专题 22.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:21)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:21)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:21)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:21)..............................................................................................................12
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:44)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:21)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:21)......................................................................................................18
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:21)..................................................................................................................................................20
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. (cid:49)(cid:50)(cid:51)a(cid:38)(cid:52)(cid:53)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:54) (cid:55)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:54)± (cid:56)
(cid:57)(cid:58)(cid:10)144(cid:38)(cid:52)(cid:53)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:54) 1𝑎44=12(cid:55)(cid:27)(cid:28)(cid:37)𝑎(cid:54)± 144= ±12(cid:56)
2. (cid:37)(cid:59)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:60)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:63)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)
(cid:57)(cid:58) =25(cid:55)(cid:30)(cid:65) =±5(cid:56)
2
(cid:31)(cid:66)(cid:67)𝑥(cid:55)(cid:47)(cid:68)(cid:28)(cid:35) 𝑥=p(cid:56)
2
>0 𝑥方程有两个不等的实数根 = ， =
𝑝=0 方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝒑=𝑥2 − 𝒑
𝑝<0 方程(cid:69)(cid:70)(cid:51)(cid:37) 𝑥1 𝑥2 𝟎
3. (cid:24)(cid:25)𝑝(cid:71)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:72)(cid:73)
(1)(cid:74)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) =p(cid:76)( + ) = ( 0, 0)(cid:38)(cid:77)(cid:41)(cid:78)
2 2
(cid:79)2)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑥(cid:75)(cid:54)(cid:80)(cid:81)𝑚(cid:31)𝑥(cid:32)(cid:31)𝑛(cid:34)(cid:28)(cid:35)𝑝(cid:78)𝑝≥ 𝑚≠
(cid:79)3)(cid:30)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:32)(cid:31)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:65)(cid:82)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:56)
知识点2 配方法解一元二次方程
1. (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:84)(cid:55)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:51)(cid:88)(cid:89)(cid:82)(cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:92)(cid:86)(cid:93)(cid:38)(cid:94)(cid:91)(cid:36)(cid:95)(cid:45)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:51)(cid:38)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:55)(cid:101)(cid:74)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)
( + ) = (cid:38)(cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:58)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:103)(cid:31)(cid:81)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:55)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:111)(cid:30)(cid:56)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:95)(cid:99)(cid:100)
2
𝑥 𝑎 𝑏(cid:27)(cid:28)(cid:77)(cid:41)(cid:62)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:63)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:56)
2. (cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:31)(cid:66)(cid:72)(cid:73)((cid:116)(cid:57))
(cid:31)(cid:66)(cid:72)(cid:73) (cid:28)(cid:29) (cid:70)(cid:57) =0)
2
(cid:74)(cid:87)(cid:51)(cid:88)(cid:89)(cid:82)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:90)(cid:91)(cid:55)(cid:45) (9𝑦 −18𝑦−4
(cid:31)(cid:89) (cid:89)(cid:88) =4
(cid:97)(cid:98)(cid:51)(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:82)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:94)(cid:91)
2
9𝑦 −18𝑦
(cid:28)(cid:35)(cid:94)(cid:118)(cid:90)(cid:80)(cid:91)(cid:119)(cid:84)(cid:120)(cid:108)(cid:33)(cid:34) 4
(cid:33)(cid:75) (cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:117)(cid:51)(cid:75)(cid:54)1 =
(cid:88)(cid:117)(cid:51) 9
2
𝑦 −2𝑦
4
+1= +1
(cid:28)(cid:35)(cid:94)(cid:118)(cid:90)(cid:80)(cid:91)(cid:119)(cid:84)(cid:122)(cid:123)(cid:31)(cid:34) 9
(cid:121)(cid:36) (cid:36)(cid:28) 2
(cid:88)(cid:117)(cid:51)(cid:31)(cid:124)(cid:38)(cid:27)(cid:28) 𝑦 −2𝑦
(cid:101) = 13
9
2
(𝑦−1)
(cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:60)(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
13
(cid:125)(cid:26) (cid:26)(cid:27)(cid:28)
=±
(cid:28) 3
(y−1)
(cid:126)(cid:30) (cid:65)(cid:127)(cid:80)(cid:81)(cid:37) (cid:89)(cid:88)(cid:55)(cid:128)(cid:129)(cid:119)(cid:130)(cid:88) y =1+ 13 (cid:55)y = 13
3 3
1 2 1−
(cid:131)(cid:132)(cid:10)(cid:133)(cid:28)(cid:35)(cid:31)(cid:91)(cid:36)(cid:95)(cid:134)(cid:3)(cid:68)(cid:97)(cid:98)(cid:51)(cid:38)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:135)(cid:55)(cid:58)(cid:102)(cid:136)(cid:31)(cid:91)(cid:103)(cid:137)(cid:51)(cid:55)(cid:104)(cid:105)(cid:112)(cid:81)(cid:28)(cid:35)(cid:106)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:78)(cid:58)(cid:102)(cid:136)(cid:31)(cid:91)(cid:103)(cid:141)(cid:55)(cid:104)(cid:105)(cid:112)(cid:81)(cid:28)(cid:35)(cid:106)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:78)(cid:58)(cid:102)(cid:136)(cid:31)(cid:91)(cid:103)(cid:50)(cid:51)(cid:55)(cid:104)(cid:105)(cid:112)(cid:81)(cid:28)(cid:35)(cid:106)
(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56)
3. (cid:30)(cid:22)(cid:143)(cid:59)(cid:10) ± = ± + (cid:55)(cid:86)(cid:7)(cid:41)(cid:144)(cid:38) (cid:145)(cid:146)(cid:97)(cid:98)(cid:51) (cid:55)(cid:129)(cid:110) (cid:147)(cid:148)(cid:55)(cid:149) ± = ± +
2 2 2 2 2
(cid:56) (𝑎 𝑏) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑏) 𝑥 2𝑏𝑥
2
𝑏
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. (cid:47)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) + + = 0)(cid:55)(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:28)(cid:107)(cid:65) + ) = (cid:55)(cid:149)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:152)
2 𝑏 2 𝑏 2 −4 2 𝑎𝑐 2
(cid:38)(cid:153)(cid:9)(cid:154)(cid:155)(cid:56) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ (𝑥 2𝑎 4𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:31)(cid:66)(cid:67)(cid:55)(cid:41)(cid:156) (cid:63)(cid:64)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) + + =0(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:114)(cid:87)(cid:110)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)“ ”(cid:161)(cid:116)(cid:93)(cid:55)(cid:101) =
𝟐 2 𝟐
(cid:56) 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ∆ ∆ 𝒃
−2.𝟒 (cid:37)𝒂𝒄(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:38)(cid:153)(cid:9)(cid:162)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)
(cid:79)1(cid:163) > (cid:31)∆(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)∆=0⟺(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:78)
(cid:79)3(cid:163)∆<0⟺(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56)
∆ 0⟺3. (cid:164)(cid:110)
(cid:79)1(cid:163)(cid:138)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:39)(cid:165)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:37)(cid:59)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:111)(cid:159)(cid:160)(cid:117)(cid:51)(cid:38)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:56)
知识点4 公式法解一元二次方程
±
1. (cid:133) 0(cid:84)(cid:55)(cid:28)(cid:35) + + = 0)(cid:114)(cid:115)(cid:36)(cid:28)(cid:55)(cid:169)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:107)(cid:170)(cid:54) = (cid:38)(cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:112)(cid:81)(cid:41)(cid:156)
𝟐
2 −𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
(cid:63)(cid:64)(cid:31)∆(cid:32)≥(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) 𝑎𝑥+ 𝑏+𝑥 =𝑐 0(cid:38)0((cid:111)𝑎(cid:37)≠(cid:7)(cid:41)(cid:56)(cid:74)(cid:171)(cid:117)(cid:51)(cid:24)(cid:25)(cid:147)(cid:172)(cid:111)(cid:37)(cid:7)𝒙(cid:41)(cid:55)(cid:112)(cid:113)𝟐𝒂(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)
2
(cid:63)(cid:64)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:56) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
>0 (cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37) = ±
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
∆ 𝑥 2𝑎
=0 (cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37) = =
𝑏
∆ 𝑥1 𝑥2 −2𝑎
<0 (cid:28)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:51)(cid:37)
2. (cid:109)∆(cid:110)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:31)(cid:66)(cid:72)(cid:73)
(cid:79)1(cid:163)(cid:86)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)(cid:31)(cid:66)(cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:173)(cid:155)a(cid:55)b(cid:55)c(cid:38)(cid:48)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:111)(cid:127) = (cid:38)(cid:48)(cid:78)
2
∆ 𝑏 −4𝑎𝑐 ±
(cid:79)3(cid:163)(cid:174) 0(cid:55)(cid:149)(cid:74)a(cid:55)b(cid:55)c(cid:38)(cid:48)(cid:147)(cid:175)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41) = (cid:111)(cid:127)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:37)(cid:55)(cid:174) <0(cid:55)(cid:149)(cid:28)(cid:35)(cid:69)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56)
𝟐
−𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥ 𝒙 𝟐𝒂 ∆
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. (cid:85)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:55)(cid:176)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:34)(cid:41)(cid:38)(cid:177)(cid:178)(cid:140)(cid:68)0(cid:38)(cid:77)(cid:41)(cid:55)(cid:92)(cid:176)(cid:112)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:34)(cid:41)(cid:43)(cid:40)(cid:140)(cid:68)0(cid:55)(cid:179)
(cid:180)(cid:70)(cid:181)(cid:71)(cid:34)(cid:55)(cid:112)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:63)(cid:64)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:29)(cid:56)
2. (cid:182)(cid:128)(cid:110)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:29)(cid:111)(cid:30)(cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:77)(cid:41)
3. (cid:109)(cid:110)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:31)(cid:66)(cid:72)(cid:73)一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
(cid:125)(cid:30) (cid:170)(cid:127)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:80)(cid:81)(cid:30)
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)1(cid:21)(cid:174)(cid:28)(cid:35)(x﹣4)2(cid:183)a(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:30)(cid:55)(cid:149)a(cid:38)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:103)( )
A(cid:56)a≤0 B(cid:56)a≥0 C(cid:56)a(cid:184)0 D(cid:56)a(cid:185)0
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)B
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:189)(cid:135)(cid:37)(cid:59)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:41)(cid:38)(cid:190)(cid:26)(cid:28)(cid:51)(cid:38)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:191)(cid:127)(cid:3)(cid:68)a(cid:38)(cid:138)(cid:140)(cid:41)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:189)
(cid:135)(cid:111)(cid:65)a(cid:38)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21) (cid:28)(cid:35)(x﹣4)2(cid:183)a(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:30)(cid:55)
x﹣4(cid:183)±∵a(cid:55)
∴a≥0(cid:55)
∴(cid:193)(cid:194)B(cid:56)
(cid:15)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)--(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:111)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:38)(cid:130)(cid:23)(cid:96)(cid:10)x2=a
(cid:79)a≥0(cid:163)(cid:78)ax2=b(cid:79)a(cid:55)b(cid:119)(cid:9)(cid:200)a≠0(cid:163)(cid:78)(cid:79)x+a(cid:163)2=b(cid:79)b≥0(cid:163)(cid:78)a(cid:79)x+b(cid:163)2=c(cid:79)a(cid:55)c(cid:119)(cid:9)(cid:200)a≠0(cid:163)(cid:56)(cid:29)(cid:149)(cid:10)(cid:201)(cid:86)
(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)“(cid:94)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:90)(cid:87)(cid:51)(cid:55)(cid:85)(cid:86)(cid:117)(cid:51)(cid:75)(cid:54)1(cid:55)(cid:92)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:166)(cid:137)(cid:50)(cid:55)(cid:43)(cid:26)(cid:111)(cid:65)(cid:28)(cid:35)(cid:30)”(cid:56)(cid:30)(cid:186)(cid:202)(cid:22)(cid:84)(cid:55)(cid:203)(cid:109)(cid:110)(cid:134)
(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:41)(cid:96)(cid:60)(cid:61)(cid:38)(cid:204)(cid:205)(cid:112)(cid:31)(cid:98)(cid:206)(cid:195)(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)1-1(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:212)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:10)( ) =( ) (cid:56)
2 2
1 3𝑥−1 𝑥−1
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) =0(cid:55) = (cid:56)
2
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)𝑥(cid:197) 1 (cid:22)(cid:198)(cid:199)𝑥(cid:110) 2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:56)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:111)(cid:30)(cid:107)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)( ) =( ) (cid:55)
2 2
(cid:26)(cid:28)(cid:65) =±3𝑥(−1 )(cid:55) 𝑥−1
3=𝑥−1 (cid:76) 𝑥−1= +1(cid:55)
∴3𝑥−1 𝑥−1 13𝑥−1 −𝑥
=0(cid:55) = (cid:56)
2
∴(cid:15)𝑥(cid:207) 1 (cid:41)1-2 𝑥(cid:21) 2 (cid:77)(cid:58) + ) = 0)(cid:38)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:93)(cid:38)(cid:37)(cid:103)(cid:79) (cid:163)
2
A(cid:56) =± (𝑥 𝑚B(cid:56) =𝑛±(𝑛≥+ C(cid:56) =± D(cid:56) = ±
𝑥 𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥 𝑛−𝑚 𝑥 −𝑚 𝑛(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)D
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:42)(cid:54)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:94)(cid:91)(cid:103)(cid:31)(cid:81)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:55)(cid:200)(cid:190)(cid:26)(cid:28)(cid:51)n≥0(cid:55)(cid:219)(cid:108)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:51)(cid:38)(cid:26)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:111)(cid:30)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:42)(cid:54)n≥0(cid:55)(cid:26)(cid:28)(cid:65)x(cid:220)m(cid:183)± n(cid:55)
(cid:89)(cid:88)(cid:65)(cid:10)x(cid:183)−m± n(cid:56)
(cid:193)(cid:194)D(cid:56)
(cid:15)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:221)(cid:201)(cid:222)(cid:110)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:55)(cid:227)(cid:86)(cid:190)(cid:26)(cid:28)(cid:51)(cid:145)(cid:95)(cid:223)(cid:224)(cid:55)(cid:200)(cid:201)(cid:4)(cid:60)n(cid:54)(cid:137)(cid:51)(cid:55)(cid:108)(cid:176)(cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:30)(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)1-3(cid:21)(cid:79)2025·(cid:228)(cid:17)(cid:229)(cid:230)·(cid:33)(cid:231)(cid:163)(cid:232)(cid:155)(cid:61)(cid:10) = (cid:56)(cid:174)( ) 3=1(cid:55)(cid:149) (cid:38)(cid:48)(cid:54) (cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)3(cid:76) 𝑎⊗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗ 𝑥
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)−(cid:198)1(cid:199)(cid:134)(cid:232)(cid:155)(cid:61)(cid:222)(cid:52)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:37)(cid:59)(cid:22)(cid:60)(cid:65)(cid:82)( ) =1(cid:55)(cid:101)( ) =4(cid:55)(cid:65)(cid:82) =±2(cid:55)(cid:111)(cid:127) =3(cid:76) = (cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:65)(cid:82)(cid:186)(cid:187)(cid:56)
2 2
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) 𝑥−(cid:232)1(cid:155)(cid:61)−3(cid:10) =𝑥−1 (cid:55)( ) 𝑥3−=11(cid:55) 𝑥 𝑥 −1
2
( ) ∵=1(cid:55)(cid:101)( 𝑎⊗) 𝑏=4(cid:55)𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗
2 2
∴ 𝑥−1=±−32(cid:55) 𝑥−1
(cid:30)∴(cid:65)𝑥(cid:10)−1 =3(cid:76) = (cid:55)
(cid:193)(cid:186)(cid:187)𝑥(cid:54)(cid:10)3(cid:76)𝑥 (cid:56)−1
−1
【题型2 配方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)2(cid:21)(cid:79)2025·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:31)(cid:231)(cid:163)(cid:241)(cid:51)(cid:11)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:38)(cid:125)(cid:175)(cid:108)(cid:25)(cid:246)(cid:38)(cid:28)(cid:41)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:247)(cid:175)(cid:50)(cid:248)
(cid:99)(cid:95)(cid:31)(cid:81)(cid:72)(cid:73)(cid:79)(cid:58)(cid:249)(cid:163)(cid:55)(cid:250)(cid:18)(cid:145)(cid:135)(cid:55)(cid:251)(cid:181)(cid:252)(cid:135)(cid:253)(cid:102)(cid:103)(cid:254)(cid:255)(cid:38)(cid:55)(cid:129)(cid:256)(cid:10)“(cid:254)(cid:255)(cid:103)(cid:179)(cid:241)(cid:257)(cid:119)(cid:11)(cid:50)(cid:248)(cid:38)(cid:72)(cid:73)(cid:26)(cid:258)(cid:127)
(cid:181)(cid:38)(cid:56)”(cid:149)(cid:112)(cid:257)(cid:119)(cid:11)(cid:103)(cid:79) (cid:163)
A(cid:56)(cid:259) B(cid:56)(cid:260) C(cid:56)(cid:261) D(cid:56)(cid:262)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)B
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:85)(cid:86)2 + =0(cid:263)(cid:264)(cid:89)(cid:88)(cid:55)(cid:92)(cid:86)(cid:33)(cid:34)(cid:88)(cid:117)(cid:51)(cid:75)1(cid:55)(cid:189)(cid:135)
2
(cid:36)(cid:28)(cid:55)(cid:92)(cid:30)(cid:127) (cid:38)(cid:48)(cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:146)(cid:186)(cid:56) 𝑥 4𝑥−1
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)𝑥(cid:143)(cid:22)(cid:60)(cid:55)2 + =0(cid:55)
2
(cid:89)(cid:88)(cid:65)2 + =1(cid:55) 𝑥 4𝑥−1
2
𝑥 4𝑥 1
(cid:223)(cid:265)(cid:65) + = (cid:55)
2
2
𝑥 2𝑥3
+ +1=
2
2
∴𝑥 2𝑥
3
( +1) = (cid:55)
2
2
∴ 𝑥
+1=± 3 =± 6
2 2
∴𝑥
= 6 = 6 (cid:56)
2 2
∴(cid:266)𝑥(cid:267) 1 (cid:108)(cid:268)−(cid:47)1(cid:269),𝑥2 (cid:55)(cid:65)−(cid:127)(cid:254)−(cid:255)1 (cid:103)(cid:179)(cid:260)(cid:119)(cid:11)(cid:50)(cid:248)(cid:38)(cid:72)(cid:73)(cid:26)(cid:258)(cid:127)(cid:181)(cid:38)(cid:55)
(cid:193)(cid:194)(cid:10)B
(cid:15)(cid:207)(cid:41)2-1(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:270)(cid:240)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35) + +3=0(cid:84)(cid:55)(cid:174)(cid:74)(cid:28)(cid:35)(cid:207)(cid:77)(cid:54)
2
( + ) = (cid:55)(cid:149) =(cid:79) (cid:163) 𝑥 8𝑥
2
𝑥 A𝑝(cid:56)9 𝑞 𝑞−𝑝 B(cid:56)17 C(cid:56)13 D(cid:56)5
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)A
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:72)(cid:73)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:78)
(cid:85)(cid:74)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:65)(cid:82)( +4) =13(cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:65)(cid:127)p(cid:118)q(cid:38)(cid:48)(cid:55)(cid:263)(cid:180)(cid:107)(cid:65)(cid:186)(cid:187).
2
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:28)(cid:35) +𝑥 +3=0(cid:101)(cid:54) + = (cid:55)
2 2
(cid:219)(cid:108) + +16=𝑥 8+𝑥16=13(cid:55) 𝑥 8𝑥 −3
2
(cid:101)( 𝑥+4)8𝑥=13(cid:55) −3
2
=𝑥 =13(cid:55)
∴𝑝 4=,𝑞 =9(cid:78)
(cid:193)∴𝑞(cid:194)−𝑝(cid:10)A.13−4
(cid:15)(cid:207)(cid:41)2-2(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:272)(cid:273)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:10)
(1) +12=0(cid:56)
2
(2)𝑥4 −8𝑥 +2=0(cid:78)
2
(cid:15)(cid:186)𝑥(cid:187)−(cid:21)7(𝑥1) =6(cid:55) =2(cid:56)
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)𝑥1(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:31)𝑥2(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:55)(cid:37)(cid:59)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:103)(cid:30)
(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(1) +12=0
2
+4 = 𝑥 −+84𝑥
2 2 2
𝑥( −8)𝑥 =4 −12
2
𝑥−4=±2
𝑥−4=2(cid:76) =
𝑥−4=6(cid:55)𝑥−=42(cid:56)−2
∴(cid:10)𝑥(12)4 𝑥2 +2=0(cid:55)
2
4 𝑥=−7𝑥
2
𝑥 −77𝑥
=
−1
(cid:55)
2
4 2
2
𝑥 − 𝑥 −
(cid:36)(cid:28)(cid:65) 7 + 7 7 = 1 (cid:55)
4 8 2 8 2 2
2
𝑥 − 𝑥 − −
7 49 1
=
8 2 64 2
∴ 𝑥− − −
7 17
=
8 2 64
∴ 𝑥−
7 =± 17 (cid:55)
8 8
∴𝑥−
7 17 17
x = (cid:55)x = (cid:56)
8 8
+ 7−
∴(cid:15)(cid:207) 1 (cid:41)2-3(cid:21)(cid:79)2 2 4-25(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:275)(cid:238)(cid:238)(cid:240)·(cid:271)(cid:276)(cid:163)(cid:211)(cid:277)(cid:103)(cid:244)(cid:278)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:115)(cid:35)(cid:55)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:129)(cid:99)(cid:95)(cid:139)(cid:164)
(cid:38)(cid:284)(cid:285)(cid:56)
(cid:30)(cid:10)3 + =0
2
(cid:33)(cid:34)(cid:88)𝑥(cid:117)(cid:51)1(cid:75)2𝑥(cid:54)−61(cid:55)(cid:65) + =0 ……………………(cid:286)(cid:31)(cid:72)
2
(cid:89)(cid:88)(cid:55)(cid:65) + =2(cid:56)𝑥……4…𝑥−…2…………(cid:286)(cid:33)(cid:72)
2
(cid:36)(cid:28)(cid:55)(cid:65)𝑥 +4𝑥+4=2+4(cid:55)(cid:101) +2) =6(cid:56)……………………(cid:286)(cid:121)(cid:72)
2 2
(cid:152)(cid:287)(cid:55)(cid:107)𝑥(cid:65) +4𝑥2= 6(cid:56)…………(…𝑥 ………(cid:286)(cid:125)(cid:72)
(cid:219)(cid:108)(cid:55) = 𝑥 + 6……………………(cid:286)(cid:126)(cid:72)
(cid:284)(cid:285)(cid:31)𝑥(cid:118)(cid:288)−(cid:289)2(cid:10)
“(cid:286)(cid:33)(cid:72)”(cid:207)(cid:77)(cid:38)(cid:51)(cid:11)(cid:143)(cid:59)(cid:103) (cid:78)(cid:79)(cid:110)(cid:290)(cid:159)(cid:291)(cid:292)(cid:288)(cid:289)(cid:163)
①(cid:244)(cid:278)(cid:119)(cid:11)(cid:112)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:63)(cid:64)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:169)(cid:144)(cid:286)(cid:121)(cid:72)(cid:36)(cid:28)(cid:84)(cid:110)(cid:82)(cid:38)(cid:51)(cid:11)(cid:7)(cid:41)(cid:103) (cid:78)(cid:79)(cid:110)(cid:51)(cid:11)(cid:153)(cid:9)
②(cid:291)(cid:292)(cid:288)(cid:289)(cid:163)
(cid:244)(cid:278)(cid:119)(cid:11)(cid:38)(cid:30)(cid:22)(cid:115)(cid:35)(cid:144)(cid:55)(cid:179)(cid:286) (cid:72)(cid:26)(cid:258)(cid:127)(cid:181)(cid:254)(cid:255)(cid:55)(cid:254)(cid:255)(cid:38)(cid:83)(cid:42)(cid:103) (cid:56)
③(cid:284)(cid:285)(cid:33)(cid:118)(cid:279)(cid:293)(cid:294)(cid:222)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:10)4 =0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10) (cid:140)(cid:41)(cid:38)(cid:295)(cid:197)(cid:296)(cid:297)(cid:78) +𝑥 −+12𝑥−=2 ( + ) (cid:78) (cid:125)(cid:78)(cid:142)(cid:96)(cid:137)(cid:173)(cid:222)(cid:110)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:60)(cid:61)
2 2 2
(cid:284)(cid:285)(cid:33)(cid:10) = 3 + ①11 (cid:55) = 3 11 ②𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ③
2 2 2 2
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)𝑥(cid:197) 1 (cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:140)(cid:41)(cid:38)𝑥2 (cid:296)(cid:297)−(cid:55)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:140)(cid:56)(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10) (cid:109)(cid:110)(cid:140)(cid:41)(cid:38)(cid:295)(cid:197)(cid:296)(cid:297)(cid:146)(cid:186)(cid:101)(cid:107)(cid:78) (cid:109)(cid:110)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:146)(cid:186)(cid:101)(cid:107)(cid:78) (cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:28)(cid:37)(cid:60)(cid:61)(cid:146)(cid:186)(cid:101)(cid:107)(cid:78)
(cid:284)(cid:285)(cid:33)(cid:10)①(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:56) ② ③
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10) (cid:140)(cid:41)(cid:38)(cid:295)(cid:197)(cid:296)(cid:297)(cid:78)(cid:76)(cid:288) (cid:140)(cid:41)(cid:80)(cid:91)(cid:119)(cid:84)(cid:122)(cid:123)(cid:79)(cid:76)(cid:298)(cid:299)(cid:163)(cid:119)(cid:31)(cid:81)(cid:223)(cid:41)(cid:55)(cid:219)(cid:65)(cid:253)(cid:102)(cid:300)(cid:103)
(cid:140)(cid:41) ①
+ + =( + ) (cid:55)
2 2 2
②𝑎 (cid:125)(cid:55)2(cid:142)𝑎𝑏(cid:96)(cid:137)𝑏(cid:173)(cid:222)(cid:110)𝑎 (cid:27)𝑏(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:60)(cid:61)(cid:78)
③(cid:284)(cid:285)(cid:33)(cid:10)(cid:30)(cid:10)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:107)(cid:75)(cid:54)(cid:10)4 =0(cid:55)
2
(cid:36)(cid:28)(cid:65)(cid:10) + 3 = 1 + 9 (cid:55) 𝑥 − (cid:101) 1 2𝑥−23 = 11 (cid:55)
2 2 2 4 2 2 4
2
𝑥 −3𝑥 𝑥−
3 =± 11 (cid:55)
2 4
∴𝑥−
= 3 + 11 (cid:76) = 3 11 (cid:56)
2 2 2 2
∴𝑥1 𝑥2 −
【题型3 根的判别式】
(cid:15)(cid:57)3(cid:21)(cid:79)2025·(cid:275)(cid:273)(cid:301)(cid:302)·(cid:231)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:163)(cid:306)(cid:98)(cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) ( + ) + =0(cid:55)(cid:169)(cid:144) (cid:307)(cid:51)(cid:308)(cid:123)
2
(cid:38)(cid:47)(cid:164)(cid:195)(cid:58)(cid:249)(cid:219)(cid:116)(cid:55)(cid:149)(cid:112)(cid:81)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:103)(cid:79)𝑥 (cid:163) 𝑥 − 𝑚 𝑛 𝑥 𝑚𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:56)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37) B(cid:56)(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)
C(cid:56)(cid:80)(cid:37)(cid:309)(cid:310)(cid:244)(cid:68)0 D(cid:56)(cid:80)(cid:37)(cid:309)(cid:178)(cid:19)(cid:68)0
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)C
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:55)(cid:37)(cid:162)(cid:117)(cid:51)(cid:38)(cid:3)(cid:117)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:103)(cid:30)(cid:154)
(cid:287)(cid:130)(cid:311)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)(cid:37)(cid:59)(cid:51)(cid:308)(cid:123)(cid:161)(cid:116)(cid:38)(cid:195)(cid:38)(cid:48)(cid:310)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) =( + ) (cid:55)(cid:39)(cid:155)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)
2
(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)(cid:253)(cid:128) + = + <0(cid:55) = <0(cid:107)(cid:65)(cid:186)Δ(cid:187)(cid:56)𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)𝑥(cid:152)1(cid:51)(cid:308)𝑥2(cid:145)(cid:127)𝑚 <𝑛0(cid:55) >𝑥10𝑥(cid:55)2| 𝑚|>𝑛| |(cid:55)
( + ) + =0(cid:103)𝑚(cid:3)(cid:68)x𝑛(cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑚(cid:34)(cid:28)(cid:35)𝑛(cid:55)
2
∵𝑥 =−(𝑚 +𝑛)𝑥 𝑚𝑛(cid:55) + = + <0(cid:55) = <0(cid:55)
2
∴Δ <0𝑚(cid:55) 𝑛>0−(cid:55)4𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑛 𝑥1𝑥2 𝑚𝑛
∵𝑚 >𝑛0
∴−4=𝑚(𝑛 + ) >0(cid:55)
2
∴(cid:83)Δ (cid:28)(cid:35)𝑚(cid:96)(cid:80)𝑛(cid:81)−(cid:138)4(cid:139)𝑚𝑛(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56)
∴A(cid:55)B(cid:55)D(cid:138)(cid:153)(cid:128)(cid:22)(cid:60)(cid:55)C(cid:153)(cid:128)(cid:22)(cid:60)
∴(cid:193)(cid:194)(cid:10)C(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)3-1(cid:21)(cid:174)(cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:28)(cid:35)3 + =0(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)(cid:149) (cid:38)(cid:166)(cid:48)(cid:167)(cid:168)(cid:103)(cid:79) (cid:163)
2
A(cid:56) > 25 𝑥 B(cid:56) < 𝑥2−55𝑥 𝑎 C(cid:56) 25 𝑎 D(cid:56) 25
12 12 12 12
𝑎 𝑎 𝑎≤ 𝑎≥
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)A
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:38)(cid:103)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:37)(cid:59)(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:65)(cid:82) =( ) × <0(cid:55)(cid:30)(cid:138)(cid:140)(cid:41)(cid:101)
2
(cid:107)(cid:56) Δ −5 −4 3𝑎
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) (cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:28)(cid:35)3 + =0(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)
2
=( ) ∵× 𝑥<0(cid:55) 𝑥 −5𝑥 𝑎
2
∴Δ −525 −4 3𝑎
(cid:30)(cid:65) > (cid:55)
12
(cid:193)(cid:194)𝑎(cid:10)A
(cid:15)(cid:207)(cid:41)3-2(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:312)(cid:313)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:306)(cid:98)(cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) +( +1) + =0(cid:56)
2
(1)(cid:111)(cid:314)(cid:10)(cid:69)(cid:315) (cid:166)(cid:316)(cid:48)(cid:55)(cid:287)(cid:28)(cid:35)(cid:317)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)𝑥(cid:56) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚
(2)(cid:133)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:31)(cid:81)𝑚(cid:37)(cid:103)1(cid:84)(cid:55)(cid:111) (cid:38)(cid:48)(cid:56)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)(1)(cid:314)(cid:278)(cid:318)(cid:30)(cid:188) 𝑚
2
(2) =
3
𝑚 −
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:55)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:109)(cid:110)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:165)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:28)(cid:35)(cid:30)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:79)1(cid:163)(cid:109)(cid:110)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:39)(cid:155)(cid:101)(cid:107)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:74) =1(cid:147)(cid:172) +( +1) + =0(cid:55)(cid:111)(cid:30)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
2
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)𝑥(cid:79)1(cid:163)(cid:30)(cid:10)𝑥 =2(𝑚 +1𝑥) 𝑚
2
=4 + + ∵Δ 2𝑚 −4𝑚
2
=4𝑚 +41𝑚>0(cid:55)1−4𝑚
2
(cid:69)(cid:315)𝑚 (cid:166)(cid:316)(cid:48)(cid:55)(cid:287)(cid:28)(cid:35)(cid:317)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:78)
(cid:79)∴ 2(cid:163)(cid:30)𝑚(cid:10)(cid:74) =1(cid:147)(cid:172) +( +1) + =0(cid:55)
2
(cid:65)1 +( +𝑥1)+ =𝑥0(cid:55) 2𝑚 𝑥 𝑚
2
2𝑚 2 𝑚
(cid:30)(cid:65)(cid:10) = (cid:56)
3
(cid:15)(cid:207)(cid:41)𝑚 3-3(cid:21)−(cid:79)2025·(cid:275)(cid:238)(cid:319)(cid:146)·(cid:33)(cid:231)(cid:163)(cid:155)(cid:61)(cid:222)(cid:52)(cid:10) ※ = + (cid:55)(cid:57)(cid:58)4※3=4 +4× ×3 (cid:55)(cid:149)
2 2 2 2
(cid:138)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:39)(cid:165)(cid:28)(cid:35)( +1)※2=0(cid:38)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:103)𝑎 𝑏 (cid:56)𝑎 𝑎𝑏−2𝑏 3−2
𝑥(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:140)(cid:70)(cid:51)(cid:37)
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:232)(cid:155)(cid:61)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:265)(cid:30)(cid:232)(cid:155)(cid:61)(cid:38)(cid:222)(cid:52)(cid:55)(cid:65)(cid:127)(cid:28)(cid:35)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:85)(cid:109)(cid:110)(cid:232)(cid:155)(cid:61)(cid:65)(cid:82)( +1) +2( +1) ×2 =0(cid:55)(cid:92)(cid:86)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)(cid:31)(cid:66)(cid:41)(cid:55)(cid:263)(cid:180)(cid:39)(cid:165)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:153)(cid:9)(cid:55)(cid:111)(cid:30)(cid:101)
2 2
(cid:107)(cid:56) 𝑥 𝑥 −2
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) ( +1)※2=0(cid:55)
( +1) +2∵( 𝑥+1) ×2 =0(cid:55)
2 2
(cid:101)∴ 𝑥 + =𝑥0(cid:55) −2
2
𝑥= 4𝑥=−5 =
∵𝑎 =1,𝑏 4,𝑐=1−65+20=36>0
2
∴(cid:28)Δ (cid:35)𝑏( −+41𝑎)𝑐※2=0(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:140)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)
∴(cid:193)(cid:186)(cid:187)𝑥(cid:54)(cid:10)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:140)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56)
【题型4 公式法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)4(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:272)(cid:273)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:307)(cid:110)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:111)(cid:241)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:37)(cid:84)(cid:55)(cid:65)(cid:82) =
5± ( ) ×2×( ) 𝑥
(cid:55)(cid:149)(cid:202)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:107)(cid:320)(cid:54)(cid:79) (cid:163)
22×2
−5 −4 −1
A(cid:56)2 + =0 B(cid:56)2 =0
2 2
C(cid:56) 𝑥 5𝑥−+1 1=0 D(cid:56)5𝑥 −5𝑥−1 =0
2 2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)−2B𝑥 −5𝑥 𝑥 −2𝑥−1
±
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:37)(cid:59)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41) = (cid:55)(cid:47)(cid:269)(cid:306)(cid:98)(cid:41)(cid:156)
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:173)(cid:155)a(cid:55)b(cid:55) (cid:38)(cid:48)(cid:56) 𝑥 2𝑎
𝑐 5± ×2×
(cid:114)(cid:115)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41) = (cid:55)(cid:43)(cid:188)(cid:127)a(cid:55)b(cid:55) (cid:56)
22×2
(−5) −4 (−1)
𝑥 𝑐
± 5± ×2×
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:54) = (cid:55)(cid:306)(cid:98) = (cid:55)
2 22×2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐 (−5) −4 (−1)
(cid:152) =2×2(cid:55)(cid:107)(cid:65) =2(cid:55) 𝑥 2𝑎 𝑥
(cid:152)2𝑎 =5(cid:55)(cid:107)(cid:65) =𝑎 (cid:55)
(cid:152)−𝑏 =4×2×𝑏 −(cid:55)5(cid:107)(cid:65) = (cid:55)
(cid:74)4𝑎=𝑐 2(cid:55) = ((cid:55)−1)= (cid:147)𝑐(cid:172)(cid:31)−(cid:32)1(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) + + =0(cid:55)
2
(cid:65)𝑎(cid:82)2 𝑏 −5=0𝑐(cid:55)(cid:47)−(cid:164)1(cid:194)(cid:88)B(cid:56) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
(cid:193)(cid:194)(cid:10)𝑥B−(cid:56)5𝑥−1(cid:15)(cid:207)(cid:41)4-1(cid:21)(cid:79)23-24(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:100)(cid:321)·(cid:322)(cid:135)(cid:146)(cid:323)(cid:163)(cid:110)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:10)( )( )=0(cid:56)
𝑥−2 3𝑥−5
(cid:30)(cid:10)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)3 +10=0(cid:56)
2
= = 𝑥(cid:55)−11=𝑥10(cid:56)
𝑎 =3,𝑏 = 𝑐 ×3×10=1>0(cid:56)
2
Δ(cid:28)(cid:35)𝑏 − 4 𝑎𝑐 (cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:56) −4
= = (cid:55)
𝑥 5
(cid:101) = (cid:55) = (cid:56)
3
𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) (cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38) ( )± 1 11±1 2
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:37)(cid:59)(cid:7)−(cid:41)11(cid:29)(cid:30)(cid:31)((cid:32)−(cid:33)11(cid:34)) (cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:111)(cid:30)(cid:101)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)3 +10=0(cid:56)
2
=3(cid:55) = (cid:55) =10𝑥(cid:56)−11𝑥
𝑎 = 𝑏 −=11 ( 𝑐 ) ×3×10=1>0(cid:56)
2 2
Δ(cid:28)(cid:35)𝑏(cid:96)−(cid:80)4(cid:81)𝑎𝑐(cid:138)(cid:139)(cid:140)−(cid:38)11(cid:70)(cid:51)−4(cid:37)(cid:56)
= ( )± 1 = 11±1 (cid:55)
2×3 6
− −11
𝑥
5
(cid:101) =2(cid:55) = (cid:56)
3
𝑥1 𝑥2
( )± 1 11±1
(cid:193)(cid:186)(cid:187)(cid:54)(cid:10) (cid:78) (cid:78)(cid:96)(cid:80)(cid:81)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:78) (cid:78) (cid:78)2(cid:56)
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:197)−(cid:22)1(cid:198)1(cid:199)((cid:7)−(cid:41)11(cid:29)) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:103)(cid:30)(cid:186)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)4-2(cid:21)(cid:79)23-24(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:100)(cid:321)·(cid:322)(cid:135)(cid:146)(cid:323)(cid:163)(cid:306)(cid:98) = (cid:79) 0(cid:163)(cid:55)(cid:149)(cid:41)(cid:156) + + (cid:38)(cid:48)
22
−𝑏+ 𝑏 −4𝑐 2 2
(cid:103) (cid:56) 𝑥 𝑏 −4𝑐≥ 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)0
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:233)(cid:217)(cid:222)(cid:110)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:55)(cid:197)(cid:22)(cid:324)(cid:68)(cid:295)(cid:325)(cid:22)(cid:23)(cid:55)(cid:37)(cid:59)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:101)(cid:107)(cid:111)(cid:127)(cid:186)(cid:187)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:152)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:111)(cid:37)(cid:7)(cid:41)(cid:107)(cid:98)(cid:10) + + =0(cid:38)(cid:169)(cid:144)(cid:31)(cid:81)(cid:30)(cid:54) = (cid:55)
22
2 −𝑏+ 𝑏 −4𝑐
(cid:193)(cid:186)(cid:187)(cid:54)(cid:10)0(cid:56) 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:15)(cid:207)(cid:41)4-3(cid:21)(cid:110)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:10)
(1) = (cid:78)
2
(2)−23𝑥 1−𝑥=0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186) 𝑥 (cid:187) − (cid:21) 4 ( 𝑥 1 − ) 3 =3 13, = 13
2 2
+ 3−
𝑥1 𝑥2
(2) =2 10, = 10
2 2
+ 2−
(cid:15)(cid:43)𝑥1 (cid:188)(cid:21)(cid:79)1(cid:163)𝑥2
(cid:85)(cid:52)(cid:127) = =13(cid:55)(cid:92)(cid:147)(cid:172)(cid:7)(cid:41)(cid:263)(cid:264)(cid:326)(cid:52)(cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:65)(cid:82)(cid:186)(cid:187)(cid:78)
2
(cid:79)2(cid:163)(cid:85)(cid:52)(cid:127) = Δ =𝑏4−0(cid:55)4𝑎(cid:92)𝑐 (cid:147)(cid:172)(cid:7)(cid:41)(cid:263)(cid:264)(cid:326)(cid:52)(cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:65)(cid:82)(cid:186)(cid:187)(cid:78)
2
(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:7)Δ(cid:41)(cid:29)𝑏(cid:30)−(cid:31)4𝑎(cid:32)𝑐(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:137)(cid:173)(cid:234)(cid:235)(cid:139)(cid:3)(cid:296)(cid:297)(cid:327)(cid:328)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:79)1(cid:163)(cid:30)(cid:10) = (cid:55)
2
=0(cid:55) ∵−3𝑥 1−𝑥
2
∴𝑥 =−3𝑥−1 = ×1×( )=13(cid:55)
2
∴Δ =3±𝑏 1−34
=
𝑎𝑐3± 193−
(cid:55)
4 −1
2×1 2
∴𝑥
=3 13, = 13 (cid:78)
2 2
+ 3−
(cid:79)∴𝑥 2 1 (cid:163)(cid:30)(cid:10) 2 𝑥2 =0(cid:55)
2
= ∵ 𝑥 =−4𝑥−3 ×2×( )=40(cid:55)
2
∴Δ =4±𝑏 4−04
=
𝑎𝑐2± 1106
(cid:55)
−4 −3
2×2 2
∴𝑥
=2 10, = 10
2 2
+ 2−
∴𝑥1 𝑥2
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)5(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:329)(cid:246)(cid:313)(cid:330)(cid:331)(cid:332)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:174)(cid:28)(cid:35) +12=0(cid:38)(cid:80)(cid:81)(cid:37)(cid:333)(cid:334)(cid:103)(cid:140)(cid:335) (cid:38)(cid:80)(cid:204)
2
(cid:91)(cid:336)(cid:55)(cid:149) (cid:38)(cid:337)(cid:336)(cid:54)(cid:79) (cid:163)(cid:56) 𝑥 −8𝑥 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:56)10△𝐴𝐵𝐶 B(cid:56)14 C(cid:56)10(cid:76)14 D(cid:56)8(cid:76)10
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)B
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得 =2， =6，然后根
𝑥1 𝑥2据三角形三边的关系得到 的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) +12△=𝐴0𝐵，𝐶
2
解得 =2，𝑥 −=86𝑥，
因为这𝑥1个方程𝑥的2两个根恰好是等腰 的两条边长，
当 的腰为6，底边为2，则△𝐴𝐵𝐶 的周长为6+6+2=14；
①当△𝐴𝐵𝐶的腰为2，底边为6时，△不能𝐴𝐵构𝐶成三角形．
②综上所△述𝐴，𝐵𝐶该三角形的周长的14．
故选：B．
(cid:15)(cid:207)(cid:41)5-1(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:312)(cid:313)(cid:338)(cid:16)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:30)(cid:28)(cid:35)
(1) =0
2
(2)𝑥 −4𝑥−=5
2
(cid:15)(cid:186)(𝑥(cid:187)−4(cid:21))(1) 10=(𝑥5−(cid:55)4) = (cid:55)
(2) =4(cid:55)𝑥1=14 𝑥2 −1
(cid:15)(cid:43)𝑥1(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)𝑥2(cid:198)(cid:199)(cid:38)(cid:103)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:78)(cid:234)(cid:235)(cid:7)(cid:41)(cid:29)(cid:162)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:103)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:79)1(cid:163)(cid:109)(cid:110)(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:43)(cid:30)(cid:42)(cid:41)(cid:54)( )[( ) ]=0(cid:55)(cid:92)(cid:75)(cid:54)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:79)1(cid:163)(cid:30)(cid:10)𝑥−(4 )𝑥(−4+−1)10=0(cid:55)
(cid:30)(cid:65)(cid:10) =5(cid:55) =𝑥−5(cid:78)𝑥
(cid:79)2(cid:163)(cid:30)𝑥(cid:10)1 (cid:223)(cid:265)(cid:55)𝑥2(cid:65)(cid:10)−(1 ) ( )=0(cid:55)
2
(cid:42)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:55)(cid:65)(cid:10)( )[𝑥(−4 )−10]𝑥=−40(cid:55)
(cid:101)(cid:10) =0(cid:76) 𝑥−4=0𝑥(cid:55)−4 −10
(cid:30)(cid:65)𝑥(cid:10)−4 =4(cid:55)𝑥−1=414(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)𝑥51-2(cid:21)(cid:79)2𝑥0225·(cid:228)(cid:17)(cid:228)(cid:339)·(cid:31)(cid:231)(cid:163)(cid:37)(cid:59)(cid:58)(cid:249)(cid:219)(cid:116)(cid:38)(cid:35)(cid:340)(cid:326)(cid:52)(cid:341)(cid:51) (cid:38)(cid:48)(cid:56)(cid:174)(cid:342)(cid:172) (cid:38)(cid:48)(cid:54)4(cid:55)(cid:149)(cid:342)(cid:127) (cid:38)(cid:48)
(cid:54)7(cid:56)(cid:174)(cid:342)(cid:127)(cid:38) (cid:48)(cid:54)13(cid:55)(cid:149)(cid:342)(cid:172)(cid:38) (cid:48)(cid:54) (cid:56) 𝑦 𝑥 𝑦
𝑦 𝑥
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) (cid:76)7/7(cid:76)
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)−(cid:197)3(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:341)−(cid:51)3(cid:48)(cid:118)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:85)(cid:37)(cid:59)(cid:306)(cid:98)(cid:111)(cid:65)b(cid:48)(cid:55)(cid:92)(cid:152) =13(cid:43)(cid:40)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:111)(cid:65)x(cid:48)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
𝑦(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) (cid:342)(cid:172) (cid:38)(cid:48)(cid:54)4(cid:55)(cid:149)(cid:342)(cid:127) (cid:38)(cid:48)(cid:54)7(cid:55)(cid:200)4>3(cid:55)
2×4+ =7∵(cid:55)(cid:30)(cid:65)𝑥 = (cid:55) 𝑦
∴(cid:174)(cid:342)(cid:127)(cid:38)𝑏(cid:48)(cid:54)13(cid:55) 𝑏 −1
(cid:149)(cid:133) >3𝑦(cid:84)(cid:55)(cid:152) =13(cid:65) =7(cid:78)
(cid:133) <𝑥 3(cid:84)(cid:55)(cid:152) 2𝑥−+11=13(cid:65)𝑥 = (cid:55) =4(cid:79)(cid:343)(cid:299)(cid:163)(cid:55)
2
(cid:344)𝑥(cid:123)(cid:55)(cid:174)(cid:342)(cid:127)(cid:38)𝑥 −(cid:48)𝑥(cid:54)13(cid:55)(cid:149)(cid:342)(cid:172)𝑥1(cid:38)x−(cid:48)3 (cid:54)𝑥2 (cid:76)7(cid:55)
(cid:193)(cid:186)(cid:187)(cid:54)(cid:10) (cid:76)𝑦7(cid:56) −3
(cid:15)(cid:207)(cid:41)5-3(cid:21)−(cid:79)32025·(cid:313)(cid:345)(cid:87)(cid:339)·(cid:31)(cid:231)(cid:163)(cid:174) =20(cid:55) =24(cid:55)(cid:149) (cid:38)(cid:48)(cid:103)(cid:79) (cid:163)
2 2
A(cid:56)±8 B(cid:56)±12 𝑎 −𝑏C(cid:56)±14𝑎𝑏 2𝑎D−(cid:56)𝑏±16
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)A
24 24
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:37)(cid:59) =24(cid:65)(cid:82) = (cid:200)a(cid:55)b(cid:119)(cid:9)(cid:55)(cid:253)(cid:128) =20(cid:65)(cid:82) =20(cid:55)(cid:223)(cid:265)(cid:135)(cid:55)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
2
2 2 2
(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:49)𝑎(cid:50)𝑏(cid:296)(cid:55)(cid:30)(cid:28)(cid:35)𝑎(cid:55)(cid:111)𝑏(cid:147)(cid:51)(cid:41)(cid:38)(cid:48)(cid:55)(cid:233)(cid:217)(cid:234)𝑎(cid:235)−(cid:30)𝑏(cid:28)(cid:35)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)𝑏(cid:3)−(cid:236)𝑏(cid:56)
24
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:152) =24(cid:65)(cid:82) = (cid:200)a(cid:55)b(cid:119)(cid:9)(cid:55)
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
=20
2 2
∵𝑎24−𝑏
=20
2
2
∴( 𝑏 ) −+𝑏20 24 =0(cid:55)
2 2 2 2
∴(𝑏 +36)(𝑏 − )=0(cid:55)
2 2
∴(cid:346)𝑏 +36 𝑏36−(cid:55)16
2
𝑏 =≥0(cid:55)
2
∴(cid:30)𝑏(cid:65)−1=6±4(cid:55)
𝑏=6 =
(cid:193) (cid:76) (cid:55)
=4 =
𝑎 𝑎 −6
(cid:133) 𝑏= =4𝑏(cid:84)(cid:55)−4 =8(cid:78)
(cid:133)𝑎=6,𝑏 = (cid:84)2(cid:55)𝑎−𝑏 = (cid:78)
(cid:193)𝑎(cid:194)(cid:10)−A6(cid:56),𝑏 −4 2𝑎−𝑏 −8
【题型6 换元法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:57)6(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:230)(cid:17)(cid:347)(cid:348)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:306)(cid:98)(cid:70)(cid:51) (cid:349)(cid:350)(cid:28)(cid:35)( + )( )+6=0(cid:55)(cid:149) + (cid:38)(cid:48)
2 2 2
(cid:103) (cid:56) 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)3
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:351) = + (cid:55)(cid:149)(cid:83)(cid:41)(cid:54) ( )+6=0(cid:55)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:30)(cid:186)(cid:55)(cid:4)(cid:60)(cid:28)(cid:35)
2
(cid:69)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:38)(cid:150)(cid:151)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56) 𝑡 𝑥 𝑥 𝑡 1−𝑡
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:351) = + (cid:55)
2
(cid:149)(cid:83)(cid:41)(cid:54) ( )𝑡+6𝑥=0(cid:55)𝑥
(cid:30)(cid:65) =𝑡3,1−=𝑡 (cid:55)
(cid:133) 𝑡+1 =3𝑡2(cid:84)(cid:55)−2=1 +4×1×3=13>0(cid:55)(cid:28)(cid:35)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)
2 2
(cid:133)𝑥 +𝑥= (cid:84)(cid:55)Δ =1 ×1×2= <0(cid:55)(cid:28)(cid:35)(cid:142)(cid:96)(cid:70)(cid:51)(cid:37)(cid:55)
2 2
𝑥 +𝑥 =−3(cid:55)2 Δ −4 −7
2
(cid:193)∴(cid:186)𝑥 (cid:187)(cid:54)𝑥 (cid:10)3(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)6-1(cid:21)(cid:79)24-25(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:212)(cid:213)(cid:270)(cid:240)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:306)(cid:98)(cid:70)(cid:51)x(cid:349)(cid:350)( + ) ( + ) =0(cid:55)(cid:149)(cid:147)
2 2 2 2 2
(cid:51)(cid:41) + +1(cid:38)(cid:48)(cid:103)(cid:79) (cid:163) 𝑎 𝑏 −4 𝑎 𝑏 −12
2 2
A𝑎(cid:56)7 𝑏 B(cid:56) C(cid:56)7(cid:76) D(cid:56) (cid:76)3
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)A −1 −1 −5
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:44)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:147)(cid:51)(cid:41)(cid:111)(cid:48)(cid:56)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:44)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:147)(cid:51)(cid:41)(cid:111)(cid:48)
(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:352) + = (cid:55) >0(cid:55)(cid:149) =0(cid:55)(cid:107)(cid:111)(cid:349)(cid:350)(cid:201)(cid:111)(cid:30)(cid:54) =6(cid:55)(cid:189)(cid:135)(cid:147)(cid:48)(cid:111)(cid:30)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
2 2 2
(cid:15)𝑎(cid:192)(cid:30)(cid:21)𝑏(cid:30)(cid:10)𝑥(cid:352)𝑥 + =𝑥(cid:55)−4𝑥>−01(cid:55)2 𝑥
2 2
=0𝑎(cid:55) 𝑏 𝑥 𝑥
2
∴(𝑥+−24)𝑥(−12)=0(cid:55)
(cid:30)𝑥(cid:65)(cid:55) 𝑥=−6 (cid:79)(cid:343)(cid:299)(cid:163)(cid:76) =6(cid:55)
+ 𝑥 +−12=6+1=7(cid:55)𝑥
2 2
∴(cid:193)𝑎(cid:194)(cid:10)𝑏A(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)6-2(cid:21)(cid:79)24-25(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:211)·(cid:212)(cid:213)(cid:212)(cid:353)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:28)(cid:35) ( + ) +2025=0(cid:38)(cid:30)(cid:103) = (cid:55) =2
2
(cid:79) (cid:118) (cid:118) (cid:354)(cid:54)(cid:87)(cid:51)(cid:55) 0(cid:163)(cid:56) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑘 𝑥1 −3 𝑥2
(cid:311)𝑎(cid:22)(cid:10)𝑘 𝑏 𝑎≠
(cid:79)1(cid:163)(cid:3)(cid:68) (cid:38)(cid:28)(cid:35) ( +1+ ) +2025=0(cid:38)(cid:37)(cid:103) (cid:78)
2
(cid:79)2(cid:163)(cid:3)(cid:68)𝑥(cid:38)(cid:28)(cid:35)𝑎(𝑥 +4𝑘) +2025=0(cid:38)(cid:37)(cid:54) (cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) 𝑥 =𝑎 𝑥−(cid:55)𝑘 =1 = (cid:55) =
𝑥1 −4 𝑥2 𝑥1 −1 𝑥2 −6(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:234)(cid:235)(cid:222)(cid:110)(cid:44)(cid:32)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:79)1(cid:163)(cid:74) +1(cid:145)(cid:146)(cid:223)(cid:224)(cid:55)(cid:152)(cid:22)(cid:60)(cid:107)(cid:98) +1= (cid:55) +1=2(cid:92)(cid:111)(cid:30)(cid:101)(cid:107)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:355)𝑥(cid:356)(cid:79)1(cid:163)(cid:326)(cid:52)(cid:101)(cid:107)(cid:56) 𝑥 −3 𝑥
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:79)1(cid:163) (cid:28)(cid:35) ( + ) +2025=0(cid:38)(cid:30)(cid:103) = (cid:55) =2(cid:55)
2
(cid:352) = +1(cid:55)(cid:149) (∵+1𝑎+𝑥) +𝑘2025=0(cid:107)(cid:75)(cid:54) ( +𝑥1 ) −+3202𝑥52=0(cid:55)
2 2
∴ 𝑐= 𝑥(cid:55) =2𝑎(cid:55)𝑥 𝑘 𝑎 𝑐 𝑘
∴𝑐1+1−=3 𝑐(cid:55) 2 +1=2(cid:55)
∴(cid:30)𝑥(cid:65)(cid:10) −=3 𝑥(cid:55) =1(cid:56)
(cid:193)(cid:186)(cid:187)𝑥(cid:54)1(cid:10) −4= 𝑥2(cid:55) =1(cid:56)
(cid:79)2(cid:163)(cid:352) +𝑥41= −4(cid:55)(cid:149)𝑥2( +4) +2025=0(cid:107)(cid:75)(cid:54) ( ) +2025=0(cid:55)
2 2
(cid:101) ( +𝑥) +202−5𝑡=0(cid:55)𝑎 𝑥−𝑘 𝑎 −𝑡−𝑘
2
(cid:3)𝑎(cid:68)𝑡 x(cid:38)𝑘 (cid:28)(cid:35) ( + ) +2025=0(cid:38)(cid:30)(cid:103) = (cid:55) =2(cid:55)
2
∵ = (cid:55) =𝑎2𝑥(cid:55)(cid:101)𝑘 = = (cid:55)𝑥1 −3 𝑥2
∴𝑡1+4−=3 𝑡2+4= −(cid:55)𝑡1 3,−𝑡2 −2
∴(cid:30)𝑥(cid:65)(cid:10) 3=,𝑥 (cid:55) −=2 (cid:56)
(cid:193)(cid:186)(cid:187)𝑥(cid:54)1(cid:10) −1= 𝑥2(cid:55) −6= (cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)6-3(cid:21)𝑥1(cid:79)24−-215(cid:208)𝑥2(cid:209)(cid:210)−(cid:211)6·(cid:212)(cid:213)(cid:128)(cid:357)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:282)(cid:283)(cid:162)(cid:225)(cid:198)(cid:10)
(cid:211)(cid:277)(cid:103)(cid:208)(cid:79)1(cid:163)(cid:358)(cid:11)(cid:218)(cid:244)(cid:245)(cid:359)(cid:360)(cid:296)(cid:11)(cid:218)(cid:361)(cid:362)(cid:38)(cid:363)(cid:43)(cid:327)(cid:328)(cid:55)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:129)(cid:99)(cid:95)(cid:139)(cid:164)(cid:284)(cid:285)(cid:56)(cid:359)(cid:360)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)
(cid:232)(cid:30)(cid:29)(cid:364)(cid:315)(cid:31)(cid:113)(cid:3)(cid:68)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:232)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:31)(cid:365)(cid:299)(cid:97)(cid:98)(cid:51)(cid:38)(cid:31)(cid:34)(cid:88)(cid:55)(cid:74)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:366)(cid:75)(cid:54)(cid:107)(cid:108)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:77)(cid:41)(cid:55)
(cid:74)(cid:169)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:179)(cid:180)(cid:263)(cid:31)(cid:72)(cid:111)(cid:65)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:56)
(cid:15)(cid:57)(cid:58)(cid:21)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) =0(cid:55)
2
(cid:352) = + (cid:79)m(cid:54)(cid:87)(cid:51)(cid:163)𝑥(cid:55)−4𝑥−6
(cid:74)𝑥(cid:83)(cid:28)𝑦(cid:35)(cid:75)𝑚(cid:54)( + ) ( + ) =0(cid:55)
2
(cid:28)(cid:35) (cid:223)(cid:265)(cid:55)(cid:65)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:55)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:55)(cid:30)𝑦(cid:65) =2𝑚2(cid:56)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:133)2𝑚=−42(cid:84)(cid:55) 𝑚 =2 × = (cid:55)
2 2
𝑚(cid:28)(cid:35) (cid:75)(cid:54)𝑚 −4𝑚−=60(cid:55)(cid:30)−(cid:65)4 =2−610(cid:55)−10= 10(cid:55)
2
∴ =② + 𝑦=−__1_0________(cid:55)𝑦1= + 𝑦=2 ___−________(cid:56)
(cid:284)∴(cid:285)𝑥1(cid:10) 𝑦1 𝑚 𝑥2 𝑦2 𝑚(1)(cid:24)(cid:25)(cid:170)(cid:127)(cid:367)(cid:368)(cid:144)“ ”(cid:363)(cid:43)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30) =___________(cid:55) =___________(cid:56)
(2)(cid:369)(cid:356)(cid:367)(cid:368)(cid:144)“(cid:57)(cid:58)”(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑥1(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)3 + 𝑥+2 1=0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)(1) 10+2(cid:55) 10+2(cid:78) 𝑥 12𝑥
(2) = 33 (cid:55) = − 33
3 3
(cid:15)(cid:43)𝑥1 (cid:188)(cid:21)(cid:197)−(cid:22)2(cid:198)(cid:199)𝑥2 (cid:31)(cid:32)−(cid:33)(cid:34)−(cid:28)2(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:29)(cid:55)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:265)(cid:30)(cid:22)(cid:60)(cid:55)(cid:370)(cid:371)(cid:222)(cid:110)(cid:219)(cid:11)(cid:98)(cid:206)(cid:30)(cid:154)(cid:311)(cid:22)(cid:55)
(cid:79)1(cid:163)(cid:37)(cid:59)(cid:367)(cid:368)(cid:144)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:111)(cid:127)(cid:30)(cid:101)(cid:107)(cid:78)
(cid:79)2(cid:163)(cid:352) = + (cid:79)m(cid:54)(cid:87)(cid:51)(cid:163)(cid:55)(cid:74)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) + + + + 1 =0(cid:55)(cid:28)(cid:35)(cid:223)(cid:265)(cid:55)(cid:65) + + +
3
2 2
𝑥 𝑦 𝑚 (𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) 𝑦 (2𝑚 4)𝑦
+ + 1 =0(cid:55)(cid:351) +4=0(cid:30)(cid:65) = (cid:55)(cid:133) = (cid:84)(cid:55) + + 1 = 11 (cid:55)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) 11 =0(cid:55)(cid:30)
3 3 3 3
2 2 2
𝑚 4𝑚 2𝑚 𝑚 −2 𝑚 −2 𝑚 4𝑚 − 𝑦 −
33 33
(cid:65) = (cid:55), = (cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:111)(cid:127)(cid:186)(cid:187)(cid:56)
3 3
(cid:15)𝑦(cid:192) 1 (cid:30)(cid:21)(cid:79)1(cid:163)𝑦2 (cid:30)(cid:10)−(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35) =0(cid:55)
2
(cid:352) = + (cid:79)m(cid:54)(cid:87)(cid:51)(cid:163)(cid:55) 𝑥 −4𝑥−6
(cid:74)𝑥(cid:83)(cid:28)𝑦(cid:35)(cid:75)𝑚(cid:54)( + ) ( + ) =0(cid:55)
2
(cid:28)(cid:35) (cid:223)(cid:265)(cid:55)(cid:65)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:55)
2 2
(cid:351) ① =0(cid:55)(cid:30)𝑦(cid:65) =2𝑚2(cid:56)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:133)2𝑚=−42(cid:84)(cid:55) 𝑚 =2 × = (cid:55)
2 2
𝑚(cid:28)(cid:35) (cid:75)(cid:54)𝑚 −4𝑚−=60(cid:55)(cid:30)−(cid:65)4 =2−610(cid:55)−10= 10(cid:55)
2
∴ =② + 𝑦=−1010+2(cid:55) =𝑦1 + = 𝑦210+−2
(cid:193)∴(cid:186)𝑥(cid:187)1 (cid:54)𝑦(cid:10)1 1𝑚0+2(cid:55) 10+𝑥22(cid:78)𝑦2 𝑚 −
(cid:79)2(cid:163)(cid:352) = + (cid:79)m−(cid:54)(cid:87)(cid:51)(cid:163)(cid:55)
(cid:74)(cid:83)(cid:28)(cid:35) 𝑥 (cid:75)(cid:54) 𝑦 𝑚 + + + + 1 =0
3
2
(𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) ①
(cid:28)(cid:35) (cid:223)(cid:265)(cid:55)(cid:65)
+
①
+ + + +
1
=0
3
2 2
𝑦 (2𝑚 4)𝑦 𝑚 4𝑚 ②
(cid:351) +4=0(cid:30)(cid:65) = (cid:55)
(cid:133)
2𝑚
= (cid:84)(cid:55)
𝑚
+
−
+
21
=
11
(cid:55)
3 3
2
𝑚 −2 𝑚 4𝑚 −
(cid:28)(cid:35) (cid:75)(cid:54) 11 =0
3
2
∴ ② 𝑦 −
(cid:30)(cid:65) =
33
(cid:55) =
33
(cid:55)
3 3
𝑦1 𝑦2 −= + = 33 (cid:55) = + = 33 (cid:56)
3 3
∴ 𝑥1 𝑦1 𝑚 −2 𝑥2 𝑦2 𝑚 − −2
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
(cid:15)(cid:57)7(cid:21)(cid:79)24-25(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:275)(cid:238)(cid:212)(cid:240)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:96)(cid:175)(cid:256)“(cid:51)(cid:11)(cid:103)(cid:225)(cid:372)(cid:38)(cid:224)(cid:373)”(cid:55)(cid:222)(cid:110)(cid:310)(cid:234)(cid:235)(cid:374)(cid:201)(cid:38)“(cid:51)(cid:11)(cid:225)(cid:226)”(cid:310)“(cid:51)
(cid:11)(cid:28)(cid:29)”(cid:103)(cid:11)(cid:334)(cid:51)(cid:11)(cid:38)(cid:375)(cid:201)(cid:29)(cid:376)(cid:56)(cid:282)(cid:283)(cid:211)(cid:191)(cid:57)(cid:22)(cid:268)(cid:169)(cid:30)(cid:186)(cid:115)(cid:35)(cid:10)
(cid:57)(cid:10)(cid:30)(cid:28)(cid:35) =0(cid:56)
2
(cid:30)(cid:10) (cid:133) 𝑥 0−(cid:84)2|(cid:55)𝑥|−(cid:83)3(cid:28)(cid:35)(cid:54) =0(cid:55)
2
(cid:30)(cid:65)①=𝑥≥(cid:79)(cid:162) 0(cid:377)(cid:378)(cid:55)𝑥(cid:343)−(cid:299)2𝑥(cid:163)−(cid:55)3 =3(cid:56)
(cid:133)𝑥1<0−(cid:84)1(cid:55)(cid:83)(cid:28)𝑥≥(cid:35)(cid:54) + =0(cid:55)𝑥2
2
②(cid:30)(cid:65)𝑥 =1(cid:79)(cid:162) <0(cid:377)(cid:378)𝑥(cid:55)(cid:343)2𝑥(cid:299)−(cid:163)3(cid:55) = (cid:56)
(cid:219)(cid:108)𝑥(cid:83)1(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:37)𝑥(cid:103) =3(cid:55) = (cid:56)𝑥2 −3
(cid:307)(cid:123)(cid:277)(cid:38)(cid:30)(cid:186)(cid:115)(cid:35)𝑥(cid:144)1(cid:55)(cid:379)(cid:380)𝑥(cid:47)2 x(cid:263)−3(cid:264)(cid:364)(cid:315)(cid:55)(cid:179)(cid:180)(cid:75)(cid:381)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:112)(cid:103)(cid:30)(cid:154)(cid:51)(cid:11)(cid:311)(cid:22)(cid:38)(cid:31)(cid:113)(cid:375)(cid:201)(cid:225)(cid:226)——(cid:43)(cid:130)
(cid:364)(cid:315)(cid:56)
(cid:284)(cid:285)(cid:10)(cid:279)(cid:382)(cid:356)(cid:123)(cid:383)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:10) =0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) =2(cid:55) = 𝑥 −|𝑥|−2
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)𝑥(cid:197)1(cid:22)(cid:198)(cid:199)𝑥(cid:134)2(cid:30)(cid:31)−2(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:265)(cid:30)(cid:22)(cid:60)(cid:55)(cid:11)(cid:227)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:130)(cid:364)(cid:315)(cid:38)(cid:225)(cid:226)(cid:225)
(cid:198)(cid:311)(cid:22)(cid:56)
(cid:197)(cid:22)(cid:85)(cid:43)(cid:130)(cid:364)(cid:315)(cid:55)(cid:74)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:263)(cid:180)(cid:111)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:343)(cid:384)(cid:138)(cid:153)(cid:128)(cid:204)(cid:205)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:55)(cid:101)
(cid:107)(cid:65)(cid:82)(cid:197)(cid:22)(cid:38)(cid:186)(cid:187)(cid:78)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:43)(cid:80)(cid:113)(cid:150)(cid:151)(cid:364)(cid:315)
(cid:79)1(cid:163)(cid:133) 0(cid:84)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:107)(cid:75)(cid:54) =0(cid:55)
2
(cid:30)(cid:65)(cid:10) 𝑥=≥2(cid:55) = (cid:79)(cid:343)(cid:299)(cid:163)𝑥(cid:78)−𝑥−2
(cid:79)2(cid:163)(cid:133)𝑥1 <0(cid:84)𝑥(cid:55)2(cid:83)(cid:28)−(cid:35)1 (cid:107)(cid:75)(cid:54) + =0(cid:55)
2
(cid:30)(cid:65)(cid:10) 𝑥= (cid:55) =1(cid:79)(cid:343)(cid:299)(cid:163)𝑥(cid:78) 𝑥−2
(cid:344)(cid:123)(cid:219)𝑥1(cid:383)(cid:55)−(cid:83)2(cid:28)(cid:35)𝑥2(cid:38)(cid:37)(cid:103) =2(cid:55) = (cid:56)
∴(cid:15)(cid:207)(cid:41)7-1(cid:21)(cid:79)22-23(cid:274)(cid:209)(cid:210)𝑥1(cid:123)·(cid:385)(cid:386)𝑥(cid:387)2(cid:388)·−(cid:215)2(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:30)(cid:28)(cid:35) + =0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) =2, = 𝑥 −|𝑥 1|−1
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)𝑥(cid:37)1(cid:59)(cid:22)𝑥(cid:60)2 (cid:43)−1(cid:80)(cid:113)(cid:150)(cid:151)(cid:364)(cid:315)(cid:55)(cid:75)(cid:381)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:55)(cid:189)(cid:135)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:111)(cid:30)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:43)(cid:80)(cid:113)(cid:150)(cid:151)(cid:10)(cid:133) +1 0(cid:55)(cid:101) (cid:84)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) ( +1) =0(cid:55)(cid:30)(cid:65) =2, = (cid:78)
2
①(cid:133)𝑥+1≥<0(cid:55)(cid:101)𝑥≥<−1(cid:84)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54)𝑥 −+(𝑥+1)−1=0(cid:55)(cid:30)(cid:65)𝑥1=0(cid:79)𝑥2(cid:343)−(cid:299)1(cid:163)(cid:55) = (cid:79)(cid:343)(cid:299)(cid:163)(cid:56)
2
②(cid:344)(cid:123)(cid:219)𝑥(cid:383)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)𝑥(cid:38)−(cid:30)1(cid:103) =2, = (cid:56)𝑥 𝑥 −1 𝑥3 𝑥4 −1
(cid:15)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:30)(cid:31)𝑥(cid:32)1(cid:33)(cid:34)𝑥(cid:28)2 (cid:35)−1(cid:55)(cid:43)(cid:130)(cid:364)(cid:315)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)7-2(cid:21)(cid:30)(cid:28)(cid:35) |2 +3|+9=0(cid:56)
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) =1, =3𝑥 −2 𝑥
𝑥1 𝑥2
3 3
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:355)(cid:356)(cid:57)(cid:22)(cid:55)(cid:43) (cid:162) < (cid:55)(cid:75)(cid:381)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:65)(cid:82)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:111)(cid:30)(cid:56)
2 2
𝑥≥− 𝑥 −
3
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:133)2 +1 0(cid:55)(cid:101) (cid:84)(cid:55)
2
(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:107)(cid:75)(cid:54)𝑥(cid:10) ≥ 𝑥
+
≥
3
−
)+9=0
2
(cid:223)(cid:265)(cid:65)(cid:10) +𝑥3−=20(2𝑥
2
(cid:30)(cid:65)(cid:10) =𝑥1−, 4𝑥=3
𝑥1 𝑥2
3
(cid:133)2 +1<0(cid:55)(cid:101) < (cid:84)(cid:55)
2
(cid:83)(cid:28)𝑥(cid:35)(cid:107)(cid:75)(cid:54)(cid:10)𝑥 −
+2(2 +3)+9=0
2
(cid:223)(cid:265)(cid:65) +4 +1𝑥5=0 𝑥
2
=4 𝑥 ×1𝑥×15= <0,
2
∵(cid:287)Δ (cid:28)(cid:35)−(cid:69)4 (cid:70)(cid:51)(cid:30)(cid:55)−44
∴(cid:344)(cid:123)(cid:219)(cid:383)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:38)(cid:30)(cid:54)(cid:10) =1, =3
(cid:15)(cid:195)(cid:196)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:30)(cid:31)(cid:32)𝑥(cid:33)1(cid:34)(cid:28)𝑥(cid:35)2 (cid:55)(cid:43)(cid:130)(cid:364)(cid:315)(cid:75)(cid:381)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)
(cid:15)(cid:207)(cid:41)7-3(cid:21)(cid:79)22-23(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:230)(cid:386)(cid:389)(cid:83)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:163)(cid:30)(cid:28)(cid:35) =0
2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21) = 29 (cid:55) = 29 𝑥 −|𝑥−5|−2
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)𝑥(cid:37) 1 (cid:59)(cid:22)(cid:60)(cid:43)x 𝑥 -5 2 ≥0(cid:310)x-5(cid:185)0(cid:80)(cid:113)(cid:150)(cid:151)(cid:55)(cid:43)(cid:40)(cid:30)(cid:28)(cid:35)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) (cid:133)x-5≥0(cid:84)(cid:55)(cid:101)x≥5(cid:84)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) + =0(cid:55)(cid:101) +3=0(cid:55)
2 2
=1, = =①3(cid:55) 𝑥 −𝑥 5−2 𝑥 −𝑥
𝑎 =𝑏 −1,𝑐=( ) ×1×3= <0(cid:55)
2 2
∴(cid:83)Δ (cid:28)𝑏(cid:35)−(cid:69)4𝑎(cid:30)𝑐 (cid:55)−1 −4 −11
∴ (cid:133)x-5(cid:185)0(cid:84)(cid:55)(cid:101)x(cid:185)5(cid:84)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:35)(cid:75)(cid:54) + =0(cid:55)(cid:101) + =0(cid:55)
2 2
②=1, =1, = (cid:55) 𝑥 𝑥−5−2 𝑥 𝑥−7
𝑎 =𝑏 𝑐 =−17 ×1×( )=29>0
2 2
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐 −4 −7± 29
=
2×1
−1
𝑥
29 29
(cid:30)(cid:65)(cid:10) = (cid:55) = (cid:56)
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:195)(cid:196)𝑥(cid:21) 1 (cid:287)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)𝑥(cid:30) 2 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:55)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:37)(cid:59)(cid:22)(cid:60)(cid:43)(cid:80)(cid:113)(cid:150)(cid:151)(cid:364)(cid:315)(cid:56)
【题型8 配方法】
(cid:15)(cid:57)8(cid:21)(cid:79)2025·(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:212)·(cid:31)(cid:231)(cid:163)(cid:306)(cid:98) (cid:55) (cid:55) (cid:54)(cid:70)(cid:51)(cid:55)(cid:200) + = +3 (cid:55) = + (cid:55)(cid:149) (cid:55)
2 2
(cid:55) (cid:309)(cid:390)(cid:38)(cid:19)(cid:244)(cid:3)(cid:117)(cid:103)(cid:79) (cid:163) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧A(cid:56) < B(cid:56) < C(cid:56) < D(cid:56) <
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:38)(cid:164)(cid:110)(cid:55)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:164)(cid:110)(cid:56)(cid:85)(cid:37)(cid:59)(cid:306)(cid:98)(cid:140)(cid:41)(cid:111)(cid:127) = +2(cid:55) =2
2 2
+3(cid:55)(cid:92)(cid:109)(cid:110)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:39)(cid:165)(cid:127) > (cid:55) (cid:55)(cid:152)(cid:287)(cid:101)(cid:107)(cid:65)(cid:127)(cid:186)(cid:187)(cid:56) 𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥
−(cid:15)3(cid:192)𝑥(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) + = +3 (cid:55) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:55)
2 2
(cid:30)(cid:65) = ∵+𝑦2(cid:55)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:55)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:55)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:78)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:55)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:55)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:55)
∴(cid:193)𝑥(cid:194)(cid:10)𝑦A≤(cid:56)𝑧
(cid:15)(cid:207)(cid:41)8-1(cid:21)(cid:79)24-25(cid:274)(cid:209)(cid:210)(cid:123)·(cid:275)(cid:238)(cid:337)(cid:391)·(cid:271)(cid:144)(cid:163)(cid:174)(cid:147)(cid:51)(cid:41) + (cid:107)(cid:75)(cid:54)( + ) (cid:55)(cid:149) + (cid:38)(cid:48)(cid:103)
2 2
(cid:79) (cid:163) 𝑥 −4𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −1 𝑎 𝑏
A(cid:56)2 B(cid:56)1 C(cid:56) D(cid:56)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)B −2 −1
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:38)(cid:103)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:103)(cid:164)(cid:110)(cid:55)(cid:234)(cid:235)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:103)(cid:30)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:56)(cid:37)(cid:59)(cid:99)(cid:100)(cid:27)(cid:28)(cid:7)(cid:41)(cid:86)(cid:83)(cid:41)(cid:207)(cid:77)(cid:55)
(cid:92)(cid:37)(cid:59)(cid:22)(cid:60)(cid:111)(cid:127) =3(cid:55) = (cid:55)(cid:326)(cid:52)(cid:101)(cid:107)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10) 𝑎 + 𝑏 −2
2
= + 𝑥 −+4𝑥 𝑎
2
=𝑥( −4𝑥) +4−4 (cid:55)𝑎
2
(cid:152)(cid:22)𝑥(cid:60)−(cid:65)2 (cid:10) 𝑎=−4 (cid:55) = (cid:55)
𝑏 −2 𝑎−4 −1(cid:30)(cid:65)(cid:10) =3(cid:55) = (cid:55)
(cid:149) + 𝑎= 𝑏=1−(cid:55)2
(cid:193)𝑎(cid:194)(cid:10)𝑏B(cid:56)3−2
(cid:15)(cid:207)(cid:41)8-2(cid:21)(cid:79)2025·(cid:212)(cid:213)(cid:392)(cid:339)·(cid:231)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:163)(cid:306)(cid:98)(cid:70)(cid:51)a(cid:55)b(cid:349)(cid:350) + = >0(cid:55)(cid:149)(cid:211)(cid:191)(cid:39)(cid:165)(cid:137)(cid:173)(cid:38)(cid:103)(cid:79) (cid:163)
A(cid:56) + >2, + + <4 B(cid:56) + <2, 𝑎+ 2𝑏+ 4,<𝑎 4
2 2
C(cid:56)𝑎+𝑏>2,𝑎 +5𝑎+2𝑏>4 D(cid:56)𝑎+𝑏 <2,𝑎 +5𝑎+2𝑏 >4
2 2
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)𝑎C 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:138)(cid:140)(cid:41)(cid:38)(cid:296)(cid:297)(cid:268)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:164)(cid:110)(cid:55)(cid:30)(cid:154)(cid:197)(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:103)(cid:233)(cid:217)(cid:234)(cid:235)(cid:138)(cid:140)(cid:41)(cid:38)(cid:296)(cid:297)(cid:268)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:38)
(cid:164)(cid:110)(cid:55)(cid:152) + =4(cid:107)(cid:65) = (cid:55)(cid:107)(cid:65) + = + = = 4 .(cid:107)(cid:65)(cid:127) 4 > 4 =2(cid:55) (cid:101) + >2(cid:47)
2 2 2 2 2 2
4−𝑎 4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+ 𝑎+
(cid:219)(cid:96) >0 𝑎(cid:95)(cid:393)2𝑏(cid:56)(cid:74) = 𝑏 (cid:147)(cid:172) + 𝑎 + 𝑏 (cid:65)𝑎(cid:10) + + = + + = + + 𝑎 4= 𝑏 +2)
2 2 2 2 2
.(cid:107)(cid:65)𝑎 +2) >2 2=𝑏4(cid:55)4 −(cid:92)𝑎(cid:39)(cid:165)(cid:101)𝑎 (cid:107)(cid:56)5𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
2 2
(𝑎
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:152) + =4(cid:107)(cid:65) = (cid:55)
2
4−𝑎
𝑎 2𝑏 𝑏
4
+ = + = = .
2 2 2
4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+
∴ 𝑎 𝑏 𝑎
>0(cid:55)
∵𝑎+4>4(cid:55)
∴𝑎 4 > 4 =2(cid:55)
2 2
𝑎+
∴
(cid:101) + >2(cid:47)(cid:219)(cid:96) >0(cid:95)(cid:393)(cid:56)
(cid:74)𝑎 =𝑏 (cid:147)(cid:172) 𝑎+ + (cid:65)(cid:10)
2
2+𝑏 4+−𝑎 = 𝑎 + 5𝑎+ 2𝑏 = + +4= +2) .
2 2 2 2
𝑎 >5𝑎0(cid:55) 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
∵𝑎+2>2(cid:55)
∴𝑎 +2) >2 =4(cid:55)
2 2
(cid:101)∴(𝑎 + + >4(cid:47)(cid:219)(cid:96) >0(cid:95)(cid:393)(cid:56)
2
(cid:193)𝑎(cid:194)(cid:10)C5(cid:56)𝑎 2𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:207)(cid:41)8-3(cid:21)(cid:79)2025·(cid:230)(cid:17)(cid:394)(cid:395)·(cid:31)(cid:231)(cid:163)(cid:306)(cid:98) (cid:54)(cid:70)(cid:51)(cid:55)(cid:352) = + +25 +5(cid:55)(cid:149) (cid:38)(cid:252)(cid:19)(cid:48)(cid:103)
2 2
(cid:79) (cid:163) 𝑥 𝑑 𝑥 6𝑥 − 𝑥 −2𝑥 𝑑
A(cid:56)2 2 B(cid:56)2 5 C(cid:56)5 D(cid:56)6
(cid:15)(cid:186)(cid:187)(cid:21)B(cid:15)(cid:43)(cid:188)(cid:21)(cid:197)(cid:22)(cid:198)(cid:199)(cid:134)(cid:396)(cid:397)(cid:155)(cid:265)(cid:118)(cid:80)(cid:195)(cid:309)(cid:390)(cid:38)(cid:398)(cid:399)(cid:55)(cid:234)(cid:235)(cid:307)(cid:27)(cid:277)(cid:24)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:117)(cid:144)(cid:111)(cid:127)(cid:80)(cid:195)(cid:390)(cid:38)(cid:398)(cid:399)(cid:38)(cid:7)(cid:41)(cid:103)(cid:30)
(cid:22)(cid:38)(cid:3)(cid:236)(cid:55)(cid:85)(cid:265)(cid:30)(cid:22)(cid:60)(cid:55)(cid:222)(cid:110)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:86)(cid:190)(cid:26)(cid:28)(cid:51)(cid:207)(cid:77)(cid:55)(cid:92)(cid:37)(cid:59)(cid:121)(cid:400)(cid:77)(cid:38)(cid:121)(cid:91)(cid:3)(cid:117)(cid:263)(cid:264)(cid:43)(cid:188)(cid:55)(cid:108)(cid:268)(cid:80)(cid:195)(cid:390)(cid:38)
(cid:398)(cid:399)(cid:7)(cid:41)(cid:191)(cid:41)(cid:326)(cid:52)(cid:55)(cid:101)(cid:107)(cid:146)(cid:186)(cid:56)
(cid:15)(cid:192)(cid:30)(cid:21)(cid:30)(cid:10)(cid:143)(cid:22)(cid:60)(cid:55) + +25= + +16+9=( +3) +4 (cid:55)
2 2 2 2
(cid:123)(cid:41)(cid:161)(cid:116) ( )(cid:162) ( 𝑥 )(cid:309)6(cid:390)𝑥(cid:38)(cid:398)(cid:399)(cid:55)𝑥 6𝑥 𝑥
+𝐴5=𝑥,0 𝐵 −+31,4+4=( ) +2 (cid:55)
2 2 2 2
(cid:123)𝑥 (cid:41)−2(cid:161)𝑥(cid:116) ( 𝑥)(cid:162)−2𝑥(1,2)(cid:309)(cid:390)(cid:38)(cid:398)𝑥(cid:399)−1(cid:55)
𝐴 𝑥,0 𝐶
(cid:152)(cid:396)(cid:397)(cid:155)(cid:265)(cid:65) = ( ) +( ) =2 5(cid:55)
2 2
𝐵𝐶 −3−1 4−2
(cid:253)(cid:128)(cid:121)(cid:400)(cid:77)(cid:121)(cid:91)(cid:3)(cid:117)(cid:65) (cid:38)(cid:252)(cid:19)(cid:48)(cid:103)(cid:195)B(cid:310)(cid:195)C(cid:38)(cid:398)(cid:399)(cid:55)(cid:101) (cid:38)(cid:252)(cid:19)(cid:48)=2 5(cid:55)
(cid:193)(cid:194)(cid:10)B(cid:56) 𝑑 𝑑
