文档文本内容
专题 2.3 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:20)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:20)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 =| |(cid:20)...............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 ( 2) = ( 0)(cid:20)..................................................................................................................................3
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:40)(cid:41)(cid:42)2 (cid:43)(cid:20)................................................................................................................................................4
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:20)................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:20)................................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:50)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:20)................................................................................................................................................5
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:52)(cid:32)(cid:10)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:62) (cid:63)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)“ ”(cid:65)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:56)a(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:62)1(cid:63)(cid:49)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:9)“ ”(cid:82)(cid:62)2(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:74)(cid:75)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:62)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:70)(cid:86)(cid:87)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:49)(cid:30)(cid:86)(cid:88)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:63)(cid:71)
知识点2 二次根式有无意义的条件
教辅资源,关注公众号•全科AA+
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:77)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:89)(cid:61)𝑎(cid:10)(cid:90)(cid:91) + +1=𝑎( +1) 0(cid:56)(cid:92)(cid:85)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) + +1(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:56)
1.(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:94)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:56)(cid:95)(cid:53)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:96)(cid:97) 𝑎 (cid:98) ≥ (cid:69)(cid:25)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:56)(cid:61)( 5) =5(cid:71)
2
2
𝑎 𝑎 𝑎≥ 0)(cid:56)
3. =| |= <0)(cid:56) (cid:95)(cid:53)(cid:81)(cid:104)(cid:31)(cid:105)(cid:70)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:69)(cid:25)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:27)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:71)
2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 −𝑎(𝑎
(cid:61) (±11) =|±11|=11(cid:71)
2
(cid:72)(cid:73)(cid:10)( ) ( 0)(cid:108) (cid:27)(cid:109)(cid:110)
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎
教辅资源，关注公众号★全科AA+0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:9)(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:114)(cid:25)(cid:9)(cid:115)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:90)(cid:26)(cid:98)(cid:69)(cid:116)(cid:117)(cid:118)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:25)(cid:9)(cid:119). (cid:89)(cid:61)(cid:10)(cid:120) 0,(cid:121) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 教辅资源,关注 公众号•全科AA+ 𝑎
(cid:15)(cid:89)1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:21)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:53)(cid:52)(cid:135)(cid:100)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) | |+1 D(cid:71)
2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)1-−14(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)𝑥 ·(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:125)(cid:133) 𝑥 (cid:134)(cid:26)(cid:53)(cid:52)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑥(cid:83)−(cid:62)1 (cid:63)
A(cid:71)3 5 B(cid:71) C(cid:71) 6 D(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)1-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)−3·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:53)(cid:52)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑎(cid:27)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
A(cid:71) +1 B(cid:71) C(cid:71) 3 D(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)1-𝑥3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)3−·(cid:137)π (cid:146)(cid:147)(cid:148)·(cid:130)(cid:21)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:142)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:83)(cid:23)−(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:149)(cid:150)(cid:152)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:153)
(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:71)
(cid:62)1(cid:63) 8 (cid:82)(cid:62)2(cid:63) (cid:82)(cid:62)3(cid:63) +1 (cid:82)(cid:62)4(cid:63)3 (cid:82)(cid:62)5(cid:63) + +4 (cid:82)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:62)6(cid:63) 3 | | (cid:82)(cid:62)7(cid:63) 1+ < (cid:71)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
【题型2 二次根式有意义的条件】
(cid:15)(cid:89)2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:158)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:160)(cid:161)(cid:144)(cid:162)(cid:163)(cid:144)·(cid:68)(cid:11)(cid:164)(cid:165)(cid:63)(cid:120)(cid:26)(cid:64) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:121)(cid:105)(cid:70)(cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)(cid:83) (cid:71)
| |
𝑥−1
𝑥−2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)2-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:169)(cid:138)(cid:170)(cid:171)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:120)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 2025+ (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:121)(cid:105)(cid:70)x(cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)(cid:83) (cid:71)
𝑥
(cid:15)(cid:136)(cid:26)2-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:137)(cid:138)(cid:144)(cid:172)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:142)(cid:86)(cid:88)x(cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)(cid:83) (cid:71)
𝑥−1
2 𝑥
(cid:15)(cid:136)(cid:26)2-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:159)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:178) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:56) (cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)(cid:83) (cid:71)
3
𝑥− 𝑥
【题型3 二次根式的双重非负性】
(cid:15)(cid:89)3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:143)(cid:144)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:107)(cid:92)(cid:30)(cid:105)(cid:70) (cid:56)(cid:78)(cid:79) | +1|+ 3 = | | (cid:56)(cid:121)
2
(cid:27)(cid:181)(cid:182)(cid:47)(cid:91) (cid:71) 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
(cid:15)(cid:136)(cid:26)3-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:105)(cid:70)x(cid:56)y(cid:78)(cid:79) = + +2 (cid:56)(cid:121)
𝑦 𝑥−3 3−𝑥
教辅资源，关注公众号★全科AA+( )
2025
𝑦−𝑥
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:27)(cid:47)(cid:91) (cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)3-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)·(cid:141)(cid:191)(cid:63)(cid:120)a(cid:56)b(cid:91)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:192)(cid:78)(cid:79) + +3) =0(cid:56)(cid:121) (cid:98)
2
(cid:69)(cid:25)(cid:83) (cid:71) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:136)(cid:26)3-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:105)(cid:70)x(cid:78)(cid:79) 2012 + + = (cid:56)
2 2
(cid:121) 2012 = (cid:71) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
【 𝑥 题 − 型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:89)4(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:120)(cid:44)(cid:45)| | + +16(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:91) (cid:56)(cid:121) (cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)
2
(cid:83)(cid:62)(cid:198)(cid:198)(cid:63) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:71) =0 B(cid:71) 1 C(cid:71) 1 D(cid:71) 4
(cid:15)(cid:136)(cid:26)𝑥4-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)𝑥(cid:159)≤·(cid:187)(cid:16)(cid:199)(cid:200)·(cid:141)(cid:191)(cid:63)(cid:179)𝑥(cid:180)≥1< <2(cid:56)(cid:44)(cid:45) 𝑥≤ +1+ +4 = (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)4-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:144)(cid:146)(cid:201)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:202)(cid:111)𝑥(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:27)(cid:69)𝑥(cid:207)−(cid:56)2(cid:153)𝑥 (cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:125)𝑥(cid:133)−4(cid:211)𝑥(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:178)3 7(cid:77)(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:82)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:120)(cid:99)(cid:26) ( ) ( +9) =14(cid:128)(cid:212)(cid:56)(cid:121)a(cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:167)(cid:168)(cid:83)______(cid:82)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:120) ( +1) + ( ) =8(cid:56)(cid:46)a(cid:27)(cid:47)(cid:71)
2 2
𝑎 𝑎−5
(cid:15)(cid:136)(cid:26)4-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:213) = 2021 ×2022(cid:56) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:56)(cid:121) (cid:214) (cid:27)(cid:3)(cid:215)(cid:91)(cid:62) 𝑀 (cid:63) −2020 𝑁
2 2
A(cid:71)−4>042 B(cid:71) < 𝑀 𝑁 C(cid:71) = D(cid:71) =±
【题型
𝑀5
(
𝑁
) = (
𝑀
)】
𝑁
教辅资源, 关注公
𝑀
众号
𝑁
•全科AA+
𝑀 𝑁
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:89)5(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:143)(cid:144)(cid:216)(cid:217)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180) (cid:27)(cid:218)(cid:219)(cid:220) (cid:221) (cid:221)(cid:78)(cid:79) + =3
+3 1 (cid:56)(cid:46) (cid:27)(cid:222)(cid:220)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:136)(cid:26)5-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:223)(cid:224)(cid:108)(cid:98)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:120)1(cid:56) (cid:56)3(cid:83)(cid:218)(cid:225)(cid:60)(cid:27)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:56)(cid:44)(cid:45)( ) +16
2
2
= (cid:71) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎
(cid:15)(cid:136)(cid:26)5-2(cid:20) （24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:230)(cid:231)(cid:211)(cid:21)(cid:142)(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:209)(cid:210)(cid:125)(cid:133)(cid:211)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:179)(cid:180) ( ) = (cid:56)(cid:46) (cid:27)(cid:47)(cid:82)
2
2
(2)(cid:179)(cid:180)a(cid:56) (𝑥− b 3 (cid:83) ) (cid:105)−(cid:70)(cid:56)2−(cid:192)𝑥 > 2𝑥 𝑥 +1(cid:56)(cid:44)(cid:45) + (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)5-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)𝑏(cid:124)(cid:125)·𝑎(cid:126)−2(cid:127)−(cid:232)2(cid:140)2·−(cid:141)𝑎(cid:142)(cid:63)(cid:179)(cid:180) +1−2+𝑏 =𝑏2− 𝑎 +4 +6 +3 (cid:56)(cid:46)a(cid:221)b(cid:221)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14
教辅资源，关注公众号★全科AA+c(cid:27)(cid:47)(cid:71)
【题型6 规律探究】
(cid:15)(cid:89)6(cid:20)(cid:62)24-25(cid:233)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:234)(cid:188)(cid:235)(cid:236)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:61)(cid:237)(cid:83)(cid:53)(cid:81)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:40)(cid:41)(cid:241)(cid:133)(cid:27)(cid:70)(cid:242)(cid:10)(cid:25)(cid:243)(cid:70)(cid:242)(cid:241)(cid:133)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:56)
(cid:244) (cid:62) (cid:83)(cid:245)(cid:70)(cid:56)(cid:192) 4(cid:63)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:70)(cid:244)( )(cid:81)(cid:70)(cid:83)(cid:62)(cid:111)(cid:49) (cid:27)(cid:251)(cid:70)(cid:26)(cid:252)(cid:253)(cid:63)(cid:62) (cid:63)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)
2 2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)6-𝑛1(cid:20)−(cid:62)4 2025·(cid:234)(cid:188)(cid:254)(cid:255)𝑛·(cid:23)−2(cid:256)(cid:63)(cid:257)(cid:53)(cid:24)(cid:258)(cid:259)(cid:73)𝑛(cid:260)−(cid:261)3(cid:159)(cid:56)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:111)(cid:266)𝑛(cid:267)−(cid:73)4 (cid:253)(cid:268)(cid:53)(cid:269)(cid:238)(cid:40)(cid:41)(cid:241)(cid:133)(cid:27)(cid:270)(cid:271)
(cid:26)(cid:60)(cid:26)(cid:6)(cid:9)(cid:251)(cid:272)(cid:56)(cid:273)(cid:270)(cid:271) (cid:26)(cid:274)(cid:24)(cid:91)(cid:10) (cid:56)4 2 (cid:56)6 3 (cid:56)8 4 (cid:56)10 5 ……(cid:56)(cid:121)(cid:244)n (cid:81)(cid:270)(cid:271)(cid:26)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
2 3 4 5
A(cid:71) 2𝑎 B𝑎(cid:71) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:71)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:71)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎 1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:136)(cid:26)6-2(cid:20)(cid:62)2025·(cid:275)(cid:16)(cid:276)(cid:52)·(cid:53)(cid:256)(cid:63)(cid:182)(cid:155)(cid:66)(cid:70)(cid:11)(cid:21)(cid:77)(cid:56)(cid:277)(cid:278)(cid:40)(cid:41)(cid:10) = (cid:82) =2 (cid:82) =3
2 2 5 5 10
1− 2− 3−
3 4 4
(cid:82) =4 (cid:82)…
10 17 17
4−
(cid:62)1(cid:63)(cid:244)5(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:91) (cid:82)
8 8
(cid:62)2(cid:63)(cid:120) = (cid:62)a(cid:56)b(cid:91)(cid:279)(cid:245)(cid:70)(cid:63)(cid:56)(cid:121) = (cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)6-3 𝑎 (cid:20) − (cid:62)𝑏 24𝑎-25𝑏(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:280)(cid:281)·(cid:141)(cid:142)𝑎(cid:63)⋅𝑏(cid:282)(cid:283)(cid:125)(cid:133)(cid:99)(cid:26)(cid:56)(cid:284)(cid:285)(cid:210)(cid:211)(cid:21)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:82) 5 = 4 = 2 (cid:82) 7 = 9 = 3 (cid:82)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
(
① 1)(cid:25)1(cid:243)−(cid:159)(cid:286)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:287)②(cid:288)(cid:244)1
5
−(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:10)_____ ③ ___(cid:71)1−
(2)(cid:153)(cid:287)(cid:288)(cid:244) (cid:81)(cid:62) (cid:91)(cid:279)(cid:245)(cid:70)(cid:63)(cid:99)(cid:26)(cid:10)________(cid:56)(cid:284)(cid:289)(cid:155)(cid:208)(cid:27)(cid:196)(cid:206)(cid:71)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:202)(cid:111)(cid:159)(cid:286)(cid:196)(cid:206)(cid:56)(cid:290)(cid:96)(cid:10) … (cid:71)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:89)7(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:105)(cid:70)a(cid:78)(cid:79)6< <20(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:71)
2 2
2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:136)(cid:26)7-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:144)(cid:193)(cid:193)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:179)(cid:180) =3 ( )+2 ( )+2(cid:56)(cid:46) ( )+ (cid:27)(cid:47)(cid:71)
2
(cid:15)(cid:136)(cid:26)7-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)𝑦 (cid:180)(cid:218)(cid:225)2(cid:60)𝑥−(cid:27)1(cid:80)(cid:219)(cid:220)(cid:203)1−(cid:110)2𝑥(cid:91)3(cid:108)5(cid:56)(cid:244) 𝑥 (cid:218) 𝑦 (cid:219)(cid:220)𝑥(cid:91)c(cid:56)(cid:44)
教辅资源，关注公众号★全科AA+1
(cid:45) + +16(cid:71)
4
2 2
𝑐 4−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:136)(cid:26)7-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:158)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:188)(cid:195)·(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:63)(cid:179)(cid:180) = =3(cid:56) = = 3(cid:56) = (cid:56) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:71)(cid:46)P(cid:221)Q(cid:27)(cid:47)(cid:71)
1 1
𝑎+𝑏
【题型8 隐含条件】
(cid:15)(cid:89)8(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:159)·(cid:144)(cid:193)(cid:295)(cid:140)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:120) (cid:78)(cid:79)(cid:3)(cid:215)(cid:26) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:56)(cid:121) = (cid:71)
𝑥−1 𝑦 𝑚
(cid:15)(cid:136)(cid:26)8-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:233)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:187)(cid:16)(cid:228)(cid:296)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:179)(cid:180) (cid:83)(cid:80)(cid:80)(cid:152)(cid:297)(cid:99)(cid:27)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:192)(cid:78)(cid:79) ( )+ ( )
𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚
3
= (cid:56)(cid:121) (cid:27)(cid:47)(cid:91) (cid:71)
2 5 2
𝑥 +𝑥𝑦−𝑦
2 2
𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦 𝑥 −𝑥𝑦+ 𝑦
(cid:15)(cid:136)(cid:26)8-2(cid:20)(cid:120) (cid:221) (cid:221) (cid:91)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:192)(cid:78)(cid:79) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:56)(cid:46) + + +3
(cid:27)(cid:47)(cid:91) (cid:71)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:136)(cid:26)8-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:233)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:223)(cid:224)(cid:108)(cid:98)·(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:120)(cid:105)(cid:70)a(cid:56)b(cid:56)c(cid:78)(cid:79)(cid:3)(cid:215)(cid:26) + = +
+ (cid:56)(cid:121)c(cid:298) (cid:71) 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
【题
𝑏
型
−69
复合根式】
(cid:15)(cid:89)9(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:144)(cid:193)(cid:194)(cid:140)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:279)(cid:245)(cid:70) (cid:221) (cid:221)(cid:78)(cid:79) 5= (cid:71)(cid:121)(cid:299)(cid:300)(cid:27)
2
(cid:221) (cid:221)(cid:27)(cid:166)(cid:47)(cid:62) (cid:63)(cid:71) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:71)(cid:30)𝑛(cid:53)(cid:269) B(cid:71)(cid:30)(cid:23)(cid:269) C(cid:71)(cid:301)(cid:100)(cid:23)(cid:269) D(cid:71)(cid:152)(cid:302)(cid:257)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)9-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:187)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:290)(cid:96) 2025 2024(cid:27)(cid:196)(cid:197)(cid:83) (cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)9-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:275)(cid:188)(cid:306)(cid:307)·(cid:141)(cid:191)(cid:63)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:46)(cid:47)(cid:71) −
(cid:257)(cid:290)(cid:96) 10(cid:27)(cid:312)(cid:267)(cid:142)(cid:56)(cid:182)(cid:155)(cid:108)(cid:182)(cid:313)(cid:27)(cid:290)(cid:96)(cid:196)(cid:197)(cid:152)(cid:53)(cid:300)(cid:71)
7−2
(cid:182)(cid:155)(cid:27)(cid:290)(cid:96)(cid:312)(cid:267)(cid:61)(cid:125)(cid:10) (cid:182)(cid:313)(cid:27)(cid:290)(cid:96)(cid:312)(cid:267)(cid:61)(cid:125)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
(cid:298) 2×5+5 (cid:298) 2×5+5
(cid:298) 2−2 (cid:298) 2−2
教辅资源，关注公众号★全科AA+( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:298) 2 5 (cid:298) 2 5
2 2
(cid:298) 2 −5 (cid:298) 5 −2
− −
(1)(cid:153)(cid:314)(cid:315)(cid:182)(cid:155)(cid:214)(cid:182)(cid:313)(cid:316)(cid:27)(cid:290)(cid:96)(cid:196)(cid:197)(cid:279)(cid:317)(cid:56)(cid:284)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:82)
(2)(cid:290)(cid:96)(cid:10) 5(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:26)9-3(cid:20)6−(cid:62)224-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:169)(cid:138)(cid:194)(cid:303)·(cid:173)(cid:174)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:15)(cid:309)(cid:310)(cid:318)(cid:319)(cid:20)(cid:182)(cid:155)(cid:257)(cid:11)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:56)(cid:277)(cid:278)(cid:53)(cid:150)(cid:49)(cid:25)(cid:9)
(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:84)(cid:85)(cid:44)(cid:128)(cid:320)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:64)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:56)(cid:61)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:82)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:71)
2 2
2
(cid:15)(cid:204)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:20)
(1)(cid:182)(cid:217)(cid:324)(cid:325)(cid:182)(cid:155)(cid:27)(cid:69)(cid:207)(cid:114)4+2 3(cid:44)(cid:128)(cid:268)(1+ ) (cid:56)(cid:121) =__________(cid:56) 4+2 3=__________(cid:71)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:153)(cid:202)(cid:111)(cid:182)(cid:155)(cid:27)(cid:69)(cid:207)(cid:44)(cid:45) 3(cid:71)
7−4
教辅资源，关注公众号★全科AA+
