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第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
那么这个一元二次方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
2．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的一元二次方程 的根的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C【解析】
【分析】
表示出根的判别式，判断其值与0的关系，确定出方程根的情况即可．
【详解】
解：方程x2+mx-1=0，
∵Δ=m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式意义是解本题的关键．
3．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
则k=（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】
解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
此方程根的判别式 ，且 ，
解得 且 ，
又 关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系
数的关系是解题关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）若 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值
为（ ）．
A．2 B． C．2022 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【详解】
解：根据一元二次方程根与系数的关系可以得到： ，
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解题关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）下列方程没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A、B、C，先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；对于D先把方程化为x2-
2x-12=0，然后对方程的根进行判断．
【详解】
解：A、Δ=（-7）2-4×1×(-18)=121>0，则此方程有实数根，所以A选项不符合题意；
B、 变形为 ，Δ=（-4）2-4×1×1=12＞0，则此方程有两个不等的实数根，所以B选项不
符合题意；C. Δ=（-2）2-4×1×3=-8<0，则此方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D. 变形为 ，Δ=（-2）2-4×1×（-12）=52＞0，则此方程有两个不等的实数根，所
以D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数
根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）若 x，x 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x+x 的值是
1 2 1 2
（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据x+x=- 可得答案．
1 2
【详解】
解：∵x，x 是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根，
1 2
∴x+x=3，
1 2
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=- ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
二、填空题
7．（2021·河南洛阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程 的一根为2，则另一个根为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可
【详解】解：设另一个根为 ，根据根与系数的关系有：
，
即 ，
解得： ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．本根与
系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ， ．
8．（2022·山东济南·八年级期末）若 ， 为一元二次方程 的两个实数根，则
的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
将 利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得
m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解．
【详解】
解：∵ ， 为一元二次方程 的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关
系是解本题的关键．
9．（2020·江苏无锡·九年级期中）已知α、β为方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则α＋β＝_______．
【答案】－4【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出 ，此题得解．
【详解】
解∶∵α、β为方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，
∴ ，
故答案为∶ －4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 （a≠0）两根为 ， ，则
， ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
10．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x+x＝4，xx＝3，然后利用整体代入的方法计算x+x﹣2xx 的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】
解：根据题意得x+x＝4，xx＝3，
1 2 1 2
x+x﹣2xx＝4﹣2×3＝﹣2．
1 2 1 2
故答案为﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x+x
1 2 1 2
＝ ，xx＝ ，掌握根与系数的关系是解题的关键．
1 2
三、解答题
11．（2022·河南南阳·九年级期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，解这个方程；
(2)若该方程有实数根，求 的取值范围．【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）把 代入 ，得到 ，再解这个方程即可；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求 的取值范围．
(1)
解：∵关于 的一元二次方程 ，
∴当 时，方程为 ，
∴ ，
∴ ， ．
(2)
∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ．
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程 的根的判别式．一元二次方程根
的判别式用 表示，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实
数根；当 时，方程没有实数根．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根 满足 ，求m的值．【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）证明 即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得 ，xx＝2m﹣1，再利用完全平方公式将
1 2
变形为 ，代入求解即可．
（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m
﹣2）2+4．∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0．∴无论m为任何实数，方程总有两
个不相等的实数根；
（2）解：由 可得 ，∵ ，xx＝2m﹣1，∴
1 2
，即m2﹣4m+8＝4，解得m＝m＝2，∴
1 2
当x﹣x＝2时，m的值是2．
1 2
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，
方程有两个不相等的实数根，当Δ=0，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程无实数根．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·九年级课时练习）若 是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝________，该方
程的另一个根x＝________．
2
【答案】 4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，根据两根之积，即可得到方程的另一根，再由两根之和即可得出一个关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】
解：设方程的另一个根为x，
2
∵x 是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，
1
∴x•x＝1，即（ ）x＝1，
1 2 2
∴x ，
2
∴x+x＝﹣a，即 a，解得a＝4，
1 2
故答案为4， ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解题思路的逆向分析．
2．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）若 是一元二次方程 的两个实数根，
则 的值_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可求得a+b和ab的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为a和b，
∴a+b＝ ，ab＝﹣3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于 、两根之积等于 是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知 是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则
_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将
其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
【详解】
解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经
常使用的解题方法．
4．（2022·四川内江·中考真题）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝
1 2
x2+2x﹣1，则k的值为 _____．
1 2
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，再根据
1 2 1 2 1 1＝x2+2x﹣1，推出 ＝4﹣k，据此求解即可．
1 2
【详解】
解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1
∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关
系是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）设 ， 是一元二次方程 的两个根，则
______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．
【详解】
解:∵α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，
∴α2+3α−7=0， ，∴原式＝ ．
故答案为：0
【点睛】
本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程 有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x，x，且x2＋x2＝6xx-15，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)
(2)k＝4
【解析】
【分析】
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出x＋x 和x•x，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
1 2 1 2
（1）∵关于x的方程 有两个实数根，∴ ，
解得 ；
（2）∵方程的两实数根分别为x，x，∴x＋x＝k＋1， ，∵x2＋x2＝6xx-15，∴（x＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1
x）2-8xx+15＝0，∴k2-2k-8＝0，解得：k＝4，k＝-2，又∵ ，∴k＝4．
2 1 2 1 2
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．
7．（2022·湖北鄂州·九年级期末）设 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数
根．
(1)求m的取值范围；(2)若 ，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个根得到 ，列出不等式求解；
（2）根据根与系数的关系即可得出 ， ，结合m的取值范围即可得出 ，
，再由 得到 ，即可得出关于m的方程，解之即可得出m
的值．
(1)
解：∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
(2)
解：∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
解得： 或 ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出
；（2）根据根与系数的关系结合 得出
．
8．（2022·湖南长沙·八年级期末）已知关于 的一元二次方程 有 ， 两个实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 及 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在， 或
【解析】
【分析】
（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于 的不等式，则可求得 的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得 ， ，则可先求出 ，再求出 的值；
（3）利用根与系数的关系得 ， ，则利用 求出 的值．
（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，∴ ，解得： ．（2）∵关于 的一元二次方程 有 ， 两个实数根，∴ ， ，且
，解得： ， ．
（3）∵关于 的一元二次方程 有 ， 两个实数根，∴ ， ，又
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴
，解得： ， ，∴存在实数 ，它的值为 或 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判断式，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程．一元二次方程
中根的判别式为 ，用符号 表示，当 大于0时，方程有两个不相等的实根；
当 等于0时，方程有两个相等的实根；当 小于0时，方程无实根．若 ， 是一元二次方程
的两根，则 ， ．
