专题2.4一元二次方程根与系数的关系(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(湘教)

专题 2.4 一元二次方程根与系数的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)............................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)....................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)....................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:19)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:19)..........................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:19)..................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:51)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:24)(cid:28)(cid:55)(cid:56)(cid:19)......................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:52)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:53)(cid:54)(cid:61)(cid:48)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:19)..............................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:67)(cid:36)(cid:68)(cid:23)(cid:19)..........................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:69)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:28)(cid:67)(cid:36)(cid:71)(cid:23)(cid:19)......................................................................................23
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. (cid:52)(cid:31)(cid:24)(cid:7)(cid:33)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + = 0)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) = (cid:76) =
𝟐
2 −𝒃+ 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥𝟎 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ 𝑥1 𝟐𝒂 𝑥2
,(cid:80) + = (cid:76) = (cid:81)
𝟐
−𝒃− 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝒃 𝒄
(cid:82)(cid:83)𝟐(cid:10)𝒂(cid:37)(cid:38) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = −𝒂 0(cid:28)𝑥(cid:77) 1𝑥(cid:24) 2 (cid:79)𝒂 (cid:76) (cid:76)(cid:80) + = (cid:76) = (cid:81)
2
2. (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)𝑥(cid:37)(cid:38)𝑝(cid:24)𝑥(cid:25)(cid:26)𝑞(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:28)(cid:71)𝑥(cid:23)1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝒑 𝑥1𝑥2 𝒒
(cid:84)1(cid:85)(cid:51)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:31)(cid:3)(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)2(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:24)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:61)(cid:48)(cid:24)(cid:87)(cid:37)(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)3(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)4(cid:85)(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:91)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:39)(cid:92)(cid:48)(cid:93)(cid:67)(cid:36)(cid:20)(cid:81)
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103) (cid:104)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
𝑏 𝑎
2
𝑎,𝑏 𝑥 𝑥 −𝑥−3 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 7
3
−
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:78)(cid:33)(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:76)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:7)(cid:33)(cid:28)(cid:116)(cid:66)(cid:71)(cid:23)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)
2
𝑎𝑥+ + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24) (cid:121) (cid:122)(cid:123) + = (cid:76) = (cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
𝑏 𝑐
𝑏𝑥 𝑐 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:126) + =1(cid:76) = (cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:129) + (cid:116)(cid:66)(cid:128)(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:31)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:81)
𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) a(cid:76)b(cid:104)(cid:37)(cid:38) = 𝑎 0(cid:28)𝑏(cid:77)(cid:62)(cid:105)𝑎(cid:27)𝑏(cid:24)(cid:76)−3 𝑎 𝑏
2
+ =1(cid:76)∵ = 𝑥 −𝑥−3
∴𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑏 =( −3) =1 ×( )= 7 (cid:81)
2 2 2 2 3
𝑏 𝑎 𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 −2𝑎𝑏 −2 −3
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 −3 −
7
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) (cid:81)
3
(cid:15)(cid:116)(cid:33)1-1(cid:19)−(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:139)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80)
2
= (cid:81) 𝑎,𝑏 𝑥 𝑥−2025
𝑎(cid:15)𝑏(cid:106)−𝑎(cid:107)−(cid:19)𝑏
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)−(cid:109)2(cid:20)02(cid:110)4(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:140)(cid:141)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:73)(cid:126) + = = (cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:142)
(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:81)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81) 𝑎 𝑏 −1,𝑎𝑏 −2025
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
+ = ∵𝑎=,𝑏 (cid:76) 𝑥 𝑥−2025
∴𝑎 𝑏 −=1,𝑎𝑏 (−+202)5= ( )= (cid:147)
∴(cid:135)𝑎(cid:106)𝑏−(cid:107)𝑎−(cid:79)𝑏(cid:10) 𝑎𝑏− 𝑎(cid:81) 𝑏 −2025− −1 −2024
(cid:15)(cid:116)(cid:33)1-2(cid:19)−(cid:84)202244-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:104) (cid:76) (cid:76)(cid:80)
2
+ (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑥 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
2 2
𝑥(cid:15)1(cid:106)(cid:107)𝑥2(cid:19)5
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:28)(cid:77)(cid:62)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:76) (cid:76) (cid:76)(cid:153)(cid:83)(cid:97)(cid:3)(cid:26)(cid:10) + = (cid:76) = (cid:76)(cid:52)(cid:20)(cid:72)(cid:73) + = (cid:76)
𝑏 𝑐
=
(cid:76)𝑥1 (cid:154)(cid:22)𝑥2 (cid:23)(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑎(cid:37)𝑏(cid:7)(cid:33)𝑐(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:39)(cid:81)𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1⋅𝑥2 𝑎 𝑥1 𝑥2 −1 𝑥1⋅𝑥2
(cid:15)(cid:134)−(cid:39)2 (cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:104) (cid:76) (cid:76)
2
+ = ∵(cid:76) = 𝑥(cid:76) 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
∴𝑥1+𝑥2 =−( 1 +𝑥1⋅)𝑥2 −2 =( ) ×( )=5(cid:76)
2 2 2 2
∴(cid:135)𝑥(cid:106)1 (cid:107)𝑥(cid:79)2 (cid:10)5𝑥(cid:81)1 𝑥2 −2𝑥1⋅𝑥2 −1 −2 −2
(cid:15)(cid:116)(cid:33)1-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:150)(cid:155)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:84)m(cid:79)(cid:55)(cid:130)(cid:27)(cid:85)(cid:28)
2 2
(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:161)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:83)(cid:10)(cid:74) =1(cid:75)(cid:76)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:161)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:80) 𝑥 1 + 2𝑥1− + 𝑚1− + 𝑚1 + + 1 + 1
𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚 𝛼1 𝛽1 𝛼1 𝛽1 𝛼2 𝛽2 ⋯ 𝛼2025 𝛽2025= (cid:81)
2025
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)
1013
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:162)
+ = (cid:76) = ( + )(cid:76)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:162) 1 + 1 =2 1 1 (cid:76)(cid:52)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:39)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)
1
2
𝛼(cid:168) 𝑚 (cid:169)(cid:58)𝛽(cid:170) 𝑚 (cid:171)(cid:172)−2(cid:173)(cid:174)𝛼(cid:68) 𝑚𝛽(cid:23) 𝑚 (cid:104)(cid:39)−(cid:165)𝑚(cid:20)(cid:28)(cid:3)𝑚(cid:124)(cid:81) 𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚−𝑚+
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:84)m(cid:79)(cid:55)(cid:130)(cid:27)(cid:85)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:161)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
2 2
+ = ∵ (cid:76) = 𝑥( 2+𝑥−𝑚)(cid:76)−𝑚 𝛼𝑚 𝛽𝑚
2
∴𝛼1 𝑚
+
1𝛽𝑚
=
−2
=
𝛼𝑚𝛽𝑚 −
=
𝑚
2
1 𝑚 1
(cid:76)
( ) 1
𝛼𝑚+𝛽𝑚 −2
2
∴𝛼1 𝑚 𝛽1 𝑚 1𝛼𝑚𝛽1 𝑚 − 𝑚 +1𝑚 1 𝑚−𝑚+
+ + + + + +
∴𝛼1 𝛽1 1𝛼2 𝛽12 ⋯1 𝛼2025 𝛽20125 1
=2 + +…+
2 2 3 2025 2026
1− 1 − −
=2×
2026
20251−
= (cid:76)
1013
2025
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) (cid:81)
1013
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:176)(cid:157)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103) (cid:76) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:32)(cid:27)(cid:33)2
2 2
+ + +5(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−2025 𝛼
(cid:15)6(cid:106)𝛼(cid:107)(cid:19)2𝛽4051
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:117)(cid:58)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:129) = (cid:32)(cid:132)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:154)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26) + = (cid:133)(cid:72)(cid:39)(cid:92)(cid:180)(cid:20)(cid:81)
𝑏
(cid:15)𝑥(cid:134)(cid:39)𝛼(cid:19)(cid:39)(cid:10) α(cid:76)β(cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0 𝑥(cid:28) 1 (cid:77)𝑥(cid:62) 2 (cid:105)(cid:27)−𝑎(cid:24)(cid:76)
2
+
∵
=0(cid:76) +
𝑥
=
22𝑥
=
−202
(cid:76)
5
1
2
∴𝛼 2𝛼−2025 𝛼 𝛽 − −2
+ =2025(cid:76)
2
∴(cid:80)𝛼2 2+𝛼 + +5=2 + + + +5
2 2
=2𝛼( +6𝛼 )2+𝛽2( + )𝛼+54𝛼 2𝛼 2𝛽
2
=2×𝛼20225𝛼+2×(𝛼 )𝛽+5
−2=4051(cid:76)
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)4051(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)2-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:137)·(cid:88)(cid:110)(cid:184)(cid:20)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:69) (cid:76)(cid:80)(cid:32)(cid:27)(cid:33) +
2 2
(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑥 −5𝑥−24 𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)29
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:69) (cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:10)
2
+ =5(cid:76) =24(cid:76)(cid:185) + (cid:130)(cid:186)(cid:72)(cid:73)(cid:10) + 𝑥=−(5𝑥−24)+( + )(cid:76)(cid:154)(cid:22)(cid:23)𝑎(cid:130)𝑏(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:142)(cid:31)
2 2 2 2
𝑎(cid:34)(cid:133)𝑏(cid:72)(cid:81) 𝑎 −5𝑎 𝑎 −4𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏 𝑎 −5𝑎 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:69) (cid:76)
2
+ =5(cid:76)∵ 𝑥 −5=𝑥−02(cid:76)4 𝑎 𝑏
2
∴𝑎 𝑏 =24𝑎(cid:76)−5𝑎−24
2
∴𝑎 −5𝑎+
2
∴=𝑎 −4𝑎 +𝑏 +
2
=𝑎( −5𝑎 )+𝑎 ( 𝑏+ )
2
=2𝑎4+−55𝑎 𝑎 𝑏
=29(cid:81)
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)29(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)2-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:137)(cid:152)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:69) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80) +
2 2
( )(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑎 𝑏 𝑥 4𝑥−4 𝑎 5𝑎−𝑏
(cid:15)𝑎−(cid:106)1(cid:107)(cid:19)4
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:87)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:162) = (cid:76)
+ = (cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:73) + =0(cid:76)(cid:154)(cid:129) + ( )(cid:116)(cid:66)(cid:79) + 𝑎+𝑏 ( −+4 )(cid:76)(cid:187)(cid:128)(cid:130)(cid:131)
2 2 2
𝑎(cid:32)(cid:132)𝑏(cid:31)(cid:34)−(cid:133)4(cid:72)(cid:81) 𝑎 4𝑎−4 𝑎 5𝑎−𝑏 𝑎−1 𝑎 4𝑎−𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:69) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)
2
+ =∵0𝑎(cid:76)𝑏 = (cid:76)𝑥 +4𝑥−=4 (cid:76)
2
∴𝑎 +4𝑎−=44(cid:76) 𝑎𝑏 −4 𝑎 𝑏 −4
2
∴𝑎 +4𝑎 ( )
2
=∴𝑎 +5𝑎−𝑏 𝑎−+1
2
=𝑎 +5𝑎−𝑎𝑏+𝑏( + )
2
𝑎 4𝑎−𝑎𝑏 𝑎 𝑏= ( )+( )
=44−(cid:81)−4 −4
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)4(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)2-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:188)(cid:189)·(cid:48)(cid:190)(cid:85)(cid:83)(cid:191)m(cid:76)n(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) =3(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:192)(cid:193)2 + (cid:28)
2 2
(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −𝑥 𝑛 −𝑚𝑛 2𝑚
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)11
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:194)(cid:195)(cid:121)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:31)(cid:34)(cid:196)(cid:58)(cid:170)(cid:171)(cid:76)(cid:119)(cid:120)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)
(cid:197)(cid:129)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:198)(cid:79)(cid:48)(cid:199)(cid:66)(cid:33)(cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:126) + = = (cid:168)(cid:87)(cid:37)(cid:38)
(cid:28)(cid:39)(cid:72)(cid:73) =3+ (cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:200)2 + (cid:116)(cid:66)(cid:128)(cid:32)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:39)(cid:106)(cid:81) 𝑚 𝑛 1,𝑚𝑛 −3
2 2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)𝑛(cid:39)(cid:10) m(cid:76)𝑛n(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)𝑛(cid:37)−(cid:38)𝑚𝑛 2𝑚=3(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:133) =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 2
+ = ∵ = =0 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥−3
2
∴𝑚 =𝑛3+1,𝑚𝑛 −3,𝑛 −𝑛−3
2
∴𝑛2 +𝑛
2
∴=2𝑛(3−+𝑚𝑛) (2𝑚)+
=6+ 𝑛+−3+−3 2𝑚
=9+22(𝑛 + )2𝑚
=9+2×𝑛1 𝑚
=11(cid:81)
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)11(cid:81)
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:201)(cid:198)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:121) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + +2(cid:28)
2 3
(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−1 𝛼 5𝛽
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)−(cid:109)1(cid:20)0(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73) + =0(cid:76) + = (cid:76)
2
(cid:129)(cid:179)(cid:33)(cid:116)(cid:66)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72) 𝛼 2𝛼−1 𝛼 𝛽 −2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:121) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)
2
+ =∵0𝛼(cid:76)𝛽+ = 𝑥 (cid:76)2𝑥−1
2
∴𝛼 =2𝛼−1 (cid:76) +𝛼 𝛽=1−2
2 2
∴𝛼 1−2𝛼 𝛼 2𝛼+ +2
3
∴=𝛼 5𝛽+ +2
2
=𝛼(⋅𝛼 )5+𝛽 +2
=𝛼 1−2𝛼 5+𝛽 + +2
2
=𝛼−(22𝛼 −+4𝛼 )4+𝛼 5+𝛽 +2
2
=𝛼− 𝛼( +4𝛼 )+4𝛼 +5𝛽2
2
=55(𝛼−+2 𝛼) 2𝛼 5𝛽
=5×𝛼( 𝛽)
= −(cid:76)2
(cid:135)(cid:106)−(cid:107)10(cid:79)(cid:10) (cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)3-1(cid:19)−(cid:84)1024-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:202)(cid:203)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:121) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + +2=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + +5
2 3
(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 4𝑥 𝛼 14𝛽
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 43
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)−(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:204)(cid:205)(cid:27)(cid:206)(cid:207)(cid:142)(cid:28)(cid:208)(cid:23)(cid:76)(cid:119)(cid:120)(cid:48)(cid:49)
(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:81)(cid:52)(cid:20)(cid:209)(cid:72)(cid:58) + = (cid:76) + +2=0(cid:76)(cid:143)(cid:164)(cid:130)(cid:186)(cid:162)
2 3
= +8(cid:76)(cid:129)(cid:210)(cid:32)(cid:132)(cid:198)(cid:211)(cid:31)(cid:34)(cid:133)(cid:72)(cid:81) 𝛼 𝛽 −4 𝛼 4𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:134)14(cid:39)𝛼(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:24)(cid:125)(cid:20)(cid:209)(cid:76) (cid:121) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + +2=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)
2
+ = (cid:76) + +2𝛼=𝛽0(cid:76) 𝑥 4𝑥
2
∴𝛼 =𝛽 −4 (cid:76)𝛼 4𝛼
2
∴𝛼 =−4𝛼−2= = ( ) = +8(cid:76)
3 2 2
∴𝛼 + 𝛼⋅𝛼+5=−4𝛼 −+28𝛼+ −4 +−45𝛼=−214−(2𝛼+ )1+4𝛼13=14×( )+13= (cid:81)
3
∴(cid:135)𝛼(cid:106)(cid:107)1(cid:79)4𝛽(cid:10) 43(cid:81)14𝛼 14𝛽 𝛼 𝛽 −4 −43
(cid:15)(cid:116)(cid:33)3-2(cid:19)−(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:188)(cid:189)(cid:212)(cid:213)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:83)(cid:191)m(cid:76)n(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:192)
2
(cid:193)(cid:214)(cid:215)(cid:33) + + 3 +2032(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝑥 𝑥−3
3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 𝑚 2029 3𝑛−𝑚𝑛 𝑛
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
( 0)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:75)(cid:76) + = (cid:76) = (cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)(cid:197)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:162) + = (cid:76)
𝑏 𝑐
𝑎≠ 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎 𝑚 𝑛 −1
1 1 3
= (cid:76)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:73)(cid:126) = +3(cid:76) = (cid:76)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:126) = (cid:76) = +1(cid:76)
3
𝑛+
2 3
𝑚𝑛 −3 𝑚 −𝑚 𝑛 𝑚 4𝑚−3 𝑛 𝑛(cid:80)(cid:179)(cid:33)(cid:198)(cid:211)(cid:79)4( + ) +2032(cid:76)(cid:187)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:28)(cid:37)(cid:142)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) 𝑚(cid:121)𝑛(cid:104)−(cid:48)𝑚(cid:49)𝑛(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
2
+ = ∵(cid:76)𝑚 𝑛= (cid:76) + 𝑥=0𝑥(cid:76)−3 + =0
2 2
∴𝑚 =𝑛 −+13(cid:76)𝑚𝑛( +−31)=𝑚3 𝑚−3 𝑛 𝑛−3
2
∴𝑚 = −(𝑚 +3)𝑛=𝑛 + = ( +3)+ =
3 2
∴1
=
𝑚 1
(cid:76)
𝑚
(cid:133)
−3𝑚
= +1
−𝑚 3𝑚 − −𝑚 3𝑚 4𝑚−3
3
𝑛+
𝑛 𝑛 𝑛 3
+ + +2032
3
∴𝑚 3𝑛−𝑚𝑛
= + + +1+2032
𝑛
=4𝑚−+3 3𝑛−𝑚𝑛+𝑛2032
=44(𝑚 +4𝑛)−𝑚𝑛−+22030
=4×𝑚( 𝑛)−(𝑚𝑛)+2030
=2029−1 − −3
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)2029(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)3-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:216)(cid:188)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:31) +3
2 6
(cid:28)(cid:34)(cid:79) 𝛼 𝛽 𝑥 𝑥−3 𝛼 −40𝛽
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)100
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2
𝑎𝑥
+ + =0( 0)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:69)(cid:26)(cid:27) (cid:76) (cid:76) (cid:76)(cid:153)(cid:83)(cid:97)(cid:3)(cid:26)(cid:10) + = (cid:76) = (cid:76)(cid:52)(cid:20)(cid:209)
𝑏 𝑐
(cid:73)𝑏(cid:162)𝑥 𝑐 + 𝑎 = ≠ 0(cid:76) + = (cid:76)(cid:163)𝑥1 (cid:164)(cid:73)𝑥2 (cid:162) + 𝑎 = 𝑏 3(cid:76)𝑐(cid:31)(cid:162) = + 𝑥1 57(cid:76)𝑥(cid:130) 2 (cid:131)−(cid:32)𝑎(cid:132)(cid:145)𝑥1 (cid:146)⋅𝑥(cid:133) 2 (cid:72)(cid:73)𝑎 (cid:162)(cid:106)(cid:107)(cid:81)
2 2 6
(cid:15)(cid:134)𝛼(cid:39)(cid:19)(cid:39)𝛼−(cid:10)3 (cid:121) 𝛼(cid:104)(cid:48)𝛽(cid:49)(cid:50)−(cid:41)1(cid:37)(cid:38) + 𝛼 =𝛼0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76) 𝛼 −40𝛼
2
+ =0∵(cid:76)𝛼 𝛽+ = (cid:76) 𝑥 𝑥−3
2
∴𝛼 =𝛼−3 (cid:76) 𝛼 𝛽 −1
2
∴𝛼 =3−𝛼( +3)= + = + = (cid:76)
3 2
∴𝛼 =𝛼( ⋅ )−𝛼 −𝛼 3𝛼 𝛼−3 3𝛼 4𝛼−3
6 3 2
∴=𝛼( 𝛼)
2
=146𝛼−3 +9
2
=16𝛼( −2)4𝛼 +9
= 3−𝛼 −24𝛼+9
48−16𝛼−24𝛼= +57(cid:76)
−40𝛼 +3
6
∴=𝛼 −40𝛽 +57+3
=−40𝛼(−+40𝛽)+60
=−4040+𝛼60 𝛽
=100(cid:81)
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)100(cid:81)
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
(cid:15)(cid:82)4(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:217)(cid:218)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)
2
6 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
(cid:24) (cid:76) (cid:81)(cid:105)(cid:27) (cid:122)(cid:123)( )( )= (cid:76)(cid:80)(cid:105)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
(cid:15)𝑥(cid:106) 1 (cid:107)𝑥(cid:19) 2 𝑚 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑚−1 𝑚
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)−(cid:165)2(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:219)(cid:197)(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:126)(cid:77)(cid:24)(cid:140)(cid:69)(cid:69)(cid:77)(cid:24)(cid:140)(cid:220)(cid:76)(cid:127)
(cid:128)(cid:185)( )( )(cid:221)(cid:222)(cid:79) ( + )+1(cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:223)(cid:224)(cid:28)(cid:196)(cid:33)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:126)(cid:3)(cid:86)m(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:133)(cid:72)(cid:31)
(cid:162)(cid:35)(cid:191)𝑥1(cid:81)−1 𝑥2−1 𝑥1𝑥2− 𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
+ = (cid:76)∵𝑥1 𝑥2= (cid:76) 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
∴𝑥1 𝑥2 𝑚 𝑥1𝑥26 2𝑚−1
( )( )= (cid:76)
∵ 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑚−1
6
( + )+1= (cid:76)
∴𝑥1𝑥2− 𝑥1 𝑥2 𝑚−1
6
+1= (cid:76)
∴(cid:39)2(cid:73)𝑚−1− = 𝑚 (cid:76) 𝑚 = −1 3(cid:76)
(cid:225)(cid:226)𝑚(cid:227)1 =−2 𝑚(cid:76)2 =3(cid:104)(cid:78)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:76)
(cid:228) (cid:37)(cid:38)𝑚1 −2+𝑚2 =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
∵= 𝑥 −(𝑚𝑥 2)𝑚−01(cid:76)
2
∴(cid:74)Δ 𝑚= −4(cid:75)2(cid:76)𝑚−1= ≥ ×( )=24>0(cid:76)
(cid:74)𝑚1 =−3(cid:75)2(cid:76) Δ= 4−4×5=−5 <0(cid:76)
(cid:229)𝑚(cid:36)2 (cid:230)(cid:231)(cid:28)mΔ(cid:28)(cid:34)9−(cid:79)4 = −1(cid:81)1
∴(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) (cid:81) 𝑚1 −2
−2(cid:15)(cid:116)(cid:33)4-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:150)(cid:232)(cid:94)(cid:150)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:76) (cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) +1=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
(cid:233)( )( )= (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:196)(cid:86) (cid:81) 𝑥1 𝑥2 𝑥 −𝑚𝑥
(cid:15)(cid:106)𝑥1(cid:107)−(cid:19)2 4𝑥2−2 −3
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:200)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:76)(cid:103) (cid:76)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥1
(cid:104)(cid:234)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + = (cid:76) = (cid:76)(cid:125)(cid:165)(cid:72)(cid:73) + = (cid:76) =1(cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125)( )
𝑏 𝑐
𝑥
(
2
)= (cid:73)(cid:126) ( +
𝑥1
)
𝑥
+
2
4=
−𝑎
(cid:76)
𝑥
(cid:133)
1𝑥2 𝑎
+4= (cid:76)
𝑥1
(cid:39)(cid:37)
𝑥2
(cid:38)(cid:133)
𝑚
(cid:72)(cid:73)
𝑥
(cid:126)
1𝑥
(cid:106)
2
(cid:107)(cid:81)
𝑥1−2
(cid:15)𝑥2(cid:134)−(cid:39)2 (cid:19)(cid:39)−(cid:10)3 (cid:76)𝑥1𝑥2(cid:104)−2(cid:3)𝑥(cid:86)1 x(cid:28)𝑥2(cid:37)(cid:38) −3 +11=−20𝑚(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)−(cid:27)3(cid:24)(cid:76)
2
+ = (cid:76)∵𝑥1 𝑥2=1(cid:76) 𝑥 −𝑚𝑥
∴𝑥(1 𝑥)2( 𝑚 )𝑥=1𝑥2 (cid:76)
∵ 𝑥1−2 𝑥2−2 +4−3= (cid:76)
∴𝑥1𝑥2−2𝑥(1−+2𝑥2 )+4=−3 (cid:76)
∴𝑥1𝑥2−2+𝑥41= 𝑥2(cid:76) −3
∴1−=2𝑚4(cid:76) −3
(cid:135)∴𝑚(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)4(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)4-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:150)(cid:155)(cid:235)(cid:236)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) +( ) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:140)(cid:220)(cid:104)(cid:77)(cid:24)
2 2
(cid:140)(cid:69)(cid:28)2(cid:237)(cid:76)(cid:80) = (cid:81) 𝑥 4−2𝑚 𝑥 𝑚 −5
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)1 𝑚
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:69)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:196)(cid:58)(cid:170)(cid:76)(cid:238)(cid:86)(cid:239)(cid:110)(cid:20)(cid:21)(cid:76)
(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:240)(cid:109)(cid:58)(cid:170)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:3)(cid:124)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)2( )=
2
(cid:76)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:133)(cid:72)(cid:31)(cid:162)m(cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:154)(cid:32)(cid:132)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:226)(cid:227)(cid:133)(cid:73)(cid:106)(cid:107)(cid:81) 2𝑚−4 𝑚
(cid:15)−5(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:37)(cid:38) +( ) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
2 2
(cid:80) + = (cid:76)𝑥 4=−2𝑚 𝑥 (cid:76)𝑚 −5 𝑥1 𝑥2
2
(cid:24)𝑥(cid:125)1(cid:20)(cid:209)𝑥2(cid:73)(cid:10)22𝑚(−4 𝑥)1=⋅𝑥2 𝑚(cid:76)−(cid:133)5 +3=0(cid:76)
2 2
(cid:39)(cid:73) =1(cid:242) =2𝑚3−(cid:147)4 𝑚 −5 𝑚 −4𝑚
(cid:74) 𝑚=1(cid:75)(cid:76)𝑚(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:79) + =0(cid:76) >0(cid:147)
2
(cid:74)𝑚=3(cid:75)(cid:76)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:79)𝑥 2𝑥−+44=0(cid:76)Δ <0(cid:76)(cid:243)(cid:244)(cid:81)
2
𝑚=1(cid:81) 𝑥 −2𝑥 Δ
∴(cid:135)𝑚(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)1(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)4-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:245)(cid:235)(cid:246)(cid:247)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24) (cid:76) (cid:122)(cid:123) =2
2 2
𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚 −4 𝑥1 𝑥2 𝑥1+3(cid:76)(cid:233) > (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
𝑥(cid:15)2(cid:106)(cid:107)(cid:19)3𝑥1 𝑥2
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:39)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:126) +
3 3 𝑥1 𝑥2
= (cid:76) = (cid:76)(cid:143)(cid:164)(cid:24)(cid:125)(cid:57)(cid:58)(cid:230)(cid:231)(cid:33)(cid:248)(cid:162) = (cid:76) = (cid:76)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:38) = (cid:76)
3 3 3 3
2 2𝑚−3 4𝑚+ 4𝑚+ 2𝑚−3 2
(cid:39)(cid:37)2𝑚(cid:38)(cid:128)𝑥(cid:24) 1𝑥(cid:125) 2 𝑚
>
−4(cid:227)(cid:249)(cid:35)(cid:191)(cid:133)(cid:72)(cid:81) 𝑥2 𝑥1 ⋅ 𝑚 −4
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)𝑥1 (cid:76)𝑥2 (cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =4(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)
2 2
+ = ∵(cid:76)𝑥1 𝑥2= 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚
2
∴𝑥1 =𝑥2 2𝑚(cid:76) 𝑥1𝑥2 𝑚 −4
∴𝑥1 =22𝑚−+𝑥32
(cid:76)
∵𝑥1 𝑥2=2 +3(cid:76)
∴2𝑚−𝑥2 𝑥2
= (cid:76)
3
2𝑚−3
∴𝑥2
3
= = (cid:76)
3 3
2𝑚−3 4𝑚+
∴𝑥1 2𝑚−
3 = (cid:76)
3 3
4𝑚+ 2𝑚−3 2
∴ ⋅ 𝑚 −4
8 + =9 (cid:76)
2 2
∴ 𝑚+ 6𝑚−12=𝑚0−(cid:76)9 𝑚 −36
2
∴(cid:39)𝑚(cid:73) 6=𝑚−2(cid:242)7 =3(cid:76)
>𝑚 (cid:76)−9 𝑚
∵𝑥1
3 >
𝑥2
(cid:76)
3 3
4𝑚+ 2𝑚−3
∴
> (cid:76)
∴𝑚=3−(cid:76)3
∴(cid:135)𝑚(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)3(cid:81)
【题型5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
(cid:15)(cid:82)5(cid:19)(cid:84)23-24(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:217)(cid:218)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38)4 ( +5)=0(cid:28)(cid:39)(cid:88)(cid:76)(cid:250)(cid:153)(cid:48)(cid:62)(cid:55)
2
(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −5𝑥− 𝑚
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:24)𝑚(cid:125)≥(cid:48)−(cid:49)5 (cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:78)(cid:251)(cid:76)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:168)(cid:87)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:252)(cid:162)(cid:51)(cid:196)(cid:33)(cid:253)(cid:76)(cid:172)(cid:39)(cid:106)(cid:31)(cid:73) (cid:28)(cid:43)(cid:34)
(cid:44)(cid:45)(cid:81)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:78)(cid:251)(cid:76)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:196)(cid:58)(cid:170)(cid:171)(cid:76)(cid:39)(cid:165)(cid:20)(cid:28)𝑚(cid:3)(cid:124)(cid:104)= ×4× +5)] 0
(cid:73)(cid:126) 5 (cid:81)
2 0
Δ (−5) −4 4 [−(𝑚 ≥
𝑚+
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:3)−(cid:86) (cid:28)(cid:37)≤(cid:38)4 +5)=0(cid:28)(cid:39)(cid:88)(cid:76)(cid:250)(cid:153)(cid:48)(cid:62)(cid:55)(cid:27)(cid:39)(cid:76)
2
= ×4× +5)] 0
∵ 𝑥 𝑥 −5𝑥−(𝑚
2
5
0
(cid:76)
Δ (−5) −4 4 [−(𝑚 ≥
𝑚+
(cid:39)∴(cid:73) (cid:81) − ≤
(cid:135)(cid:106)𝑚(cid:107)(cid:79)≥(cid:10)−5 (cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)5-1(cid:19)𝑚(cid:84)≥24−-525(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:254)(cid:255)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)
2
(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:233) , (cid:122)(cid:123)2 > + (cid:76)(cid:80) (cid:28)(cid:43)(cid:34)𝑥(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −4𝑥 𝑚−1
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)3< 𝑥1<𝑥25/5>𝑥1𝑥>2 3 𝑥1𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)𝑚(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:28)𝑚(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:256)(cid:93)(cid:58)(cid:170)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)(cid:125)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:72)(cid:73) =
( ) ×1×( )>0(cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)2( )>4(cid:76)(cid:133)(cid:72)(cid:31)(cid:162)m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:81) Δ
2
(cid:15)−(cid:134)4(cid:39)−(cid:19)4(cid:39)(cid:10)(cid:24)(cid:125)𝑚(cid:20)−1(cid:209)(cid:76) =( ) ×1×( )>0(cid:76)𝑚−1
2
(cid:39)(cid:73) <5(cid:76) Δ −4 −4 𝑚−1
(cid:3)(cid:86)𝑚(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)
2
∵ +𝑥 =4, = 𝑥 −(cid:76)4𝑥 𝑚−1 𝑥1𝑥2
∴(cid:228)𝑥12 𝑥2 > 𝑥1+𝑥2 (cid:76)𝑚−1
2∵( 𝑥1𝑥2)>4𝑥1 𝑥2
(cid:39)∴ (cid:73)𝑚−>1 3(cid:76)
(cid:105)(cid:27)𝑚m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:104)(cid:10)3< <5(cid:81)
∴(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)3< <5(cid:81) 𝑚
(cid:15)(cid:116)(cid:33)5-2(cid:19)(cid:84)2𝑚3-24(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:257)(cid:258)·(cid:102)(cid:259)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)
2
(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:233) <1< (cid:76)(cid:80)(cid:105)(cid:27) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)𝑥(cid:79) (cid:81) 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 3 < 𝑥1𝑥 < 2 0 𝑥1 𝑥2 𝑎
2
− 𝑎
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:39)(cid:106)(cid:109)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:104)(cid:260)(cid:261)(cid:20)(cid:209)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:50)
(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:58)(cid:170)(cid:39)(cid:106)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:76)(cid:72)(cid:168)(cid:73)(cid:126)a
2
𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥2 2
(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125) <1< (cid:73)(cid:162)( )( )<0(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:162) + = (cid:76) =
𝑎+
𝑥1 𝑥2 𝑥1−1 𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 − 𝑎 𝑥1𝑥2
1
(cid:76)(cid:154)(cid:22)(cid:23)(cid:78)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:28)(cid:37)(cid:142)(cid:31)(cid:162)a(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:76)(cid:109)(cid:20)(cid:73)(cid:168)(cid:39)(cid:92)(cid:81)
𝑎(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) +( +2) +1=0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:76)
2
∵ 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥20
(cid:76)
( +2) >0
𝑎2≠
∴(cid:39)(cid:73)𝑎 0(cid:76)−4𝑎
(cid:76)𝑎≠(cid:104)(cid:37)(cid:38) +( +2) +1=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑎2𝑥 𝑎 1 𝑥
+ = (cid:76) = (cid:76)
𝑎+
∴𝑥1
<
𝑥
1
2
<
−(cid:76)𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
∵𝑥1 <0(cid:76)𝑥2 >0(cid:76)
∴𝑥(1−1 )( 𝑥2)−<10(cid:76)
∴ 𝑥1−1( 𝑥2+−1 )+1<0(cid:76)
∴𝑥1 1𝑥2− 𝑥2 1
+
𝑥
1
2
<0(cid:76)
𝑎+
∴𝑎− − 𝑎
3
(cid:130)(cid:186)(cid:73)(cid:10) < (cid:76)
𝑎 −2
3 3
(cid:74) <0(cid:75)(cid:76)(cid:39)(cid:51)(cid:196)(cid:33) < (cid:73)(cid:10) > (cid:76)
2
𝑎 𝑎 −2 𝑎 −
3 < <0(cid:147)
2
∴− 𝑎
3 3
(cid:74) >0(cid:75)(cid:76)(cid:39)(cid:51)(cid:196)(cid:33) < (cid:73)(cid:10) < (cid:76)
2
(cid:165)𝑎(cid:75)(cid:265)(cid:39)(cid:147) 𝑎 −2 𝑎 −
∴ (cid:67)(cid:169)(cid:78)(cid:108)(cid:72)(cid:58)(cid:10) 3 < <0(cid:81)
2
− 𝑎
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) 3 < <0(cid:81)
2
− 𝑎
(cid:15)(cid:116)(cid:33)5-3(cid:19)(cid:84)23-24(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:254)(cid:255)·(cid:102)(cid:259)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) ( +2) + +4=0
2 2
(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:76)(cid:103) (cid:121) (cid:122)(cid:123)(cid:10) =𝑥|− +2𝑚 |(cid:76)(cid:80)𝑥 𝑚= − 4 𝑚(cid:81)
𝑥1 𝑥2 1 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 3+2 2
2
𝑚≥
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:168)(cid:87)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:76)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:133)(cid:72)
(cid:73)(cid:162)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:48)(cid:41)(cid:51)(cid:196)(cid:33)(cid:76)(cid:39)(cid:140)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:162) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:147)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:162) +
= +2𝑚(cid:76) = +4(cid:76)(cid:35)(cid:36) (cid:28)(cid:43)𝑚(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:162) + = +2>0(cid:76)(cid:154)(cid:52) 𝑥1 𝑥2=| +
2
|(cid:76)2(cid:133)𝑚(cid:72)(cid:73)(cid:162)𝑥1⋅𝑥2 +𝑚 −4𝑚= +2(cid:76)𝑚(cid:39)(cid:140)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:162) (cid:28)(cid:34)(cid:81)𝑥1 𝑥2 2𝑚 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2
2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19) (cid:37)𝑚(cid:38)−4𝑚 4−+1 2+𝑚 +4=0(cid:153)(cid:77)𝑚(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:76)
2 2
= ∵ 𝑥+2−)(]2𝑚 2)𝑥 𝑚+−44)𝑚= 0(cid:76) 𝑥1 𝑥2
2 2
∴ Δ [−(2𝑚 −4(𝑚 −4𝑚 24𝑚−12≥1
(cid:39)(cid:73)(cid:10) (cid:147)
2
(cid:179)(cid:37)𝑚(cid:38)(cid:28)≥(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) (cid:121) (cid:76)
∵ + = +2(cid:76) 𝑥1 =𝑥2 +4(cid:76)
2
∴𝑥1 1𝑥2 2𝑚 𝑥1⋅𝑥2 𝑚 −4𝑚
(cid:76)
2
∵𝑚≥ + = +2>0(cid:76)
∴𝑥1 𝑥2 =2|𝑚+ |(cid:76)
∵𝑥1𝑥2−1= 𝑥1+ 𝑥2(cid:76)
∴𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2
1
+ = +2(cid:76)(cid:233) (cid:76)
2
2
(cid:130)∴(cid:186)𝑚(cid:73)−(cid:76)4𝑚 4−1 +1 2𝑚 =0(cid:76) 𝑚≥
2
=( 𝑚) −6×𝑚1×1=32>(cid:76)
2
∵𝛥 = −(6 )±−432=6±4 2=3±2 3(cid:76)
2 2
− −6
∴𝑚
1
(cid:76)
2
∵(cid:39)𝑚(cid:73)≥(cid:10) =3+2 2(cid:81)
∴ 𝑚 1
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) (cid:76)3+2 2(cid:81)
2
𝑚≥
【题型6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
(cid:15)(cid:82)6(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:188)(cid:189)(cid:266)(cid:157)·(cid:102)(cid:259)(cid:85)(cid:57)(cid:58)2 +3=0,3 +2=0(cid:76)(cid:233) 1(cid:76)(cid:80)
𝑥
2 2
𝑥 −2025𝑥 𝑦 −2025𝑦 𝑥𝑦≠ 𝑦
(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) /1.5
2
1
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:168)(cid:222)(cid:49)(cid:267)(cid:268)(cid:28)(cid:71)(cid:23)(cid:76)(cid:269) = (cid:76)(cid:35)(cid:36) 1(cid:76)(cid:80)z(cid:104)2
2
𝑦 𝑧 𝑥𝑦≠ 𝑧
+3=0(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:192)(cid:193)(cid:76)x(cid:69)z(cid:79)(cid:37)(cid:38)2 +3=0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:133)(cid:72)(cid:31)(cid:73)(cid:81)
2
−2025𝑧 1 𝑥 −2025𝑥
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:269) = (cid:76)
𝑦 𝑧
1(cid:76)
∵𝑥𝑦≠ 1 +2 1 =0(cid:76)
2
∴(cid:80)32−2025𝑦 +𝑦3=0(cid:76)
2
(cid:192)(cid:193)𝑧(cid:76)−x2(cid:69)02z5𝑧(cid:79)(cid:37)(cid:38)2 +3=0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)
2
𝑥 −2025𝑥3
= (cid:76)
2
∴𝑥𝑧 3
(cid:80) = (cid:76)
2
𝑥
𝑦
3
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) (cid:81)
2
+ =8
(cid:15)(cid:116)(cid:33)6-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:169)(cid:270)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:37)(cid:38)(cid:253)
=15
(cid:28)(cid:39)(cid:104) (cid:81)
𝑥 𝑦
=3 =5 𝑥𝑦
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) (cid:242)
=5 =3
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)𝑦(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)𝑦(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:129)(cid:37)(cid:38)(cid:253)(cid:221)(cid:198)(cid:254)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:254)(cid:79)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)
(cid:124)(cid:271)
(cid:197)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:129)(cid:37)(cid:38)(cid:253)(cid:221)(cid:198)(cid:79)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:271)
+ =8
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:52)(cid:20)(cid:209)(cid:76) (cid:76)
=15
𝑥 𝑦
(cid:76) (cid:72)(cid:168)(cid:272)(cid:273)(cid:104)(cid:37)(cid:38) ∵ 𝑥𝑦+15=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24).
2
∴(cid:228)𝑥 (cid:37)𝑦(cid:38) +15=𝑧0(cid:28)−8(cid:77)𝑧(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) =3(cid:242) =5(cid:76)
2
∵ 𝑧 −+8𝑧=8 =3 =𝑧5 𝑧
(cid:37)(cid:38)(cid:253) =15 (cid:28)(cid:39)(cid:104) =5 (cid:242) =3 .
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥
∴ 𝑥𝑦 =3 =5𝑦 𝑦
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) =5 (cid:242) =3 .
𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:116)(cid:33)6-2(cid:19)𝑦(cid:84)24-25(cid:136)𝑦(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:150)(cid:232)(cid:274)(cid:275)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:105)(cid:27) ( )(cid:122)(cid:123)2 =0(cid:76)2
2 2
𝑚,𝑛 𝑚≠𝑛 𝑚 −3𝑚−1 𝑛
=0(cid:76)(cid:80) + (cid:28)(cid:34)(cid:79)
𝑛 𝑚
−3𝑛−1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 13
2
−
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:168)(cid:87)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:276)(cid:117)(cid:118)(cid:22)(cid:23)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:73)(cid:126)m(cid:76)n(cid:104)(cid:37)
(cid:38)2 =0(cid:28)(cid:77)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:54)(cid:162)m(cid:76)n(cid:104)(cid:37)(cid:38)2 =0(cid:28)(cid:77)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:127)(cid:128)
2 2
(cid:22)(cid:23)𝑥(cid:24)−(cid:25)3𝑥(cid:26)−(cid:27)1(cid:3)(cid:26)(cid:133)(cid:72)(cid:31)(cid:39)(cid:81) 𝑥 −3𝑥−1
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:105)(cid:27) (cid:76) (cid:122)(cid:123)(cid:196)(cid:33)2 =0(cid:76)2 =0(cid:76)
2 2
m(cid:76)n(cid:104)(cid:37)(cid:38)∵2 𝑚 𝑛(=𝑚0≠(cid:28)𝑛(cid:77))(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76) 𝑚 −3𝑚−1 𝑛 −3𝑛−1
2
∴ 3 𝑥 −3𝑥1−1
+ = (cid:76) = (cid:76)
2 2
∴𝑚 + 𝑛 = 𝑚𝑛 =( − ) = 9 4 × 1 2 = 13 (cid:76)
2 2 2 1 2
𝑛 𝑚 𝑛 +𝑚 𝑚+𝑛 −2𝑚𝑛 −2 2−
∴𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛 − −
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) 13
2
−
(cid:15)(cid:116)(cid:33)6-3(cid:19)(cid:241) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:79)(cid:277)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:76)(cid:233)( )( )=1(cid:76)( )( )=1(cid:76)(cid:80)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑥 −𝑡 𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡(cid:28)(cid:34)(cid:79)(cid:84) (cid:85)
A(cid:81)-1 B(cid:81)1 C(cid:81)0 D(cid:81)0.5
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)A
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:185) , (cid:272)(cid:273)(cid:168)(cid:169)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:204)(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:73) ( + ) =0(cid:76)(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)
2 2 4 2 2 2 2 2
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)𝑥(cid:31)(cid:39)𝑦 (cid:133)(cid:72) 𝑥 − 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑡 −1
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) ( )( )=1(cid:76)( )( )=1(cid:76)
2 2 2 2 2 2 2 2
, (cid:272)(cid:273)(cid:168)∵(cid:169)(cid:37)𝑥 (cid:38)−𝑠(cid:28)(cid:77)𝑥(cid:62)−(cid:51)𝑡(cid:204)(cid:28)(cid:24)(cid:76)𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡
2 2
(cid:133)∴ 𝑥, 𝑦(cid:104)(cid:37)(cid:38) ( + ) =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)
2 2 4 2 2 2 2 2
(cid:135)𝑥 𝑦 = 𝑥 −(cid:76)𝑠 (cid:133) 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑡=−1
2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:135)𝑥(cid:278)𝑦A −𝑠 𝑡 −1 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡 −1
(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:32)(cid:132)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
(cid:15)(cid:82)7(cid:19)(cid:84)2024(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:114)(cid:280)·(cid:281)(cid:20)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)a(cid:121)b(cid:121)c(cid:104) (cid:28)(cid:282)(cid:230)(cid:283)(cid:28)(cid:284)(cid:76)(cid:192)(cid:193)(cid:37)(cid:38) +( + ) +
2
=0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
4
𝑐
A(cid:81)(cid:285)(cid:153)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:56)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
C(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:56)(cid:105)(cid:24) D(cid:81)(cid:286)(cid:153)(cid:48)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)B
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:121)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:282)(cid:283)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:39)(cid:109)
(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:288)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:24)(cid:125)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:162)(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:196)(cid:28)(cid:56)(cid:105)(cid:24)(cid:81)
(cid:24)(cid:125)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:282)(cid:283)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:126)( + ) > (cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:22)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:69)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:31)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:288)(cid:37)(cid:38) + 𝑎 ( + 𝑏 ) + 𝑐 =0(cid:88)(cid:76)
4
2 𝑐
𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
(cid:72)(cid:73)(cid:10) =( + ) =( + ) (cid:76)
4
2 𝑐 2 2
Δ 𝑎 𝑏 −4𝑐⋅ 𝑎 𝑏 −𝑐
a(cid:121)b(cid:121)c(cid:104) (cid:28)(cid:282)(cid:230)(cid:283)(cid:28)(cid:284)(cid:76)
∵ >0(cid:76) >△0(cid:76)𝐴𝐵𝐶>0(cid:81) + > (cid:76)(cid:133)( + ) > (cid:76)
2 2
∴𝑎( + ) 𝑏 >0𝑐(cid:76) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
2 2
∴ 𝑎>0𝑏(cid:76)−𝑐
∴(cid:37)Δ (cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
∴(cid:228) (cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:69)(cid:104) <0(cid:76)(cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:220)(cid:104)4 = 1 >0(cid:76)
𝑐
4
𝑎+𝑏
(cid:37)∵(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:196)−(cid:28)𝑐 (cid:56)(cid:105)(cid:24)(cid:81) 𝑐
∴(cid:135)(cid:278)(cid:10)B(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)7-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:150)(cid:155)(cid:235)(cid:289)·(cid:190)(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:85)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85)
2
A(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)𝑥(cid:105)−(cid:27)2(cid:24)𝑘𝑥(cid:233)−1(cid:77)(cid:24)(cid:293)(cid:9)
C(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:233)(cid:77)(cid:24)(cid:204)(cid:9) D(cid:81)(cid:285)(cid:153)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)B
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:10)(cid:103) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:28)(cid:77)
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:24)(cid:75)(cid:76) + = (cid:76) = .(cid:294)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:81)(cid:197)(cid:145)(cid:146)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:73)(cid:126) =4
𝑏 𝑐 2
+4(cid:76)(cid:80)𝑥1 > 𝑥 0 2 (cid:76)(cid:80)−(cid:24) 𝑎 (cid:125)𝑥(cid:24) 1𝑥(cid:28) 2 (cid:53)𝑎(cid:70)(cid:33)(cid:28)(cid:209)(cid:195)(cid:73)(cid:126)(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)Δ(cid:26)(cid:73)(cid:126)𝑘 (cid:37)
(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:24)Δ(cid:140)(cid:220)(cid:79) (cid:76)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:126)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:293)(cid:9)(cid:76)(cid:163)(cid:164)(cid:72)(cid:200)(cid:295)(cid:278)(cid:215)(cid:143)(cid:144)(cid:53)(cid:54)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) −1= ×1×( )=4 +4>0(cid:76)
2 2
(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)∵Δ(cid:91)(cid:196)((cid:28)−(cid:105)2𝑘(cid:27)) (cid:24)−4(cid:76) −1 𝑘
(cid:241)∴(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
= <0(cid:76) 𝑥1 𝑥2
∵𝑥(cid:37)1𝑥(cid:38)2(cid:28)(cid:77)−(cid:24)1 (cid:293)(cid:9)(cid:81)
(cid:135)∴(cid:278)(cid:10)B(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)7-2(cid:19)(cid:84)2022·(cid:150)(cid:155)(cid:235)(cid:289)·(cid:50)(cid:190)(cid:85)(cid:37)(cid:38)( +1)( )+1=0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:97)(cid:252)(cid:35)(cid:264)(cid:88)(cid:55)(cid:261)(cid:28)(cid:104)( )
A(cid:81)(cid:77)(cid:62)(cid:55)(cid:24) B(cid:81)(cid:77)(cid:62)(cid:56)(cid:24) 𝑥 C(cid:81)(cid:48)𝑥−(cid:62)2(cid:55)(cid:24)(cid:76)(cid:48)(cid:62)(cid:56)(cid:24) D(cid:81)(cid:265)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)C
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:37)(cid:38)(cid:130)(cid:186)(cid:79)(cid:48)(cid:199)(cid:66)(cid:33)(cid:76)(cid:296)(cid:297)(cid:162)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:76)(cid:53)(cid:54)(cid:39)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:172)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:133)(cid:72)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) ( +1)( )+1=0(cid:76)
(cid:130)(cid:186)(cid:76)(cid:73)(cid:10) ∵ 𝑥 =0𝑥(cid:76)−2
2
=( ) 𝑥 −×𝑥−(1 )=5>0(cid:76)
2
∵(cid:37)Δ (cid:38)(cid:153)−(cid:77)1 (cid:62)−(cid:51)4(cid:91)(cid:196)−(cid:28)1 (cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:241)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
∴ = <0(cid:76) + =1>0(cid:76)𝑥1 𝑥2
∵(cid:37)𝑥1𝑥(cid:38)2(cid:153)(cid:48)−(cid:62)1 (cid:55)(cid:24)(cid:76)𝑥1(cid:48)(cid:62)𝑥(cid:56)2 (cid:24)(cid:76)(cid:233)(cid:55)(cid:24)(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:151)(cid:86)(cid:56)(cid:24)(cid:28)(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:81)
∴(cid:135)(cid:278)(cid:10)C(cid:81)(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:81)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:10)(cid:103) (cid:76)
𝑥1 𝑥2
(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + = (cid:76) = (cid:147)(cid:33)(cid:299) = (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)
𝑏 𝑐
2 2
(cid:37)(cid:38) + + 𝑎𝑥 =0( 𝑏𝑥 0 𝑐 )(cid:24)(cid:28)(cid:53)𝑎(cid:70)≠(cid:33)(cid:76) > (cid:37)𝑥(cid:38) 1 (cid:153)𝑥(cid:77) 2 (cid:62)−(cid:51)𝑎(cid:196)(cid:28)𝑥1 (cid:105)𝑥2 (cid:27)(cid:24)𝑎(cid:147) = Δ (cid:37)𝑏(cid:38)−(cid:153)4𝑎(cid:77)𝑐 (cid:62)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)
2
(cid:27)(cid:24)𝑎(cid:147)𝑥 <𝑏𝑥 (cid:37)𝑐(cid:38)(cid:265)(cid:105)𝑎≠(cid:27)(cid:24)(cid:81)(cid:119)(cid:120)(cid:48)(cid:49)(cid:50)Δ(cid:41)(cid:37)0(cid:38)⇔(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)Δ(cid:104)(cid:39)0⇔(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)Δ7-3(cid:19)0⇔(cid:84)23-24(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:303)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:76)(cid:57)(cid:58) >0(cid:76) >0(cid:76) <0(cid:76)
2
(cid:80)(cid:256)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:81)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:55)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:285)(cid:153)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
C(cid:81)(cid:153)(cid:48)(cid:55)(cid:24)(cid:48)(cid:56)(cid:24)(cid:233)(cid:55)(cid:24)(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:151) D(cid:81)(cid:153)(cid:48)(cid:55)(cid:24)(cid:48)(cid:56)(cid:24)(cid:233)(cid:56)(cid:24)(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:151)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)D
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:197)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125) = (cid:53)(cid:54)(cid:24)(cid:28)(cid:229)(cid:9)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:24)(cid:125) + = (cid:53)(cid:194)(cid:24)(cid:28)
𝑐 𝑏
(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:151)(cid:304)(cid:3)(cid:26)(cid:81) 𝑥1𝑥2 𝑎 𝑥1 𝑥2 −𝑎
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19) >0(cid:76) >0(cid:76) <0(cid:76)
<0(cid:76)∵𝑎 >0 𝑏 𝑐
∴𝑎𝑐= 𝑎𝑏 >0(cid:76)
2
∴(cid:37)Δ (cid:38)𝑏(cid:153)−(cid:77)4(cid:62)𝑎𝑐(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
∴ = <0(cid:76)
𝑐
∵𝑥1𝑥2
𝑎
(cid:77)(cid:24)(cid:293)(cid:9)(cid:76)
∴
+ = <0(cid:76)
𝑏
∵ (cid:56) 𝑥1 (cid:24)(cid:28) 𝑥2 (cid:298)(cid:200) − (cid:34)𝑎 (cid:151)(cid:76)
∴(cid:67)(cid:169)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:153)(cid:48)(cid:55)(cid:24)(cid:48)(cid:56)(cid:24)(cid:233)(cid:56)(cid:24)(cid:298)(cid:200)(cid:34)(cid:151)(cid:76)
2
(cid:135)(cid:278)(cid:10)D(cid:81) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:68)(cid:146)(cid:142)(cid:80)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
(cid:15)(cid:82)8(cid:19)(cid:84)22-23(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:176)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:147) + + =0(cid:76)(cid:210)
2 2
(cid:88) 0(cid:76) (cid:76)(cid:305)(cid:162)(cid:168)(cid:97)(cid:181)(cid:62)(cid:35)(cid:264)(cid:10) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)𝑀(cid:196):𝑎(cid:28)𝑥(cid:105)(cid:27)𝑏𝑥(cid:24)(cid:76)𝑐(cid:80)(cid:37)(cid:38)𝑁N:𝑐(cid:294)𝑥(cid:153)(cid:77)𝑏𝑥(cid:62)(cid:51)𝑎(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)
𝑎𝑐≠ 𝑎≠𝑐 ① 1
(cid:27)(cid:24)(cid:147) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:229)(cid:9)(cid:91)(cid:204)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38)N(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:229)(cid:9)(cid:294)(cid:91)(cid:204)(cid:147) (cid:103)m(cid:104)(cid:37)(cid:38)M(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80) (cid:104)(cid:37)
(cid:38)N(cid:28)②(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:147) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:69)(cid:37)(cid:38)N(cid:153)(cid:48)(cid:62)(cid:91)(cid:204)(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:256)(cid:62)(cid:24)(cid:306)③(cid:104) =1(cid:76)(cid:210)(cid:88)(cid:55)(cid:261)(cid:28)(cid:35)(cid:264)(cid:104)(cid:84) 𝑚 (cid:85)
④ 𝑥A(cid:81) B(cid:81) C(cid:81) D(cid:81)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)①B③ ①②③ ①②④ ①③④
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:76)(cid:24)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:76)(cid:145)(cid:146)(cid:53)(cid:54)(cid:133)(cid:72)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19) + + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
= ∵𝑀:𝑎(cid:307)𝑥0(cid:76)𝑏𝑥 𝑐
2
∴Δ 𝑏+−4𝑎+𝑐 =0(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:79) = = (cid:307)0(cid:76)
2 2 2
∵(cid:37)𝑁:𝑐(cid:38)𝑥N(cid:294)𝑏𝑥(cid:153)(cid:77)𝑎(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)Δ(cid:24)(cid:76)𝑏 −4𝑐𝑎 𝑏 −4𝑎𝑐
∴(cid:135) (cid:55)(cid:261)(cid:147)
① + + =0(cid:77)(cid:24)(cid:229)(cid:9)(cid:91)(cid:204)(cid:76)
2
∵𝑀: = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0, (cid:307)0(cid:76)
2 𝑐
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐≥ 𝑎
= 0, (cid:307)0(cid:76)
2 𝑎
∴Δ 𝑏 −4𝑎𝑐≥ 𝑐
(cid:37)(cid:38)N(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:229)(cid:9)(cid:294)(cid:91)(cid:204)(cid:76)
∴(cid:135) (cid:55)(cid:261)(cid:147)
m②(cid:104)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:76)
2
∵ + 𝑀+:𝑎𝑥=0(cid:76)𝑏𝑥 𝑐
2
∴𝑎𝑚 𝑏𝑚1 𝑐
+ × + = =0
2
𝑐 𝑐+𝑏𝑚+𝑎𝑚
2 2
∵𝑚 𝑏 𝑚 𝑎 𝑚
1
(cid:104)(cid:37)(cid:38)N(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:147)
∴(cid:135)𝑚 (cid:55)(cid:261)(cid:147)
(cid:241)③(cid:37)(cid:38)M(cid:69)(cid:37)(cid:38)N(cid:91)(cid:204)(cid:28)(cid:24)(cid:79) (cid:76)
(cid:24)(cid:125)(cid:20)(cid:209)(cid:76)(cid:73) + + = 𝑥0 + + =0(cid:76)
2 2
( ) = 𝑎𝑥0(cid:76)𝑏𝑥0 𝑐 0,𝑐𝑥0 𝑏𝑥0 𝑎
2
∴ 𝑎−𝑐0𝑥(cid:76)0 𝑎−(cid:76)𝑐
∵𝑎𝑐≠=1(cid:76)𝑎≠𝑐
2
∴(cid:39)𝑥(cid:73)0 =±1(cid:76)
(cid:135)(cid:256)𝑥(cid:62)0(cid:24)(cid:104) =±1(cid:76)
(cid:135) (cid:308)(cid:309)(cid:147)𝑥
(cid:135)④(cid:278)B(cid:81)
(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:76)(cid:7)(cid:310)(cid:24)(cid:76)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:133)(cid:311)(cid:37)(cid:38)(cid:312)(cid:313)(cid:77)(cid:283)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:314)(cid:58)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)8-1(cid:19)(cid:84)22-23(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:150)(cid:155)(cid:235)(cid:289)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:121)
2
2(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38) + + =0 (cid:28)(cid:24)(cid:79) (cid:81) 𝑥 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘 −3
2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) 𝑎(=𝑥−1，ℎ) =3𝑘 / =3， =
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)𝑥(cid:24)1(cid:125)(cid:50)−(cid:41)2 (cid:315)𝑥(cid:27)2 (cid:25)(cid:48)(cid:49)𝑥1(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)𝑥2(cid:28)(cid:3)−(cid:26)2 (cid:168)(cid:87)(cid:315)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:316)(cid:39)(cid:20)(cid:147)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39) (cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:121)2
2
(cid:315)(cid:27) = ∵ + 𝑥 + (cid:25) (cid:317)(cid:28)(cid:318)(cid:171)𝑎((cid:79)𝑥 ℎ) (cid:76)𝑘(2,0) −3
2
∴ (cid:315)(cid:27)𝑦 =𝑎(𝑥 ℎ) + 𝑘 +𝑥 (cid:104)(cid:52)(cid:315)(cid:27) (−=3,0) + + (cid:319)(cid:313)(cid:115)(cid:316)(cid:48)(cid:62)(cid:320)(cid:321)(cid:284)(cid:322)(cid:73)(cid:126)(cid:147)
2 2
∵(cid:315)(cid:27) =𝑦 𝑎(𝑥−+1 ℎ)+ (cid:25)𝑘 (cid:317)(cid:28)(cid:318)(cid:171)𝑦(cid:79)𝑎(𝑥 ℎ(cid:76)) (3,𝑘0)
2
∴(cid:3)(cid:86)𝑦(cid:37)(cid:38)𝑎(𝑥−1 +ℎ) +𝑘 =𝑥 0(cid:28)(cid:24)(cid:79)(cid:10)(−2=,0) (cid:76) =3
2
∴(cid:135)(cid:106)(cid:107)𝑥(cid:79)(cid:10)𝑎(𝑥=−1 (cid:76)ℎ) =𝑘3 𝑥1 −2 𝑥2
(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)𝑥(cid:20)1(cid:110)(cid:111)−(cid:112)2 (cid:50)𝑥(cid:41)2 (cid:315)(cid:27)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:121)(cid:50)(cid:41)(cid:315)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:316)(cid:147)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:50)(cid:41)(cid:315)(cid:27)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)
(cid:38)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)8-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:175)(cid:150)(cid:101)(cid:157)·(cid:102)(cid:259)(cid:85)(cid:103) =2025(cid:76) =1(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:77)
2
(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38) + 2027 =0(cid:28)(cid:39)(cid:79) (cid:81) 𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2025
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19) =2027(cid:76) =
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)𝑥(cid:109)1(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)𝑥(cid:49)2 (cid:50)−(cid:41)1(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:121)(cid:39)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)
(cid:73) = (cid:76) = =2025(cid:76)(cid:129)(cid:37)(cid:38) + 2027 =0(cid:77)(cid:283)(cid:204)(cid:75)(cid:323)(cid:168) (cid:72)(cid:73)(cid:10) + 2027 =0(cid:76)
2025 2025
𝑏 𝑐 2 2 𝑏 𝑐
(cid:130) 𝑎 (cid:186)(cid:72)−(cid:73)2026 𝑎 𝑥1⋅𝑥2 =0(cid:76)(cid:31)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:81)𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐 𝑎 𝑥 𝑎𝑥− ⋅𝑎
2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)𝑥(cid:39)(cid:10)−2026=𝑥−22002257(cid:76) =1(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
= + =2026(cid:76) = =2025(cid:76)
𝑏 𝑐
∴−𝑎 𝑥1 𝑥2 𝑎 𝑥1⋅𝑥2
= (cid:76)
𝑏
∴𝑎 −2026
(cid:129)(cid:37)(cid:38) + 2027 =0(cid:77)(cid:283)(cid:204)(cid:75)(cid:323)(cid:168) (cid:72)(cid:73)(cid:10) + 2027 =0(cid:76)
2025 2025
2 2 𝑏 𝑐
𝑎𝑥 𝑏𝑥−
=
𝑐
0(cid:76)
𝑎 𝑥 𝑎𝑥− ⋅𝑎
2
∴(cid:39)𝑥(cid:73)−(cid:10)2026=𝑥−2022072(cid:76)7 = (cid:76)
(cid:37)(cid:38)
𝑥1
+
2027𝑥2
=0
−
(cid:28)
1
(cid:39)(cid:79) =2027(cid:76) = (cid:76)
2025
2
∴ 𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐 𝑥1 𝑥2 −1
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) =2027(cid:76) = (cid:81)
𝑥1 𝑥2 −1(cid:15)(cid:116)(cid:33)8-3(cid:19)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:204)(cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:3)(cid:86)y(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2 2
+ + =0(cid:294)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:204)(cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)𝑥(cid:24)(cid:76)𝑝(cid:80)𝑥(cid:97)(cid:252)𝑞 (cid:326)(cid:142)(cid:55)(cid:261)(cid:28)(cid:104)(cid:84) (cid:85) 𝑦
𝑞A𝑦(cid:81)p𝑝(cid:104)(cid:55)(cid:27)(cid:76)q(cid:104)(cid:56)(cid:27) B(cid:81) + (cid:327)8
2 2
C(cid:81)q(cid:104)(cid:55)(cid:27)(cid:76)p(cid:104)(cid:56)(cid:27) D(cid:81)(𝑝−2) +(𝑞−2) 8
2 2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)D (𝑝−2) (𝑞−2) ≥
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:241)(cid:37)(cid:38)x2+px+q(cid:328)0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:79)x (cid:121)x (cid:76)(cid:37)(cid:38)y2+qy+p(cid:328)0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:79)y (cid:121)y (cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:35)(cid:36)
1 2 1 2
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:162)x •x (cid:328)q(cid:307)0(cid:76)y •y (cid:328)p(cid:307)0(cid:76)(cid:133)(cid:72)(cid:53)(cid:54)A(cid:25)C(cid:147) (cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)
1 2 1 2
(cid:33)(cid:73)(cid:162)p2﹣4q≥0(cid:76)q2﹣4p≥0(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:51)(cid:196)(cid:33)(cid:28)(cid:329)(cid:330)(cid:168)(cid:87)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:7)(cid:33)(cid:73)(cid:162)②(cid:84)p﹣2(cid:85)2+(cid:84)q﹣2(cid:85)2≥8(cid:76)(cid:133)(cid:72)(cid:53)(cid:54)B
(cid:25)D(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:37)(cid:38)x2+px+q(cid:328)0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:79)x (cid:121)x (cid:76)(cid:37)(cid:38)y2+qy+p(cid:328)0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:79)y (cid:121)y (cid:81)
1 2 1 2
(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)x2+px+q(cid:328)0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:204)(cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:3)(cid:86)y(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)y2+qy+p(cid:328)0(cid:294)(cid:153)(cid:77)(cid:62)
(cid:204)∵ (cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
x •x (cid:328)q(cid:307)0(cid:76)y •y (cid:328)p(cid:307)0(cid:76)
1 2 1 2
(cid:135)∴ (cid:278)(cid:215)A(cid:25)C(cid:326)(cid:142)(cid:331)(cid:308)(cid:309)(cid:76)(cid:51)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)
(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)x2+px+q(cid:328)0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:204)(cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:3)(cid:86)y(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)y2+qy+p(cid:328)0(cid:294)(cid:153)(cid:77)(cid:62)
(cid:204)∵ (cid:9)(cid:324)(cid:325)(cid:130)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
p2﹣4q≥0(cid:76)q2﹣4p≥0(cid:76)
∴(cid:84)p﹣2(cid:85)2+(cid:84)q﹣2(cid:85)2(cid:328)p2﹣4q+4+q2﹣4p+4≥8(cid:84)p(cid:121)q(cid:51)(cid:276)(cid:204)(cid:75)(cid:79)2(cid:76)(cid:332)(cid:80)(cid:77)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:331)(cid:265)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:85)(cid:76)
∴(cid:135)(cid:278)(cid:215)B(cid:326)(cid:142)(cid:308)(cid:309)(cid:76)(cid:51)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)(cid:278)(cid:215)D(cid:326)(cid:142)(cid:55)(cid:261)(cid:76)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)
(cid:135)(cid:278)(cid:10)D(cid:81)
(cid:15)(cid:171)(cid:279)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:168)(cid:87)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:76)(cid:333)(cid:48)(cid:78)(cid:108)(cid:181)(cid:62)(cid:278)(cid:215)(cid:326)(cid:142)(cid:28)(cid:55)(cid:309)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
(cid:15)(cid:82)9(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:36)(cid:139)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:196)(cid:334) (cid:28)(cid:48)(cid:230)(cid:283)(cid:79)7(cid:76)(cid:210)(cid:335)(cid:77)(cid:283)(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:336)(cid:337)(cid:104)(cid:37)(cid:38)
2
( +1) + +5=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81)△𝐴𝐵𝐶 𝑥 −2
2
(cid:15) 𝑚(cid:106)(cid:107)(cid:19)𝑥4 𝑚
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:39)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:196)(cid:334)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:76)(cid:46)(cid:254)(cid:282)(cid:287)
(cid:66)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:76)(cid:74)(cid:334)(cid:284)(cid:79)7(cid:75)(cid:76) =7(cid:104)(cid:37)(cid:38) ( +1) + +5=0(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:74)(cid:205)(cid:283)(cid:284)(cid:79)7(cid:75)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38)
2 2
( +1) + +5=0𝑥(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:196)(cid:28)𝑥 (cid:105)−2(cid:27) 𝑚(cid:24)(cid:76)(cid:125)(cid:165)𝑥(cid:78)𝑚(cid:70)(cid:31)(cid:162)(cid:77)(cid:338)(cid:59)(cid:60)(cid:97)m(cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:154)(cid:31)(cid:162)(cid:37)(cid:38)(cid:200)(cid:71)(cid:28)(cid:24)(cid:76)
2 2
(cid:187)𝑥 (cid:128)−2(cid:24) 𝑚(cid:125)(cid:46)(cid:254)𝑥(cid:282)(cid:287)𝑚(cid:66)(cid:28)(cid:230)(cid:231)(cid:31)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:74)(cid:334)(cid:284)(cid:79)7(cid:75)(cid:76)(cid:80) =7(cid:104)(cid:37)(cid:38) ( +1) + +5=0(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:76)
2 2
7 ×7( +1)+ +5=0𝑥(cid:76) 𝑥 −2 𝑚 𝑥 𝑚
2 2
∴(cid:39)(cid:73)−2=4(cid:242) 𝑚 =10(cid:76)𝑚
(cid:74) 𝑚=4(cid:75)(cid:76)𝑚(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:61)(cid:48)(cid:24)(cid:79)2( +1) =2×(4+1) =3(cid:76)
(cid:165)𝑚(cid:75)(cid:234)(cid:196)(cid:334)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:78)(cid:70)(cid:79)7(cid:76)7(cid:76)3(cid:76) 𝑚 −7 −7
∴3+7>7(cid:76)
∵(cid:165)(cid:75)(cid:276)(cid:46)(cid:254)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:76)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)
∴(cid:74) =10(cid:75)(cid:76)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:61)(cid:48)(cid:24)(cid:79)2( +1) =2×(10+1) =15(cid:76)
(cid:165)𝑚(cid:75)(cid:234)(cid:196)(cid:334)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:78)(cid:70)(cid:79)7(cid:76)7(cid:76)15(cid:76) 𝑚 −7 −7
∴7+7<15(cid:76)
∵(cid:165)(cid:75)(cid:51)(cid:276)(cid:46)(cid:254)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:76)(cid:51)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)
∴(cid:74)(cid:205)(cid:283)(cid:284)(cid:79)7(cid:75)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38) ( +1) + +5=0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:196)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 2
𝑥 −2 𝑚 𝑥 𝑚
= ( +1) ( +5)=0(cid:76)
2
2
∴(cid:39)Δ(cid:73) −=22 (cid:76)𝑚 −4 𝑚
(cid:52)(cid:24) 𝑚 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:79) = = ( 1) =3(cid:76)
2
−2 𝑚+
∴ 𝑥1 𝑥2
3+3<7(cid:76)
∵(cid:165)(cid:75)(cid:51)(cid:276)(cid:46)(cid:254)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:76)(cid:51)(cid:229)(cid:36)(cid:20)(cid:209)(cid:147)
∴(cid:67)(cid:169)(cid:339)(cid:340)(cid:76) =4(cid:147)
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)4𝑚(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)9-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:150)(cid:155)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:103)(cid:48)(cid:62)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:77)(cid:230)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:284)(cid:78)(cid:70)(cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)
(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:233)(cid:210)(cid:224)(cid:220)(cid:79)4(cid:76)(cid:80)(cid:234)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:79) (cid:81)
2
(cid:15)𝑥(cid:106)(cid:107)−6(cid:19)𝑥 5𝑚
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:177)(cid:178)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:87)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:329)(cid:330)(cid:76)(cid:119)(cid:120)(cid:341)(cid:66)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:25)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:224)(cid:220)(cid:121)(cid:283)(cid:284)(cid:141)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:87)(cid:196)(cid:33)(cid:28)(cid:116)(cid:66)(cid:104)(cid:39)(cid:92)(cid:109)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:241)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:77)(cid:230)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:284)(cid:78)(cid:70)(cid:79)a(cid:121)b(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:87)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:25)(cid:341)(cid:66)(cid:224)(cid:220)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:196)(cid:33)(cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125)(cid:341)(cid:66)
(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:25)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:31)(cid:162)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:77)(cid:230)(cid:200)(cid:287)(cid:342)(cid:284)(cid:78)(cid:70)(cid:79)a(cid:121)b(cid:76)
+ =6
(cid:52)(cid:20)(cid:209)(cid:73)(cid:10) (cid:76)
=
𝑎 𝑏
𝑎𝑏 𝑚(cid:341)(cid:66)(cid:224)(cid:220)(cid:79)4(cid:76)
∵1
=4(cid:76)(cid:39)(cid:73)(cid:10) =8(cid:76)
2
∴ 𝑎𝑏 𝑎𝑏
(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:283)(cid:284)(cid:79) ( ) +( )
2 2
𝑎 2 𝑏 2
∴ 1
= +
2
2 2
1 𝑎 𝑏
= +
2
2
1 (𝑎 𝑏) −2𝑎𝑏
=
2
= 5
3(cid:76)6−16
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10) 5(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)9-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:169)·(cid:181)(cid:182)(cid:254)(cid:255)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:115)(cid:144)(cid:181)(cid:283)(cid:66) (cid:28)(cid:77)(cid:283) (cid:121) (cid:28)(cid:284)(cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)
(cid:37)(cid:38) + 1 =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:74)(cid:181)(cid:283)(cid:66) (cid:104)(cid:341)(cid:66)(cid:75)(cid:76)(cid:210)(cid:246) 𝐴𝐵 (cid:284) 𝐶 (cid:79) 𝐷 𝐴𝐵 (cid:81) 𝐴𝐷
2 4
2 𝑚
𝑥 −𝑚𝑥 − 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)2
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:197)(cid:24)(cid:125)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:329)(cid:330)(cid:73)(cid:126) = (cid:76)(cid:80)(cid:24)(cid:125)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:28)(cid:209)(cid:195)(cid:73)(cid:126) = ×( 1 1 )=0(cid:76)(cid:24)
2 4
2
𝐴𝐵 𝐴𝐷 △ (−𝑚) −4 𝑚−
(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)(cid:126) + = (cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:126) (cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:126)(cid:341)(cid:66) (cid:28)(cid:246)(cid:284)(cid:81)
(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐴(cid:3)𝐵(cid:26)(cid:69)𝐴(cid:115)𝐷(cid:144)(cid:181)𝑚(cid:283)(cid:66)(cid:69)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:329)(cid:330)𝑚(cid:76)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:104)(cid:10)(cid:117)(cid:118)𝐴(cid:119)𝐵(cid:120)𝐶𝐷(cid:91)(cid:3)(cid:329)(cid:330)(cid:194)(cid:186)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:181)(cid:283)(cid:66) (cid:104)(cid:341)(cid:66)(cid:76)
= (cid:76)∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵 (cid:76) 𝐴𝐷 (cid:28)(cid:284)(cid:104)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:37)(cid:38) + 1 =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 4
2 𝑚
∵𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 −
= ×( 1 1 )=0(cid:76) + = (cid:76)
2 4
2
∴ Δ (−𝑚) −4 𝑚− 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑚
(cid:39)(cid:73) = =1(cid:76)
𝑚 = 1 1 𝑚 = 2 1 (cid:76)
2 2
∴𝐴𝐵 𝑚
1
(cid:133)(cid:341)(cid:66)(cid:28)(cid:246)(cid:284)(cid:79) ×4=2(cid:81)
2
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)2(cid:81)
(cid:15)(cid:116)(cid:33)9-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:175)(cid:150)(cid:176)(cid:157)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:283)(cid:284)(cid:79)(cid:130)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:76)(cid:103)(cid:210)(cid:77)(cid:29)(cid:287)(cid:283)(cid:284)(cid:104)(cid:37)(cid:38) ( +2)
2
+ =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:234)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:343)(cid:283)(cid:284)(cid:79) (cid:81) 𝑥 − 𝑘
𝑥(cid:15)(cid:106)4(cid:107)𝑘(cid:19)13(cid:242)10(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:104)(cid:39)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:7)(cid:33)(cid:196)(cid:58)(cid:170)(cid:171)(cid:76)(cid:119)(cid:120)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:104)(cid:39)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:24)(cid:125)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:29)(cid:287)(cid:283)(cid:104)(cid:130)(cid:27)(cid:76)(cid:73)(cid:126)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:104)(cid:130)(cid:27)(cid:76)(cid:344)(cid:165)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:79)(cid:115)(cid:37)(cid:27)(cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:200)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:143)(cid:144)(cid:263)(cid:264)(cid:31)(cid:162)(cid:34)(cid:76)(cid:72)(cid:73)(cid:126)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:343)(cid:283)(cid:28)(cid:284)(cid:81)
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:77)(cid:29)(cid:287)(cid:283)(cid:284)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:80) + = +2, = (cid:76)
(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:79)(cid:130)(cid:27)(cid:76) 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑘 𝑥1⋅𝑥2 4𝑘
∵ =( +2) (cid:79)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:37)(cid:27)(cid:76)
2
∴(cid:241)Δ =𝑘( +2)−16𝑘 =
2 2
(cid:130)Δ(cid:186)(cid:73)(𝑘 + −)1(6𝑘 𝑛)=32(cid:76)
(cid:74)( +𝑘 𝑛−)6( 𝑘−𝑛−)6=32×1(cid:75)(cid:76)
① + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘3−2𝑛−6
=1
𝑘 𝑛−6
∴
𝑘−𝑛−465
(cid:39)(cid:73) = (cid:84)(cid:243)(cid:244)(cid:85)(cid:147)
2
(cid:74)𝑘 ( + )( )=16×2(cid:75)(cid:76)
② + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘1−6𝑛−6
=2
𝑘 𝑛−6
∴(cid:39)(cid:73)𝑘−𝑛=−165(cid:76)
𝑘
(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:343)(cid:283)(cid:284)(cid:79) + = ( + ) = ( ) =13(cid:147)
2 2 2 2
∴ (cid:74)( + )( )= 𝑥1 8×4 𝑥 (cid:75) 2 (cid:76) 𝑥1 𝑥2 −2𝑥1𝑥2 𝑘−2
② + 𝑘 𝑛>−6 𝑘−𝑛−6
∵𝑘 +𝑛−6 =𝑘8−𝑛−6
=4
𝑘 𝑛−6
∴(cid:39)(cid:73)𝑘−𝑛=−612(cid:76)
𝑘
(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:343)(cid:283)(cid:284)(cid:79) + = ( + ) = ( ) =10(cid:147)
2 2 2 2
∴(cid:67)(cid:169)(cid:76)(cid:234)(cid:29)(cid:287)(cid:282)(cid:287)(cid:66)(cid:28)(cid:343)(cid:283) 𝑥1 (cid:284)(cid:79) 𝑥 1 2 3(cid:242)10. 𝑥1 𝑥2 −2𝑥1𝑥2 𝑘−2
(cid:135)(cid:106)(cid:107)(cid:79)(cid:10)13(cid:242)10.
【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
(cid:15)(cid:82)10(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:137)(cid:138)(cid:345)(cid:157)·(cid:102)(cid:259)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) ( +1) +2=0(cid:81)
2
(1)(cid:53)(cid:54)(cid:165)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:172)(cid:326)(cid:260)(cid:186)(cid:52)(cid:81) 𝑥 𝑚𝑥 − 2𝑚 𝑥(2)(cid:103)(cid:165)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:255)(cid:104)(cid:130)(cid:27)(cid:76)(cid:31)(cid:229)(cid:36)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:130)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:81)
(3)(cid:103)(cid:165)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) , (cid:76)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33) +𝑚 ( +1) + +2 + (cid:28)(cid:34)(cid:81)
5 5 4 4 3 3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)(1)(cid:165)(cid:37)(cid:38)(cid:346)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)𝑥(cid:24)1(cid:76)𝑥2(cid:347)(cid:39)(cid:108) 𝑚 𝑥1 𝑥2 − 2𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2
(2)0
(3)0
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:121)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:73)(cid:194)(cid:195)(cid:121)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:10)(cid:103) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2
𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥
+ + =0( 0)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:75)(cid:76) + = (cid:76) = (cid:81)
𝑏 𝑐
𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝑥1 𝑥2 −𝑎 𝑥1𝑥2 𝑎
(cid:84)1(cid:85)(cid:52)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33) = ( +1) ×2=( ) (cid:133)(cid:72)(cid:58)(cid:147)
2
2
(cid:84)2(cid:85)(cid:24)(cid:125)(cid:348)(cid:349)(cid:194)(cid:186)(cid:58) Δ + − 2𝑚 = 1 = −4 2 𝑚 + 1 (cid:76) 2𝑚− = 12 (cid:76)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:255)(cid:104)(cid:130)(cid:27)(cid:72)(cid:73)(cid:106)(cid:107)(cid:147)
2𝑚+
(cid:84)3(cid:85)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:73)𝑥(cid:194) 1 (cid:195)(cid:73)𝑥2 𝑚 ( +1 𝑚 ) 𝑥 + 1 2 ⋅ = 𝑥2 0(cid:121) 𝑚 ( +1) +2=0(cid:76)(cid:350)(cid:164)(cid:58) ( +1)
2 2 5
+2 =0(cid:76) ( +𝑚𝑥11) − 2+𝑚2 =𝑥10(cid:76)(cid:77)(cid:33)(cid:91)(cid:351)𝑚(cid:72)𝑥2(cid:73)−(cid:81)2𝑚 𝑥2 𝑚𝑥1 − 2𝑚
4 3 5 4 3
𝑥(cid:15)1(cid:134)(cid:39)𝑥(cid:19)1(cid:84)1(cid:85)(cid:39)𝑚(cid:10)𝑥(cid:165)2 (cid:37)−(cid:38)2𝑚(cid:346)(cid:153)(cid:77)𝑥(cid:62)2(cid:105)(cid:27)𝑥(cid:24)2(cid:81)
(cid:186)(cid:52)(cid:10) = ( +1) 2=( ) (cid:76)
2
2
(cid:51)(cid:264)∵(cid:79)Δ(cid:64)(cid:34)−(cid:76)2(𝑚 ) −4𝑚0(cid:76)⋅ 2𝑚−1
2
∴(cid:165)(cid:37)𝑚(cid:38)(cid:346)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)2𝑚(cid:27)−(cid:24)1(cid:81)≥
(cid:84)∴2(cid:85)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:79) , (cid:76)
(cid:80) + = 1 =2+ 1 (cid:76) 𝑥1𝑥2 = 2 (cid:81)
2𝑚+
𝑥(cid:165) 1 (cid:37)(cid:38)𝑥2 (cid:28)(cid:77)(cid:62)𝑚(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:255) 𝑚 (cid:104)(cid:130)𝑥1 (cid:27)⋅𝑥(cid:76) 2 𝑚
∵ (cid:28)(cid:34)(cid:79)±1(cid:76)
∴𝑚(cid:229)(cid:36)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:130)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:79)0(cid:81)
(cid:84)∴3(cid:85)(cid:39)(cid:10) , (cid:104)𝑚(cid:37)(cid:38) ( +1) +2=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
( ∵𝑥+11𝑥)2 +2=𝑚0𝑥(cid:76)− 2𝑚 ( 𝑥+1) +2=0(cid:76)
2 2
∴𝑚𝑥1−(2𝑚+1)𝑥1+2 =0(cid:76)𝑚𝑥2− 2𝑚( +𝑥12) +2 =0(cid:76)
5 4 3 5 4 3
(cid:168)∴(cid:169)𝑚𝑥(cid:77)1−(cid:33)(cid:91)2𝑚(cid:351)(cid:76)(cid:72)𝑥(cid:73)1 𝑥1 + 𝑚(𝑥2−+2𝑚1) +𝑥2 +𝑥2 2 + =0(cid:76)
5 5 4 4 3 3
(cid:133) + ( +𝑚1)𝑥1 +𝑥2 −+2𝑚2 + 𝑥1 =𝑥02(cid:81) 𝑥1 𝑥2
5 5 4 4 3 3
(cid:15)𝑚(cid:116)(cid:33)𝑥110-𝑥12(cid:19)−(cid:84)224𝑚-25(cid:136)(cid:95)𝑥1(cid:96)(cid:97)𝑥·2(cid:175)(cid:150)·(cid:102)𝑥1(cid:88)(cid:85)𝑥(cid:3)2 (cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:81)
2
(1)(cid:31) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:81) 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑘
𝑘(2)(cid:83)(cid:191) (cid:104)(cid:229)(cid:36)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:187)(cid:151)(cid:130)(cid:27)(cid:76)(cid:233)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)( ) + + =0(cid:25)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)
2 2
(cid:48)(cid:62)(cid:91)(cid:204)𝑘(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:31)(cid:165)(cid:75) (cid:28)(cid:34)(cid:81) 𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥 𝑚−3 𝑥 −5𝑥 𝑘
(3)(cid:103)(cid:37)(cid:38) + =𝑚0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) , (cid:76)(cid:122)(cid:123) =4 (cid:76)(cid:31)(cid:165)(cid:75) (cid:28)(cid:34)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)(
𝑥
1)
−5𝑥25 𝑘 𝑥1𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑘
4
𝑘≤
9
(2)
10
(3)4
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:121)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:76)(cid:117)
(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:168)(cid:169)(cid:58)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:68)(cid:23)(cid:104)(cid:39)(cid:165)(cid:20)(cid:28)(cid:3)(cid:124)(cid:81)
(cid:84)1(cid:85)(cid:24)(cid:125) 0(cid:76)(cid:39)(cid:51)(cid:196)(cid:33)(cid:133)(cid:72)(cid:73)(cid:162)(cid:106)(cid:107)(cid:147)
(cid:84)2(cid:85)(cid:31)(cid:162)Δ(cid:28)≥(cid:34)(cid:79)6(cid:76)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:162) =2(cid:76) =3(cid:76)(cid:32)(cid:132)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:162) (cid:28)(cid:34)(cid:133)(cid:72)(cid:147)
(cid:84)3(cid:85)(cid:52)(cid:48)𝑘(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)𝑥1(cid:26)(cid:73)(cid:162)𝑥2+ =5(cid:76) = (cid:76)𝑚(cid:154)(cid:35)(cid:36) =4 (cid:31)(cid:162) , (cid:28)(cid:34)(cid:76)(cid:133)(cid:72)(cid:73)
(cid:162)(cid:106)(cid:107)(cid:81) 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑥1𝑥2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:39)(cid:10)(cid:24)(cid:125)(cid:20)(cid:209)(cid:73)(cid:10) = =( ) 0(cid:76)
2 2
25 Δ 𝑏 −4𝑎𝑐 −5 −4𝑘≥
(cid:39)(cid:73) (cid:147)
4
(cid:84)2(cid:85)𝑘(cid:39)≤(cid:10) (cid:104)(cid:229)(cid:36)(cid:230)(cid:231)(cid:28)(cid:187)(cid:151)(cid:130)(cid:27)(cid:76)
(cid:28)(cid:34)(cid:79)6∵(cid:76)𝑘
∴(cid:37)𝑘 (cid:38) + =0(cid:116)(cid:66)(cid:79) +6=0(cid:76)
2 2
∴(cid:39)(cid:73) 𝑥=−25(cid:76)𝑥 𝑘=3(cid:76) 𝑥 −5𝑥
(cid:48)(cid:49)𝑥1(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)𝑥2( ) + + =0(cid:25)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:153)(cid:48)(cid:62)(cid:91)(cid:204)(cid:28)(cid:24)(cid:76)
2 2
∵(cid:74) =2(cid:75)(cid:76)4(𝑚−1)𝑥+2+𝑥 𝑚−=30(cid:76) 𝑥 −5𝑥 𝑘
∴(cid:39)(cid:73)𝑥(cid:10) =1(cid:76)𝑚−1 𝑚−3
𝑚0(cid:76)
∵𝑚−11≠(cid:147)
∴(cid:74)𝑚≠=3(cid:75)(cid:76)9( )+3+ =0(cid:76)
𝑥 9 𝑚−1 𝑚−3
(cid:39)(cid:73)(cid:10) = (cid:76)
10
𝑚
9
(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
10
∴(cid:84)𝑚 3(cid:85)(cid:39)(cid:10) (cid:76) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
∵𝑥1 𝑥2 𝑥 −5𝑥 𝑘+ =5(cid:76) = (cid:76)
∴𝑥1 =𝑥42 (cid:76) 𝑥1𝑥2 𝑘
∵𝑥41 + 𝑥2=5(cid:76)
(cid:39)∴ (cid:73)𝑥2(cid:10) 𝑥2=1(cid:76)
=4𝑥(cid:76)2
∴𝑥1= =1×4=4(cid:81)
∴(cid:15)𝑘(cid:116)(cid:33)𝑥11𝑥02-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:181)(cid:182)(cid:235)(cid:352)·(cid:50)(cid:190)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:121) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:81)
2 2
(1)(cid:31)(cid:130)(cid:27) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:147) 𝑎 𝑏 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
(2)(cid:103)(cid:196)(cid:33)𝑘 + =0(cid:254)(cid:353)(cid:76)(cid:31)(cid:130)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)(𝑎1)±21𝑏(cid:76)−05 𝑘
(2)±1
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)(cid:109)(cid:20)(cid:110)(cid:111)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:69)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:147)
(cid:84)1(cid:85)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:354)(cid:153) 0(cid:76)(cid:31)(cid:162)k(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:76)(cid:73)(cid:126)(cid:130)(cid:27)(cid:39)(cid:133)(cid:72)(cid:147)
(cid:84)2(cid:85)(cid:24)(cid:125)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:73)Δ(cid:126)≥+ =2(cid:76) = +2(cid:76)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:132)(cid:31)(cid:162)(cid:130)(cid:27)k(cid:28)(cid:34)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:134)(cid:39)(cid:19)(cid:84)1(cid:85)(cid:39)(cid:10) (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) 𝑎 +𝑏 𝑎=0(cid:153)2(cid:77)𝑎−(cid:62)𝑘(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 2
= +8 0∵(cid:76) 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
2
(cid:39)∴Δ(cid:73)(cid:10)4−4𝑘3 ≥ 3(cid:76)
(cid:130)(cid:27) −(cid:28)(cid:79)≤±𝑘1(cid:76)≤0(cid:147)
∴(cid:84)2(cid:85)(cid:39)𝑘 (cid:10) (cid:121) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 2
+ =2∵(cid:76)𝑎 𝑏= +2(cid:76) 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
2 2
∴𝑎 +𝑏 =𝑎 2𝑎−+𝑘2+ = + =0(cid:76)
2 2 2
∴(cid:39)𝑎(cid:73) 2=𝑏±−51(cid:76)2𝑎−𝑘 2𝑏−5 4−𝑘 2−5
(cid:130)(cid:27)𝑘 (cid:28)(cid:34)(cid:79)±1(cid:81)
∴(cid:15)(cid:116)(cid:33)𝑘10-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:136)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:355)(cid:356)(cid:357)·(cid:158)(cid:159)(cid:118)(cid:160)(cid:85)(cid:358)(cid:359)(cid:48)(cid:10)(cid:194)(cid:195)(cid:10)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2
+ + =0( 0)(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:233)(cid:122)(cid:123)| + |=| |(cid:76)(cid:80)(cid:360)(cid:165)(cid:262)(cid:37)(cid:38)(cid:79)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:81)𝑎𝑥
(cid:82) 𝑏 (cid:83) 𝑥 (cid:10) 𝑐 9 𝑎 + ≠9 =0(cid:76)(cid:133)( ) 𝑥1 3𝑥2 =0(cid:76)(cid:39)(cid:73) 𝑥1 = 𝑥 3 2 , = 𝑥1 3⋅𝑥2
2 2 2 2
2
𝑥 − 𝑥 𝑥−3 𝑥− 𝑥1 𝑥2
+ 3 = × 3 (cid:76) 9 + 9 =0(cid:104)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:81)
2 2 2 2
2
∵∣3 ∣ ∣3 ∣ ∴𝑥 − 𝑥
(cid:358)(cid:359)(cid:50)(cid:10)(cid:142)(cid:280)(cid:27)(cid:11)(cid:361)(cid:348)(cid:349)(cid:288)(cid:362)(cid:363)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:75)(cid:364)(cid:365)(cid:10)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:28)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:80)(cid:10) + = , = (cid:76)(cid:256)(cid:366)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:294)(cid:367)(cid:360)(cid:273)“(cid:348)(cid:349)
𝑏 𝑐
(cid:194)(cid:186)”(cid:81)
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎𝑥1⋅𝑥2 𝑎
(1)(cid:37)(cid:38) +6=0 (cid:84)(cid:368)(cid:104)(cid:242)(cid:51)(cid:104)(cid:85)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:147)
2
(2)(cid:103)(cid:3)𝑥(cid:86)−x5(cid:28)𝑥(cid:37)(cid:38) ( +3) + =0(cid:104)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)(cid:80) =_____
2
(3)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)𝑥(cid:50)(cid:41)−(cid:37)𝑛(cid:38) 𝑥+(3𝑛 +1) + + =0(cid:104)𝑛 “(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)(cid:31)m(cid:28)(cid:34)(cid:81)
2 2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:19)(1)(cid:51)(cid:104) 𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 2𝑚
(2) 3 (cid:242) 3
2 4
−
(3)m(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:242) 3 (cid:242) 3 (cid:81)
(cid:15)(cid:78)(cid:108)(cid:19)本题−1考查了−新2定−义运−算2，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的
关键．
(cid:84)1(cid:85)(cid:24)(cid:125)“(cid:348)(cid:349)(cid:194)(cid:186)”(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:53)(cid:54)(cid:147)
(cid:84)2(cid:85)(cid:24)(cid:125)“(cid:348)(cid:349)(cid:194)(cid:186)”(cid:35)(cid:36)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:76)(cid:73)(cid:126)| +3|=| |(cid:76)(cid:125)(cid:165)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:31)(cid:39)(cid:147)
1 𝑛 3𝑛
(cid:84)3(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:178)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:31)(cid:73) (cid:76)(cid:154)(cid:24)(cid:125)“(cid:348)(cid:349)(cid:194)(cid:186)”(cid:35)(cid:36)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:28)(cid:194)(cid:195)(cid:76)(cid:73)(cid:126)| +1|=
4
| +
|(cid:76)(cid:125)(cid:165)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:72)(cid:31)𝑚(cid:39)(cid:81)≤ 2𝑚
2
(cid:15)𝑚(cid:134)(cid:39)2(cid:19)𝑚(cid:84)1(cid:85)(cid:39)(cid:10)(cid:241)(cid:37)(cid:38) +6=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) (cid:76) (cid:76)
2
𝑥 −5𝑥 𝑥1 𝑥2
+ = =5(cid:76) =6(cid:76)
𝑏
∴𝑥
5
1
6
𝑥
(cid:76)
2 −𝑎 𝑥1⋅𝑥2
∵| ≠+ | | |(cid:76)
∴(cid:37)𝑥1(cid:38) 𝑥2 ≠+𝑥16⋅=𝑥20(cid:51)(cid:104)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)
2
∴(cid:135)(cid:106)(cid:107)𝑥(cid:79)−(cid:10)5𝑥(cid:51)(cid:104)(cid:147)
(cid:84)2(cid:85)(cid:39)(cid:10) (cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) ( +3) + =0(cid:104)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:76) + = +3(cid:76) = (cid:76)
2
| +3|=∵| |(cid:76) 𝑥 − 𝑛 𝑥 3𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑛 𝑥1⋅𝑥2 3𝑛
∴ 𝑛 3𝑛 3
(cid:74) +3= (cid:75)(cid:76)(cid:39)(cid:73) = (cid:147)
2
𝑛 3𝑛 𝑛
3
(cid:74) +3= (cid:75)(cid:76)(cid:39)(cid:73) = (cid:147)
4
(cid:84)𝑛 3(cid:85)(cid:39)(cid:10)−(cid:37)3𝑛(cid:38) +( 𝑛 +1 − ) + + =0(cid:153)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2 2
=( ∵+1) 𝑥 ( 2+𝑚 ) 𝑥 0(cid:76)𝑚 2𝑚
2 2
∴Δ 12𝑚 −4 𝑚 2𝑚 ≥
(cid:76)
4
∴𝑚≤(cid:37)(cid:38) +( +1) + + =0(cid:104)“(cid:69)(cid:220)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)
2 2
∵| +𝑥 1|=2|𝑚 + 𝑥 |(cid:76)𝑚 2𝑚
2
(cid:74)∴ 2𝑚 +1= 𝑚+ 2𝑚(cid:75)(cid:76)
2
(cid:130)(cid:186)2𝑚(cid:73) =𝑚1(cid:76) 2𝑚
2
(cid:39)(cid:73) 𝑚=1(cid:84)(cid:243)(cid:244)(cid:85)(cid:242) = (cid:147)
(cid:74) 𝑚+1= (cid:75)𝑚(cid:76)−1
2
(cid:130)2(cid:186)𝑚(cid:73) +−𝑚+−12=𝑚0(cid:76)
2
(cid:39)(cid:73) 𝑚= 34𝑚(cid:242) = 3 (cid:147)
m(cid:28)𝑚(cid:34)(cid:79) −(cid:242)2 3𝑚 (cid:242)− −32 (cid:81)
∴ −1 −2 − −2