专题 21.4 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:19)............................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:45)x(cid:26)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:46)(cid:24)(cid:47)(cid:19)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:19)........................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:30)(cid:31)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:45)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:19)........................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:19)....................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:67)(cid:27)(cid:68)(cid:29)(cid:69)(cid:20)(cid:19)........................................................................................................9
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y=0(cid:71)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:76)(cid:70)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:42)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)
(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)
(cid:84)1(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:77)x
1
(cid:72)x
2
(cid:72)(cid:89)x
1
(cid:72)x
2
(cid:77)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(
a≠0)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:83)
(cid:84)2(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:35)(cid:25)(cid:78)(cid:79)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:10)知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:27)(cid:48)(cid:92)(cid:93)(cid:94)
(cid:84)1(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:75)(cid:98)(cid:65)(cid:90)(cid:99)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:102)(cid:103)(cid:72)(cid:75)(cid:84)2(cid:85)(cid:104)(cid:27)(cid:65)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:56)(cid:57)(cid:105)(cid:106)(cid:72)(cid:107)(cid:31)(cid:106)(cid:108)(cid:109)(cid:105)(cid:108)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:89)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:75)(cid:78)(cid:79)y(cid:57)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:112)(cid:27)(cid:113)
(cid:40)(cid:83)
(cid:114)(cid:115)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:27)(cid:116)(cid:117)(cid:115)(cid:41)(cid:10)
(cid:75)(cid:102)(cid:103)(cid:45)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:71)(cid:72)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:76)(cid:96)(cid:118)(cid:75)(cid:78)(cid:79)(cid:27)y(cid:57)(cid:110)(cid:111)(cid:28)(cid:112)(cid:27)(cid:119)(cid:120)(cid:72)(cid:121)(cid:76)(cid:70)(cid:78)x(cid:56)(cid:48)(cid:91)(cid:102)(cid:57)(cid:72)(cid:122)y(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:98)(cid:65)
(cid:90)(cid:57)(cid:72)(cid:123)(cid:111)(cid:61)(cid:124)(cid:110)(cid:63)(cid:123)(cid:110)(cid:61)(cid:124)(cid:111)(cid:72)(cid:125)(cid:71)x(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:78)(cid:79)(cid:57)(cid:100)(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:72)(cid:128)(cid:129)x(cid:123)x (cid:56)(cid:130)x (cid:71)(cid:72)(cid:78)(cid:79)y(cid:27)
1 2
(cid:57)(cid:96)(cid:118)y
1
>0(cid:72)y
2
<0(cid:63)y
1
<0(cid:72)y
2
>0(cid:72)(cid:131)(cid:132)x
1
(cid:72)x
2
(cid:104)(cid:126)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:72)(cid:128)(cid:133)|y
1
|(cid:25)|y
2
|(cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:72)(cid:86)|y
1
|>|y
2
|(cid:72)
(cid:89)(cid:136)(cid:137)x (cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:97)(cid:73)(cid:100)(cid:72)(cid:89)(cid:136)(cid:137)x (cid:70)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:83)(cid:138)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:139)(cid:140)(cid:72)(cid:84)x(cid:72)y(cid:85)(cid:141)x(cid:26)(cid:142)(cid:50)(cid:72)y(cid:57)(cid:142)(cid:143)(cid:50)0(cid:72)(cid:144)y=0
2 1
(cid:71)x(cid:27)(cid:57)(cid:76)(cid:70)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:38)(cid:145)(cid:42)(cid:83)
知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:93)(cid:94):
(cid:84)1(cid:85)(cid:146)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:147)(cid:77)ax2+bx+c>0((cid:63)<0)(cid:27)(cid:148)(cid:55)(cid:97)
(cid:84)2(cid:85)(cid:137)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:149)(cid:91)(cid:35)a(cid:27)(cid:110)(cid:111)(cid:150)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:75)y(cid:26)(cid:98)(cid:152)(cid:72)(cid:107)(cid:106)(cid:108)b 2 −4ac(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(cid:84)3(cid:85)(cid:153)(cid:96)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:154)(cid:36)(cid:97)
(cid:84)4(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:40)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:134)(cid:155)(cid:156)(cid:72)(cid:75)x(cid:26)(cid:157)(cid:40)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:135)(cid:155)(cid:156)(cid:83)
(cid:158)y=ax2+bx+c(a>0)(cid:77)(cid:159)(cid:72)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:25)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:3)(cid:91)(cid:129)(cid:157)(cid:103)(cid:10)
=b2 ac >0 =0 <0
∆ −4 ∆ ∆ ∆
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
y=ax2+bx+c
(a>0)(cid:27)(cid:36)(cid:160)
(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)
b
ax2+bx+c=0 x 1 (cid:72)x 2 x 1 =x 2 =− (cid:161)(cid:127)(cid:162)(cid:35)(cid:42)
2a
(a>0)(cid:27)(cid:42)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)
x<x 或x>x x≠x (cid:27)(cid:48)(cid:145)(cid:162)(cid:35) (cid:163)(cid:117)(cid:162)(cid:35)
1 2 1
ax2+bx+c>0(a>0)(cid:27)(cid:52)(cid:66)
(cid:53)(cid:54)(cid:55)
ax2+bx+c<0 x <x<x (cid:164)(cid:52) (cid:164)(cid:52)
1 2
(a>0)(cid:27)(cid:52)(cid:66)
【题型1 抛物线与x轴的交点】
(cid:15)(cid:159)1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:163)(cid:168)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−4ax+4a+4(cid:84)a(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:173)a≠0(cid:85)(cid:83)
(1)(cid:174)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:175)(cid:115)(4,0)(cid:72)(cid:45)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:103)(cid:177)(cid:55)(cid:83)
(2)(cid:86)a>0(cid:72)(cid:178)(cid:179)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:35)(cid:107)(cid:180)(cid:137)(cid:83)
(3)(cid:86)(cid:176)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:29)A(x ,y ),B(x ,y )(cid:72)(cid:181)(cid:104)x <x (cid:72)(cid:86)a<0(cid:72)x +x >4(cid:83)(cid:45)(cid:180)(cid:10)y >y (cid:83)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:163)(cid:168)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2−6x+a(cid:25)x(cid:26)(cid:182)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:7)(cid:183)(cid:29)(cid:72)(cid:89)a(cid:27)(cid:57)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=x2+2mx+m2−2m−3(m(cid:77)(cid:172)(cid:35))(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:127)
(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:174)x>2(cid:71)(cid:72)y(cid:195)x(cid:27)(cid:196)(cid:134)(cid:144)(cid:196)(cid:134)(cid:72)(cid:89)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)m≥− 3 B(cid:83)− 3 ≤m≤2 C(cid:83)m<2 D(cid:83)m≥−2
2 2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)1-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:197)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−(a+1)x−2a−1(cid:84)a(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:72)a>0(cid:85)(cid:83)
(1)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=1(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:29)M(1,y )(cid:72)N(2,y )(cid:204)(cid:205)y <y (cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:97)
1 2 1 2
(3)(cid:86)(cid:176)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:206)(cid:27)(cid:29)M(x ,y )(cid:72)N(x ,y )(cid:204)(cid:205)x +x =−2(cid:72)(cid:45)y +y (cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)
1 1 2 2 1 2 1 2
【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】
(cid:15)(cid:159)2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:210)(cid:211)(cid:212)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:215)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:176)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:78)
(cid:151)(cid:26)(cid:70)(cid:203)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:25)y(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:216)(cid:81)(cid:82)(cid:70)2(cid:83)(cid:89)(cid:157)(cid:102)(cid:217)(cid:218)(cid:10) 2a+b=0(cid:97) (cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:42)
(cid:75)−2(cid:188)−1(cid:100)(cid:101)(cid:97) (cid:40)(cid:41)ax2+bx+c−a=0(cid:48)(cid:39)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:219)(cid:54)(cid:27)(cid:162)(cid:35)①(cid:42)(cid:97) (cid:29)A②(x ,y )(cid:72)B(x ,y )(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:72)(cid:173)
1 1 2 2
③ 8 ④
x <1<x (cid:72)(cid:174)x +x >2(cid:71)(cid:72)y >y (cid:97) (cid:34)(cid:35)y(cid:27)(cid:220)(cid:134)(cid:57)(cid:134)(cid:155) (cid:83)(cid:181)(cid:104)(cid:110)(cid:38)(cid:217)(cid:218)(cid:27)(cid:90)(cid:35)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
1 2 1 2 1 2 3
⑤
A(cid:83)5(cid:90) B(cid:83)4(cid:90) C(cid:83)3(cid:90) D(cid:83)2(cid:90)(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:197)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:221)(cid:222)(cid:221)(cid:223)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:70)x=3(cid:72)(cid:173)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:70)(cid:203)(cid:24)x=1(cid:72)(cid:89)(cid:125)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:224)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-2(cid:19)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2(cid:25)(cid:203)(cid:24)y=bx+c(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)(cid:77)A(−2,4)(cid:72)B(1,1)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41)ax2−bx−
c=0(cid:27)(cid:52)(cid:77) (cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)2-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:85)(cid:86)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(−1,0)(cid:188)(3,0)(cid:72)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)
(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)cx2+bx+a=0(c≠0)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:87)(cid:88)(cid:70)m(cid:188)n(cid:72)(cid:89) n + m = (cid:83)
m n
【题型3 求x轴与抛物线的截线长】
(cid:15)(cid:159)3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:229)(cid:209)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:75)(cid:230)(cid:231)(cid:203)(cid:232)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2−2ax+c(a>0)(cid:83)
(1)(cid:174)a=c(cid:71)(cid:72)
(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:233)(cid:29)(cid:81)(cid:82)(cid:83)
①(cid:146)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:234)(cid:157)(cid:230)(cid:235)m(cid:90)(cid:236)(cid:119)(m>0)(cid:72)(cid:86)(cid:230)(cid:235)(cid:237)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:115)(cid:29)(0,−8)(cid:72)(cid:173)(cid:25)x(cid:26)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:238)(cid:141)(cid:77)6(cid:72)(cid:45)m
②(cid:27)(cid:57)(cid:83)
(2)(cid:170)(cid:171)(cid:29)M(2,2n+1)(cid:72)N(−1,3n+2)(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:72)(cid:173)c<0(cid:72)(cid:45)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:229)(cid:209)(cid:239)(cid:240)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:85)(cid:241)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y =(x−x )(x−x )(x ≠x ) (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y =6x+2
1 1 2 1 2 2
(cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:28)(cid:155)(cid:29) (x ,0)(cid:72)(cid:86)(cid:34)(cid:35) y=y +y (cid:27)(cid:36)(cid:160)(cid:25) x (cid:26)(cid:242)(cid:127)(cid:48)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:89) |x −x | (cid:27)(cid:57)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
1 1 2 1 2
17
A(cid:83)6 B(cid:83)8 C(cid:83) D(cid:83)7
3
(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:239)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)x2−(a−1)x+a−2=0(cid:83)
(1)(cid:45)(cid:180)(cid:10)(cid:176)(cid:40)(cid:41)(cid:246)(cid:127)(cid:65)(cid:90)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:97)
(2)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2−(a−1)x+a−2(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29)A(cid:72)B(cid:72)(cid:173)AB=2(cid:72)(cid:45)a(cid:27)(cid:57)(cid:83)
1
(cid:15)(cid:61)(cid:55)3-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:198)(cid:199)(cid:247)(cid:248)·(cid:48)(cid:191)(cid:85)(cid:170)(cid:171)P(x ,y )(cid:72)Q(x ,y )(cid:70)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx− (cid:67)(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:53)(cid:206)(cid:29)(cid:83)
1 1 2 2 4
b2
(1)(cid:86)P(cid:72)Q(cid:65)(cid:29)(cid:249)(cid:75)(cid:203)(cid:24)y=− (cid:67)(cid:72)(cid:45)(cid:24)(cid:250)PQ(cid:27)(cid:47)(cid:97)
4
1 1
(2)(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:3)(cid:155)y(cid:26)(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:203)(cid:24)PQ(cid:115)(cid:81)(cid:82)(cid:251)(cid:29)O(cid:72)(cid:45) + (cid:27)(cid:57)(cid:97)
OP OQ(3)(cid:86)(cid:29)P(cid:72)Q(cid:75)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:252)(cid:152)(cid:72)x (cid:72)x (cid:77)(cid:99)(cid:35)(cid:72)(cid:173)x <x (cid:72)(cid:180)(cid:137)(cid:10)x −x +y −y (cid:77)(cid:110)(cid:57)(cid:83)
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
(cid:15)(cid:159)4(cid:19)(cid:84)2025·(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:252)·(cid:256)(cid:191)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:70)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35) y=ax2+bx+c(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:36)(cid:37)(cid:67)(cid:127)(cid:65)(cid:29)(cid:87)(cid:88)(cid:77)A(2.68,0.54)(cid:72)
B(2.18,−0.56)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:40)(cid:41) ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:48)(cid:90)(cid:42)(cid:257)(cid:258)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)2.18 B(cid:83)2.68 C(cid:83)−0.56 D(cid:83)2.45
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:221)(cid:222)(cid:259)(cid:260)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:129)(cid:103)(cid:104)(cid:102)(cid:96)(cid:261)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:48)(cid:262)(cid:78)(cid:79)(cid:57)(cid:72)(cid:89)(cid:48)
(cid:49)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(a≠0)(cid:27)(cid:52)x(cid:27)(cid:58)(cid:59)(cid:70) (cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:219)(cid:263)(cid:99)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:85)
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … 1 2 1 −2 −7 …
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:135)(cid:137)(cid:31)GGB(cid:268)(cid:269)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:84)a≠0,a(cid:150)b(cid:150)c(cid:77)(cid:172)(cid:35)(cid:85)(cid:27)
(cid:42)(cid:72)(cid:153)(cid:96)(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:107)(cid:45)(cid:270)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)x=−3.4(cid:72)(cid:89)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:224)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:51)(cid:42)(cid:84)(cid:271)(cid:38)(cid:130)0.1(cid:85)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)2.4 B(cid:83)2.6 C(cid:83)1.4 D(cid:83)1.6
(cid:15)(cid:61)(cid:55)4-3(cid:19)(cid:75)(cid:162)(cid:272)(cid:69)(cid:20)(cid:104)(cid:273)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:45)(cid:270)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:276)(cid:90)(cid:71)(cid:277)(cid:72)(cid:278)(cid:279)(cid:114)(cid:172)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:280)(cid:281)(cid:124)(cid:83)(cid:129)(cid:72)
(cid:45)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:282)0(cid:27)(cid:162)(cid:35)(cid:42)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:139)(cid:140)(cid:34)(cid:35)y(cid:282)x2﹣2x﹣2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:72)(cid:283)(cid:118)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)2(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)
(cid:135)(cid:155)0(cid:84)(cid:29)(cid:84)2(cid:72)﹣2(cid:85)(cid:75)x(cid:26)(cid:157)(cid:40)(cid:85)(cid:72)(cid:174)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)3(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:134)(cid:155)0(cid:84)(cid:29)(cid:84)3(cid:72)1(cid:85)(cid:75)x(cid:26)(cid:67)(cid:40)(cid:85)(cid:83)(cid:284)(cid:77)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)y(cid:282)x2﹣2x﹣2(cid:70)(cid:48)(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:53)(cid:179)(cid:27)(cid:288)(cid:24)(cid:72)(cid:213)(cid:158)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y(cid:282)x2﹣2x﹣2(cid:75)2(cid:289)x(cid:289)3(cid:276)(cid:48)(cid:250)(cid:175)(cid:115)x(cid:26)(cid:72)(cid:121)(cid:76)(cid:70)
(cid:136)(cid:72)(cid:174)x(cid:56)2(cid:150)3(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:290)(cid:90)(cid:57)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:77)0(cid:72)(cid:291)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:282)0(cid:75)2(cid:150)3(cid:100)(cid:101)(cid:127)(cid:42)(cid:83)(cid:292)(cid:48)(cid:93)(cid:72)(cid:278)(cid:279)(cid:56)2
(cid:188)3(cid:27)(cid:230)(cid:293)(cid:35)2.5(cid:72)(cid:106)(cid:108)(cid:257)(cid:171)(cid:72)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:35)(cid:57)(cid:77)﹣0.75(cid:72)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:77)3(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:294)(cid:9)(cid:72)(cid:213)(cid:158)(cid:276)(cid:90)(cid:42)(cid:75)2.5(cid:25)3
(cid:100)(cid:101)(cid:295)(cid:296)(cid:48)(cid:90)(cid:35)(cid:153)(cid:77)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:297)(cid:162)(cid:57)(cid:27)(cid:298)(cid:249)(cid:53)(cid:299)(cid:134)(cid:155)3﹣2.5(cid:282)0.5(cid:83)(cid:300)(cid:301)(cid:158)(cid:67)(cid:302)(cid:153)(cid:72)(cid:195)(cid:303)(cid:302)(cid:153)(cid:33)(cid:35)(cid:196)(cid:304)(cid:72)(cid:42)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:57)(cid:142)(cid:280)(cid:142)(cid:143)(cid:50)(cid:297)(cid:162)(cid:57)(cid:83)(cid:31)(cid:158)(cid:67)(cid:40)(cid:305)(cid:45)(cid:270)(cid:40)(cid:41)x2﹣2x﹣2(cid:282)0(cid:27)(cid:135)(cid:155)0(cid:27)(cid:52)(cid:72)(cid:107)(cid:173)(cid:306)(cid:270)(cid:213)(cid:45)
(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:25)(cid:297)(cid:162)(cid:57)(cid:27)(cid:298)(cid:53)(cid:307)(cid:115)0.3(cid:72)(cid:176)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:77)
【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】
(cid:15)(cid:159)5(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:300)(cid:308)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:72)(cid:89)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c≤3(cid:27)
(cid:52)(cid:66)(cid:70) (cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:264)(cid:265)(cid:309)(cid:310)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=x2−x−2(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:72)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:61)
(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)x<−1 B(cid:83)x>2 C(cid:83)−1<x<2 D(cid:83)x<−1(cid:63)x>2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-2(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:311)(cid:239)(cid:312)(cid:313)·(cid:314)(cid:250)(cid:315)(cid:316)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:42)(cid:64)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:317)
(cid:157)(cid:102)(cid:69)(cid:20)(cid:10)(1)(cid:203)(cid:143)(cid:318)(cid:96)(cid:40)(cid:41)ax2+bx+c=0(cid:27)(cid:65)(cid:90)(cid:42)(cid:97)
(2)(cid:203)(cid:143)(cid:318)(cid:96)y(cid:195)x(cid:27)(cid:196)(cid:134)(cid:144)(cid:319)(cid:135)(cid:71)(cid:60)(cid:61)(cid:62)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:97)
(3)(cid:203)(cid:143)(cid:318)(cid:96)(cid:3)(cid:155)x(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+bx+c<0(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)5-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:253)(cid:226)(cid:320)(cid:321)·(cid:48)(cid:191)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx+c(a≠0)(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(cid:29) −1(cid:72)0 (cid:72)(cid:233)(cid:29)
(cid:81)(cid:82)(cid:77) 1(cid:72)m (cid:72)(cid:157)(cid:102)(cid:217)(cid:218)(cid:10) ac<0(cid:97) 8a+4b=0(cid:97) (cid:78)(cid:155)(cid:295)(cid:296)(cid:162)(cid:35)n(cid:72)(cid:249)(cid:127)an2+bn+c≥m(cid:97) (cid:174)−1<x<3(cid:71)(cid:72)
y>0(cid:83)(cid:181)(cid:104)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:90)(cid:35)(cid:70)(cid:84)(cid:322)①(cid:322)(cid:85) ② ③ ④
A(cid:83)1 B(cid:83)2 C(cid:83)3 D(cid:83)4
【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】
(cid:15)(cid:159)6(cid:19)(cid:84)2025·(cid:198)(cid:199)(cid:198)(cid:308)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:85)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:27)(cid:233)(cid:29)(cid:216)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:27)(cid:233)(cid:29)(cid:216)(cid:81)(cid:82)(cid:100)
1 2
(cid:188)(cid:77)4(cid:83)
(1)(cid:45)n(cid:27)(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:170)(cid:171)A(s,t)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =x2+mx+n(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:72)B(p,q)(cid:77)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y =−x2−mx(cid:67)(cid:48)(cid:29)(cid:83)
1 2
(cid:84)i(cid:85)(cid:86)(cid:242)(cid:323)(cid:75)(cid:48)(cid:90)(cid:110)(cid:35)s(cid:72)(cid:306)(cid:270)s+t=0(cid:72)(cid:45)p+q(cid:27)(cid:220)(cid:134)(cid:57)(cid:97)
(cid:84)ii(cid:85)(cid:86)p=s+2(cid:72)(cid:173)(cid:174)1<s<2(cid:71)(cid:72)(cid:246)(cid:127)t+q<4(cid:72)(cid:45)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-1(cid:19)(cid:84)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:239)(cid:324)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−6ax+c(cid:72)(cid:174)1<x<2(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)(cid:57)y>0(cid:97)(cid:174)x>5(cid:71)(cid:72)y
<0(cid:83)(cid:86)(cid:29)(t,m)(cid:72)(t+2,n)(cid:249)(cid:75)(cid:34)(cid:35)y=ax2−6ax+c(cid:67)(cid:72)(cid:173)m>n>5a(cid:72)(cid:89)t(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70) (cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:134)(cid:308)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y=ax2−bx(a≠0)(cid:72)(cid:175)(cid:115)(cid:29)P(m,2)(cid:83)(cid:174)y>−1(cid:71)(cid:72)x(cid:27)(cid:56)(cid:57)
(cid:58)(cid:59)(cid:77)x<t−1(cid:63)x>−3−t(cid:83)(cid:89)(cid:129)(cid:157)(cid:68)(cid:90)(cid:57)(cid:104)(cid:127)(cid:257)(cid:258)(cid:77)m(cid:27)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)1 B(cid:83)2 C(cid:83)3 D(cid:83)4
(cid:15)(cid:61)(cid:55)6-3(cid:19)(cid:84)2025·(cid:198)(cid:199)(cid:247)(cid:248)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:75)(cid:230)(cid:231)(cid:203)(cid:232)(cid:81)(cid:82)(cid:91)xOy(cid:104)(cid:72)(cid:203)(cid:24)y=2x(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=ax2+bx−4(cid:28)(cid:155)(cid:29)A
(x ,y )(cid:150)B(x ,y )(cid:72)(cid:173)x <x (cid:72)(cid:29)P(cid:70)(cid:176)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:119)(cid:155)A(cid:72)B(cid:65)(cid:29)(cid:100)(cid:101)(cid:27)(cid:325)(cid:29)(cid:83)
1 1 2 2 1 2(1)(cid:174)x =−1(cid:72)x =2(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:52)(cid:326)(cid:55)(cid:97)
1 2
(2)(cid:75)(cid:84)1(cid:85)(cid:27)(cid:285)(cid:327)(cid:157)(cid:72)(cid:174) PAB(cid:231)(cid:328)(cid:220)(cid:134)(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:29)P(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:97)
△ 2 m
(3)(cid:241)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:233)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:77)ℎ(cid:72)(cid:174)x =m(cid:72)x =n(cid:173)n≥ (cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:180)(cid:10)ℎ≥ (cid:83)
1 2 a 2
【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】
(cid:15)(cid:159)7(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:244)(cid:329)(cid:330)(cid:331)·(cid:169)(cid:202)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=x2+bx+c(cid:175)(cid:115)(cid:65)(cid:29)A(2,−3)(cid:72)B(4,5)(cid:83)
(1)(cid:45)b(cid:72)c(cid:57)(cid:97)
(2)(cid:174)1≤x≤4(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:35)y=x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:246)(cid:134)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2+bx+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:72)(cid:173)(cid:34)(cid:35)y=−7x+n(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:246)(cid:135)(cid:155)(cid:34)(cid:35)y=x2
+bx+c(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:72)(cid:203)(cid:143)(cid:318)(cid:96)(cid:204)(cid:205)(cid:20)(cid:296)(cid:27)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:83)
(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-1(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:253)(cid:226)(cid:253)(cid:223)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =mx+n(m≠0)(cid:25)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =ax2+bx+c(a≠0)(cid:27)(cid:36)(cid:37)
1 2
(cid:129)(cid:36)(cid:213)(cid:214)(cid:72)(cid:89)(cid:53)(cid:54)(cid:55)ax2+(b−m)x+c>n(cid:27)(cid:52)(cid:66)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)x<3 B(cid:83)x>−4 C(cid:83)−4<x<3 D(cid:83)x>3(cid:63)x<−4
(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-2(cid:19)(cid:84)2025·(cid:229)(cid:209)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)y =ax2−ax−1(a≠0),y =x2−bx+3(cid:72)(cid:89)(cid:157)(cid:102)(cid:217)(cid:218)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:70)
1 2
(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)(cid:86)−2<a<0<b(cid:72)(cid:89)y <y B(cid:83)(cid:86)−2<a<b<0(cid:72)(cid:89)y <y
1 2 1 2
C(cid:83)(cid:86)0<a<2<b(cid:72)(cid:89)y <y D(cid:83)(cid:86)0<a<b<2(cid:72)(cid:89)y <y
1 2 1 2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)7-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:134)(cid:308)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:39)(cid:332)(cid:10)(cid:86)(cid:34)(cid:35)C (cid:188)(cid:34)(cid:35)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=m(cid:78)(cid:151)(cid:72)(cid:89)(cid:151)
1 2
(cid:34)(cid:35)C (cid:188)C (cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=m(cid:333)(cid:77)“(cid:188)(cid:334)(cid:34)(cid:35)”(cid:72)(cid:34)(cid:35)C (cid:188)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:335)(cid:336)“(cid:188)(cid:334)(cid:29)”(cid:83)
1 2 1 2
(cid:159)(cid:129)(cid:10)(cid:34)(cid:35)y=x2−3(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=1(cid:27)“(cid:188)(cid:334)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)y=(x−2)2−3(cid:72)“(cid:188)(cid:334)(cid:29)”(cid:77)(1,−2)(cid:83)(cid:157)(cid:102)(cid:136)(cid:305)(cid:53)(cid:110)(cid:38)(cid:27)(cid:337)(cid:9)
(cid:77) (cid:83)
(cid:34)(cid:35)y=x2−2x(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=−1(cid:27)“(cid:188)(cid:334)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)y=(x+3)2−1=x2+6x+8(cid:72)“(cid:188)(cid:334)(cid:29)”(cid:81)(cid:82)(cid:77)(−1,3)(cid:97)
①(cid:34)(cid:35)y=x2−4x+1(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=m(cid:27)“(cid:188)(cid:334)(cid:29)”(cid:27)(cid:216)(cid:81)(cid:82)(cid:77)n(cid:72)(cid:174)1≤m≤4(cid:71)(cid:72)(cid:89)n(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)−2≤n≤1(cid:97)
②(cid:34)(cid:35)y=x2−4x(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=m(cid:27)“(cid:188)(cid:334)(cid:29)”(cid:216)(cid:81)(cid:82)d(cid:204)(cid:205)(cid:10)|d|≤3(cid:72)m(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)3≤m≤2+ 7(cid:63)2− 7≤m≤1
③(cid:170)(cid:171)M(1,−2)(cid:72)N(4,−2)(cid:72)(cid:34)(cid:35)C :y=a(x−1)2−4a(a>0)(cid:3)(cid:155)(cid:203)(cid:24)x=2(cid:27)“(cid:188)(cid:334)(cid:34)(cid:35)”(cid:77)C (cid:72)(cid:146)(cid:34)(cid:35)C (cid:25)C (cid:27)(cid:36)(cid:37)
1 2 1 2
④2
(cid:338)(cid:124)(cid:27)(cid:36)(cid:148)(cid:339)(cid:77)T(cid:72)(cid:86)T(cid:25)(cid:24)(cid:250)MN(cid:182)(cid:127)2(cid:90)(cid:7)(cid:183)(cid:29)(cid:72)(cid:89)a(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:70)a≥ (cid:83)
3
【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】
(cid:15)(cid:159)8(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:243)(cid:244)(cid:340)(cid:341)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=(x−x )(x−x )−3(x <x )(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(m,0)(cid:72)
1 2 1 2
(n,0)(cid:65)(cid:29)(m<n)(cid:72)(cid:89)m(cid:72)n(cid:72)x (cid:72)x (cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:3)(cid:91)(cid:70)(cid:84) (cid:85)
1 2
A(cid:83)x <m<n<x B(cid:83)m<x <x <n
1 2 1 2
C(cid:83)m<x <n<x D(cid:83)x <m<x <n
1 2 1 2
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-1(cid:19)(cid:84)2024·(cid:229)(cid:209)(cid:342)(cid:223)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:170)(cid:171)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2+bx+c(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:25)x(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:87)(cid:88)α(cid:72)β
(α<β)(cid:72)(cid:144)−x2+bx+c−2=0(cid:27)(cid:65)(cid:42)(cid:77)M(cid:150)N(M<N)(cid:72)(cid:89)α(cid:150)β(cid:150)M(cid:150)N(cid:27)(cid:134)(cid:135)(cid:343)(cid:337)(cid:77)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)α<β<M<N B(cid:83)M<α<β<N
C(cid:83)α<M<N<β D(cid:83)M<α<N<β
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-2(cid:19)(cid:84)2024·(cid:209)(cid:254)(cid:344)(cid:223)·(cid:32)(cid:191)(cid:85)(cid:75)(cid:230)(cid:231)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−3(x−ℎ)2+5(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(m,0)(cid:72)(n,0)(cid:65)(cid:29)(cid:72)
(cid:181)(cid:104)m<n(cid:83)(cid:118)(cid:146)(cid:125)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:234)(cid:67)(cid:230)(cid:235)(cid:72)(cid:230)(cid:235)(cid:237)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)(p,0)(cid:72)(q,0)(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:173)p<q(cid:72)(cid:157)(cid:102)(cid:217)(cid:218)(cid:110)(cid:38)(cid:27)
(cid:70)(cid:84) (cid:85)
A(cid:83)m+n<p+q(cid:72)n−m<q−p B(cid:83)m+n<p+q(cid:72)n−m>q−p
C(cid:83)m+n=p+q(cid:72)n−m<q−p D(cid:83)m+n=p+q(cid:72)n−m>q−p
(cid:15)(cid:61)(cid:55)8-3(cid:19)(cid:84)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:67)·(cid:198)(cid:199)(cid:247)(cid:248)·(cid:169)(cid:104)(cid:85)(cid:129)(cid:36)(cid:72)(cid:75)(cid:230)(cid:231)(cid:203)(cid:232)(cid:81)(cid:82)(cid:91)(cid:104)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2−2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)
A(cid:150)B(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:22)(cid:23)(cid:24)y=−x2+2x+n(cid:25)x(cid:26)(cid:28)(cid:155)C(cid:150)D(cid:65)(cid:29)(cid:72)(cid:181)(cid:104)n>0(cid:83)(cid:86)AD=3BC(cid:72)(cid:89)n(cid:27)(cid:57)(cid:77) (cid:83)
