专题 2.2 一元二次方程的解法（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:19)............................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:19)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:19)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:19)..............................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:19)......................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:19)......................................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:19)..................................................................................................................................................20
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1. (cid:47)(cid:48)(cid:49)a(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:52) (cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:52)± (cid:54)
(cid:55)(cid:56)(cid:10)144(cid:36)(cid:50)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:52) 1𝑎44=12(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:35)𝑎(cid:52)± 144= ±12(cid:54)
2. (cid:35)(cid:57)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:61)(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:54)
(cid:55)(cid:56) =25(cid:53)(cid:28)(cid:63) =±5(cid:54)
2
(cid:29)(cid:64)(cid:65)𝑥(cid:53)(cid:45)(cid:66)(cid:26)(cid:33) 𝑥=p(cid:54)
2
>0 𝑥方程有两个不等的实数根 = ， =
𝑝=0 方程有两个相等的实数根𝑥1 = 𝒑=𝑥2 − 𝒑
𝑝<0 方程(cid:67)(cid:68)(cid:49)(cid:35) 𝑥1 𝑥2 𝟎
3. (cid:22)(cid:23)𝑝(cid:69)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:70)(cid:71)
(1)(cid:72)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) =p(cid:74)( + ) = ( 0, 0)(cid:36)(cid:75)(cid:39)(cid:76)
2 2
(cid:77)2)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑥(cid:73)(cid:52)(cid:78)(cid:79)𝑚(cid:29)𝑥(cid:30)(cid:29)𝑛(cid:32)(cid:26)(cid:33)𝑝(cid:76)𝑝≥ 𝑚≠
(cid:77)3)(cid:28)(cid:78)(cid:79)(cid:29)(cid:30)(cid:29)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:63)(cid:80)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:54)
知识点2 配方法解一元二次方程
1. (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:82)(cid:53)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:49)(cid:86)(cid:87)(cid:80)(cid:88)(cid:89)(cid:53)(cid:90)(cid:84)(cid:91)(cid:36)(cid:92)(cid:89)(cid:34)(cid:93)(cid:43)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:36)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:53)(cid:99)(cid:72)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)
( + ) = (cid:36)(cid:75)(cid:39)(cid:53)(cid:56)(cid:100)(cid:88)(cid:89)(cid:101)(cid:29)(cid:79)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:53)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:109)(cid:28)(cid:54)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:93)(cid:97)(cid:98)
2
𝑥 𝑎 𝑏(cid:25)(cid:26)(cid:75)(cid:39)(cid:60)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:54)
2. (cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:29)(cid:64)(cid:70)(cid:71)((cid:114)(cid:55))
(cid:29)(cid:64)(cid:70)(cid:71) (cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:55) =0)
2
(cid:72)(cid:85)(cid:49)(cid:86)(cid:87)(cid:80)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:88)(cid:89)(cid:53)(cid:43) (9𝑦 −18𝑦−4
(cid:29)(cid:87) (cid:87)(cid:86) =4
(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:36)(cid:86)(cid:87)(cid:80)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:92)(cid:89)
2
9𝑦 −18𝑦
(cid:26)(cid:33)(cid:92)(cid:116)(cid:88)(cid:78)(cid:89)(cid:117)(cid:82)(cid:118)(cid:106)(cid:31)(cid:32) 4
(cid:31)(cid:73) (cid:31)(cid:32)(cid:86)(cid:115)(cid:49)(cid:73)(cid:52)1 =
(cid:86)(cid:115)(cid:49) 9
2
𝑦 −2𝑦
4
+1= +1
(cid:26)(cid:33)(cid:92)(cid:116)(cid:88)(cid:78)(cid:89)(cid:117)(cid:82)(cid:120)(cid:121)(cid:29)(cid:32) 9
(cid:119)(cid:34) (cid:34)(cid:26) 2
(cid:86)(cid:115)(cid:49)(cid:29)(cid:122)(cid:36)(cid:25)(cid:26) 𝑦 −2𝑦
(cid:99) = 13
9
2
(𝑦−1)
(cid:107)(cid:108)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
13
(cid:123)(cid:24) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
=±
(cid:26) 3
(y−1)
(cid:124)(cid:28) (cid:63)(cid:125)(cid:78)(cid:79)(cid:35) (cid:87)(cid:86)(cid:53)(cid:126)(cid:127)(cid:117)(cid:128)(cid:86) y =1+ 13 (cid:53)y = 13
3 3
1 2 1−
(cid:129)(cid:130)(cid:10)(cid:131)(cid:26)(cid:33)(cid:29)(cid:89)(cid:34)(cid:93)(cid:132)(cid:3)(cid:66)(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:36)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:133)(cid:53)(cid:56)(cid:100)(cid:134)(cid:29)(cid:89)(cid:101)(cid:135)(cid:49)(cid:53)(cid:102)(cid:103)(cid:110)(cid:79)(cid:26)(cid:33)(cid:104)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)
(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:76)(cid:56)(cid:100)(cid:134)(cid:29)(cid:89)(cid:101)(cid:139)(cid:53)(cid:102)(cid:103)(cid:110)(cid:79)(cid:26)(cid:33)(cid:104)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:76)(cid:56)(cid:100)(cid:134)(cid:29)(cid:89)(cid:101)(cid:48)(cid:49)(cid:53)(cid:102)(cid:103)(cid:110)(cid:79)(cid:26)(cid:33)(cid:104)
(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54)
3. (cid:28)(cid:20)(cid:141)(cid:57)(cid:10) ± = ± + (cid:53)(cid:84)(cid:7)(cid:39)(cid:142)(cid:36) (cid:143)(cid:144)(cid:95)(cid:96)(cid:49) (cid:53)(cid:127)(cid:108) (cid:145)(cid:146)(cid:53)(cid:147) ± = ± +
2 2 2 2 2
(cid:54) (𝑎 𝑏) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 𝑥 (𝑥 𝑏) 𝑥 2𝑏𝑥
2
𝑏
知识点3 一元二次方程根的判别式
1. (cid:45)(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) + + = 0)(cid:53)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:26)(cid:105)(cid:63) + ) = (cid:53)(cid:147)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:150)
2 𝑏 2 𝑏 2 −4 2 𝑎𝑐 2
(cid:36)(cid:151)(cid:9)(cid:152)(cid:153)(cid:54) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ (𝑥 2𝑎 4𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:29)(cid:64)(cid:65)(cid:53)(cid:39)(cid:154) (cid:61)(cid:62)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) + + =0(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:112)(cid:85)(cid:108)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)“ ”(cid:159)(cid:114)(cid:91)(cid:53)(cid:99) =
𝟐 2 𝟐
(cid:54) 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 ∆ ∆ 𝒃
−2.𝟒 (cid:35)𝒂𝒄(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39) (cid:36)(cid:151)(cid:9)(cid:160)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)
(cid:77)1(cid:161) > (cid:29)∆(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)∆=0⟺(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:76)
(cid:77)3(cid:161)∆<0⟺(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54)
∆ 0⟺3. (cid:162)(cid:108)
(cid:77)1(cid:161)(cid:136)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:37)(cid:163)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:35)(cid:57)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:109)(cid:157)(cid:158)(cid:115)(cid:49)(cid:36)(cid:164)(cid:46)(cid:165)(cid:166)(cid:54)
知识点4 公式法解一元二次方程
±
1. (cid:131) 0(cid:82)(cid:53)(cid:26)(cid:33) + + = 0)(cid:112)(cid:113)(cid:34)(cid:26)(cid:53)(cid:167)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:105)(cid:168)(cid:52) = (cid:36)(cid:75)(cid:39)(cid:53)(cid:110)(cid:79)(cid:39)(cid:154)
𝟐
2 −𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
(cid:61)(cid:62)(cid:29)∆(cid:30)≥(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) 𝑎𝑥+ 𝑏+𝑥 =𝑐 0(cid:36)0((cid:109)𝑎(cid:35)≠(cid:7)(cid:39)(cid:54)(cid:72)(cid:169)(cid:115)(cid:49)(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:170)(cid:109)(cid:35)(cid:7)𝒙(cid:39)(cid:53)(cid:110)(cid:111)𝟐𝒂(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)
2
(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:54) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
>0 (cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35) = ±
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
∆ 𝑥 2𝑎
=0 (cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35) = =
𝑏
∆ 𝑥1 𝑥2 −2𝑎
<0 (cid:26)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:49)(cid:35)
2. (cid:107)∆(cid:108)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:29)(cid:64)(cid:70)(cid:71)
(cid:77)1(cid:161)(cid:84)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)(cid:29)(cid:64)(cid:75)(cid:39)(cid:53)(cid:171)(cid:153)a(cid:53)b(cid:53)c(cid:36)(cid:46)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:109)(cid:125) = (cid:36)(cid:46)(cid:76)
2
∆ 𝑏 −4𝑎𝑐 ±
(cid:77)3(cid:161)(cid:172) 0(cid:53)(cid:147)(cid:72)a(cid:53)b(cid:53)c(cid:36)(cid:46)(cid:145)(cid:173)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39) = (cid:109)(cid:125)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:35)(cid:53)(cid:172) <0(cid:53)(cid:147)(cid:26)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54)
𝟐
−𝒃 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥ 𝒙 𝟐𝒂 ∆
知识点5 因式分解法解一元二次方程
1. (cid:83)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:53)(cid:174)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)(cid:78)(cid:79)(cid:29)(cid:32)(cid:39)(cid:36)(cid:175)(cid:176)(cid:138)(cid:66)0(cid:36)(cid:75)(cid:39)(cid:53)(cid:90)(cid:174)(cid:110)(cid:78)(cid:79)(cid:29)(cid:32)(cid:39)(cid:41)(cid:38)(cid:138)(cid:66)0(cid:53)(cid:177)
(cid:178)(cid:68)(cid:179)(cid:69)(cid:32)(cid:53)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:27)(cid:54)
2. (cid:180)(cid:126)(cid:108)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:27)(cid:109)(cid:28)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:75)(cid:39)
3. (cid:107)(cid:108)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:29)(cid:64)(cid:70)(cid:71)一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程
(cid:123)(cid:28) (cid:168)(cid:125)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:28)
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:55)1(cid:19)(cid:172)(cid:26)(cid:33)(x﹣4)2(cid:181)a(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:28)(cid:53)(cid:147)a(cid:36)(cid:164)(cid:46)(cid:165)(cid:166)(cid:101)( )
A(cid:54)a≤0 B(cid:54)a≥0 C(cid:54)a(cid:182)0 D(cid:54)a(cid:183)0
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)B
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:107)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:187)(cid:133)(cid:35)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:39)(cid:36)(cid:188)(cid:24)(cid:26)(cid:49)(cid:36)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:189)(cid:125)(cid:3)(cid:66)a(cid:36)(cid:136)(cid:138)(cid:39)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:187)
(cid:133)(cid:109)(cid:63)a(cid:36)(cid:164)(cid:46)(cid:165)(cid:166)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19) (cid:26)(cid:33)(x﹣4)2(cid:181)a(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:28)(cid:53)
x﹣4(cid:181)±∵a(cid:53)
∴a≥0(cid:53)
∴(cid:191)(cid:192)B(cid:54)
(cid:15)(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)--(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:109)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:36)(cid:128)(cid:21)(cid:94)(cid:10)x2=a
(cid:77)a≥0(cid:161)(cid:76)ax2=b(cid:77)a(cid:53)b(cid:117)(cid:9)(cid:198)a≠0(cid:161)(cid:76)(cid:77)x+a(cid:161)2=b(cid:77)b≥0(cid:161)(cid:76)a(cid:77)x+b(cid:161)2=c(cid:77)a(cid:53)c(cid:117)(cid:9)(cid:198)a≠0(cid:161)(cid:54)(cid:27)(cid:147)(cid:10)(cid:199)(cid:84)
(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)“(cid:92)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:88)(cid:85)(cid:49)(cid:53)(cid:83)(cid:84)(cid:115)(cid:49)(cid:73)(cid:52)1(cid:53)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:164)(cid:135)(cid:48)(cid:53)(cid:41)(cid:24)(cid:109)(cid:63)(cid:26)(cid:33)(cid:28)”(cid:54)(cid:28)(cid:184)(cid:200)(cid:20)(cid:82)(cid:53)(cid:201)(cid:107)(cid:108)(cid:132)
(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:39)(cid:94)(cid:58)(cid:59)(cid:36)(cid:202)(cid:203)(cid:110)(cid:29)(cid:96)(cid:204)(cid:193)(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)1-1(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:10)( ) =( ) (cid:54)
2 2
1 3𝑥−1 𝑥−1
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) =0(cid:53) = (cid:54)
2
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)𝑥(cid:195) 1 (cid:20)(cid:196)(cid:197)𝑥(cid:108) 2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:54)(cid:108)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:109)(cid:28)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)( ) =( ) (cid:53)
2 2
(cid:24)(cid:26)(cid:63) =±3𝑥(−1 )(cid:53) 𝑥−1
3=𝑥−1 (cid:74) 𝑥−1= +1(cid:53)
∴3𝑥−1 𝑥−1 13𝑥−1 −𝑥
=0(cid:53) = (cid:54)
2
∴(cid:15)𝑥(cid:205) 1 (cid:39)1-2 𝑥(cid:19) 2 (cid:75)(cid:56) + ) = 0)(cid:36)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:91)(cid:36)(cid:35)(cid:101)(cid:77) (cid:161)
2
A(cid:54) =± (𝑥 𝑚B(cid:54) =𝑛±(𝑛≥+ C(cid:54) =± D(cid:54) = ±
𝑥 𝑛 𝑥 𝑚 𝑛 𝑥 𝑛−𝑚 𝑥 −𝑚 𝑛(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)D
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:40)(cid:52)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:92)(cid:89)(cid:101)(cid:29)(cid:79)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:53)(cid:198)(cid:188)(cid:24)(cid:26)(cid:49)n≥0(cid:53)(cid:217)(cid:106)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:49)(cid:36)(cid:24)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:109)(cid:28)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:40)(cid:52)n≥0(cid:53)(cid:24)(cid:26)(cid:63)x(cid:218)m(cid:181)± n(cid:53)
(cid:87)(cid:86)(cid:63)(cid:10)x(cid:181)−m± n(cid:54)
(cid:191)(cid:192)D(cid:54)
(cid:15)(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:219)(cid:199)(cid:220)(cid:108)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:53)(cid:225)(cid:84)(cid:188)(cid:24)(cid:26)(cid:49)(cid:143)(cid:93)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:198)(cid:199)(cid:4)(cid:58)n(cid:52)(cid:135)(cid:49)(cid:53)(cid:106)(cid:174)(cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:28)(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)1-3(cid:19)(cid:77)2025·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)·(cid:31)(cid:230)(cid:161)(cid:231)(cid:153)(cid:59)(cid:10) = (cid:54)(cid:172)( ) 3=1(cid:53)(cid:147) (cid:36)(cid:46)(cid:52) (cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)3(cid:74) 𝑎⊗𝑏 𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗ 𝑥
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)−(cid:196)1(cid:197)(cid:132)(cid:231)(cid:153)(cid:59)(cid:220)(cid:50)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:35)(cid:57)(cid:20)(cid:58)(cid:63)(cid:80)( ) =1(cid:53)(cid:99)( ) =4(cid:53)(cid:63)(cid:80) =±2(cid:53)(cid:109)(cid:125) =3(cid:74) = (cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:63)(cid:80)(cid:184)(cid:185)(cid:54)
2 2
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 𝑥−(cid:231)1(cid:153)(cid:59)−3(cid:10) =𝑥−1 (cid:53)( ) 𝑥3−=11(cid:53) 𝑥 𝑥 −1
2
( ) ∵=1(cid:53)(cid:99)( 𝑎⊗) 𝑏=4(cid:53)𝑎 −𝑏 𝑥−1 ⊗
2 2
∴ 𝑥−1=±−32(cid:53) 𝑥−1
(cid:28)∴(cid:63)𝑥(cid:10)−1 =3(cid:74) = (cid:53)
(cid:191)(cid:184)(cid:185)𝑥(cid:52)(cid:10)3(cid:74)𝑥 (cid:54)−1
−1
【题型2 配方法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:55)2(cid:19)(cid:77)2025·(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:239)·(cid:29)(cid:230)(cid:161)(cid:240)(cid:49)(cid:11)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:36)(cid:123)(cid:173)(cid:106)(cid:23)(cid:245)(cid:36)(cid:26)(cid:39)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:246)(cid:173)(cid:48)(cid:247)
(cid:97)(cid:93)(cid:29)(cid:79)(cid:70)(cid:71)(cid:77)(cid:56)(cid:248)(cid:161)(cid:53)(cid:249)(cid:250)(cid:143)(cid:133)(cid:53)(cid:251)(cid:179)(cid:252)(cid:133)(cid:253)(cid:100)(cid:101)(cid:254)(cid:255)(cid:36)(cid:53)(cid:127)(cid:256)(cid:10)“(cid:254)(cid:255)(cid:101)(cid:177)(cid:240)(cid:257)(cid:117)(cid:11)(cid:48)(cid:247)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:258)(cid:125)
(cid:179)(cid:36)(cid:54)”(cid:147)(cid:110)(cid:257)(cid:117)(cid:11)(cid:101)(cid:77) (cid:161)
A(cid:54)(cid:259) B(cid:54)(cid:260) C(cid:54)(cid:261) D(cid:54)(cid:262)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)B
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:83)(cid:84)2 + =0(cid:263)(cid:264)(cid:87)(cid:86)(cid:53)(cid:90)(cid:84)(cid:31)(cid:32)(cid:86)(cid:115)(cid:49)(cid:73)1(cid:53)(cid:187)(cid:133)
2
(cid:34)(cid:26)(cid:53)(cid:90)(cid:28)(cid:125) (cid:36)(cid:46)(cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:144)(cid:184)(cid:54) 𝑥 4𝑥−1
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)𝑥(cid:141)(cid:20)(cid:58)(cid:53)2 + =0(cid:53)
2
(cid:87)(cid:86)(cid:63)2 + =1(cid:53) 𝑥 4𝑥−1
2
𝑥 4𝑥 1
(cid:221)(cid:265)(cid:63) + = (cid:53)
2
2
𝑥 2𝑥3
+ +1=
2
2
∴𝑥 2𝑥
3
( +1) = (cid:53)
2
2
∴ 𝑥
+1=± 3 =± 6
2 2
∴𝑥
= 6 = 6 (cid:54)
2 2
∴(cid:266)𝑥(cid:267) 1 (cid:106)(cid:268)−(cid:45)1(cid:269),𝑥2 (cid:53)(cid:63)−(cid:125)(cid:254)−(cid:255)1 (cid:101)(cid:177)(cid:260)(cid:117)(cid:11)(cid:48)(cid:247)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:258)(cid:125)(cid:179)(cid:36)(cid:53)
(cid:191)(cid:192)(cid:10)B
(cid:15)(cid:205)(cid:39)2-1(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:270)(cid:239)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33) + +3=0(cid:82)(cid:53)(cid:172)(cid:72)(cid:26)(cid:33)(cid:205)(cid:75)(cid:52)
2
( + ) = (cid:53)(cid:147) =(cid:77) (cid:161) 𝑥 8𝑥
2
𝑥 A𝑝(cid:54)9 𝑞 𝑞−𝑝 B(cid:54)17 C(cid:54)13 D(cid:54)5
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)A
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:76)
(cid:83)(cid:72)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:34)(cid:26)(cid:63)(cid:80)( +4) =13(cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:63)(cid:125)p(cid:116)q(cid:36)(cid:46)(cid:53)(cid:263)(cid:178)(cid:105)(cid:63)(cid:184)(cid:185).
2
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:26)(cid:33) +𝑥 +3=0(cid:99)(cid:52) + = (cid:53)
2 2
(cid:217)(cid:106) + +16=𝑥 8+𝑥16=13(cid:53) 𝑥 8𝑥 −3
2
(cid:99)( 𝑥+4)8𝑥=13(cid:53) −3
2
=𝑥 =13(cid:53)
∴𝑝 4=,𝑞 =9(cid:76)
(cid:191)∴𝑞(cid:192)−𝑝(cid:10)A.13−4
(cid:15)(cid:205)(cid:39)2-2(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:272)(cid:273)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:10)
(1) +12=0(cid:54)
2
(2)𝑥4 −8𝑥 +2=0(cid:76)
2
(cid:15)(cid:184)𝑥(cid:185)−(cid:19)7(𝑥1) =6(cid:53) =2(cid:54)
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝑥1(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:29)𝑥2(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:57)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:28)
(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(1) +12=0
2
+4 = 𝑥 −+84𝑥
2 2 2
𝑥( −8)𝑥 =4 −12
2
𝑥−4=±2
𝑥−4=2(cid:74) =
𝑥−4=6(cid:53)𝑥−=42(cid:54)−2
∴(cid:10)𝑥(12)4 𝑥2 +2=0(cid:53)
2
4 𝑥=−7𝑥
2
𝑥 −77𝑥
=
−1
(cid:53)
2
4 2
2
𝑥 − 𝑥 −
(cid:34)(cid:26)(cid:63) 7 + 7 7 = 1 (cid:53)
4 8 2 8 2 2
2
𝑥 − 𝑥 − −
7 49 1
=
8 2 64 2
∴ 𝑥− − −
7 17
=
8 2 64
∴ 𝑥−
7 =± 17 (cid:53)
8 8
∴𝑥−
7 17 17
x = (cid:53)x = (cid:54)
8 8
+ 7−
∴(cid:15)(cid:205) 1 (cid:39)2-3(cid:19)(cid:77)2 2 4-25(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:275)(cid:237)(cid:237)(cid:239)·(cid:271)(cid:276)(cid:161)(cid:209)(cid:277)(cid:101)(cid:243)(cid:278)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:113)(cid:33)(cid:53)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:127)(cid:97)(cid:93)(cid:137)(cid:162)
(cid:36)(cid:284)(cid:285)(cid:54)
(cid:28)(cid:10)3 + =0
2
(cid:31)(cid:32)(cid:86)𝑥(cid:115)(cid:49)1(cid:73)2𝑥(cid:52)−61(cid:53)(cid:63) + =0 ……………………(cid:286)(cid:29)(cid:70)
2
(cid:87)(cid:86)(cid:53)(cid:63) + =2(cid:54)𝑥……4…𝑥−…2…………(cid:286)(cid:31)(cid:70)
2
(cid:34)(cid:26)(cid:53)(cid:63)𝑥 +4𝑥+4=2+4(cid:53)(cid:99) +2) =6(cid:54)……………………(cid:286)(cid:119)(cid:70)
2 2
(cid:150)(cid:287)(cid:53)(cid:105)𝑥(cid:63) +4𝑥2= 6(cid:54)…………(…𝑥 ………(cid:286)(cid:123)(cid:70)
(cid:217)(cid:106)(cid:53) = 𝑥 + 6……………………(cid:286)(cid:124)(cid:70)
(cid:284)(cid:285)(cid:29)𝑥(cid:116)(cid:288)−(cid:289)2(cid:10)
“(cid:286)(cid:31)(cid:70)”(cid:205)(cid:75)(cid:36)(cid:49)(cid:11)(cid:141)(cid:57)(cid:101) (cid:76)(cid:77)(cid:108)(cid:290)(cid:157)(cid:291)(cid:292)(cid:288)(cid:289)(cid:161)
①(cid:243)(cid:278)(cid:117)(cid:11)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:167)(cid:142)(cid:286)(cid:119)(cid:70)(cid:34)(cid:26)(cid:82)(cid:108)(cid:80)(cid:36)(cid:49)(cid:11)(cid:7)(cid:39)(cid:101) (cid:76)(cid:77)(cid:108)(cid:49)(cid:11)(cid:151)(cid:9)
②(cid:291)(cid:292)(cid:288)(cid:289)(cid:161)
(cid:243)(cid:278)(cid:117)(cid:11)(cid:36)(cid:28)(cid:20)(cid:113)(cid:33)(cid:142)(cid:53)(cid:177)(cid:286) (cid:70)(cid:24)(cid:258)(cid:125)(cid:179)(cid:254)(cid:255)(cid:53)(cid:254)(cid:255)(cid:36)(cid:81)(cid:40)(cid:101) (cid:54)
③(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:116)(cid:279)(cid:293)(cid:294)(cid:220)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:10)4 =0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)(cid:284)(cid:285)(cid:29)(cid:10) (cid:138)(cid:39)(cid:36)(cid:295)(cid:195)(cid:296)(cid:297)(cid:76) +𝑥 −+12𝑥−=2 ( + ) (cid:76) (cid:123)(cid:76)(cid:140)(cid:94)(cid:135)(cid:171)(cid:220)(cid:108)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:59)
2 2 2
(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10) = 3 + ①11 (cid:53) = 3 11 ②𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 ③
2 2 2 2
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)𝑥(cid:195) 1 (cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:138)(cid:39)(cid:36)𝑥2 (cid:296)(cid:297)−(cid:53)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:53)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:58)(cid:59)(cid:53)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:138)(cid:54)(cid:284)(cid:285)(cid:29)(cid:10) (cid:107)(cid:108)(cid:138)(cid:39)(cid:36)(cid:295)(cid:195)(cid:296)(cid:297)(cid:144)(cid:184)(cid:99)(cid:105)(cid:76) (cid:107)(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:144)(cid:184)(cid:99)(cid:105)(cid:76) (cid:107)(cid:108)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:58)(cid:59)(cid:144)(cid:184)(cid:99)(cid:105)(cid:76)
(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10)①(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:54) ② ③
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:284)(cid:285)(cid:29)(cid:10) (cid:138)(cid:39)(cid:36)(cid:295)(cid:195)(cid:296)(cid:297)(cid:76)(cid:74)(cid:288) (cid:138)(cid:39)(cid:78)(cid:89)(cid:117)(cid:82)(cid:120)(cid:121)(cid:77)(cid:74)(cid:298)(cid:299)(cid:161)(cid:117)(cid:29)(cid:79)(cid:221)(cid:39)(cid:53)(cid:217)(cid:63)(cid:253)(cid:100)(cid:300)(cid:101)
(cid:138)(cid:39) ①
+ + =( + ) (cid:53)
2 2 2
②𝑎 (cid:123)(cid:53)2(cid:140)𝑎𝑏(cid:94)(cid:135)𝑏(cid:171)(cid:220)(cid:108)𝑎 (cid:25)𝑏(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:59)(cid:76)
③(cid:284)(cid:285)(cid:31)(cid:10)(cid:28)(cid:10)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:105)(cid:73)(cid:52)(cid:10)4 =0(cid:53)
2
(cid:34)(cid:26)(cid:63)(cid:10) + 3 = 1 + 9 (cid:53) 𝑥 − (cid:99) 1 2𝑥−23 = 11 (cid:53)
2 2 2 4 2 2 4
2
𝑥 −3𝑥 𝑥−
3 =± 11 (cid:53)
2 4
∴𝑥−
= 3 + 11 (cid:74) = 3 11 (cid:54)
2 2 2 2
∴𝑥1 𝑥2 −
【题型3 根的判别式】
(cid:15)(cid:55)3(cid:19)(cid:77)2025·(cid:275)(cid:273)(cid:301)(cid:302)·(cid:230)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:161)(cid:306)(cid:96)(cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) ( + ) + =0(cid:53)(cid:167)(cid:142) (cid:307)(cid:49)(cid:308)(cid:121)
2
(cid:36)(cid:45)(cid:162)(cid:193)(cid:56)(cid:248)(cid:217)(cid:114)(cid:53)(cid:147)(cid:110)(cid:79)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:101)(cid:77)𝑥 (cid:161) 𝑥 − 𝑚 𝑛 𝑥 𝑚𝑛 𝑚,𝑛
A(cid:54)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35) B(cid:54)(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)
C(cid:54)(cid:78)(cid:35)(cid:309)(cid:310)(cid:243)(cid:66)0 D(cid:54)(cid:78)(cid:35)(cid:309)(cid:176)(cid:311)(cid:66)0
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)C
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:53)(cid:35)(cid:160)(cid:115)(cid:49)(cid:36)(cid:3)(cid:115)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:101)(cid:28)(cid:152)
(cid:287)(cid:128)(cid:312)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)(cid:35)(cid:57)(cid:49)(cid:308)(cid:121)(cid:159)(cid:114)(cid:36)(cid:193)(cid:36)(cid:46)(cid:310)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39) =( + ) (cid:53)(cid:37)(cid:153)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)
2
(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)(cid:253)(cid:126) + = + <0(cid:53) = <0(cid:105)(cid:63)(cid:184)Δ(cid:185)(cid:54)𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)𝑥(cid:150)1(cid:49)(cid:308)𝑥2(cid:143)(cid:125)𝑚 <𝑛0(cid:53) >𝑥10𝑥(cid:53)2| 𝑚|>𝑛| |(cid:53)
( + ) + =0(cid:101)𝑚(cid:3)(cid:66)x𝑛(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝑚(cid:32)(cid:26)(cid:33)𝑛(cid:53)
2
∵𝑥 =−(𝑚 +𝑛)𝑥 𝑚𝑛(cid:53) + = + <0(cid:53) = <0(cid:53)
2
∴Δ <0𝑚(cid:53) 𝑛>0−(cid:53)4𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑛 𝑥1𝑥2 𝑚𝑛
∵𝑚 >𝑛0
∴−4=𝑚(𝑛 + ) >0(cid:53)
2
∴(cid:81)Δ (cid:26)(cid:33)𝑚(cid:94)(cid:78)𝑛(cid:79)−(cid:136)4(cid:137)𝑚𝑛(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54)
∴A(cid:53)B(cid:53)D(cid:136)(cid:151)(cid:126)(cid:20)(cid:58)(cid:53)C(cid:151)(cid:126)(cid:20)(cid:58)
∴(cid:191)(cid:192)(cid:10)C(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)3-1(cid:19)(cid:172)(cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:26)(cid:33)3 + =0(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)(cid:147) (cid:36)(cid:164)(cid:46)(cid:165)(cid:166)(cid:101)(cid:77) (cid:161)
2
A(cid:54) > 25 𝑥 B(cid:54) < 𝑥2−55𝑥 𝑎 C(cid:54) 25 𝑎 D(cid:54) 25
12 12 12 12
𝑎 𝑎 𝑎≤ 𝑎≥
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)A
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:36)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:54)(cid:35)(cid:57)(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:63)(cid:80) =( ) × <0(cid:53)(cid:28)(cid:136)(cid:138)(cid:39)(cid:99)
2
(cid:105)(cid:54) Δ −5 −4 3𝑎
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:26)(cid:33)3 + =0(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)
2
=( ) ∵× 𝑥<0(cid:53) 𝑥 −5𝑥 𝑎
2
∴Δ −525 −4 3𝑎
(cid:28)(cid:63) > (cid:53)
12
(cid:191)(cid:192)𝑎(cid:10)A
(cid:15)(cid:205)(cid:39)3-2(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:313)(cid:314)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:306)(cid:96)(cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) +( +1) + =0(cid:54)
2
(1)(cid:109)(cid:315)(cid:10)(cid:67)(cid:316) (cid:164)(cid:317)(cid:46)(cid:53)(cid:287)(cid:26)(cid:33)(cid:318)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)𝑥(cid:54) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚
(2)(cid:131)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:29)(cid:79)𝑚(cid:35)(cid:101)1(cid:82)(cid:53)(cid:109) (cid:36)(cid:46)(cid:54)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)(1)(cid:315)(cid:278)(cid:319)(cid:28)(cid:186) 𝑚
2
(2) =
3
𝑚 −
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:107)(cid:108)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:37)(cid:163)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:26)(cid:33)(cid:28)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:77)1(cid:161)(cid:107)(cid:108)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:37)(cid:153)(cid:99)(cid:105)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:72) =1(cid:145)(cid:170) +( +1) + =0(cid:53)(cid:109)(cid:28)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
2
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)𝑥(cid:77)1(cid:161)(cid:28)(cid:10)𝑥 =2(𝑚 +1𝑥) 𝑚
2
=4 + + ∵Δ 2𝑚 −4𝑚
2
=4𝑚 +41𝑚>0(cid:53)1−4𝑚
2
(cid:67)(cid:316)𝑚 (cid:164)(cid:317)(cid:46)(cid:53)(cid:287)(cid:26)(cid:33)(cid:318)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:76)
(cid:77)∴ 2(cid:161)(cid:28)𝑚(cid:10)(cid:72) =1(cid:145)(cid:170) +( +1) + =0(cid:53)
2
(cid:63)1 +( +𝑥1)+ =𝑥0(cid:53) 2𝑚 𝑥 𝑚
2
2𝑚 2 𝑚
(cid:28)(cid:63)(cid:10) = (cid:54)
3
(cid:15)(cid:205)(cid:39)𝑚 3-3(cid:19)−(cid:77)2025·(cid:275)(cid:237)(cid:320)(cid:144)·(cid:31)(cid:230)(cid:161)(cid:153)(cid:59)(cid:220)(cid:50)(cid:10) ※ = + (cid:53)(cid:55)(cid:56)4※3=4 +4× ×3 (cid:53)(cid:147)
2 2 2 2
(cid:136)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:37)(cid:163)(cid:26)(cid:33)( +1)※2=0(cid:36)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:101)𝑎 𝑏 (cid:54)𝑎 𝑎𝑏−2𝑏 3−2
𝑥(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:138)(cid:68)(cid:49)(cid:35)
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:231)(cid:153)(cid:59)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:265)(cid:28)(cid:231)(cid:153)(cid:59)(cid:36)(cid:220)(cid:50)(cid:53)(cid:63)(cid:125)(cid:26)(cid:33)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:83)(cid:107)(cid:108)(cid:231)(cid:153)(cid:59)(cid:63)(cid:80)( +1) +2( +1) ×2 =0(cid:53)(cid:90)(cid:84)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)(cid:29)(cid:64)(cid:39)(cid:53)(cid:263)(cid:178)(cid:37)(cid:163)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:36)(cid:151)(cid:9)(cid:53)(cid:109)(cid:28)(cid:99)
2 2
(cid:105)(cid:54) 𝑥 𝑥 −2
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) ( +1)※2=0(cid:53)
( +1) +2∵( 𝑥+1) ×2 =0(cid:53)
2 2
(cid:99)∴ 𝑥 + =𝑥0(cid:53) −2
2
𝑥= 4𝑥=−5 =
∵𝑎 =1,𝑏 4,𝑐=1−65+20=36>0
2
∴(cid:26)Δ (cid:33)𝑏( −+41𝑎)𝑐※2=0(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:138)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)
∴(cid:191)(cid:184)(cid:185)𝑥(cid:52)(cid:10)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:138)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54)
【题型4 公式法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:55)4(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:272)(cid:273)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:307)(cid:108)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:109)(cid:240)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:35)(cid:82)(cid:53)(cid:63)(cid:80) =
5± ( ) ×2×( ) 𝑥
(cid:53)(cid:147)(cid:200)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:105)(cid:321)(cid:52)(cid:77) (cid:161)
22×2
−5 −4 −1
A(cid:54)2 + =0 B(cid:54)2 =0
2 2
C(cid:54) 𝑥 5𝑥−+1 1=0 D(cid:54)5𝑥 −5𝑥−1 =0
2 2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)−2B𝑥 −5𝑥 𝑥 −2𝑥−1
±
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:53)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:35)(cid:57)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39) = (cid:53)(cid:45)(cid:269)(cid:306)(cid:96)(cid:39)(cid:154)
2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐
(cid:171)(cid:153)a(cid:53)b(cid:53) (cid:36)(cid:46)(cid:54) 𝑥 2𝑎
𝑐 5± ×2×
(cid:112)(cid:113)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39) = (cid:53)(cid:41)(cid:186)(cid:125)a(cid:53)b(cid:53) (cid:54)
22×2
(−5) −4 (−1)
𝑥 𝑐
± 5± ×2×
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:52) = (cid:53)(cid:306)(cid:96) = (cid:53)
2 22×2
−𝑏 𝑏 −4𝑎𝑐 (−5) −4 (−1)
(cid:150) =2×2(cid:53)(cid:105)(cid:63) =2(cid:53) 𝑥 2𝑎 𝑥
(cid:150)2𝑎 =5(cid:53)(cid:105)(cid:63) =𝑎 (cid:53)
(cid:150)−𝑏 =4×2×𝑏 −(cid:53)5(cid:105)(cid:63) = (cid:53)
(cid:72)4𝑎=𝑐 2(cid:53) = ((cid:53)−1)= (cid:145)𝑐(cid:170)(cid:29)−(cid:30)1(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) + + =0(cid:53)
2
(cid:63)𝑎(cid:80)2 𝑏 −5=0𝑐(cid:53)(cid:45)−(cid:162)1(cid:192)(cid:86)B(cid:54) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
(cid:191)(cid:192)(cid:10)𝑥B−(cid:54)5𝑥−1(cid:15)(cid:205)(cid:39)4-1(cid:19)(cid:77)23-24(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:98)(cid:322)·(cid:323)(cid:133)(cid:144)(cid:324)(cid:161)(cid:108)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:10)( )( )=0(cid:54)
𝑥−2 3𝑥−5
(cid:28)(cid:10)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)3 +10=0(cid:54)
2
= = 𝑥(cid:53)−11=𝑥10(cid:54)
𝑎 =3,𝑏 = 𝑐 ×3×10=1>0(cid:54)
2
Δ(cid:26)(cid:33)𝑏 − 4 𝑎𝑐 (cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:54) −4
= = (cid:53)
𝑥 5
(cid:99) = (cid:53) = (cid:54)
3
𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) (cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36) ( )± 1 11±1 2
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:35)(cid:57)(cid:7)−(cid:39)11(cid:27)(cid:28)(cid:29)((cid:30)−(cid:31)11(cid:32)) (cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:109)(cid:28)(cid:99)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)3 +10=0(cid:54)
2
=3(cid:53) = (cid:53) =10𝑥(cid:54)−11𝑥
𝑎 = 𝑏 −=11 ( 𝑐 ) ×3×10=1>0(cid:54)
2 2
Δ(cid:26)(cid:33)𝑏(cid:94)−(cid:78)4(cid:79)𝑎𝑐(cid:136)(cid:137)(cid:138)−(cid:36)11(cid:68)(cid:49)−4(cid:35)(cid:54)
= ( )± 1 = 11±1 (cid:53)
2×3 6
− −11
𝑥
5
(cid:99) =2(cid:53) = (cid:54)
3
𝑥1 𝑥2
( )± 1 11±1
(cid:191)(cid:184)(cid:185)(cid:52)(cid:10) (cid:76) (cid:76)(cid:94)(cid:78)(cid:79)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:76) (cid:76) (cid:76)2(cid:54)
2×3 6
2 − −11
(cid:15)(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)−(cid:20)1(cid:196)1(cid:197)((cid:7)−(cid:39)11(cid:27)) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:70)(cid:71)(cid:101)(cid:28)(cid:184)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)4-2(cid:19)(cid:77)23-24(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:98)(cid:322)·(cid:323)(cid:133)(cid:144)(cid:324)(cid:161)(cid:306)(cid:96) = (cid:77) 0(cid:161)(cid:53)(cid:147)(cid:39)(cid:154) + + (cid:36)(cid:46)
22
−𝑏+ 𝑏 −4𝑐 2 2
(cid:101) (cid:54) 𝑥 𝑏 −4𝑐≥ 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)0
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:53)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:232)(cid:215)(cid:220)(cid:108)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:53)(cid:195)(cid:20)(cid:325)(cid:66)(cid:295)(cid:326)(cid:20)(cid:21)(cid:53)(cid:35)(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:99)(cid:105)(cid:109)(cid:125)(cid:184)(cid:185)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:150)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:109)(cid:35)(cid:7)(cid:39)(cid:105)(cid:96)(cid:10) + + =0(cid:36)(cid:167)(cid:142)(cid:29)(cid:79)(cid:28)(cid:52) = (cid:53)
22
2 −𝑏+ 𝑏 −4𝑐
(cid:191)(cid:184)(cid:185)(cid:52)(cid:10)0(cid:54) 𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑥
(cid:15)(cid:205)(cid:39)4-3(cid:19)(cid:108)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:10)
(1) = (cid:76)
2
(2)−23𝑥 1−𝑥=0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184) 𝑥 (cid:185) − (cid:19) 4 ( 𝑥 1 − ) 3 =3 13, = 13
2 2
+ 3−
𝑥1 𝑥2
(2) =2 10, = 10
2 2
+ 2−
(cid:15)(cid:41)𝑥1 (cid:186)(cid:19)(cid:77)1(cid:161)𝑥2
(cid:83)(cid:50)(cid:125) = =13(cid:53)(cid:90)(cid:145)(cid:170)(cid:7)(cid:39)(cid:263)(cid:264)(cid:327)(cid:50)(cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:63)(cid:80)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
2
(cid:77)2(cid:161)(cid:83)(cid:50)(cid:125) = Δ =𝑏4−0(cid:53)4𝑎(cid:90)𝑐 (cid:145)(cid:170)(cid:7)(cid:39)(cid:263)(cid:264)(cid:327)(cid:50)(cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:63)(cid:80)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
2
(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:7)Δ(cid:39)(cid:27)𝑏(cid:28)−(cid:29)4𝑎(cid:30)𝑐(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:135)(cid:171)(cid:233)(cid:234)(cid:137)(cid:3)(cid:296)(cid:297)(cid:328)(cid:329)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:77)1(cid:161)(cid:28)(cid:10) = (cid:53)
2
=0(cid:53) ∵−3𝑥 1−𝑥
2
∴𝑥 =−3𝑥−1 = ×1×( )=13(cid:53)
2
∴Δ =3±𝑏 1−34
=
𝑎𝑐3± 193−
(cid:53)
4 −1
2×1 2
∴𝑥
=3 13, = 13 (cid:76)
2 2
+ 3−
(cid:77)∴𝑥 2 1 (cid:161)(cid:28)(cid:10) 2 𝑥2 =0(cid:53)
2
= ∵ 𝑥 =−4𝑥−3 ×2×( )=40(cid:53)
2
∴Δ =4±𝑏 4−04
=
𝑎𝑐2± 1106
(cid:53)
−4 −3
2×2 2
∴𝑥
=2 10, = 10
2 2
+ 2−
∴𝑥1 𝑥2
【题型5 因式分解法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:55)5(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:330)(cid:245)(cid:314)(cid:331)(cid:332)(cid:333)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:172)(cid:26)(cid:33) +12=0(cid:36)(cid:78)(cid:79)(cid:35)(cid:334)(cid:335)(cid:101)(cid:138)(cid:336) (cid:36)(cid:78)(cid:202)
2
(cid:89)(cid:337)(cid:53)(cid:147) (cid:36)(cid:338)(cid:337)(cid:52)(cid:77) (cid:161)(cid:54) 𝑥 −8𝑥 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:54)10△𝐴𝐵𝐶 B(cid:54)14 C(cid:54)10(cid:74)14 D(cid:54)8(cid:74)10
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)B
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得 =2， =6，然后根
𝑥1 𝑥2据三角形三边的关系得到 的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长，进行分类讨论是解题的关键(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) +12△=𝐴0𝐵，𝐶
2
解得 =2，𝑥 −=86𝑥，
因为这𝑥1个方程𝑥的2两个根恰好是等腰 的两条边长，
当 的腰为6，底边为2，则△𝐴𝐵𝐶 的周长为6+6+2=14；
①当△𝐴𝐵𝐶的腰为2，底边为6时，△不能𝐴𝐵构𝐶成三角形．
②综上所△述𝐴，𝐵𝐶该三角形的周长的14．
故选：B．
(cid:15)(cid:205)(cid:39)5-1(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:313)(cid:314)(cid:339)(cid:340)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:28)(cid:26)(cid:33)
(1) =0
2
(2)𝑥 −4𝑥−=5
2
(cid:15)(cid:184)(𝑥(cid:185)−4(cid:19))(1) 10=(𝑥5−(cid:53)4) = (cid:53)
(2) =4(cid:53)𝑥1=14 𝑥2 −1
(cid:15)(cid:41)𝑥1(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)𝑥2(cid:196)(cid:197)(cid:36)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:76)(cid:233)(cid:234)(cid:7)(cid:39)(cid:27)(cid:160)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:101)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:77)1(cid:161)(cid:107)(cid:108)(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:41)(cid:28)(cid:40)(cid:39)(cid:52)( )[( ) ]=0(cid:53)(cid:90)(cid:73)(cid:52)(cid:78)(cid:79)(cid:29)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:77)1(cid:161)(cid:28)(cid:10)𝑥−(4 )𝑥(−4+−1)10=0(cid:53)
(cid:28)(cid:63)(cid:10) =5(cid:53) =𝑥−5(cid:76)𝑥
(cid:77)2(cid:161)(cid:28)𝑥(cid:10)1 (cid:221)(cid:265)(cid:53)𝑥2(cid:63)(cid:10)−(1 ) ( )=0(cid:53)
2
(cid:40)(cid:39)(cid:41)(cid:28)(cid:53)(cid:63)(cid:10)( )[𝑥(−4 )−10]𝑥=−40(cid:53)
(cid:99)(cid:10) =0(cid:74) 𝑥−4=0𝑥(cid:53)−4 −10
(cid:28)(cid:63)𝑥(cid:10)−4 =4(cid:53)𝑥−1=414(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)𝑥51-2(cid:19)(cid:77)2𝑥0225·(cid:226)(cid:227)(cid:226)(cid:341)·(cid:29)(cid:230)(cid:161)(cid:35)(cid:57)(cid:56)(cid:248)(cid:217)(cid:114)(cid:36)(cid:33)(cid:342)(cid:327)(cid:50)(cid:343)(cid:49) (cid:36)(cid:46)(cid:54)(cid:172)(cid:344)(cid:170) (cid:36)(cid:46)(cid:52)4(cid:53)(cid:147)(cid:344)(cid:125) (cid:36)(cid:46)
(cid:52)7(cid:54)(cid:172)(cid:344)(cid:125)(cid:36) (cid:46)(cid:52)13(cid:53)(cid:147)(cid:344)(cid:170)(cid:36) (cid:46)(cid:52) (cid:54) 𝑦 𝑥 𝑦
𝑦 𝑥
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) (cid:74)7/7(cid:74)
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)−(cid:195)3(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:343)−(cid:49)3(cid:46)(cid:116)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:83)(cid:35)(cid:57)(cid:306)(cid:96)(cid:109)(cid:63)b(cid:46)(cid:53)(cid:90)(cid:150) =13(cid:41)(cid:38)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:109)(cid:63)x(cid:46)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
𝑦(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:344)(cid:170) (cid:36)(cid:46)(cid:52)4(cid:53)(cid:147)(cid:344)(cid:125) (cid:36)(cid:46)(cid:52)7(cid:53)(cid:198)4>3(cid:53)
2×4+ =7∵(cid:53)(cid:28)(cid:63)𝑥 = (cid:53) 𝑦
∴(cid:172)(cid:344)(cid:125)(cid:36)𝑏(cid:46)(cid:52)13(cid:53) 𝑏 −1
(cid:147)(cid:131) >3𝑦(cid:82)(cid:53)(cid:150) =13(cid:63) =7(cid:76)
(cid:131) <𝑥 3(cid:82)(cid:53)(cid:150) 2𝑥−+11=13(cid:63)𝑥 = (cid:53) =4(cid:77)(cid:345)(cid:299)(cid:161)(cid:53)
2
(cid:346)𝑥(cid:121)(cid:53)(cid:172)(cid:344)(cid:125)(cid:36)𝑥 −(cid:46)𝑥(cid:52)13(cid:53)(cid:147)(cid:344)(cid:170)𝑥1(cid:36)x−(cid:46)3 (cid:52)𝑥2 (cid:74)7(cid:53)
(cid:191)(cid:184)(cid:185)(cid:52)(cid:10) (cid:74)𝑦7(cid:54) −3
(cid:15)(cid:205)(cid:39)5-3(cid:19)−(cid:77)32025·(cid:314)(cid:347)(cid:85)(cid:341)·(cid:29)(cid:230)(cid:161)(cid:172) =20(cid:53) =24(cid:53)(cid:147) (cid:36)(cid:46)(cid:101)(cid:77) (cid:161)
2 2
A(cid:54)±8 B(cid:54)±12 𝑎 −𝑏C(cid:54)±14𝑎𝑏 2𝑎D−(cid:54)𝑏±16
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)A
24 24
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:35)(cid:57) =24(cid:63)(cid:80) = (cid:198)a(cid:53)b(cid:117)(cid:9)(cid:53)(cid:253)(cid:126) =20(cid:63)(cid:80) =20(cid:53)(cid:221)(cid:265)(cid:133)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
2
2 2 2
(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:47)𝑎(cid:48)𝑏(cid:296)(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:33)𝑎(cid:53)(cid:109)𝑏(cid:145)(cid:49)(cid:39)(cid:36)(cid:46)(cid:53)(cid:232)(cid:215)(cid:233)𝑎(cid:234)−(cid:28)𝑏(cid:26)(cid:33)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)𝑏(cid:3)−(cid:235)𝑏(cid:54)
24
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:150) =24(cid:63)(cid:80) = (cid:198)a(cid:53)b(cid:117)(cid:9)(cid:53)
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
=20
2 2
∵𝑎24−𝑏
=20
2
2
∴( 𝑏 ) −+𝑏20 24 =0(cid:53)
2 2 2 2
∴(𝑏 +36)(𝑏 − )=0(cid:53)
2 2
∴(cid:348)𝑏 +36 𝑏36−(cid:53)16
2
𝑏 =≥0(cid:53)
2
∴(cid:28)𝑏(cid:63)−1=6±4(cid:53)
𝑏=6 =
(cid:191) (cid:74) (cid:53)
=4 =
𝑎 𝑎 −6
(cid:131) 𝑏= =4𝑏(cid:82)(cid:53)−4 =8(cid:76)
(cid:131)𝑎=6,𝑏 = (cid:82)2(cid:53)𝑎−𝑏 = (cid:76)
(cid:191)𝑎(cid:192)(cid:10)−A6(cid:54),𝑏 −4 2𝑎−𝑏 −8
【题型6 换元法解一元二次方程】
(cid:15)(cid:55)6(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:229)(cid:227)(cid:349)(cid:350)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:306)(cid:96)(cid:68)(cid:49) (cid:351)(cid:352)(cid:26)(cid:33)( + )( )+6=0(cid:53)(cid:147) + (cid:36)(cid:46)
2 2 2
(cid:101) (cid:54) 𝑥 𝑥 𝑥 1−𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)3
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:353) = + (cid:53)(cid:147)(cid:81)(cid:39)(cid:52) ( )+6=0(cid:53)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:28)(cid:184)(cid:53)(cid:4)(cid:58)(cid:26)(cid:33)
2
(cid:67)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:36)(cid:148)(cid:149)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54) 𝑡 𝑥 𝑥 𝑡 1−𝑡
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:353) = + (cid:53)
2
(cid:147)(cid:81)(cid:39)(cid:52) ( )𝑡+6𝑥=0(cid:53)𝑥
(cid:28)(cid:63) =𝑡3,1−=𝑡 (cid:53)
(cid:131) 𝑡+1 =3𝑡2(cid:82)(cid:53)−2=1 +4×1×3=13>0(cid:53)(cid:26)(cid:33)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)
2 2
(cid:131)𝑥 +𝑥= (cid:82)(cid:53)Δ =1 ×1×2= <0(cid:53)(cid:26)(cid:33)(cid:140)(cid:94)(cid:68)(cid:49)(cid:35)(cid:53)
2 2
𝑥 +𝑥 =−3(cid:53)2 Δ −4 −7
2
(cid:191)∴(cid:184)𝑥 (cid:185)(cid:52)𝑥 (cid:10)3(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)6-1(cid:19)(cid:77)24-25(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:210)(cid:211)(cid:270)(cid:239)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:306)(cid:96)(cid:68)(cid:49)x(cid:351)(cid:352)( + ) ( + ) =0(cid:53)(cid:147)(cid:145)
2 2 2 2 2
(cid:49)(cid:39) + +1(cid:36)(cid:46)(cid:101)(cid:77) (cid:161) 𝑎 𝑏 −4 𝑎 𝑏 −12
2 2
A𝑎(cid:54)7 𝑏 B(cid:54) C(cid:54)7(cid:74) D(cid:54) (cid:74)3
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)A −1 −1 −5
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:42)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:145)(cid:49)(cid:39)(cid:109)(cid:46)(cid:54)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:42)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:145)(cid:49)(cid:39)(cid:109)(cid:46)
(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:354) + = (cid:53) >0(cid:53)(cid:147) =0(cid:53)(cid:105)(cid:109)(cid:351)(cid:352)(cid:199)(cid:109)(cid:28)(cid:52) =6(cid:53)(cid:187)(cid:133)(cid:145)(cid:46)(cid:109)(cid:28)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
2 2 2
(cid:15)𝑎(cid:190)(cid:28)(cid:19)𝑏(cid:28)(cid:10)𝑥(cid:354)𝑥 + =𝑥(cid:53)−4𝑥>−01(cid:53)2 𝑥
2 2
=0𝑎(cid:53) 𝑏 𝑥 𝑥
2
∴(𝑥+−24)𝑥(−12)=0(cid:53)
(cid:28)𝑥(cid:63)(cid:53) 𝑥=−6 (cid:77)(cid:345)(cid:299)(cid:161)(cid:74) =6(cid:53)
+ 𝑥 +−12=6+1=7(cid:53)𝑥
2 2
∴(cid:191)𝑎(cid:192)(cid:10)𝑏A(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)6-2(cid:19)(cid:77)24-25(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:210)(cid:355)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:26)(cid:33) ( + ) +2025=0(cid:36)(cid:28)(cid:101) = (cid:53) =2
2
(cid:77) (cid:116) (cid:116) (cid:356)(cid:52)(cid:85)(cid:49)(cid:53) 0(cid:161)(cid:54) 𝑥 𝑎 𝑥 𝑘 𝑥1 −3 𝑥2
(cid:312)𝑎(cid:20)(cid:10)𝑘 𝑏 𝑎≠
(cid:77)1(cid:161)(cid:3)(cid:66) (cid:36)(cid:26)(cid:33) ( +1+ ) +2025=0(cid:36)(cid:35)(cid:101) (cid:76)
2
(cid:77)2(cid:161)(cid:3)(cid:66)𝑥(cid:36)(cid:26)(cid:33)𝑎(𝑥 +4𝑘) +2025=0(cid:36)(cid:35)(cid:52) (cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) 𝑥 =𝑎 𝑥−(cid:53)𝑘 =1 = (cid:53) =
𝑥1 −4 𝑥2 𝑥1 −1 𝑥2 −6(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:220)(cid:108)(cid:42)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:77)1(cid:161)(cid:72) +1(cid:143)(cid:144)(cid:221)(cid:222)(cid:53)(cid:150)(cid:20)(cid:58)(cid:105)(cid:96) +1= (cid:53) +1=2(cid:90)(cid:109)(cid:28)(cid:99)(cid:105)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:357)𝑥(cid:358)(cid:77)1(cid:161)(cid:327)(cid:50)(cid:99)(cid:105)(cid:54) 𝑥 −3 𝑥
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:77)1(cid:161) (cid:26)(cid:33) ( + ) +2025=0(cid:36)(cid:28)(cid:101) = (cid:53) =2(cid:53)
2
(cid:354) = +1(cid:53)(cid:147) (∵+1𝑎+𝑥) +𝑘2025=0(cid:105)(cid:73)(cid:52) ( +𝑥1 ) −+3202𝑥52=0(cid:53)
2 2
∴ 𝑐= 𝑥(cid:53) =2𝑎(cid:53)𝑥 𝑘 𝑎 𝑐 𝑘
∴𝑐1+1−=3 𝑐(cid:53) 2 +1=2(cid:53)
∴(cid:28)𝑥(cid:63)(cid:10) −=3 𝑥(cid:53) =1(cid:54)
(cid:191)(cid:184)(cid:185)𝑥(cid:52)1(cid:10) −4= 𝑥2(cid:53) =1(cid:54)
(cid:77)2(cid:161)(cid:354) +𝑥41= −4(cid:53)(cid:147)𝑥2( +4) +2025=0(cid:105)(cid:73)(cid:52) ( ) +2025=0(cid:53)
2 2
(cid:99) ( +𝑥) +202−5𝑡=0(cid:53)𝑎 𝑥−𝑘 𝑎 −𝑡−𝑘
2
(cid:3)𝑎(cid:66)𝑡 x(cid:36)𝑘 (cid:26)(cid:33) ( + ) +2025=0(cid:36)(cid:28)(cid:101) = (cid:53) =2(cid:53)
2
∵ = (cid:53) =𝑎2𝑥(cid:53)(cid:99)𝑘 = = (cid:53)𝑥1 −3 𝑥2
∴𝑡1+4−=3 𝑡2+4= −(cid:53)𝑡1 3,−𝑡2 −2
∴(cid:28)𝑥(cid:63)(cid:10) 3=,𝑥 (cid:53) −=2 (cid:54)
(cid:191)(cid:184)(cid:185)𝑥(cid:52)1(cid:10) −1= 𝑥2(cid:53) −6= (cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)6-3(cid:19)𝑥1(cid:77)24−-215(cid:206)𝑥2(cid:207)(cid:208)−(cid:209)6·(cid:210)(cid:211)(cid:126)(cid:359)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:282)(cid:283)(cid:160)(cid:223)(cid:196)(cid:10)
(cid:209)(cid:277)(cid:101)(cid:206)(cid:77)1(cid:161)(cid:360)(cid:11)(cid:216)(cid:243)(cid:244)(cid:361)(cid:362)(cid:296)(cid:11)(cid:216)(cid:363)(cid:364)(cid:36)(cid:365)(cid:41)(cid:328)(cid:329)(cid:53)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:127)(cid:97)(cid:93)(cid:137)(cid:162)(cid:284)(cid:285)(cid:54)(cid:361)(cid:362)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)
(cid:231)(cid:28)(cid:27)(cid:366)(cid:316)(cid:29)(cid:111)(cid:3)(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:231)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:29)(cid:367)(cid:299)(cid:95)(cid:96)(cid:49)(cid:36)(cid:29)(cid:32)(cid:86)(cid:53)(cid:72)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:368)(cid:73)(cid:52)(cid:105)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:36)(cid:75)(cid:39)(cid:53)
(cid:72)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:53)(cid:177)(cid:178)(cid:263)(cid:29)(cid:70)(cid:109)(cid:63)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:54)
(cid:15)(cid:55)(cid:56)(cid:19)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) =0(cid:53)
2
(cid:354) = + (cid:77)m(cid:52)(cid:85)(cid:49)(cid:161)𝑥(cid:53)−4𝑥−6
(cid:72)𝑥(cid:81)(cid:26)𝑦(cid:33)(cid:73)𝑚(cid:52)( + ) ( + ) =0(cid:53)
2
(cid:26)(cid:33) (cid:221)(cid:265)(cid:53)(cid:63)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:53)
2 2
(cid:353) ① =0(cid:53)(cid:28)𝑦(cid:63) =2𝑚2(cid:54)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:131)2𝑚=−42(cid:82)(cid:53) 𝑚 =2 × = (cid:53)
2 2
𝑚(cid:26)(cid:33) (cid:73)(cid:52)𝑚 −4𝑚−=60(cid:53)(cid:28)−(cid:63)4 =2−610(cid:53)−10= 10(cid:53)
2
∴ =② + 𝑦=−__1_0________(cid:53)𝑦1= + 𝑦=2 ___−________(cid:54)
(cid:284)∴(cid:285)𝑥1(cid:10) 𝑦1 𝑚 𝑥2 𝑦2 𝑚(1)(cid:22)(cid:23)(cid:168)(cid:125)(cid:369)(cid:370)(cid:142)“ ”(cid:365)(cid:41)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28) =___________(cid:53) =___________(cid:54)
(2)(cid:371)(cid:358)(cid:369)(cid:370)(cid:142)“(cid:55)(cid:56)”(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑥1(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)3 + 𝑥+2 1=0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)(1) 10+2(cid:53) 10+2(cid:76) 𝑥 12𝑥
(2) = 33 (cid:53) = − 33
3 3
(cid:15)(cid:41)𝑥1 (cid:186)(cid:19)(cid:195)−(cid:20)2(cid:196)(cid:197)𝑥2 (cid:29)(cid:30)−(cid:31)(cid:32)−(cid:26)2(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:27)(cid:53)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:265)(cid:28)(cid:20)(cid:58)(cid:53)(cid:372)(cid:373)(cid:220)(cid:108)(cid:217)(cid:11)(cid:96)(cid:204)(cid:28)(cid:152)(cid:312)(cid:20)(cid:53)
(cid:77)1(cid:161)(cid:35)(cid:57)(cid:369)(cid:370)(cid:142)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:109)(cid:125)(cid:28)(cid:99)(cid:105)(cid:76)
(cid:77)2(cid:161)(cid:354) = + (cid:77)m(cid:52)(cid:85)(cid:49)(cid:161)(cid:53)(cid:72)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) + + + + 1 =0(cid:53)(cid:26)(cid:33)(cid:221)(cid:265)(cid:53)(cid:63) + + +
3
2 2
𝑥 𝑦 𝑚 (𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) 𝑦 (2𝑚 4)𝑦
+ + 1 =0(cid:53)(cid:353) +4=0(cid:28)(cid:63) = (cid:53)(cid:131) = (cid:82)(cid:53) + + 1 = 11 (cid:53)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) 11 =0(cid:53)(cid:28)
3 3 3 3
2 2 2
𝑚 4𝑚 2𝑚 𝑚 −2 𝑚 −2 𝑚 4𝑚 − 𝑦 −
33 33
(cid:63) = (cid:53), = (cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:109)(cid:125)(cid:184)(cid:185)(cid:54)
3 3
(cid:15)𝑦(cid:190) 1 (cid:28)(cid:19)(cid:77)1(cid:161)𝑦2 (cid:28)(cid:10)−(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33) =0(cid:53)
2
(cid:354) = + (cid:77)m(cid:52)(cid:85)(cid:49)(cid:161)(cid:53) 𝑥 −4𝑥−6
(cid:72)𝑥(cid:81)(cid:26)𝑦(cid:33)(cid:73)𝑚(cid:52)( + ) ( + ) =0(cid:53)
2
(cid:26)(cid:33) (cid:221)(cid:265)(cid:53)(cid:63)𝑦 𝑚+(−4 𝑦 ) 𝑚+−6 ①=0(cid:53)
2 2
(cid:353) ① =0(cid:53)(cid:28)𝑦(cid:63) =2𝑚2(cid:54)−4 𝑦 𝑚 −4𝑚−6 ②
(cid:131)2𝑚=−42(cid:82)(cid:53) 𝑚 =2 × = (cid:53)
2 2
𝑚(cid:26)(cid:33) (cid:73)(cid:52)𝑚 −4𝑚−=60(cid:53)(cid:28)−(cid:63)4 =2−610(cid:53)−10= 10(cid:53)
2
∴ =② + 𝑦=−1010+2(cid:53) =𝑦1 + = 𝑦210+−2
(cid:191)∴(cid:184)𝑥(cid:185)1 (cid:52)𝑦(cid:10)1 1𝑚0+2(cid:53) 10+𝑥22(cid:76)𝑦2 𝑚 −
(cid:77)2(cid:161)(cid:354) = + (cid:77)m−(cid:52)(cid:85)(cid:49)(cid:161)(cid:53)
(cid:72)(cid:81)(cid:26)(cid:33) 𝑥 (cid:73)(cid:52) 𝑦 𝑚 + + + + 1 =0
3
2
(𝑦 𝑚) 4(𝑦 𝑚) ①
(cid:26)(cid:33) (cid:221)(cid:265)(cid:53)(cid:63)
+
①
+ + + +
1
=0
3
2 2
𝑦 (2𝑚 4)𝑦 𝑚 4𝑚 ②
(cid:353) +4=0(cid:28)(cid:63) = (cid:53)
(cid:131)
2𝑚
= (cid:82)(cid:53)
𝑚
+
−
+
21
=
11
(cid:53)
3 3
2
𝑚 −2 𝑚 4𝑚 −
(cid:26)(cid:33) (cid:73)(cid:52) 11 =0
3
2
∴ ② 𝑦 −
(cid:28)(cid:63) =
33
(cid:53) =
33
(cid:53)
3 3
𝑦1 𝑦2 −= + = 33 (cid:53) = + = 33 (cid:54)
3 3
∴ 𝑥1 𝑦1 𝑚 −2 𝑥2 𝑦2 𝑚 − −2
【题型7 含绝对值的一元二次方程的解法】
(cid:15)(cid:55)7(cid:19)(cid:77)24-25(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:275)(cid:237)(cid:210)(cid:239)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:94)(cid:173)(cid:256)“(cid:49)(cid:11)(cid:101)(cid:223)(cid:374)(cid:36)(cid:222)(cid:375)”(cid:53)(cid:220)(cid:108)(cid:310)(cid:233)(cid:234)(cid:376)(cid:199)(cid:36)“(cid:49)(cid:11)(cid:223)(cid:224)”(cid:310)“(cid:49)
(cid:11)(cid:26)(cid:27)”(cid:101)(cid:11)(cid:335)(cid:49)(cid:11)(cid:36)(cid:377)(cid:199)(cid:27)(cid:378)(cid:54)(cid:282)(cid:283)(cid:209)(cid:189)(cid:55)(cid:20)(cid:268)(cid:167)(cid:28)(cid:184)(cid:113)(cid:33)(cid:10)
(cid:55)(cid:10)(cid:28)(cid:26)(cid:33) =0(cid:54)
2
(cid:28)(cid:10) (cid:131) 𝑥 0−(cid:82)2|(cid:53)𝑥|−(cid:81)3(cid:26)(cid:33)(cid:52) =0(cid:53)
2
(cid:28)(cid:63)①=𝑥≥(cid:77)(cid:160) 0(cid:379)(cid:380)(cid:53)𝑥(cid:345)−(cid:299)2𝑥(cid:161)−(cid:53)3 =3(cid:54)
(cid:131)𝑥1<0−(cid:82)1(cid:53)(cid:81)(cid:26)𝑥≥(cid:33)(cid:52) + =0(cid:53)𝑥2
2
②(cid:28)(cid:63)𝑥 =1(cid:77)(cid:160) <0(cid:379)(cid:380)𝑥(cid:53)(cid:345)2𝑥(cid:299)−(cid:161)3(cid:53) = (cid:54)
(cid:217)(cid:106)𝑥(cid:81)1(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:35)𝑥(cid:101) =3(cid:53) = (cid:54)𝑥2 −3
(cid:307)(cid:121)(cid:277)(cid:36)(cid:28)(cid:184)(cid:113)(cid:33)𝑥(cid:142)1(cid:53)(cid:381)(cid:382)𝑥(cid:45)2 x(cid:263)−3(cid:264)(cid:366)(cid:316)(cid:53)(cid:177)(cid:178)(cid:73)(cid:383)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:110)(cid:101)(cid:28)(cid:152)(cid:49)(cid:11)(cid:312)(cid:20)(cid:36)(cid:29)(cid:111)(cid:377)(cid:199)(cid:223)(cid:224)——(cid:41)(cid:128)
(cid:366)(cid:316)(cid:54)
(cid:284)(cid:285)(cid:10)(cid:279)(cid:384)(cid:358)(cid:121)(cid:385)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:10) =0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) =2(cid:53) = 𝑥 −|𝑥|−2
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)𝑥(cid:195)1(cid:20)(cid:196)(cid:197)𝑥(cid:132)2(cid:28)(cid:29)−2(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:265)(cid:28)(cid:20)(cid:58)(cid:53)(cid:11)(cid:225)(cid:107)(cid:108)(cid:41)(cid:128)(cid:366)(cid:316)(cid:36)(cid:223)(cid:224)(cid:223)
(cid:196)(cid:312)(cid:20)(cid:54)
(cid:195)(cid:20)(cid:83)(cid:41)(cid:128)(cid:366)(cid:316)(cid:53)(cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:263)(cid:178)(cid:109)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:345)(cid:386)(cid:136)(cid:151)(cid:126)(cid:202)(cid:203)(cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:53)(cid:99)
(cid:105)(cid:63)(cid:80)(cid:195)(cid:20)(cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:76)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:41)(cid:78)(cid:111)(cid:148)(cid:149)(cid:366)(cid:316)
(cid:77)1(cid:161)(cid:131) 0(cid:82)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:105)(cid:73)(cid:52) =0(cid:53)
2
(cid:28)(cid:63)(cid:10) 𝑥=≥2(cid:53) = (cid:77)(cid:345)(cid:299)(cid:161)𝑥(cid:76)−𝑥−2
(cid:77)2(cid:161)(cid:131)𝑥1 <0(cid:82)𝑥(cid:53)2(cid:81)(cid:26)−(cid:33)1 (cid:105)(cid:73)(cid:52) + =0(cid:53)
2
(cid:28)(cid:63)(cid:10) 𝑥= (cid:53) =1(cid:77)(cid:345)(cid:299)(cid:161)𝑥(cid:76) 𝑥−2
(cid:346)(cid:121)(cid:217)𝑥1(cid:385)(cid:53)−(cid:81)2(cid:26)(cid:33)𝑥2(cid:36)(cid:35)(cid:101) =2(cid:53) = (cid:54)
∴(cid:15)(cid:205)(cid:39)7-1(cid:19)(cid:77)22-23(cid:274)(cid:207)(cid:208)𝑥1(cid:121)·(cid:387)(cid:388)𝑥(cid:389)2(cid:390)·−(cid:213)2(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:28)(cid:26)(cid:33) + =0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) =2, = 𝑥 −|𝑥 1|−1
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)𝑥(cid:35)1(cid:57)(cid:20)𝑥(cid:58)2 (cid:41)−1(cid:78)(cid:111)(cid:148)(cid:149)(cid:366)(cid:316)(cid:53)(cid:73)(cid:383)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:53)(cid:187)(cid:133)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:109)(cid:28)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:41)(cid:78)(cid:111)(cid:148)(cid:149)(cid:10)(cid:131) +1 0(cid:53)(cid:99) (cid:82)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) ( +1) =0(cid:53)(cid:28)(cid:63) =2, = (cid:76)
2
①(cid:131)𝑥+1≥<0(cid:53)(cid:99)𝑥≥<−1(cid:82)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52)𝑥 −+(𝑥+1)−1=0(cid:53)(cid:28)(cid:63)𝑥1=0(cid:77)𝑥2(cid:345)−(cid:299)1(cid:161)(cid:53) = (cid:77)(cid:345)(cid:299)(cid:161)(cid:54)
2
②(cid:346)(cid:121)(cid:217)𝑥(cid:385)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)𝑥(cid:36)−(cid:28)1(cid:101) =2, = (cid:54)𝑥 𝑥 −1 𝑥3 𝑥4 −1
(cid:15)(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:28)(cid:29)𝑥(cid:30)1(cid:31)(cid:32)𝑥(cid:26)2 (cid:33)−1(cid:53)(cid:41)(cid:128)(cid:366)(cid:316)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)7-2(cid:19)(cid:28)(cid:26)(cid:33) |2 +3|+9=0(cid:54)
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) =1, =3𝑥 −2 𝑥
𝑥1 𝑥2
3 3
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:357)(cid:358)(cid:55)(cid:20)(cid:53)(cid:41) (cid:160) < (cid:53)(cid:73)(cid:383)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:80)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:109)(cid:28)(cid:54)
2 2
𝑥≥− 𝑥 −
3
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:131)2 +1 0(cid:53)(cid:99) (cid:82)(cid:53)
2
(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:105)(cid:73)(cid:52)𝑥(cid:10) ≥ 𝑥
+
≥
3
−
)+9=0
2
(cid:221)(cid:265)(cid:63)(cid:10) +𝑥3−=20(2𝑥
2
(cid:28)(cid:63)(cid:10) =𝑥1−, 4𝑥=3
𝑥1 𝑥2
3
(cid:131)2 +1<0(cid:53)(cid:99) < (cid:82)(cid:53)
2
(cid:81)(cid:26)𝑥(cid:33)(cid:105)(cid:73)(cid:52)(cid:10)𝑥 −
+2(2 +3)+9=0
2
(cid:221)(cid:265)(cid:63) +4 +1𝑥5=0 𝑥
2
=4 𝑥 ×1𝑥×15= <0,
2
∵(cid:287)Δ (cid:26)(cid:33)−(cid:67)4 (cid:68)(cid:49)(cid:28)(cid:53)−44
∴(cid:346)(cid:121)(cid:217)(cid:385)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:36)(cid:28)(cid:52)(cid:10) =1, =3
(cid:15)(cid:193)(cid:194)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑥(cid:31)1(cid:32)(cid:26)𝑥(cid:33)2 (cid:53)(cid:41)(cid:128)(cid:366)(cid:316)(cid:73)(cid:383)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)
(cid:15)(cid:205)(cid:39)7-3(cid:19)(cid:77)22-23(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:229)(cid:388)(cid:391)(cid:81)·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:161)(cid:28)(cid:26)(cid:33) =0
2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19) = 29 (cid:53) = 29 𝑥 −|𝑥−5|−2
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)𝑥(cid:35) 1 (cid:57)(cid:20)(cid:58)(cid:41)x 𝑥 -5 2 ≥0(cid:310)x-5(cid:183)0(cid:78)(cid:111)(cid:148)(cid:149)(cid:53)(cid:41)(cid:38)(cid:28)(cid:26)(cid:33)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) (cid:131)x-5≥0(cid:82)(cid:53)(cid:99)x≥5(cid:82)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) + =0(cid:53)(cid:99) +3=0(cid:53)
2 2
=1, = =①3(cid:53) 𝑥 −𝑥 5−2 𝑥 −𝑥
𝑎 =𝑏 −1,𝑐=( ) ×1×3= <0(cid:53)
2 2
∴(cid:81)Δ (cid:26)𝑏(cid:33)−(cid:67)4𝑎(cid:28)𝑐 (cid:53)−1 −4 −11
∴ (cid:131)x-5(cid:183)0(cid:82)(cid:53)(cid:99)x(cid:183)5(cid:82)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:33)(cid:73)(cid:52) + =0(cid:53)(cid:99) + =0(cid:53)
2 2
②=1, =1, = (cid:53) 𝑥 𝑥−5−2 𝑥 𝑥−7
𝑎 =𝑏 𝑐 =−17 ×1×( )=29>0
2 2
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐 −4 −7± 29
=
2×1
−1
𝑥
29 29
(cid:28)(cid:63)(cid:10) = (cid:53) = (cid:54)
2 2
−1+ −1−
(cid:15)(cid:193)(cid:194)𝑥(cid:19) 1 (cid:287)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)𝑥(cid:28) 2 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:26)(cid:33)(cid:53)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:35)(cid:57)(cid:20)(cid:58)(cid:41)(cid:78)(cid:111)(cid:148)(cid:149)(cid:366)(cid:316)(cid:54)
【题型8 配方法】
(cid:15)(cid:55)8(cid:19)(cid:77)2025·(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:210)·(cid:29)(cid:230)(cid:161)(cid:306)(cid:96) (cid:53) (cid:53) (cid:52)(cid:68)(cid:49)(cid:53)(cid:198) + = +3 (cid:53) = + (cid:53)(cid:147) (cid:53)
2 2
(cid:53) (cid:309)(cid:392)(cid:36)(cid:311)(cid:243)(cid:3)(cid:115)(cid:101)(cid:77) (cid:161) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 5−4𝑥 𝑥 𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑧A(cid:54) < B(cid:54) < C(cid:54) < D(cid:54) <
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)𝑥 A𝑦≤𝑧 𝑦 𝑥≤𝑧 𝑦≤𝑧 𝑥 𝑧 𝑥≤𝑦
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:36)(cid:162)(cid:108)(cid:53)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:162)(cid:108)(cid:54)(cid:83)(cid:35)(cid:57)(cid:306)(cid:96)(cid:138)(cid:39)(cid:109)(cid:125) = +2(cid:53) =2
2 2
+3(cid:53)(cid:90)(cid:107)(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:37)(cid:163)(cid:125) > (cid:53) (cid:53)(cid:150)(cid:287)(cid:99)(cid:105)(cid:63)(cid:125)(cid:184)(cid:185)(cid:54) 𝑦 𝑥 −𝑥 𝑧 𝑥
−(cid:15)3(cid:190)𝑥(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) + = +3 (cid:53) 𝑦 =𝑥 𝑧≥𝑦+ (cid:53)
2 2
(cid:28)(cid:63) = ∵+𝑦2(cid:53)𝑧 =5−24𝑥 𝑥+3(cid:53)𝑧−𝑦 1−2𝑥 𝑥
2 2
𝑦= 𝑥 −𝑥+ 𝑧= 𝑥 −3+𝑥2=( ) +1>0(cid:53)
2 2 2
∴𝑦−>𝑥 (cid:76)𝑥 −𝑥 2−𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥−1
∴𝑦 𝑥= + =( ) 0(cid:53)
2 2
∵𝑧−𝑦 (cid:53)1−2𝑥 𝑥 𝑥−1 ≥
∴𝑧≥<𝑦 (cid:53)
∴(cid:191)𝑥(cid:192)(cid:10)𝑦A≤(cid:54)𝑧
(cid:15)(cid:205)(cid:39)8-1(cid:19)(cid:77)24-25(cid:274)(cid:207)(cid:208)(cid:121)·(cid:275)(cid:237)(cid:338)(cid:393)·(cid:271)(cid:142)(cid:161)(cid:172)(cid:145)(cid:49)(cid:39) + (cid:105)(cid:73)(cid:52)( + ) (cid:53)(cid:147) + (cid:36)(cid:46)(cid:101)
2 2
(cid:77) (cid:161) 𝑥 −4𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −1 𝑎 𝑏
A(cid:54)2 B(cid:54)1 C(cid:54) D(cid:54)
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)B −2 −1
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:36)(cid:101)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:101)(cid:162)(cid:108)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:101)(cid:28)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:54)(cid:35)(cid:57)(cid:97)(cid:98)(cid:25)(cid:26)(cid:7)(cid:39)(cid:84)(cid:81)(cid:39)(cid:205)(cid:75)(cid:53)
(cid:90)(cid:35)(cid:57)(cid:20)(cid:58)(cid:109)(cid:125) =3(cid:53) = (cid:53)(cid:327)(cid:50)(cid:99)(cid:105)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10) 𝑎 + 𝑏 −2
2
= + 𝑥 −+4𝑥 𝑎
2
=𝑥( −4𝑥) +4−4 (cid:53)𝑎
2
(cid:150)(cid:20)𝑥(cid:58)−(cid:63)2 (cid:10) 𝑎=−4 (cid:53) = (cid:53)
𝑏 −2 𝑎−4 −1(cid:28)(cid:63)(cid:10) =3(cid:53) = (cid:53)
(cid:147) + 𝑎= 𝑏=1−(cid:53)2
(cid:191)𝑎(cid:192)(cid:10)𝑏B(cid:54)3−2
(cid:15)(cid:205)(cid:39)8-2(cid:19)(cid:77)2025·(cid:210)(cid:211)(cid:394)(cid:341)·(cid:230)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:161)(cid:306)(cid:96)(cid:68)(cid:49)a(cid:53)b(cid:351)(cid:352) + = >0(cid:53)(cid:147)(cid:209)(cid:189)(cid:37)(cid:163)(cid:135)(cid:171)(cid:36)(cid:101)(cid:77) (cid:161)
A(cid:54) + >2, + + <4 B(cid:54) + <2, 𝑎+ 2𝑏+ 4,<𝑎 4
2 2
C(cid:54)𝑎+𝑏>2,𝑎 +5𝑎+2𝑏>4 D(cid:54)𝑎+𝑏 <2,𝑎 +5𝑎+2𝑏 >4
2 2
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)𝑎C 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:136)(cid:138)(cid:39)(cid:36)(cid:296)(cid:297)(cid:268)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:162)(cid:108)(cid:53)(cid:28)(cid:152)(cid:195)(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:101)(cid:232)(cid:215)(cid:233)(cid:234)(cid:136)(cid:138)(cid:39)(cid:36)(cid:296)(cid:297)(cid:268)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:36)
(cid:162)(cid:108)(cid:53)(cid:150) + =4(cid:105)(cid:63) = (cid:53)(cid:105)(cid:63) + = + = = 4 .(cid:105)(cid:63)(cid:125) 4 > 4 =2(cid:53) (cid:99) + >2(cid:45)
2 2 2 2 2 2
4−𝑎 4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+ 𝑎+
(cid:217)(cid:94) >0 𝑎(cid:93)(cid:395)2𝑏(cid:54)(cid:72) = 𝑏 (cid:145)(cid:170) + 𝑎 + 𝑏 (cid:63)𝑎(cid:10) + + = + + = + +4 𝑎 = 𝑏 +2)
2 2 2 2 2
.(cid:105)(cid:63)𝑎 +2) >2 2=𝑏 4(cid:53)4 −(cid:90)𝑎(cid:37)(cid:163)𝑎(cid:99)(cid:105)5(cid:54)𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
2 2
(𝑎
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:150) + =4(cid:105)(cid:63) = (cid:53)
2
4−𝑎
𝑎 2𝑏 𝑏
4
+ = + = = .
2 2 2
4−𝑎 2𝑎+4−𝑎 𝑎+
∴ 𝑎 𝑏 𝑎
>0(cid:53)
∵𝑎+4>4(cid:53)
∴𝑎 4 > 4 =2(cid:53)
2 2
𝑎+
∴
(cid:99) + >2(cid:45)(cid:217)(cid:94) >0(cid:93)(cid:395)(cid:54)
(cid:72)𝑎 =𝑏 (cid:145)(cid:170) 𝑎+ + (cid:63)(cid:10)
2
2+𝑏 4+−𝑎 = 𝑎 + 5𝑎+ 2𝑏 = + +4= +2) .
2 2 2 2
𝑎 >5𝑎0(cid:53) 2𝑏 𝑎 5𝑎 (4−𝑎) 𝑎 4𝑎 (𝑎
∵𝑎+2>2(cid:53)
∴𝑎 +2) >2 =4(cid:53)
2 2
(cid:99)∴(𝑎 + + >4(cid:45)(cid:217)(cid:94) >0(cid:93)(cid:395)(cid:54)
2
(cid:191)𝑎(cid:192)(cid:10)C5(cid:54)𝑎 2𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:205)(cid:39)8-3(cid:19)(cid:77)2025·(cid:229)(cid:227)(cid:396)(cid:397)·(cid:29)(cid:230)(cid:161)(cid:306)(cid:96) (cid:52)(cid:68)(cid:49)(cid:53)(cid:354) = + +25 +5(cid:53)(cid:147) (cid:36)(cid:252)(cid:311)(cid:46)(cid:101)
2 2
(cid:77) (cid:161) 𝑥 𝑑 𝑥 6𝑥 − 𝑥 −2𝑥 𝑑
A(cid:54)2 2 B(cid:54)2 5 C(cid:54)5 D(cid:54)6
(cid:15)(cid:184)(cid:185)(cid:19)B(cid:15)(cid:41)(cid:186)(cid:19)(cid:195)(cid:20)(cid:196)(cid:197)(cid:132)(cid:398)(cid:399)(cid:153)(cid:265)(cid:116)(cid:78)(cid:193)(cid:309)(cid:392)(cid:36)(cid:400)(cid:401)(cid:53)(cid:233)(cid:234)(cid:307)(cid:25)(cid:277)(cid:22)(cid:402)(cid:403)(cid:404)(cid:115)(cid:142)(cid:109)(cid:125)(cid:78)(cid:193)(cid:392)(cid:36)(cid:400)(cid:401)(cid:36)(cid:7)(cid:39)(cid:101)(cid:28)
(cid:20)(cid:36)(cid:3)(cid:235)(cid:53)(cid:83)(cid:265)(cid:28)(cid:20)(cid:58)(cid:53)(cid:220)(cid:108)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:84)(cid:188)(cid:24)(cid:26)(cid:49)(cid:205)(cid:75)(cid:53)(cid:90)(cid:35)(cid:57)(cid:119)(cid:402)(cid:75)(cid:36)(cid:119)(cid:89)(cid:3)(cid:115)(cid:263)(cid:264)(cid:41)(cid:186)(cid:53)(cid:106)(cid:268)(cid:78)(cid:193)(cid:392)(cid:36)
(cid:400)(cid:401)(cid:7)(cid:39)(cid:189)(cid:39)(cid:327)(cid:50)(cid:53)(cid:99)(cid:105)(cid:144)(cid:184)(cid:54)
(cid:15)(cid:190)(cid:28)(cid:19)(cid:28)(cid:10)(cid:141)(cid:20)(cid:58)(cid:53) + +25= + +16+9=( +3) +4 (cid:53)
2 2 2 2
(cid:121)(cid:39)(cid:159)(cid:114) ( )(cid:160) ( 𝑥 )(cid:309)6(cid:392)𝑥(cid:36)(cid:400)(cid:401)(cid:53)𝑥 6𝑥 𝑥
+𝐴5=𝑥,0 𝐵 −+31,4+4=( ) +2 (cid:53)
2 2 2 2
(cid:121)𝑥 (cid:39)−2(cid:159)𝑥(cid:114) ( 𝑥)(cid:160)−2𝑥(1,2)(cid:309)(cid:392)(cid:36)(cid:400)𝑥(cid:401)−1(cid:53)
𝐴 𝑥,0 𝐶
(cid:150)(cid:398)(cid:399)(cid:153)(cid:265)(cid:63) = ( ) +( ) =2 5(cid:53)
2 2
𝐵𝐶 −3−1 4−2
(cid:253)(cid:126)(cid:119)(cid:402)(cid:75)(cid:119)(cid:89)(cid:3)(cid:115)(cid:63) (cid:36)(cid:252)(cid:311)(cid:46)(cid:101)(cid:193)B(cid:310)(cid:193)C(cid:36)(cid:400)(cid:401)(cid:53)(cid:99) (cid:36)(cid:252)(cid:311)(cid:46)=2 5(cid:53)
(cid:191)(cid:192)(cid:10)B(cid:54) 𝑑 𝑑
