文档文本内容
专题 2.1 一元二次方程（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)(cid:20)................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:43)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:36)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:20)........................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:49)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)......................................................................................................11
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:36)(cid:57)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:20)..........................................................................................13
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
1
(cid:58)(cid:59)(cid:10) + =2(cid:60) +1(cid:60) + =0(cid:60) +8=0(cid:60) = (cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30).
2 2 2 3 2
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦−3 𝑥 −3𝑥 (𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥 −1
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是 + + =0( 0)，其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项，
2 𝟐
是一次项系数； 是常数项. 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠ 𝒂𝒙 𝒂 𝒃𝒙 𝒃
2.(cid:64)1(cid:65) 是一𝒄元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；(cid:64)2(cid:65)任何一个一元二次方程都可
以化成一𝐚般≠形𝟎 式；(cid:64)3(cid:65)一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得 + = ( )；
𝟐
（2)当c=0时，得𝒂𝒙 +𝒄 =𝟎 𝒂(≠𝟎 )；
𝟐
（3)当b=0且c=0𝒂时𝒙,得 𝒃𝒙 =𝟎(𝒂≠𝟎).
𝟐
𝒂𝒙 𝟎 𝒂≠𝟎知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:75)(cid:63)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:31).
2.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:69)(cid:77)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:78)(cid:81)(cid:82)(cid:84)(cid:69)(cid:77)(cid:62)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:51)(cid:42)(cid:31).(cid:85) (cid:60) (cid:63)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0( 0)(cid:33)(cid:69)(cid:77)(cid:51)(cid:42)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:40)(cid:89)(cid:90)(cid:60)(cid:91)(cid:81)(cid:92)(cid:93)(cid:76)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:40)(cid:36)𝑥1(cid:46)(cid:73)𝑥2(cid:74)(cid:94)
2
(cid:42)(cid:10) +𝑎𝑥 +𝑏𝑥=0(𝑐 0𝑎)，≠ + + =0( 0).
2 2
𝑎𝑥1 𝑏𝑥1 𝑐 𝑎≠ 𝑎𝑥2 𝑏𝑥2 𝑐 𝑎≠
【题型1 识别一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)·(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:105)(cid:77)(cid:29)(cid:30) x2﹣9=0(cid:106) (cid:64)2x+1(cid:65)(cid:64)2x﹣1(cid:65)=0(cid:106) x2=0(cid:106)
+1=1(cid:107)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65) ① ② ③
2
④A𝑥(cid:108)−2𝑥 B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)①D ② ③ ④
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:112)(cid:21)(cid:113)(cid:114)(cid:10)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:42)(cid:63)2(cid:106)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:62)(cid:118)0(cid:106)(cid:63)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
(cid:120)(cid:84)(cid:25)(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:108)(cid:50)(cid:76)(cid:105)(cid:77)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:105)(cid:77)(cid:124)(cid:117)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:60)(cid:129)(cid:130)(cid:76)(cid:105)(cid:77)(cid:121)(cid:122)(cid:131)(cid:118)(cid:132)(cid:133)(cid:109)(cid:110)(cid:108)
(cid:46)(cid:10) x2﹣9=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
(cid:64)①2x+1(cid:65)(cid:64)2x﹣1(cid:65)=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
②x2=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
③ +1=1(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
2
(cid:134)④(cid:124)𝑥D−(cid:108)2𝑥
(cid:15)(cid:135)(cid:40)1-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:105)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:60)(cid:25)(cid:34)(cid:63)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65)
A(cid:108) + 1 =0 B(cid:108) + + =0 𝑥
2 2
2
C(cid:108) 𝑥 + 𝑥 =0 D(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 +5 𝑐 =0
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)𝑥 C 𝑥−2 3𝑥−2𝑥𝑦 𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:82)(cid:148)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:150)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:60)(cid:4)(cid:152)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:84)(cid:25)
(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:91)(cid:154)(cid:155)(cid:120)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:117)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:42)(cid:63)2(cid:33)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)A(cid:108)(cid:113)(cid:45)(cid:107)(cid:120)(cid:84)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
B(cid:108) =0(cid:159)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
C(cid:108)(cid:63)𝑎 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
D(cid:108)(cid:120)(cid:84)2(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:156)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)(cid:134)(cid:124)(cid:10)C(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)1-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:43)(cid:40)(cid:107)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:63)(cid:64) (cid:65)
A(cid:108)2 +1=0 B(cid:108) =0 C(cid:108)2 =0 D(cid:108) +4=0
2 2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)𝑥B 𝑥−2𝑦−3 𝑥 𝑦 −3𝑦
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:125)(cid:126)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)A(cid:108)2 +1=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
2
B(cid:108) =0(cid:63)(cid:27)𝑥 (cid:26)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
C(cid:108)𝑥2−2𝑦=−03(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:106)
2
D(cid:108) 𝑥 +4=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:134)(cid:124)(cid:117)(cid:62)(cid:157)(cid:158)(cid:21)(cid:152)(cid:108)
2
(cid:134)(cid:124)𝑦(cid:10)−B3(cid:108)𝑦
(cid:15)(cid:168)(cid:169)(cid:20)(cid:150)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:153)(cid:120)(cid:84)(cid:25)(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:154)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:42)(cid:63)2(cid:33)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:148)(cid:141)(cid:170)(cid:171)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)1-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:84)(cid:64) (cid:65)
3 =0(cid:106) + + =0(cid:106) + 1 =0(cid:106) 2 = (cid:106) =15
2 2 2 2
① A 𝑥 (cid:108) − 1 𝑥 (cid:77) ②𝑎𝑥 B(cid:108) 𝑏𝑥 2(cid:77) 𝑐 ③3𝑥 𝑥 C(cid:108)3(cid:77) ④ 𝑥 −1 (𝑥− D 1 (cid:108) )( 4 𝑥− (cid:77) 2) ⑤(5𝑥−2)(3𝑥−7) 𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:82)(cid:148)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:150)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:60)(cid:4)(cid:152)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:84)(cid:25)
(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:91)(cid:154)(cid:155)(cid:120)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:117)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:42)(cid:63)2(cid:33)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:108)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:167)(cid:81)
(cid:46)(cid:109)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) 3 =0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
2
+ +①=𝑥0(cid:60)−(cid:178)𝑥 = 0(cid:159)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
2
②𝑎𝑥
+
1𝑏
=
𝑥
0(cid:63)
𝑐
(cid:113)(cid:40)(cid:29)(cid:30)
𝑎
(cid:60)(cid:62)
0
(cid:63)
,𝑏
(cid:25)
≠
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
③3 2 𝑥 𝑥 = (cid:60)(cid:119)(cid:179)(cid:180)(cid:10) + =0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
2 2
④ 𝑥 −1 (𝑥−1)=(𝑥1−52) (cid:60)(cid:119)(cid:179)(cid:180)(cid:10)𝑥 3𝑥+−314=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:62)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:106)
2
⑤(cid:86)(cid:181)(5(cid:84)𝑥−22(cid:77))(3(cid:60)𝑥−7) 𝑥 −41𝑥
(cid:134)(cid:124)(cid:10)B(cid:108)
【题型2 根据一元二次方程的定义求值】
(cid:15)(cid:58)2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:174)(cid:182)(cid:183)(cid:184)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:185)(cid:74)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( +1) | | + +5=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
4𝑚−2
𝑚 𝑥 27𝑚𝑥(cid:30)(cid:60)(cid:86) = (cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)𝑚(cid:20)1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:180)(cid:56) +1 0(cid:154)| | =2(cid:60)(cid:186)(cid:36)(cid:56)
(cid:109)(cid:110)(cid:167)(cid:81)(cid:108) 𝑚 ≠ 4𝑚 −2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( +1) | | + +5=0(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)
4𝑚−2
+1 0(cid:154)∵| | =2(cid:60) 𝑚 𝑥 27𝑚𝑥
∴(cid:46)𝑚(cid:180)(cid:10) ≠=1(cid:60)4𝑚 −2
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)𝑚(cid:10)1(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)2-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:174)(cid:182)(cid:187)(cid:188)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:29)(cid:30) +5=0(cid:63)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:86) (cid:33)(cid:189)(cid:37)
2
(cid:190)(cid:191)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥 𝑎
A(cid:108) 0 B(cid:108) >3 C(cid:108) =0 D(cid:108) 0
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)𝑎≠A 𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:192)(cid:193)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:60)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:10)(cid:153)(cid:120)(cid:84)(cid:25)(cid:77)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:60)(cid:91)(cid:154)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:42)(cid:118)2(cid:33)(cid:119)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:148)(cid:149)(cid:25)(cid:38)
(cid:39)(cid:40)(cid:118) + + =0( 0)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)𝑎(cid:20)𝑥(cid:46)(cid:10)𝑏(cid:29)𝑥 (cid:30)𝑐 𝑎+≠5=0(cid:63)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)
2
0(cid:60) 𝑎𝑥 −𝑥 𝑥
∴(cid:134)𝑎(cid:124)≠(cid:10)A(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)2-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:100)(cid:194)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:85)(cid:29)(cid:30)( +1) =0(cid:63)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:86)
2
3𝑎 −1
= (cid:108) 𝑎 𝑥 𝑥
𝑎(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:50)(cid:21)(cid:152)(cid:180)3 =2(cid:154) +1 0(cid:60)(cid:46)(cid:195)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:60)(cid:170)(cid:171)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
2
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108) 𝑎 −1 𝑎 ≠
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:29)(cid:30)( +1) =0(cid:63)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)
2
3𝑎 −1
3 =2(cid:154)∵ +1 𝑎 0(cid:60)𝑥 𝑥
2
∴ 𝑎=−11(cid:60) 𝑎 ≠
∴(cid:134)𝑎(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)1(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)2-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:174)(cid:182)(cid:137)(cid:196)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)( ) + =0(cid:84)
2 2
(cid:25)(cid:77)(cid:46)(cid:63)0(cid:60)(cid:86) = 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
𝑚(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)−(cid:21)1 (cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:197)(cid:46)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:132)(cid:133)(cid:36)(cid:56)m(cid:33)(cid:37)(cid:63)(cid:3)(cid:151)(cid:60)(cid:4)(cid:152)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:62)(cid:118)0(cid:106)
(cid:198) =0(cid:47)(cid:48)(cid:199)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:180)(cid:3)(cid:143)m(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:46)(cid:29)(cid:30)(cid:167)(cid:81)(cid:180)(cid:46)(cid:60)(cid:4)(cid:152) 0.
(cid:15)𝑥(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)( ) + =0𝑚(cid:84)−(cid:25)1≠(cid:77)(cid:46)(cid:63)0(cid:60)
2 2
=0(cid:154)∵ 0(cid:60) 𝑚−1 𝑥 −2𝑥 𝑚 −1
2
∴(cid:46)𝑚(cid:180)−(cid:10)1 = 𝑚(cid:106)−1≠
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑚(cid:118)(cid:10)−1.
−1
【题型3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
(cid:15)(cid:58)3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:200)(cid:137)(cid:201)(cid:202)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:29)(cid:30)( +1)( )=5(cid:119)(cid:179)(cid:89)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:203)(cid:60)(cid:204)
(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:205)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:206)(cid:37)(cid:63) (cid:108) 3𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20) 3
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20) − (cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:118) + + =0( 0)(cid:60)(cid:207)(cid:107)a(cid:79)(cid:80)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:60)b(cid:79)(cid:80)(cid:25)(cid:28)(cid:117)
2
(cid:41)(cid:42)(cid:46)(cid:109)(cid:167)(cid:81)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40) + + =0( 0)(cid:208)(cid:207)(cid:71)(cid:3)(cid:192)(cid:193)(cid:60)(cid:148)(cid:141)(cid:170)(cid:171)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:50)( +1)( )=5(cid:60)𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:180)3 =03(cid:60)𝑥 𝑥−1
2
(cid:27)𝑥(cid:28)(cid:117)−2(cid:41)𝑥−(cid:42)6(cid:118)3(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)
∴ −23
(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:205)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:206)(cid:37)(cid:63) (cid:108)
2
−
3
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) (cid:108)
2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)3-1(cid:20)−(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)3 +2=0(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:60)
2
(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:113)(cid:24)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑥 𝑥 −5𝑥
A(cid:108) B(cid:108) C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)3,−D5,−2 3,−5𝑥,2 3,5𝑥,−2 3,−5,2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:192)(cid:193)(cid:60)(cid:179)(cid:46)(cid:91)(cid:170)(cid:171)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:192)(cid:193)(cid:208)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:63)(cid:3)
(cid:151)(cid:108)
(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:192)(cid:193)(cid:208)(cid:25)(cid:38)(cid:40)“ + + =0( 0)”(cid:165)(cid:34)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑎3𝑥 𝑏𝑥+2𝑐=0(cid:33)𝑎(cid:27)≠(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:113)(cid:24)(cid:118) (cid:60)
2
(cid:134)(cid:124)(cid:10)D (cid:108) 𝑥 𝑥 −5𝑥 3,−5,2(cid:15)(cid:135)(cid:40)3-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:210)(cid:164)(cid:210)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:29)(cid:30) + = +5(cid:212)(cid:118)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:203)(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:209)(cid:42)
2
(cid:117)(cid:113)(cid:24)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑥 4𝑥−1 𝑥
A(cid:108)1(cid:197)3 B(cid:108)1(cid:197) C(cid:108)3(cid:197) D(cid:108)3(cid:197)4
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)C −6 −6
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:60)(cid:31)(cid:32) + + =0( 0)(cid:125)(cid:126)(cid:165)(cid:34)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:60) + = +5(cid:213)(cid:117)(cid:119)(cid:179)𝑎𝑥(cid:180)(cid:60)𝑏𝑥 +𝑐 𝑎=≠0(cid:60)
2 2
(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:197)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:113)(cid:24)𝑥(cid:118)34𝑥(cid:197)−1 (cid:108)𝑥 𝑥 3𝑥−6
∴(cid:134)(cid:124)(cid:10)C (cid:108) −6
(cid:15)(cid:135)(cid:40)3-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:214)(cid:137)(cid:215)(cid:164)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:216)(cid:56)(cid:25)(cid:77)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118)1(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:118)
(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:63) (cid:108)(cid:64)(cid:93)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:217)(cid:218)(cid:65) −3
−(cid:15)4(cid:109)(cid:110)(cid:20) =0
2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)𝑥(cid:144)(cid:21)−3(cid:145)𝑥−(cid:146)4(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:10) + + =0( 0)(cid:60)(cid:207)(cid:107)
2
(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:118) (cid:60)(cid:125)(cid:126)(cid:219)(cid:109)(cid:167)(cid:81)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎≠
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)𝑎(cid:50)(cid:21)(cid:152)(cid:60)(cid:81)(cid:180)(cid:29)(cid:30)𝑏(cid:118)(cid:10) 𝑐 =0(cid:106)
2
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) =0(cid:108) 𝑥 −3𝑥−4
2
𝑥 −3𝑥−4
【题型4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】
(cid:15)(cid:58)4(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:220)(cid:221)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + = +12(cid:107)(cid:62)(cid:120)x(cid:33)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:60)
2
(cid:86)(cid:150)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:118) (cid:108) 𝑚𝑥 𝑚𝑥 3𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20) =2, =
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)𝑥(cid:144)1(cid:21)(cid:145)(cid:146)𝑥2(cid:25)(cid:26)−(cid:27)2 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:46)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:179)(cid:46)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:222)(cid:144)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:3)(cid:151)(cid:108)(cid:31)
(cid:32)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:223)(cid:133)(cid:34)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:60)(cid:224)(cid:203)(cid:133)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:60)(cid:46)(cid:29)(cid:30)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + = +12(cid:107)(cid:62)(cid:120)x(cid:33)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:60)
2
(cid:167) +( ∵) =12(cid:62)(cid:120)x𝑚(cid:33)𝑥(cid:25)(cid:28)𝑚(cid:117)𝑥(cid:60)3𝑥
2
𝑚𝑥 =0𝑚(cid:60)−3 𝑥
∴𝑚−=33(cid:60)
∴(cid:199)𝑚(cid:29)(cid:30)(cid:118)3 =12(cid:60)
2
∴(cid:46)(cid:180)(cid:10) =𝑥2, = (cid:60)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑥(cid:118)1(cid:10) 𝑥=2 2, −2= (cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)4-1(cid:20)𝑥1(cid:64)24-2𝑥52(cid:160)(cid:96)−2(cid:97)(cid:87)·(cid:16)(cid:225)(cid:162)(cid:188)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)( ) + + =0(cid:33)(cid:209)
2 2
𝑚−1 𝑥 5𝑥 𝑚 −1(cid:42)(cid:117)(cid:118)0(cid:60)(cid:86)m(cid:33)(cid:37)(cid:118)(cid:64) (cid:65)
A(cid:108)1 B(cid:108) C(cid:108)2 D(cid:108)±1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)B −1
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:63)(cid:132)(cid:133)(cid:226)(cid:227)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:118)0(cid:33)(cid:37)(cid:60)(cid:92)(cid:93)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)
(cid:34)(cid:35)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
=0
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:50)(cid:21)(cid:152)(cid:180)(cid:10) (cid:60)
0
2
𝑚 −1
(cid:46)(cid:180) = (cid:60) 𝑚−1≠
(cid:134)(cid:124)𝑚(cid:10)B(cid:108)−1
(cid:15)(cid:135)(cid:40)4-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:200)(cid:137)(cid:228)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)3 + = (cid:212)(cid:89)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)
2
(cid:203)(cid:60)(cid:207)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118)1(cid:60)(cid:209)(cid:42)(cid:117)(cid:118) (cid:60)(cid:86)(cid:156)(cid:29)(cid:30)(cid:107)(cid:33)(cid:25)𝑥(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)(cid:118) 𝑥(cid:108) 𝑥−2 𝑎𝑥(𝑥−2)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)5 −2
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:60)(cid:223)(cid:198)(cid:199)(cid:29)(cid:30)(cid:125)(cid:126)(cid:212)(cid:229)(cid:119)(cid:179)(cid:60)(cid:230)(cid:231)(cid:81)(cid:180)( ) +(1+ )
2
=0(cid:60)(cid:224)(cid:203)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:81)(cid:180) =1(cid:60)(cid:230)(cid:231)(cid:81)(cid:180)(cid:10) =2(cid:60)(cid:186)(cid:198)a(cid:33)(cid:37)(cid:47)(cid:48)1+ (cid:107)(cid:60)3(cid:125)−(cid:126)𝑎 (cid:226)𝑥 (cid:227)(cid:167)(cid:81)(cid:46)2𝑎(cid:109)(cid:108)
𝑥(cid:15)−(cid:111)2(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)3 + = 3−𝑎 (cid:60) 𝑎 2𝑎
2
3 + = 𝑥 𝑥−(cid:60)2 𝑎𝑥(𝑥−2)
2 2
3𝑥 𝑥−2+ +𝑎𝑥 −2𝑎𝑥=0(cid:60)
2 2
(𝑥 −)𝑎𝑥 +𝑥(1+2𝑎𝑥)−2 =0(cid:60)
2
(cid:50)3−(cid:21)𝑎(cid:152)𝑥(cid:180)(cid:10) 2=𝑎1𝑥(cid:60)−2
(cid:46)(cid:180)(cid:10) =23(cid:60)−𝑎
(cid:156)(cid:29)(cid:30)𝑎(cid:107)(cid:33)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:41)(cid:42)=1+ =1+2×2=5(cid:60)
∴(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)5(cid:108) 2𝑎
(cid:15)(cid:135)(cid:40)4-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:105)(cid:136)(cid:161)(cid:26)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)2 ( +1) = ( +1)(cid:212)(cid:89)(cid:25)(cid:38)
2
(cid:39)(cid:40)(cid:203)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:118)1(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)(cid:86) (cid:33)(cid:37)(cid:118) (cid:108) 𝑥 − 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20) −1 𝑚
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)−(cid:144)1(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:60)(cid:223)(cid:198)(cid:29)(cid:30)(cid:212)(cid:89)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:60)(cid:186)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:46)(cid:109)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:60)(cid:170)(cid:171)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:25)(cid:38)(cid:40)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)2 ( +1) = ( +1)(cid:60)
2
2 ( +1) 𝑥 (− +𝑚1)=𝑥0(cid:60)𝑥 𝑥
2
2𝑥 −(𝑚+1)𝑥−𝑥 𝑥 =0(cid:60)
2 2
𝑥 − 𝑚 𝑥−𝑥 −𝑥( +2) =0(cid:60)
2
𝑥(cid:212)−(cid:89)𝑚(cid:25)(cid:38)(cid:39)𝑥(cid:40)(cid:203)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:118)1(cid:60)(cid:25)(cid:28)(cid:117)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:118) (cid:60)
∵ ( +2)= (cid:60) −1
∴− =𝑚 (cid:60) −1
∴(cid:134)𝑚(cid:109)(cid:110)−(cid:118)1(cid:10) (cid:108)
−1
【题型5 根据一元二次方程的解代入求值】
(cid:15)(cid:58)5(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:232)(cid:233)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:85) =4(cid:63)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30) =8(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:86) + (cid:33)
2
(cid:37)(cid:118) (cid:108) 𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥 2025−8𝑎 2𝑏
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)2021
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:63)(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)
(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:60)(cid:198) =4(cid:47)(cid:48) =8(cid:180)(cid:236) =4(cid:60)(cid:186)(cid:119)(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:37)(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)𝑥(cid:10) =4(cid:63)𝑎𝑥(cid:3)(cid:143)−𝑏x𝑥(cid:33)(cid:29)(cid:30) 8𝑎−2𝑏=8(cid:33)(cid:46)(cid:60)
2
=8(cid:60)∵𝑥 𝑎𝑥 −𝑏𝑥
∴16𝑎−4𝑏=4(cid:60)
∴8𝑎−2𝑏 + = ( )= =2021(cid:60)
∴(cid:134)2(cid:109)02(cid:110)5−(cid:118)8(cid:10)𝑎 2022𝑏1(cid:108)2025− 8𝑎−2𝑏 2025−4
(cid:15)(cid:135)(cid:40)5-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:238)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:185)(cid:74)a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)( +4)( )
2
(cid:33)(cid:37)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑥 3𝑥−1 𝑎 𝑎−1
A(cid:108)1 B(cid:108)3 C(cid:108) D(cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)C −3 −5
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:241)(cid:208)(cid:185)(cid:74)(cid:40)(cid:242)(cid:33)(cid:37)(cid:36)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:33)(cid:37)(cid:60)(cid:31)(cid:32)a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0
2
(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:81)(cid:180)(cid:56) + =1(cid:60)(cid:186)(cid:212)(cid:229)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:60)(cid:119)(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:108) 𝑥 3𝑥−1
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) a(cid:63)𝑎(cid:29)(cid:30)3𝑎 + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
+ =1 ∵ 𝑥 3𝑥−1
2
∴𝑎( +34𝑎)( )= + = + = =
2 2
∴(cid:134)𝑎(cid:124)(cid:10)C(cid:108)𝑎−1 𝑎 4𝑎−𝑎−4 𝑎 3𝑎−4 1−4 −3
(cid:15)(cid:135)(cid:40)5-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:214)(cid:137)(cid:243)(cid:244)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)m(cid:63)(cid:29)(cid:30) =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86) + +19(cid:33)
2 2
(cid:37)(cid:118) (cid:108) 𝑥 −3𝑥−1 −2𝑚 6𝑚
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)17(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:60)(cid:170)(cid:171)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108)
(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:81)(cid:180) =0(cid:60)(cid:167) =1(cid:60)(cid:119)(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:167)(cid:81)(cid:36)(cid:46)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:63)(cid:29)(cid:30) 𝑚=−03(cid:33)𝑚(cid:25)−1(cid:77)(cid:31)(cid:60) 𝑚 −3𝑚
2
=∵𝑚0(cid:60)(cid:167) 𝑥 −3𝑥=−11(cid:60)
2 2
∴𝑚 −3𝑚+−1 +19 𝑚 −3𝑚
2
∴=−2𝑚( 6𝑚 )+19
2
=−2 𝑚+1−93=𝑚17(cid:108)
(cid:134)(cid:109)−(cid:110)2 (cid:118)(cid:10)17(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)5-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:200)(cid:137)(cid:245)(cid:246)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:185)(cid:74) (cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40)
2
+1) + + (cid:33)(cid:37)(cid:118) (cid:108) 𝑚 𝑥 𝑥−1
2
((cid:15)𝑚(cid:109)(cid:110)(cid:20)2 (𝑚 1)(𝑚−1)
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:60)(cid:247)(cid:208)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:31)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:29)(cid:197)(cid:7)(cid:40)(cid:248)(cid:251)(cid:29)(cid:252)(cid:7)(cid:40)(cid:72)(cid:74)(cid:23)(cid:60)(cid:223)(cid:50)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:180)(cid:236) + =1(cid:60)(cid:186)(cid:50)(cid:119)(cid:40)(cid:253)(cid:158)(cid:254)(cid:227)(cid:212)(cid:229)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:180)(cid:236)2( + )(cid:60)(cid:255) + =1(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:37)
2 2 2
(cid:167)(cid:81)(cid:180)(cid:236)(cid:109)(cid:110)(cid:60)(cid:148)(cid:141)(cid:170)𝑚(cid:171)(cid:119)(cid:40)𝑚(cid:212)(cid:229)(cid:36)(cid:37)(cid:63)(cid:46)(cid:256)(cid:53)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108) 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
+ ∵=0𝑚(cid:60)(cid:86) 𝑥+ =𝑥−11(cid:60)
2 2
∴ 𝑚 +𝑚1)−1+ + 𝑚 𝑚
2
=∴ (𝑚+ +1(𝑚+ 1)(𝑚−1)
2 2
=𝑚2 +2𝑚 𝑚 −1
2
=2𝑚( +2𝑚)
2
=2(cid:60)𝑚 𝑚
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)2(cid:108)
【题型6 根据一元二次方程的解降次求值】
(cid:15)(cid:58)6(cid:20)(cid:64)2025·(cid:257)(cid:258)·(cid:25)(cid:259)(cid:65)(cid:185)(cid:74)m(cid:118)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40) +2 +6(cid:33)(cid:37)(cid:118) (cid:108)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)9 𝑥 𝑥−3 𝑚 𝑚 −2𝑚
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:208)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:60)(cid:46)(cid:21)(cid:3)(cid:151)(cid:63)(cid:254)(cid:93)(cid:119)(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:260)(cid:261)(cid:125)(cid:126)(cid:46)(cid:21)(cid:108)(cid:223)(cid:255)m(cid:47)(cid:48)
(cid:29)(cid:30)(cid:180) + =3(cid:60)(cid:186)(cid:255) + =3(cid:47)(cid:48) ( +2) ( )(cid:135)(cid:39)(cid:203)(cid:33)(cid:40)(cid:242)(cid:125)(cid:126)(cid:212)(cid:229)(cid:36)(cid:37)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
2 2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)𝑚(cid:20)(cid:46)(cid:10)𝑚(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:180)(cid:10)𝑚 𝑚+ =3(cid:60)𝑚 𝑚 −2 𝑚−3
2
+2 +6 𝑚 𝑚
3 2
∵ 𝑚 𝑚 −2𝑚= + + +6
3 2 2
=𝑚( 𝑚+ )𝑚+ −2𝑚 +6
2 2
=𝑚 𝑚+ 𝑚 𝑚+6−2𝑚
2
=3𝑚+ 𝑚+−62𝑚
2
=𝑚3+6𝑚
=9(cid:108)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)9(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)6-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:161)(cid:100)(cid:262)(cid:174)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:59)(cid:263) (cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) = (cid:33)(cid:31)(cid:60)(cid:86)(cid:47)(cid:42)(cid:40)
2 2
+2024(cid:33)(cid:37)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑎 𝑥 3𝑥−2 𝑎
−3𝑎A(cid:108)2021 B(cid:108)2022 C(cid:108)2023 D(cid:108)2024
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)B
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:119)(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:264)(cid:36)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:33)(cid:37)(cid:60)(cid:265)(cid:133)(cid:148)(cid:141)(cid:266)(cid:125)(cid:126)(cid:226)(cid:227)(cid:63)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:108)(cid:31)
(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:152)(cid:35)(cid:81)(cid:180) = (cid:60)(cid:230)(cid:231)(cid:81)(cid:180) = (cid:60)(cid:224)(cid:203)(cid:47)(cid:48)(cid:40)(cid:242)(cid:107)(cid:125)(cid:126)(cid:226)(cid:227)(cid:60)(cid:167)(cid:81)(cid:46)(cid:109)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) (cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)𝑎 =3𝑎−2(cid:33)(cid:31)(cid:60) 𝑎 −3𝑎 −2
2
= (cid:60)∵𝑎 𝑥 3𝑥−2
2
∴𝑎 3𝑎=−2 (cid:60)
2
∴𝑎 −3𝑎+2−0224= +2024=2022(cid:60)
2
(cid:134)∴𝑎(cid:124)−(cid:10)3𝑎B(cid:108) −2
(cid:15)(cid:135)(cid:40)6-2(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:257)(cid:258)·(cid:103)(cid:104)(cid:65)(cid:85)a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)(cid:86) +2 +7(cid:33)(cid:37)(cid:118)
2 3 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)11 𝑥 𝑥−4 𝑎 𝑎 −3𝑎
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:47)(cid:42)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:198) = (cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:30)(cid:180)(cid:236)
+ =0(cid:60)(cid:224)(cid:203)(cid:31)(cid:32)(cid:72)(cid:40)(cid:33)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:180) + =4(cid:60)(cid:47)(cid:48)(cid:199)(cid:40)(cid:167)(cid:81)(cid:46)(cid:109)(cid:108) 𝑥 𝑎
2 2
𝑎(cid:15)(cid:111)(cid:46)𝑎−(cid:20)4(cid:46)(cid:10) a(cid:63)(cid:29)(cid:30) + =0(cid:33)(cid:25)𝑎(cid:77)(cid:31)𝑎(cid:60)
2
+ =0∵(cid:60) 𝑥 𝑥−4
2
∴𝑎 +𝑎−=44(cid:60)
2
∴𝑎 +𝑎2 +7
3 2
=∴𝑎 ( 𝑎+−)3+𝑎 +7
2 2
=𝑎 𝑎+ 𝑎 𝑎+7−3𝑎
2
=4𝑎+ 𝑎+−73𝑎
2
𝑎 𝑎=4+7
=11(cid:60)
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)11(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)6-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:98)(cid:270)(cid:271)(cid:272)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:185)(cid:74)a(cid:63)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
𝑥 −𝑥−11
(cid:86) (cid:33)(cid:37)(cid:72)(cid:143) (cid:108)
2 2 11
𝑎 −11
3 2
𝑎 −3𝑎 +
1
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)
21
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:63)(cid:66)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:42)
(cid:33)(cid:37)(cid:180)(cid:236) =0(cid:60)(cid:125)(cid:231)(cid:180)(cid:236) =11(cid:60) = (cid:60)(cid:186)(cid:198)(cid:155)(cid:36)(cid:40)(cid:242)(cid:273)(cid:212)(cid:118) (cid:60)(cid:32)(cid:150)(cid:119)
( ) ( )
𝑎
2 2 2 2 2
𝑎 −𝑎−11 𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
(cid:237)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:46)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10) a(cid:63)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) =0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
=∵0(cid:60) 𝑥 −𝑥−11
2
∴𝑎 −𝑎−=1111(cid:60) = (cid:60)
2 2
∴𝑎 −𝑎 𝑎 −11 𝑎
2 2 11
𝑎 −11
3 2
∴ 𝑎 −3𝑎 +
=
(2 ) ( )
𝑎
3 2 2
= 𝑎 −2𝑎 − 𝑎 −11
( ) ( )
𝑎
2 2
= 2𝑎 𝑎 −𝑎 − 𝑎 −11
𝑎
=212(cid:60)𝑎−𝑎
21
1
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10) (cid:108)
21
【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】
(cid:15)(cid:58)7(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:274)(cid:174)(cid:275)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:276)(cid:7)(cid:277)(cid:278)(cid:96)(cid:25)(cid:279)(cid:33)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:118)200(cid:282)(cid:26)(cid:60)(cid:283)(cid:226)(cid:284)(cid:285)(cid:25)(cid:286)(cid:287)(cid:33)(cid:288)(cid:194)(cid:280)
(cid:281)(cid:235)(cid:289)(cid:236)950(cid:282)(cid:26)(cid:60)(cid:36)(cid:156)(cid:7)(cid:277)(cid:27)(cid:248)(cid:290)(cid:69)(cid:77)(cid:279)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:33)(cid:279)(cid:251)(cid:61)(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:108)(cid:293)(cid:156)(cid:7)(cid:277)(cid:27)(cid:248)(cid:290)(cid:69)(cid:77)(cid:279)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:33)(cid:279)(cid:251)(cid:61)
(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:118) (cid:60)(cid:86)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:81)(cid:88)(cid:29)(cid:30)(cid:118)(cid:64) (cid:65)
𝑥
A(cid:108)200 1+(1+ )+(1+ ) =950 B(cid:108)200 1(cid:294) =950
2
2
C(cid:108)200 (1+ )+𝑥(1+ ) 𝑥=950 D(cid:108)950(1+𝑥) =200
2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)A 𝑥 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:295)(cid:93)(cid:60)(cid:293)(cid:156)(cid:7)(cid:277)(cid:27)(cid:248)(cid:290)(cid:69)(cid:77)(cid:279)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:33)(cid:279)(cid:251)(cid:61)(cid:291)(cid:243)(cid:292)(cid:118) (cid:60)(cid:86)(cid:27)(cid:279)
(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:33)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:118)200(1+ )(cid:282)(cid:26)(cid:60)(cid:290)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:33)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:118)200(1+ ) (cid:282)(cid:26)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:285)(cid:25)(cid:286)(cid:287)(cid:33)(cid:288)𝑥(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:297)
2
(cid:298)(cid:25)(cid:279)(cid:248)(cid:27)(cid:279)(cid:248)(cid:290)(cid:279)(cid:33)(cid:194)(cid:280)𝑥(cid:281)(cid:288)(cid:197)(cid:60)(cid:81)(cid:88)(cid:29)(cid:30)200 1+(1+ )+(1+𝑥 ) =950(cid:108)
2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:293)(cid:156)(cid:7)(cid:277)(cid:27)(cid:248)(cid:290)(cid:69)(cid:77)(cid:279)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:33)(cid:279)(cid:251)(cid:61)(cid:291)(cid:243)(cid:292)𝑥(cid:118) (cid:60) 𝑥
(cid:86)(cid:27)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:33)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:118)200(1+ )(cid:282)(cid:26)(cid:60) 𝑥
(cid:290)(cid:279)(cid:296)(cid:7)(cid:277)(cid:33)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:118)200(1+ )𝑥(cid:282)(cid:26)(cid:60)
2
(cid:285)(cid:25)(cid:286)(cid:287)(cid:33)(cid:288)(cid:194)(cid:280)(cid:281)(cid:235)(cid:289)(cid:236)95𝑥0(cid:282)(cid:26)(cid:60)
∵200+200(1+ )+200(1+ ) =950(cid:60)
2
(cid:167)∴200 1+(1+ )𝑥+(1+ ) =𝑥950(cid:108)
2
(cid:134)(cid:124)(cid:10)A(cid:108) 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:135)(cid:40)7-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:98)(cid:270)(cid:299)(cid:300)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:98)(cid:60)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:11)(cid:307)(cid:207)(cid:308)(cid:306)(cid:11)(cid:309)(cid:310)1(cid:122)(cid:311)(cid:312)(cid:60)(cid:313)(cid:263)(cid:181)(cid:84)(cid:314)
(cid:309)(cid:311)(cid:312)870(cid:122)(cid:60)(cid:36)(cid:94)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:33)(cid:306)(cid:11)(cid:316)(cid:42)(cid:60)(cid:293)(cid:94)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:33)(cid:306)(cid:11)(cid:84)x(cid:316)(cid:60)(cid:317)(cid:318)(cid:81)(cid:88)(cid:56)(cid:29)(cid:30) (cid:108)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20) ( )=870
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)𝑥 (cid:21)𝑥−(cid:145)1(cid:146)(cid:147)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:293)(cid:94)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:33)(cid:306)(cid:11)(cid:84)x(cid:316)(cid:60)(cid:86)(cid:304)(cid:316)(cid:310)(cid:56)( )(cid:122)(cid:311)
(cid:312)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:181)(cid:310)(cid:311)(cid:312)870(cid:122)(cid:81)(cid:88)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:108) 𝑥−1
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:293)(cid:94)(cid:315)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:33)(cid:306)(cid:11)(cid:84)x(cid:316)(cid:60)(cid:86)(cid:304)(cid:316)(cid:310)(cid:56)( )(cid:122)(cid:311)(cid:312)(cid:60)
(cid:50)(cid:21)(cid:152)(cid:180)(cid:60) ( )=870(cid:108) 𝑥−1
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)𝑥x(𝑥−1)=870(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)7-2(cid:20)(cid:64)x−241-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:210)(cid:164)(cid:210)(cid:211)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:59)(cid:319)(cid:60)(cid:118)(cid:320)(cid:212)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:60)(cid:276)(cid:321)(cid:226)(cid:284)(cid:325)(cid:25)(cid:326)(cid:243)(cid:118)60m(cid:60)(cid:327)(cid:118)
40m(cid:33)(cid:328)(cid:39)(cid:329)(cid:266)(cid:98)(cid:60)(cid:330)(cid:331)(cid:25)(cid:77)(cid:328)(cid:39)(cid:332)(cid:333)(cid:60)(cid:91)(cid:255)(cid:332)(cid:333)(cid:105)(cid:334)(cid:335)(cid:87)(cid:33)(cid:329)(cid:266)(cid:331)(cid:89)(cid:306)(cid:336)(cid:327)(cid:33)(cid:196)(cid:337)(cid:108)(cid:85)(cid:196)(cid:337)(cid:155)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:63)
3
(cid:119)(cid:77)(cid:328)(cid:39)(cid:329)(cid:266)(cid:339)(cid:340)(cid:33) (cid:60)(cid:86)(cid:150)(cid:159)(cid:196)(cid:337)(cid:33)(cid:327)(cid:118) (cid:108)
8
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)5m
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:295)(cid:93)(cid:60)
(cid:223)(cid:293)(cid:196)(cid:337)(cid:33)(cid:327)(cid:118) m(cid:60)(cid:186)(cid:31)(cid:32)(cid:332)(cid:333)(cid:339)(cid:340)(cid:155)(cid:338)(cid:119)(cid:77)(cid:328)(cid:39)(cid:329)(cid:266)(cid:339)(cid:340)(cid:33) 3 )(cid:88)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:36)(cid:56)(cid:46)(cid:167)(cid:81).
8
𝑥 (1−
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:293)(cid:196)(cid:337)(cid:33)(cid:327)(cid:118) m(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:21)(cid:152)(cid:60)(cid:180)
𝑥=60×40× 3 )(cid:60)
8
(60−2𝑥)(40−2𝑥) (1−
(cid:46)(cid:180) =5, =45(cid:64)(cid:341)(cid:342)(cid:65)(cid:60)
(cid:155)(cid:241)𝑥(cid:196)1(cid:337)(cid:33)(cid:327)𝑥2(cid:118)5m.
(cid:134)(cid:109)(cid:110)(cid:118)(cid:10)5m.
(cid:15)(cid:135)(cid:40)7-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:257)(cid:258)(cid:16)(cid:343)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:344)(cid:345)(cid:33)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:102)(cid:241)(cid:304)(cid:77)30(cid:350)(cid:351)(cid:33)(cid:125)(cid:352)(cid:353)(cid:48)(cid:25)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)
(cid:359)(cid:60)(cid:91)(cid:241)(cid:304)(cid:77)50(cid:350)(cid:351)(cid:360)(cid:56)(cid:60)(cid:304)(cid:361)(cid:81)(cid:360)(cid:56)80(cid:77)(cid:108)(cid:32)(cid:362)(cid:146)(cid:363)(cid:364)(cid:60)(cid:304)(cid:77)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:33)(cid:360)(cid:352)(cid:304)(cid:49)(cid:365)2(cid:350)(cid:351)(cid:60)(cid:304)(cid:361)
(cid:81)(cid:366)(cid:360)(cid:56)10(cid:77)(cid:60)(cid:85)(cid:344)(cid:345)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:361)(cid:370)(cid:92)(cid:289)4000(cid:350)(cid:351)(cid:60)(cid:86)(cid:371)(cid:255)(cid:360)(cid:352)(cid:49)(cid:365)(cid:366)(cid:372)(cid:350)(cid:351)(cid:373)(cid:85)(cid:293)(cid:49)(cid:352) (cid:350)(cid:351)(cid:60)(cid:86)(cid:88)(cid:56)(cid:29)
(cid:30)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑥
A(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000 B(cid:108)( ) 80+ ×10 =4000
2 2
𝑥 𝑥
C(cid:108)( 50−𝑥 )(80+ )=4000 D(cid:108)( 50−𝑥−30 )(80+ )=4000
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)5B0−𝑥−30 10𝑥 50−2𝑥−30 10𝑥
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:295)(cid:93)(cid:60)(cid:293)(cid:49)(cid:352) (cid:350)(cid:351)(cid:60)(cid:86)(cid:304)(cid:77)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:33)(cid:92)(cid:374)(cid:118)( )
𝑥 50−𝑥−30
(cid:26)(cid:60)(cid:375)(cid:360)(cid:376)(cid:118) 80+ ×10 (cid:77)(cid:60)(cid:186)(cid:31)(cid:32)(cid:288)(cid:92)(cid:374)(cid:118)4000(cid:350)(cid:351)(cid:88)(cid:56)(cid:29)(cid:30)(cid:167)(cid:81)(cid:108)
2
𝑥
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:50)(cid:21)(cid:152)(cid:180)(cid:60)( ) 80+ ×10 =4000(cid:60)
2
𝑥
(cid:134)(cid:124)(cid:10)B(cid:108) 50−𝑥−30
【题型8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
(cid:15)(cid:58)8(cid:20)(cid:64)24-25(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:377)(cid:331)(cid:378)(cid:164)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0( 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118)
2
=2024(cid:60)(cid:86)(cid:3)(cid:143) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =𝑥0( 0)(cid:379)(cid:84)(cid:25)(cid:31)𝑎𝑥(cid:118)(cid:64)𝑏 𝑥 (cid:65)𝑐 𝑎𝑐≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 𝑦 B(cid:108) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 C 𝑎 (cid:108) 1 𝑎𝑐≠ D(cid:108) 1
2024 2024
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)C −2024 −
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:63)(cid:179)(cid:46)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:380)(cid:143)(cid:107)(cid:145)(cid:209)(cid:145)(cid:21)(cid:22)(cid:108)
(cid:381)(cid:118) =2024(cid:129)(cid:130)(cid:29)(cid:30) + + =0(cid:60)(cid:155)(cid:241)2024 + + =0(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:306)(cid:159)(cid:382)(cid:241)2024 (cid:167)(cid:81)(cid:133)(cid:34)(cid:155)(cid:36)
2 2 2
(cid:29)(cid:30)𝑥(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)(cid:10)(cid:198) =2024(cid:47)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0(cid:60)(cid:180)2024 + + =0(cid:60)
2 2
(cid:69)(cid:70)(cid:382)(cid:241)2024 (cid:60) 𝑥 (cid:180) + 1 + 1 =0(cid:60) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 𝑎 2024𝑏 𝑐
2024 2024
2
2
𝑎 𝑏 𝑐
1 + 1 + =0(cid:60)
2024 2024
2
∴ 𝑐 𝑏 𝑎1
(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + + =0( 0)(cid:33)(cid:25)(cid:31)(cid:60)
2024
2
(cid:134)∴(cid:124)(cid:10)C(cid:108) 𝑐𝑦 𝑏𝑦 𝑎 𝑎𝑐≠
(cid:15)(cid:135)(cid:40)8-1(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:274)(cid:174)(cid:383)(cid:384)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( + ) + =0(cid:64)h(cid:60)k(cid:61)(cid:118)(cid:209)(cid:42)(cid:65)(cid:33)(cid:46)
2
(cid:63) = (cid:60) =2(cid:60)(cid:86)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( + ) + =0(cid:33)(cid:46)(cid:63) 𝑥 ℎ (cid:108)𝑘
2
(cid:15)𝑥(cid:109)1(cid:110)(cid:20)−3=𝑥02(cid:385) =5 𝑥 ℎ−3 𝑘
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)𝑥(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)𝑥(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:46)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:60)(cid:198)(cid:29)(cid:30)( + ) + =0(cid:107)(cid:33) (cid:386)(cid:80)(cid:25)(cid:77)(cid:119)(cid:237)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:29)(cid:30)
2
( + ) + =0(cid:33)(cid:46)(cid:33)(cid:387)(cid:388)(cid:331)(cid:90)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:46)(cid:167)(cid:81)(cid:108) 𝑥 ℎ−3 𝑘 𝑥−3
2
(cid:15)𝑥(cid:111)(cid:46)ℎ (cid:20)(cid:46)𝑘(cid:10) (cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)( + ) + =0(cid:64)h(cid:60)k(cid:61)(cid:118)(cid:209)(cid:42)(cid:65)(cid:33)(cid:46)(cid:63) = (cid:60) =2(cid:60)
2
(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:29)(cid:30)∵( + ) + 𝑥=0ℎ(cid:33)(cid:46)(cid:129)𝑘(cid:130) = (cid:385) =2(cid:60) 𝑥1 −3 𝑥2
2
∴(cid:46)(cid:180) =0(cid:385) =𝑥5(cid:60)ℎ−3 𝑘 𝑥−3 −3 𝑥−3
(cid:134)(cid:109)(cid:110)𝑥 (cid:118)(cid:10) 𝑥=0(cid:385) =5(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)8-2(cid:20)𝑥(cid:64)24-2𝑥5(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:389)(cid:390)(cid:194)(cid:391)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2=0( 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118)
2
=2022(cid:60)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) ( +1) + + = (cid:379)(cid:84)(cid:31)(cid:118)(cid:64) (cid:65)(cid:108) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2023 B(cid:108)2𝑎02𝑥0 𝑏𝑥 𝑏C(cid:108)−20221 D(cid:108)2022
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)C
(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:198) ( +1) + + = (cid:119)(cid:179)(cid:118) ( +1) + ( +1)+2=0(cid:60)(cid:167)(cid:81)(cid:125)(cid:126)(cid:46)(cid:109)(cid:108)
2 2
(cid:15)(cid:111)(cid:46)(cid:20)(cid:46)𝑎(cid:10)𝑥(cid:198) ( +1𝑏)𝑥+𝑏 +−2= (cid:119)𝑎(cid:179)𝑥(cid:118) ( +1𝑏) 𝑥+ ( +1)+2=0(cid:60)
2 2
(cid:392) +1= (cid:60) 𝑎 𝑥 𝑏𝑥 𝑏 −2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
(cid:86)𝑥 + 𝐴+2=0(cid:60)
2
(cid:3)𝑎𝐴(cid:143)x(cid:33)𝑏𝐴(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2=0( 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118) =2022(cid:60)
2
∵ =2022(cid:60) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎≠ 𝑥
∴𝐴+1=2022(cid:60)(cid:46)(cid:180)(cid:10) =2021(cid:60)
(cid:134)∴𝑥(cid:124)(cid:10)C(cid:108) 𝑥
(cid:15)(cid:168)(cid:169)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:234)(cid:235)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:60)(cid:46)(cid:21)(cid:33)(cid:3)(cid:151)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:82)(cid:66)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:42)
(cid:33)(cid:37)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:108)
(cid:15)(cid:135)(cid:40)8-3(cid:20)(cid:64)24-25(cid:160)(cid:96)(cid:97)(cid:87)·(cid:99)(cid:100)(cid:220)(cid:221)·(cid:103)(cid:107)(cid:65)(cid:85)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2= 0)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118)
2
=2025(cid:60)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) ( ) + +2= (cid:379)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118)(cid:64) (cid:65) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 0(𝑎≠
2
𝑥 A(cid:108)2024 B(cid:108)2𝑎02𝑥5−1 𝑏𝑥 C(cid:108)𝑏2026 D(cid:108)2027
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:20)C(cid:15)(cid:113)(cid:114)(cid:20)(cid:144)(cid:21)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:46)(cid:10)(cid:82)(cid:66)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:74)(cid:42)(cid:33)(cid:37)(cid:63)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)
(cid:46)(cid:108)(cid:50)(cid:143)(cid:3)(cid:143)x(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) + +2=0(cid:64) 0(cid:65)(cid:84)(cid:25)(cid:31)(cid:118) =2025(cid:60)(cid:86)(cid:198)(cid:29)(cid:30) ( ) + ( )
2 2
+2=0(cid:386)(cid:219)(cid:3)(cid:143)( )(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑎(cid:28)𝑥(cid:29)(cid:30)𝑏(cid:159)𝑥 (cid:84) =2𝑎0≠25(cid:60)(cid:46)(cid:180) =2𝑥026(cid:60)(cid:143)(cid:63)(cid:81)(cid:165)(cid:166)(cid:25)(cid:26)𝑎(cid:27)𝑥−(cid:28)1(cid:29)(cid:30)𝑏(𝑥−1)
2
+ ( )+2=0(cid:379)𝑥−(cid:84)1(cid:25)(cid:31)(cid:118) =2026(cid:108) 𝑥−1 𝑥 𝑎 𝑥−1
(cid:15)𝑏(cid:111)𝑥(cid:46)−(cid:20)1(cid:46)(cid:10) ( ) + +𝑥 2= (cid:60)
2
( ) + (∵𝑎 𝑥)−+12=𝑏0𝑥(cid:106) 𝑏
2
∴𝑎=𝑥−21025(cid:63)𝑏 𝑥−+1 +2= 0)(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
∵𝑥 =2025𝑎(cid:78)𝑥(cid:63)𝑏(𝑥 ) +0((𝑎≠ )+2=0(cid:33)(cid:25)(cid:77)(cid:31)(cid:60)
2
∴(cid:167)𝑥−=1 2025+1=𝑎20𝑥2−61(cid:60) 𝑏 𝑥−1
(cid:134)𝑥(cid:124)(cid:10)C(cid:108)
