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第 13 课 用因式分解法解一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用因式分解法求解即可．
解： x(x+1)=0，
所以x=0或x+1=0，
解得：x=0，x=-1．
1 2
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．
2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝0，x＝5 C．x＝2，x＝0 D．x＝0，x＝﹣5
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
解：x（x﹣2）＝3x，
x（x﹣2）﹣3x＝0，
x（x﹣2﹣3）＝0，
x＝0，x﹣2﹣3＝0，
x＝0，x＝5，
1 2
故选：B.【点睛】
此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
3．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案．
解：方程 可变形为 ，故①能用分解因式法求解；
方程 可变形为 ，故②能用分解因式法求解；
方程 不能用因式分解法求解；
方程 可变形为 ，即 ，故④能用分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．
4．一元二次方程 的解是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】
【分析】
先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ．
解： ，，
或 ，
所以 ， ．
故选 ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程---因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两
个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，
这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） ．
5．若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即
m-1≠0．
解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：
m-1≠0这一条件．
6．如果 能分解成 的形式，则方程 的两根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A【解析】
【分析】
令 ，即可求出方程的解．
根据题意得： ，得x＝-1，x＝-4，
1 2
故方程 的解为 ， ，
故选A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．一元二次方程 的解为（ ）
A． B．B． C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程整理成 ，然后因式分解求解即可.
解：把方程整理成 即
或
∴
解得： ，
故选D.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，
本题涉及的解法有分解因式法，此方法的步骤为：把方程右边通过移项化为0，方程左边利用提公因式法，
式子相乘法，公式法以及分组分解法分解因式，然后根据两数积为0，两数中至少有一个为0，转化为两个
一元一次方程，进而得到原方程的解．
8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程 的根，则三角形的周长是（ ）
A．19 B．11或19 C．13 D．11【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．
解：∵x2-12x+20=0，
∴x=2或x=10，
当x=2时，
∵2+4＞5，
∴能组成三角形，
∴三角形的周长为2+4+5=11，
当x=10时，
∵4+5＜10，
∴不能组成三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
9．已知实数 满足 ，则代数式 的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【解析】
【分析】
将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．【点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一
次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】
本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解
题的关键.
二、填空题
11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为___________．
【答案】x=5，x=1
1 2
【解析】
【分析】
先移项得到x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程．
解：x（x﹣5）﹣（x﹣5）=0，
（x﹣5）（x﹣1）=0，
x﹣5=0或x﹣1=0，
所以x=5，x=1．
1 2
故填x=5，x=1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分
解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的
解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2+16x=5，应选用_____法；
（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用_____法；
（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用_____法．
【答案】 配方 因式分解 公式
【解析】
（1）原方程可用配方法配成完全平方式来求解，
即4x2+16x=5，
(x+2)2= ，
x=﹣2± .
（2）有公因数可以提出，所以用因式分解法来求解；
即2(x+2)(x﹣1)=(x+2)(x+4)，
(x+2)(x﹣6)=0,
x=﹣2，x=6.
1 2
（3）不具备配方和因式分解的特点，用求根公式来求解，
△＝9+24=33，
x＝ .
故答案为配方；因式分解；公式.
13．方程 的根为__________．
【答案】 或 ##x=4或x=2
【解析】
【分析】
将方程右边提出 ，之后整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
解：，
移项，得： ，
将左边因式分解，得： ，
即 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的
时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方
法．
14．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周
长是_____．
【答案】10或11
【解析】
试题解析：
（x-3）（x-4）=0，
x-3=0或x-4=0，
所以x1=3，x2=4，
当3为腰时，底边为4，三角形的周长=3+3+4=10；
当腰为4，底边为3时，三角形的周长=4+4+3=11．
15．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．
解：1+22x-3x2＝25解得： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16．已知一元二次方程 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
【答案】20
【解析】
【分析】
求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
解： ，
则x=6，x=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
1 2
则菱形的边长为 ，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
【点睛】
本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解
题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ），此方程的解为 ， ．
则关于x的一元二次方程 的解为______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】将 和 分别代入 ，可求得 ， ， 之间的等量关系，代入一元二次方程
即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
解： 一元二次方程 的解为 ， ，
，解得 ，
一元二次方程 可化为 ，
，
，
解得 ， ．
一元二次方程 的解为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得 ， ，
之间的等量关系，从而代入求解．
18．定义：如果一元二次方程 （ ）满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”
方程．已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则 ______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，再由一元二次方程根的判别式，可得 ，再把 代入，解出
即可．
解：∵ 是“凤凰”方程，
∴ ，即 ，
∵ 有两个相等的实数根，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：-2
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的
关键．
三、解答题
19．用因式分解法解下列关于x的方程
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4） ，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）
解得： ，
（2）解得： ，
（3）
解得： ，
（4）
解得： ，
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．
20．用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
【解析】
【分析】(1)原式用提取公因式进行因式分解可化简为 ，求解后即可解答；
(2)原式用平方差公式进行因式分解可化简为 ，求解后即可解答；
(3)原式用完全平方公式进行因式分解可化简为 ，求解后即可解答；
(4) 原式用平方差公式进行因式分解可化简为 ，求解后即可解答 .
解：(1)原方程可化为
∴ ，
∴ 或 ，
∴ .
(2)原方程可化为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，∴ .
(3)原方程可化为 ，∴ ，∴ .
(4)原方程可变形为 ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ，
∴ .
【点睛】
本题考查了用提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键,
21．阅读下面的例题．解方程： ．
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
∴原方程的解是 ， ．
请参照上述方法解方程 ．
【答案】原方程的解是 ，
【解析】
【分析】
当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x
的值，进而可得原方程的解．
解： ．
（1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
（2）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
故原方程的解是 ， ．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及绝对值的性质，分类讨论思想是本题的关键．
22．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣ x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
【答案】(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析
(2) 或
(3) 时， 的最大值为9
【解析】
【分析】
（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差
1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出 的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出 与 的关系式，再由 ，得 与 的关系，
从而得出最后结果．
（1）解：①解方程得： ， 或 ， ， 不是“差1方程”；
② ，∴ ， ， 是“差1方程”；
（2）解：方程得： ， 或 ， 方程 是常数）是“差1方
程”， 或 ， 或 ；
（3）解：由题可得： ∴解方程得 ， 关于 的方程
、 是常数， 是“差1方程”， ， ，
， ， ， 时， 的最大值为9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，
本题属于中等题型．
培优第二阶——拓展培优练一、单选题
1．已知 关于 的方程 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰 的两条边
长，则 的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可．
∵ 关于 的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴方程 变形为 ，
解得 ，
∵方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的
关键．
2．已知 ，则 等于（ ）
A． 或 B．6或1 C． 或1 D．2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
先把 左边进行因式分解，得 ，从而可得x，y的关系式，即可求y：x的
值.∵
∴
∴
∴ = 或 .
故选A.
【点睛】
本题实际是考查运用换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，把二元二次变成一元二次方
程.
3．方程 的解是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．无实数根
【答案】A
【解析】
（1）当x＞0时，原方程可变形为 ，
即 ，
解得 或 ；
（2）当x＜0时，原方程可变形为 ，
即 ，
解得 或 ，
则方程 的解是 或 .
故选A.
【点睛】
解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可.
4．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，
记 ， ， ，…，那么 ，则 的值是（ ）A．13 B．10 C．8 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知数列得出an＝1+2+3+…+n ，再求出a、ai、a 的值，代入计算可得．
9 11
解：由a＝1，a＝3，a＝6，a＝10，…，知an＝1+2+3+…+n ，
1 2 3 4
∴a9 45、ai 、a 66，
11
则a+a ﹣ai＝83，
9 11
可得：45+66 83，
解得：i＝7，（负根舍去）
故选：D．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n ，
5．若 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，满足
，则 的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
因为 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，所以 ， ， ， ，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为 ，所以这5个偶数只能是2，-2，
4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以 ， ， ， ， 分别等于2007，2003，2001，1999，
2011，所以 的末位数字是1
解：∵ ， ， ， ， 为互不相等的正奇数
∴ ， ， ， ， 为互不相等的偶数，且负数个数为偶数
个
而将 分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：
∴ ， ， ， ， 分别等于2、 、4、6、
∴ ， ， ， ， 分别等于2007，2003，2001，1999，2011
又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1
∴ 的末位数字是1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．
6．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 ；
③若p、q满足 ，则关于x的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，则必有 ．
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【解析】
【分析】
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到
m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足 ，则
，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间的关系，进而判断是否
为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当 ，或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断
即可．
解：①解方程
（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得， ， ，得， ，
方程 不是倍根方程；
故①不正确；
②若 是倍根方程， ，
因此 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
故②正确；
③∵pq=2，则： ，
， ，，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程 的根为： ， ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
．
若 时，则， ，
则 ，
，
，
，
，
．故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解
是解决问题的关键．
二、填空题
7．若关于x的一元二次方程 的根都是整数，则整数m的最大值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用因式分解法解方程得出含 的根，再由根是整数求出 的值即可．
把原方程利用因式分解法分解因式可得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∵方程两个实数根都是整数且整数 ，
∴ 为 ．
∴最大值为2.
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握十字交叉法进行因式分解是关键．
8．若方程 和 的解相同，则 的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．
解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，
分解因式得：（b-4）（b+7）=0，
解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，
则b=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
【答案】3＜m≤4
【解析】
【分析】
根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-
4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围
解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x=2；
1
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x=2+
2
x=2-
3
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x，
2
∴x+x＞x；
1 3 2
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
10．已知关于x的一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ），此方程的解为 ， ．
则关于x的一元二次方程 的解为______．
【答案】 或 ## 或【解析】
【分析】
将 和 分别代入 ，可求得 ， ， 之间的等量关系，代入一元二次方程
即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
解： 一元二次方程 的解为 ， ，
，解得 ，
一元二次方程 可化为 ，
，
，
解得 ， ．
一元二次方程 的解为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得 ， ，
之间的等量关系，从而代入求解．
11．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原
方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
【答案】 或1
【解析】
【分析】
由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为 ，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运
用因式分解和公式法求解即可．
解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，
∴ ，又由题意得： ，
∴
解得：
∴ ，
∴ ， ，
∴由求根公式得： ，
则原方程所有的解为： 或1，
故答案为： 或1．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的
值．
12．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出
，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
①＋②：有 解得：
请类比以上做法，回答下列问题：若 为正整数， ，则 ____．
【答案】12．
【解析】
试题分析：根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．
试题解析：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2+2n-168=0，
即（n-12）（n+14）=0，
解得n=12，n=-14（舍去）．
1 2
考点：有理数的混合运算．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法解二元一次方程；
（2）利用因式分解法解二元一次方程；
（3）利用配方法解二元一次方程；
（4）利用公式法解二元一次方程；
(1)
解：
移项得，
两边开平方得，∴
(2)
解：
或
∴
(3)
解：
或
∴
(4)
解：
∴
【点睛】本题主要考查解二元一次方程，掌握二元一次方程的求解方法是解题的关键．
14．按要求解方程：
(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；
(2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；
(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
(6)用配方法求最值：6x2-x-12．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 时，有最小值
【解析】
【分析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，
再开方求解即可；
（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；
（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（6）将原式进行配方变形即可得出答案．
(1)
解：4（t-3）2=9（2t-3）2
开方得： ，
∴ 或 ，∴ ；
(2)
解：2x2-7x-4=0
方程两边同时除以2得：
，
，
，
，
，
∴ ；
(3)
解：3x2+5（2x+1）=0，
方程整理为一般式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(4)
解：3（x-5）2=2（5-x）
方程变形为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；(5)
解：abx2-（a2+b2）x+ab=0
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(6)
解：6x2-x-12 ，
∴当 时，原式有最小值 ．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、
因式分解法是解此题的关键．
15．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)当m＝1时，试求出该方程的解；
(2)求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）当m＝1时，原方程为 用因式分解法解方程即可；
（2）利用根的判别式进行证明即可．
(1)
解：当m＝1时，原方程为
∴
∴ ，(2)
∵ ，∴
∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根
【点睛】
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去）．
1 2
（2）当m＜0时，原方程可化为m2＋m﹣2＝0，解得：m＝﹣2，m＝1（舍去）．
1 2
原方程的解：m＝2，m＝﹣2
1 2
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0
【答案】m＝1，m＝﹣2
1 2
【解析】
【分析】
仿照例题分类讨论，再因式分解法解一元二次方程即可求解．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式
分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程
的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
解：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0，解得：m＝1，m＝0（舍去）．
1 2
当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m＝﹣2，m＝1 （舍去）．
1 2
原方程的解：m＝1，m＝﹣2．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，去绝对值符号，解题的关键是掌握数学转化思想求解．
17．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓
换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元
的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，设m＝ ，n＝ ，则原方程组可化为 ，解之得 ，即 所以原方程组的解为 ．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值： ＝ ．
（2）方程组 的解为 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组
（5）已知关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x、y的方程组
的解．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，
【解析】
【分析】
（1）设 ，代入原式化简即可得出结论；
（2）设 ，将原方程组变形，求得 ， ，进而求出原方程组的解；
（3）设 ，展开后因式分解，再将 代入即可得出结论；
（4）将原方程组变形为 ，设 ， ，解关于 ， 的方程组，进而求得 ．
的值；
（5）将关于 、 的方程组 ，变为 ，利用关于 、 的方程组 的解是 ，可得： ，解这个方程组可得原方程组的解．
解：（1）设 ，
原式 ．
故答案为： ．
（2）设 ，原方程组变为：
．
解得： ．
．
解得： ．
经检验， 是原方程组的解．
故答案为： ．
（3）设 ，
原式 ．
故答案为： ．
（4）原方程组变形为： ，设 ， ，则 ．
解得： ．
．
．
（5）将关于 、 的方程组 整理得：
．
关于 、 的方程组 的解是 ，
．
即： ．
解这个方程组得：
， ．
原方程组的解为：
， ．
【点睛】
本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，分
式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．18．阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天
文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善
于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们
可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得：
请类比以上做法，回答，
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层
每边有三个点，依此类推．
（1） 填写下表：
（2） 写出第 层所对应的点数；
（3） 如果某一层共 个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出 层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是 个，你知道它共有几层吗?
【答案】（1） ；（2） ；（3） 层；（4） ；（5） 层．
【解析】
【分析】
题干：根据倒序相加法计算即可；
（1）用该层对应的点数18，加上前一格中所有层的总点数19即可得到答案；
（2）列出每一层上的点数得到规律即可得到答案；
（3）根据（2）得到的公式列方程解答；（4）将前面各层上的点数相加得到 ，根据（1）
的计算方法求出答案；
（5）根据（4）得到的公式列方程解答即可.
题干：设 ①， ②，
①+②得 ，
∴
∴答案：
（1） 第四列应填：18+19=37；
（2）第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6= ，
第3层上的点数为6+6= ，
第4层上的点数为6+6+6= ，
，
第n层上的点数为， ；
（3） =96，
解答n=17，
∴第 层共 个点；
（4）
=
= ；（5）由（4）得 =631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六边形点阵图的第 层的总点数是 个.
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，正六边形的性质，观察并运
算得到点阵图的计算规律，并运算高斯速算法进行计算是解题的关键.
19．阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两
个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个
整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系
数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1） ；（2）a+ b=
【解析】【分析】
（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的
系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案
（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知
数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
（1）令： ，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，
解得： ，
从而 =x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设 （其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程 的解，
所以 ，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【点睛】
本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．
20．如图，直角坐标系 中，一次函数 的图象 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 坐标为
，正比例函数 的图象 与 交于点 ，点 在 轴上一个动点，过点 作 轴的垂
线与直线 和 分别交于 、 两点．（1）求 的值及直线 所对应的一次函数表达式；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）求出当 为何值时， 面积为12？
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3） 或10．
【解析】
【分析】
（1）直接将点C代入正比例函数，可求得m的值，然后将点C和点A代入一次函数，可求得一次函数解
析式；
（2）用含n的式子表示出PQ的长，然后解不等式即可；
（3）用含有n的式子表示出△PQC的底边长和高的长，然后求解算式即可得．
（1）将点C(m，3)代入正比例函数 得：
3= ，解得：m=6
则点C(6，3)
∵A(9，0)
将点A，C代入一次函数 得：
解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9（2）∵N(n，0)
∴P(n，9－n)，Q(n， )
∴PQ=
∵要使
∴0＜
解得： 或
（3）在△PQC中，以PQ的长为底，则点C到PQ的距离为高，设为h
第（2）已知：PQ=
由图形可知，h=
∵△PQC的面积为12
∴12=
情况一：当n＜6是，则原式化简为：12=
解得：n=2或n=10(舍)
情况二：当n≥6时，则原式化简为：12=
解得：n=2(舍)或n=10
综上得：n=2或n=10．
【点睛】
本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n的算式表
示出PQ的长度，注意需要添加绝对值符号．培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·山东临沂·中考真题）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
【分析】
先把方程的左边分解因式化为 从而可得答案．
解： ，
或
解得：
故选B
【点睛】
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
2．（2022·广西贵港·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
3．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个
根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】
本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解
题的关键.
4．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱
形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【解析】【分析】
利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12．
故选：C．
【点睛】
此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
5．（2016·四川攀枝花·中考真题）若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ ax-a2＝0的一个根，则a的值为
（ ）
A．1或-4 B．-1或-4
C．-1或4 D．1或4
【答案】A
【解析】
解：∵x=-2是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴（-2）2+ a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a=-4，a=1．
1 2
即a的值是1或-4．
故选：A．
【点睛】
一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只
含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（2015·广东广州·中考真题）已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰
好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B
【解析】
解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x=2，x=6．
1 2
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
7．（2016·山东泰安·中考真题）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【答案】C
【解析】
试题分析：直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可．∵ ，
∴ +2x+1-2（ -2x+1）=7，整理得：- +6x-8=0，则 -6x+8=0，（x-4）（x-2）=0
解得： =4， =2， 故方程有两个正根．
考点：一元二次方程的解法
8．（2016·广东深圳·中考真题）给出一种运算：对于函数 ，规定 ．例如：若函数 ，
则有 ．已知函数 ，则方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：依题意，当 时， ，解得：
考点：应用新知识解决问题.
二、填空题
9．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
解：移项得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关
键．
10．（2020·贵州毕节·中考真题）关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的
值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
把方程的根代入原方程得到 ，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即
可．
∵方程 是一元二次方程，
∴k+2 0，即k ；
又 是≠该方程的≠-一2个根，
0∴ ，
解得， ， ，
由于k ，
所以，≠-2 ．
故答案k为=：11．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方
法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
11．（2020·四川乐山·中考真题）已知 ，且 ．则 的值是_________．
【答案】4或-1
【解析】
【分析】
将已知等式两边同除以 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
将 两边同除以 得：
令
则
因式分解得：
解得 或
即 的值是4或
故答案为：4或 ．
【点睛】
本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
12．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
【答案】 或1 7
【解析】
【分析】
（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验证即可；
（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，
∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；把 代入 得，0=0，成立；
∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟
练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
13．（2020·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因
式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）
（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【解析】
【分析】
将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于
x的方程求解可得．
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1 ，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣ ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
三、解答题
14．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
先移项再利用因式分解法解方程即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
15．（2021·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与 都为整数，得出k的值；
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴ =0
∴ ， 或 ，
当 ， 时，
∵k与 都为整数，
∴k=0或-2
当 ， 时，
∴ ，
∵k与 都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
16．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程
的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点 从点 以每秒
个单位长度的速度沿 方向匀速运动到点 为止；点 沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点 向
点 匀速运动，到点 为止，点 与点 同时出发，设运动时间为 秒
（1）线段 ______；
（2）连接 和 ，求 的面积 与运动时间 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3）( ， )或( ， )
【解析】
【分析】
（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；
（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
（1）解方程 得： (舍去)，
∴AB=6，
∵四边形 是矩形， ，
∴AB=CD=6，BD=2AB=12，
∴BC=AD= ，∵ ，
∴ ，
故答数为： ；
（2）如图1，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴MH= MD= ，
∵∠DBC=30°，CN⊥BD，
∴BN= ，
当点P在线段BN上即 时，
△PMN的面积 ；
当点P与点N重合即 时，s=0，
当点P在线段ND上即 时，
△PMN的面积 ；∴ ；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN=PM=9-2t时，则DM= ，MH= DM= ，DH= ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
即 或 ，
则BE= 或BE= ，
∴点P的坐标为( ， )或( ， )；
当PN=NM=9-2t时，
∵ ，
∴ ，
解得 或24（不合题意舍去），∴BP=6，PE= BP=3，BE= PE=3
∴点P的坐标为( ， )，
综上所述：点P坐标为( ， )或( ， ) ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三
角形的性质，坐标与图形等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
