文档文本内容
专题 2.4 一元二次方程根与系数的关系（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)............................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)....................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:19)....................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:19)........................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:19)............................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:19)....................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:51)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:24)(cid:28)(cid:55)(cid:56)(cid:19)........................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:52)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:53)(cid:54)(cid:61)(cid:48)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:19)................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:28)(cid:67)(cid:36)(cid:68)(cid:23)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:69)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:28)(cid:67)(cid:36)(cid:71)(cid:23)(cid:19)........................................................................................5
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1. (cid:52)(cid:31)(cid:24)(cid:7)(cid:33)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:75)(cid:76)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + = 0)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) = (cid:76) =
𝟐
2 −𝒃+ 𝒃 −𝟒𝒂𝒄
∆≥𝟎 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0(𝑎≠ 𝑥1 𝟐𝒂 𝑥2
,(cid:80) + = (cid:76) = (cid:81)
𝟐
−𝒃− 𝒃 −𝟒𝒂𝒄 𝒃 𝒄
(cid:82)(cid:83)𝟐(cid:10)𝒂(cid:37)(cid:38) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = −𝒂 0(cid:28)𝑥(cid:77) 1𝑥(cid:24) 2 (cid:79)𝒂 (cid:76) (cid:76)(cid:80) + = (cid:76) = (cid:81)
2
2. (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)𝑥(cid:37)(cid:38)𝑝(cid:24)𝑥(cid:25)(cid:26)𝑞(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:28)(cid:71)𝑥(cid:23)1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝒑 𝑥1𝑥2 𝒒
(cid:84)1(cid:85)(cid:51)(cid:39)(cid:37)(cid:38)(cid:76)(cid:31)(cid:3)(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)2(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:48)(cid:24)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:61)(cid:48)(cid:24)(cid:87)(cid:37)(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)3(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38)(cid:77)(cid:24)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:34)(cid:81)
(cid:84)4(cid:85)(cid:25)(cid:24)(cid:28)(cid:53)(cid:70)(cid:33)(cid:91)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:39)(cid:92)(cid:48)(cid:93)(cid:67)(cid:36)(cid:20)(cid:81)
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103) (cid:104)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
𝑏 𝑎
2
(cid:15)(cid:106)(cid:33)1-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:36)(cid:110)·(cid:102)(cid:88)𝑎(cid:85),𝑏(cid:57)(cid:58) 𝑥(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)𝑥 (cid:41)−𝑥(cid:37)−(cid:38)3
+
=0(cid:28)𝑎(cid:77)(cid:62)𝑏(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80)
2
= (cid:81) 𝑎,𝑏 𝑥 𝑥−2025
𝑎𝑏−𝑎−𝑏(cid:15)(cid:106)(cid:33)1-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:104) (cid:76) (cid:76)(cid:80)
2
+ (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑥 𝑥−2 𝑥1 𝑥2
2 2
𝑥(cid:15)1(cid:106)(cid:33)𝑥21-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:113)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:84)m(cid:79)(cid:55)(cid:123)(cid:27)(cid:85)(cid:28)
2 2
(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:124)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:83)(cid:10)(cid:74) =1(cid:75)(cid:76)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:124)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:80) 𝑥 1 + 2𝑥1− + 𝑚1− + 𝑚1 + + 1 + 1
𝛼𝑚 𝛽𝑚 𝑚 𝛼1 𝛽1 𝛼1 𝛽1 𝛼2 𝛽2 ⋯ 𝛼2025 𝛽2025
= (cid:81)
【题型2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)(cid:113)(cid:126)(cid:118)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103) (cid:76) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:32)(cid:27)(cid:33)2
2 2
+ + +5(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−2025 𝛼
(cid:15)6(cid:106)𝛼(cid:33)22-𝛽1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:108)·(cid:88)(cid:130)(cid:131)(cid:20)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:69) (cid:76)(cid:80)(cid:32)(cid:27)(cid:33) +
2 2
(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑥 −5𝑥−24 𝑎 𝑏 𝑎 −4𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:106)(cid:33)2-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:108)(cid:115)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:69) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80) +
2 2
( )(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑎 𝑏 𝑥 4𝑥−4 𝑎 5𝑎−𝑏
(cid:15)𝑎−(cid:106)1(cid:33)2-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:132)(cid:133)·(cid:48)(cid:134)(cid:85)(cid:83)(cid:135)m(cid:76)n(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) =3(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:136)(cid:137)2 + (cid:28)
2 2
(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −𝑥 𝑛 −𝑚𝑛 2𝑚
【题型3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
(cid:15)(cid:82)3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:138)(cid:139)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:140) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + +2(cid:28)
2 3
(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 2𝑥−1 𝛼 5𝛽
(cid:15)(cid:106)(cid:33)3-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:141)(cid:142)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:140) (cid:104)(cid:37)(cid:38) + +2=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:24)(cid:76)(cid:80) + +5
2 3
(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝛼 𝛽 𝑥 4𝑥 𝛼 14𝛽
(cid:15)(cid:106)(cid:33)3-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:132)(cid:133)(cid:144)(cid:145)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:83)(cid:135)m(cid:76)n(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:136)
2
(cid:137)(cid:146)(cid:147)(cid:33) + + 3 +2032(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81) 𝑥 𝑥−3
3
(cid:15)(cid:106)(cid:33)3- 𝑚 3(cid:19)(cid:84) 3 2 𝑛 4 − -2 𝑚 5 𝑛 (cid:94)(cid:95)𝑛(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:148)(cid:132)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58) (cid:76) (cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:31) +3
2 6
(cid:28)(cid:34)(cid:79) 𝛼 𝛽 𝑥 𝑥−3 𝛼 −40𝛽
【题型4 利用根与系数的关系求参数的值】
(cid:15)(cid:82)4(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)(cid:113)(cid:149)(cid:150)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)
2
6 𝑥 𝑥 −𝑚𝑥 2𝑚−1
(cid:24) (cid:76) (cid:81)(cid:105)(cid:27) (cid:152)(cid:153)( )( )= (cid:76)(cid:80)(cid:105)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
(cid:15)𝑥(cid:106) 1 (cid:33)𝑥 4 2 -1(cid:19)(cid:84)2 𝑚 4-25(cid:94)(cid:95)𝑥1 (cid:96)−1(cid:97)· 𝑥(cid:113) 2−(cid:154)1(cid:94)(cid:113)𝑚 ·(cid:102)−1(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58)𝑚(cid:76) (cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) +1=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)
2
𝑥1 𝑥2 𝑥 −𝑚𝑥(cid:155)( )( )= (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:156)(cid:86) (cid:81)
(cid:15)(cid:106)𝑥1(cid:33)−24-2𝑥(cid:19)2(cid:84)−224-25−(cid:94)3(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:113)(cid:116)(cid:157)(cid:158)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:37)(cid:38) +( ) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:159)(cid:160)(cid:104)(cid:77)(cid:24)
2 2
(cid:159)(cid:69)(cid:28)2(cid:161)(cid:76)(cid:80) = (cid:81) 𝑥 4−2𝑚 𝑥 𝑚 −5
(cid:15)(cid:106)(cid:33)4-3(cid:19)(cid:84)24𝑚-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:162)(cid:157)(cid:163)(cid:164)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24) (cid:76) (cid:152)(cid:153) =2
2 2
+3(cid:76)(cid:155) > (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81) 𝑥 −2𝑚𝑥 𝑚 −4 𝑥1 𝑥2 𝑥1
𝑥 【 2 题型5 𝑥 利 1 用根 𝑥2 与系数的关系求参数的取值范围】
(cid:15)(cid:82)5(cid:19)(cid:84)23-24(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)(cid:113)(cid:149)(cid:150)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:37)(cid:38)4 ( +5)=0(cid:28)(cid:39)(cid:88)(cid:76)(cid:165)(cid:151)(cid:48)(cid:62)(cid:55)
2
(cid:27)(cid:39)(cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −5𝑥− 𝑚
(cid:15)(cid:106)(cid:33)5-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:127)(cid:128)(cid:166)(cid:167)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)
2
(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:155) , (cid:152)(cid:153)2 > + (cid:76)(cid:80) (cid:28)(cid:43)(cid:34)𝑥(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:81) 𝑥 −4𝑥 𝑚−1
(cid:15)(cid:106)(cid:33)5-2(cid:19)(cid:84)𝑥123𝑥-224(cid:107)(cid:95)𝑥1(cid:96)𝑥2(cid:97)·(cid:125)(cid:113)𝑥1(cid:168)𝑥2(cid:169)·(cid:102)𝑥1(cid:170)(cid:85)𝑥(cid:57)2 (cid:58)(cid:3)𝑚(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) +( +2) +1=0(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)
2
(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:155) <1< (cid:76)(cid:80)(cid:105)(cid:27) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)𝑥(cid:79) (cid:81) 𝑎𝑥 𝑎 𝑥
(cid:15)(cid:106)(cid:33)5-3(cid:19)(cid:84)𝑥213𝑥-224(cid:94)(cid:95)𝑥1(cid:96)(cid:143)·(cid:127)(cid:128)𝑥2(cid:166)(cid:167)·(cid:102)(cid:170)𝑎(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) ( +2) + +4=0
2 2
(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) (cid:76) (cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:104) (cid:76)(cid:103) (cid:140) (cid:152)(cid:153)(cid:10) 𝑥=|− 2+𝑚 |(cid:76)𝑥(cid:80) 𝑚=− 4 𝑚 (cid:81)
【题型6 利用 𝑥1 根与 𝑥2 系数的关系构造一元二次方程求 𝑥 解 1 】 𝑥2 𝑥1𝑥2−1 𝑥1 𝑥2 𝑚
(cid:15)(cid:82)6(cid:19)(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:118)·(cid:102)(cid:170)(cid:85)(cid:57)(cid:58)2 +3=0,3 +2=0(cid:76)(cid:155) 1(cid:76)(cid:80)
𝑥
2 2
𝑥 −2025𝑥 𝑦 −2025𝑦 𝑥𝑦≠ 𝑦
(cid:28)(cid:34)(cid:79) (cid:81)
+ =8
(cid:15)(cid:106)(cid:33)6-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:143)(cid:172)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:37)(cid:38)(cid:173)
=15
(cid:28)(cid:39)(cid:104) (cid:81)
𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:106)(cid:33)6-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:113)(cid:154)(cid:174)(cid:175)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)𝑥(cid:105)𝑦(cid:27) ( )(cid:152)(cid:153)2 =0(cid:76)2
2 2
𝑚,𝑛 𝑚≠𝑛 𝑚 −3𝑚−1 𝑛
=0(cid:76)(cid:80) + (cid:28)(cid:34)(cid:79)
𝑛 𝑚
−3𝑛−1 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:106)(cid:33)6-3(cid:19)(cid:176) (cid:76) (cid:76) (cid:76) (cid:79)(cid:177)(cid:51)(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:76)(cid:155)( )( )=1(cid:76)( )( )=1(cid:76)(cid:80)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(cid:28)(cid:34)(cid:79)(cid:84) (cid:85) 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 𝑥 −𝑠 𝑥 −𝑡 𝑦 −𝑠 𝑦 −𝑡 𝑥 𝑦 −𝑠 𝑡
A(cid:81)-1 B(cid:81)1 C(cid:81)0 D(cid:81)0.5
【题型7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
(cid:15)(cid:82)7(cid:19)(cid:84)2024(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:178)(cid:179)·(cid:180)(cid:20)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)a(cid:140)b(cid:140)c(cid:104) (cid:28)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:28)(cid:184)(cid:76)(cid:136)(cid:137)(cid:37)(cid:38) +( + ) +
2
=0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 𝑐𝑥 𝑎 𝑏 𝑥
4
𝑐
A(cid:81)(cid:185)(cid:151)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:56)(cid:105)(cid:27)(cid:24)C(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:56)(cid:105)(cid:24) D(cid:81)(cid:186)(cid:151)(cid:48)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:33)7-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:113)(cid:116)(cid:157)(cid:187)·(cid:134)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:85)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) =0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85)
2
A(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:156)(cid:28)𝑥(cid:105)−(cid:27)2(cid:24)𝑘𝑥(cid:155)−1(cid:77)(cid:24)(cid:191)(cid:9)
C(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:155)(cid:77)(cid:24)(cid:192)(cid:9) D(cid:81)(cid:185)(cid:151)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:33)7-2(cid:19)(cid:84)2022·(cid:113)(cid:116)(cid:157)(cid:187)·(cid:50)(cid:134)(cid:85)(cid:37)(cid:38)( +1)( )+1=0(cid:28)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:97)(cid:193)(cid:35)(cid:194)(cid:88)(cid:55)(cid:195)(cid:28)(cid:104)( )
A(cid:81)(cid:77)(cid:62)(cid:55)(cid:24) B(cid:81)(cid:77)(cid:62)(cid:56)(cid:24) 𝑥 C(cid:81)(cid:48)𝑥−(cid:62)2(cid:55)(cid:24)(cid:76)(cid:48)(cid:62)(cid:56)(cid:24) D(cid:81)(cid:196)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
(cid:15)(cid:106)(cid:33)7-3(cid:19)(cid:84)23-24(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:76)(cid:57)(cid:58) >0(cid:76) >0(cid:76) <0(cid:76)
2
(cid:80)(cid:201)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:104)(cid:84) (cid:85) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
A(cid:81)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:55)(cid:28)(cid:105)(cid:27)(cid:24) B(cid:81)(cid:185)(cid:151)(cid:105)(cid:27)(cid:24)
C(cid:81)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:24)(cid:48)(cid:56)(cid:24)(cid:155)(cid:55)(cid:24)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:114) D(cid:81)(cid:151)(cid:48)(cid:55)(cid:24)(cid:48)(cid:56)(cid:24)(cid:155)(cid:56)(cid:24)(cid:202)(cid:203)(cid:34)(cid:114)
【题型8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
(cid:15)(cid:82)8(cid:19)(cid:84)22-23(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)(cid:113)(cid:126)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:204) + + =0(cid:76)(cid:205)
2 2
(cid:88) 0(cid:76) (cid:76)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:97)(cid:127)(cid:62)(cid:35)(cid:194)(cid:10) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:51)(cid:91)𝑀(cid:156):𝑎(cid:28)𝑥(cid:105)(cid:27)𝑏𝑥(cid:24)(cid:76)𝑐(cid:80)(cid:37)(cid:38)𝑁N:𝑐(cid:209)𝑥(cid:151)(cid:77)𝑏𝑥(cid:62)(cid:51)𝑎(cid:91)(cid:156)(cid:28)(cid:105)
𝑎𝑐≠ 𝑎≠𝑐 ① 1
(cid:27)(cid:24)(cid:204) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:210)(cid:9)(cid:91)(cid:192)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38)N(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:210)(cid:9)(cid:209)(cid:91)(cid:192)(cid:204) (cid:103)m(cid:104)(cid:37)(cid:38)M(cid:28)(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80) (cid:104)(cid:37)
(cid:38)N(cid:28)②(cid:48)(cid:62)(cid:24)(cid:204) (cid:103)(cid:37)(cid:38)M(cid:69)(cid:37)(cid:38)N(cid:151)(cid:48)(cid:62)(cid:91)(cid:192)(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:201)(cid:62)(cid:24)(cid:211)③(cid:104) =1(cid:76)(cid:205)(cid:88)(cid:55)(cid:195)(cid:28)(cid:35)(cid:194)(cid:104)(cid:84) 𝑚 (cid:85)
A(cid:81) ④ B(cid:81) C(cid:81) D(cid:81)𝑥
(cid:15)(cid:106)(cid:33)①8-1③(cid:19)(cid:84)22-23(cid:94)(cid:95)(cid:96)①(cid:143)②·(cid:113)③(cid:116)(cid:157)(cid:187)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:103)①(cid:3)(cid:86)②④(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)①③+④ + =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) (cid:140)
2
2(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38) + + =0 (cid:28)(cid:24)(cid:79) (cid:81) 𝑥 𝑎(𝑥 ℎ) 𝑘 −3
2
(cid:15)(cid:106)(cid:33)8-2𝑎(cid:19)(𝑥(cid:84)−214-25ℎ)(cid:94)(cid:95)𝑘(cid:96)(cid:143)·(cid:125)(cid:113)(cid:101)(cid:118)·(cid:102)(cid:170)(cid:85)(cid:103) =2025(cid:76) =1(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:28)(cid:77)
2
(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:37)(cid:38) + 2027 =0(cid:28)(cid:39)(cid:79) (cid:81) 𝑥1 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2025
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥− 𝑐
(cid:15)(cid:106)(cid:33)8-3(cid:19)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:192)(cid:9)(cid:212)(cid:213)(cid:123)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:3)(cid:86)y(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2 2
+ + =0(cid:209)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:192)(cid:9)(cid:212)(cid:213)(cid:123)(cid:27)𝑥(cid:24)(cid:76)𝑝(cid:80)𝑥(cid:97)(cid:193)𝑞 (cid:214)(cid:215)(cid:55)(cid:195)(cid:28)(cid:104)(cid:84) (cid:85) 𝑦
𝑞A𝑦(cid:81)p𝑝(cid:104)(cid:55)(cid:27)(cid:76)q(cid:104)(cid:56)(cid:27) B(cid:81) + (cid:216)8
2 2
C(cid:81)q(cid:104)(cid:55)(cid:27)(cid:76)p(cid:104)(cid:56)(cid:27) D(cid:81)(𝑝−2) +(𝑞−2) 8
2 2
【题型9 根与系数的关系与几何图形的综合运用 ( 】 𝑝−2) (𝑞−2) ≥
(cid:15)(cid:82)9(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:36)(cid:110)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:156)(cid:217) (cid:28)(cid:48)(cid:182)(cid:183)(cid:79)7(cid:76)(cid:205)(cid:218)(cid:77)(cid:183)(cid:28)(cid:183)(cid:184)(cid:219)(cid:220)(cid:104)(cid:37)(cid:38)
2
( +1) + +5=0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:24)(cid:76)(cid:80)m(cid:28)(cid:34)(cid:104) (cid:81)△𝐴𝐵𝐶 𝑥 −2
2
(cid:15) 𝑚(cid:106)(cid:33)9𝑥-1(cid:19)𝑚(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:113)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:103)(cid:48)(cid:62)(cid:221)(cid:66)(cid:28)(cid:77)(cid:182)(cid:203)(cid:222)(cid:223)(cid:184)(cid:78)(cid:70)(cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:155)(cid:205)(cid:224)(cid:160)(cid:79)4(cid:76)(cid:80)(cid:225)(cid:221)(cid:66)(cid:28)(cid:183)(cid:184)(cid:79) (cid:81)
2
(cid:15)𝑥(cid:106)(cid:33)−69𝑥-2(cid:19)𝑚(cid:84)24-25(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:143)·(cid:127)(cid:128)(cid:166)(cid:167)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:226)(cid:227)(cid:127)(cid:183)(cid:66) (cid:28)(cid:77)(cid:183) (cid:140) (cid:28)(cid:184)(cid:104)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)
(cid:37)(cid:38) + 1 =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:76)(cid:74)(cid:127)(cid:183)(cid:66) (cid:104)(cid:221)(cid:66)(cid:75)(cid:76)(cid:205)(cid:163) 𝐴𝐵 (cid:184) 𝐶 (cid:79) 𝐷 𝐴𝐵 (cid:81) 𝐴𝐷
2 4
2 𝑚
𝑥 −𝑚𝑥 − 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:106)(cid:33)9-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)(cid:113)(cid:126)(cid:118)·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:183)(cid:184)(cid:79)(cid:123)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:222)(cid:181)(cid:222)(cid:66)(cid:76)(cid:103)(cid:205)(cid:77)(cid:29)(cid:222)(cid:183)(cid:184)(cid:104)(cid:37)(cid:38) ( +2)
2
+ =0(cid:28)(cid:77)(cid:24)(cid:76)(cid:80)(cid:225)(cid:29)(cid:222)(cid:181)(cid:222)(cid:66)(cid:28)(cid:228)(cid:183)(cid:184)(cid:79) (cid:81) 𝑥 − 𝑘
𝑥 【题 4 型 𝑘 10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
(cid:15)(cid:82)10(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:108)(cid:109)(cid:229)(cid:118)·(cid:102)(cid:170)(cid:85)(cid:57)(cid:58)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) ( +1) +2=0(cid:81)
2
(1)(cid:53)(cid:54)(cid:230)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:28)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:231)(cid:214)(cid:232)(cid:233)(cid:52)(cid:81) 𝑥 𝑚𝑥 − 2𝑚 𝑥
(2)(cid:103)(cid:230)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:167)(cid:104)(cid:123)(cid:27)(cid:76)(cid:31)(cid:210)(cid:36)(cid:182)(cid:234)(cid:28)(cid:123)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:28)(cid:69)(cid:81)
(3)(cid:103)(cid:230)(cid:37)(cid:38)(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:78)(cid:70)(cid:79) , (cid:76)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33) +𝑚 ( +1) + +2 + (cid:28)(cid:34)(cid:81)
5 5 4 4 3 3
(cid:15)(cid:106)(cid:33)10-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:125)𝑥1(cid:113)𝑥2·(cid:102)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:86)𝑚(cid:28)𝑥(cid:48)1(cid:49)𝑥(cid:50)2(cid:41)−(cid:37)2(cid:38)𝑚 𝑥1+ 𝑥=20(cid:151)(cid:105)𝑥(cid:27)1 (cid:24)𝑥(cid:81)2
2
(1)(cid:31) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:44)(cid:45)(cid:81) 𝑥 𝑥 −5𝑥 𝑘
(2)(cid:83)𝑘(cid:135) (cid:104)(cid:210)(cid:36)(cid:182)(cid:234)(cid:28)(cid:235)(cid:114)(cid:123)(cid:27)(cid:76)(cid:155)(cid:3)(cid:86) (cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)( ) + + =0(cid:25)(cid:37)(cid:38) + =0(cid:151)
2 2
(cid:48)(cid:62)(cid:91)(cid:192)𝑘(cid:28)(cid:24)(cid:76)(cid:31)(cid:230)(cid:75) (cid:28)(cid:34)(cid:81) 𝑥 𝑚−1 𝑥 𝑥 𝑚−3 𝑥 −5𝑥 𝑘
(3)(cid:103)(cid:37)(cid:38) + =𝑚0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) , (cid:76)(cid:152)(cid:153) =4 (cid:76)(cid:31)(cid:230)(cid:75) (cid:28)(cid:34)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:106)(cid:33)10𝑥-2(cid:19)−5(cid:84)𝑥202𝑘5·(cid:127)(cid:128)(cid:157)(cid:236)·(cid:50)(cid:134)(cid:85)(cid:57)𝑥(cid:58)1𝑥(cid:140)2 (cid:104)(cid:48)𝑥(cid:49)1(cid:50)(cid:41)𝑥(cid:37)2(cid:38) 𝑘+ =0(cid:28)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:81)
2 2
(1)(cid:31)(cid:123)(cid:27) (cid:28)(cid:43)(cid:34)(cid:204) 𝑎 𝑏 𝑥 −2𝑥 𝑘 −2
(2)(cid:103)(cid:156)(cid:33)𝑘 + =0(cid:166)(cid:237)(cid:76)(cid:31)(cid:123)(cid:27) (cid:28)(cid:34)(cid:81)
2
(cid:15)(cid:106)(cid:33)10𝑎-3(cid:19)(cid:84)2𝑏2−45-25(cid:107)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)𝑘(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:85)(cid:241)(cid:242)(cid:48)(cid:10)(cid:243)(cid:244)(cid:10)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)
2
+ + =0( 0)(cid:151)(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24) , (cid:76)(cid:155)(cid:152)(cid:153)| + |=| |(cid:76)(cid:80)(cid:245)(cid:230)(cid:246)(cid:37)(cid:38)(cid:79)“(cid:69)(cid:160)(cid:37)(cid:38)”(cid:81)𝑎𝑥
(cid:82) 𝑏 (cid:83) 𝑥 (cid:10) 𝑐 9 𝑎 + ≠9 =0(cid:76)(cid:247)( ) 𝑥1 3𝑥2 =0(cid:76)(cid:39)(cid:73) 𝑥1 = 𝑥 3 2 , = 𝑥1 3⋅𝑥2
2 2 2 2
2
𝑥 − 𝑥 𝑥−3 𝑥− 𝑥1 𝑥2
+ 3 = × 3 (cid:76) 9 + 9 =0(cid:104)“(cid:69)(cid:160)(cid:37)(cid:38)”(cid:81)
2 2 2 2
2
∵∣3 ∣ ∣3 ∣ ∴𝑥 − 𝑥
(cid:241)(cid:242)(cid:50)(cid:10)(cid:215)(cid:179)(cid:27)(cid:11)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:75)(cid:254)(cid:255)(cid:10)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) + + =0( 0)(cid:28)
2
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:77)(cid:62)(cid:105)(cid:27)(cid:24)(cid:79) (cid:76) (cid:76)(cid:80)(cid:10) + = , = (cid:76)(cid:201)(cid:256)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:3)(cid:26)(cid:76)(cid:209)(cid:257)(cid:245)(cid:258)“(cid:249)(cid:250)
𝑏 𝑐
(cid:243)(cid:233)”(cid:81)
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 −𝑎𝑥1⋅𝑥2 𝑎
(1)(cid:37)(cid:38) +6=0 (cid:84)(cid:259)(cid:104)(cid:260)(cid:51)(cid:104)(cid:85)“(cid:69)(cid:160)(cid:37)(cid:38)”(cid:204)
2
(2)(cid:103)(cid:3)𝑥(cid:86)−x5(cid:28)𝑥(cid:37)(cid:38) ( +3) + =0(cid:104)“(cid:69)(cid:160)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)(cid:80) =_____
2
𝑥 − 𝑛 𝑥 3𝑛 𝑛(3)(cid:103)(cid:3)(cid:86)x(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:37)(cid:38) +( +1) + + =0(cid:104)“(cid:69)(cid:160)(cid:37)(cid:38)”(cid:76)(cid:31)m(cid:28)(cid:34)(cid:81)
2 2
𝑥 2𝑚 𝑥 𝑚 2𝑚
