:405)(cid:34)(cid:35)”(cid:72)(cid:34)(cid:35)C (cid:218)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:406)(cid:407)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:83)
1 2 1 2
(cid:159)(cid:129)(cid:10)(cid:34)(cid:35)y=x2−3(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=1(cid:27)“(cid:218)(cid:405)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)y=(x−2)2−3(cid:72)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:77)(1,−2)(cid:83)(cid:157)(cid:102)(cid:136)(cid:192)(cid:53)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:408)(cid:9)
(cid:77) (cid:83)
(cid:34)(cid:35)y=x2−2x(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=−1(cid:27)“(cid:218)(cid:405)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)y=(x+3)2−1=x2+6x+8(cid:72)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:81)(cid:82)(cid:77)(−1,3)(cid:97)
①(cid:34)(cid:35)y=x2−4x+1(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=m(cid:27)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:27)(cid:257)(cid:81)(cid:82)(cid:77)n(cid:72)(cid:174)1≤m≤4(cid:71)(cid:72)(cid:89)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)−2≤n≤1(cid:97)
②(cid:34)(cid:35)y=x2−4x(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=m(cid:27)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:257)(cid:81)(cid:82)d(cid:244)(cid:245)(cid:10)|d|≤3(cid:72)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)3≤m≤2+ 7(cid:63)2− 7≤m≤1
③(cid:170)(cid:171)M(1,−2)(cid:72)N(4,−2)(cid:72)(cid:34)(cid:35)C :y=a(x−1)2−4a(a>0)(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=2(cid:27)“(cid:218)(cid:405)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)C (cid:72)(cid:146)(cid:34)(cid:35)C (cid:25)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)
1 2 1 2
④ 2
(cid:409)(cid:124)(cid:27)(cid:36)(cid:148)(cid:410)(cid:77)T(cid:72)(cid:86)T(cid:25)(cid:24)(cid:321)MN(cid:209)(cid:127)2(cid:90)(cid:7)(cid:210)(cid:29)(cid:72)(cid:89)a(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)a≥ (cid:83)
3
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19) /
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)②(cid:20)④(cid:303)④(cid:304)②(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:288)(cid:29)(cid:55)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:29)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:189)(cid:190)(cid:150)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:54)(cid:214)(cid:386)(cid:72)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:148)
(cid:231)(cid:232)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83) (cid:42)(cid:64)“(cid:411)(cid:412)(cid:34)(cid:35)”(cid:27)(cid:39)(cid:403)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:72) n=m2−4m+1=(m−2)2−3(cid:72)(cid:283)(cid:42)(cid:64)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:202)
(cid:203)(cid:205)(cid:130)n(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:72) (cid:42)①(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:205)(cid:96)|m2−4m|≤3(cid:72)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:72)(cid:202)②(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:97) (cid:174)MN(cid:115)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:71)(cid:72)(cid:77)(cid:413)(cid:396)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:72)
(cid:174)MN(cid:115)C (cid:27)(cid:288)(cid:29)③(cid:71)(cid:72)(cid:125)(cid:71)T(cid:25)(cid:24)(cid:321)MN(cid:209)(cid:127)2(cid:90)(cid:7)(cid:210)(cid:29)(cid:72)(cid:414)(cid:96)(cid:413)(cid:396)(cid:57)(cid:207)④(cid:208)(cid:45)(cid:52)(cid:202)(cid:203)(cid:83)
1
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) y=x2−2x=(x−1)2−1(cid:72)
(cid:288)(cid:29)(1,−1)(cid:72)①(cid:415)(cid:3)∵(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=−1 (cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:29)(cid:77)(−3,−1)(cid:72)
∴ “(cid:218)(cid:405)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)y=(x+3)2−1=x2+6x+8(cid:72)
∴(cid:65)(cid:90)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:155)(cid:237)(cid:24)x=−1 (cid:78)(cid:151)(cid:72)
∵(cid:181)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:75)(cid:237)(cid:24)x=−1 (cid:67)(cid:72)(cid:146)x=−1(cid:207)(cid:208)y=x2−2x(cid:104)(cid:72)y=1−2×(−1)=3(cid:72)
∴ “(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:81)(cid:82)(cid:77)(−1,3)(cid:97)(cid:213) (cid:110)(cid:38)(cid:97)
∴ (cid:123)(cid:20)(cid:195)(cid:205)n=m2−4m+1=(m−2①)2−3(cid:72)
②1>0(cid:72)
∵n(cid:3)(cid:155)m(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:48)(cid:357)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:67)(cid:72)(cid:288)(cid:29)(cid:77)(2,−3)(cid:72)
∴(cid:174)m=2 (cid:71)(cid:72)n(cid:127)(cid:259)(cid:135)(cid:57)−3(cid:72)
∴(cid:174)m=1 (cid:71)(cid:72)n=−2(cid:72)(cid:174)m=4 (cid:71)(cid:72)n=1(cid:72)
−3≤n≤1(cid:97)(cid:213) (cid:265)(cid:266)(cid:97)
∴ (cid:395)(cid:20)(cid:195)(cid:203)(cid:205)②d=m2−4m
③|d|≤3(cid:72)
∵|m2−4m|≤3
∴m2−4m−3≤0(cid:63)m2−4m+3≥0
∴(cid:52)(cid:205)(cid:10)3≤m≤2+ 7(cid:63)2− 7≤m≤1(cid:72)(cid:213) (cid:110)(cid:38)
(cid:129)(cid:36)(cid:72) ③
④(cid:174)MN(cid:115)“(cid:218)(cid:405)(cid:29)”(cid:71)(cid:72)(cid:77)(cid:413)(cid:396)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:72)
(cid:174)x=2(cid:71)(cid:72)y=a(2−1)2−4a=−3a(cid:72)
(cid:202)−3a=−2(cid:72)
2
(cid:52)(cid:205)(cid:10)a=
3
2
(cid:89)(cid:174)a≥ (cid:71)(cid:72)T(cid:25)(cid:24)(cid:321)MN(cid:209)(cid:127)2(cid:90)(cid:7)(cid:210)(cid:29)(cid:97)
3
(cid:174)MN(cid:115)C (cid:27)(cid:288)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:125)(cid:71)T(cid:25)(cid:24)(cid:321)MN(cid:209)(cid:127)2(cid:90)(cid:7)(cid:210)(cid:29)(cid:72)
1
(cid:174)x=1(cid:71)(cid:72)y=a(1−1)2−4a=−4a(cid:72)
(cid:202)−4a=−2(cid:72)
1
(cid:52)(cid:205)(cid:10)a= (cid:97)
2
2 1
(cid:269)(cid:67)(cid:72)a(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:77)(cid:10)a≥ (cid:63)a= (cid:72)(cid:213) (cid:265)(cid:266)(cid:72)
3 2
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10) (cid:83) ④
【题型8 抛 ② 物 ④ 线与x轴交点上的四点问题】
(cid:15)(cid:159)8(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:308)(cid:309)(cid:416)(cid:417)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=(x−x )(x−x )−3(x <x )(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(m,0)(cid:72)
1 2 1 2
(n,0)(cid:65)(cid:29)(m<n)(cid:72)(cid:89)m(cid:72)n(cid:72)x (cid:72)x (cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:3)(cid:91)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
1 2
A(cid:83)x <m<n<x B(cid:83)m<x <x <n
1 2 1 2
C(cid:83)m<x <n<x D(cid:83)x <m<x <n
1 2 1 2
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)B
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:27)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:29)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:189)(cid:190)(cid:72)(cid:275)y′=(x−x )(x−x )(cid:72)(cid:144)y=
1 2
(x−x )(x−x )−3=y′−3(cid:72)(cid:202)(cid:34)(cid:35)y′(cid:235)(cid:157)(cid:285)(cid:289)3(cid:90)(cid:290)(cid:119)(cid:205)(cid:130)(cid:34)(cid:35)y(cid:72)(cid:114)(cid:115)(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:35)(cid:134)(cid:418)(cid:36)(cid:37)(cid:202)(cid:203)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
1 2
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:275)y′=(x−x )(x−x )(cid:72)(cid:89)x (cid:150)x (cid:70)(cid:34)(cid:35)y′(cid:218)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:72)
1 2 1 2
(cid:144)y=(x−x )(x−x )−3=y′−3(cid:72)
1 2(cid:202)(cid:34)(cid:35)y′(cid:235)(cid:157)(cid:285)(cid:289)3(cid:90)(cid:290)(cid:119)(cid:205)(cid:130)(cid:34)(cid:35)y(cid:72)
(cid:89)(cid:65)(cid:90)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:84)(cid:419)(cid:14)(cid:211)y(cid:26)(cid:85)(cid:72)
(cid:138)(cid:36)(cid:37)(cid:122)(cid:72)m<x <x <n(cid:72)
1 2
(cid:213)(cid:236)(cid:10)B(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-1(cid:19)(cid:84)2024·(cid:284)(cid:252)(cid:420)(cid:273)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2+bx+c(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)α(cid:72)β
(α<β)(cid:72)(cid:144)−x2+bx+c−2=0(cid:27)(cid:65)(cid:42)(cid:77)M(cid:150)N(M<N)(cid:72)(cid:89)α(cid:150)β(cid:150)M(cid:150)N(cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:421)(cid:408)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)α<β<M<N B(cid:83)M<α<β<N
C(cid:83)α<M<N<β D(cid:83)M<α<N<β
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)C
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:395)(cid:20)(cid:195)(cid:95)(cid:96)(cid:34)(cid:35)y=−(x−a)(x−β)(cid:218)y=2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:154)(cid:36)(cid:72)(cid:42)
(cid:64)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:237)(cid:143)(cid:45)(cid:52)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:395)(cid:20)(cid:195)(cid:72)(cid:95)(cid:96)(cid:34)y=−(x−a)(x−β)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:129)(cid:36)(cid:199)(cid:249)(cid:83)
(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:77)α(cid:72)β(α<β)(cid:72)
(cid:40)(cid:41)−x2+bx+c−2=0(cid:27)(cid:65)(cid:42)(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−(x−a)(x−β)(cid:25)(cid:237)(cid:24)y=2(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:83)
(cid:123)M<N(cid:72)(cid:203)(cid:171)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:323)(cid:152)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)M(cid:72)(cid:388)(cid:152)(cid:77)N(cid:83)
(cid:123)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:171)(cid:72)α<M<N<β(cid:72)
(cid:213)(cid:236)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-2(cid:19)(cid:84)2024·(cid:252)(cid:331)(cid:422)(cid:273)·(cid:32)(cid:220)(cid:85)(cid:75)(cid:285)(cid:286)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−3(x−ℎ)2+5(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(m,0)(cid:72)(n,0)(cid:65)(cid:29)(cid:72)
(cid:181)(cid:104)m<n(cid:83)(cid:118)(cid:146)(cid:125)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:67)(cid:285)(cid:289)(cid:72)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(p,0)(cid:72)(q,0)(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:173)p<q(cid:72)(cid:157)(cid:102)(cid:231)(cid:258)(cid:110)(cid:38)(cid:27)
(cid:70)(cid:84) (cid:85)A(cid:83)m+n<p+q(cid:72)n−m<q−p B(cid:83)m+n<p+q(cid:72)n−m>q−p
C(cid:83)m+n=p+q(cid:72)n−m<q−p D(cid:83)m+n=p+q(cid:72)n−m>q−p
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)C
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:187)(cid:188)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:52)(cid:182)(cid:423)(cid:226)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:72)(cid:276)(cid:31)(cid:35)(cid:148)(cid:231)(cid:232)(cid:424)(cid:425)(cid:70)(cid:52)(cid:20)(cid:27)(cid:3)
(cid:193)(cid:83)(cid:356)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−3(x−ℎ)2+5(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)(cid:199)(cid:158)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:67)(cid:285)(cid:289)(cid:72)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:53)(cid:61)(cid:72)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:267)(cid:141)(cid:61)(cid:47)(cid:52)(cid:182)
(cid:202)(cid:203)(cid:83)
(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10) (cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−3(x−ℎ)2+5(cid:25)x(cid:26)(cid:212)(cid:28)(cid:155)(m,0)(cid:72)(n,0)(cid:65)(cid:29)(m<n)(cid:72)
∵ m n
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x= (cid:72)
2
+
∴
(cid:146)(cid:125)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:67)(cid:285)(cid:289)(cid:72)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:212)(cid:28)(cid:155)(p,0)(cid:72)(q,0)(cid:65)(cid:29)(p<q)(cid:72)
∵ p q
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:77)(cid:237)(cid:24)x= (cid:72)
2
+
∴
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:67)(cid:285)(cid:289)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:53)(cid:61)(cid:72)
∵ m n p q
= (cid:72)
2 2
+ +
∴
(cid:202)m+n=p+q(cid:72)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−3(x−ℎ)2+5(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:157)(cid:72)
∵(cid:146)(cid:125)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:235)(cid:67)(cid:285)(cid:289)(cid:72)(cid:285)(cid:289)(cid:230)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:101)(cid:267)(cid:141)(cid:276)(cid:61)(cid:47)(cid:72)
∴n−m<q−p(cid:72)
∴(cid:213)(cid:236)(cid:10)C(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:239)(cid:240)(cid:232)(cid:319)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:75)(cid:285)(cid:286)(cid:237)(cid:287)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2−2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)
A(cid:150)B(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2+2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)C(cid:150)D(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:181)(cid:104)n>0(cid:83)(cid:86)AD=3BC(cid:72)(cid:89)n(cid:27)(cid:57)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:182)(cid:183)(cid:19)3
(cid:15)(cid:87)(cid:185)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:303)(cid:304)(cid:187)(cid:188)(cid:211)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:20)(cid:195)(cid:31)n(cid:103)(cid:249)(cid:96)AD2=9BC2(cid:72)(cid:102)(cid:96)(cid:3)(cid:155)n(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:52)(cid:20)
(cid:27)(cid:3)(cid:193)(cid:83)(cid:307)(cid:45)(cid:96)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2−2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2+2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:229)(cid:230)(cid:42)(cid:64)AD=3BC(cid:72)(cid:205)(cid:96)
AD2=9BC2(cid:72)(cid:102)(cid:96)(cid:3)(cid:155)n(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:72)(cid:52)(cid:40)(cid:41)(cid:202)(cid:203)(cid:83)(cid:15)(cid:206)(cid:52)(cid:19)(cid:52)(cid:10)(cid:294)y=0(cid:207)(cid:208)y=−x2−2x+n(cid:205)(cid:10)−x2−2x+n=0(cid:72)
(cid:52)(cid:205)(cid:10)x =−(−2) 4 4n=−1− 1+n(cid:72)x =−(−2)− 4 4n=−1+ 1+n(cid:72)
1 2×(−1) 2 2×(−1)
+ + +
(cid:294)y=0(cid:207)(cid:208)y=−x2+2x+n(cid:205)(cid:10)−x2+2x+n=0(cid:72)
(cid:52)(cid:205)(cid:10)x =1− 1+n(cid:72)x =1+ 1+n(cid:72)
3 4
AD=3BC(cid:72)
∵AD2=9BC2(cid:72)
∴
2 2
(x −x )2=9(x −x )2(cid:72)(cid:202)(1+ 1+n+1+ 1+n) =9(1− 1+n+1− 1+n) (cid:72)
4 1 3 2
2 2
(1+ 1+n) =9(1− 1+n) (cid:72)∴
∴(cid:204) 1+n=m(cid:72)(cid:89)(1+m)2=9(1−m)2(cid:72)
1
(cid:52)(cid:205)(cid:10)m = (cid:72)m =2(cid:72)
1 2 2
1 1 3
(cid:174)m = (cid:71)(cid:72) 1+n= (cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)n=− (cid:72)
1 2 2 4
n>0(cid:72)
∵ n=− 3 <0(cid:53)(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:72)(cid:384)(cid:385)(cid:97)
4
∴
(cid:174)m =2(cid:71)(cid:72) 1+n=2(cid:72)(cid:52)(cid:205)(cid:10)n=3(cid:72)
2
3>0(cid:72)
∵n=3(cid:299)(cid:232)(cid:20)(cid:195)(cid:97)
∴(cid:269)(cid:67)(cid:87)(cid:185)(cid:203)(cid:171)(cid:72)n(cid:27)(cid:57)(cid:77)3(cid:72)
(cid:213)(cid:182)(cid:183)(cid:77)(cid:10)3(cid:83)