文档文本内容
专题 21.3 二次根式的加减（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:21)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:21)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:37)(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:21)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:39)(cid:41)(cid:21)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:21)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:21)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:53)(cid:54)(cid:21)....................................................................................................................................6
知识点1 同类二次根式
(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:63)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:68)(cid:69)(cid:10)
(cid:70)1(cid:71)(cid:45)(cid:64)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:73)
(cid:70)2(cid:71)(cid:37)(cid:38)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:58)(cid:74)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:62)(cid:24)(cid:58)(cid:75)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
(cid:76) 3(cid:77) 27(cid:58)(cid:78)(cid:79) 27=3 3(cid:58)(cid:80)(cid:81) 3(cid:77) 27(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
知识点2 二次根式的加减运算
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:36)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:76)(cid:90)(cid:68)(cid:69)(cid:91)(cid:92)(cid:10)知识点3 二次根式的混合运算
1. (cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:75)
(cid:77)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:87)(cid:95)(cid:58)(cid:96)(cid:34)(cid:97)(cid:61)(cid:98)(cid:60)(cid:61)(cid:58)(cid:99)(cid:34)(cid:97)(cid:100)(cid:58)(cid:72)(cid:57)(cid:34)(cid:31)(cid:32)(cid:58)(cid:101)(cid:102)(cid:9)(cid:30)(cid:96)(cid:34)(cid:102)(cid:9)(cid:103)(cid:104)(cid:30)(cid:65)
2. (cid:84)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:105)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:50)(cid:106)(cid:7)(cid:29)(cid:24)(cid:95)(cid:107)(cid:54)(cid:79)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:65)
3. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:110)(cid:111)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:112)(cid:40)(cid:29)(cid:30)(cid:113)(cid:29)(cid:65)
【题型1 同类二次根式】
(cid:15)(cid:114)1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:74)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) +6(cid:77) + (cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)
3𝑎−𝑏
(cid:127)(cid:128)(cid:70) (cid:71) 2𝑎−𝑏 4𝑎 3𝑏
A(cid:65) =2(cid:58) =1 B(cid:65) =1(cid:58) = C(cid:65) =1(cid:58) =0 D(cid:65) =1(cid:58) =1
(cid:15)(cid:129)(cid:29)𝑎1-1(cid:21)(cid:70)𝑏24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)𝑎(cid:90)·(cid:131)(cid:132)𝑏(cid:133)(cid:134)−·1(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)𝑎(cid:71)(cid:76)(cid:109)(cid:72)𝑏 (cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) 𝑎 (cid:77)2𝑏7(cid:135)(cid:136)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:86)(cid:58)(cid:75) (cid:30)
2
(cid:48)(cid:64)(cid:70) (cid:71) 𝑎−2 𝑎
A(cid:65)7 B(cid:65)16 C(cid:65)25 D(cid:65)81
(cid:15)(cid:129)(cid:29)1-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:137)(cid:138)(cid:138)(cid:139)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:74) (cid:77) 12(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:58)(cid:141)(cid:110)(cid:142)(cid:87)(cid:143)(cid:144)(cid:36)(cid:145)(cid:146)(cid:30)(cid:72)(cid:46)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:64) (cid:65) 𝑎
(cid:15)(cid:129)(cid:29)𝑎1-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:147)(cid:148)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:90)(cid:149)(cid:150)(cid:29)(cid:55)(cid:56)(cid:45)(cid:46)(cid:57)(cid:77) (cid:30)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:41)(cid:151)(cid:62)(cid:24)(cid:30)
3
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:70) (cid:71) − −27𝑥
1
A(cid:65) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65) 27
3 273 9
−𝑥 −𝑥
3 3
−3𝑥 𝑥
【题型2 二次根式的加减运算】
(cid:15)(cid:114)2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:139)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:45)(cid:46)(cid:10) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
8 11 11 14 14 17 17 20 20 23
1 + 1 + 1 (cid:108)(cid:109)(cid:82)(cid:70) (cid:71) + + + + +
23 26 26 29 29 32
+ + +
2 2
A(cid:65)1 B(cid:65) C(cid:65)2 2 D(cid:65)4 2
3
(cid:15)(cid:129)(cid:29)2-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:139)(cid:152)(cid:155)(cid:156)(cid:122)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:90)(cid:149)(cid:157)(cid:29)(cid:158)(cid:159)(cid:30)(cid:82)(cid:70) (cid:71)
A(cid:65)2 3+3 2=5 5 B(cid:65) 9 1 =3 1
4 2
C(cid:65) ( = D(cid:65) 3+ 5 3+ 5 =2
2
(cid:15)(cid:129)(cid:29) 2-2 π (cid:21) −3 (cid:70) .14 23 ) -24 (cid:130)3.1(cid:116)4−(cid:117)π(cid:90)·(cid:160)(cid:154)(cid:161)(cid:132)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:162)(cid:163)(cid:49)(cid:164)(cid:33)−(cid:34)(cid:144)(cid:9)“ ”(cid:30)(cid:165)(cid:166)(cid:82)(cid:10)(cid:167) > (cid:168)(cid:58)a
𝑎 𝑏
= + (cid:73) (cid:167) (cid:168)(cid:58) a = (cid:58)(cid:169)(cid:170)(cid:33)(cid:34)(cid:144)(cid:9)(cid:30)(cid:165)(cid:166)(cid:151)(cid:129)(cid:58)(cid:171)(cid:34)(cid:10)( 2 3) (2 2 3)=
𝑏 𝑎 𝑏 𝑎≤𝑏 𝑏 𝑎−𝑏 −(cid:15)(cid:129)(cid:29)2-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:131)(cid:132)(cid:172)(cid:173)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:39)(cid:174)(cid:44)(cid:39)(cid:175)(cid:24)(cid:11)(cid:176)(cid:87)(cid:143)(cid:177)(cid:178)(cid:171)(cid:34)(cid:179)(cid:180)(cid:58)(cid:181)(cid:87)(cid:143)(cid:151)(cid:182)(cid:183)(cid:30)
(cid:184)(cid:185)(cid:105)(cid:186)(cid:187)(cid:119)(cid:143)(cid:39)(cid:178)(cid:58)(cid:39)(cid:178)(cid:118)(cid:43)(cid:188)(cid:189)(cid:101)(cid:87)(cid:143)(cid:41)(cid:65)(cid:190)(cid:191)(cid:184)(cid:185)(cid:105)(cid:177)(cid:192)(cid:39)(cid:178)(cid:58)(cid:74)(cid:177)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:178)(cid:58)(cid:196)(cid:32)(cid:197)(cid:178)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:73)
(cid:74)(cid:177)(cid:193)(cid:198)(cid:195)(cid:178)(cid:58)(cid:196)(cid:31)(cid:118)(cid:178)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:65)
(1)(cid:76)(cid:199)1(cid:58)(cid:74)(cid:39)(cid:174)(cid:177)(cid:193)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:143)(cid:39)(cid:178)(cid:58)(cid:141)(cid:171)(cid:34)(cid:142)(cid:108)(cid:109)(cid:73)
(2)(cid:76)(cid:199)2(cid:58)(cid:74)(cid:39)(cid:175)(cid:177)(cid:193)(cid:199)(cid:200)(cid:119)(cid:143)(cid:39)(cid:178)(cid:58)(cid:72)(cid:57)(cid:30)(cid:171)(cid:34)(cid:108)(cid:109)(cid:202)(cid:44) 48(cid:36)(cid:86)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:183)(cid:206)(cid:78)(cid:65)
【题型3 二次根式的混合运算】
(cid:15)(cid:114)3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:139)(cid:152)(cid:36)(cid:207)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:208)(cid:79)(cid:209)(cid:165)(cid:151)(cid:62)(cid:157)(cid:30)(cid:201)(cid:143)(cid:158)(cid:84)(cid:41)a(cid:58)b(cid:58)(cid:164)(cid:166)(cid:87)(cid:210)(cid:33)(cid:34)“※”(cid:76)
(cid:90)(cid:10) ※ = (cid:58)(cid:114)(cid:76)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:65)
𝑎+𝑏 +
(cid:70)1(cid:71)𝑎 3※ 𝑏 6= 𝑎 − 𝑏 (cid:73) 5−4
(cid:70)2(cid:71)( 3)※ 7※5 = (cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)2 3 − -1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:211)(cid:132)(cid:212)(cid:183)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:199)(cid:58)(cid:213)(cid:82)(cid:87)(cid:143)(cid:41)(cid:48)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:58)(cid:74)(cid:217)(cid:187)(cid:30)a(cid:48)(cid:64) 2(cid:58)(cid:75)(cid:217)(cid:142)
(cid:30)(cid:108)(cid:109)(cid:53)(cid:64) (cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)3-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:211)(cid:132)(cid:212)(cid:183)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:171)(cid:34)(cid:10)
1
(1) 27÷ 3 × 18+ 24
3
−
(2)(2 3+3 2)(2 3 2) 5
2
(cid:15)(cid:129)(cid:29)3-3(cid:21)(cid:70)24-25−(cid:130)3(cid:116)(cid:117)−(cid:90)·(cid:218)−(cid:219)1(cid:220)(cid:221)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:222)(cid:223) = 3
1 𝑥 2−
(1)(cid:171)(cid:34)(cid:10) =________(cid:58) =________(cid:73)
2
(2)(cid:47)(cid:224)(cid:41)𝑥(cid:29)(7+4 3) + 𝑥 (2+ 3) + 3 (cid:30)(cid:48)(cid:65)
2
【题型4 比较二次根 𝑥 式的大小】 𝑥 −1
1
(cid:15)(cid:114)4(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:181)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:22)“(cid:222)(cid:223) = (cid:58)(cid:47)2 +1(cid:30)(cid:48)”(cid:168)(cid:58)(cid:39)(cid:183)(cid:82)(cid:232)(cid:95)
2 3
2
(cid:43)(cid:233)(cid:77)(cid:229)(cid:234)(cid:30)(cid:10) 𝑎 + 𝑎 −8𝑎= 1 = 3 = 3(cid:58)
2 3 (2 3)( 3)
2−
∵ 𝑎 = + 3(cid:58)+ ( 2− ) = 2− 3(cid:58) +4=3(cid:58)
2 2
∴ 𝑎−2 −= (cid:58)∴ 𝑎2−2 +1=𝑎 2−(4𝑎 )+1=2×( )+1= (cid:65)
2 2 2
(cid:141)∴(cid:235)𝑎(cid:28)−(cid:236)4𝑎(cid:39)(cid:183)−(cid:30)1(cid:43)(cid:233)∴(cid:56)(cid:237)𝑎 (cid:58)−8(cid:229)𝑎(cid:230)(cid:76)(cid:90)(cid:231)(cid:22)𝑎 (cid:10)−4𝑎 −1 −1
2 2
(1)(cid:37)(cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:10) (cid:77) (cid:73)
13 11 15 13
(2)(cid:74) = 1 (cid:58)(cid:238) − ( + ) − =9(cid:58)(cid:47)a(cid:30)(cid:48)(cid:73)
2 2
2
𝑏 1+ 𝑎 1 2𝑏
(3)(cid:74) = (cid:58) = (cid:58)(cid:47)5 + +2 + +10(cid:30)(cid:48)(cid:65)
1 2 3 2 2
2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:29) 𝑐 4-1 +(cid:21)(cid:70)2 𝑑 4-25 +(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118) 𝑐 (cid:239) 4 (cid:240) 𝑐𝑑 (cid:241)·(cid:123) 𝑑 (cid:124)(cid:125)(cid:126) 2𝑐 (cid:71) −6 (cid:37) 𝑑 (cid:38)(cid:19)(cid:39)(cid:10)
1 1
(cid:70)1(cid:71) (cid:73)
5 5 6
(cid:70)2(cid:71)2− 3 − 5 2(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)2−4-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)−(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:147)(cid:148)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:54)(cid:201)(cid:210)(cid:61)(cid:83)(cid:37)(cid:38) 5+1(cid:77) 10(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)4-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:131)(cid:132)(cid:139)(cid:242)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:243)(cid:244)(cid:29)(cid:11)(cid:126)(cid:10)
(cid:245)(cid:22)(cid:246)(cid:63) (cid:247)(cid:61)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:84)(cid:41)(cid:30)(cid:19)(cid:39)
(cid:248)(cid:77)(cid:249)(cid:250) (cid:130)(cid:90)(cid:251)(cid:70)3(cid:71)(cid:39)(cid:252) (cid:253)(cid:140)(cid:10)2025(cid:116)××(cid:254)××(cid:253)
(cid:255)(cid:206)(cid:229)(cid:256) (cid:208)(cid:79)(cid:209)(cid:165)(cid:201)(cid:143)(cid:158)(cid:41)a(cid:58)b(cid:58)(cid:74) > (cid:58)(cid:75) > (cid:65)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:37)(cid:38)2 3(cid:44)3 2(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)(cid:229)(cid:10)(2 3) =12(cid:58)(3 2) =18(cid:58) 12<18(cid:58)
(cid:257)(cid:114)(cid:258)(cid:200) 2 2
2 3<3 2(cid:65) ∵
∴
(cid:70)1(cid:71)(cid:37)(cid:38)3 5(cid:44)5 3(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:73)
(cid:209)(cid:259)(cid:229)(cid:234)
(cid:70)2(cid:71)(cid:37)(cid:38) 6 2(cid:44) 5 3(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:65)
− −
【题型5 整数部分和小数】
(cid:15)(cid:114)5(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:131)(cid:219)(cid:260)(cid:164)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71) 11 (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)( 11+ )( +1)(cid:30)
(cid:48)(cid:64)(cid:70) (cid:71) −1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:65) 11+2 B(cid:65)2 C(cid:65)7 D(cid:65)5+2 11
(cid:15)(cid:129)(cid:29)5-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:265)(cid:171)(2 2 3) (cid:30)(cid:48)(cid:53)(cid:181)(cid:70) (cid:71)
2
−A(cid:65)1(cid:193)2(cid:266)(cid:267) B(cid:65)2(cid:193)3(cid:266)(cid:267) C(cid:65)5(cid:193)6(cid:266)(cid:267) D(cid:65)10(cid:193)11(cid:266)(cid:267)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)5-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:268)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:269)(cid:270)·(cid:140)(cid:271)(cid:71)(cid:84)(cid:41) 19 (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:75) + =(cid:70) (cid:71)
A(cid:65)2 19+5 B(cid:65)2 19+1 C(cid:65)2 −191 D𝑎(cid:65)2 19 𝑏 3𝑎 2𝑏
−1 1 −5
(cid:15)(cid:129)(cid:29)5-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:119)(cid:120)(cid:272)(cid:242)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:222)(cid:223) (cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:39)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:64) (cid:58)(cid:75) +2( 3
3
2
+ = (cid:65) 2− 𝑎 𝑏 𝑎
【
1
题
)𝑏
型
−26
二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:114)6(cid:21)(cid:70)23-24(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:122)(cid:17)(cid:273)(cid:175)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:222)(cid:223) = 5 3 (cid:58) = 5 3 (cid:58)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) + +19(cid:30)(cid:48)
5 3 5 3
− + 3 3
(cid:82)(cid:70) (cid:71) 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:65)6 B(cid:65)7 C(cid:65)8 D(cid:65)9
(cid:15)(cid:129)(cid:29)6-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:274)(cid:275)(cid:194)(cid:276)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:99)(cid:47)(cid:48)(cid:10)5 5 + 45 (cid:58)(cid:169)(cid:105) =4(cid:65)
5 4 5
𝑥 4𝑥
− 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:129)(cid:29)6-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:277)(cid:241)(cid:278)(cid:279)(cid:280)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:109) + +25=0(cid:58)(cid:281)(cid:47) + +2 +
2 2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 −8𝑥−6𝑦 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥−2
(cid:30)(cid:48)(cid:65)
5
(cid:15)(cid:129)(cid:29)6-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:262)(cid:282)(cid:132)(cid:283)·(cid:140)(cid:271)(cid:71)(cid:74) + (cid:58)(cid:238) = (cid:58)(cid:75)81
2 2 +𝑛 5
+1= (cid:65) −𝑚 −𝑛 ≥10−6𝑚 2𝑛 𝑥 𝑚 𝑥
− 【 8 题 0𝑥 型7 二次根式的规律探索】
(cid:15)(cid:114)7(cid:21)(cid:284)(cid:285)(cid:90)(cid:149)(cid:150)(cid:29)(cid:10)
1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
1 2 1×2 2
2 2 1−
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
2 3 2×3 2 3
2 2 −
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
3 4 3×4 3 4
2 2 −
…
(cid:141)(cid:286)(cid:54)(cid:235)(cid:287)(cid:190)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:171)(cid:34)(cid:10) 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + + 1+ 1 + 1 (cid:169)(cid:108)(cid:109)(cid:64) (cid:65)
1 2 2 3 3 4 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⋯ 1 1
(cid:15)(cid:129)(cid:29)7-1(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:119)(cid:120)(cid:288)(cid:289)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:284)(cid:285)(cid:90)(cid:149)(cid:150)(cid:29)(cid:10) = 2 (cid:58) = 3 2(cid:58) =
2 1 3 2 2 3
+ −1 + − + 2−
1 1 1 1
3(cid:58)…(cid:286)(cid:54)(cid:235)(cid:287)(cid:190)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:229)(cid:230)(cid:10) + + + + × 2025+ 2 = (cid:65)
3 2 2 3 5 2 2025 2024
+ + + ⋯ +(cid:15)(cid:129)(cid:29)7-2(cid:21)(cid:70)23-24(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:219)(cid:290)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:291)(cid:87)(cid:292)(cid:240)(cid:77)(cid:293)(cid:266)(cid:37)(cid:64) 2(cid:30)(cid:294)(cid:113)(cid:295)(cid:296) (cid:91)(cid:92)(cid:76)(cid:90)(cid:297)(cid:134)(cid:10)(cid:208)(cid:298)(cid:86)
(cid:299)(cid:298)(cid:300)(cid:301)(cid:60)(cid:58)(cid:287)(cid:190)(cid:302)(cid:87)(cid:27)(cid:303)(cid:304)(cid:193)(cid:30)(cid:201)(cid:143)(cid:294)(cid:113)(cid:295)(cid:296)(cid:240)(cid:77)(cid:293)(cid:266)(cid:37)(cid:305)(cid:82) 2(cid:70)(cid:302)(cid:87)(cid:27)(cid:30)𝐴(cid:298)𝐵(cid:300)𝐶𝐷(cid:76)(cid:199)(cid:105)(cid:30)(cid:306)(cid:307)(cid:303)(cid:200)(cid:71)(cid:58)
(cid:75)(cid:251)3(cid:27)(cid:297)(cid:134)(cid:57)(cid:303)(cid:304)(cid:193)(cid:30)(cid:169)(cid:105)(cid:87)(cid:143)(cid:294)(cid:113)(cid:295)(cid:296)(cid:30)(cid:308)(cid:240)(cid:82) (cid:73)(cid:251)2024(cid:27)(cid:297)(cid:134)(cid:57)(cid:303)(cid:304)(cid:193)(cid:30)(cid:169)(cid:105)
(cid:87)(cid:143)(cid:294)(cid:113)(cid:295)(cid:296)(cid:30)(cid:308)(cid:240)(cid:82) (cid:65)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)7-3(cid:21)(cid:70)23-24(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:262)(cid:138)(cid:309)(cid:154)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:143)(cid:43)(cid:310)(cid:311)(cid:101)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:29)(cid:312)(cid:168)(cid:58)(cid:313)(cid:54)(cid:43)(cid:312)(cid:98)(cid:43)(cid:310)
(cid:24)(cid:97)(cid:136)(cid:43)(cid:310)(cid:30)(cid:101)(cid:206)(cid:45)(cid:80)(cid:29)(cid:30)(cid:61)(cid:83)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:314)(cid:58)(cid:114)(cid:76)(cid:10) 1 = 2 = 2 = 2 = 2 (cid:58) 2 = 2× 3
2 1 ( 2 1)( 2 ) ( 2) 1 3 3× 3
−1 −1 −1
2
+ + −1 −1 −1
6
= (cid:58)
3
1
(1)(cid:74) = (cid:58)(cid:47)3 (cid:30)(cid:48)(cid:73)
5
2
(2)(cid:37) 𝑎 (cid:38) 202 − 5 2 20 𝑎 24 − (cid:77) 12 2 𝑎 0 − 2 1 4 2023(cid:30)(cid:19)(cid:39)(cid:58)(cid:86)(cid:205)(cid:183)(cid:206)(cid:78)(cid:65)
(3)(cid:286)(cid:54)(cid:232)(cid:87)(cid:49)−(cid:50)(cid:171)(cid:34)(cid:10) 1 + − 1 + 1 + + 1 (cid:65)
2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2024 2023 2023 2024
+ + + ⋯ +
【题型8 二次根式的应用】
(cid:15)(cid:114)8(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:262)(cid:138)(cid:315)(cid:154)·(cid:140)(cid:105)(cid:71)(cid:76)(cid:199)(cid:58)(cid:292)(cid:19)(cid:316)(cid:317)(cid:101)(cid:87)(cid:318)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:319)(cid:320) (cid:58)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:319)(cid:320)(cid:30) (cid:64)
72m(cid:58)(cid:293) (cid:64) 32m(cid:58)(cid:190)(cid:321)(cid:181)(cid:319)(cid:320)(cid:105)(cid:322)(cid:142)(cid:87)(cid:318)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:320)(cid:323)(cid:324)(cid:70)(cid:325)(cid:199)(cid:105)(cid:326)(cid:327)(cid:42)(cid:43)𝐴(cid:71)𝐵𝐶(cid:58)𝐷(cid:169)(cid:328)(cid:42)(cid:43)(cid:210)(cid:329)(cid:330)(cid:331)𝐵𝐶(cid:58)(cid:240)
(cid:61)(cid:113)(cid:323)(cid:324)(cid:332)𝐴(cid:30)𝐵(cid:240)(cid:64)( 13+1)m(cid:58)(cid:293)(cid:64)( 13 )m(cid:65)
−1
(1)(cid:240)(cid:61)(cid:113) (cid:30)(cid:308)(cid:240)(cid:82)(cid:333)(cid:334)(cid:204)(cid:70)(cid:108)(cid:109)(cid:45)(cid:64)(cid:72)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:71)
(2)(cid:74)(cid:335)(cid:332)𝐴(cid:118)𝐵(cid:336)𝐶𝐷(cid:210)(cid:330)(cid:331)10(cid:337)/(cid:338)(cid:339)(cid:58)(cid:292)(cid:19)(cid:316)(cid:210)(cid:329)(cid:340)(cid:210)(cid:330)(cid:331)(cid:58)(cid:302)(cid:247)(cid:61)(cid:341)(cid:135)(cid:136)(cid:342)20(cid:338)(cid:339)(cid:30)(cid:330)(cid:331)(cid:58)(cid:292)(cid:19)(cid:316)(cid:76)(cid:109)(cid:291)(cid:303)
(cid:210)(cid:330)(cid:331)(cid:269)(cid:42)(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:58)(cid:343)(cid:344)(cid:346)(cid:187)(cid:64)(cid:333)(cid:334)(cid:337)(cid:204)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)8-1(cid:21)(cid:70)22-23(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:131)(cid:132)(cid:347)(cid:348)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:336)(cid:39)(cid:349)(cid:101)(cid:87)(cid:318)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:30)(cid:350)(cid:320)(cid:58)(cid:232)(cid:318)(cid:350)(cid:320)(cid:30)(cid:293)(cid:64)
( 6 2)m(cid:58)(cid:64)(cid:351)(cid:45)(cid:39)(cid:349)(cid:352)(cid:353)(cid:58)(cid:354)(cid:232)(cid:318)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:350)(cid:320)(cid:355)(cid:118)(cid:194)(cid:195)(cid:30)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:58)(cid:303)(cid:360)(cid:30)(cid:358)(cid:359)(cid:30)(cid:240)(cid:361)(cid:64)
−(10 6 2)m(cid:58)(cid:127)(cid:128)(cid:232)(cid:318)(cid:350)(cid:320)(cid:30)(cid:104)(cid:362)(cid:64) m (cid:65)
2
(cid:15)(cid:129)(cid:29)−82-2(cid:21)(cid:70)24-25(cid:130)(cid:116)(cid:117)(cid:90)·(cid:363)(cid:138)(cid:364)(cid:275)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:336)(cid:365)(cid:366)(cid:258)(cid:349)(cid:101)(cid:87)(cid:318)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:367)(cid:368)(cid:349)(cid:369) (cid:70)(cid:76)(cid:199)(cid:71)(cid:58)(cid:340)
(cid:349)(cid:369)(cid:30)(cid:240) (cid:64)8 3(cid:341)(cid:58)(cid:293) (cid:64) 98(cid:341)(cid:58)(cid:190)(cid:171)(cid:322)(cid:181)(cid:349)(cid:369)(cid:105)(cid:267)(cid:186)(cid:368)(cid:87)(cid:143)(cid:158)(cid:61)(cid:113)(cid:258)(cid:370)(cid:70)(cid:326)(cid:327)(cid:42)𝐴(cid:43)𝐵(cid:71)𝐶𝐷(cid:58)(cid:258)(cid:370)(cid:30)(cid:371)(cid:240)
(cid:64)( 6 𝐵(cid:341)𝐶(cid:65) 𝐴𝐵
−1)
(1)(cid:47)(cid:340)(cid:240)(cid:61)(cid:113)(cid:367)(cid:368)(cid:349)(cid:369) (cid:30)(cid:308)(cid:240)(cid:73)
(2)(cid:100)(cid:197)(cid:186)(cid:368)(cid:258)(cid:370)(cid:30)(cid:320)(cid:61)𝐴(cid:58)𝐵(cid:169)𝐶𝐷(cid:328)(cid:349)(cid:369)(cid:269)(cid:42)(cid:360)(cid:321)(cid:372)(cid:118)(cid:373)(cid:374)(cid:58)(cid:74)(cid:303)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:30)(cid:344)(cid:375)(cid:64)10(cid:337)/(cid:247)(cid:61)(cid:341)(cid:58)(cid:75)(cid:376)(cid:377)(cid:373)(cid:374)(cid:19)
(cid:378)(cid:360)(cid:321)(cid:379)(cid:380)(cid:333)(cid:334)(cid:337)(cid:204)(cid:70) 6 2.4495(cid:58)(cid:108)(cid:109)(cid:260)(cid:381)(cid:193)(cid:39)(cid:41)(cid:382)(cid:57)(cid:201)(cid:383)(cid:71)
(cid:15)(cid:129)(cid:29)8-3(cid:21)(cid:70)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)≈(cid:118)·(cid:131)(cid:132)(cid:384)(cid:242)·(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:71)(cid:101)(cid:87)(cid:318)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:386) (cid:58)(cid:385)(cid:387)(cid:388)(cid:313)(cid:54)(cid:76)(cid:199)(cid:30)(cid:61)(cid:29)(cid:58)(cid:291)(cid:385)
(cid:386)(cid:30)(cid:240) (cid:389)(cid:31)2 3cm(cid:58)(cid:293) (cid:389)(cid:31)7 3cm(cid:58)(cid:304)(cid:193)(cid:87)(cid:143)(cid:104)(cid:362)(cid:64)192cm (cid:30)𝐴(cid:158)𝐵(cid:61)𝐶𝐷(cid:113) (cid:65)
2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐺
(1)(cid:47)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:386) (cid:30)(cid:104)(cid:362)(cid:73)
𝐴𝐵𝐶𝐷 6
(2)(cid:385)(cid:387)(cid:390)(cid:391)(cid:191)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:386) (cid:105)(cid:392)(cid:142)(cid:87)(cid:143)(cid:104)(cid:362)(cid:64)12cm (cid:58)(cid:293)(cid:64) cm(cid:30)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:393)(cid:58)(cid:75)(cid:340)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:393)(cid:30)(cid:240)(cid:64)_______
2
2
cm(cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(3)(cid:385)(cid:387)(cid:394)(cid:391)(cid:191)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:386) (cid:105)(cid:395)(cid:142)(cid:240)(cid:64)2.0cm(cid:98)(cid:293)(cid:64)1.5cm(cid:30)(cid:294)(cid:113)(cid:385)(cid:145)(cid:58)(cid:72)(cid:333)(cid:202)(cid:395)(cid:142)_________(cid:28)(cid:232)(cid:95)(cid:30)(cid:385)
(cid:145)(cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷
