文档文本内容
专题 20.2 二次根式的乘除（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:22)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:22)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:27)(cid:9)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:22)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)............................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:22)............................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:22)..........................................................................................................................13
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:22)..........................................................................................................................16
(cid:15)(cid:23)(cid:24)9 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:22)..........................................................................................................................19
知识点1 二次根式的乘法
1. (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:56)(cid:57)
(cid:58)(cid:59)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:33)(cid:63)(cid:33)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:64)(cid:72) = 0， 0)(cid:73)
(cid:74)(cid:75)(cid:10) 2 32= 2×32= 64=8(cid:73) 𝑎∙ 𝑏 𝑎𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)∙ (cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:56)(cid:57)(cid:33)(cid:76)(cid:77)
(cid:78)1(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:7)(cid:28)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:59)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:85)(cid:29)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:72) = 0， 0， 0)(cid:73)
(cid:78)2(cid:79)(cid:86)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:88)(cid:46)(cid:89)(cid:71)(cid:90)(cid:64)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:64)(cid:95)(cid:27)(cid:9)(cid:87)(cid:33)(cid:89)(cid:71)𝑎(cid:85)∙ (cid:29)𝑏(cid:64)∙ (cid:96)𝑐(cid:97)(cid:63)𝑎(cid:33)𝑏(cid:89)𝑐(𝑎(cid:71)≥(cid:64)(cid:72) 𝑏≥ 𝑐≥=
0， 0)(cid:73) 𝑚 𝑎∙𝑛 𝑏 𝑚𝑛
知
𝑎
识
𝑏(
点
𝑎≥2
积
𝑏
的
≥
算术平方根
1. (cid:63)(cid:33)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:63)(cid:98)(cid:99)(cid:59)(cid:41)(cid:28)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:72) = 0， 0)(cid:73)
(cid:50)(cid:55)(cid:100)(cid:7)(cid:28)(cid:90)(cid:64)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:31)(cid:29)(cid:63)(cid:33)(cid:105)(cid:28)(cid:73) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:106)(cid:56)(cid:57)(cid:80)(cid:107)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:59)(cid:108)(cid:109)(cid:71)(cid:33)(cid:63)(cid:33)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:72) = 0， 0， 0)(cid:73)
3. (cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:48)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:110)(cid:95)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:111)(cid:112)(cid:41)(cid:71)(cid:44)(cid:113)(cid:114)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)𝑎(cid:64)𝑏𝑐(cid:115)(cid:116)(cid:55)𝑎∙ 𝑏∙=𝑐(𝑎≥ 𝑏≥0， 𝑐≥0)(cid:117)
教
辅
= 资 0)(cid:64)(cid:95)(cid:103)(cid:70)(cid:118)(cid:119)(cid:62)(cid:33)(cid:41)(cid:71)(cid:114)(cid:41)(cid:28)(cid:70)(cid:83)(cid:27)(cid:9)(cid:40)(cid:73) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
源
，
关
2 注
知 𝑎 识点 𝑎3( 𝑎 二 ≥ 次根式的除法 公 众 号
★
全
科
A
1. (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:30)(cid:56)(cid:56)(cid:57) A +(cid:58)(cid:59)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:33)(cid:120)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:33)(cid:120)(cid:33)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:64)(cid:72) = 0， >0)(cid:73)
𝑎 𝑎
2. (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:30)(cid:56)(cid:7)(cid:28)(cid:80)(cid:107)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:59)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:85)(cid:30)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:72) 𝑏 ÷ 𝑏(𝑎 ÷ ≥ = 𝑏 ÷ ÷ 0， >0
， >0)(cid:73) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐(𝑎≥ 𝑏
3. 𝑐(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:88)(cid:46)(cid:89)(cid:71)(cid:90)(cid:64)(cid:80)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:28)(cid:121)(cid:93)(cid:94)(cid:28)(cid:85)(cid:30)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:64)(cid:122)(cid:89)(cid:71)(cid:117)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:44)(cid:123)(cid:85)(cid:30)(cid:96)(cid:97)(cid:63)(cid:33)(cid:41)(cid:28)(cid:64)
(cid:72) ÷ = ÷ ÷ (cid:73)
知
𝑚
识点
𝑎4 𝑛
商
𝑏
的算
(𝑚
术平
𝑛
方
)
根
∙ 𝑎 𝑏
(cid:120)(cid:33)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:120)(cid:98)(cid:99)(cid:59)(cid:41)(cid:28)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:27)(cid:33)(cid:120)(cid:64)(cid:72) = 0， >0)(cid:73)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏(𝑎≥ 𝑏
知识点5 最简二次根式
1. (cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:124)(cid:125)(cid:44)(cid:45)(cid:64)(cid:126)(cid:127)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:98)(cid:124)(cid:125)(cid:103)(cid:70)(cid:118)(cid:119)(cid:62)(cid:33)(cid:41)(cid:71)(cid:78)(cid:114)(cid:41)(cid:28)(cid:79)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:98)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:9)(cid:64)(cid:128)(cid:129)(cid:33)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:130)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
2. (cid:48)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:131)(cid:132)
(cid:78)1(cid:79)(cid:122)(cid:27)(cid:9)(cid:133)(cid:33)(cid:134)(cid:44)(cid:71)(cid:48)(cid:97)(cid:135)(cid:44)(cid:71)(cid:64)(cid:122)(cid:136)(cid:137)(cid:53)(cid:138)(cid:66)1(cid:33)(cid:138)(cid:71)(cid:48)(cid:97)(cid:44)(cid:71)(cid:64)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:139)(cid:84)(cid:94)(cid:28)(cid:90)(cid:64)(cid:110)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:140)
(cid:78)2(cid:79)(cid:95)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:98)(cid:103)(cid:70)(cid:119)(cid:33)(cid:41)(cid:71)((cid:114)(cid:41)(cid:28)(cid:79)(cid:111)(cid:112)(cid:70)(cid:62)(cid:140)
(cid:78)3(cid:79)(cid:116)(cid:55) = 0， >0)(cid:64)(cid:141)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:98)(cid:124)(cid:125)(cid:44)(cid:45)(cid:140)
𝑎 𝑎
(cid:78)4(cid:79)(cid:44)(cid:45)(cid:46)𝑏(cid:47)(cid:48)𝑏(cid:64)(𝑎(cid:48)≥(cid:142)(cid:44)(cid:45)𝑏(cid:98)(cid:33)(cid:27)(cid:9)(cid:140)
(cid:78)5(cid:79)(cid:143)(cid:44)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:144)(cid:47)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
(cid:15)(cid:74)1(cid:22)(cid:78)2023·(cid:145)(cid:146)·(cid:98)(cid:147)(cid:148)(cid:23)(cid:79)(cid:137)(cid:66)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:64)(cid:46) = (cid:73)(cid:106)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:32)(cid:33)
(cid:34)(cid:35)(cid:139)(cid:78) (cid:79) 𝑎⋅ 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:73) > >0 B(cid:73) < <0 C(cid:73) 0 D(cid:73) 0
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)𝑎 D 0,𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑎≤0,𝑏≤ 𝑎≥0,𝑏≥
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:158)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:64)(cid:115)(cid:113)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:158)(cid:160)(cid:161)(cid:73)
0
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:64)(cid:118) 0 (cid:64)
𝑎≥ 0
𝑏≥
教
辅 资0(cid:64) 𝑎𝑏≥
源
，
关
注
(cid:163)∴(cid:164)𝑎≥(cid:10)0D,𝑏(cid:73)≥ 公
众
号
★
全
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:64)(cid:167)(cid:113)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:64)科(cid:168)(cid:169)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:139)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:97)(cid:108)(cid:109)(cid:71)(cid:139)(cid:170)(cid:23)
A
A
+(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)1-1(cid:22)(cid:78)22-23(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)·(cid:180)(cid:181)(cid:79)(cid:103)(cid:141)(cid:65)(cid:28) = (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:139)(cid:78) (cid:79)
𝑥 𝑥
A(cid:73) 0 B(cid:73) 3 C(cid:73) >3 𝑥−3 𝑥−D3(cid:73) >3(cid:114) <0
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)𝑥≥C 𝑥≥ 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:118)(cid:158) 0(cid:64) >0(cid:64)(cid:111)(cid:184)(cid:52)(cid:158)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
𝑥≥ 𝑥−3
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) = (cid:31)(cid:32)(cid:64)
𝑥 𝑥
0(cid:64) ∵ >0(cid:64)𝑥−3 𝑥−3
(cid:113)∴(cid:118)𝑥≥(cid:10) >𝑥3−(cid:73)3
(cid:163)(cid:164)(cid:10)𝑥C(cid:73)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:100)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:64)(cid:189)(cid:190)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:52)(cid:158)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)1-2(cid:22)(cid:65)(cid:28) = · +3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:139)
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 3. 𝑏 −9 𝑏−3 𝑏
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)𝑏(cid:27)≥(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:56)(cid:57)(cid:117)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:158)(cid:3)(cid:66)b(cid:33)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:64)(cid:113)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:158)
(cid:152)(cid:153).
0
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:64)(cid:118)(cid:10) +3 0 (cid:64)(cid:113)(cid:118)(cid:10) 3.
𝑏−3≥
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97) 3. 𝑏 ≥ 𝑏≥
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)𝑏(cid:170)≥(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:33)(cid:139)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:64)(cid:191)(cid:192)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:108)(cid:109)(cid:139)(cid:113)(cid:100)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171).
(cid:15)(cid:172)(cid:28)1-3(cid:22)(cid:78)22-23(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:176)(cid:177)(cid:194)(cid:195)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:138)(cid:196)(cid:197)(cid:11)(cid:198)(cid:188) = (cid:199)(cid:64) (cid:200)(cid:97) = (cid:201)(cid:31)(cid:32)(cid:64)(cid:41)(cid:100)(cid:202)(cid:200)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:97)(cid:149)(cid:59)(cid:48)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:10) = = ×4= 4= 4=2(cid:139)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:73)
−20 −20 −5 −5⋅
(1)(cid:205)(cid:200)(cid:97)(cid:202)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:137)(cid:206)−5(cid:207) (cid:75)(cid:161)−5(cid:124)(cid:137)(cid:64)−(cid:208)5 (cid:104)(cid:158)(cid:189)−5(cid:190)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:140)
(2)(cid:209)(cid:210) = (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:73)
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)𝑏 (1)(cid:124)𝑏(cid:137)(cid:64)(cid:211)(cid:113)(cid:154)
(2) 0(cid:127) >0
(cid:15)(cid:44)𝑎(cid:154)≥(cid:22)(cid:170)𝑏(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
教
(cid:78)1辅(cid:79)(cid:27)资(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:182)(cid:80)(cid:118)(cid:202)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:124)(cid:137)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:140)
源
，
关
注
(cid:78)2(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)公(cid:33)(cid:108)(cid:109)(cid:182)(cid:39)(cid:44)(cid:28)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:124)(cid:103)(cid:65)(cid:66)0(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:73)
众
号
★
全
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:78)1(cid:79)(cid:113)(cid:10)(cid:41)(cid:97)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:124)(cid:103)科(cid:138)(cid:66) A0(cid:64)(cid:213)(cid:107)(cid:202)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:124)(cid:137)(cid:73)
A
+(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:75)(cid:133)(cid:10)
20
=
5
−20
−250
=
5
5×4
=
5
5× 4
=
5
= 4
=2(cid:73)
(cid:78)2(cid:79)(cid:113)(cid:10)(cid:41)(cid:97)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:124)(cid:103)(cid:138)(cid:66)0(cid:39)(cid:44)(cid:28)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:124)(cid:103)(cid:65)(cid:66)0(cid:64)
(cid:213)(cid:107) = (cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:139) 0(cid:127) >0(cid:73)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑎≥ 𝑏
【题型2 最简二次根式】
7
(cid:15)(cid:74)2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:145)(cid:214)(cid:215)(cid:216)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:133)(cid:217)(cid:99)(cid:28) 8(cid:140) 0.3(cid:140) (cid:140) 3(cid:140) +1(cid:78)a(cid:97)(cid:189)(cid:144)
2
2
(cid:71)(cid:79)(cid:64)(cid:218)(cid:98)(cid:149)(cid:219)(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:46)(cid:78) (cid:79) ① ② ③ ④ ⑤ 𝑎
A(cid:73)4 (cid:59) B(cid:73)3 (cid:59) C(cid:73)2(cid:59) D(cid:73)1(cid:59)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)C
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)(cid:27)(cid:155)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:219)(cid:157)(cid:111)
(cid:112)(cid:220)(cid:219)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) 8=2 2(cid:64)(cid:124)(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)
30
0.3= (cid:64)(cid:124)(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)
10
7 = 14 (cid:64)(cid:124)(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)
2 2
3(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)
+1(cid:78)a(cid:97)(cid:189)(cid:144)(cid:71)(cid:79)(cid:139)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)
2
(cid:163)𝑎(cid:164)C(cid:73)
教 2
(cid:15)(cid:172)辅(cid:28)2-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:176)(cid:221)(cid:50)(cid:222)·(cid:180)(cid:181)(cid:79)(cid:122) (cid:48)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:160)(cid:161)(cid:97) .
资 源 5
，
关
注
10 公
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 众
5 号 ★
全
科
A
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:64)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)A(cid:183)(cid:111)+(cid:112)(cid:48)(cid:37)(cid:72)(cid:80)(cid:73)2 10
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) = (cid:64)
5 5
10
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:73)
5
(cid:15)(cid:172)(cid:28)2-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:48)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:229)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) +1(cid:121)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:85)
𝑛−1
(cid:65)(cid:64)(cid:57) = (cid:73) = (cid:73) 2𝑛 4𝑛−𝑚
(cid:15)(cid:152)(cid:153)𝑛(cid:22) 3 𝑚 5
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:219)(cid:157)(cid:64)(cid:230)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:231)(cid:232)(cid:64)(cid:230)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:48)(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:199)(cid:64)(cid:69)
(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:85)(cid:230)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:130)(cid:97)(cid:230)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:80)(cid:192)(cid:64)(cid:230)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:85)(cid:230)(cid:64)(cid:27)(cid:233)(cid:71)(cid:85)(cid:230)(cid:64)(cid:80)(cid:118)(cid:152)(cid:153)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) +1(cid:121)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:85)(cid:65)(cid:64)
𝑛−1
=2(cid:64) +1= 2𝑛 4𝑛−𝑚
∴(cid:113)𝑛(cid:118)−1(cid:10) =32(cid:64)𝑛 =5(cid:73)4𝑛−𝑚
(cid:163)(cid:152)(cid:153)𝑛(cid:97)(cid:10)3(cid:64)𝑚5(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)2-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:234)(cid:235)(cid:234)(cid:236)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:237)(cid:192) (cid:139)(cid:149)(cid:59)(cid:189)(cid:144)(cid:71)(cid:64) (cid:201)(cid:139)(cid:189)(cid:144)(cid:71)(cid:64)(cid:57) (cid:33)(cid:36)(cid:138)(cid:53)(cid:97)(cid:78) (cid:79)
A(cid:73)4 B(cid:73)5 C(cid:73)10𝑎 D2(cid:73)0𝑎20 𝑎
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)B
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:48)(cid:37)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)(cid:238) (cid:139)(cid:189)(cid:144)(cid:71)(cid:127)
=2 (cid:64)(cid:118)(cid:83) (cid:139)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:71)(cid:64)(cid:72)(cid:80)(cid:52)(cid:158) (cid:33)(cid:36)(cid:138)(cid:53)(cid:73) 20𝑎
(cid:15)2(cid:162)0𝑎(cid:113)(cid:22)(cid:113)5(cid:10)𝑎 5(cid:139)𝑎(cid:189)(cid:144)(cid:71)(cid:64) =2 (cid:64)𝑎
(cid:139)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)∵ (cid:71)2(cid:64)0𝑎 20𝑎 5𝑎
∴5 𝑎(cid:33)(cid:36)(cid:138)(cid:53)(cid:97)5(cid:73)
(cid:163)∴(cid:164)𝑎(cid:10)B(cid:73)
【题型3 根号内、外的因式互移】
1
(cid:15)(cid:74)3(cid:22)(cid:78)2023(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:240)(cid:241)·(cid:242)(cid:23)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:122)( ) (cid:27)(cid:9)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:28)(cid:43)(cid:83)(cid:27)(cid:9)(cid:38)(cid:160)(cid:161)(cid:97) (cid:73)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)−(cid:27)(cid:155)𝑏−(cid:25)𝑎(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:111)(cid:112)(cid:48)(cid:37)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
教
辅
资
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) 源 ，1 >0(cid:64)
关
注
公
众
<0(cid:64) ∵−𝑎−𝑏 号 ★ 全
科
A
A
+
∴𝑎−𝑏1 1
( ) = ( )
∴ 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏 − 𝑏−𝑎 −𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− 𝑏−𝑎 ⋅ −
𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− ⋅ 𝑏−𝑎
𝑎−𝑏
= (cid:73)
(cid:163)(cid:152)−(cid:153)𝑏(cid:97)−𝑎(cid:10) (cid:73)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)−(cid:23)(cid:185)𝑏−(cid:186)𝑎(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:139)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:118)(cid:158) <0(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)3-1(cid:22)(cid:229)(cid:122) 3(cid:27)(cid:9)(cid:40)(cid:33)(cid:41)(cid:28)(cid:43)(cid:83)(cid:27)(cid:9)(cid:38)(cid:64)(cid:118)(cid:78) (cid:79) 𝑎−𝑏
A(cid:73) 12 −4 B(cid:73) 12 C(cid:73) 48 D(cid:73) 48
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)C − −
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:122)4(cid:104)(cid:31) 16(cid:33)(cid:105)(cid:28)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:56)(cid:57)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:83)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) 3= 16× 3= 48(cid:73)
(cid:163)(cid:164)(cid:10)C(cid:73) −4 − −
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:56)(cid:57)(cid:64)(cid:107)(cid:167)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:139)(cid:243)(cid:244)(cid:158)(cid:245)(cid:246)(cid:9)(cid:247)(cid:248)(cid:33)(cid:249)(cid:23)(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)3-2(cid:22)(cid:95) (cid:98)(cid:33)a(cid:43)(cid:83)(cid:27)(cid:9)(cid:38)(cid:64)(cid:160)(cid:161)(cid:139)(cid:78)(cid:250)(cid:250)(cid:79)
A(cid:73) −𝑎 −𝑎B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
3 3 3 3
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)−𝑎B −𝑎 −𝑎 − 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:73)(cid:110)(cid:220)(cid:251)(cid:158) 0(cid:64)(cid:115)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:72)(cid:80)(cid:52)(cid:113)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22) 0(cid:64) 𝑎≤
0(cid:64)∵−𝑎≥
∴𝑎≤ =| | = = (cid:73)
2 3
(cid:163)∴−(cid:164)𝑎(cid:10)−B𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋅ −𝑎 −𝑎
1
(cid:15)(cid:172)(cid:28)3-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:252)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:20)(cid:253)(cid:254)(cid:176)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:122)( ) (cid:27)(cid:9)(cid:40)(cid:88)(cid:33)(cid:41)(cid:28)(cid:43)(cid:83)(cid:27)(cid:9)(cid:255)(cid:88)(cid:48)(cid:37)(cid:33)(cid:160)(cid:161)
(cid:139) (cid:73) 1−𝑥 𝑥−1
教(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) / +
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)−(cid:170)(cid:23)𝑥−(cid:185)1(cid:186)−(cid:147)关−(cid:187)1(cid:188)(cid:48)𝑥(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:167)(cid:44)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:64)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:80)(cid:118)
注
公
众
号
>0(cid:64)(cid:155)(cid:100)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:72)★(cid:80)全(cid:73)
科
A
A
+
𝑥−1(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) >0(cid:64)
<0(cid:64) ∵𝑥−1
∴1 ( −𝑥 ) 1 = 1 ( ) = (cid:64)
2
(cid:163) ∴ (cid:152) 1 (cid:153) − (cid:97) 𝑥 (cid:10)𝑥−1 − (cid:73)𝑥−1⋅ 𝑥−1 − 𝑥−1
【题型4 分 − 母 𝑥 有 −1 理化】
(cid:15)(cid:74)4(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:195)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:137)(cid:66)(cid:46)(cid:47)(cid:71) (cid:117) (cid:64)(cid:219)(cid:157)(cid:188)(cid:149)(cid:260)(cid:261)(cid:50)(cid:51)(cid:10) ※ = (cid:64)(cid:74)
𝑎+𝑏
(cid:75)6※3= 6 3 = 9 = 9× 3 =3 3(cid:64)(cid:57)3※ 1 (cid:97) 𝑎 (cid:73) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
+ 3 3× 3 2
−
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)
56−
1
3
4/ 5 14
14 14
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:27)(cid:155)(cid:261)(cid:219)(cid:157)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:238)(cid:23)(cid:156)(cid:118)(cid:10)3※ 1 = 3 1 2 = 5 2 = 5 14(cid:64)
2 + − 1 7 14
2 2
−
3− −
5
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) 14(cid:73)
14
(cid:15)(cid:172)(cid:28)4-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:193)(cid:267)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:104)(cid:158) (cid:33)(cid:149)(cid:59)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:41)(cid:28) (cid:73)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)2(cid:23)𝑎−(cid:185)𝑏(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:268)(cid:268)(cid:139)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:170)(cid:269)(cid:78)(cid:44)(cid:45)(cid:270)(cid:46)(cid:149)(cid:94)(cid:79)(cid:114)(cid:121)(cid:271)(cid:44)
(cid:45)(cid:159)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:73)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:64)(cid:52)(cid:113)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) × = (cid:64)
(cid:33)(cid:149)(cid:59)∵(cid:46)(cid:47)2𝑎(cid:48)−𝑏(cid:41)(cid:28)(cid:97)2𝑎−𝑏 (cid:64)2𝑎−𝑏
∴(cid:163)(cid:152)2𝑎(cid:153)−(cid:97)𝑏 (cid:10) (cid:78)(cid:152)(cid:153)(cid:124)(cid:273)(cid:149)2𝑎(cid:79)−𝑏
(cid:15)(cid:172)(cid:28)4-2(cid:22)(cid:78)2𝑎2−4𝑏-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:176)(cid:177)(cid:274)(cid:216)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:237)(cid:192) = + +5(cid:64)(cid:57) = (cid:73)
𝑦
𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑥
5 3
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)
3
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:64)(cid:113)(cid:124)(cid:65)(cid:28)(cid:159)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:73)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:110)(cid:217)(cid:158)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:90)(cid:33)x
(cid:275)(cid:53)(cid:276)(cid:277)(cid:64)(cid:278)(cid:184)(cid:52)(cid:118)y(cid:53)(cid:64)(cid:115)(cid:264)(cid:265)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:80)(cid:52)(cid:158)(cid:170)(cid:23)(cid:152)(cid:153)(cid:73)
教 0
(cid:15)(cid:162)辅(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:238)(cid:23)(cid:156)(cid:118)(cid:64) (cid:64)
资 0
源
，
关 𝑥−3≥
3 注 3−公𝑥≥
(cid:64) 众
3 号
★
全
𝑥≥ 科
A
∴ 𝑥=≤ =5(cid:64) A +
∴𝑥 3,𝑦= 5 = 5 3 (cid:64)
3 3
𝑦
∴ 𝑥
5 3
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:73)
3
(cid:15)(cid:172)(cid:28)4-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:234)(cid:235)(cid:263)(cid:279)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:137)(cid:66)(cid:280)(cid:156)(cid:124)(cid:85)(cid:65)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:189)(cid:281)(cid:71)a(cid:64)b(cid:64)(cid:219)(cid:157)(cid:149)(cid:260)(cid:50)(cid:51)
“※”(cid:75)(cid:133)(cid:10) ※ = (cid:64)(cid:74)(cid:75)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:73)
𝑎+𝑏 +
(cid:78)1(cid:79)3※6= 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 (cid:140) 5−4
(cid:78)2(cid:79)( 3)※ 7※5 = (cid:73)
2−
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 2 6
4
+
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)−(cid:187)1(cid:219)(cid:157)(cid:261)−(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:65)(cid:73)
(cid:78)1(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:116)(cid:55)(cid:23)(cid:98)(cid:74)(cid:49)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
(cid:78)2(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:110)(cid:95) 7※5 (cid:77)(cid:70)(cid:266)(cid:51)(cid:64)(cid:115)(cid:266)(cid:51)( 3)※ 3(cid:64)(cid:36)(cid:199)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
2−
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:78)1(cid:79)(cid:238)(cid:219)(cid:157)(cid:261)(cid:50)(cid:51)(cid:192)3※6= 3 6= (cid:64)
+
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:140) 3−6 −1
−1
(cid:78)2(cid:79)( 3)※ 7※5
2− 7+5
= ( 3)※
2− 12
= ( 3)※ 7−5
2
= (2− 3)※ 3
2−
3+ 3
=
3 3
2−
2−2 −
=
3
2×(2+2 3)
= 2−2
( 3)(2+2 3)
2 2+2 6
= 2−2
2 2+2 6
教= 4−12
辅
资
源
，
= 2 −8 6 (cid:64) 关 注 公
4 众
+ 号
★
全
− 科
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) 2 6 (cid:73) A A
4 +
+
−【题型5 分子有理化】
(cid:15)(cid:74)5(cid:22)(cid:78)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:282)(cid:214)(cid:283)(cid:284)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:15)(cid:62)(cid:56)(cid:285)(cid:160)(cid:22)(cid:75)(cid:286)(cid:92)(cid:287)(cid:58)(cid:59)(cid:71)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:289)(cid:68)(cid:268)(cid:290)(cid:55)(cid:96)(cid:272)(cid:114)
(cid:96)(cid:120)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:64)(cid:218)(cid:281)(cid:46)(cid:90)(cid:291)(cid:55)“(cid:61)(cid:62)(cid:56)”(cid:292)(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:201)(cid:293)(cid:275)(cid:118)(cid:294)(cid:295)(cid:33)(cid:296)(cid:161)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:64)(cid:92)(cid:287) =2 3(cid:117) =3 2(cid:33)(cid:288)
(cid:138)(cid:64)(cid:289)(cid:68)(cid:80)(cid:107)(cid:122)a(cid:117)b(cid:44)(cid:123)(cid:61)(cid:62)(cid:73) =12, =18(cid:64)(cid:57) < , < (cid:73) 𝑎 𝑏
2 2 2 2
(cid:208)(cid:116)(cid:55)“(cid:61)(cid:62)(cid:56)”(cid:113)(cid:297)(cid:133)(cid:88)(cid:249)(cid:23)(cid:10) ∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∴𝑎 𝑏
(cid:78)1(cid:79)(cid:92)(cid:287) =4 2 =2 7(cid:288)(cid:138)(cid:64)c______d(cid:78)(cid:298)(cid:104)“>”“<”(cid:114)“=”(cid:79)(cid:73)
(cid:78)2(cid:79)(cid:299)(cid:300)𝑐 =2 5,𝑑+ 6 =2 3+ 14(cid:301)(cid:302)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:126)(cid:209)(cid:210)(cid:47)(cid:238)(cid:73)
(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:303)(cid:304)𝑚(cid:22)(cid:86)(cid:305)(cid:30)(cid:188)“(cid:61),𝑛(cid:62)(cid:56)”(cid:40)(cid:64)(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:80)(cid:107)(cid:55)(cid:292)(cid:92)(cid:287)(cid:306)(cid:307)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:64)
1 1
(cid:92)(cid:287) 7 6(cid:117) 6 5(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:80)(cid:107)(cid:110)(cid:95)(cid:67)(cid:68)(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:75)(cid:133)(cid:10) 7 6= (cid:64) 6 5= (cid:73) 7+ 6
7 6 6 5
> 6+ − 5(cid:64) − 7 6< 6 5(cid:73) − + − + ∵
(cid:78)3(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:308)(cid:309)∴(cid:64)(cid:208)−(cid:164)(cid:310)(cid:263)(cid:311)(cid:33)−(cid:62)(cid:56)(cid:92)(cid:287) 2025 2024(cid:121) 2024 2023(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:104)(cid:158)(cid:312)(cid:313)(cid:92)(cid:287)(cid:203)(cid:204)(cid:73)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:78)1(cid:79) > (cid:78)2(cid:79) > (cid:78)3(cid:79) 2025− 2024< 202−4 2023
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)𝑐(cid:187)(cid:188)𝑑(cid:61)(cid:62)(cid:56)𝑛(cid:39)(cid:44)𝑚(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:39)(cid:314)(cid:71)−(cid:92)(cid:287)(cid:281)(cid:71)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)−(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:139)(cid:52)(cid:158) 1
>
2025 2024
1 −
(cid:73)
2024 2023
(cid:78)1(cid:79)−(cid:315)(cid:316)(cid:23)(cid:317)(cid:98)(cid:33)“(cid:61)(cid:62)(cid:56)”(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
(cid:78)2(cid:79)(cid:315)(cid:316)(cid:23)(cid:317)(cid:98)(cid:33)“(cid:61)(cid:62)(cid:56)”(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
(cid:78)3(cid:79)(cid:80)(cid:116)(cid:55)(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:71)(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:78)1(cid:79) =(4 2) =32, =(2 7) =28,32>28(cid:64)
2 2
2 2
> ∵𝑐 𝑑
2 2
∴𝑐 > 𝑑(cid:140)
∴𝑐 𝑑
(cid:78)2(cid:79) = 2 5+ 6 =26+4 30, =(2 3+ 14) =26+4 42,26+4 42>26+4 30(cid:64)
2 2
2 2
>∵𝑚 (cid:64) 𝑛
2 2
∴𝑛> 𝑚(cid:140)
(cid:78)∴ 3 𝑛(cid:79) 𝑚 1 = 2025+ 2024, 1 = 2024+ 2023(cid:64)(cid:318) 2025+ 2024
2025 2024 2024 2023
教
辅
( 202 ∵ 4 资 + 2源0 − 23，)= 2025 2023>0 − −
关
注
公
1 > 1 −(cid:64) 众 号 ★
2025 2024 2024 2023 全 科
A
A
∴ − − +2025 2024< 2024 2023(cid:73)
(cid:15) ∴ (cid:172)(cid:28)5- − 1(cid:22)(cid:78)2025(cid:173)(cid:174)(cid:175) − (cid:133)·(cid:240)(cid:241)·(cid:242)(cid:23)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:95)(cid:44)(cid:49)(cid:319)(cid:48)(cid:97)(cid:46)(cid:47)(cid:71)(cid:64)(cid:320)(cid:130)(cid:97)“(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)”(cid:64)(cid:74)(cid:75)(cid:10) 2= 2
1
=( 2) = 2 (cid:140)
2 2 2
3 =( 3 )×( 3 1)= ( 3) 1 = = 2 (cid:73)(cid:27)(cid:155)(cid:193)(cid:321)(cid:192)(cid:322)(cid:64)(cid:208)(cid:205)(cid:239)(cid:31)(cid:133)(cid:217)(cid:249)(cid:23)(cid:10)
3 3×( 3 1) ( 3) 2 32 3 3 3 3
−1 −1 + − 3−1
2
+1 1+ + +
(1)(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:10) _______ (cid:78)(cid:298)“>”(cid:64)“<”(cid:114)“=”(cid:79)(cid:140)
7 11
(2)(cid:266)(cid:51)(cid:10) 1 3 + − 1 + 1−3 + + 1 (cid:140)
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+2 + + ⋯ +
(3)(cid:229) = (cid:64)(cid:52)5 +15(cid:33)(cid:53)(cid:73)
3
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153) 𝑎 (cid:22)(1) − < 1 𝑎 −10𝑎
(2)44
(3)25
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:168)(cid:169)(cid:218)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
1 3 7 1 11 3
(cid:78)1(cid:79)(cid:110)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:118)(cid:83) = (cid:64) = (cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:92)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
7 2 11 2
+ +
(cid:78)2(cid:79)(cid:110)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:305)3(cid:199)−(cid:263)(cid:126)(cid:230)(cid:91)(cid:25)(cid:26)(cid:27)−3(cid:28)(cid:140)
(cid:78)3(cid:79)(cid:110)(cid:116)(cid:55)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:118)(cid:83) = 3+1(cid:64)(cid:57)(cid:43)(cid:94)(cid:118)(cid:83) = 3(cid:64)(cid:115)(cid:58)(cid:323)(cid:61)(cid:62)(cid:80)(cid:118)(cid:83) =2(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:122)5
2 2
+15(cid:172)(cid:105)(cid:324)5( )+𝑎15(cid:64)(cid:36)(cid:199)(cid:116)(cid:55)(cid:144)(cid:313)(cid:264)(cid:265)𝑎(cid:33)−(cid:62)1(cid:56)(cid:266)(cid:51)(cid:73) 𝑎 −2𝑎 𝑎
2
(cid:15) −1 (cid:162) 0𝑎 (cid:113)(cid:22)(cid:78)1(cid:79)(cid:113)(cid:10) 𝑎1−2 = 𝑎 3 7 =3 7= 3 7 (cid:64) 1 = 11 3 = 11 3= 11 3 (cid:64)
7 ( 7)(3 7) 2 11 ( 11 )( 11 3) 2
+ + + + + +
3− 3− + 9−7 −3 −3 + 11−9
3 7< 11 3 (cid:64)
2 2
+ +
∵ 1 < 1 (cid:140)
7 11
∴ (cid:163)3−(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10)−
<
3(cid:140)
(cid:78)2(cid:79)(cid:113)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+ + + ⋯ +
= 2 + 3 2+ 4 3+ + 2025 2024
= 2−0215 − − ⋯⋯ −
教= −1
辅
资
源
，
=4454−(cid:140)1 关
注
公
众
号
(cid:78)3(cid:79)(cid:113)(cid:10) = 2 = 2( 3 1) = 3+ ★ 1(cid:64)全
科
3 ( 3 )( 3 1) A A
+ +
∵𝑎 −1 −1 += 3(cid:64)
∴𝑎(−1 ) =3(cid:64)
2
∴ 𝑎−1 +1=3(cid:64)
2
∴𝑎 −2𝑎=2(cid:64)
2
∴𝑎5 −2𝑎 +15=5( )+15=5×2+15=25(cid:73)
2 2
∴(cid:15)(cid:172)𝑎 (cid:28)−150-𝑎2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)𝑎 (cid:174)−2(cid:175)𝑎(cid:193)·(cid:214)(cid:325)(cid:326)(cid:157)·(cid:180)(cid:181)(cid:79)(cid:208)(cid:113)(cid:297)(cid:133)(cid:217)(cid:249)(cid:23)(cid:10)
(1)(cid:122)(cid:133)(cid:217)(cid:99)(cid:28)(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:10)
3 2=_________(cid:140) 5 3=_________(cid:140)
(①2)(cid:92)(cid:287)− 13 11(cid:117) 11② (cid:33)−(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:126)(cid:209)(cid:210)(cid:47)(cid:238)(cid:140)
(3)(cid:95)(cid:28)(cid:49) −+1 −(cid:44)3(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:97)__________(cid:64)(cid:106)(cid:28)(cid:49)(cid:33)(cid:36)(cid:288)(cid:53)(cid:97)__________(cid:73)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(1 𝑥 ) −1 𝑥(cid:140)− 1 2
3 2 5 3
(2) 13 11 ① < + 11 (cid:64) ② (cid:47)(cid:238)+(cid:211)(cid:113)(cid:154)
(3) −2 (cid:64) 2 −3
1
(cid:15)(cid:162) 𝑥 (cid:113) + (cid:22) + (cid:78) 𝑥− 1 1 (cid:79)(cid:113)(cid:10) 3 2=( 3 2)( 3 2)=( 3) ( 2) = 1 (cid:64)
3 2 3 2 2 2 3 2
+ − −
5 3= 5 3 ① 5 − 3 = 5 ( 3) + = 2 (cid:64) + +
5 3 5 2 3 2 5 3
+ − −
② − 1 +2 + +
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:64) (cid:140)
3 2 5 3
(cid:78)2(cid:79)(cid:113)(cid:10)(cid:238) + 13 11 + =( 13 11)( 13 11)= 2 (cid:64) 11 =( 11 9)( 11 9)= 2 (cid:64)
13 11 13 11 11 9 11 9
− + − +
(cid:318) 13+ 11> − 11+ 9(cid:64) + + −3 + +
∵ 2 < 2 (cid:73)
13 11 11 9
∴ 13 + 11< + 11 (cid:64)
(cid:78)∴ 3(cid:79)−(cid:113)(cid:10) +1 −3 =( 1 )( 1 )
1
𝑥+ + 𝑥−1 𝑥+ − 𝑥−1
( +1) 𝑥 ( − 𝑥)−1 𝑥+ + 𝑥−1
=
2 2
+1+
𝑥 − 𝑥−1
+ +1
=
𝑥 𝑥−1
+1+
教 辅𝑥 1−𝑥
资
2 源
= 𝑥 (cid:64)𝑥−，1 关
1 注
公
众
号
+𝑥+1+ 𝑥0−1 ★
全
0 (cid:64) 科 A
A
+
𝑥 ≥
∵ 𝑥−1≥1(cid:64)
∴𝑥≥ 2 2
(cid:86) =1(cid:90)(cid:64) (cid:46)(cid:36)(cid:288)(cid:53) = 2(cid:64)(cid:72) +1 (cid:46)(cid:36)(cid:288)(cid:53) 2(cid:64)
1 2
∴ 𝑥 𝑥+2 + 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−1
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:64) 2(cid:73)
1
(cid:15)(cid:172)(cid:28)5-3(cid:22)𝑥(cid:78)+
2
+
4-
𝑥
2
−
5
1(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:214)(cid:325)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:327)(cid:328)(cid:133)(cid:321)(cid:308)(cid:309)(cid:10)
(cid:289)(cid:68)(cid:197)(cid:11)(cid:198)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:64)(cid:11)(cid:198)(cid:188)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:107)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:73)(cid:218)(cid:281)(cid:64)(cid:46)(cid:149)(cid:59)(cid:91)(cid:329)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:330)(cid:331)“(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)”(cid:140)(cid:121)(cid:44)(cid:45)
(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:91)(cid:329)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:117)(cid:44)(cid:49)(cid:332)(cid:29)(cid:107)(cid:44)(cid:49)(cid:33)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:333)(cid:184)(cid:334)(cid:335)(cid:44)(cid:49)(cid:98)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:92)(cid:75)(cid:10) 7 6=( 7 6)( 7 6)
7 6
− +
1 − +
= (cid:64)
7 6
(cid:44)(cid:49)(cid:46)+(cid:47)(cid:48)(cid:80)(cid:107)(cid:55)(cid:292)(cid:92)(cid:287)(cid:306)(cid:307)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:64)(cid:201)(cid:80)(cid:107)(cid:55)(cid:292)(cid:336)(cid:47)(cid:149)(cid:307)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:36)(cid:53)(cid:249)(cid:23)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:10)
(cid:92)(cid:287) 7 6(cid:117) 6 5(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:73)(cid:80)(cid:107)(cid:110)(cid:95)(cid:67)(cid:68)(cid:44)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:75)(cid:133)(cid:10)
7 6 − = 1 (cid:64)− 6 5= 1 (cid:64)
7 6 6 5
(cid:41)(cid:97) − 7+ 6 + > 6+ − 5(cid:64) 7 + 6< 6 5(cid:73)
(cid:115)(cid:74)(cid:75)(cid:10)(cid:52) = +2 −(cid:33)(cid:36)(cid:288)(cid:53)(cid:73)−(cid:331)(cid:56)(cid:75)(cid:133)(cid:10)
(cid:113)(cid:10)(cid:238) +2 𝑦 0(cid:64)𝑥 − 𝑥 0 −(cid:80)2(cid:192) 2(cid:64)(cid:184) = +2 = 4 (cid:64)
2
(cid:86) =2 𝑥 (cid:90)(cid:64)(cid:44) ≥ (cid:45) 𝑥− + 2 2 ≥ + 𝑥 (cid:46) ≥ (cid:36)(cid:138)(cid:53)2 𝑦 (cid:64)(cid:213)(cid:107) 𝑥 (cid:33) − (cid:36)(cid:288) 𝑥− (cid:53) 2 (cid:139)2(cid:73)𝑥+ + 𝑥−2
(cid:113)(cid:297)𝑥 (cid:133)(cid:321)(cid:249)(cid:23)(cid:10) 𝑥 𝑥−2 𝑦
(1)3 2 =(3 2 )( )=________(cid:140)
( )
−4
−4
(2)(cid:92)(cid:287) (cid:117) +1 (cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:140)
(3)(cid:52) =𝑎− 𝑎+−41 𝑎 +1−(cid:33)(cid:36)𝑎(cid:288)(cid:53)(cid:73)
𝑦 2𝑥 − 2𝑥 2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(1)3 2+4(cid:64)3 2+4(cid:64)
3 2 4
+
(2) +1 <
(3) 𝑎3 − 𝑎 𝑎− 𝑎−1
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:139)(cid:233)(cid:122)(cid:44)(cid:45)(cid:98)(cid:33)(cid:27)(cid:9)(cid:48)(cid:142)(cid:73)(cid:201)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:73)
(3 2 )(3 2 4)
(cid:78)1(cid:79)(cid:116)(cid:55)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:118)(cid:83)3 2 = (cid:64)(cid:72)(cid:80)(cid:113)(cid:152)(cid:140)
3 2 4
−4 +
教
辅 −4 +
(cid:78)2(cid:79)(cid:95)资 源(cid:172)(cid:105)(cid:97) ( )( ) (cid:64) +1 (cid:172)(cid:105)(cid:97) ( 1 )( 1 ) (cid:64)(cid:116)(cid:55) +1+ > +
， 1
关 注𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1 𝑎+ − 𝑎 𝑎+ + 𝑎
公
> 𝑎 0 − (cid:72)(cid:337) 𝑎− (cid:220) 1 (cid:251)(cid:140) 𝑎+众𝑎−1 号 𝑎 − 𝑎 𝑎+ + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
★
全
科
A
𝑎−1 A +1
(cid:78)3(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:83)(cid:238) +4 +1 0(cid:64)(cid:57) (cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:118)(cid:83) =
2
3 1 2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥ 𝑥≥− 𝑦
(cid:64)(cid:238)(cid:66) = (cid:90)(cid:64) +4+ +1(cid:46)(cid:36)(cid:138)(cid:53)3(cid:64)(cid:333)(cid:184)(cid:118)(cid:83)y(cid:33)(cid:36)(cid:288)(cid:53)(cid:73)
4 1 2
(cid:15) 2𝑥 (cid:162) + (cid:113) + (cid:22) 2𝑥 (cid:78) + 1(cid:79)(cid:113)(cid:10) 𝑥 3 2 − =(3 2 2 𝑥 4)(3 2 2𝑥 = 2 (cid:140)
3 2 4 3 2 4
+ −4)
(cid:78)2(cid:79)(cid:113)(cid:10) =
−
(
4
)(
+
)=
1+
(cid:64)
𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1
+1 𝑎 = − ( 𝑎− 1 1 )( 1 𝑎+ )= 𝑎−1 1 (cid:64) 𝑎+ 𝑎−1
1 1
𝑎+ − 𝑎 𝑎+ + 𝑎
𝑎 + − 1+ 𝑎 > + 𝑎+ + 𝑎 >0(cid:64) 𝑎+ + 𝑎
∵ 𝑎1
<
𝑎 1 𝑎(cid:140) 𝑎−1
1
∴ 𝑎+ + + 1 𝑎 𝑎 < + 𝑎−1 (cid:140)
∴(cid:78)3𝑎(cid:79)(cid:113)(cid:10)− 𝑎 +4𝑎− 𝑎−1+1 0(cid:64)
1 ∵2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥
(cid:64)
2
∴𝑥≥ = − +4 +1=( 4 1)( 4 1)= 3 (cid:64)
4 1 4 1
2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ − 2𝑥+
∵𝑦 2 1 𝑥 − 2𝑥 2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ + 2𝑥+
= (cid:90)(cid:64) +4+ +1(cid:46)(cid:36)(cid:138)(cid:53) 3(cid:64)
2
∴𝑥 − 2𝑥 2𝑥 3
= +4 +1(cid:33)(cid:36)(cid:288)(cid:53)(cid:97) = 3(cid:73)
3
∴𝑦 2𝑥 − 2𝑥
【题型6 二次根式的乘除运算】
(cid:15)(cid:74)6(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:214)(cid:325)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:133)(cid:217)(cid:266)(cid:51)(cid:189)(cid:190)(cid:33)(cid:139)(cid:78) (cid:79)
A(cid:73)6÷ 2 × 3=3 B(cid:73) ( )×( )= ×
3
−9 −4 −9 −4
C(cid:73) + = + D(cid:73) ( ) =( 1.7)
2
2 2 2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)𝑎D 𝑏 𝑎 𝑏 −1.7
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:168)(cid:169)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:44)(cid:123)(cid:220)(cid:251)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)A(cid:39)6÷ 2 × 3=6× 3× 3=9(cid:64)(cid:271)(cid:164)(cid:94)(cid:247)(cid:248)(cid:64)(cid:124)(cid:246)(cid:263)(cid:23)(cid:156)(cid:140)
3 2
教
B(cid:39)辅( )×( ) × (cid:64)(cid:238)(cid:66)(cid:65)(cid:9)(cid:338)(cid:323)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:71)(cid:139)(cid:109)(cid:71)(cid:64)(cid:124)(cid:246)(cid:263)(cid:23)(cid:156)(cid:140)
资
源
，
关
C(cid:39) −9 + −4 + ≠ (cid:64)−(cid:124)9注 (cid:246)(cid:263)公 −(cid:23)4(cid:156)(cid:140)
众
号
2 2 ★ 全
D(cid:39) 𝑎 ( 𝑏 ) ≠ = 𝑎 ( 1 𝑏 .7) =1.7(cid:64)(cid:246)(cid:263)(cid:23)(cid:156)(cid:140) 科 A A
+
2
2
−1.7(cid:163)(cid:164)(cid:10)D(cid:73)
6
(cid:15)(cid:172)(cid:28)6-1(cid:22)(cid:78)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)·(cid:240)(cid:241)·(cid:135)(cid:180)(cid:96)(cid:339)(cid:79)(cid:266)(cid:51) 15÷4 3× (cid:33)(cid:160)(cid:161)(cid:139)(cid:78)(cid:250)(cid:250)(cid:79)
5
A(cid:73)1 B(cid:73)3 5 C(cid:73) 1 6 D(cid:73)3
4 4
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)C
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:326)(cid:340)(cid:117)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:111)(cid:112)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:271)(cid:28)= 5× 6
4 5
= 1 6(cid:73)
4
(cid:163)(cid:164)(cid:10)C(cid:73)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:262)(cid:263)(cid:121)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:139)(cid:168)(cid:169)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:117)
(cid:50)(cid:51)(cid:326)(cid:340)(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)6-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:252)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:176)(cid:177)(cid:341)(cid:267)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:266)(cid:51)(cid:10)
1
(1) 3 20+ 45 × 5(cid:140)
5
−
(2) 3 5 ÷ 4 (cid:140)
5 6 15 2
𝑏
2 3
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
(3)(cid:237)(cid:192) =5 +1(cid:64) =3 +3(cid:64) = + (cid:64)A(cid:39)B(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:127) + = (cid:64)(cid:52) (cid:73)
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)𝐴(1)442𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 10𝑥 3𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 2𝑦−𝑥
(2) 15
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(3)14
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:121)(cid:48)(cid:37)(cid:39)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:65)(cid:192)(cid:322)(cid:165)(cid:64)(cid:342)
(cid:343)(cid:50)(cid:55)(cid:85)(cid:3)(cid:182)(cid:183)(cid:117)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:78)1(cid:79)(cid:110)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
(cid:78)2(cid:79)(cid:110)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:182)(cid:183)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:30)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:140)
(cid:78)3(cid:79)(cid:27)(cid:155)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:219)(cid:157)(cid:80)(cid:118) +1= +3(cid:64)(cid:80)(cid:118)(cid:10) =2(cid:64)(cid:111)(cid:184)(cid:80)(cid:118) =5 5(cid:39) =3 5(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:52)(cid:158)
2𝑥 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵
=8 5= 320(cid:64)(cid:333)(cid:184)(cid:80)(cid:118) + =320(cid:64)(cid:111)(cid:184)(cid:80)(cid:118) =100(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:122)x(cid:64)y(cid:33)(cid:53)(cid:264)(cid:265) (cid:98)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
2
教 𝐶 辅 10𝑥 3𝑦 𝑦 2𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22) 资 (cid:78)1源(cid:79)(cid:113)(cid:10) 3 20+ 45 1 × 5
， 关 5
注
公
5 −众
号
= 6 5+3 5 × 5 ★
5 全 科
A
A
+
−44 5
= × 5
5
=44(cid:73)
(cid:78)2(cid:79)= 3 5 ÷ 4
5 6 15 2
2 3 𝑏
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
3 5 4
= × ÷
5 6 15 2
2 3 𝑏
− 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷ ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
1 15 𝑎
= × ×
2 4
4 3 𝑎
−15 𝑎 𝑏 2
= 𝑏
8
5
− 𝑎 𝑏
= 15 (cid:73)
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(cid:78)3(cid:79)(cid:113)(cid:10) A(cid:39)B(cid:97)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)
+1=∵ +3(cid:64)(cid:80)(cid:118)(cid:10) =2(cid:64)
∴2𝑥=5 5(cid:39)𝑥 =3 5(cid:64) 𝑥
∴𝐴+ = (cid:64)𝐵
∵𝐴=𝐵8 5𝐶= 320(cid:64)
∴𝐶
= + (cid:64)
∵𝐶 + 10𝑥 =3 3 2 𝑦 0(cid:64)
∴1200𝑥+ 3𝑦=320(cid:64)
∴(cid:113)(cid:118)(cid:10)3𝑦=100(cid:64)
𝑦
= 2× 2 196=14(cid:64)
2 2
∴ 2𝑦−𝑥 100− −
(cid:33)(cid:53)(cid:97)14(cid:73)
2
教 ∴(cid:15)(cid:172) 2𝑦 (cid:28) −𝑥 6-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:282)(cid:214)(cid:344)(cid:345)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:346)(cid:62)(cid:139)(cid:149)(cid:260)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:64)(cid:91)(cid:92)(cid:346)(cid:62)(cid:64)(cid:289)(cid:68)(cid:351)(cid:158)(cid:75)(cid:352)(cid:213)(cid:353)(cid:33)
辅
资
源
，
(cid:62)(cid:354)(cid:64)(cid:186)(cid:141)(cid:62)(cid:354)(cid:98)(cid:355)(cid:356)关(cid:39)(cid:357)(cid:356)(cid:167)(cid:137)(cid:358)(cid:359)(cid:62)(cid:356)(cid:193)(cid:33)(cid:281)(cid:71)(cid:85)(cid:29)(cid:33)(cid:160)(cid:161)(cid:332)(cid:85)(cid:65)(cid:64)(cid:57)( + ) + (cid:33)(cid:53)(cid:97) (cid:73)
注
公
众
号
★ 全 𝐴 𝐵 ⋅𝐷 𝐶
5 2 科
A
A
+
𝐴 𝐵5 10
𝐶
2 10
𝐷
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)12+ 5/ 5+12
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:110)(cid:27)(cid:155)(cid:346)(cid:62)(cid:360)(cid:57)(cid:117)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:262)(cid:263)(cid:50)(cid:51)(cid:44)(cid:123)(cid:52)(cid:118)A(cid:39)B(cid:39)C(cid:39)D(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:264)
(cid:53)(cid:52)(cid:113)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) (cid:62)(cid:354)(cid:98)(cid:355)(cid:356)(cid:39)(cid:357)(cid:356)(cid:167)(cid:137)(cid:358)(cid:359)(cid:62)(cid:356)(cid:193)(cid:33)(cid:281)(cid:71)(cid:85)(cid:29)(cid:33)(cid:160)(cid:161)(cid:332)(cid:85)(cid:65)(cid:64)
= 2× 10×5∵2=2 5(cid:64)
5× 2
∴𝐴
= 2× 10×5 2=1(cid:64)
10× 10
𝐵
= 2× 10×5 2=2(cid:64)
5× 10
𝐶
= 2× 10×5 2= 5(cid:64)
10× 2
𝐷
( + ) +
=∴ 𝐴2 5𝐵+⋅1𝐷 ×𝐶5+2
=10+ 5+2
=12+ 5(cid:73)
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10)12+ 5(cid:73)
【题型7 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:74)7(cid:22)(cid:237)(cid:192) 4+ 9+ = (cid:64)(cid:57) 4+ + 9+ (cid:33)(cid:53)(cid:97) (cid:73)
2 2 2 2
5 𝑥 − 𝑥 −4 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)
4
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:27)(cid:155) 4+ 9+ (cid:121) 4+ + 9+ (cid:42)(cid:97)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:52)(cid:118)
2 2 2 2
𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥 5
4+ + 9+ 4+ 9+ = (cid:64)(cid:72)(cid:80)(cid:52)(cid:118) 4+ + 9+ = (cid:73)
4
2 2 2 2 2 2
(cid:15)(cid:162)(cid:113)𝑥(cid:22)(cid:113)(cid:10) 𝑥 4+ + 𝑥 9 − + 𝑥 4+ −5 9+ =(4+ 𝑥 ) (9+ 𝑥 )=4+ = (cid:64)
2 2 2 2 2 2 2 2
4+ 9+∵ = 𝑥(cid:64) 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 −9−𝑥 −5
2 2
4𝑥+− + 9𝑥+ −4×( )= (cid:64)
教 2 2
辅
∴ 资𝑥 𝑥 5 −4 −5
4+ +源9+ = (cid:64)
， 关4
2 2 注 公
∴ 𝑥 𝑥 众
5 号
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10) (cid:73) ★
全
4 科
A
A
+(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:167)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)7-1(cid:22)(cid:78)23-24(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:176)(cid:177)(cid:361)(cid:216)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:237)(cid:192) 1 =2(cid:64)(cid:57) + 1 (cid:53)(cid:97)(cid:78) (cid:79)
A(cid:73)2 2 B(cid:73)±2 2 C(cid:73)2 3 𝑎− 𝑎 D(cid:73)± 𝑎 2 3 𝑎
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)A
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:27)(cid:155) 1 =2(cid:81)(cid:158) + 1 >0(cid:64)(cid:115)(cid:95) + 1 (cid:48)(cid:97)
𝑎− 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1
+4(cid:64)(cid:36)(cid:199)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:73)(cid:168)(cid:169)(cid:85)(cid:54)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:39)(cid:182)(cid:183)(cid:167)(cid:7)(cid:28)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
2
(cid:15)(cid:162) 𝑎 (cid:113) − (cid:22) 𝑎 (cid:113)(cid:10) 1 =2(cid:64)
0(cid:127) 0 ∵ (cid:64) 𝑎− 𝑎
∴𝑎≥>0(cid:64)𝑎≠
∴𝑎 >0(cid:64)
∴ 𝑎 + 1 >0(cid:64)
∴ 𝑎 𝑎
+ 1 = + 1 = 1 +4= 2 +4=2 2(cid:64)
2 2
2
∴ 𝑎 1𝑎 𝑎 𝑎 𝑎− 𝑎
+ (cid:53)(cid:97)2 2(cid:73)
∴ (cid:163)(cid:164) 𝑎 (cid:10)A 𝑎(cid:73)
(cid:15)(cid:172)(cid:28)7-2(cid:22)(cid:110)(cid:48)(cid:37)(cid:64)(cid:115)(cid:52)(cid:53)(cid:10) ( ÷ 1 )(cid:64)(cid:218)(cid:98)(cid:281)(cid:71)x(cid:39)y(cid:362)(cid:363) = + +2(cid:73)
𝑥 𝑦
2𝑥⋅ 𝑦⋅ 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥−3 6−2𝑥
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) (cid:64)2 3
2𝑥𝑦
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:110)(cid:27)(cid:155)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:158)x(cid:64)y(cid:33)(cid:53)(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:122)(cid:213)(cid:351)(cid:264)(cid:71)(cid:28)(cid:48)(cid:37)(cid:199)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:51)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:238)(cid:23)(cid:156)(cid:118) (cid:64)(cid:113)(cid:118) =3(cid:64)(cid:66)(cid:139) =2(cid:64)
𝑥−3⩾0
(cid:271)(cid:28)= 2 6−2𝑥⩾0 𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦
∴ 𝑦 ⋅ 𝑥
2
= = .
2 2
𝑥 𝑦
(cid:271)(cid:28)𝑦
=
⋅
2
𝑥
×3×
2
2
𝑥 𝑦
=2 3.
∴(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:64)(cid:107)(cid:167)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:48)(cid:37)(cid:52)(cid:53)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:50)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:139)
教
(cid:113)(cid:152)辅(cid:170)(cid:23)资(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
源
，
关
注
公
(cid:15)(cid:172)(cid:28)7-3(cid:22)(cid:229)(cid:364)(cid:59)(cid:189)(cid:71)a(cid:64)b(cid:64)c众(cid:362)(cid:363)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:365)0(cid:64)(cid:57) (cid:33)(cid:53)(cid:139) (cid:73)
号
★
全 𝑎+ 𝑏
科
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)1 𝑎𝑏 A𝑏𝑐A + 𝑐(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:27)(cid:155)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:28)(cid:111)(cid:112)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:94)(cid:95)(cid:271)(cid:28)(cid:369)(cid:31)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:28)(cid:64)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:158)(cid:152)(cid:153)(cid:189)(cid:71)(cid:73)
(cid:15)(cid:113)(cid:152)(cid:22)(cid:113)(cid:10)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:365)0(cid:64)
+4 + ( 𝑎+𝑏2 + 𝑏)𝑐=0(cid:64)
𝑎 𝑎𝑏 4𝑏− 𝑏 𝑏𝑐 𝑐
+2 = + (cid:64)
2 2
a(cid:64)𝑎 b(cid:64)c𝑏(cid:139)(cid:189)(cid:71)(cid:64)𝑏 𝑐
∵ +2 = + (cid:64)
∴ 𝑎+ 𝑏= 𝑏(cid:64) 𝑐
∴ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 1(cid:73)
𝑎+ 𝑏 𝑐
∴ (cid:163)(cid:152)𝑐(cid:153)(cid:97)(cid:10)𝑐1(cid:73)
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:28)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:64)(cid:168)(cid:169)(cid:370)(cid:62)(cid:56)(cid:64)(cid:117)(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:7)(cid:28)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
【题型8 实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:74)8(cid:22)(cid:197)(cid:281)(cid:71)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:10) (cid:73)
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)( +2 3)( 3)𝑥 −6𝑥−3
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:27)𝑥−(cid:155)3(cid:239)(cid:240)(cid:61)(cid:62)(cid:7)𝑥−(cid:28)3−(cid:117)2(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:52)(cid:113)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)
2
= + 𝑥 −6𝑥−3
2
=𝑥 −6𝑥 9−9−3
2
(𝑥−3) −12
= (2 3)
2
2
=((𝑥−3)+−2 3)( 3)(cid:73)
𝑥−3 𝑥−3−2
(cid:15)(cid:165)(cid:166)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:197)(cid:281)(cid:71)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:191)(cid:371)(cid:7)(cid:28)(cid:64)(cid:103)(cid:95)12(cid:104)(cid:31)(2 3) (cid:139)(cid:116)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
2
(cid:15)(cid:172)(cid:28)8-1(cid:22)(cid:78)2025·(cid:225)(cid:372)(cid:373)(cid:216)·(cid:364)(cid:315)(cid:79)(cid:197)(cid:281)(cid:71)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:10)2 = (cid:73)
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)2( +2 2)( 2) 𝑎 −16
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)𝑎(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:41)𝑎−(cid:28)2(cid:44)(cid:113)(cid:64)(cid:374)(cid:263)(cid:50)(cid:55)(cid:375)(cid:7)(cid:41)(cid:28)(cid:56)(cid:121)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:64)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:33)(cid:131)(cid:132)(cid:149)(cid:150)(cid:139)(cid:10)(cid:110)(cid:147)(cid:376)(cid:375)(cid:7)
(cid:41)(cid:28)(cid:56)(cid:64)(cid:218)(cid:26)(cid:147)(cid:376)(cid:7)(cid:28)(cid:56)(cid:64)(cid:128)(cid:139)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:33)(cid:58)(cid:260)(cid:377)(cid:170)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:73)
教(cid:110)(cid:375)(cid:7)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:115)(cid:116)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:111)(cid:112)(cid:44)(cid:113)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
辅
资
源
，
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)2 关=2( )=2( +2 2)( 2)
注
公
众
2 2 号
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10)2( 𝑎+−2126)( 𝑎 2−)8(cid:73) 𝑎 ★ 全𝑎−2
科
A
A
+
𝑎 𝑎−2(cid:15)(cid:172)(cid:28)8-2(cid:22)(cid:78)2025·(cid:225)(cid:372)(cid:378)(cid:379)·(cid:149)(cid:315)(cid:79)(cid:197)(cid:281)(cid:71)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:10)4 = (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)4 + 6 6 𝑥 −6𝑦
2 2
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)𝑥 (cid:147)(cid:187)𝑦(cid:188)(cid:41)𝑥−(cid:28)(cid:44)𝑦(cid:113)(cid:33)(cid:62)(cid:56)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:375)(cid:7)(cid:41)(cid:28)(cid:56)(cid:117)(cid:7)(cid:28)(cid:56)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:139)(cid:170)(cid:23)(cid:33)(cid:113)(cid:23)
(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:110)(cid:375)(cid:380)(cid:7)(cid:41)(cid:28)(cid:64)(cid:305)(cid:199)(cid:55)(cid:61)(cid:62)(cid:272)(cid:7)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)4 =4 3 =4 + 6 6 (cid:64)
2 2 2
2 2 2 2
𝑥 −6𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10)4 + 6 6 (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:172)(cid:28)8-3(cid:22)(cid:78)𝑥 2024· 𝑦(cid:193)(cid:267) 𝑥 (cid:381) − (cid:382)· 𝑦 (cid:364)(cid:315)(cid:79)(cid:197)(cid:281)(cid:71)(cid:276)(cid:277)(cid:38)(cid:44)(cid:113)(cid:41)(cid:28)(cid:64) +1= (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22) 3 5 5 𝑥 𝑦 −3𝑥𝑦
2 2
+ 3−
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170) 𝑥 (cid:23) 𝑦− (cid:147)(cid:187)(cid:41)(cid:28)𝑥𝑦(cid:44)−(cid:113)(cid:64)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:64)(cid:191)(cid:212)(cid:168)(cid:169)(cid:7)(cid:28)(cid:56)(cid:111)(cid:112)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:139)(cid:113)(cid:297)(cid:170)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)(cid:27)(cid:155)(cid:23)
(cid:156)(cid:64)(cid:116)(cid:55)(cid:383)(cid:384)(cid:85)(cid:29)(cid:41)(cid:28)(cid:44)(cid:113)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10) +1
2 2
𝑥 𝑦3−+3𝑥5𝑦 5
=( ) + ×
2 2
2 3−
𝑥𝑦 −3𝑥𝑦
= 3 5 5 (cid:73)
2 2
+ 3−
𝑥𝑦− 𝑥𝑦−
【题型9 二次根式乘除的应用】
(cid:15)(cid:74)9(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:82)(cid:177)(cid:82)(cid:216)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:75)(cid:352)(cid:64)(cid:46)(cid:149)(cid:385)(cid:323)(cid:386)(cid:97) 6 3cm (cid:33)(cid:189)(cid:62)(cid:105)(cid:387)(cid:388)(cid:64)(cid:245)(cid:95)(cid:106)(cid:387)(cid:388)(cid:33)(cid:20)
(cid:59)(cid:358)(cid:389)(cid:335)(cid:64)(cid:21)(cid:96)(cid:149)(cid:59)(cid:46)(cid:390)(cid:378)(cid:391)(cid:33)(cid:386)(cid:62)(cid:313)(cid:392)(cid:49)(cid:64)(cid:389)(cid:335)(cid:33)(cid:20)(cid:59)(cid:358)(cid:139)(cid:88)(cid:63)(cid:85)(cid:65)(cid:33)(cid:138)(cid:189)(cid:62)(cid:105)(cid:64)(cid:393)(cid:59)(cid:138)(cid:189)(cid:62)(cid:105)(cid:33)(cid:323)(cid:386)
(cid:97) 3cm(cid:73)(cid:52)(cid:389)(cid:335)(cid:20)(cid:59)(cid:358)(cid:199)(cid:64)(cid:21)(cid:96)(cid:386)(cid:62)(cid:313)(cid:392)(cid:49)(cid:33)(cid:387)(cid:388)(cid:33)(cid:88)(cid:63)(cid:73)
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)96cm
教 2
(cid:15)(cid:44)辅(cid:154)(cid:22)资(cid:170)(cid:23)(cid:185)(cid:186)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:33)(cid:54)(cid:55)(cid:64)(cid:394)(cid:190)(cid:33)(cid:266)(cid:51)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)(cid:116)(cid:55)(cid:288)(cid:189)(cid:62)(cid:105)(cid:33)(cid:88)(cid:63)(cid:368)(cid:142)(cid:20)(cid:59)(cid:138)
源
，
关
注
(cid:189)(cid:62)(cid:105)(cid:33)(cid:88)(cid:63)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:158)(cid:152)(cid:153)(cid:140)公
众
号
★
全
科
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:238)(cid:23)(cid:156)(cid:64)(cid:118) (6 3) ×( 3) =96(cmA) A
+
2 2
2
−4(cid:163)(cid:389)(cid:335)(cid:20)(cid:59)(cid:358)(cid:199)(cid:64)(cid:21)(cid:96)(cid:386)(cid:62)(cid:313)(cid:392)(cid:49)(cid:33)(cid:387)(cid:388)(cid:33)(cid:88)(cid:63)(cid:97)96cm
2
(cid:15)(cid:172)(cid:28)9-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:193)·(cid:395)(cid:216)(cid:396)(cid:397)·(cid:180)(cid:181)(cid:79)“(cid:267)(cid:398)(cid:399)(cid:225)(cid:400)(cid:64)(cid:401)(cid:402)(cid:288)(cid:403)(cid:215)(cid:73)”(cid:267)(cid:403)(cid:33)(cid:288)(cid:138)(cid:121)(cid:401)(cid:404)(cid:117)(cid:401)(cid:405)(cid:46)(cid:294)
(cid:288)(cid:33)(cid:3)(cid:89)(cid:64)(cid:55)(cid:401)(cid:404)(cid:406)(cid:266)(cid:401)(cid:405)(cid:33)(cid:407)(cid:55)(cid:7)(cid:28)(cid:97) = (cid:64)(cid:218)(cid:98) (cid:97)(cid:401)(cid:405)(kN m )(cid:64)v(cid:97)(cid:401)(cid:404)(m/s)(cid:64)(cid:86)(cid:401)(cid:405)(cid:97)
16020
𝑣
2
𝑤𝑝 𝑤𝑝
0.25kN/m (cid:90)(cid:64)(cid:406)(cid:266)(cid:401)(cid:404)(cid:97) m s(cid:73)
2
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)20
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:188)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:29)(cid:56)(cid:50)(cid:51)(cid:64)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:98)(cid:33)(cid:407)(cid:55)(cid:7)(cid:28)(cid:408)(cid:353)(cid:158)(cid:401)(cid:404)(cid:33)(cid:408)(cid:409)(cid:28)(cid:64)(cid:52)(cid:113)(cid:72)(cid:80)(cid:118)(cid:158)(cid:152)(cid:153)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113)(cid:10)(cid:238)(cid:23)(cid:98)(cid:351)(cid:158)(cid:33)(cid:7)(cid:28)(cid:80)(cid:192)(cid:64)
(cid:86)(cid:401)(cid:405)(cid:97)0.25kN/m (cid:90)(cid:64)(cid:401)(cid:404)(cid:97) = 1600×0.25=20(m/s)(cid:64)
2
(cid:163)(cid:152)(cid:153)(cid:97)(cid:10)20(cid:73) 𝑣
(cid:15)(cid:172)(cid:28)9-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:413)·(cid:180)(cid:98)(cid:79)(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:139)(cid:233)(cid:414)(cid:415)(cid:333)(cid:70)(cid:419)(cid:416)(cid:415)(cid:83)(cid:239)(cid:240)(cid:420)(cid:421)(cid:213)(cid:112)(cid:422)(cid:33)(cid:417)(cid:418)(cid:64)
(cid:67)(cid:423)(cid:54)(cid:188)(cid:414)(cid:415)(cid:33)(cid:21)(cid:424)(cid:182)(cid:103)(cid:117)(cid:112)(cid:422)(cid:234)(cid:240)(cid:182)(cid:64)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:425)(cid:426)(cid:64)(cid:209)(cid:210)(cid:414)(cid:415)(cid:33)(cid:21)(cid:424)(cid:182)(cid:103)(cid:425)(cid:295)(cid:64)(cid:112)(cid:422)(cid:425)(cid:234)(cid:240)(cid:64)(cid:416)(cid:415)(cid:417)
(cid:418)(cid:121)(cid:112)(cid:422)(cid:404)(cid:427)(cid:301)(cid:302)(cid:33)(cid:3)(cid:89)(cid:80)(cid:107)(cid:408)(cid:353)(cid:97)(cid:7)(cid:28) =16 (cid:64)(cid:218)(cid:98)v(cid:408)(cid:353)(cid:415)(cid:428)(cid:112)(cid:422)(cid:404)(cid:427)(cid:78)(cid:93)(cid:324)km/h(cid:79)(cid:64) (cid:408)(cid:353)(cid:416)(cid:415)
(cid:199)(cid:415)(cid:429)(cid:430)(cid:203)(cid:33)(cid:417)(cid:418)(cid:78)(cid:93)(cid:324)m(cid:79)f(cid:408)(cid:353)(cid:424)(cid:431)(cid:432)𝑣(cid:41)(cid:71)(cid:64)(cid:27) 𝑑 (cid:155) 𝑓 (cid:289)(cid:241)(cid:241)(cid:433)(cid:434)(cid:394)(cid:64)100(cid:7)(cid:255)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:197)42(cid:435)(cid:107)𝑑(cid:38)(cid:139)(cid:92)(cid:287)
(cid:436)(cid:437)(cid:33)(cid:64)(cid:78)100(cid:7)(cid:255)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:408)(cid:353)(cid:414)(cid:415)(cid:112)(cid:422)(cid:404)(cid:427)100km/h(cid:33)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:79)(cid:64)(cid:155)(cid:438)(cid:439)(cid:64)(cid:306)(cid:414)(cid:415)(cid:33)(cid:424)(cid:431)(cid:432)(cid:41)(cid:71)
=1.25(cid:64)(cid:440)(cid:220)(cid:251)(cid:106)(cid:414)(cid:415)(cid:33)100(cid:7)(cid:255)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:139)(cid:441)(cid:246)(cid:263)(cid:289)(cid:241)(cid:33)(cid:436)(cid:437)(cid:434)(cid:394)(cid:73)
(cid:15)𝑓 (cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:106)(cid:414)(cid:415)(cid:33)100(cid:7)(cid:255)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:246)(cid:263)(cid:289)(cid:241)(cid:33)(cid:436)(cid:437)(cid:434)(cid:394)
(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)(cid:170)(cid:23)(cid:147)(cid:187)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:281)(cid:442)(cid:54)(cid:55)(cid:64)(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:52)(cid:158)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:139)(cid:113)(cid:23)(cid:33)(cid:3)(cid:171)(cid:73)
(cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:64)(cid:264)(cid:265)(cid:71)(cid:155)(cid:266)(cid:51)(cid:72)(cid:80)(cid:73)
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)(cid:113) (cid:27)(cid:155)(cid:23)(cid:156)(cid:118)100=16 (cid:64)
125∶ 1.25𝑑
(cid:113)(cid:118) = (cid:64)
4
𝑑
125 <42(cid:64)
4
∵
(cid:106)(cid:414)(cid:415)(cid:33)100(cid:7)(cid:255)(cid:416)(cid:415)(cid:417)(cid:418)(cid:246)(cid:263)(cid:289)(cid:241)(cid:33)(cid:436)(cid:437)(cid:434)(cid:394)(cid:73)
(cid:15)∴(cid:172)(cid:28)9-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)·(cid:256)(cid:257)(cid:288)(cid:443)·(cid:227)(cid:228)(cid:212)(cid:198)(cid:79)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:448)(cid:218)(cid:449)(cid:450)(cid:64)(cid:139)(cid:289)(cid:68)(cid:101)(cid:102)(cid:451)(cid:136)(cid:33)(cid:112)(cid:97)(cid:73)(cid:155)(cid:452)(cid:453)(cid:64)
(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:133)(cid:454)(cid:33)(cid:90)(cid:302)t(cid:78)(cid:93)(cid:324)(cid:10)s(cid:79)(cid:117)(cid:444)(cid:427)h(cid:78)(cid:93)(cid:324)(cid:10)m(cid:79)(cid:455)(cid:329)(cid:362)(cid:363)(cid:7)(cid:28) = (cid:78)(cid:124)(cid:147)(cid:376)(cid:401)(cid:404)(cid:33)(cid:456)(cid:457)(cid:79)(cid:73)(cid:458)(cid:333)
5
ℎ
𝑡
教 m辅)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:83)(cid:454)(cid:151)(cid:213)(cid:459)(cid:90)(cid:302)(cid:97) (cid:64)(cid:333) m)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:83)(cid:454)(cid:151)(cid:213)(cid:459)(cid:90)(cid:302)(cid:97) (cid:64)(cid:57) (cid:33)(cid:53)(cid:97)(cid:78) (cid:79)
资
源
，
𝑡2
𝑎( 关 注 𝑡1 2𝑎( 𝑡2 𝑡1
公 2 2 5
A(cid:73) 2 B(cid:73) 5 众 C(cid:73) D(cid:73)
号 ★ 2 5
全
科
A
(cid:15)(cid:152)(cid:153)(cid:22)A A +(cid:15)(cid:44)(cid:154)(cid:22)本题考查了二次根式的应用，根据题意求出 、 ，再计算 与 的比值即可得解．正确进行计算
是解此题的关键． 𝑡1 𝑡2 𝑡2 𝑡1
(cid:15)(cid:162)(cid:113)(cid:22)解：由题意得： = ÷ = 5 = 2，
𝑡2 2 5 𝑎 𝑎 5 2 5 𝑎
故选：A．
𝑡1 ⋅𝑎
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
