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专题 21.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】.............................................................................................1
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】.........................................................................................................3
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】.................................................................5
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】.............................................................................................6
【题型5 由一元二次方程的两根求值】..................................................................................................................9
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】........................................................................................................11
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】.......................................................................13
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】...............................................................................15
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】...........................................................................18
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】...........................................................................................................20
知识点1：一元二次方程的根与系数的关系
b
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x ，x ，则x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a
注意它的使用条件为，a≠0，Δ ≥0.
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根分别为m、n，则
1 1
+ = ．
m n
2
【答案】− ．
3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),，若x
1
b c
，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ,x x = .
2 1 2 a 1 2 a1 1 m+n
直接根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=4，mn=−6，再根据 + = 进行求解即可．
m n mn
【详解】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6可化为x2−4x−6=0，
这个方程的两根分别为m，n，
∴m+n=4，mn=−6，
1 1 m+n 4 2
∴ + = = =− ，
m n mn −6 3
2
故答案为：− ．
3
【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则(a−2)(b−2)
的值为 ．
【答案】−5
【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得a+b=2，
ab=−7，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵a，b是方程x2−2x−5=0的两个实数根，
∴a+b=2，ab=−7，
∴(a−2)(b−2)=ab−8(a+b)+4=-5−7×2+4=−5．
故答案为：−5．
【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程2x2+3x+1=0的根为x 、x ，则x2+x2= ．
1 2 1 2
5
【答案】
4
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出
值．
【详解】解：∵方程2x2+3x+1=0的根为x 、x ，
1 2
3 1
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 2 1 2 2
3 2 1 9 5
则x2+x2=(x +x ) 2−2x x =(− ) −2× = −1= ．
1 2 1 2 1 2 2 2 4 4
5
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程−因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是
熟练掌握根与系数的关系．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 x ，x 是方程 2x2+3x−7=0 的两个根，则
1 2的值为（ ）
x3x +x x3
1 2 1 2
21 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
【答案】B
【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x 和x x
1 2 1 2
，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵x ，x 是方程2x2+3x−7=0的两个根，
1 2
3 7
∴x +x =− ，x x =− ，
1 2 2 1 2 2
∴x3x +x x3
1 2 1 2
=x x (x2+x2)
1 2 1 2
=x x [(x +x ) 2−2x x )
1 2 1 2 1 2
7 [( 3) 2 ( 7))
=− × − −2× −
2 2 2
259
=− ，
8
故选：B．
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于x的方程3(x−1)(x−2m)=(m−12)x的两根之和与两根之
积相等，则方程的根为 ．
【答案】x=9±3❑√7
【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m的方
程，解出方程，求出m的值，再将m代入原来方程，解出方程．
【详解】解：将已知方程化简可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，
9-7m
根据一元二次方程根与系数的关系可得x＋x＝- ，xx＝2m，
1 2 3 1 2
9-7m
根据已知条件可得∶- ＝2m，
3
解出：m＝9，将m＝9代入化简后的方程可得：x2－18x＋18＝0，
化成完全平方得：（x－9）2＝63，
解得x＝9±3❑√7．
故答案为∶ x=9±3❑√7．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的
根与一元二次系数的关系．
【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于x的一元二次方程x2+mx−6=0有一个根为x=2，则该方程
的另一个根为x= ．
【答案】−3
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两
b c
根分别是x ,x ，则x +x =− ,x x = ，进行解题即可．
1 2 1 2 a 1 2 a
【详解】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，
则2t=−6 ，
解得t=−3，
故答案为−3
【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是
m与2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【答案】 2 x =2,x =−2
1 2
b c
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ,x ，则x +x =− ,x ·x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
【详解】解：整理方程得：ax2−b=0
由题意得：m+2m−6=0
∴m=2
故两个根为：x =m=2,x =2m−6=−2
1 2
故答案为：2；x =2,x =−2
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根为2，则
另一根为 ．
【答案】−2【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到2+m=0是解题的关
键．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
则2+m=0，
解得：m=−2，
故答案为：−2．
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】
【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，则代数式
m2−4m−2n+2023的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
【答案】D
b
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2−2m=2021，m+n=− =2，将原式化简
a
求值即可．
【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2−2x−2021=0的根，
b
∴m2−2m=2021，m+n=− =2，
a
m2−4m−2n+2023
=m2−2m−2(m+n)+2023
=2021−2×2+2023
=4040，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与
系数的关系是解题关键．
【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设x 、x 是方程x2−3x−2020=0的两个根，则x2−2x +x =
1 2 1 1 2
．
【答案】2023
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方
程解的定义是解题的关键．首先根据根与系数关系得到x +x =3，之后将x 代入方程中得到x 2−3x −2020=0，变形为
1 2 1 1 1
x 2−3x =2020，两式相加即可得到答案．
1 1
【详解】解：∵x 、x 是方程x2−3x−2020=0的两个根，
1 2
∴x +x =3，x 2−3x −2020=0
1 2 1 1
∴x 2−3x =2020
1 1
∴x2−2x +x =(x2−3x )+(x +x )=2020+3=2023．
1 1 2 1 1 1 2
故答案为：2023．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设α，β是x2+x+18=0的两个实数根，则α2+3α+2β的值
是 ．
【答案】−20
【分析】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．利用整体代入法是本题的关键．
1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵α，β是x2+x+18=0的两个实数根，
∴α2+α=−18，α+β=−1，
∴α2+3α+2β=(α2+α)+2(α+β)=−18+2×(−1)=−20，
故答案为：−20．
【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，则a2−4a+b−3=
．
【答案】−5
b
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0的两根x ，x 满足x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x x = 是解题的关键．
1 2 a
【详解】解：∵a，b是方程x2−5x+7=0的两个根，
∴a2−5a=−7，a+b=5，∴(a2−5a)+(a+b)−3=−7+5−3=−5，
故答案为：−5．
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，则代数式
1 1
+
的值是（ ）
a2+1 b2+1
A．3 B．1 C．−3 D．−1
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=3，ab=1，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的根，
∴a+b=3，ab=1，
1 1
+
∴
a2+1 b2+1
1 1
= +
a2+ab b2+ab
1 1
= +
a(a+b) b(a+b)
1 1
= +
3a 3b
a+b
=
3ab
3
=
3×1
=1，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数
的关系是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知m,n是方程x2+x−3=0的两个实数根，则
m3−3m+n+2024的值是 ．
【答案】2020
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关
键．由一元二次方程根与系数关系得m+n=−1，m2−3=−m，再代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴m+n=−1，
将x=m代入方程x2+x−3=0，得m2+m−3=0，
即m2−3=−m，m2=3−m
∴m3−3m+n+2024
=m(m2−3)+n+2024
=−m2+n+2024，
∵m2=3−m，
∴−m2+n+2024
=−3+m+n+2024
=m+n+2021，
∵m+n=−1，
∴m+n+2021=−1+2021=2020．
故答案为：2020．
【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知x ,x 是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式
1 2
x3−2024x +x2
的值为（ ）
1 1 2
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以
及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵x ，x 是方程x2−x−2024=0的两个实数根，
1 2
∴x 2−2024=x ，x x =−2024，x +x =1
1 1 1 2 1 2
x3−2024x +x2 =x (x 2−2024)+x 2=x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x =1−2×(−2024) =4049
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选A
【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：m、n是方程x2+3x−1=0的两根，则
m3−5m+5n= ．
【答案】−18【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m−1=0，即m2=−3m+1，m3=−3m2+m，再把
m3−5m+5n化简为用m和n的一次式表示得到5(m+n)−3，再根据根与系数的关系得到m+n=−3，然后
利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵m、n是方程x2+3x−1=0的两根，
∴m2+3m−1=0，且m≠0，m+n=−3，
∴m2=−3m+1，
∴m3=−3m2+m，
∴m3−5m+5n
=−3m2+m−5m+5n
=−3(−3m+1)−4m+5n
=5m+5n−3
=5(m+n)−3，
∴原式=5×(−3)−3=−18，
故答案为：−18．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定
1 2 a 1 2 a
义，运用了整体代入和恒等变换的思想．
【题型5 由一元二次方程的两根求值】
【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m与
2m−6，则m的值为 ，方程的根为 ．
【答案】 2 x =2,x =−2
1 2
b c
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ,x ，则x +x =− ,x ·x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
【详解】解：整理方程得：ax2−b=0
由题意得：m+2m−6=0
∴m=2
故两个根为：x =m=2,x =2m−6=−2
1 2
故答案为：2；x =2,x =−2
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x =−2，x =3，则
1 2b+c的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．
【详解】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x =−2，x =3，
1 2
b c
∴x +x =− ，x x =
1 2 2 1 2 2
b c
∴−2+3=− ，−2×3= ，即b=-2，c=-12
2 2
∴b+c=−2−12=−14．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x，x，则
1 2
b c
x+x=- ，x•x= ．
1 2 a 1 2 a
【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数
p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
【答案】﹣2
【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．
【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；
可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，
小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，
解得p＝﹣2，
故答案为：﹣2．
b c
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣ ，两根之积等于
a a
．”是解题的关键．
1
【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+ k2﹣2＝0．设x，
2 1
x 是方程的根，且x2﹣2kx+2xx＝5，则k的值为 ．
2 1 1 1 2
【答案】±❑√14
【分析】先计算出一元二次方程判别式，即 =2k2+8，从而得到 ＞0，于是可判断不论k为何值，方程总
△ △1 1
有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x2-2kx=- k2+2，根据根与系数的关系可得xx= k2-
1 1 2 1 2 2
1 1
2，则- k2+2+2·( k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.
2 2
1
【详解】（1）证明： =(-2k)2-4( k2-2)=2k2+8＞0，
2
△
所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）∵x 是方程的根，
1
1
∴x2-2kx+ k2-2=0，
1 1 2
1
∴x2-2kx=- k2+2，
1 1 2
1
∵x2-2kx+2xx=5，xx= k2-2，
1 1 1 2 1 2 2
1 1
∴- k2+2+2·( k2-2)=5，
2 2
整理得k2-14=0，
∴k=±❑√14．
故答案为±❑√14.
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次
方程根的判别式和根与系数的关系.
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】
【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知s满足2s2−3s−1=0，t满足2t2−3t−1=0，且s≠t，
则s+t= ．
3
【答案】
2
3 1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到s+t= ,st=− 是解题的关键．由题意
2 2
可知实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，由此可得答案．
【详解】解：∵实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，
3
∴s+t= ．
23
故答案为： ．
2
【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，则m2+n2=
．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是
关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算
即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．
【详解】解：由题可得：m2−m−1=0，n2−n−1=0，
∴m、n是关于x的一元二次方程x2−x−1=0的两个不等实数根，
∴m+n=1,mn=−1，
∴m2+n2=(m+n) 2−2mn=12−2×(−1)=3，
故答案为：3．
1 1 1 b a
【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数a、b分别满足a= a2+ 和 b2=3b−1，那么 +
6 3 2 a b
的值是 ．
【答案】2或16
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当a=b时，
b a
+ =2；当a≠b时， a和b是方程x2−6x+2=0的两个根，再由根与系数的关系求出a+b和ab，再将
a b
b a (a+b) 2−2ab
+ 变形为 ，即可求解．
a b ab
【详解】解：分两种情况：
b a
当a=b时， + =1+1=2；
a b
当a≠b时，
1
∵
b2=3b−1，
2
1 1
∴ b= b2+ ，
6 3
∴ b2−6b+2=0，1 1
又∵ a= a2+ ，
6 3
∴ a2−6a+2=0，
∴a和b是方程x2−6x+2=0的两个根，
−6
∴ a+b=− =6，ab=2，
1
b a b2+a2 (a+b) 2−2ab 62−2×2
∴ + = = = =16，
a b ab ab 2
故答案为：2或16．
b
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若a4−3a2=1，b2−3b=1，且a2b≠1，则 的值是
a2
．
【答案】−1
1 3
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意先化为 − −1=0，b2−3b−1=0，可以
a4 a2
1 c
得到 和b是方程x2−3x−1=0的两根，然后根据两根之积为 解题即可．
a2 a
【详解】解：∵a4−3a2=1，
1 3
∴ − −1=0，
a4 a2
∵a2b≠1，
又∵b2−3b−1=0，
1
∴ 和b是方程x2−3x−1=0的两根，
a2
b
∴
=−1，
a2
故答案为：−1．
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为
m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（ ）．
A．m+1，−m−1B．m+1，−m+1
C．m+1，m+2 D．m−1 ，−m+1
【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程ax2+2ax+c=0 的另一个根，设x−1=t，根据方
程ax2+2ax+c=0 的根代入求值即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，
2a
∴n+m=− =−2，
a
解得：n=−2−m，
设x−1=t，方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0变形为at2+2at+c=0，
由一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的根可得，
t =m，t =−2−m，
1 2
∴x−1=−2−m，x−1=m，
∴x =−m−1，x =1+m，
1 2
故答案为：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形
方程代入求解．
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比
方程x2+ax+b=0的两个根都大1，则a+b+c的值是 ．
【答案】-3或29
【分析】设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a=0的两
根为α+1，β+1，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．
【详解】解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a=0
的两根为α+1，β+1，由题意得
α+β=−a,(α+1)(β+1)=a，
两式相加得αβ+2α+2β+1=0，
即(α+2)(β+2)=3，
α+2=1， α+2=−3，
{ {
所以 或
β+2=3； β+2=−1.
α=−1， α=−5，
{ {
解得 或
β=1； β=−3.
又因为a=−(α+β),b=αβ,c=−[(α+1)+(β+1)]
所以a=0，b=−1，c=−2；或者a=8，b=15，c=6，
故a+b+c=−3或29．
故答案为-3或29【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的
关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；
【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程
x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．
【答案】648
【分析】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得
a2−8ac−9d=0，代入可得a2−72a+9c−8ac=0，同理可得c2−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得
a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．
【详解】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．
因为a是方程x2−8cx−9d=0的根，所以a2−8ac−9d=0，又d=8a−c，
所以a2−72a+9c−8ac=0①
同理可得c2−72c+9a−8ac=0②
①-②得(a−c)(a+c−81)=0．
因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．
故答案为648
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题
的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个同号非零整数
根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．(p−2) 2+(q−2) 2＜8
C．q是正数，p是负数 D．(p−2) 2+(q−2) 2>8
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．根据方程解的情况，结合
1 2 1 2
根与系数的关系可得出x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别
1 2 1 2
式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判
断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x、x，方程y2+qy+p＝0的两根为y、y．
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，∴x•x＝q＞0，y•y＝p＞0，
1 2 1 2
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个
同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB
的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m等于(
)
A．−3 B．5 C．5或−3 D．−5或3
【答案】A
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：
AO+BO=−2m+1，AO×BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，
又有根与系数的关系可得：AO+BO=−2m+1,AO×BO=m2+3，
∴AO2+BO2=(AO+BO) 2−2AO×BO=(−2m+1) 2−2(m2+3)=25，
整理得：m2−2m−15=0，
解得：m=−3或5.
又∵Δ>0,
11
∴(2m−1) 2−4(m2+3)>0, 解得m<− ，
4
∴m=−3.
故选:A.【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程x2−11x+30=0的两
个根，则该三角形第三边m的取值范围是 ．
【答案】1 ，
4 2 4
7
∴k= 不符合题意，
2
∴不存在矩形，x 和x 是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为❑√2．
1 2【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x ，x ，且满足
1 2
10且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0
【答案】A
【分析】据p2－4q≥0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和<零时，由
此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.
【详解】∵p2－4q≥0，
∴方程有两个实数根.
设x ，x 是该方程的两个负数根，
1 2
则有x +x ＜0，x x ＞0，
1 2 1 2
x +x =-p,x x =q，
1 2 1 2
∴-p<0，,q>0.
∴p>0，,q>0.
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之
积为负数，则实数m的取值范围是（ ）
1 1
A．m>0 B．m> C．m< D．m<0
2 2
【答案】B
【分析】利用根的判别式Δ>0及两根之积为负数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实
数m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1−2m=0的两个实数根之积为负数，{Δ=22−4×1×(1−2m)>0)
∴
1−2m<0
1
解得：m> ，
2
1
∴实数m的取值范围是m> ．
2
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”及
c
“两根之积等于 ”是解题的关键．
a
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】
【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数
( 1)
根，若满足|x −x )=|x ⋅x )，则称此类方程为“差积方程”．例如： x− (x−1)=0是差积方程．
1 ❑2 ❑1 ❑2 2
(1)判断方程6x2−5x+1=0是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程x2−(m+2)x+2m=0是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(ax²+bx+c=0(a≠0)为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
2
(2)m= 或−2
3
(3)b2−4ac=c2
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得x ，x ；根据新定义列出方程即可求解．
1 2
【详解】（1）方程6x2−5x+1=0是“差积方程”，
证明：6x2−5x+1=0，
即(2x−1)(3x−1)=0，
1 1
解得x = ，x = ，
1 2 2 31 1 1 1
∵| − |=| × |，
2 3 2 3
∴6x2−5x+1=0是差积方程；
（2）解：x2−(m+2)x+2m=0，
(x−m)(x−2)=0
解得方程的解为：x =2，x =m，
1 2
∵x2−(m+2)x+2m=0是差积方程，
∴|2−m|=|2m|，
即：2−m=2m或2−m=−2m．
2
解得：m= 或−2，
3
（3）解：∵ax2+bx+c=0 (a≠0)，
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
解得x = ，x = ，
1 2a 2 2a
∵ax2+bx+c=0 (a≠0)是差积方程，
∴|x −x |=|x ⋅x |，
1 2 1 2
❑√b2−4ac c
即| |=| |，
a a
即b2−4ac=c2．
【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方
程”． 例如 x2+x=0是“差1方程”． 已知关于 x的方程 x2−(m−1)x−m=0（m是常数）是“差1
方程”，则 m的值为
【答案】−2或0/0或−2
【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为x ,x (x
