文档文本内容
专题 22.4 一元二次方程的根与系数的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:36)(cid:21)............................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:36)(cid:21)....................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:36)(cid:21)....................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:33)(cid:44)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:21)........................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:33)(cid:44)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:21)............................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:21)....................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:53)(cid:41)(cid:39)(cid:40)(cid:54)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:55)(cid:56)(cid:26)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:21)........................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:54)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:50)(cid:64)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:21)................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:30)(cid:69)(cid:38)(cid:70)(cid:25)(cid:21)............................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:71)(cid:26)(cid:30)(cid:55)(cid:72)(cid:35)(cid:30)(cid:69)(cid:38)(cid:73)(cid:25)(cid:21)........................................................................................5
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. (cid:54)(cid:33)(cid:26)(cid:7)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76) (cid:77)(cid:78)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + = 0)(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:81) = (cid:78) =
𝟐
2 −𝒃+ 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥𝟎 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ 𝑥1 𝟐𝒂 𝑥2
,(cid:82) + = (cid:78) = (cid:83)
𝟐
−𝒃− 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝒃 𝒄
(cid:84)(cid:85)𝟐(cid:10)𝒂(cid:39)(cid:40) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = −𝒂 0(cid:30)𝑥(cid:79) 1𝑥(cid:26) 2 (cid:81)𝒂 (cid:78) (cid:78)(cid:82) + = (cid:78) = (cid:83)
2
2. (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)𝑥(cid:39)(cid:40)𝑝(cid:26)𝑥(cid:27)(cid:28)𝑞(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:30)(cid:73)𝑥(cid:25)1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝒑 𝑥1𝑥2 𝒒
(cid:86)1(cid:87)(cid:53)(cid:41)(cid:39)(cid:40)(cid:78)(cid:33)(cid:3)(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:30)(cid:36)(cid:83)
(cid:86)2(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:40)(cid:50)(cid:26)(cid:78)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:63)(cid:50)(cid:26)(cid:89)(cid:39)(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:30)(cid:36)(cid:83)
(cid:86)3(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:40)(cid:79)(cid:26)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:78)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:30)(cid:36)(cid:83)
(cid:86)4(cid:87)(cid:27)(cid:26)(cid:30)(cid:55)(cid:72)(cid:35)(cid:93)(cid:37)(cid:38)(cid:78)(cid:41)(cid:94)(cid:50)(cid:95)(cid:69)(cid:38)(cid:22)(cid:83)
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:84)1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:17)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:104) (cid:105)(cid:3)(cid:88) (cid:30)(cid:39)(cid:40) =0(cid:30)(cid:79)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:82) + (cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83)
𝑏 𝑎
2
(cid:15)(cid:107)(cid:35)1-1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:111)·(cid:103)(cid:90)𝑎(cid:87),𝑏(cid:59)(cid:60) 𝑥(cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)𝑥 (cid:43)−𝑥(cid:39)−(cid:40)3
+
=0(cid:30)𝑎(cid:79)(cid:64)𝑏(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:82)
2
= (cid:83) 𝑎,𝑏 𝑥 𝑥−2025
𝑎𝑏−𝑎−𝑏(cid:15)(cid:107)(cid:35)1-2(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:19)(cid:115)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:105) (cid:78) (cid:78)(cid:82)
2
+ (cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83) 𝑥 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
2 2
𝑥(cid:15)1(cid:107)(cid:35)𝑥21-3(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:114)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:104)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:86)m(cid:81)(cid:57)(cid:123)(cid:29)(cid:87)(cid:30)
2 2
(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:124)(cid:81) (cid:78) (cid:78)(cid:85)(cid:10)(cid:76) =1(cid:77)(cid:78)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:124)(cid:81) (cid:78) (cid:78)(cid:82) 𝑥 1 + 2𝑥1− + 𝑚1− + 𝑚1 + + 1 + 1
𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚 𝛼1 𝛽1 𝛼1 𝛽1 𝛼2 𝛽2 ⋯ 𝛼2025 𝛽2025
= (cid:83)
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:84)2(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:104) (cid:78) (cid:105)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:82)(cid:34)(cid:29)(cid:35)2
2 2
+ + +5(cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−2025 𝛼
(cid:15)6(cid:107)𝛼(cid:35)22-𝛽1(cid:21)(cid:86)2025·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:109)·(cid:90)(cid:130)(cid:131)(cid:22)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:40) =0(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:81) (cid:71) (cid:78)(cid:82)(cid:34)(cid:29)(cid:35) +
2 2
(cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83) 𝑥 −5𝑥−24 𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:107)(cid:35)2-2(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:109)(cid:115)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60) (cid:71) (cid:105)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:26)(cid:78)(cid:82) +
2 2
( )(cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83) 𝑎 𝑏 𝑥 4𝑥−4 𝑎 5𝑎−𝑏
(cid:15)𝑎−(cid:107)1(cid:35)2-3(cid:21)(cid:86)2025·(cid:132)(cid:133)·(cid:50)(cid:134)(cid:87)(cid:85)(cid:135)m(cid:78)n(cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) =3(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:136)(cid:137)2 + (cid:30)
2 2
(cid:36)(cid:105) (cid:83) 𝑥 −𝑥 𝑛 −𝑚𝑛 2𝑚
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
(cid:15)(cid:84)3(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:138)(cid:139)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:59)(cid:60) (cid:140) (cid:105)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:26)(cid:78)(cid:82) + +2(cid:30)
2 3
(cid:36)(cid:105) (cid:83) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−1 𝛼 5𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:35)3-1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:141)(cid:142)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:59)(cid:60) (cid:140) (cid:105)(cid:39)(cid:40) + +2=0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:26)(cid:78)(cid:82) + +5
2 3
(cid:30)(cid:36)(cid:105) (cid:83) 𝛼 𝛽 𝑥 4𝑥 𝛼 14𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:35)3-2(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:132)(cid:133)(cid:144)(cid:145)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:85)(cid:135)m(cid:78)n(cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:26)(cid:78)(cid:136)
2
(cid:137)(cid:146)(cid:147)(cid:35) + + 3 +2032(cid:30)(cid:36)(cid:105) (cid:83) 𝑥 𝑥−3
3
(cid:15)(cid:107)(cid:35)3- 𝑚 3(cid:21)(cid:86) 3 2 𝑛 4 − -2 𝑚 5 𝑛 (cid:96)(cid:97)𝑛(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:148)(cid:132)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:59)(cid:60) (cid:78) (cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:78)(cid:33) +3
2 6
(cid:30)(cid:36)(cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 𝑥−3 𝛼 −40𝛽
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
(cid:15)(cid:84)4(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)(cid:114)(cid:149)(cid:16)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:3)(cid:88) (cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)
2
6 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
(cid:26) (cid:78) (cid:83)(cid:106)(cid:29) (cid:151)(cid:152)( )( )= (cid:78)(cid:82)(cid:106)(cid:29) (cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83)
(cid:15)𝑥(cid:107) 1 (cid:35)𝑥 4 2 -1(cid:21)(cid:86)2 𝑚 4-25(cid:96)(cid:97)𝑥1 (cid:98)−1(cid:99)· 𝑥(cid:114) 2−(cid:153)1(cid:96)(cid:114)𝑚 ·(cid:103)−1(cid:90)(cid:87)(cid:59)(cid:60)𝑚(cid:78) (cid:105)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:39)(cid:40) +1=0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)
2
𝑥1 𝑥2 𝑥 −𝑚𝑥(cid:154)( )( )= (cid:78)(cid:82)m(cid:30)(cid:36)(cid:155)(cid:88) (cid:83)
(cid:15)(cid:107)𝑥1(cid:35)−24-2𝑥(cid:21)2−(cid:86)224-25−(cid:96)3(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:157)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:39)(cid:40) +( ) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:158)(cid:159)(cid:105)(cid:79)(cid:26)
2 2
(cid:158)(cid:71)(cid:30)2(cid:160)(cid:78)(cid:82) = (cid:83) 𝑥 4−2𝑚 𝑥 𝑚 −5
(cid:15)(cid:107)(cid:35)4-3(cid:21)(cid:86)24𝑚-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:161)(cid:156)(cid:162)(cid:163)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:26) (cid:78) (cid:151)(cid:152) =2
2 2
+3(cid:78)(cid:154) > (cid:78)(cid:82)m(cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83) 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚 −4 𝑥1 𝑥2 𝑥1
𝑥 【 2 题型5 𝑥 利 1 用根 𝑥2 与系数的关系求参数的取值范围】
(cid:15)(cid:84)5(cid:21)(cid:86)23-24(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)(cid:114)(cid:149)(cid:16)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:104)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:39)(cid:40)4 ( +5)=0(cid:30)(cid:41)(cid:90)(cid:78)(cid:164)(cid:150)(cid:50)(cid:64)(cid:57)
2
(cid:29)(cid:41)(cid:78)(cid:82)m(cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:105) (cid:83) 𝑥 −5𝑥− 𝑚
(cid:15)(cid:107)(cid:35)5-1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:127)(cid:128)(cid:165)(cid:166)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:3)(cid:88) (cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)
2
(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:26) , (cid:78)(cid:154) , (cid:151)(cid:152)2 > + (cid:78)(cid:82) (cid:30)(cid:45)(cid:36)𝑥(cid:46)(cid:47)(cid:105) (cid:83) 𝑥 −4𝑥 𝑚−1
(cid:15)(cid:107)(cid:35)5-2(cid:21)(cid:86)𝑥123𝑥-224(cid:108)(cid:97)𝑥1(cid:98)𝑥2(cid:99)·(cid:125)(cid:114)𝑥1(cid:167)𝑥2(cid:168)·(cid:103)𝑥1(cid:169)(cid:87)𝑥(cid:59)2 (cid:60)(cid:3)𝑚(cid:88) (cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) +( +2) +1=0(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)
2
(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:26) , (cid:78)(cid:154) <1< (cid:78)(cid:82)(cid:106)(cid:29) (cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:46)(cid:47)𝑥(cid:81) (cid:83) 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
(cid:15)(cid:107)(cid:35)5-3(cid:21)(cid:86)𝑥213𝑥-224(cid:96)(cid:97)𝑥1(cid:98)(cid:143)·(cid:127)𝑥(cid:128)2(cid:165)(cid:166)·(cid:103)(cid:169)𝑎(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) ( +2) + +4=0
2 2
(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26) (cid:78) (cid:78)(cid:82)m(cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:105) (cid:78)(cid:104) (cid:140) (cid:151)(cid:152)(cid:10) =𝑥|− +2𝑚 |(cid:78)(cid:82)𝑥 𝑚= − 4 𝑚(cid:83)
【题型6 利用 𝑥1 根与 𝑥2 系数的关系构造一元二次方程求 𝑥 解 1 】 𝑥2 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:84)6(cid:21)(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:132)(cid:133)(cid:170)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:87)(cid:59)(cid:60)2 +3=0,3 +2=0(cid:78)(cid:154) 1(cid:78)(cid:82)
𝑥
2 2
𝑥 −2025𝑥 𝑦 −2025𝑦 𝑥𝑦≠ 𝑦
(cid:30)(cid:36)(cid:81) (cid:83)
+ =8
(cid:15)(cid:107)(cid:35)6-1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:143)(cid:171)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:39)(cid:40)(cid:172)
=15
(cid:30)(cid:41)(cid:105) (cid:83)
𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:107)(cid:35)6-2(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:114)(cid:153)(cid:173)(cid:174)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)𝑥(cid:106)𝑦(cid:29) ( )(cid:151)(cid:152)2 =0(cid:78)2
2 2
𝑚,𝑛 𝑚≠𝑛 𝑚 −3𝑚−1 𝑛
=0(cid:78)(cid:82) + (cid:30)(cid:36)(cid:81)
𝑛 𝑚
−3𝑛−1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:107)(cid:35)6-3(cid:21)(cid:175) (cid:78) (cid:78) (cid:78) (cid:81)(cid:176)(cid:53)(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:78)(cid:154)( )( )=1(cid:78)( )( )=1(cid:78)(cid:82)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:30)(cid:36)(cid:81)(cid:86) (cid:87) 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑥 −𝑡 𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡
A(cid:83)-1 B(cid:83)1 C(cid:83)0 D(cid:83)0.5
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
(cid:15)(cid:84)7(cid:21)(cid:86)2024(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:177)(cid:178)·(cid:179)(cid:22)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)a(cid:140)b(cid:140)c(cid:105) (cid:30)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:30)(cid:183)(cid:78)(cid:136)(cid:137)(cid:39)(cid:40) +( + ) +
2
=0(cid:30)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:86) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
4
𝑐
A(cid:83)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:29)(cid:26) B(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:58)(cid:106)(cid:29)(cid:26)C(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:58)(cid:106)(cid:26) D(cid:83)(cid:185)(cid:150)(cid:50)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)
(cid:15)(cid:107)(cid:35)7-1(cid:21)(cid:86)2025·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:134)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:87)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) =0(cid:30)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:86) (cid:87)
2
A(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:26) B(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)(cid:93)(cid:155)(cid:30)𝑥(cid:106)−(cid:29)2(cid:26)𝑘𝑥(cid:154)−1(cid:79)(cid:26)(cid:190)(cid:9)
C(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:154)(cid:79)(cid:26)(cid:191)(cid:9) D(cid:83)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:29)(cid:26)
(cid:15)(cid:107)(cid:35)7-2(cid:21)(cid:86)2022·(cid:114)(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:52)(cid:134)(cid:87)(cid:39)(cid:40)( +1)( )+1=0(cid:30)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:78)(cid:99)(cid:192)(cid:37)(cid:193)(cid:90)(cid:57)(cid:194)(cid:30)(cid:105)( )
A(cid:83)(cid:79)(cid:64)(cid:57)(cid:26) B(cid:83)(cid:79)(cid:64)(cid:58)(cid:26) 𝑥 C(cid:83)(cid:50)𝑥−(cid:64)2(cid:57)(cid:26)(cid:78)(cid:50)(cid:64)(cid:58)(cid:26) D(cid:83)(cid:195)(cid:106)(cid:29)(cid:26)
(cid:15)(cid:107)(cid:35)7-3(cid:21)(cid:86)23-24(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + =0(cid:78)(cid:59)(cid:60) >0(cid:78) >0(cid:78) <0(cid:78)
2
(cid:82)(cid:200)(cid:64)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:105)(cid:86) (cid:87) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:83)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:57)(cid:30)(cid:106)(cid:29)(cid:26) B(cid:83)(cid:184)(cid:150)(cid:106)(cid:29)(cid:26)
C(cid:83)(cid:150)(cid:50)(cid:57)(cid:26)(cid:50)(cid:58)(cid:26)(cid:154)(cid:57)(cid:26)(cid:201)(cid:202)(cid:36)(cid:19) D(cid:83)(cid:150)(cid:50)(cid:57)(cid:26)(cid:50)(cid:58)(cid:26)(cid:154)(cid:58)(cid:26)(cid:201)(cid:202)(cid:36)(cid:19)
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
(cid:15)(cid:84)8(cid:21)(cid:86)22-23(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + =0(cid:203) + + =0(cid:78)(cid:204)
2 2
(cid:90) 0(cid:78) (cid:78)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:99)(cid:127)(cid:64)(cid:37)(cid:193)(cid:10) (cid:104)(cid:39)(cid:40)M(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:53)(cid:93)𝑀(cid:155):𝑎(cid:30)𝑥(cid:106)(cid:29)𝑏𝑥(cid:26)(cid:78)𝑐(cid:82)(cid:39)(cid:40)𝑁N:𝑐(cid:208)𝑥(cid:150)(cid:79)𝑏𝑥(cid:64)(cid:53)𝑎(cid:93)(cid:155)(cid:30)(cid:106)
𝑎𝑐≠ 𝑎≠𝑐 ① 1
(cid:29)(cid:26)(cid:203) (cid:104)(cid:39)(cid:40)M(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:209)(cid:9)(cid:93)(cid:191)(cid:78)(cid:82)(cid:39)(cid:40)N(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:209)(cid:9)(cid:208)(cid:93)(cid:191)(cid:203) (cid:104)m(cid:105)(cid:39)(cid:40)M(cid:30)(cid:50)(cid:64)(cid:26)(cid:78)(cid:82) (cid:105)(cid:39)
(cid:40)N(cid:30)②(cid:50)(cid:64)(cid:26)(cid:203) (cid:104)(cid:39)(cid:40)M(cid:71)(cid:39)(cid:40)N(cid:150)(cid:50)(cid:64)(cid:93)(cid:191)(cid:30)(cid:26)(cid:78)(cid:82)(cid:200)(cid:64)(cid:26)(cid:210)③(cid:105) =1(cid:78)(cid:204)(cid:90)(cid:57)(cid:194)(cid:30)(cid:37)(cid:193)(cid:105)(cid:86) 𝑚 (cid:87)
A(cid:83) ④ B(cid:83) C(cid:83) D(cid:83)𝑥
(cid:15)(cid:107)(cid:35)①8-1③(cid:21)(cid:86)22-23(cid:96)(cid:97)(cid:98)①(cid:143)②·(cid:114)③(cid:116)(cid:156)(cid:186)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:104)①(cid:3)(cid:88)②④(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)①③+④ + =0(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:81) (cid:140)
2
2(cid:78)(cid:82)(cid:39)(cid:40) + + =0 (cid:30)(cid:26)(cid:81) (cid:83) 𝑥 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘 −3
2
(cid:15)(cid:107)(cid:35)8-2𝑎(cid:21)(𝑥(cid:86)−214-25ℎ)(cid:96)(cid:97)𝑘(cid:98)(cid:143)·(cid:125)(cid:114)(cid:102)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:87)(cid:104) =2025(cid:78) =1(cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + =0(cid:30)(cid:79)
2
(cid:64)(cid:26)(cid:78)(cid:82)(cid:39)(cid:40) + 2027 =0(cid:30)(cid:41)(cid:81) (cid:83) 𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2025
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐
(cid:15)(cid:107)(cid:35)8-3(cid:21)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + =0(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:191)(cid:9)(cid:211)(cid:212)(cid:123)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:3)(cid:88)y(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)
2 2
+ + =0(cid:208)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:191)(cid:9)(cid:211)(cid:212)(cid:123)(cid:29)𝑥(cid:26)(cid:78)𝑝(cid:82)𝑥(cid:99)(cid:192)𝑞 (cid:213)(cid:214)(cid:57)(cid:194)(cid:30)(cid:105)(cid:86) (cid:87) 𝑦
𝑞A𝑦(cid:83)p𝑝(cid:105)(cid:57)(cid:29)(cid:78)q(cid:105)(cid:58)(cid:29) B(cid:83) + (cid:215)8
2 2
C(cid:83)q(cid:105)(cid:57)(cid:29)(cid:78)p(cid:105)(cid:58)(cid:29) D(cid:83)(𝑝−2) +(𝑞−2) 8
2 2
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用 ( 】 𝑝−2) (𝑞−2) ≥
(cid:15)(cid:84)9(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:38)(cid:111)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:155)(cid:216) (cid:30)(cid:50)(cid:181)(cid:182)(cid:81)7(cid:78)(cid:204)(cid:217)(cid:79)(cid:182)(cid:30)(cid:182)(cid:183)(cid:218)(cid:219)(cid:105)(cid:39)(cid:40)
2
( +1) + +5=0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:26)(cid:78)(cid:82)m(cid:30)(cid:36)(cid:105) (cid:83)△𝐴𝐵𝐶 𝑥 −2
2
(cid:15) 𝑚(cid:107)(cid:35)9𝑥-1(cid:21)𝑚(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:114)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:104)(cid:50)(cid:64)(cid:220)(cid:68)(cid:30)(cid:79)(cid:181)(cid:202)(cid:221)(cid:222)(cid:183)(cid:80)(cid:72)(cid:105)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:154)(cid:204)(cid:223)(cid:159)(cid:81)4(cid:78)(cid:82)(cid:224)(cid:220)(cid:68)(cid:30)(cid:182)(cid:183)(cid:81) (cid:83)
2
(cid:15)𝑥(cid:107)(cid:35)−69𝑥-2(cid:21)𝑚(cid:86)24-25(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:143)·(cid:127)(cid:128)(cid:165)(cid:166)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:225)(cid:226)(cid:127)(cid:182)(cid:68) (cid:30)(cid:79)(cid:182) (cid:140) (cid:30)(cid:183)(cid:105)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)
(cid:39)(cid:40) + 1 =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:78)(cid:76)(cid:127)(cid:182)(cid:68) (cid:105)(cid:220)(cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:204)(cid:162) 𝐴𝐵 (cid:183) 𝐶 (cid:81) 𝐷 𝐴𝐵 (cid:83) 𝐴𝐷
2 4
2 𝑚
𝑥 −𝑚𝑥 − 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:107)(cid:35)9-3(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)(cid:114)(cid:126)(cid:118)·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:182)(cid:183)(cid:81)(cid:123)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:221)(cid:180)(cid:221)(cid:68)(cid:78)(cid:104)(cid:204)(cid:79)(cid:31)(cid:221)(cid:182)(cid:183)(cid:105)(cid:39)(cid:40) ( +2)
2
+ =0(cid:30)(cid:79)(cid:26)(cid:78)(cid:82)(cid:224)(cid:31)(cid:221)(cid:180)(cid:221)(cid:68)(cid:30)(cid:227)(cid:182)(cid:183)(cid:81) (cid:83) 𝑥 − 𝑘
𝑥 【题 4 型 𝑘 10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
(cid:15)(cid:84)10(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:109)(cid:110)(cid:228)(cid:118)·(cid:103)(cid:169)(cid:87)(cid:59)(cid:60)(cid:3)(cid:88) (cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) ( +1) +2=0(cid:83)
2
(1)(cid:55)(cid:56)(cid:229)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:30)(cid:61)(cid:62)(cid:78)(cid:230)(cid:213)(cid:231)(cid:232)(cid:54)(cid:83) 𝑥 𝑚𝑥 − 2𝑚 𝑥
(2)(cid:104)(cid:229)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:166)(cid:105)(cid:123)(cid:29)(cid:78)(cid:33)(cid:209)(cid:38)(cid:181)(cid:233)(cid:30)(cid:123)(cid:29) (cid:30)(cid:36)(cid:30)(cid:71)(cid:83)
(3)(cid:104)(cid:229)(cid:39)(cid:40)(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:80)(cid:72)(cid:81) , (cid:78)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35) +𝑚 ( +1) + +2 + (cid:30)(cid:36)(cid:83)
5 5 4 4 3 3
(cid:15)(cid:107)(cid:35)10-1(cid:21)(cid:86)24-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:125)𝑥1(cid:114)𝑥2·(cid:103)(cid:90)(cid:87)(cid:3)(cid:88)𝑚(cid:30)𝑥(cid:50)1(cid:51)𝑥(cid:52)2(cid:43)−(cid:39)2(cid:40)𝑚 𝑥1+ 𝑥=20(cid:150)(cid:106)𝑥(cid:29)1 (cid:26)𝑥(cid:83)2
2
(1)(cid:33) (cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:83) 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑘
(2)(cid:85)𝑘(cid:135) (cid:105)(cid:209)(cid:38)(cid:181)(cid:233)(cid:30)(cid:234)(cid:19)(cid:123)(cid:29)(cid:78)(cid:154)(cid:3)(cid:88) (cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)( ) + + =0(cid:27)(cid:39)(cid:40) + =0(cid:150)
2 2
(cid:50)(cid:64)(cid:93)(cid:191)𝑘(cid:30)(cid:26)(cid:78)(cid:33)(cid:229)(cid:77) (cid:30)(cid:36)(cid:83) 𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥 𝑚−3 𝑥 −5𝑥 𝑘
(3)(cid:104)(cid:39)(cid:40) + =𝑚0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:81) , (cid:78)(cid:151)(cid:152) =4 (cid:78)(cid:33)(cid:229)(cid:77) (cid:30)(cid:36)(cid:83)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:35)10𝑥-2(cid:21)−5(cid:86)𝑥202𝑘5·(cid:127)(cid:128)(cid:156)(cid:235)·(cid:52)(cid:134)(cid:87)(cid:59)𝑥(cid:60)1𝑥(cid:140)2 (cid:105)(cid:50)𝑥(cid:51)1(cid:52)(cid:43)𝑥(cid:39)2(cid:40) 𝑘+ =0(cid:30)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:83)
2 2
(1)(cid:33)(cid:123)(cid:29) (cid:30)(cid:45)(cid:36)(cid:203) 𝑎 𝑏 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
(2)(cid:104)(cid:155)(cid:35)𝑘 + =0(cid:165)(cid:236)(cid:78)(cid:33)(cid:123)(cid:29) (cid:30)(cid:36)(cid:83)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:35)10𝑎-3(cid:21)(cid:86)2𝑏2−45-25(cid:108)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)𝑘(cid:237)(cid:238)(cid:239)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:87)(cid:240)(cid:241)(cid:50)(cid:10)(cid:242)(cid:243)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)
2
+ + =0( 0)(cid:150)(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26) , (cid:78)(cid:154)(cid:151)(cid:152)| + |=| |(cid:78)(cid:82)(cid:244)(cid:229)(cid:245)(cid:39)(cid:40)(cid:81)“(cid:71)(cid:159)(cid:39)(cid:40)”(cid:83)𝑎𝑥
(cid:84) 𝑏 (cid:85) 𝑥 (cid:10) 𝑐 9 𝑎 + ≠9 =0(cid:78)(cid:246)( ) 𝑥1 3𝑥2 =0(cid:78)(cid:41)(cid:75) 𝑥1 = 𝑥 3 2 , = 𝑥1 3⋅𝑥2
2 2 2 2
2
𝑥 − 𝑥 𝑥−3 𝑥− 𝑥1 𝑥2
+ 3 = × 3 (cid:78) 9 + 9 =0(cid:105)“(cid:71)(cid:159)(cid:39)(cid:40)”(cid:83)
2 2 2 2
2
∵∣3 ∣ ∣3 ∣ ∴𝑥 − 𝑥
(cid:240)(cid:241)(cid:52)(cid:10)(cid:214)(cid:178)(cid:29)(cid:11)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)(cid:77)(cid:253)(cid:254)(cid:10)(cid:104)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) + + =0( 0)(cid:30)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:79)(cid:64)(cid:106)(cid:29)(cid:26)(cid:81) (cid:78) (cid:78)(cid:82)(cid:10) + = , = (cid:78)(cid:200)(cid:255)(cid:105)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:3)(cid:28)(cid:78)(cid:208)(cid:256)(cid:244)(cid:257)“(cid:248)(cid:249)
𝑏 𝑐
(cid:242)(cid:232)”(cid:83)
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎𝑥1⋅𝑥2 𝑎
(1)(cid:39)(cid:40) +6=0 (cid:86)(cid:258)(cid:105)(cid:259)(cid:53)(cid:105)(cid:87)“(cid:71)(cid:159)(cid:39)(cid:40)”(cid:203)
2
(2)(cid:104)(cid:3)𝑥(cid:88)−x5(cid:30)𝑥(cid:39)(cid:40) ( +3) + =0(cid:105)“(cid:71)(cid:159)(cid:39)(cid:40)”(cid:78)(cid:82) =_____
2
𝑥 − 𝑛 𝑥 3𝑛 𝑛(3)(cid:104)(cid:3)(cid:88)x(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:43)(cid:39)(cid:40) +( +1) + + =0(cid:105)“(cid:71)(cid:159)(cid:39)(cid:40)”(cid:78)(cid:33)m(cid:30)(cid:36)(cid:83)
2 2
𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 2𝑚
