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专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系（分层专项练习）
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120
分；完成时间40——60分钟.
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则
， ．
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，
∴
故选：D．
2．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数
式 的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程
的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到 ， ，再把原式变形为
，由此代值计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根，， ，
，
，
故选：C．
3．（24-25九年级下·四川广安·期中）已知 是关于 的一元二次方程 的一个实数根，则
方程的另一个根是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二
次方程 的两根为 ， ，则 ．
设该方程的另一个根为 ，则根据根与系数的关系得 ，然后解方程即可．
解：设另一个根为 ，则由题意得， ，
∴ ，
故选：D．
4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若一元二次方程 的两个实数根分别是 ，则一
次函数 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．根据根与系数的关系即
可求出 与 的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别是 ，
∴ ， ，
∴一次函数解析式为： ，
故一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于 的一元二次方程 的两根为 ，，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意可得， ， ，即可得
到 ， ，从而确定答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
解： 关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，
， ，
， ，
故选：D．
6．（2025·四川绵阳·一模）已知a，b是关于x的一元二次方程 的两个不等的实数根，则代
数式 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得 ，将分式变形，然
后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“ 、 是一元二次方程 的两个根，则有
”是解题的关键．
解：由题意得 ，．
故答案为：C．
7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一元二次方程 的两个根对应的点分别落在数轴
上 ， 两个区域内，则 和 的值可能为（ ）
A．1， B． ， C． ， D．1，
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质；设 在区域P， 在区域Q，则由
一元二次方程根与系数的关系可确定b、c的范围，从而确定答案．
解：设 在区域P， 在区域Q，
则 ， ；
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 和 的值可能为1和 ；
故选：A．
8．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到
，可知 ，然后化简代入求值是解题的关键．
解： ， 是一元二次方程 的两根，
， ，
， ，
，
故选：B
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，则
．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数
关系 ，代入数值进行计算，即可得到答案．
解：∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，
∴即 的两个实数根分别为 ，
∴ ，
故答案为：
10．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程 的两个根，则 ．
【答案】19
【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程的解和一元二次
方程根与系数的关系可得出 ， ，然后将 变形成 ，然后代入
求解即可．
解：∵m，n是关于x的方程 的两个根，
，∴ ，
∴
故答案为：19．
11．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知 ，其中 和 为方程的两个根．
，求 的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；
根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ，代入 ，即可求出m
的值，即可求解．
解：由题意，得
， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 或 ．
∵ ，
∴ 或 （无解），
解得 ，
∴ ，
则 ．
故答案为0．12．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该
菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形面积计算等知识，掌握这两个知识点是解题的
关键；设菱形两条对角线分别为 ，则 是一元二次方程 的两根，由根与系数关系及
菱形面积计算公式即可求解．
解：设菱形两条对角线分别为 ，则 是一元二次方程 的两根，
由根与系数关系得： ，
∴菱形面积为： ，
故答案为： ．
13．（2025·河北唐山·二模）一元二次方程 的两根为m，n，且 ，其中“□”
表示一个数，则“□”为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据一元二次方程
的两根为m，n，得到 ，结合 得到 ，解答即可．
解：由一元二次方程 的两根为m，n，
故 ，
又 ，
故 ，
解得 ．
故答案为： ．
14．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知 是一元二次方程 的两个不相等实数根，则代
数式 的值是 ．
【答案】36【分析】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，
再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．根据方程根的定义，分别把 ，
代入方程可得 ， ，再把代数式 变形代值则可．
解： 是一元二次方程 的两个不相等实数根，
， ， ，
， ，
．
故答案为：36
三、解答题（4题共计30分）
15.（6分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 ， 是方程 的两个根．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）9；（2）
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若 是
方程的两个根，那么 ， ．（1） 变形为 ，即可求解；
（2） 变形为 ，即可求解．
解：（1）解：由题意知， ， ．
；
（2）解： ．
16.（8分）（24-25九年级上·广东汕头·期末）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，且 是非负整数，
（1）求 的值；
（2）若 是该方程的两个实数根，则 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的
关键．
（1）根据根的判别式可得 ，再根据 是非负整数，即可求解；
（2）根据根与系数的关系得 ，即可求解．
解：（1）解：根据题意得：
，
解得： ，
是非负整数，
．
（2）解：当 时，方程化为 ，
∴ ，∴ ，
，
故答案为： ．
17.（8分）（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有
两个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使得 成立?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，
（1）根据一元二次方程有两个实数根可得 ，由此即可求解；
（2）运用一元二次方程根与系数的关系 ， ，乘法公式的变形，代入求值即可．
解：（1）解：根据题意得 ，
解得， ；
（2）解：根据题意得 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，且解得， ， （不符合题意，舍去），
∴ ．
18.（8分）（22-23九年级上·四川泸州·期中）阅读材料：
【材料1】若一元二次方程 的两根为 ，则
．
【材料2】已知实数m、n满足 ，且 ，求 的值．
解：由题知m、n是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料1得： ，
∴ ．
根据上述材料解决下面问题：
（1）关于x的方程 的两个根是 和1，则 的值为 ．
（2）已知实数m、n满足 ，且 ，求 的值．
（3）若关于x的方程 的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）k的值
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关结论即可.
（1）由题意得 ，即可求解；
（2）由题意得m、n可看作方程 的两实数解，可得 ，即可求解；
（3）关于x的方程 的两个实数根分别为α、β，根据根与系数的关系得
，结合条件 可得 ，利用根的判别式进行验证即可；
解：（1）解：根据根与系数的关系得 ，解得 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：由题意得m、n可看作方程 的两实数解，
∴
∴
（3）解：设关于x的方程 的两个实数根分别为α、β，
根据根与系数的关系得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，
解得 ，
当 时，原方程化为 ，则 ，此方程没有实数解；
当 时，原方程化为 ，则 ，此方程有两个不相等的实数解；
综上所述，k的值为 ．
第二卷【拓展培优】
四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
19．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个相等的
实数根，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足 ，可得
是方程 的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可．
解：∵方程 满足 ，
∴ 是方程 的根，
∴ 成立， 不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意；
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，B，D选项不符合题意；
故选：A．
20．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C
均不重合．若 ，则方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．根据 ，得到 为负数， 为正数，进而得到 ，结合
两根之和为 即可得到正确答案．解：根据题意可知， ，
， ，
为负数， 为正数，
， 异号，
，
，
方程 有两个不相等的实数根，两根之和为 ，
故选：B．
21．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程
的两个实数根，且 ，则m的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题
意可得 ， ，由 可得 ，结合
求出 或 ，由题意可得 ，求出
，即可得解．
解：∵a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴由 可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，由题意可得 ，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
22．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知一元二次方程 （ ）的两个实数根为 ，
，则 ， ，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定
理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数 ，关于 的一元二次方程 的两个
根记作 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到 ，继而 ，那么
，再代入求解即可．
解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故选：A．
五、填空题（每小题3分，共12分）
23．（2025·山东临沂·二模）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
．
【答案】4
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件
求出 ， ，再将原式利用完全平方公式展开，利用 替换 项，整理后得
到 ，再将 代入即可．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
则
∴
故答案为：4
24．（2024·江苏南京·模拟预测）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则
．
【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识．
根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，结合 ，即可
求解．
解： ， 是关于 的方程 的两个根，
， ，
，
，
故答案为： ．
25．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设实数 ， 满足 ， 且 ，则代数式
的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，在方程 两边同时除以 ，得到的形式与
比较，可以得到 与 是方程 的两个不相等实数根，根据一元二次方程根与
系数的关系即可求解．解题的关键是掌握：若 ， 是一元二次方程 的两根时，则
， ．
解：∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 与 是方程 的两个不相等实数根，
∴ ，
∴ ，
∴代数式 的值是 ．
故答案为： ．
26．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知 为方程 的两根，则 的最
小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解． 利用根与系数的关系及方程的解得到
， ， ，求出原式 ，再根据根的判别式求出 ，代入计算
即可．
解： 为方程 的两根，
，
．
，
把 代入，得原式 ，∵方程 有两个根，
，
，
当 时， 有最小值，为 ．
故答案为： ．
六、解答题（12×2=24分）
27.（12分）（2025·广东惠州·一模）关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出 的值；若 不存在，请说
明理由．
【答案】（1） 且 ；（2）不存在，见分析
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根
的判别式 ，找出关于 的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合 ，列出关于
的方程．
（1）由二次项系数非零及根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的
取值范围；
（2）假设存在，设方程的两根分别为 、 ，根据根与系数的关系结合 ，即可得出关于 的
方程，解之即可得出 的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和
等于0．
解：（1） 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，解得： 且 ．
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在，设方程的两根分别为 、 ，则 ， ．
，
．
且 ，
不符合题意，舍去．
假设不成立，即不存在实数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
28.（12分）（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程 中，a，b，c是
的三条边，其中 ．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 ， ，且 ，求 ．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与
系数关系是解题的关键．
（1）先把方程变为一般式，得到 ，根据勾股定理，即可得出 ，即可证明结
论；
（2）由 ，得出 ，根据根与系数的关系得出 ，结合
化简得到 ，再代入 得出 ，即得答案．
解：（1）证明：化简一元二次方程得， ，
，a，b，c是 的三条边，
， ，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 ， ，
， ，
，
，
即 ，
，
，
，
化简得 ，
，
，
．
