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第 13 课 用因式分解法解一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝0，x＝5 C．x＝2，x＝0 D．x＝0，x＝﹣5
1 2 1 2 1 2
3．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一元二次方程 的解是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
6．如果 能分解成 的形式，则方程 的两根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．一元二次方程 的解为（ ）
A． B．B． C． ， D． ，
8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程 的根，则三角形的周长是（ ）
A．19 B．11或19 C．13 D．11
9．已知实数 满足 ，则代数式 的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
二、填空题
11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为___________．
12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2+16x=5，应选用_____法；
（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用_____法；
（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用_____法．
13．方程 的根为__________．
14．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周
长是_____．
15．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．
16．已知一元二次方程 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
17．已知关于x的一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ），此方程的解为 ，
．则关于x的一元二次方程 的解为______．
18．定义：如果一元二次方程 （ ）满足 ，那么我们称这个方程为“凤凰”
方程．已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则 ______．
三、解答题
19．用因式分解法解下列关于x的方程
（1） （2）
（3） （4）
20．用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
21．阅读下面的例题．
解方程： ．
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
∴原方程的解是 ， ．
请参照上述方法解方程 ．
22．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣ x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．已知 关于 的方程 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰 的两条边
长，则 的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
2．已知 ，则 等于（ ）
A． 或 B．6或1 C． 或1 D．2或3
3．方程 的解是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．无实数根
4．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，
记 ， ， ，…，那么 ，则 的值是（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
5．若 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，满足
，则 的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程，则 ；
③若p、q满足 ，则关于x的方程 是倍根方程；
④若方程 是倍根方程，则必有 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．若关于x的一元二次方程 的根都是整数，则整数m的最大值是________．
8．若方程 和 的解相同，则 的值为______．
9．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
10．已知关于x的一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ），此方程的解为 ，
．则关于x的一元二次方程 的解为______．
11．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原
方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
12．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出
，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
①＋②：有 解得：
请类比以上做法，回答下列问题：若 为正整数， ，则 ____．
三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．按要求解方程：
(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；
(2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0；
(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
(6)用配方法求最值：6x2-x-12．15．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)当m＝1时，试求出该方程的解；
(2)求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
16．阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去）．
1 2
（2）当m＜0时，原方程可化为m2＋m﹣2＝0，解得：m＝﹣2，m＝1（舍去）．
1 2
原方程的解：m＝2，m＝﹣2
1 2
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0
17．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓
换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元
的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组 ，设m＝ ，n＝ ，则原方程组可化为 ，
解之得 ，即 所以原方程组的解为 ．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值： ＝ ．
（2）方程组 的解为 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组
（5）已知关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x、y的方程组
的解．
18．阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天
文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善
于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们
可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得：
请类比以上做法，回答，
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层
每边有三个点，依此类推．
（1） 填写下表：
（2） 写出第 层所对应的点数；
（3） 如果某一层共 个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出 层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是 个，你知道它共有几层吗?
19．阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两
个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个
整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系
数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
20．如图，直角坐标系 中，一次函数 的图象 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 坐标为，正比例函数 的图象 与 交于点 ，点 在 轴上一个动点，过点 作 轴的垂
线与直线 和 分别交于 、 两点．
（1）求 的值及直线 所对应的一次函数表达式；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）求出当 为何值时， 面积为12？
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·山东临沂·中考真题）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022·广西贵港·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
3．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个
根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
4．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱
形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
5．（2016·四川攀枝花·中考真题）若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ ax-a2＝0的一个根，则a的值为
（ ）
A．1或-4 B．-1或-4C．-1或4 D．1或4
6．（2015·广东广州·中考真题）已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰
好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．（2016·山东泰安·中考真题）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
8．（2016·广东深圳·中考真题）给出一种运算：对于函数 ，规定 ．例如：若函数
，则有 ．已知函数 ，则方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
10．（2020·贵州毕节·中考真题）关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的
值是_______．
11．（2020·四川乐山·中考真题）已知 ，且 ．则 的值是_________．
12．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
13．（2020·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因
式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）
（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
三、解答题
14．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： ．
15．（2021·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．
16．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程
的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点 从点 以每秒
个单位长度的速度沿 方向匀速运动到点 为止；点 沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点 向
点 匀速运动，到点 为止，点 与点 同时出发，设运动时间为 秒
（1）线段 ______；
（2）连接 和 ，求 的面积 与运动时间 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点 的坐标．
