专题1.6正方形的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(北师大)

专题 1.6 正方形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:20)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:20)..................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)..............................................................................................................19
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)(cid:20)..................................................................................................................................24
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:33)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:48)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:20)......................................................................................................................32
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:20)..................................................................................................................................36
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:20)..............................................................................................................................41
知识点1 正方形的定义
1. (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:56)(cid:57)(cid:66)(cid:34)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:26)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
2. (cid:74)(cid:11)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81) ABCD(cid:51)(cid:63)(cid:82) = (cid:63)(cid:65) =90°(cid:63)(cid:83) ABCD(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:73)
▱ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ▱
知识点2 正方形的性质
图示 性质 数学语言描述
对边(cid:69)(cid:42) AB CD，AD BC
边
∥ ∥
四条边均(cid:61)(cid:62) = = =
角 四个角都是(cid:68)(cid:34) = 𝐴𝐵 𝐵=𝐶 𝐶𝐷= 𝐷𝐴 =90°
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐷𝐴𝐵
(cid:86) 对角线(cid:61)(cid:62)(cid:65)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50) = (cid:63) (cid:63) = = =
(cid:34)
𝐴𝐶 𝐵𝐷 =𝐴𝐶⊥𝐵𝐷=𝑂𝐴 𝑂=𝐵 𝑂𝐶= 𝑂𝐷
(cid:36) 每条对角线平分一组对角
= = =
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐴
对 轴对称图形，对称轴是(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:89)(cid:81)(cid:68)(cid:36)(cid:90)∠𝐴(cid:91)𝐵(cid:92)𝐷(cid:57)(cid:58)∠𝐶(cid:86)𝐵(cid:60)𝐷(cid:51)∠(cid:93)𝐴(cid:26)𝐷𝐵(cid:68)(cid:36)∠(cid:63)𝐶有𝐷𝐵(cid:70)条对称轴称
中心对称图形，对称中心是(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:26)(cid:94)(cid:93)
性
【题型1 正方形的性质理解】
(cid:15)(cid:95)1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:100)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:51)(cid:23)(cid:112)(cid:26)(cid:66)(cid:74)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:113) (cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:113) (cid:114)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:113) (cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:113)
(cid:115)①(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:84)(cid:85)(cid:68) ② ③ ④ ⑤
A(cid:73)1(cid:66) B(cid:73)2(cid:66) C(cid:73)3(cid:66) D(cid:73)4(cid:66)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)C
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:123)(cid:114)(cid:25)(cid:123)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:61)(cid:3)(cid:128)(cid:129)(cid:93)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)(cid:131)(cid:132)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:123)(cid:114)(cid:25)(cid:123)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:133)(cid:57)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:110)(cid:111)(cid:67)(cid:137)(cid:23)(cid:112)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:116)(cid:117)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:143) (cid:23)(cid:112)(cid:113)
(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:69)(cid:50)(cid:63)(cid:144)(cid:57)(cid:145)(cid:61)(cid:62)①(cid:63)(cid:143) (cid:146)(cid:147)(cid:113)
(cid:114)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:63)(cid:143) (cid:23)(cid:112)(cid:113) ②
(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:86)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:143)③(cid:23)(cid:112)(cid:113)
(cid:115)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:84)(cid:69)(cid:50)(cid:63)(cid:144)(cid:57)④(cid:145)(cid:85)(cid:68)(cid:63)(cid:143) (cid:146)(cid:147)(cid:113)
(cid:148)(cid:149)(cid:63)(cid:23)(cid:112)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:150) (cid:63)(cid:151)3(cid:66)(cid:73)⑤
(cid:143)(cid:152)(cid:10)C(cid:73) ①③④
(cid:15)(cid:153)(cid:154)1-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:149)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:159)(cid:56)(cid:160)(cid:115)(cid:25)(cid:144)(cid:57)(cid:145)(cid:159)(cid:56)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62) B(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:69)(cid:50)
C(cid:73)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:161)(cid:67)(cid:68)(cid:34) D(cid:73)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)D
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:162)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:163)(cid:164)(cid:73)(cid:165)(cid:133)(cid:57)(cid:50)(cid:118)(cid:152)(cid:166)(cid:63)(cid:167)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:159)(cid:168)(cid:160)(cid:115)(cid:25)(cid:144)(cid:57)(cid:145)(cid:159)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)
(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:116)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:152)(cid:166)A(cid:10)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:62)
(cid:115)(cid:25)(cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:169)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:173)(cid:151)(cid:56)(cid:63)(cid:174)(cid:175)A(cid:73)
(cid:152)(cid:166)B(cid:10)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:69)(cid:50)
(cid:176)(cid:150)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:63)(cid:115)(cid:25)(cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:169)(cid:84)(cid:61)(cid:69)(cid:50)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:173)(cid:151)(cid:56)(cid:63)(cid:174)(cid:175)B(cid:73)
(cid:152)(cid:166)C(cid:10)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:161)(cid:67)(cid:68)(cid:34)
(cid:115)(cid:25)(cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:169)(cid:150)(cid:68)(cid:34)(cid:96)90°(cid:108)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:173)(cid:151)(cid:56)(cid:63)(cid:174)(cid:175)C(cid:73)(cid:152)(cid:166)D(cid:10)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:144)(cid:177)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:178)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:113)(cid:160)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:177)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:177)(cid:81)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:100)(cid:96)(cid:79)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:108)(cid:183)(cid:85)
(cid:68)(cid:73)(cid:170)(cid:171)(cid:63)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:179)(cid:56)(cid:160)(cid:115)(cid:25)(cid:144)(cid:57)(cid:145)(cid:159)(cid:168)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
(cid:143)(cid:152)D(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)1-2(cid:20)(cid:96)2025·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:188)(cid:189)(cid:108)(cid:100)(cid:109)(cid:190)(cid:60)(cid:25)(cid:51)(cid:63)(cid:128)(cid:191)(cid:57)(cid:88)(cid:60)(cid:26)(cid:38)(cid:35)(cid:192)(cid:193)(cid:112)(cid:145)(cid:194)(cid:25)(cid:195)(cid:90)(cid:18)(cid:196)(cid:26)(cid:67)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)(cid:115)(cid:25) B(cid:73)(cid:114)(cid:25) C(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25) D(cid:73)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)C
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:172)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:115)(cid:25)(cid:123)(cid:114)(cid:25)(cid:123)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:123)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:70)(cid:66)(cid:80)(cid:25)(cid:26)(cid:179)(cid:199)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:116)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:161)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:63)(cid:70)(cid:66)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)
(cid:143)(cid:128)(cid:191)(cid:57)(cid:88)(cid:60)∵(cid:26)(cid:38)(cid:35)(cid:192)(cid:193)(cid:112)(cid:145)(cid:194)(cid:25)(cid:195)(cid:90)(cid:18)(cid:196)(cid:26)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
(cid:143)(cid:152)(cid:10)C(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)1-3(cid:20)(cid:96)2025·(cid:200)(cid:156)(cid:201)(cid:202)(cid:203)·(cid:198)(cid:189)(cid:108)(cid:100)(cid:39)(cid:67)(cid:57)(cid:204)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:205)(cid:206)(cid:63)(cid:207)(cid:208)(cid:94)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:87)(cid:212)(cid:63)(cid:213)(cid:194)(cid:50)(cid:214)(cid:39)(cid:40)(cid:61)(cid:62)(cid:26)
(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:83)(cid:210)(cid:211)(cid:24)(cid:117)(cid:56)(cid:96) (cid:108)
A(cid:73)1(cid:215) B(cid:73)2(cid:215) C(cid:73)4(cid:215) D(cid:73)(cid:216)(cid:74)(cid:215)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)D
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:217)(cid:67)(cid:51)(cid:218)(cid:86)(cid:219)(cid:80)(cid:25)(cid:63)(cid:220)(cid:91)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:219)(cid:51)(cid:218)(cid:176)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:26)(cid:87)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:63)(cid:221)
(cid:87)(cid:88)(cid:36)(cid:37)(cid:222)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:214)(cid:26)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:61)(cid:62)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:94)(cid:225)(cid:93)O(cid:63)(cid:83)(cid:93)O(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:219)(cid:51)(cid:218)(cid:113)
(cid:83)(cid:226) (cid:63) (cid:210)(cid:211)(cid:63)(cid:50)(cid:214)(cid:39)𝐴(cid:40)𝐶 (cid:61)𝐵(cid:62)𝐷(cid:26)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:113)
(cid:227) 𝐴(cid:63)𝐶 𝐵(cid:91)𝐷(cid:93)O(cid:63)(cid:65) (cid:228)(cid:63)(cid:226) (cid:63) (cid:210)(cid:211)(cid:63)(cid:229)(cid:50)(cid:214)(cid:39)(cid:40)(cid:61)(cid:62)(cid:26)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:113)
(cid:57)𝐸(cid:230)𝐹(cid:231)(cid:63)𝐺𝐻(cid:232)(cid:208)(cid:226)(cid:233)(cid:91)(cid:23)𝐸(cid:24)𝐹(cid:25)⊥𝐺(cid:51)𝐻(cid:218)O(cid:210)(cid:211)𝐸𝐹(cid:63)(cid:65)𝐺𝐻(cid:210)(cid:211)(cid:26)(cid:87)(cid:212)(cid:61)(cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:63)(cid:83)(cid:139)(cid:234)(cid:50)(cid:214)(cid:39)(cid:40)(cid:61)(cid:62)(cid:26)(cid:70)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:170)(cid:171)(cid:210)
(cid:211)(cid:24)(cid:117)(cid:56)(cid:216)(cid:74)(cid:215)(cid:113)(cid:143)(cid:152)(cid:10)D(cid:73)
【题型2 利用正方形的性质求角度】
(cid:15)(cid:95)2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:235)(cid:38)(cid:236)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:150)(cid:60) (cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:149)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:93)F(cid:81)(cid:60)
(cid:149)(cid:63)(cid:65) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63) (cid:94) (cid:225)G(cid:63)(cid:82) =𝐴𝐵𝐶(cid:63)𝐷(cid:83) =((cid:239)(cid:239)𝐵𝐴) 𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐸𝐹 𝛼 ∠𝐹𝐷𝐺
A(cid:73)90° B(cid:73) C(cid:73) + 45° D(cid:73) 90°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)C − 𝛼 2𝛼 𝛼 4𝛼 −
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)
(cid:131)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:43)(cid:140) (cid:63)(cid:241)(cid:160)(cid:140)(cid:141) = (cid:63) = (cid:63)(cid:242)(cid:43) (cid:150)(cid:62)(cid:197)(cid:68)𝐸(cid:34)𝐷(cid:198)
(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:140)(cid:141) = △𝐴𝐸𝐷=≌△𝐶𝐹𝐷(cid:63) = ∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹+ 𝐷𝐸 𝐷=𝐹 +45°(cid:73)△𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:79)∠(cid:80)𝐹(cid:63)𝐷𝐺(cid:223)(cid:224)90°(cid:63)−∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐹𝐷𝐺 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 𝛼
𝐸𝐷
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63) =∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷 𝐶=𝐷 ∠𝐷𝐴=𝐵90∠°(cid:63)𝐷𝐶𝐹 ∠𝐴𝐷𝐶
(cid:243)∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠(cid:63)𝐷𝐶𝐹
∵𝐴𝐸 𝐶𝐹 (cid:63)
∴△𝐴𝐸𝐷≌=△𝐶𝐹𝐷(cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐶𝐷𝐹=𝐷9𝐸0°(cid:63)𝐷𝐹
∵∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐴𝐷𝐹 =90°(cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹(cid:138) =90°(cid:63)
∠𝐸𝐷𝐹(cid:67)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63) = =
∴△𝐷𝐸𝐹=45°(cid:63) ∠𝐹𝐷𝐺 90°−∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐸𝐷
∴∠𝐷𝐸𝐹= = + = +45°(cid:63)
(cid:143)∴(cid:152)∠𝐹(cid:10)𝐷𝐺C(cid:73)∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 𝛼
(cid:15)(cid:153)(cid:154)2-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:244)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:245)(cid:93)A(cid:246)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)38°(cid:63)(cid:140)(cid:250)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63) (cid:26)(cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:94) (cid:225)(cid:93)H(cid:63)(cid:83)
(cid:26)(cid:18)(cid:196)(cid:150)(cid:96) (cid:108) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐷𝐵 𝐸𝐹
∠𝐷𝐻𝐸
A(cid:73)76° B(cid:73)97° C(cid:73)90° D(cid:73)114°
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)B
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:131)(cid:132)(cid:248)(cid:249)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:33)(cid:140) BAE=38°(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:33)(cid:140) DBA=45°(cid:63) ABH=135°(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:70)(cid:60)
(cid:25)(cid:26)(cid:251)(cid:34)(cid:90)(cid:145)(cid:29)(cid:252)(cid:253)(cid:138)(cid:139)(cid:73) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:131)(cid:132)(cid:248)(cid:249)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:140) BAE=38°(cid:63)
(cid:70)(cid:60)(cid:25)ABCD(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) ∠
∵ DBA=45°(cid:63) ABH=135°(cid:63)
∴∠(cid:70)(cid:60)(cid:25)AEFG∠(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ E=90°(cid:63)
∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°(cid:63)
∴(cid:143)∠(cid:152)B(cid:73)
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:26)(cid:251)(cid:34)(cid:90)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:248)(cid:249)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)2-2(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93)E(cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:60)CB(cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:149)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:93)F(cid:150)AB(cid:149)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224)AE(cid:63)CF(cid:63)AC(cid:63)(cid:82)
BE=BF(cid:63) E=70°(cid:63)(cid:83) ACF= (cid:73)
∠ ∠(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)25°
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:131)(cid:132)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:140)(cid:141) BCF= EAB(cid:63)(cid:242)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:116)(cid:138)(cid:139)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:63) ∠ ∠
AB=BC(cid:63) AB∵E= CBF=90°(cid:63)
(cid:81)∴ ABE(cid:162)∠ CBF∠(cid:51)
△ = △
= (cid:63)
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹
A𝐵B𝐸E 𝐵C𝐹BF(cid:96)SAS(cid:108)(cid:63)
∴△BCF=≌△EAB(cid:63)
∴∠E=70°∠(cid:63)
∵∠BCF= EAB=90°-70°=20°(cid:63)
∴∠(cid:23)(cid:24)(cid:25)∠ABCD(cid:63)AC(cid:67)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:63)
∵ ACB=45°(cid:63)
∴∠ACF=45°-20°=25°(cid:73)
∴(cid:143)∠(cid:116)(cid:117)(cid:150)(cid:10)25°(cid:73)
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:70)(cid:88)(cid:60)(cid:161)(cid:61)(cid:62)(cid:90)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:161)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:234)(cid:256)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:240)(cid:62)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)
(cid:25)(cid:86)(cid:257)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)2-3(cid:20)(cid:96)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:149)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) (cid:63) = (cid:63)(cid:83) = (cid:73)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸∥𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)30°/30(cid:35)
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:222) (cid:261)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)90°(cid:140)(cid:250) (cid:63)(cid:83) = (cid:63) = (cid:63) =90°(cid:63)(cid:262)(cid:43)(cid:141)C(cid:123)A(cid:123)G
(cid:198)(cid:93)(cid:151)(cid:36)(cid:63)(cid:140)△(cid:141)𝐵𝐶𝐸 =135°(cid:63) △=𝐵𝐴𝐺 (cid:63)(cid:263)∠𝐵S𝐴A𝐺S(cid:43)(cid:44)∠𝐵𝐶𝐸 𝐵𝐺 𝐵𝐸 (cid:63)∠(cid:140)𝐺𝐵(cid:141)𝐸 = (cid:63)(cid:43)(cid:141)
= = (cid:63)∠(cid:138)𝐵𝐴𝐺 (cid:67)(cid:62)(cid:60)∠𝐵(cid:198)𝐴(cid:34)𝐺(cid:25)(cid:63)∠𝐷(cid:140)𝐴(cid:141)𝐺 =60°(cid:63)△𝐵𝐴𝐺≌=△3𝐷0𝐴°(cid:63)𝐺(cid:242)(cid:263)(cid:198)𝐵(cid:34)𝐺(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:251)𝐺 (cid:34)(cid:90)(cid:145)(cid:29)(cid:33)(cid:141)
𝐵(cid:138)𝐺(cid:139)(cid:73)𝐷𝐺 𝐵𝐸 △𝐵𝐷𝐺 ∠𝐺𝐵𝐷 ∠𝐷𝐵𝐸
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:222) (cid:261)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)90°(cid:140)(cid:250) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:123) (cid:123) (cid:113)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
△𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐴𝐺 𝐷𝐺 𝐴𝐶 𝐴𝐺
(cid:83) = (cid:63) = (cid:63) =90°(cid:63)
(cid:70)∠(cid:60)𝐵𝐴(cid:25)𝐺 ∠𝐵(cid:67)𝐶𝐸(cid:23)(cid:24)𝐵𝐺(cid:25)(cid:63)𝐵𝐸 ∠𝐺𝐵𝐸
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:63) = = =45°(cid:63) = (cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝐷 (cid:63) ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∵𝐶𝐸∥𝐵𝐷= =45°(cid:63)
∴∠𝐷𝐶𝐸=9∠0𝐵°𝐷+𝐶45°=135°(cid:63)
∴∠𝐵𝐶𝐸 =135°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐺=135°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐺+ =135°+45°=180°(cid:63)
∴(cid:93)∠𝐵C𝐴(cid:123)𝐺 A(cid:123)∠𝐵G𝐴(cid:198)𝐶(cid:93)(cid:151)(cid:36)(cid:63)
∴ = =135°(cid:63)
∴∠𝐷𝐴𝐺= 180°−(cid:63)45°
∴∠𝐵𝐴𝐺 ∠𝐷𝐴𝐺 =
(cid:81) (cid:90) (cid:51)(cid:63) = (cid:63)
𝐴𝐵 =𝐴𝐷
△𝐵𝐴𝐺 △𝐷𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐺 ∠𝐷𝐴𝐺
(SAS)(cid:63) 𝐴𝐺 𝐴𝐺
∴△𝐵=𝐴𝐺≌(cid:63)△𝐷𝐴𝐺
∴𝐵𝐺 =𝐷𝐺(cid:63)
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐸= (cid:63)
∴𝐵𝐺 𝐷𝐺 𝐵𝐸(cid:138) (cid:67)(cid:62)(cid:60)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
△𝐵𝐷=𝐺60°(cid:63)
∴∠𝐺𝐵𝐷= =30°(cid:63)
∴∠𝐷𝐵𝐸
=
90°−60
=
°1
( )=75°(cid:63)
2
∴∠𝐵𝐷𝐸 ∠𝐵𝐸𝐷 180°−30°
= =30°(cid:73)
∴(cid:143)∠(cid:116)𝐶𝐷(cid:117)𝐸(cid:150)(cid:10)∠3𝐵0𝐷°𝐸(cid:73)−∠𝐵𝐷𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:198)(cid:93)(cid:151)(cid:36)(cid:123)(cid:62)(cid:60)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:198)
(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:265)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:113)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:64)(cid:193)(cid:41)(cid:42)(cid:266)(cid:29)(cid:111)(cid:43)(cid:162)(cid:252)(cid:253)(cid:67)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
【题型3 利用正方形的性质求线段长】
(cid:15)(cid:95)3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:155)(cid:16)(cid:268)(cid:269)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:67)(cid:270)(cid:271)(cid:269)(cid:272)(cid:74)(cid:11)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:81)(cid:4)(cid:30)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:253)(cid:220)(cid:279)(cid:228)(cid:280)(cid:141)(cid:26)“(cid:274)(cid:275)
(cid:281)(cid:80)”(cid:63)(cid:217)(cid:67)(cid:263)(cid:70)(cid:66)(cid:240)(cid:62)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:90)(cid:51)(cid:282)(cid:26)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:283)(cid:214)(cid:26)(cid:57)(cid:66)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:73)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:87)(cid:60) (cid:123) (cid:50)(cid:284)(cid:285)(cid:93) (cid:123) (cid:63)(cid:213) = (cid:63) (cid:162) (cid:94)(cid:225)𝐸𝐹(cid:93)𝐺𝐻(cid:63)(cid:82) = (cid:63) =𝐴𝐵𝐶𝐷 =4 5(cid:63)(cid:83)𝐸𝐹𝐺𝐻(cid:26)
(cid:38)(cid:150)𝐸(cid:96)𝐻 (cid:108)𝐹𝐺 𝑀 𝑁 𝐸𝑀 𝐺𝑁 𝐴𝐶 𝑀𝑁 𝑂 𝐸𝐻 4𝐸𝑀 𝐴𝐶 2𝑀𝑁 𝐴𝑀
4 5 10
A(cid:73)3 B(cid:73)2 2 C(cid:73) D(cid:73)
3 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)A
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:63)(cid:91)(cid:93)O(cid:176) (cid:94)(cid:225)(cid:93)P(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:33)(cid:141) =2 5(cid:63)(cid:286) = (cid:63)(cid:83) = (cid:63)(cid:140)
(cid:250) = (cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:141) 𝑂𝑃⊥𝐴𝐻 (AAS)(cid:63)(cid:140)(cid:250) = 𝑂𝐻 = 1 𝑀𝑁 =2 5(cid:63) = 𝐸𝑀 = 𝑎 1 𝐸𝐻 = 5 2(cid:63)𝑎(cid:93)O
2 2
𝐴𝑀 𝐶𝑁 △𝐴𝑂𝑀≌△𝐶𝑂𝑁 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝑂𝑀 𝑂𝑁 𝑀𝑁
(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:51)(cid:218)(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:31)(cid:32)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:33)(cid:141) (cid:63) (cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:33)(cid:30)(cid:138)(cid:139)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)𝐸(cid:79)𝐹(cid:80)𝐺𝐻(cid:89)(cid:264)(cid:63)(cid:91)(cid:93)O(cid:176) (cid:94)(cid:225)(cid:93)P𝑂(cid:63)𝑀(cid:223)(cid:224)𝐴𝑃
𝑂𝑃⊥𝐴𝐻 𝑂𝐻= =4 5
∵𝐴𝐶 =22𝑀𝑁5
∴𝑀𝑁=
∵(cid:286)𝐸𝐻 4=𝐸𝑀(cid:63)(cid:83) =
∴ 𝐸𝑀= 𝑎 𝐸=𝐻 2𝑎
∴𝑀𝐻 𝐸𝐻−𝐸𝑀 3𝑎
∵△𝐴=𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐺
∴𝐴𝐸 =𝐶𝐺
∵𝐸𝑀+ 𝐺𝑁= +
∴𝐴𝐸 =𝐸𝑀 𝐶𝐺 𝐺𝑁
∴(cid:70)𝐴𝑀(cid:60)(cid:25)𝐶𝑁 (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
∵ 𝐸𝐹𝐺𝐻
∴𝐴𝐻∥𝐶𝐹=
∴(cid:243)∠𝐴𝑀𝑂 =∠𝐶𝑁𝑂
∵∠𝐴𝑂𝑀 ∠𝐶𝑂𝑁(AAS)
∴△𝐴 = 𝑂𝑀≌ = △1𝐶𝑂𝑁 =2 5(cid:63) = = 1 = 5
2 2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝑂𝑀 𝑂𝑁 𝑀𝑁
(cid:93)O(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:51)(cid:218)
∴ (cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50) 𝐸(cid:63)𝐹𝐺𝐻 =45°
∴𝑂𝑃 (cid:67)(cid:62)𝐸(cid:197)𝐻(cid:68)(cid:34)∠(cid:198)𝑃𝐻(cid:34)𝑂(cid:25)
∴△𝑃=𝐻𝑂 =
∴𝑂𝑃 𝑃𝐻 2𝑎
= + = ( ) + = 5 = 5
2 2 2 2
∴𝑂𝑀 𝑂𝑃 𝑀𝑃 2𝑎 𝑎 𝑎
=1
∴𝑎 = =2
∴𝑂𝑃 2𝑎= = 2 5 2 =4
2
2 2 2
∴𝐴𝑃 = 𝑂𝐴 −𝑂𝑃= =3(cid:73) −
∴(cid:143)𝐴(cid:152)𝑀(cid:10)A𝐴(cid:73)𝑃−𝑀𝑃 4−1
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:134)(cid:145)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)
(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:67)(cid:126)(cid:127)(cid:234)(cid:149)(cid:128)(cid:129)(cid:93)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)3-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:291)(cid:292)(cid:293)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:294)(cid:272)(cid:74)(cid:11)(cid:273)(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:81)(cid:276)(cid:289)(cid:290)(cid:298)(cid:299)(cid:279)(cid:57)(cid:300)(cid:51)(cid:63)(cid:32)(cid:70)(cid:66)(cid:240)
(cid:62)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:283)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:24)(cid:301)(cid:43)(cid:44)(cid:122)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:223)(cid:110) (cid:63)(cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)29(cid:63) =5(cid:63)
(cid:83) (cid:26)(cid:38)(cid:150) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐸
𝐶𝐸
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20) 34
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
(cid:262)(cid:263)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)29(cid:63)(cid:140)(cid:250) = 29(cid:63)(cid:242)(cid:131)(cid:132)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:252)(cid:253)(cid:138)(cid:139)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)𝐴(cid:10)𝐵(cid:79)𝐶𝐷(cid:80)(cid:63) 𝐵𝐶
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)29(cid:63)
∵ = 𝐴2𝐵9𝐶(cid:63)𝐷
∴(cid:70)𝐵𝐶(cid:66)(cid:240)(cid:62)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∵ = =5(cid:63)
∴𝐶𝐹 =𝐵𝐸 =2(cid:63)
2 2
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐶 −𝐶=𝐹3
∴𝐸𝐹= 𝐵𝐸−𝐵+𝐹 = 34(cid:63)
2 2
∴𝐶𝐸 𝐸𝐹 𝐶𝐹(cid:143)(cid:116)(cid:117)(cid:150)(cid:10) 34(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)3-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) (cid:67) (cid:149)(cid:306)(cid:307)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)
(cid:162) (cid:3)(cid:225) (cid:86)(cid:219)(cid:63) (cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:162) (cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:94)(cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:94) (cid:225)𝐴𝐵(cid:93)𝐶𝐷(cid:73) 𝐺 𝐴𝐷 𝐶𝐺 𝐵
𝐸 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐸𝐷 𝐹 𝐵𝐸 𝐶𝐺 𝑃
(cid:96)1(cid:108) (cid:35)(cid:74)(cid:150) °(cid:113)
(cid:96)2(cid:108)∠(cid:82)𝐹(cid:93) (cid:67) (cid:51)(cid:93)(cid:63) =10(cid:63)(cid:83) (cid:26)(cid:38)(cid:150) (cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20) 𝐷 𝐸4𝐹5 4𝐶𝐸5 𝑃𝐹
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:63)(cid:263)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:251)(cid:34)(cid:90)(cid:145)(cid:29)(cid:140)(cid:250) + =90°(cid:63) + + =180°(cid:63)(cid:110)(cid:304)(cid:86)(cid:308)(cid:34)(cid:61)
(cid:62)(cid:123)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:112)(cid:145) = (cid:123) = ∠1(cid:123) ∠6= + ∠3(cid:63)(cid:272)∠(cid:309)4 ∠+5 + =180°(cid:140)(cid:250)(cid:3)
(cid:225) (cid:26)(cid:24)(cid:310)(cid:63)(cid:33)(cid:30)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250) =4∠55°(cid:63)(cid:242)∠6(cid:263)(cid:86)∠(cid:219)1(cid:27)(cid:28)∠2(cid:63)(cid:81)∠4Rt ∠2 (cid:51)∠3(cid:63)(cid:263)(cid:87)(cid:311)∠3(cid:34)(cid:84)∠(cid:312)4(cid:33)(cid:30)∠5(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250)(cid:116)(cid:117)(cid:113)
(cid:96)∠2(cid:108)3 (cid:223)(cid:224) (cid:123) (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)∠3(cid:63)(cid:263)(cid:86)(cid:219)(cid:27)(cid:140)(cid:250) = =10,△𝐹𝑃=𝐸 (cid:63) = =45°(cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:112)(cid:145)
=90𝐵°𝐹, 𝐵=𝐷 =10(cid:63)(cid:81)Rt (cid:51)(cid:123)R𝐶t𝐵 𝐶𝐸 (cid:51)(cid:90)R𝐵t𝐹 𝐸𝐹(cid:51)(cid:63)∠𝐵(cid:263)𝐹𝑃(cid:289)(cid:290)∠(cid:145)𝐸(cid:29)𝐹𝑃(cid:109)(cid:154)(cid:33)(cid:30)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250)(cid:116)
∠(cid:117)𝐵(cid:73)𝐹𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐵 △𝐵𝐷𝐶 △𝐵𝐹𝐷 △𝑃𝐸𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:96)1(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
(cid:83) + =90°(cid:63) + + =180°(cid:63) = (cid:63)
(cid:263)∠(cid:162)1 (cid:3)∠6(cid:225) (cid:86)(cid:219)∠(cid:63)3(cid:140)(cid:250)∠4 =∠5 (cid:63)(cid:83) ∠=5 (cid:63)∠6
(cid:81)𝐵(cid:23)(cid:24)𝐸(cid:25) 𝐶𝐺(cid:51)(cid:63) = 𝐶𝐵(cid:63)(cid:83)𝐶𝐸 = ∠1(cid:63) ∠2
= 𝐴𝐵+𝐶𝐷 (cid:63) 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷
∴∠4+(∠2 +∠3 )+( )=180°(cid:63)(cid:138) +( )=90°(cid:63)
(cid:30)∴(cid:140)∠3 =∠245°(cid:63)∠3 90°−∠1 2∠3 ∠2−∠1
(cid:263) (cid:162)∠3(cid:3)(cid:225) (cid:86)(cid:219)(cid:63)(cid:140)(cid:250) =90°(cid:63)
𝐵 𝐸 𝐶𝐺 ∠𝐹𝑃𝐸(cid:81)Rt (cid:51)(cid:63) =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:83) =45°(cid:113)
(cid:143)(cid:116)(cid:117)△(cid:150)𝐹𝑃(cid:10)𝐸45(cid:113)∠𝐹𝑃𝐸 ∠3 ∠𝐹
(cid:96)2(cid:108)(cid:223)(cid:224) (cid:123) (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
𝐵𝐹 𝐵𝐷
(cid:263) (cid:162) (cid:3)(cid:225) (cid:86)(cid:219)(cid:63)(cid:140)(cid:250) = =10, = (cid:63) = =45°(cid:63)
(cid:83)𝐵 𝐸 =9𝐶0𝐺°, = =𝐶1𝐵0(cid:63)𝐶𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐵𝐹𝑃 ∠𝐸𝐹𝑃
(cid:81)∠Rt𝐵𝐹𝐸 (cid:51)(cid:63)𝐶(cid:263)𝐷 (cid:289)(cid:290)𝐶𝐵(cid:145)(cid:29)(cid:139)(cid:140) = 2 =10 2,
(cid:93)△(cid:67)𝐵𝐷𝐶(cid:51)(cid:93)(cid:63) 𝐵𝐷 𝐵𝐶
(cid:286) ∵ 𝐷 = 𝐸𝐹 = 1 = ,(cid:83) = = (cid:63)
2
𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐹 𝑥 𝐵𝐹 𝐸𝐹 2𝑥
(cid:81)Rt (cid:51)(cid:63)(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:139)(cid:140) = + ,(cid:138)5 =(10 2) =200(cid:63)
2
2 2 2 2
(cid:30)(cid:140)△ = 𝐵 2 𝐹𝐷 10(cid:63) 𝐵𝐷 𝐹𝐷 𝐵𝐹 𝑥
𝑥= =4 10,
(cid:81)∴(cid:62)𝐸𝐹(cid:197)R2t𝑥 (cid:51)(cid:63) = , =4 10,(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:139)(cid:140) + = =160,
2 2 2
(cid:30)(cid:140) =△4𝑃5𝐸,𝐹 𝑃𝐹 𝐸𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝐸𝐹
(cid:143)(cid:116)𝑃(cid:117)𝐹(cid:150)(cid:10)4 5(cid:73)
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:313)(cid:314)(cid:148)(cid:304)(cid:63)(cid:315)(cid:256)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:251)(cid:34)(cid:90)(cid:145)(cid:29)(cid:123)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:87)(cid:311)(cid:34)(cid:84)(cid:312)(cid:123)(cid:86)(cid:308)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:123)
(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:86)(cid:219)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:61)(cid:3)(cid:313)
(cid:314)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:316)(cid:112)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:36)(cid:33)(cid:30)(cid:67)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)3-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:321)(cid:156)(cid:322)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93) (cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60) (cid:149)(cid:63)(cid:238)(cid:38) (cid:323)(cid:93) (cid:63)(cid:213)
= (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:90) (cid:63)(cid:285) (cid:26)(cid:51)(cid:93) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:64)(cid:238)(cid:38)(cid:63)𝐸(cid:162) (cid:94)(cid:225)𝐴(cid:93)𝐵𝐶𝐷(cid:73)(cid:82) 𝐶𝐷=3(cid:63) =𝐶𝐵2(cid:63)(cid:83)𝐹 (cid:26)(cid:38)
𝐵(cid:150)𝐹 𝐷𝐸(cid:73) 𝐴𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐶 𝐺 𝐵𝐺 𝐶𝐺 𝐷𝐸5
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)
4
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:36)(cid:37)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:262)(cid:43)
(cid:44) (SAS)(cid:63)(cid:140)(cid:250) (cid:67) (cid:26)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:63)(cid:83) = (cid:63)(cid:286) = = (cid:63)(cid:83) = (cid:63)
△=𝐴𝐷𝐸=≌3△+𝐴𝐵(cid:63)𝐹(cid:81)Rt (cid:51)𝐴𝐻(cid:63)(cid:263)𝐸(cid:289)𝐹(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140)2 +( 𝐺𝐸) =𝐺(𝐹3+ )𝐷𝐸(cid:63)(cid:30)𝐵(cid:24)𝐹(cid:310)(cid:138)𝑥(cid:139)(cid:73)𝐸𝐶 5−𝑥
2 2 2
(cid:15)𝐺𝐸(cid:142)(cid:30)𝐺(cid:20)𝐹(cid:30)(cid:10)(cid:79)𝑥(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:63)△(cid:223)𝐸(cid:224)𝐶𝐺 (cid:63) 5−𝑥 𝑥
𝐺𝐸
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = = + =3+2=5(cid:63) = = = =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐵(cid:63) 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐺 𝐶𝐺 ∠𝐷 ∠𝐴𝐵𝐺 ∠𝐴𝐵𝐹 ∠𝐶
∵𝐵𝐹 𝐷𝐸 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:63)△𝐴𝐵𝐹
∴𝐴𝐸(cid:26)(cid:51)𝐴𝐹(cid:93)(cid:150) (cid:63)
∵𝐸𝐹 (cid:63) 𝐻
∴𝐴𝐻(cid:67)⊥𝐸𝐹(cid:26)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:63)
∴𝐴𝐻=𝐸𝐹(cid:63)
∴(cid:286)𝐺𝐸 =𝐺𝐹 = (cid:63)(cid:83) = (cid:63) = =3+ (cid:63)
(cid:81)𝐷R𝐸t 𝐵𝐹 (cid:51)𝑥(cid:63)(cid:263)(cid:289)𝐸𝐶(cid:290)(cid:145)5(cid:29)−𝑥(cid:140) 𝐺𝐸+ 𝐺𝐹 = 𝑥
2 2 2
∴2 +△( 𝐸𝐶𝐺) =(3+ ) (cid:63) 𝐶𝐺 𝐶𝐸 𝐸𝐺
2 2 2
∴ 5−𝑥5 𝑥
(cid:30)(cid:140)(cid:10) = (cid:63)
4
𝑥5
= (cid:63)
4
∴𝐷𝐸
5
(cid:143)(cid:116)(cid:117)(cid:150)(cid:10) (cid:73)
4
【题型4 利用正方形的性质求面积】
(cid:15)(cid:95)4(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:123) (cid:50)(cid:284)(cid:81)(cid:60) (cid:123) (cid:149)(cid:63) (cid:63)(cid:94)(cid:93)(cid:150) (cid:63) (cid:63)(cid:94) (cid:225)(cid:93)
(cid:73)(cid:82) = (cid:63) =𝐴𝐵1𝐶(cid:63)𝐷(cid:324)(cid:325)(cid:23)(cid:24)𝐸(cid:25)𝐹(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)(cid:96)𝐵 𝐶 (cid:108)𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐵𝐹 𝐺 𝐶𝐻⊥𝐵𝐹 𝐵𝐹
𝐻 𝐶𝐻 𝐻𝐺 𝑆△𝐶𝐹𝐻
A(cid:73)15 B(cid:73)20 C(cid:73)22 D(cid:73)24
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)B
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:131)(cid:132) (cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:326)(cid:34)(cid:26)(cid:312)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:140)(cid:141) = (cid:63)(cid:242)(cid:131)(cid:132) (cid:138)(cid:139)(cid:43)(cid:141) (cid:63)
(cid:140) = (cid:63)(cid:286)𝐴𝐸⊥𝐵=𝐹 (cid:63)(cid:253)(cid:141) = + =∠𝐸𝐴5𝐵 (cid:63)∠(cid:286)𝐹𝐵𝐶(cid:150) (cid:63)(cid:50)(cid:284)𝐴(cid:81)𝐴𝑆 (cid:90) △𝐴𝐵𝐺(cid:51)≌(cid:213)△(cid:32)𝐵𝐶(cid:289)𝐻(cid:290)(cid:145)
2 2
(cid:29)𝐵(cid:140)𝐺
=
𝐶1𝐻(cid:63)(cid:242)(cid:263)𝐶𝐻 𝑥 =1(cid:140)𝐵𝐶 =2(cid:63)𝐶(cid:138)𝐻(cid:139)(cid:33)𝐵(cid:141)𝐻(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 𝑥(cid:39)(cid:40)𝐹(cid:73)𝐻 𝑦 △𝐶𝐹𝐻 △𝐶𝐹𝐵
2
𝑦 𝑥 𝑆△𝐶𝐹𝐻 𝑥
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10) (cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= (cid:63) ∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷=90°(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶(cid:63)∠𝐴𝐵𝐸=9∠0𝐵°(cid:63)𝐶𝐹
∵𝐴𝐸⊥𝐵+𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶=90°(cid:63) + =90°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐺𝐵𝐴(cid:63) ∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐺𝐵𝐴
∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:63)∠𝐶𝐵𝐹
∵𝐶𝐻⊥𝐵=𝐹90°= (cid:63)
(cid:81)∴∠𝐵𝐻𝐶 (cid:162) ∠𝐴(cid:51)𝐺(cid:63)𝐵
△𝐴𝐵=𝐺 △𝐵𝐶𝐻
= (cid:63)
∠𝐵𝐺𝐴 =∠𝐵𝐻𝐶
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐵𝐹
𝐴𝐵 𝐵𝐶 (cid:63)
∴△𝐴𝐵=𝐺≌△(cid:63)𝐵𝐶𝐻(𝐴𝐴𝑆)
∴𝐵𝐺 𝐶𝐻(cid:286) = (cid:63)(cid:83) = = (cid:63)
𝐶𝐻 =𝑥 (cid:63) 𝐻𝐺 𝐵𝐺 𝑥
∴𝐵𝐻= 2𝑥 + = 5 (cid:63)
2 2
(cid:286)∴𝐵𝐶(cid:150) (cid:63)𝐶𝐻 𝐵𝐻 𝑥
𝐹𝐻 𝑦 (cid:63)
(cid:81)∵𝐶𝐻⊥𝐵𝐹(cid:51)(cid:63) = + = + (cid:63)
2 2 2 2 2
(cid:81)△𝐶𝐹𝐻(cid:51)(cid:63)𝐶𝐹 = 𝐹𝐻 𝐶𝐻 = 𝑥 +𝑦 (cid:63)
2 2 2 2 2
△𝐶+𝐹𝐵 = 𝐶𝐹+ 𝐵𝐹 −𝐵(cid:63)𝐶 (2𝑥 𝑦) −5𝑥
2 2 2 2
(cid:30) ∴ (cid:140) 𝑥 (cid:10) 𝑦 = 1 ( (cid:63) 2𝑥 𝑦) −5𝑥
2
𝑦 𝑥
= 1 = 1 =1(cid:63)
2 4
2
∴ 𝑆△𝐶𝐹𝐻 𝐹𝐻⋅𝐶𝐻 𝑥
=2(cid:96)(cid:327)(cid:328)(cid:108)(cid:63)
∴𝑥
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150) =(2 5) =20(cid:73)
2
2
(cid:143)∴(cid:152)(cid:10) (cid:73) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:254)𝐵(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:50)(cid:284)(cid:81) (cid:90) (cid:51)
(cid:213)(cid:32)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:67)(cid:119)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73) △𝐶𝐹𝐻 △𝐶𝐹𝐵
(cid:15)(cid:153)(cid:154)4-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:196)(cid:329)(cid:326)(cid:11)(cid:244)(cid:60)(cid:38)(cid:150)3(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:330)(cid:331)(cid:189)(cid:332) (cid:162)(cid:57)(cid:333)(cid:334)(cid:335)(cid:18)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:332)(cid:46)(cid:336)(cid:81)(cid:57)(cid:337)(cid:63)
(cid:194)(cid:51)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:332)(cid:26)(cid:68)(cid:34)(cid:308)(cid:93)(cid:338)(cid:81)(cid:93) (cid:339)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:68)(cid:34)(cid:60)(cid:50)(cid:284)(cid:162)𝐴𝐵𝐶(cid:94)𝐷(cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:162) (cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:94)(cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:83)(cid:70)(cid:60)(cid:25)
(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:67) (cid:73) 𝐴 𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐵 𝐸 𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)9
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:340)(cid:262)(cid:134)(cid:145) ABE ADF(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:138)(cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:330)(cid:331)(cid:189)(cid:332) (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:63)(cid:138)
(cid:139)(cid:140)(cid:30). △ ≌△ 𝐴𝐸𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:263)(cid:341)(cid:128)(cid:140)(cid:63) EAF=90°(cid:63) BAD=90°(cid:63)AB=AD
EAB= FAD ∠ ∠
∴∠ABE ∠ ADF(cid:96)ASA(cid:108)(cid:63)
∴△ ≌△ = =3×3=9
四边形
∴(cid:143)𝑆(cid:116)(cid:117)(cid:150)𝐴𝐸𝐶9𝐹. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:21).
(cid:15)(cid:153)(cid:154)4-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:321)(cid:342)(cid:343)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:93)F(cid:63)B(cid:63)C(cid:81)(cid:326)(cid:57)(cid:68)
(cid:36)(cid:149)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)M(cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:82) =4(cid:63) =𝐴𝐵5𝐶(cid:63)𝐷(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐸𝐹𝐺(cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)(cid:96)(cid:239)(cid:239)(cid:108)
𝐷𝐹 𝐷𝐹 𝐴𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝐵𝐸𝐹𝐺
A(cid:73)1 B(cid:73) 2 C(cid:73)1.5 D(cid:73) 3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)B
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:124)(cid:125)
(cid:126)(cid:127)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:67)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:238)(cid:38) (cid:94) (cid:225)(cid:93)H(cid:63)(cid:43)(cid:44) (cid:90) (cid:240)(cid:62)(cid:140) = =4(cid:63) = = 5(cid:63)(cid:83) =2 5(cid:63)(cid:81)Rt
𝐴𝑀(cid:51)(cid:63)𝐵𝐶(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140) △=𝐴𝑀2𝐷(cid:63)(cid:83)△𝐻=𝑀𝐹2(cid:63)(cid:287)(cid:288)𝐴(cid:81)𝐷Rt 𝐻𝐹 (cid:51)(cid:63)(cid:263)𝐴𝑀(cid:289)(cid:290)𝐻(cid:145)𝑀(cid:29)(cid:33)(cid:141) (cid:138)𝐴(cid:139)𝐻(cid:140)(cid:141)(cid:116)(cid:117)(cid:73)
(cid:15)△(cid:142)𝐴𝐵(cid:30)𝐻(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:238)(cid:38) (cid:94) 𝐵(cid:225)𝐻(cid:93)H(cid:63)(cid:79)𝐹(cid:80)𝐵(cid:89)(cid:264)(cid:10) △𝐹𝐵𝐺 𝐵𝐺
𝐴𝑀 𝐵𝐶
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) =4(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =4(cid:63) 𝐵𝐶 (cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶= (cid:63)
∴(cid:93)∠𝑀M𝐴𝐷(cid:67) ∠(cid:26)𝑀(cid:51)𝐻𝐹(cid:93)(cid:63) = 5(cid:63)
∵ = 𝐷𝐹(cid:63) 𝐴𝑀
∴(cid:81)𝑀𝐷 𝑀𝐹(cid:90) (cid:51)(cid:63)
△𝐴𝑀=𝐷 △𝐻𝑀𝐹
= (cid:63)
∠𝑀𝐴𝐷 =∠𝑀𝐻𝐹
∠𝑀𝐴𝐷 ∠𝑀𝐷𝐻
𝑀𝐷 𝑀𝐹 (AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝑀𝐷≌=△4𝐻(cid:63)𝑀 𝐹 = = 5(cid:63)
∴𝐴𝐷 =𝐻𝐹 + =𝐴𝑀2 5(cid:63)𝐻𝑀
∴𝐴𝐻 𝐴𝑀 𝐻𝑀
(cid:81)Rt (cid:51)(cid:63) = = (2 5) 4 =2
2
2 2 2
=△𝐴𝐵𝐻 =𝐵2𝐻(cid:63) 𝐴𝐻 −𝐴𝐵 −
∴(cid:70)𝐹𝐵(cid:60)(cid:25)𝐻𝐹−𝐵𝐻(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐵𝐸(cid:63)𝐹𝐺 =90°(cid:63)
(cid:81)∴𝐵R𝐺t 𝐹𝐺 (cid:51)∠𝐺(cid:63)(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140)(cid:10) = + = 2 (cid:63)
2 2
= △𝐹2𝐵𝐺 = 2×2= 2(cid:73) 𝐹𝐵 𝐵𝐺 𝐹𝐺 𝐵𝐺
2 2
∴𝐵𝐺 𝐹𝐵
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150) 2(cid:73)
∴(cid:143)(cid:152)(cid:10)B𝐵(cid:73)𝐸𝐹𝐺
(cid:15)(cid:153)(cid:154)4-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:235)(cid:344)(cid:103)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:60)(cid:38)(cid:150)8(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:67)(cid:60) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)
(cid:81)(cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:149)(cid:306)(cid:285)(cid:57)(cid:93)M(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:123) (cid:63)(cid:227) (cid:228)(cid:63) (cid:26)(cid:39)(cid:40)𝐴(cid:150)𝐵(cid:96)𝐶𝐷 (cid:108) 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐸𝑀 𝐷𝑀 𝐸𝑀⊥𝐷𝑀 △𝐴𝐸𝑀
32
A(cid:73)16 B(cid:73)12 C(cid:73)8 2 D(cid:73)
3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)B
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:91)M(cid:176) (cid:94) (cid:225)F(cid:63)(cid:94) (cid:225)G(cid:63)(cid:176) (cid:94) (cid:225)H(cid:63)(cid:43)(cid:44) (cid:63)
(cid:131)(cid:132)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)𝐷(cid:140)𝐸(cid:250) = 𝐺𝐹=∥2𝐵𝐶10(cid:63)𝐶𝐷(cid:286) = 𝐴𝐵= = 𝑀(cid:63)𝐻(cid:263)⊥(cid:62)𝐴(cid:39)𝐷 (cid:40)𝐴(cid:301)𝐷(cid:33)(cid:141) =6(cid:63)△(cid:131)𝐷(cid:132)𝐹(cid:198)𝑀(cid:34)≌(cid:25)△(cid:39)𝑀𝐺(cid:40)𝐸(cid:7)
(cid:154)(cid:252)(cid:253)(cid:138)(cid:139)(cid:73) 𝐷𝑀 𝑀𝐸 𝐺𝑀 𝐷𝐹 𝐻𝑀 𝑥 𝑥(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:91)M(cid:176) (cid:94) (cid:225)F(cid:63)(cid:94) (cid:225)G(cid:63)(cid:176) (cid:94) (cid:225)H(cid:63)
𝐷𝐸 𝐺𝐹∥𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝑀𝐻⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)
∴ = 𝐹𝐺(cid:63)𝐵𝐶 = (cid:63) 𝐷𝐹𝑀𝐻
∴𝐹𝐺 𝐵=𝐶45𝐷°𝐹(cid:63) 𝐻𝑀
∵∠𝐹𝐶=𝑀 (cid:63)
∴𝐹𝐶 =𝐹𝑀= (cid:63)
∵𝐹𝐺 𝐶𝐵= 𝐷𝐶 (cid:63)
(cid:138)∴𝐹𝐺−𝐹=𝑀 (cid:63)𝐷𝐶−𝐹𝐶
𝐺𝑀 𝐷𝐹(cid:63)
∵𝐸𝑀⊥𝐷+𝑀 =90°(cid:63)
∴∠𝐵𝑀𝐹+∠𝐸𝑀𝐺 =90°(cid:63)
∵∠𝐵𝑀𝐹=∠𝑀𝐷𝐹(cid:63)
∴∠𝐸𝑀𝐺 =∠𝑀𝐷𝐹=90°
∵∠𝐷𝐹𝑀 ∠𝑀𝐺𝐸 (ASA)(cid:63)
∴△𝐷=𝐹𝑀≌(cid:63)△𝑀𝐺𝐸= =
∴(cid:81)𝐷𝑀(cid:60)(cid:38)𝑀(cid:150)𝐸8(cid:26)𝐺𝑀(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐷𝐹 𝐻𝑀(cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:67)(cid:60) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)
∵ + =8 +4𝐴𝐵(cid:63)𝐶𝐷 𝐴𝐵
2 2 2 2
∴(cid:30)𝐷(cid:140)𝑀(cid:10) 𝑀𝐸= =2 10(cid:63)
(cid:286) =𝐷𝑀 =𝑀𝐸 = (cid:63)
𝐺𝑀 +𝐷𝐹 𝐻𝑀= 𝑥 + (cid:63)
∵𝑆1 △𝐴𝐷𝐸 𝑆△𝑀1𝐷𝐸 𝑆△𝐴𝐷𝑀 𝑆△𝐴𝐸1𝐶 1
×8×4+ ×2 10×2 10= ×8× + ×4×
2 2 2 2
∴ 𝑥 𝑥
(cid:30)(cid:140)(cid:10) =6
𝑥 = 1 ×4×6=12(cid:63)
2
∴𝑆△𝐴𝐸𝑀
(cid:143)(cid:152)(cid:10)B(cid:73)(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)
(cid:136)(cid:128)(cid:129)(cid:93)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
【题型5 利用正方形的性质进行证明】
(cid:15)(cid:95)5(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:155)(cid:16)(cid:345)(cid:346)·(cid:347)(cid:37)(cid:125)(cid:348)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63) (cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:251)(cid:57)(cid:93)(cid:63) =90°(cid:63) (cid:150)(cid:86)(cid:34)(cid:36)
(cid:26)(cid:94)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:73) 𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐸𝐶 𝑂
𝑂𝐸 𝑂𝐶
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) =45°(cid:113)
(2)(cid:33)(cid:43)(cid:10)∠𝑂𝐸𝐶 = 2 (cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(𝐶1𝐸)(cid:349)−𝐵(cid:30)𝐸(cid:118) 𝑂𝐸
(2)(cid:349)(cid:30)(cid:118)
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:208)(cid:43)(cid:44) =45 (cid:63)(cid:120)(cid:350)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:36)(cid:73)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:65)(cid:69)(cid:50)(cid:63)
∘
(cid:150)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:94)(cid:93)(cid:63)(cid:139)(cid:351)(cid:91)∠(cid:317)𝑂𝐸(cid:318)𝐶(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:244) (cid:162)(cid:179)(cid:180)(cid:34)(cid:185)(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:73) 𝑂
(cid:96)2(cid:108)(cid:208)(cid:43)(cid:44) = 2 (cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:96)1(cid:108)(cid:51)∠(cid:140)𝑂(cid:250)𝐸𝐶(cid:26)(cid:240)(cid:62)(cid:3)(cid:354)(cid:63)(cid:244) (cid:249)(cid:355)(cid:150) (cid:63)(cid:242)(cid:110)(cid:304)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)
(cid:26)(cid:60)(cid:26)(cid:3)(cid:354)(cid:41)𝐶(cid:42)𝐸−(cid:266)𝐵(cid:356)𝐸(cid:73) 𝑂𝐸 𝐵𝐸 𝐶𝑀 △𝐸𝑂𝑀
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:30)(cid:10)(cid:91)(cid:93) (cid:176) (cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)
𝑂 𝑂𝑀⊥𝑂𝐸 𝐶𝐸 𝑀 𝑂𝐵
=90 (cid:63)
∘
∴(cid:70)∠𝐸(cid:60)𝑂𝑀(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) (cid:150)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:94)(cid:93)(cid:63)
∵ = 𝐴𝐵(cid:63)𝐶𝐷 =90 (cid:73)𝑂
∘
∴(cid:243)𝑂𝐵 𝑂𝐶=∠9𝐵0𝑂(cid:63)𝐶
∘
∵∠𝐸𝑂+𝑀 = + =90 (cid:63)
∘
∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐵𝑂𝑀(cid:73) ∠𝐵𝑂𝑀 ∠𝐶𝑂𝑀
∴∠𝐵𝑂𝐸=9∠0𝐶𝑂(cid:63)𝑀 =90 (cid:63)
∘ ∘
∵∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶+ + =90°(cid:63) + + =90°(cid:63)
∴∠𝐸𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶 (cid:73)∠𝐸𝐶𝐵 ∠𝑂𝐶𝑀 ∠𝐸𝐶𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶
(cid:81)∴∠𝐸𝐵𝑂 (cid:90)∠𝑀𝐶𝑂 (cid:51)(cid:63)
△𝐵𝑂𝐸= △𝐶𝑂𝑀
=
∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝑀
𝑂𝐵 𝑂𝐶
∠𝐸𝐵𝑂 ∠𝑀𝐶𝑂(cid:73)
∴△𝐵=𝑂𝐸≌(cid:73)△𝐶𝑂𝑀
∴𝑂𝐸 𝑂=𝑀90 (cid:63) = (cid:63)
∘
∵∠𝐸𝑂𝑀 (cid:67)(cid:62)(cid:197)(cid:68)𝑂𝐸(cid:34)(cid:198)𝑂(cid:34)𝑀(cid:25)(cid:73)
∴△𝐸𝑂𝑀=45 (cid:73)
∘
(cid:96)∴∠2𝑂(cid:108)𝐸(cid:43)𝐶 (cid:44)(cid:10)(cid:263)(cid:96)1(cid:108)(cid:128) (cid:63) = (cid:73)
= (cid:73) △𝐵𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝑀 𝑂𝐸 𝑂𝑀
∴𝐵𝐸 𝐶𝑀(cid:67)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63) = (cid:73)
∵△𝐸=𝑂𝑀2 (cid:73) 𝑂𝐸 𝑂𝑀
∴(cid:243)𝐸𝑀 𝑂𝐸= (cid:63)
∵𝐶𝐸−𝐶=𝑀 2𝐸𝑀(cid:73)
∴(cid:15)𝐶(cid:93)𝐸−(cid:254)𝐵(cid:20)𝐸(cid:119)(cid:21)(cid:255)𝑂(cid:208)𝐸 (cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:96)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:84)(cid:61)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:65)(cid:61)(cid:62)(cid:123)(cid:70)(cid:66)(cid:34)(cid:150)(cid:68)(cid:34)(cid:108)(cid:123)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)
(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:96)ASA(cid:108)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:234)(cid:256)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:73)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:81)(cid:225)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:94)(cid:93)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:317)(cid:318)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:244)(cid:89)(cid:33)(cid:34)(cid:90)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:354)(cid:249)(cid:355)(cid:250)(cid:124)(cid:357)(cid:26)(cid:179)(cid:180)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:96)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:108)(cid:51)(cid:41)(cid:42)(cid:33)(cid:30)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)5-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:51)(cid:63)(cid:93)E(cid:123)F(cid:50)(cid:284)(cid:81)BC(cid:123)CD(cid:149)(cid:63)(cid:65) = (cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:73)
𝐵𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(cid:349)(cid:30)(cid:118)
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:131)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:140)AB=BC(cid:63) ABE= BCF=90˚(cid:63)(cid:31)(cid:32)SAS(cid:43)(cid:44) ABE BCF(cid:358)(cid:139)(cid:140)(cid:110)(cid:111)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:43)(cid:44)(cid:10) (cid:70)(cid:60)(cid:25)ABCD(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)∠ ∠ △ ≌△
∵AB=BC(cid:63) ABE= BCF=90˚(cid:63)
∴(cid:81) ABE(cid:90)∠ BCF∠(cid:51)(cid:63)
△ (cid:359) △
(cid:359) (cid:63)
𝐴𝐵(cid:359)𝐵𝐶
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝐹
A𝐵B𝐸E 𝐶𝐹BCF(cid:96)SAS(cid:108)(cid:63)
∴A△E=BF≌(cid:73)△
∴(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:67)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:360)(cid:119)(cid:128)(cid:129)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)5-2(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:48)(cid:235)(cid:361)(cid:16)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:93) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:26)(cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:149)(cid:306)(cid:307)(cid:57)(cid:93)(cid:63)
(cid:234)(cid:36)(cid:37) (cid:150)(cid:60)(cid:176)(cid:57)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:36)(cid:37) (cid:90) (cid:61)(cid:94)(cid:225)(cid:93)𝐺 (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐴
𝐴𝐺 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐵 𝐺𝐷 𝐻
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:113)
(2)(cid:82) =𝐸3𝐵(cid:63) 𝐺𝐷= 2(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)𝐴𝐵(cid:20)(1)(cid:349)(cid:30)𝐴𝐺(cid:118) 𝐷𝐺
(2) 17
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:171)(cid:21)(cid:362)(cid:35)(cid:363)(cid:51)(cid:63)(cid:4)(cid:307)(cid:126)(cid:127)(cid:74)
(cid:25)(cid:110)(cid:304)(cid:364)(cid:365)(cid:26)(cid:257)(cid:32)(cid:73)
(cid:96)1(cid:108)(cid:263)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:90)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:139)(cid:140) = (cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63)(cid:241)(cid:160)(cid:140)(cid:250)
= (cid:63)𝐴𝐵(cid:287)𝐶𝐷(cid:288)(cid:31)(cid:32)SAS𝐴(cid:138)𝐸(cid:139)𝐹𝐺(cid:43)(cid:44)(cid:110)(cid:111)(cid:113) 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐺 ∠𝐵𝐴𝐷
∠(cid:96)𝐺2𝐴(cid:108)𝐷(cid:79)(cid:80)∠(cid:89)𝐸𝐴(cid:264)𝐵(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:252)(cid:253)(cid:141) (cid:123) (cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:138)(cid:139)(cid:33)(cid:141) (cid:26)(cid:38)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:30)(cid:10) 𝐵(cid:263)𝐷(cid:70)(cid:60)𝐴𝐶(cid:25) 𝑂 (cid:90)(cid:70)(cid:60)(cid:25)𝑂𝐺 𝑂(cid:67)𝐷(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) 𝐷𝐺
= (cid:63) = ∵ (cid:63) 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)𝐴𝐸𝐹𝐺
∴𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐵= 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐺 =∠𝐵9𝐴0𝐷°(cid:63)
∵∠𝐺𝐴𝐷−=∠𝐸𝐴𝐷 (cid:63)∠𝐸𝐴𝐵−∠𝐸𝐴𝐷
(cid:81)∴∠𝐺𝐴𝐷 (cid:90)∠𝐸𝐴𝐵 (cid:51)(cid:10)
△𝐺𝐴𝐷 △𝐸𝐴𝐵=
= (cid:63)
𝐴𝐺 =𝐴𝐸
∠𝐺𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐵 SAS)(cid:63)
∴△𝐸𝐴=𝐵≌△(cid:73)𝐺𝐴𝐷(
(cid:96)∴2𝐸(cid:108)𝐵(cid:30)(cid:10)𝐺𝐷(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:63)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝑂
= + =3 2(cid:63)
2 2
∴𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝐵𝐶 = 3 2(cid:63)
2 2
∴𝐴𝑂 𝐷𝑂 𝐴𝐶
= + = 5 2(cid:63)
2
∴𝑂𝐺 𝐴𝐺 𝐴𝑂
= + = ( 3 2) +( 5 2) = 17(cid:73)
2 2
2 2
2 2
(cid:15)∴(cid:153)𝐷𝐺(cid:154)5-3𝐷(cid:20)𝑂(cid:79)(cid:80)𝑂(cid:89)𝐺(cid:264)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:81) (cid:60)(cid:149)(cid:63)(cid:366)(cid:36) (cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:94) (cid:26)(cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:225)(cid:93) (cid:73)(cid:33)
(cid:43)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐷 𝐴𝐹 𝐵𝐷 𝐸 𝐵𝐶 𝐺
(cid:96)1(cid:108) (cid:10)
(cid:96)2(cid:108)(cid:82)△(cid:93)𝐴𝐷𝐸(cid:67)≌ (cid:149)△(cid:26)𝐶𝐷(cid:51)𝐸(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:90) (cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) (cid:73)
𝐻 𝐹𝐺 𝐸𝐶 𝐶𝐻 𝐶𝐻⊥𝐶𝐸
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:349)(cid:30)(cid:118)(cid:96)2(cid:108)(cid:349)(cid:30)(cid:118)
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:340)(cid:262)(cid:131)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:140)AD(cid:359)CD(cid:63) ADB(cid:359) CDB(cid:359)45°(cid:63)(cid:242)(cid:56)DE(cid:67)(cid:7)(cid:151)(cid:60)(cid:63)(cid:139)(cid:234)(cid:31)(cid:32)
SAS(cid:134)(cid:145) ADE(cid:90) CDE(cid:240)(cid:62)(cid:113) ∠ ∠
(cid:96)2(cid:108)(cid:131)(cid:132)△(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)△(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:234)(cid:43)(cid:141) 1(cid:359) 2(cid:63)(cid:242)(cid:131)(cid:132)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:367)(cid:60)(cid:149)(cid:26)(cid:51)(cid:36)(cid:62)(cid:225)(cid:367)(cid:60)(cid:26)(cid:57)(cid:368)(cid:139)(cid:234)(cid:43)(cid:141)
∠ ∠CH(cid:359)HG(cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:131)(cid:132)(cid:62)(cid:60)(cid:86)(cid:62)(cid:34)(cid:43)(cid:141) G(cid:359) 4(cid:63)(cid:242)(cid:31)(cid:32)AD//BG(cid:139)(cid:234)(cid:140)(cid:250) 1(cid:359) G(cid:63)(cid:242)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:369)(cid:272)(cid:370)(cid:139)(cid:140)(cid:250)
2(cid:359) 4(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:263) 4(cid:371) 3(cid:359)90°(cid:63)(cid:139)(cid:140)∠2(cid:371)∠3(cid:359)90°(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:234)(cid:43)(cid:141)EC CH(cid:73)∠ ∠
∠(cid:15)(cid:142)(cid:30)∠(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:43)∠(cid:44)(cid:10)∠(cid:70)(cid:60)(cid:25)ABCD∠(cid:67)(cid:23)(cid:24)∠ (cid:25)(cid:63) ⊥
AD(cid:359)CD(cid:63) ADB(cid:359) ∵CDB(cid:359)45°(cid:63)
(cid:81)∴ ADE(cid:90)∠CDE(cid:51)∠(cid:63)
△ = △
= (cid:63)
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐸
A𝐷D𝐸E 𝐷C𝐸DE(cid:96)SAS(cid:108)(cid:113)
∴(cid:96)△2(cid:108)(cid:43)≌(cid:44)△(cid:10) ADE CDE(cid:63)
1(cid:359) 2(cid:63) ∵△ ≌△
∴(cid:81)∠ Rt∠FCG(cid:51)(cid:63)(cid:93)H(cid:67)FG(cid:149)(cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)
∵ △1
CH(cid:359) FG(cid:359)GH(cid:63)
2
∴
4(cid:359) G(cid:63)
∴A∠D//∠BG(cid:63)
∵ 1(cid:359) G(cid:63)
∴∠4(cid:359)∠1(cid:63)
∴∠2(cid:359)∠1(cid:63)
∵∠4(cid:359)∠2(cid:63)
∴∠4(cid:371)∠3(cid:359)90°(cid:63)
∵∠2(cid:371)∠3(cid:359)90°(cid:63)
∴E∠C C∠H(cid:73)
∴ ⊥
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:171)(cid:21)(cid:26)(cid:362)(cid:93)(cid:67)(cid:43)(cid:44)EC CH(cid:63)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)
(cid:26)(cid:372)(cid:373)(cid:260)(cid:67)(cid:43)(cid:44) 2(cid:359) 4(cid:73) ⊥
∠ ∠【题型6 正方形折叠问题】
(cid:15)(cid:95)6(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:103)(cid:321)(cid:321)(cid:374)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:15)(cid:189)(cid:22)(cid:375)(cid:207)(cid:20)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:11)(cid:348)(cid:91)(cid:310)(cid:51)(cid:63)(cid:270)(cid:376)(cid:377)(cid:207)(cid:100)(cid:39)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:10)(cid:79)
(cid:80)1(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)P(cid:150)(cid:36)(cid:37) (cid:149)(cid:57)(cid:66)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:82)(cid:36)(cid:37) (cid:85)(cid:68) (cid:225)(cid:93)E(cid:63)(cid:94)(cid:36)(cid:37) (cid:225)(cid:93)M(cid:63)(cid:94)(cid:36)(cid:37)
(cid:225)(cid:93)N(cid:63)(cid:83) 𝐴𝐵=𝐶𝐷 (cid:73) 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐴𝑃 𝑀𝑁
(cid:96)1(cid:108)(cid:79)(cid:80) (cid:63)(cid:244)(cid:60)(cid:38)(cid:150)40(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:213)(cid:140)(cid:93)B(cid:338)(cid:81) (cid:149)(cid:26)(cid:93) (cid:339)(cid:73)(cid:82)(cid:45)(cid:379) =41(cid:63)(cid:83) =
______(cid:73) ② 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐸 𝐹𝐺 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:20)
(cid:96)2(cid:108)(cid:79)(cid:80) (cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93)P(cid:150)(cid:36)(cid:37) (cid:149)(cid:57)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:82) (cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:37) (cid:63)(cid:50)(cid:284)(cid:94) (cid:63) (cid:63)
(cid:63) (cid:225)③(cid:93)M(cid:63)E(cid:63)F𝐴(cid:63)𝐵N𝐶𝐷(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = 𝐵+𝐶 (cid:73) 𝑀𝑁 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃
𝐵(cid:96)𝐷3(cid:108)𝐷(cid:79)𝐶(cid:80) (cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)E𝐸(cid:123)𝐹F(cid:50)𝑀(cid:284)𝐸(cid:150)𝐹𝑁(cid:63) (cid:149)(cid:26)(cid:93)(cid:63)(cid:176) (cid:225)M(cid:63)(cid:81) (cid:149)(cid:384)(cid:285) = (cid:63)
(cid:223)(cid:224) (cid:63)G④(cid:150) (cid:51)(cid:93)(cid:63)𝐴(cid:223)𝐵(cid:224)𝐶𝐷 (cid:63) (cid:73)(cid:385)(cid:386)(cid:21)(cid:307)𝐴𝐷(cid:387)(cid:240)𝐵(cid:80)𝐶(cid:25)(cid:63)(cid:82) =𝐷𝑀2(cid:63)⊥(cid:83)𝐸𝐹 =____𝑀__𝐹(cid:73) 𝑀𝑁 𝐷𝑀
(cid:15)(cid:116)𝐵(cid:117)𝑁(cid:20)(cid:96)1(cid:108)𝐵9(cid:113)𝑁(cid:96)2(cid:108)(cid:349)(cid:30)(cid:118)𝐶𝐺(cid:113)(cid:96)𝐶3𝑀(cid:108)(cid:387)(cid:240)(cid:80)(cid:25)(cid:349)(cid:30)(cid:118)(cid:63)2 2 𝐶𝐺 𝐶𝑀
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:31)(cid:32)ASA(cid:43)(cid:44) (cid:63)(cid:140) = =41(cid:63)(cid:242)(cid:31)(cid:32)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:139)(cid:140)(cid:116)(cid:117)(cid:73)
(cid:96)2(cid:108)(cid:131)(cid:132)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)△(cid:90)(cid:23)𝐹𝑃(cid:24)𝐺≌(cid:25)△(cid:26)𝐷(cid:27)𝐶(cid:28)𝐸(cid:33)(cid:140)𝐷𝐸 =𝐹𝑃(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:131)(cid:132)(cid:62)(cid:60)(cid:86)(cid:62)(cid:34)(cid:90)(cid:62)(cid:369)(cid:272)(cid:370)(cid:33)(cid:140)
=90°(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:367)(cid:60)(cid:51)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:141)
𝐹𝑃
=
𝐹𝐶1
(cid:63)(cid:263)(cid:189)(cid:22)(cid:375)(cid:207)(cid:128)(cid:63) = (cid:63)(cid:83)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:110)(cid:111)(cid:113)
2
∠𝐴𝐹𝑃 𝐹𝐸 𝐴𝑃 𝐴𝑃 𝑀𝑁
(cid:96)3(cid:108)(cid:223)(cid:224) (cid:64)(cid:238)(cid:38)(cid:213)(cid:140) = (cid:63)(cid:31)(cid:32)SAS(cid:139)(cid:43) (cid:63)(cid:242)(cid:110)(cid:304)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:44) 𝑀𝐺 𝑀(𝐺SAS)𝐺(cid:63)𝐻(cid:41)(cid:160)(cid:139)(cid:43)(cid:44) △𝐵(cid:63)𝐺𝐻≌△𝑁(cid:67)𝐺𝑀(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:116)(cid:117)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)△(cid:10)𝐶𝐵(cid:96)𝐻1≌(cid:108)△(cid:70)𝐶𝐷(cid:60)𝑀(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63) △𝑀𝐶𝐻 △𝐶𝐺𝑀
= = ∵=90°(cid:63)𝐴𝐵𝐶𝐷= (cid:63)
(cid:91)∴(cid:93)∠𝐴F(cid:176)∠𝐴𝐵𝐶 ∠(cid:225)𝐶P(cid:63)(cid:223)(cid:224)𝐴𝐵(cid:63)𝐶𝐵
𝐹𝑃⊥𝐶𝐵 𝐵𝐸(cid:83)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)
=𝐴𝐹𝑃𝐵 =90°(cid:63) = (cid:63)
(cid:263)∴(cid:388)∠𝐵(cid:45)𝐶𝐸(cid:128)(cid:63)∠𝐹𝑃𝐺 (cid:63)(cid:83) 𝐴𝐵 +𝐹𝑃 = + =90°(cid:63)
= 𝐺𝐹⊥(cid:63)𝐵𝐸 ∠𝐶𝐵𝐸 ∠𝑃𝐺𝐹 ∠𝑃𝐹𝐺 ∠𝑃𝐺𝐹
∴∠𝑃𝐹=𝐺 ∠=𝐶𝐵𝐸(cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐶𝐵 𝐹𝑃 (ASA)(cid:63)
∴△𝐹=𝑃𝐺≌△=4𝐵1𝐶(cid:63)𝐸
(cid:81)∴𝐵R𝐸t 𝐹𝐺 (cid:51)(cid:63)(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140) = = 41 40 =9(cid:63)
2 2 2 2
(cid:143)(cid:116)(cid:117)△(cid:150)𝐶𝐵(cid:10)𝐸9(cid:113) 𝐶𝐸 𝐵𝐸 −𝐵𝐶 −
(cid:96)2(cid:108)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63) (cid:63)
𝐹𝐴 𝐹𝑃 𝐹𝐶
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:67)(cid:389)(cid:86)(cid:219)(cid:80)(cid:25)(cid:63)F(cid:150)(cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:149)(cid:57)(cid:93)(cid:63)
= (cid:63) = (cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:243)∴𝐹𝐴 (cid:85)𝐹𝐶(cid:68)(cid:69)∠(cid:50)𝐹𝐴𝐵(cid:63)∠𝐹𝐶𝑃
∵𝐹=𝐸 (cid:63) 𝐴𝑃
∴𝐹𝐴= 𝐹𝑃(cid:63)
∴𝐹𝑃 𝐹=𝐶 (cid:63)
∴∠𝐹𝑃𝐶 =∠𝐹𝐶𝑃(cid:63)
∵∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐹𝐶𝑃(cid:63)
∴∠𝐹𝐴𝐵+ ∠𝐹𝑃𝐶=180°
∵∠𝐹𝑃𝐶 +∠𝐹𝑃𝐵 =180°(cid:63)
∴∠𝐹𝐴𝐵+∠𝐹𝑃𝐵=180°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠90𝐴°𝐹(cid:63)𝑃
∴∠𝐴𝐹
=
𝑃1
(cid:63)
2
∴𝐹𝐸 𝐴𝑃
(cid:263)(cid:189)(cid:22)(cid:375)(cid:207)(cid:128)(cid:63) = (cid:63)
= + 𝐴𝑃+ 𝑀𝑁= = (cid:63)
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐸+ 𝐸𝐹(cid:113) 𝐹𝑁 𝐴𝑃 2𝐸𝐹
∴𝐸𝐹 𝑀𝐸 𝐹𝑁(cid:96)3(cid:108)(cid:30)(cid:10)(cid:131)(cid:132)(cid:21)(cid:307)(cid:387)(cid:240)(cid:80)(cid:25)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
(cid:223)(cid:224) (cid:64)(cid:238)(cid:38)(cid:213)(cid:140) = (cid:63)
(cid:93) 𝑀(cid:150)𝐺 (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)𝑀𝐺 𝐺𝐻
∵ 𝐺= 𝐵𝑁(cid:63)
∴(cid:243)𝐵𝐺 𝑁𝐺= (cid:63)
∵∠𝐵𝐺𝐻 ∠𝑁𝐺𝑀(SAS)(cid:63)
∴△ 𝐵𝐺𝐻=≌△(cid:63)𝑁𝐺𝑀= (cid:63) = (cid:63)(cid:83) (cid:63)
∴ 𝐻𝐺 =𝑀𝐺 𝐵(cid:63)𝐻 𝑁𝑀 ∠𝐵𝐻𝐺 ∠𝑁𝑀𝐺 𝐵𝐻∥𝑁𝐹
∴(cid:70)∠𝐶(cid:60)𝐵𝐻(cid:25) ∠𝐵𝐹(cid:67)𝐸(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶(cid:63) + =90°(cid:63)
∴(cid:243)∠𝐵𝐹𝐸 ∠𝐷(cid:63)𝐸𝑀 ∠𝐶𝐷𝑀 ∠𝐸𝐷𝑀
∵𝐷𝑀⊥+𝐸𝐹 =90°(cid:63)
∴∠𝐷𝐸𝑀=∠𝐸𝐷𝑀(cid:63)
∴∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐷𝐸𝑀(cid:63)
∴∠𝐶𝐷𝑀= ∠𝐵𝐹𝐸(cid:63)
∴∠𝐶𝐵=𝐻 ∠(cid:63)𝐶𝐷𝑀
∵𝑀𝑁= 𝐷𝑀(cid:63)
(cid:263)∴𝐵(cid:23)𝐻(cid:24)(cid:25)𝐷𝑀(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:139)(cid:128)(cid:63) = (cid:63)
(SAS𝐶)(cid:63)𝐵 𝐶𝐷
∴△𝐶𝐵=𝐻≌△(cid:63)𝐶𝐷𝑀 = (cid:63) =90°(cid:63)
(cid:83)∴𝐶𝐻 𝐶+𝑀 ∠𝐵𝐶=𝐻 ∠𝐷𝐶+𝑀 ∠𝐵𝐶𝐷= =90°(cid:63)
∠𝐵𝐶𝐻 (cid:67)∠(cid:62)𝐵(cid:197)𝐶𝑀(cid:68)(cid:34)∠(cid:198)𝐷(cid:34)𝐶𝑀(cid:25)(cid:63)∠𝐵𝐶𝑀 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝑀𝐶𝐻= (cid:63)
∵𝐻𝐺 𝑀𝐺(cid:63)(cid:83) (cid:229)(cid:67)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)(cid:83) = (cid:63)
∴𝐶𝐺⊥=𝑀𝐻 +△𝐶𝐺𝑀= 2 =2 2(cid:73) 𝐶𝐺 𝑀𝐺
2 2
(cid:143)∴(cid:116)𝐶𝑀(cid:117)(cid:150)(cid:10)𝐶2𝐺 2(cid:73)𝑀𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:390)(cid:225)(cid:313)(cid:314)(cid:153)(cid:370)(cid:148)(cid:304)(cid:21)(cid:63)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)
(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:93)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:234)(cid:149)(cid:128)(cid:129)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)6-1(cid:20)(cid:96)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:149)·(cid:391)(cid:392)(cid:393)(cid:258)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) (cid:67) (cid:60)(cid:149)(cid:26)(cid:57)(cid:93)(cid:63)(cid:244) (cid:226)
(cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:213)(cid:93) (cid:338)(cid:81)(cid:93) (cid:339)(cid:63)(cid:238)(cid:38) (cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸
𝐵 𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐺 𝐴𝐺
(1)(cid:33)(cid:43)(cid:10) (cid:113)
(2)(cid:223)(cid:224) (cid:63)△(cid:82)𝐴𝐷𝐺≌△(cid:63)𝐴𝐹(cid:33)𝐺(cid:43)(cid:10) (cid:150) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)𝐶𝐹(1)(cid:349)(cid:30)𝐶𝐹(cid:118)∥𝐴𝐺 𝐺 𝐷𝐶
(2)(cid:349)(cid:30)(cid:118)
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:388)(cid:45)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:240)(cid:62)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:73)(cid:394)(cid:320)
(cid:41)(cid:160)(cid:351)(cid:91)(cid:51)(cid:395)(cid:36)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:139)(cid:234)(cid:396)(cid:397)(cid:43)(cid:44)(cid:110)(cid:111)(cid:73)
(cid:96)△1𝐴(cid:108)𝐷(cid:131)𝐺≌(cid:132)△(cid:21)𝐴(cid:307)𝐹𝐺(cid:398)(cid:140) = (cid:90) = =90 (cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:263)HL(cid:138)(cid:139)(cid:43)(cid:44)(cid:110)(cid:111)(cid:113)
∘
(cid:96)2(cid:108)(cid:263)(cid:96)1(cid:108)(cid:26)(cid:110)(cid:111)𝐴𝐷 𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸(cid:63)(cid:140)∠𝐴𝐵𝐸 = (cid:63) = ,(cid:263) (cid:63)(cid:140)
= △=𝐴𝐷𝐺≌(cid:63)△(cid:41)𝐴𝐹(cid:160)𝐺(cid:139)(cid:140)∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹(cid:63)(cid:140)𝐷𝐺 =𝐺𝐹 (cid:63)𝐻𝐺∥=𝐶𝐹 (cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:43)(cid:44)(cid:110)(cid:111)(cid:73)
∠(cid:15)𝐴(cid:142)𝐺𝐷(cid:30)(cid:20)∠(cid:96)𝐺1𝐶(cid:108)𝐹,(cid:43)∠𝐴(cid:44)𝐺(cid:10)𝐹 (cid:131)∠(cid:132)𝐺(cid:388)𝐹𝐶(cid:45)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63) ∠𝐺=𝐹𝐶 (cid:63)∠𝐺𝐶𝐹 = 𝐺𝐹 𝐶=𝐺90𝐷(cid:63)𝐺 𝐶𝐺
∘
(cid:243) = (cid:63) =90 (cid:63) =9𝐴0𝐵°(cid:63) 𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝐵𝐸
∘
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐷 ∠(cid:63)𝐴𝐷𝐺 = (cid:63)∠𝐴𝐹𝐺
∴∠𝐴𝐷𝐺 ∠𝐴𝐹𝐺 𝐴𝐷 𝐴𝐹 =
(cid:81)Rt (cid:90)Rt (cid:51)(cid:63)
=
(cid:63)
𝐴𝐷 𝐴𝐹
∴Rt △𝐴𝐷𝐺Rt △𝐴(𝐹H𝐺L)(cid:73) 𝐴𝐺 𝐴𝐺
(cid:96)∴2(cid:108)△(cid:43)𝐴(cid:44)𝐷(cid:10)𝐺≌(cid:79)(cid:80)△(cid:63)𝐴(cid:223)𝐹𝐺(cid:224) (cid:63)(cid:94) (cid:225)(cid:93) (cid:73)
𝐷𝐹 𝐴𝐺 𝐻(cid:263)(cid:96)1(cid:108)(cid:128) (cid:63)
=△𝐴𝐷𝐺≌(cid:63)△𝐴𝐹=𝐺 ,
(cid:243)∴ ∠𝐴𝐺𝐷 ∠(cid:63)𝐴𝐺𝐹 𝐷𝐺 𝐺𝐹
∵𝐻𝐺∥=𝐶𝐹 = (cid:63)
∴∠𝐴𝐺𝐷= ∠𝐺𝐶𝐹(cid:63),∠𝐴𝐺𝐹 ∠𝐺𝐹𝐶
∴∠𝐺𝐹=𝐶 (cid:63)∠𝐺𝐶𝐹
∴𝐺𝐹 =𝐶𝐺(cid:63)
∴𝐷(cid:93)𝐺 (cid:150)𝐶𝐺(cid:51)(cid:93)(cid:73)
(cid:15)∴(cid:153)(cid:154)𝐺 6𝐷-2𝐶(cid:20)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:206)(cid:399)ABCD(cid:51)(cid:63)(cid:93)M(cid:123)N(cid:50)(cid:284)(cid:67)BC(cid:123)AD(cid:149)(cid:26)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224)MN(cid:73)
(cid:47)(cid:21)(cid:382)(cid:400)(cid:10)(cid:79)(cid:80)1(cid:63)(cid:176)DD′ MN(cid:63)(cid:94)AB(cid:225)(cid:93)D′(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10)MN (cid:359)DD′(cid:113)
⊥
(cid:47)(cid:21)(cid:30)(cid:267)(cid:10)(cid:79)(cid:80)2(cid:63)(cid:244)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:206)(cid:399)ABCD(cid:226)(cid:91)(cid:93)M(cid:123)N(cid:26)(cid:68)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:63)(cid:93)D(cid:26)(cid:86)(cid:257)(cid:93)D′(cid:401)(cid:402)(cid:338)(cid:81)AB(cid:149)(cid:63)(cid:93)C
(cid:26)(cid:86)(cid:257)(cid:93)(cid:150)(cid:93)C′(cid:63)(cid:82)B D′(cid:359)6(cid:63) CM(cid:359)2(cid:63)(cid:33)(cid:36)(cid:37)MN(cid:26)(cid:38).
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:349)(cid:30)(cid:118)(cid:113)(cid:96)2(cid:108)3 10
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:91)(cid:93)N(cid:176)NH BC(cid:225)H(cid:63)(cid:31)(cid:32)ASA(cid:43)(cid:44) ADD' HNM(cid:63)(cid:140)DD'=MN(cid:113)
⊥ △ ≌△(cid:96)2(cid:108)(cid:223)(cid:224)MD'(cid:63)(cid:286)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)x(cid:63)(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140)(cid:63)BD'2+BM2=D'C'2+C'M2(cid:63)(cid:30)(cid:24)(cid:310)(cid:139)(cid:140)x(cid:26)(cid:53)(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:289)
(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:33)(cid:141)DD'(cid:63)(cid:242)(cid:131)(cid:132)(cid:96)1(cid:108)(cid:128)(cid:63)DD'=MN(cid:63)(cid:241)(cid:160)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:96)1(cid:108)(cid:43)(cid:44)(cid:10)(cid:91)(cid:93)N(cid:176)NH BC(cid:225)H(cid:63)
⊥
(cid:70)(cid:60)(cid:25)ABCD(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵AD=AB(cid:63) DAB= ABM=90°(cid:63)
∴ NHB=90∠°(cid:63) ∠
∵(cid:70)∠ (cid:60)(cid:25)ABHN(cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)
∴AB=HN(cid:63)
∴DD′ MN(cid:63)
∵ DO⊥N=90°(cid:63)
∴∠OND+ ODN=90°(cid:63)
∴∠OND+∠MNH=90°(cid:63)
∵∠ODN=∠MNH(cid:63)
∴∠DAD'=∠NHM(cid:63)AD=NH(cid:63)
∵∠ADD' ∠ HNM(cid:96)ASA(cid:108)(cid:63)
∴M△N=DD≌'(cid:113)△
(cid:96)∴ 2(cid:108)(cid:223)(cid:224)MD'(cid:63)DD'(cid:63)
(cid:286)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)x(cid:63)(cid:263)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140)(cid:63)BD'2+BM2=D'C'2+C'M2(cid:63)
62+(cid:96)x-2(cid:108)2=x2+22(cid:63)
(cid:30)∴ (cid:140)x=9(cid:63)
AB=AD=9(cid:63)
∴AD'=3(cid:63)
(cid:263)∴ (cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:140)(cid:63)DD'=3 10(cid:63)
MN(cid:67)DD'(cid:26)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:63)
∵(cid:263)(cid:96)1(cid:108)(cid:128)(cid:63)DD'=MN(cid:63)
MN=3 10(cid:73)
(cid:15)∴ (cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:67)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:148)(cid:304)(cid:21)(cid:63)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:388)(cid:45)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)
(cid:145)(cid:29)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:26)(cid:403)(cid:404)(cid:405)(cid:189)(cid:22)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)6-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:406)(cid:291)(cid:407)(cid:408)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:148)(cid:304)(cid:162)(cid:409)(cid:410)
(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:60)(cid:38)(cid:150)8cm(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:96)(cid:138) = = = =8cm(cid:63) = = = =90°(cid:108)(cid:63)
(cid:223)(cid:224) (cid:63) = (cid:63) = 𝐴(cid:63)𝐵(cid:244)𝐹𝐸(cid:198)(cid:34)(cid:25)𝐴𝐵 (cid:226)𝐴(cid:68)𝐸(cid:36) 𝐵𝐹(cid:45)(cid:46)𝐸(cid:63)𝐹(cid:140)(cid:250) ∠𝐴(cid:63)(cid:238)∠𝐴(cid:38)𝐵𝐹 (cid:94)∠𝐹 (cid:225)∠(cid:93)𝐸 M(cid:73)
′ ′
𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷 △𝐴 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐸𝐹
(1)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:36)(cid:37) (cid:139)(cid:234)(cid:411)(cid:72)(cid:36)(cid:37) (cid:226)(cid:233) (cid:26)(cid:24)(cid:412)(cid:69)(cid:413)______cm(cid:288)(cid:140)(cid:250)(cid:113)
(2)(cid:223)(cid:224)𝐶𝐷(cid:63)(cid:414)(cid:365)𝐶𝐷 (cid:67)(cid:137)(cid:150)(cid:68)𝐴(cid:34)𝐵(cid:198)(cid:34)𝐴(cid:25)𝐸(cid:63)(cid:64)(cid:415)(cid:234)(cid:416)(cid:44)(cid:113)
(3)(cid:68)(cid:224)𝐷(cid:417)𝑀(cid:141) (cid:162) △𝐵(cid:26)𝐷(cid:74)𝑀(cid:369)(cid:3)(cid:354)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(1)4𝑀𝐹 𝑀𝐸
(2)(cid:67)(cid:63)(cid:349)(cid:30)(cid:118)
(3) =
(cid:15)(cid:50)𝑀(cid:118)𝐹 (cid:20)3(cid:96)𝑀1Е(cid:108)(cid:43)(cid:44)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:69)(cid:413)(cid:26)(cid:145)(cid:418)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250)(cid:116)(cid:117)(cid:113)
(cid:96)2(cid:108)(cid:263)(cid:45)(cid:46)(cid:139)(cid:128)(cid:63) =𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:43)(cid:44)Rt Rt (HL)(cid:63)(cid:83) = (cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250)
′ ′ ′
=90°(cid:63)(cid:140)(cid:250)∠(cid:110)𝐴(cid:111)𝐷𝐵(cid:113) ∠𝐴 𝐷𝐵, △𝐷𝐴 𝑀≌ △𝐷𝐸𝑀 ∠𝐸𝐷𝑀 ∠𝐴 𝐷𝑀
∠(cid:96)𝐵3𝐷(cid:108)𝑀(cid:286) = (cid:63)(cid:83) = = (cid:63) = = (cid:63) = + =8+ (cid:63)(cid:81)Rt (cid:51)(cid:63)
′ ′ ′
𝑀𝐸 𝑥 𝑀𝐹 𝐸𝐹−𝑀𝐸 8−𝑥 𝑀𝐴 𝑀𝐸 𝑥 𝐵𝑀 𝐴 𝐵 𝐴 𝑀 𝑥 △𝐵𝐹𝑀= + (cid:63)(cid:109)(cid:24)(cid:310)(cid:64)(cid:30)(cid:140) =2(cid:63)(cid:83) =2cm(cid:63)(cid:140)(cid:250) = = =6cm(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:250)(cid:110)(cid:111)(cid:73)
2 2 2
𝐵 (cid:15) 𝑀 (cid:142)(cid:30)(cid:20) 𝑀 (cid:96) 𝐹 1(cid:108) 𝐵 (cid:30) 𝐹 (cid:10) = = 1𝑥 (cid:63) = 𝑀𝐸 = 1 (cid:63) = 𝑀𝐹 = 𝐸𝐹−𝑀 = 𝐸 = 8− 8 𝑥 cm(cid:63)
2 2
∵𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹
= =4cm(cid:63)
∴(cid:70)𝐴𝐷(cid:60)(cid:25)𝐵𝐶 (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ 𝐴(cid:63)𝐵𝐹𝐸
∴(cid:70)𝐴𝐷(cid:60)∥(cid:25)𝐵𝐶 (cid:67)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:63)
∴ =9𝐴0𝐵°𝐶𝐷
∵(cid:70)∠𝐴(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:63)
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷=
∴(cid:36)𝐶𝐷(cid:37)∥𝐴𝐵(cid:139),𝐶𝐷(cid:234)(cid:411)𝐴(cid:72)𝐵(cid:36)(cid:37) (cid:226)(cid:233) (cid:26)(cid:24)(cid:412)(cid:69)(cid:413)4cm(cid:288)(cid:140)(cid:250)(cid:113)
∴(cid:143)(cid:116)(cid:117)𝐶(cid:150)𝐷(cid:113)4 𝐴𝐵 𝐴𝐸
(cid:96)2(cid:108)(cid:67)(cid:63)(cid:29)(cid:263)(cid:79)(cid:100)(cid:10)
= = = = =8cm(cid:63) = = (cid:63)
∵∠𝐴 =∠𝐴𝐵=𝐹 9=0°,𝐴𝐵=4𝐴cm𝐸(cid:63)𝐵𝐹 𝐴𝐷 𝐷𝐸,𝐵𝐶 𝐶𝐹
∴(cid:263)𝐴(cid:45)𝐷(cid:46)(cid:139)𝐷𝐸(cid:128)(cid:63)𝐵𝐶 𝐶𝐹= = = = (cid:63)
′ ′ ′
=90∠°(cid:63)𝐵𝐴 𝐷 ∠𝐴 90°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴 𝐷𝐵,𝐴𝐷 𝐴𝐷
′
(cid:81)∴∠R𝐷t𝐴 𝑀 (cid:90)Rt (cid:51)(cid:63) = = (cid:63)
′ ′
Rt △𝐷𝐴 𝑀 Rt △𝐷𝐸𝑀(HL)(cid:63)𝐷𝑀 𝐷𝑀,𝐴 𝐷 𝐸𝐷
′
∴ △𝐷𝐴=𝑀≌ △(cid:63)𝐷𝐸𝑀
′
∴∠𝐸𝐷𝑀 = ∠𝐴 𝐷𝑀 + = 1 ( + )= 1 ×180°=90°(cid:63)
2 2
′ ′ ′ ′
∴∠𝐵𝐷𝑀 ∠𝐵𝐷𝐴 ∠𝑀𝐷𝐴 ∠𝐴𝐷𝐴 ∠𝐸𝐷𝐴
(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:113)
∴(cid:96)△3(cid:108)𝐵(cid:286)𝐷𝑀 = (cid:63)(cid:83) = = (cid:63) = = (cid:63)
′
(cid:263)(cid:45)(cid:46)(cid:139)𝑀(cid:128)𝐸(cid:63)𝑥 =𝑀𝐹=8𝐸(cid:63)𝐹−𝑀𝐸 8−𝑥 𝑀𝐴 𝑀𝐸 𝑥
′
= +𝐴 𝐵 =𝐴8𝐵+
′ ′
∴(cid:81)𝐵R𝑀t 𝐴 𝐵 (cid:51)𝐴(cid:63)𝑀 = 𝑥 + (cid:63)
2 2 2
(8+△𝐵)𝐹=𝑀( 𝐵)𝑀+8 𝑀(cid:63)𝐹 𝐵𝐹
2 2 2
∴(cid:30)(cid:140) 𝑥=2(cid:63) 8−𝑥
(cid:138) 𝑥=2cm(cid:63)
𝑀𝐸= = =6cm(cid:63)
∴𝑀𝐹=𝐸𝐹−𝑀𝐸 8−𝑥
∴(cid:15)𝑀(cid:93)𝐹(cid:254)(cid:20)3𝑀(cid:171)𝐸(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:123)(cid:115)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)
(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:67)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
【题型7 求正方形重叠部分面积】
(cid:15)(cid:95)7(cid:20)(cid:96)22-23(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:406)(cid:392)(cid:419)(cid:420)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:86)(cid:34)(cid:36)(cid:61)(cid:94)(cid:225)(cid:93) (cid:63)(cid:234) (cid:150)(cid:308)(cid:93)(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:87)(cid:60) (cid:63) (cid:50)(cid:284)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:60) (cid:63) (cid:225)(cid:93) (cid:63) (cid:73)(cid:421)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150) (cid:63) 𝑂 (cid:26)𝑂(cid:39)(cid:40)(cid:150) (cid:63)(cid:82)(cid:23)(cid:24)𝑂𝐸𝐺𝐹
(cid:25)(cid:26)(cid:60)𝑂(cid:38)𝐸 𝑂=𝐹10(cid:63) =16(cid:83) (cid:26)𝐴(cid:18)𝐵(cid:196)𝐵(cid:150)𝐶 (cid:73)𝑀 𝑁 △𝐴𝑂𝑀 𝑆1 △𝐶𝑂𝑁 𝑆2
𝐴𝐵 𝑆1 𝑆2
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)9
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:86)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:134)(cid:145)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)(cid:141) = (cid:63)
= =45°(cid:63) = =90°(cid:63)(cid:266)(cid:141) = (cid:63)(cid:43)(cid:141) (cid:139)(cid:140)𝑂(cid:116)𝐵(cid:117)(cid:63)𝑂𝐶(cid:43)(cid:44)
∠𝑂𝐵𝐴 ∠𝑂𝐶𝐵 (cid:67)(cid:30)(cid:171)∠(cid:21)𝐵(cid:26)𝑂𝐶(cid:3)(cid:130)∠(cid:73)𝐸𝑂𝐹 ∠𝐸𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐹 △𝑂𝐵𝑀≌△𝑂𝐶𝑁
(cid:15)△(cid:142)𝑂𝐵(cid:30)𝑀(cid:20)≌△(cid:70)𝑂(cid:60)𝐶(cid:25)𝑁 (cid:90)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:161)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
= ∵(cid:63) 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =45𝑂°(cid:63)𝐸𝐺𝐹 = =90°(cid:63)
∴𝑂𝐵 𝑂=𝐶 ∠𝑂𝐵(cid:63)𝐴 ∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐹
∴(cid:81)∠𝐸𝑂𝐵 (cid:162)∠𝐶𝑂𝐹 (cid:51)(cid:63)
△𝑂𝐵=𝑀 △𝑂𝐶𝑁
= (cid:63)
∠𝑂𝐵𝐴 =∠𝑂𝐶𝐵
𝑂𝐵 𝑂𝐶
∠𝐵𝑂𝑀 ∠𝑁𝑂𝐶 (SAS)(cid:63)
∴△ + 𝑂𝐵𝑀 = ≌△𝑂𝐶𝑁 = 1 ×10×10=25(cid:63)
4
∴𝑆1 𝑆2 𝑆△𝑂𝐴𝐵
= =9(cid:63)
∴(cid:143)𝑆(cid:116)2 (cid:117)2(cid:150)5−(cid:10)196(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)7-1(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:244)(cid:60)(cid:38)(cid:150)1(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:245)(cid:93)A(cid:261)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)30°(cid:250)(cid:23)(cid:24)(cid:25)AEFG(cid:26)(cid:395)(cid:422)(cid:63)(cid:83)(cid:80)(cid:51)(cid:423)(cid:424)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)( )
3 3 3 3
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
3 6 9 12
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)D
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20) (cid:30)(cid:10)(cid:176)MH DE(cid:225)H(cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:63)
(cid:70)(cid:60)(cid:25)ABCD(cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
⊥
∵AB=AD=1(cid:63) B= BAD= ADC=90°(cid:63)
∴(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD∠(cid:245)(cid:93)∠ A(cid:261)(cid:228)∠(cid:247)(cid:248)(cid:249)30°(cid:250)(cid:23)(cid:24)(cid:25)AEFG(cid:26)(cid:395)(cid:422)(cid:63)
∵AE=AB=1(cid:63) 1=30°(cid:63) AEF= B=90°(cid:63)
∴ 2=60°(cid:63) ∠ ∠ ∠
∴∠AED(cid:150)(cid:62)(cid:60)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△3= 4=60°(cid:63)DE=AD=1(cid:63)
∴∠5=∠6=30°(cid:63)
∴∠M∠DE(cid:150)(cid:62)(cid:197)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:63)
∴△ 1
DH=EH= (cid:63)
2
∴
(cid:81)Rt MDH(cid:51)(cid:63)MH= 3 DH= 3 × 1 = 3 (cid:63)
3 3 2 6
△
S = 1 ×1× 3 = 3 (cid:73)
MDE 2 6 12
△
∴(cid:143)(cid:152)D(cid:73)(cid:15)(cid:153)(cid:154)7-2(cid:20)(cid:32)(cid:70)(cid:333)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:425)(cid:90)(cid:57)(cid:333)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:425)(cid:283)(cid:214)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:26)(cid:409)(cid:36)(cid:80)(cid:117)(cid:63)(cid:92)(cid:333)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:425)(cid:26)(cid:39)(cid:40)
(cid:150)a(cid:63)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:425)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:150)b(cid:63)(cid:386)(cid:426)(cid:223)(cid:224)(cid:70)(cid:333)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:231)(cid:425)(cid:26)(cid:51)(cid:218)(cid:140)(cid:250)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:73)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)
(cid:39)(cid:40)(cid:150) (cid:96)(cid:32)(cid:427)a(cid:63)b(cid:26)(cid:272)(cid:74)(cid:154)(cid:428)(cid:264)(cid:108)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20) +
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)𝑎(cid:79)(cid:80)𝑏(cid:63)(cid:223)(cid:224)AE(cid:123)AF(cid:63)(cid:262)(cid:43)(cid:44) GAE HAF(cid:63)(cid:263)(cid:171)(cid:139)(cid:43)(cid:140) = (cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:326)(cid:29)(cid:139)(cid:140)(cid:63)(cid:131)
四边形
(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)ABCD(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:225)(cid:70)(cid:66)(cid:61)(cid:326)(cid:70)△(cid:60)(cid:25)(cid:26)≌(cid:39)△(cid:40)(cid:429)(cid:90)(cid:256)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝑆(cid:26)(cid:39)(cid:40)𝐺(cid:138)𝐴𝐻(cid:139)𝐸 (cid:33)𝑆(cid:140)△𝐴(cid:116)𝐸𝐹(cid:117)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224)AE(cid:123)AF(cid:63)
(cid:93)A(cid:150)(cid:18)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:51)(cid:218)(cid:63)
∵AE=AF(cid:63) EAF=90°(cid:63)
∴ AEF= A∠FE=45°(cid:63)
∴∠GEF=∠90°(cid:63)
∵∠AEG= GEF(cid:430) AEF=45°(cid:63)
∴∠AEG=∠AFE(cid:63)∠
∴(cid:70)∠ (cid:60)(cid:25)∠ABCD(cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ DAB= EAF=90°(cid:63)
∴∠GAE=∠HAF(cid:63)
(cid:81)∴∠ GAE∠(cid:162) HAF (cid:51)(cid:63)
△ = △ (cid:63)
= (cid:63)
∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐻𝐴𝐹(cid:63)
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∠𝐴G𝐸A𝐺E ∠H𝐴𝐹A𝐻F(cid:96)ASA(cid:108)(cid:63)
∴△ ≌=△ (cid:63)
∴𝑆△𝐺𝐴𝐸+ 𝑆△𝐻𝐴𝐹= + (cid:63)
(cid:138)∴𝑆△𝐺𝐴𝐸 𝑆△𝐴𝐸=𝐻 𝑆△𝐻(cid:63)𝐴𝐹 𝑆△𝐴𝐸𝐻
四边形
𝑆 𝐺𝐴𝐻𝐸 𝑆△𝐴𝐸𝐹= 1 = 1 (cid:63)
4 大正方形 4
∵𝑆△𝐴𝐸𝐹 𝑆 𝑎
= 1 = 1 (cid:63)
四边形 4 大正方形 4
∴𝑆 𝐺𝐴𝐻𝐸 𝑆 𝑎
(cid:326)(cid:29)(cid:139)(cid:140)(cid:10) =4× 1 + (cid:63)
正方形
4
∴ 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑎 𝑏
(cid:138) = + (cid:63)
正方形
(cid:143)𝑆(cid:116)(cid:117)(cid:150)𝐴(cid:10)𝐵𝐶𝐷+𝑎 (cid:73)𝑏
𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:256)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:64)(cid:193)(cid:176)(cid:141)(cid:23)(cid:112)(cid:26)(cid:319)
(cid:320)(cid:36)(cid:67)(cid:30)(cid:267)(cid:119)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)7-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:431)(cid:98)(cid:99)(cid:149)·(cid:391)(cid:392)(cid:432)(cid:374)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:222)(cid:60)(cid:38)(cid:150)4(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:245)(cid:308)(cid:93) (cid:261)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)30°(cid:250)
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:83)(cid:217)(cid:376)(cid:26)(cid:7)(cid:151)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:225) (cid:73) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴
′ ′ ′
𝐴𝐵 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)16 3
/
16
3
3 3
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:57)(cid:433)(cid:188)(cid:426)(cid:24)(cid:310)(cid:63)(cid:176)(cid:319)(cid:320)(cid:36)(cid:317)(cid:318)
(cid:141)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:64)(cid:33)(cid:141)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:311)(cid:34)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)(cid:286) (cid:162) (cid:26)(cid:94)(cid:93)(cid:150) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:90)(cid:248)(cid:249)(cid:26)
′ ′
(cid:27)(cid:28)(cid:43)(cid:141)Rt Rt (cid:63)(cid:140)(cid:250) = 𝐶𝐷=3𝐵0°𝐶(cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:68)(cid:34)𝐻(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐻(cid:28)(cid:140)(cid:250) = (cid:63)(cid:286)
′ ′
= (cid:63)(cid:81)△Rt𝐴𝐵 𝐻≌(cid:51)△(cid:31)(cid:32)𝐴𝐷(cid:289)𝐻(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:185)∠𝐴(cid:352)𝐵(cid:24)𝐻(cid:310)(cid:33)∠(cid:141)𝐴𝐷𝐻(cid:26)(cid:53)(cid:63)(cid:242)(cid:31)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:7)(cid:154)(cid:33)(cid:141)Rt (cid:26)𝐴𝐻(cid:39)(cid:40)2(cid:63)𝐷𝐻(cid:138)(cid:139)(cid:140)
𝐷(cid:141)𝐻(cid:116)(cid:117)𝑎(cid:73) △𝐴𝐷𝐻 𝑎 △𝐴𝐷𝐻
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:286) (cid:162) (cid:26)(cid:94)(cid:93)(cid:150) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)
′ ′
𝐶𝐷 𝐵 𝐶 𝐻 𝐴𝐻(cid:60)(cid:38)(cid:150)4(cid:26)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:245)(cid:308)(cid:93) (cid:261)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)30°(cid:250)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)
′ ′ ′
∵ = = =𝐴4𝐵(cid:63)𝐶𝐷 = 𝐴= =90°(cid:63) 𝐴=𝐵3𝐶0°𝐷(cid:63)
′ ′ ′
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐵 𝐴𝐷 ∠=𝐵60°(cid:63)∠𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐵
′ ′
(cid:243)∴∠𝐵 𝐴𝐷= 90(cid:63)°−∠𝐵𝐴𝐵
R∵t𝐴𝐻 𝐴𝐻 Rt (HL)(cid:63)
′
∴ △𝐴𝐵
=
𝐻≌ △
=
𝐴𝐷1𝐻
=30°(cid:63)
2
′ ′
∴∠𝐴𝐵 𝐻 ∠𝐴𝐷𝐻 ∠𝐵 𝐴𝐷
= (cid:63)
(cid:286)∴𝐴𝐻 =2𝐷(cid:63)𝐻(cid:83) = (cid:63)
(cid:81)𝐷Rt𝐻 𝑎 (cid:51)𝐴(cid:63)𝐻 2+𝑎 = (cid:63)(cid:138) +4 =( ) (cid:63)
2 2 2 2 2 2
△𝐴𝐷𝐻4 3 𝐷𝐻 4𝐴3𝐷 𝐴𝐻 𝑎 2𝑎
(cid:30)(cid:140)(cid:10) = (cid:434) = (cid:96)(cid:328)(cid:53)(cid:327)(cid:435)(cid:108)(cid:63)
3 3
𝑎 𝑎 −
= = 1 = 1 ×4×4 3= 8 3 (cid:63)
2 2 3 3
′
∴𝑆△𝐴𝐵𝐻 𝑆△𝐴𝐷𝐻 𝐴𝐷⋅𝐷𝐻
16 3
(cid:7)(cid:151)(cid:49)(cid:50)(cid:26)(cid:39)(cid:40)=2 = (cid:73)
3
∴ 𝑆△𝐴𝐷𝐻
16 3
(cid:143)(cid:116)(cid:117)(cid:150)(cid:10) (cid:73)
3
【题型8 正方形中的最值】
(cid:15)(cid:95)8(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:155)(cid:16)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)3(cid:63)E(cid:150)(cid:162)(cid:93)D(cid:144)(cid:48)(cid:304)(cid:26)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:234) (cid:150)
(cid:57)(cid:60)(cid:176)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:73)(cid:286) = (cid:63)(cid:93)F(cid:63)G(cid:162)(cid:93)C(cid:26)(cid:436)𝐴(cid:437)𝐵𝐶(cid:50)𝐷(cid:284)(cid:150) (cid:63) (cid:63)(cid:83) + + (cid:26)(cid:52)(cid:196)(cid:53)(cid:150) 𝐷 𝐸(cid:73)
𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐷𝐸 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑1 𝑑2 𝑑3
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)3 2
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:162)(cid:134)(cid:145)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:123) (cid:123) (cid:63) (cid:63)(cid:43)
𝐶𝐹 𝐶𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐶(cid:44) (cid:139)(cid:140) = (cid:63)(cid:83)(cid:139)(cid:43)(cid:44) + + = + + (cid:63)(cid:83)(cid:227) (cid:123)(cid:123)(cid:123) (cid:70)(cid:93)(cid:151)(cid:36)(cid:228)(cid:63)
△+𝐴𝐷𝐸+≌△(cid:52)𝐶𝐷(cid:196)𝐺(cid:63)(cid:52)(cid:196)𝐴𝐸(cid:53)(cid:150)𝐶𝐺 (cid:26)(cid:38)(cid:63)(cid:132)(cid:171)𝐷(cid:31)𝐸(cid:32)(cid:289)𝐶𝐹(cid:290)(cid:145)𝐶(cid:29)𝐺(cid:33)(cid:141)𝐸𝐹 (cid:26)𝐶𝐹(cid:38)(cid:138)𝐴(cid:139)𝐸(cid:140)(cid:250)(cid:116)𝐴(cid:117)(cid:73)𝐸 𝐹 𝐶
𝐸(cid:15)𝐹(cid:142)(cid:30)𝐶(cid:20)𝐹 (cid:30)𝐴(cid:10)𝐸(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:123)𝐴𝐶(cid:123) (cid:63) (cid:63) 𝐴𝐶
𝐶𝐹 𝐶𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐶
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:90)(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:161)(cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63)𝐷𝐸𝐹𝐺= (cid:63) = = (cid:63)
∴∠𝐴𝐷𝐶 =∠𝐸𝐷𝐺(cid:63) 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐺 𝐸𝐹
(cid:81)∴∠𝐴𝐷𝐸 (cid:90)∠𝐶𝐷𝐺 (cid:51)(cid:63)
△𝐴𝐷=𝐸 △𝐶𝐷𝐺
= (cid:63)
𝐴𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐺
𝐷𝐸 𝐷𝐺 (SAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐷𝐸≌(cid:63)△𝐶𝐷𝐺
∴𝐴𝐸+𝐶𝐺+ = + + (cid:63)
∴(cid:227)𝐷𝐸(cid:123)𝐶𝐹(cid:123)(cid:123)𝐶𝐺 (cid:70)𝐸(cid:93)𝐹(cid:151)(cid:36)𝐶𝐹(cid:228)(cid:63)𝐴𝐸 + + (cid:52)(cid:196)(cid:63)(cid:52)(cid:196)(cid:53)(cid:150) (cid:26)(cid:38)(cid:63)
∴(cid:23)(cid:24)𝐴 (cid:25)𝐸 𝐹 (cid:26)𝐶(cid:60)(cid:38)(cid:150)3(cid:63) 𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐶
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷3(cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐵=𝐶 3 +3 =3 2
2 2 2 2
∴𝐴𝐶+ 𝐴+𝐷 (cid:26)𝐶(cid:52)𝐷(cid:196)(cid:53)(cid:150)3 2(cid:63)
∴(cid:143)𝑑(cid:116)1 (cid:117)𝑑(cid:150)2(cid:10)3𝑑32(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)8-1(cid:20)(cid:96)24-25(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:200)(cid:156)(cid:438)(cid:439)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:93) (cid:81) (cid:149)(cid:407)
(cid:378)(cid:63)(cid:234) (cid:150)(cid:60)(cid:412)(cid:265)(cid:176)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63)(cid:82) =4(cid:63)(cid:83)𝐴𝐵𝐶𝐷+ (cid:26)(cid:52)𝐸(cid:196)𝐶(cid:53)𝐷(cid:150) (cid:73) 𝑃 𝐴𝐶
𝐶𝐸 𝐶𝐹𝐺𝐸 𝑃𝐷 𝑃𝐺 𝐵𝐶 𝑃𝐷 𝑃𝐺(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)2 10
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:389)(cid:86)(cid:219)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)(cid:124)(cid:357)(cid:126)(cid:127)(cid:389)(cid:86)(cid:219)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:167)(cid:250)(cid:52)(cid:440)(cid:54)(cid:55)(cid:67)
(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
(cid:131)(cid:132)(cid:389)(cid:86)(cid:219)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:176)(cid:141)(cid:52)(cid:440)(cid:54)(cid:55)(cid:63)(cid:110)(cid:304)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:407)(cid:253)(cid:33)(cid:30)(cid:138)(cid:139)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10) (cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
(cid:93) (cid:3)(cid:225)(cid:36)(cid:37)∵ (cid:26)(cid:86)(cid:219)𝐴𝐵(cid:93)𝐶𝐷(cid:150)(cid:93) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:83) (cid:162) (cid:26)(cid:94)(cid:93)(cid:150) (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
∴ 𝐷 𝐴𝐶 𝐵 𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝑃
(cid:171)(cid:228) = (cid:63) + (cid:139)(cid:285)(cid:52)(cid:196)(cid:53)(cid:63) + = + = (cid:63)
𝑃=𝐷 𝑃=𝐵4(cid:63)𝑃𝐷(cid:150) 𝑃𝐺(cid:51)(cid:93)(cid:63) 𝑃𝐷 𝑃𝐺 𝑃𝐵 𝑃𝐺 𝐵𝐺
∵𝐵𝐶=2𝐶(cid:63)𝐷 𝐸 𝐶𝐷
∴(cid:70)𝐸𝐶(cid:60)(cid:25) (cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ = 𝐶𝐹=𝐺𝐸 =2(cid:63) =90°(cid:63)
∴𝐺𝐹 =𝐸𝐶+𝐶𝐹=4+∠2𝐹=6(cid:63)
∴(cid:81)𝐵𝐹Rt 𝐵𝐶 𝐶(cid:51)𝐹(cid:63) = + = 6 +2 =2 10(cid:63)
2 2 2 2
∴(cid:143)(cid:116)(cid:117)△(cid:150)𝐵(cid:10)𝐹2𝐺 10(cid:73)𝐵𝐺 𝐵𝐹 𝐺𝐹
(cid:15)(cid:153)(cid:154)8-2(cid:20)(cid:96)2025·(cid:155)(cid:156)(cid:441)(cid:374)·(cid:189)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)5(cid:63) (cid:150)(cid:86)(cid:34)(cid:36) (cid:149)(cid:57)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:234) (cid:150)
(cid:367)(cid:60)(cid:412)(cid:445)(cid:176)(cid:62)(cid:197)Rt (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63)(cid:83) (cid:277)(cid:38)𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:52)𝐷(cid:196)(cid:53)(cid:150) 𝐹 (cid:73) 𝐵𝐷 𝐴𝐹
△𝐴𝐸𝐹 𝐶𝐸 𝐷𝐸 △𝐶𝐷𝐸
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)5 2+5/5+5 2
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:238)(cid:38) (cid:250)(cid:93)M(cid:63)(cid:213) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63) (cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:248)(cid:249)(cid:240)(cid:62)(cid:189)(cid:22)(cid:43)(cid:44)
𝐹𝐸(cid:63)(cid:241)(cid:160)(cid:139)(cid:140)𝐸𝑀 𝐸𝐹(cid:90) 𝐴𝐶(cid:67)(cid:68)𝐴(cid:34)𝑀(cid:198)𝑀(cid:34)𝐷(cid:25)(cid:63)(cid:241)(cid:160)(cid:263)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:367)(cid:60)(cid:51)(cid:36)(cid:62)(cid:225)(cid:367)(cid:60)(cid:57)(cid:368)(cid:63)
(cid:139)△(cid:140)𝐴𝐵𝐹≌=△𝐴𝐷(cid:63)𝑀(cid:242)(cid:263) + △=𝐴𝐹𝑀+ △𝐹𝐷𝑀(cid:73)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:110)(cid:111)(cid:73)
𝐸𝐷 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐶 𝐴𝐸≥𝐴𝐶(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:238)(cid:38) (cid:250)(cid:93)M(cid:63)(cid:213) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) (cid:63) (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:63)
𝐹𝐸 𝐸𝑀 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝑀𝐷
(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:63) = =45°(cid:63) = = =5(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐷 (cid:67)∠(cid:234)𝐴𝐵𝐶(cid:150)(cid:367)(cid:60)(cid:176)∠(cid:62)𝐴(cid:197)𝐵𝐷(cid:68)(cid:34)∠(cid:198)𝐴(cid:34)𝐷𝐵(cid:25)(cid:63) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷
∵△𝐴=𝐸𝐹 (cid:63) 𝐴𝐹 =90°(cid:63) = =45°(cid:63)
∴𝐴𝐸
=
𝐸𝐹
=
∠1𝐴𝐸𝐹
(cid:63)
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐹𝐴
2
∴𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝑀
= (cid:63)
∵𝐸𝑀= 𝐸𝐹(cid:63) = =45°(cid:63)
∴𝐴𝐹 𝐴=𝑀90∠°(cid:63)𝐸𝑀𝐴 ∠𝐸𝐹𝐴
∴∠𝐹𝐴𝑀 = (cid:63)(cid:138) = (cid:63)
∴∠𝐹𝐴𝑀−∠𝐹𝐴𝐷 (cid:63)∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐹𝐴𝐷 ∠𝐹𝐴𝐵 ∠𝑀𝐴𝐷
∴△𝐴𝐵𝐹=≌△𝐴𝐷𝑀=45°(cid:63)
∴∠𝐴𝐵𝐹 =∠𝐴𝐷𝑀+ =90°(cid:63)
∴∠𝑀𝐷=𝐹 (cid:63)∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝑀
∵𝐸𝑀
=
1𝐸𝐹
(cid:63)
2
∴𝐸𝐷 𝐹𝑀
= (cid:63)
∴𝐸𝐷+ 𝐴𝐸= + (cid:63)
∴𝐸𝐶+𝐸𝐷 𝐸𝐶(cid:63)𝐴𝐸= + =5 2(cid:63)
2 2
∵𝐴𝐸+𝐸𝐶(cid:26)≥(cid:52)𝐴𝐶(cid:196)(cid:53)𝐴(cid:150)𝐶 5 2𝐴(cid:63)𝐵 𝐵𝐶
∴𝐸𝐶 𝐸𝐷(cid:277)(cid:38)(cid:26)(cid:52)(cid:196)(cid:53)(cid:150)5 2+5(cid:73)
∴(cid:143)△(cid:116)𝐶(cid:117)𝐷(cid:150)𝐸(cid:10)5 2+5(cid:73)
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:367)(cid:60)(cid:51)(cid:36)(cid:62)(cid:225)(cid:367)(cid:60)(cid:57)(cid:368)(cid:63)(cid:316)(cid:112)(cid:167)
(cid:250)(cid:93)(cid:26)(cid:407)(cid:378)(cid:446)(cid:447)(cid:63)(cid:43)(cid:44) = (cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
𝐴𝐸 𝐸𝐷(cid:15)(cid:153)(cid:154)8-3(cid:20)(cid:96)24-25(cid:431)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:448)(cid:449)(cid:450)(cid:451)·(cid:347)(cid:37)(cid:125)(cid:348)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)2(cid:63)(cid:244) (cid:245)(cid:93) (cid:246)(cid:228)(cid:247)(cid:248)
(cid:249)(cid:57)(cid:145)(cid:34)(cid:35)(cid:140)(cid:250)(cid:36)(cid:37) (cid:63) (cid:69)(cid:50) (cid:94)(cid:366)(cid:36) (cid:225) (cid:73)(cid:81)(cid:248)(cid:249)(cid:91)(cid:310)𝐴(cid:51)𝐵(cid:63)𝐶𝐷(cid:36)(cid:37) (cid:26)(cid:52)(cid:18)(cid:53)𝐴(cid:150)𝐵 𝐵 (cid:73)
𝐵𝐸 𝐵𝐹 ∠𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐹 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)2 2
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:262)(cid:110)(cid:304)(cid:248)(cid:249)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:140)(cid:141) = (cid:63)(cid:131)(cid:132)(cid:34)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:26)(cid:145)(cid:418)(cid:63)(cid:140) = (cid:63)(cid:43)(cid:44)
(cid:63)(cid:242)(cid:140)(cid:141) = +𝐵𝐸 𝐵𝐶= × (cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:140)(cid:141) (cid:67) ∠𝐶(cid:26)𝐵𝐹(cid:85)(cid:68)∠(cid:69)𝐸(cid:50)𝐵𝐹(cid:36)(cid:63)(cid:138)
四边形
△𝐶𝐵𝐹≌△
=
𝐸𝐵1𝐹
× (cid:63)(cid:227)
𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸
(cid:228)(cid:63)
𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝑆△𝐵𝐸
=
𝐹 𝐵
×
𝐸 𝐻
(cid:63)
𝐹
(cid:171)(cid:228)(cid:39)(cid:40)(cid:52)(cid:18)
𝐵𝐹
(cid:63)(cid:407)
𝐶
(cid:32)
𝐸
(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:253)(cid:141)(cid:36)(cid:37)
四边形 四边形
2
𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐹 𝐸𝐹⊥𝐵𝐸 𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐹
(cid:26)(cid:53)(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:176)(cid:116)(cid:73)
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:386)(cid:21)(cid:307)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:91)(cid:93) (cid:176) (cid:26)(cid:238)(cid:38)(cid:36)(cid:57)(cid:93) (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:89)(cid:264)(cid:10)
𝐶𝐸,𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝐹 𝐹𝐻⊥𝐵𝐸 𝐻
(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)2(cid:63)(cid:244) (cid:245)(cid:93) (cid:246)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:57)(cid:145)(cid:34)(cid:35)(cid:140)(cid:250)(cid:36)(cid:37) (cid:63)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =2(cid:63) = 𝐴𝐵 𝐵 𝐵𝐸
∴𝐴𝐵(cid:69)(cid:50)𝐵𝐸 𝐵(cid:94)𝐶 (cid:366)(cid:36) 𝐵𝐷(cid:225) (cid:73)𝐴𝐶
∵𝐵𝐹 =∠𝐸𝐵𝐶 (cid:63) 𝐴𝐸 𝐹
∴∠𝐶𝐵=𝐹 ∠(cid:63)𝐸𝐵𝐹
∵𝐵𝐹 𝐵𝐹 (cid:63)
∴△𝐶=𝐵𝐹≌(cid:63)△𝐸𝐵𝐹
(cid:83) ∴𝐸𝐹 𝐶𝐹 = + =2 =2× 1 × = × (cid:63)
四边形
2
𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸 𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝑆△𝐵𝐸𝐹 𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝐵𝐸 𝐻𝐹 𝐵𝐸 𝐻𝐹
(cid:81)Rt (cid:51)(cid:63) < (cid:63)
=△𝐸𝐻(cid:63)𝐹 =𝐻𝐹 (cid:63)𝐸𝐹
∵𝐵𝐸(cid:67) 𝐵𝐶(cid:26)(cid:85)𝐸𝐹(cid:68)(cid:69)𝐶(cid:50)𝐹(cid:36)(cid:63)
(cid:227)∴𝐵𝐹 𝐶𝐸 (cid:228)(cid:63) = × (cid:63)(cid:171)(cid:228)(cid:39)(cid:40)(cid:52)(cid:18)(cid:63)
四边形
𝐸𝐹⊥𝐵𝐸 𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹(cid:83)(cid:93)E(cid:162)(cid:93)A(cid:48)(cid:304)(cid:63)(cid:93)F(cid:162)(cid:93)D(cid:48)(cid:304)(cid:63)
= 1 × = 1 × = 1 (cid:63)
四边形
2 2 2
2
∴𝑆 𝐵𝐶𝐹𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷
(cid:171)(cid:228) (cid:56)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:63)(cid:65) = = 2 +2 =2 2(cid:73)
2 2
(cid:143)(cid:116)𝐵(cid:117)𝐹(cid:150)(cid:10)2 2(cid:73) 𝐵𝐹 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:93)(cid:254)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:248)(cid:249)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:85)(cid:68)(cid:69)(cid:50)(cid:36)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)
(cid:23)(cid:112)(cid:126)(cid:127)(cid:61)(cid:3)(cid:27)(cid:28)(cid:251)(cid:452)(cid:67)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:73)
【题型9 正方形中的路径长】
(cid:15)(cid:95)9(cid:20)(cid:96)23-24(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:155)(cid:16)(cid:268)(cid:269)·(cid:107)(cid:51)(cid:108)(cid:341)(cid:128)(cid:63)(cid:81)(cid:69)(cid:39)(cid:68)(cid:34)(cid:453)(cid:454)(cid:354)(cid:51)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:308)(cid:93)B(cid:63)A(cid:63)(cid:50)(cid:284)
(cid:81)x(cid:389)(cid:90)y(cid:389)(cid:26)(cid:23)(cid:368)(cid:389)(cid:149)(cid:63)(cid:308)(cid:93)C(cid:26)(cid:453)(cid:454)(cid:150)( )(cid:63)(cid:65)a(cid:63)b(cid:455)(cid:334)(cid:10) = +𝐴𝑂𝐵𝐶 (cid:63)(cid:93)D(cid:150)(cid:60) (cid:149)(cid:26)
(cid:57)(cid:66)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:244) (cid:226) (cid:388)(cid:45)(cid:63)(cid:140)(cid:250) 𝑎(cid:73),𝑏 𝑎−6 𝑏−6 6−𝑏 𝑂𝐴
△𝐵𝑂𝐷 𝐵𝐷 △𝐵𝐸𝐷
(1)(cid:68)(cid:224)(cid:417)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:113)
(2)(cid:79)(cid:80)1(cid:63)(cid:82)(cid:93)D(cid:150)𝐴𝑂𝐵𝐶(cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:238)(cid:38) (cid:94) (cid:225)(cid:93)H(cid:73)
(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:113) 𝐴𝑂 𝐷𝐸 𝐴𝐶
①(cid:223)𝐶𝐻(cid:64)(cid:238)(cid:38)(cid:94) (cid:225)(cid:93)F(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:38)(cid:113)
②(3)(cid:79)(cid:80)𝐶𝐸2(cid:63)(cid:82)(cid:93)G𝐴𝑂(cid:150) (cid:149)(cid:57)(cid:93)(cid:63)𝐶𝐹(cid:65) =30°(cid:63)(cid:93)M(cid:150) (cid:51)(cid:93)(cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:73)(cid:227)(cid:93)D(cid:241)(cid:93)O(cid:456)(cid:457)(cid:226)y(cid:389)(cid:328)
(cid:368)(cid:389)(cid:407)(cid:378)(cid:63)(cid:250) (cid:285)(cid:140)𝐴(cid:52)𝐶(cid:18)(cid:53)(cid:228)(cid:458)(cid:459)∠(cid:63)𝐶(cid:385)𝐵𝐺(cid:68)(cid:224)(cid:417)(cid:141)(cid:93)D(cid:407)(cid:378)𝐵𝐸(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:73) 𝐺𝑀
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(1)6 𝐺𝑀
(2) 2(cid:113) 2 10
(3)①6 3 ②
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:131)(cid:132)(cid:131)(cid:132)(cid:188)(cid:426)(cid:131)(cid:154)(cid:460)(cid:456)(cid:24)(cid:74)(cid:26)(cid:461)(cid:328)(cid:27)(cid:138)(cid:139)(cid:176)(cid:116)(cid:113)
(cid:96)2(cid:108) (cid:263)(cid:388)(cid:45)(cid:140) = = (cid:63) = (cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:266)(cid:141)Rt Rt (HL)(cid:63)(cid:286) = = (cid:63)(cid:131)(cid:132)
① 𝐵𝐸 𝐵𝑂 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑂 △𝐶𝐻𝐵≌ △𝐸𝐻𝐵 𝐶𝐻 𝐸𝐻 𝑥(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:138)(cid:139)(cid:33)(cid:140) (cid:113)
(cid:326)(cid:34)(cid:26)(cid:312)(cid:56)(cid:61)(cid:62)𝐶(cid:63)𝐻(cid:41)(cid:160)(cid:266)(cid:141) (AAS)(cid:63) = + (cid:63)(cid:176)(cid:116)(cid:138)(cid:139)(cid:113)
2 2
②(cid:96)3(cid:108)(cid:263)(cid:388)(cid:45) = 1 (cid:63)(cid:263) △𝐴𝐶𝐹 + ≌△𝐶(cid:63)𝐵𝐻(cid:227) (cid:123) (cid:123)𝐶𝐹(cid:151)(cid:36)(cid:228)𝐴𝐹(cid:63) 𝐴𝐶 = + (cid:52)(cid:18)(cid:63) = (cid:63)
2
𝐵𝑀 𝐵𝐸 𝐺𝑀≤𝐺𝐵 𝐵𝑀 𝐺 𝐵 𝑀 𝐺𝑀 𝐺𝐵 𝐵𝑀 𝐵𝐷 2𝑂𝐵
= (cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:176)(cid:116)(cid:73)
2 2
(cid:15)𝑂𝐷(cid:142)(cid:30)(cid:20)𝐵𝐷(cid:96)1−(cid:108)𝑂(cid:30)𝐵(cid:10) = + (cid:63)
=0(cid:63) =∵0(cid:63)𝑎−6 𝑏−6 6−𝑏
∴𝑏−=66(cid:63) 6−𝑏
∴𝑏 =0(cid:63)
∴𝑎−=66(cid:63)(cid:138) = =6(cid:63)
∴𝑎(cid:23)(cid:24)(cid:25) 𝑂𝐵(cid:26)(cid:60)𝑂(cid:38)𝐴(cid:150)6(cid:113)
(cid:96)∴2(cid:108)(cid:263)(cid:96)𝐴1𝑂(cid:108)𝐵𝐶(cid:128)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:462)(cid:38)(cid:150)6(cid:63)
(cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)(cid:63) = =3(cid:63)
∵𝐷(cid:263)(cid:388)𝑂𝐴(cid:45)(cid:140) =∴𝑂𝐷= 𝐴𝐷=6(cid:63) = =3(cid:63)
① = 𝐵𝐸 =𝐵9𝑂0°(cid:63)𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝑂
(cid:223)∠𝐷(cid:224)𝐸𝐵 (cid:63)∠𝐷𝑂𝐵
𝐵𝐻
(cid:83) = =90°(cid:63)
∠𝐵𝐸=𝐻 ∠(cid:63)𝐵𝐶𝐻
∵𝐵Rt𝐻 𝐵𝐻 Rt (HL)(cid:63)
∴ △=𝐶𝐻𝐵(cid:63)≌ △𝐸𝐻𝐵
(cid:286)∴𝐸𝐻= 𝐶𝐻= (cid:63)
(cid:83)𝐶𝐻 =𝐸𝐻 𝑥 = (cid:63)
(cid:81)𝐴Rt𝐻 𝐴𝐶−(cid:51)𝐶𝐻(cid:63) 6−𝑥
(cid:263) △+𝐴𝐷𝐻 = (cid:63)
2 2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐻 𝐷𝐻(cid:138)3 + =(3+ (cid:63)
2 2 2
(cid:30)(cid:140) =(62−(cid:63)𝑥) 𝑥)
𝑥(cid:26)(cid:38)(cid:150)2(cid:113)
∴𝐶(cid:263)𝐻 = (cid:63) = (cid:63)
②(cid:140) 𝐶(cid:85)𝐻(cid:68)(cid:69)𝐸(cid:50)𝐻 𝐶(cid:63)𝐵 𝐸𝐵
𝐻𝐵 + 𝐸𝐶=90°(cid:63)
(cid:243)∴∠𝐵𝐶𝐹 =∠𝐶𝐵𝐻+ =90°(cid:63)
∠𝐴𝐶𝐵 =∠𝐴𝐶𝐹(cid:96)(cid:326)∠𝐵(cid:34)𝐶𝐹(cid:26)(cid:312)(cid:56)(cid:61)(cid:62)(cid:108)(cid:63)
(cid:243)∴∠𝐶𝐵𝐻= ∠𝐴𝐶𝐹=90°(cid:63) = (cid:63)
∠𝐹𝐴𝐶 ∠𝐻𝐶𝐵(AAS)(cid:63)𝐴𝐶 𝐶𝐵
∴△𝐴𝐶=𝐹≌△=𝐶2𝐵(cid:63)𝐻
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐻 + = 2 +6 =2 10(cid:63)
2 2 2 2
(cid:138)∴𝐶𝐹(cid:26)(cid:38)𝐴(cid:150)𝐹2 10𝐴(cid:113)𝐶
(cid:96)𝐶3(cid:108)𝐹 (cid:263)(cid:388)(cid:45)(cid:128) = =6(cid:63)
(cid:243) (cid:67) (cid:26)(cid:51)(cid:93)𝐵(cid:63)𝐸 𝐵𝑂
𝑀
=
𝐵𝐸1
=3(cid:63)
2
∴𝐵𝑀 𝐵𝐸
(cid:263) + (cid:63)
𝐺(cid:227)𝑀(cid:123)≤𝐺(cid:123)𝐵 (cid:151)𝐵𝑀(cid:36)(cid:228)(cid:63) = + (cid:52)(cid:18)(cid:63)
(cid:79)∴(cid:80)(cid:89)𝐺 (cid:264)𝐵(cid:63) 𝑀 𝐺𝑀 𝐺𝐵 𝐵𝑀
=30°(cid:63)
∵∠𝐶𝐵𝐺 =60°(cid:63)
∴∠𝑂𝐵𝐺= (cid:63)
∵∠𝑂𝐵𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷
= =60°(cid:63)
2
180°−60°
∴∠𝑂𝐵𝐷
=30°(cid:63)
∴∠𝑂𝐷=𝐵 =12(cid:63)
∴𝐵𝐷 =2𝑂𝐵 = 12 6 =6 3(cid:63)
2 2 2 2
∴𝑂(cid:93)𝐷 (cid:407)(cid:378)𝐵(cid:26)𝐷(cid:54)−(cid:55)𝑂𝐵(cid:38)(cid:150)6 3(cid:73)−
(cid:15)∴(cid:93)(cid:254)𝐷 (cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:70)(cid:60)(cid:25)(cid:148)(cid:304)(cid:21)(cid:63)(cid:315)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:240)(cid:62)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:45)(cid:46)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:62)
(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:130)(cid:67)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:45)(cid:46)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:73)
(cid:15)(cid:153)(cid:154)9-1(cid:20)(cid:96)2025·(cid:200)(cid:16)(cid:463)(cid:406)·(cid:188)(cid:189)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) =1(cid:63) (cid:67)(cid:60) (cid:149)(cid:26)(cid:57)(cid:66)(cid:378)(cid:93)(cid:63)(cid:263)(cid:93) (cid:456)
(cid:457)(cid:407)(cid:378)(cid:63)(cid:407)(cid:378)(cid:250) (cid:458)(cid:459)(cid:73)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:234) (cid:150)(cid:68)(cid:34)(cid:60)(cid:412)(cid:445)(cid:464)𝐴𝐵(cid:176)𝐶(cid:62)𝐷(cid:197)(cid:68)𝐴(cid:34)𝐵(cid:198)(cid:34)(cid:25)𝑃(cid:63)(cid:465)(cid:57)𝐵(cid:66)𝐶(cid:308)(cid:93)(cid:150) (cid:73)(cid:83)(cid:93) (cid:241) 𝐵(cid:407)
(cid:378)(cid:250) (cid:26)(cid:91)(cid:310)(cid:51)(cid:63)𝐶(cid:93) (cid:26)(cid:407)(cid:378)(cid:54)𝐴𝑃(cid:55)(cid:38)(cid:150)𝐴 𝑃 (cid:73) 𝑄 𝑃 𝐵
𝐶 𝑄
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20) 2
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:62)(cid:197)(cid:68)(cid:34)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:90)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:73)(cid:79)(cid:80)(cid:63)
(cid:238)(cid:38) (cid:250)M(cid:63)(cid:213)(cid:140) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:83)(cid:93)Q(cid:407)(cid:378)(cid:446)(cid:447)(cid:67)(cid:36)(cid:37) (cid:63)(cid:43)(cid:44) (cid:63)(cid:31)(cid:32)(cid:93)Q(cid:26)
(cid:407)(cid:378)(cid:446)𝐴𝐷(cid:447)(cid:67)(cid:36)(cid:37) 𝐷(cid:63)𝑀(cid:110)(cid:304)𝐴(cid:289)𝐷(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:63)𝐶𝑀(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:267)(cid:47)(cid:21)(cid:73) 𝐶𝑀 △𝐴𝐵𝑃≌△𝑃𝑁𝑄
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)(cid:10)(cid:79)(cid:80)𝐶𝑀(cid:63)(cid:238)(cid:38) (cid:250)M(cid:63)(cid:213)(cid:140) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:83)(cid:93)Q(cid:407)(cid:378)(cid:446)(cid:447)(cid:67)(cid:36)(cid:37) (cid:63)
𝐴𝐷 𝐷𝑀 𝐴𝐷 𝐶𝑀 𝐶𝑀
(cid:81)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:51)(cid:63) =1(cid:63)
∵ = 𝐴=𝐵𝐶𝐷 =𝐴𝐵 = = =1(cid:63)
∴(cid:176)∠𝐵 ∠𝐷(cid:225)9N0(cid:63)°,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝑄𝑁=⊥𝐵𝐶(cid:63) =90°(cid:63)
∵𝑃𝐴 𝑃+𝑄 ∠𝐴𝑃=𝑄 90°(cid:63) + =90°(cid:63)
∴∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝑄𝑃𝑁 ∠𝑄𝑃𝑁 ∠𝑃𝑄𝑁= (cid:63)
∴(cid:81)∠𝐴𝑃𝐵 (cid:90)∠𝑃𝑄𝑁 (cid:51)(cid:63)
△=𝐴𝐵𝑃 △=𝑃9𝑁0𝑄°
= (cid:63)
∠𝐵 ∠𝑃=𝑁𝑄
∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝑃𝑄𝑁
𝐴𝑃 𝑃𝑄 (AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝑃≌△=𝑃𝑁𝑄=1(cid:63) = (cid:63)
∴𝐴𝐵 =𝑃𝑁 𝐵=𝐶 = 𝑃𝐵(cid:63) 𝑁𝑄
∴𝐶𝑁 1=−𝑃45𝐶°(cid:63)𝑃𝐵 𝑄𝑁
∴(cid:93)∠𝑄Q𝐶𝑁(cid:81)(cid:36)(cid:37) (cid:149)(cid:63)
∴(cid:65)(cid:93)Q(cid:26)(cid:407)(cid:378)𝐶(cid:446)𝑀(cid:447)(cid:67)(cid:36)(cid:37) (cid:63) =90°(cid:63) = =1(cid:63)
= + = 2𝐶(cid:73)𝑀 ∠𝐶𝐷𝑀 𝐷𝑀 𝐴𝐷
2 2
∵(cid:143)𝐶(cid:116)𝑀(cid:117)(cid:150)𝐶(cid:10)𝐷 2(cid:73)𝐷𝑀
(cid:15)(cid:153)(cid:154)9-2(cid:20)(cid:96)2025(cid:431)(cid:98)(cid:99)(cid:100)·(cid:240)(cid:271)·(cid:466)(cid:21)(cid:125)(cid:348)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:81)(cid:115)(cid:25) (cid:51)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:378)(cid:93)E(cid:241)(cid:93)A(cid:407)(cid:378)
(cid:250)(cid:93)D(cid:63)(cid:234) (cid:150)(cid:60)(cid:81) (cid:26)(cid:445)(cid:464)(cid:317)(cid:318)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:83)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:26)(cid:52)(cid:196)𝐴(cid:53)𝐵(cid:150) 2 , 𝐴 𝐷 (cid:63)(cid:93)F(cid:407)(cid:378)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)
(cid:150) (cid:73)𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐹 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20) 3 2 4 2
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:120)(cid:121)(cid:26)(cid:67)(cid:115)(cid:25)(cid:256)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:123)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:238)(cid:38) (cid:250)(cid:93)P(cid:63)(cid:213) = (cid:63)(cid:223)
(cid:224) (cid:63)(cid:91)(cid:93)F(cid:176) (cid:26)(cid:85)(cid:36)(cid:63)(cid:85)(cid:334)(cid:150)H(cid:63)(cid:262)(cid:43) (cid:63)(cid:43)(cid:141) = (cid:63)𝐴𝐷(cid:140)(cid:141) (cid:93)(cid:81)(cid:234)𝐷P𝑃(cid:150)(cid:308)𝐷𝐶(cid:93)(cid:63)
(cid:150)𝐹(cid:57)𝑃(cid:60)(cid:26)45°(cid:26) 𝐴(cid:26)𝐷(cid:465)(cid:57)(cid:60)(cid:149)(cid:407)(cid:378)(cid:63)(cid:33)(cid:141)(cid:52)(cid:196)(cid:53)△(cid:113)𝐶𝐷(cid:43)𝐸(cid:44)≌△𝐸=𝐻𝐹2 =𝐹𝐻2 𝐻(cid:63)𝑃 (cid:140)(cid:141)(cid:227)𝐹(cid:378)(cid:93)E(cid:241)(cid:93)A(cid:407)(cid:378)(cid:250)𝑃𝐴
(cid:93)D(cid:228)(cid:63) (cid:26)∠(cid:38)𝑃(cid:241) (cid:153)(cid:355)(cid:250)0(cid:63)(cid:41)(cid:160)(cid:33)(cid:141)(cid:110)(cid:111)(cid:73) 𝐹𝑃 𝐻𝑃 𝐸𝐷
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:30)𝐷𝐸(cid:10)(cid:238)(cid:38) 𝐴𝐷(cid:250)(cid:93)P(cid:63)(cid:213) = (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:91)(cid:93)F(cid:176) (cid:26)(cid:85)(cid:36)(cid:63)(cid:85)(cid:334)(cid:150)H(cid:73)
𝐴𝐷 𝐷𝑃 𝐷𝐶 𝐹𝑃 𝐴𝐷(cid:81)(cid:115)(cid:25) (cid:51)(cid:63) = =2= =90°= (cid:63)
(cid:81)(cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐵𝐶𝐷 (cid:51)(cid:63)𝐴𝐵 𝐷𝐶= 𝐷𝑃=,∠𝐴𝐷(cid:63)𝐶 ∠𝐸𝐻𝐹
=𝐶𝐸𝐹𝐺 ∠𝐶𝐸=𝐹 90°(cid:63),𝐶𝐸 𝐸𝐹
∴∠𝐶𝐸𝐷 90°−∠(cid:63)𝐹𝐸𝐻 ∠𝐸𝐹𝐻
∴△𝐶=𝐷𝐸≌△=𝐸𝐻𝐹 = (cid:63)
∴𝐸𝐻= 𝐶𝐷(cid:63)𝐷𝑃,𝐸𝐷 𝐹𝐻
∴𝐸𝐷 =𝐻𝑃(cid:63)
∴𝐹𝐻=4𝐻5𝑃°(cid:73)
∴∠𝑃(cid:93)(cid:81)(cid:234)P(cid:150)(cid:308)(cid:93)(cid:63) (cid:150)(cid:57)(cid:60)(cid:26)45°(cid:26) (cid:26)(cid:465)(cid:57)(cid:60)(cid:149)(cid:407)(cid:378)(cid:63)
(cid:227) ∴𝐹 (cid:228) (cid:52)(cid:196)(cid:63) 𝑃 (cid:52) 𝐴 (cid:196)(cid:53)= 2 = ∠ 𝑃2 (4+2)= 3 2(cid:73)
2 2
𝐴𝐹⊥𝐹 = 𝑃 𝐴𝐹 = (cid:63) 𝐴𝑃
∵∠𝐹𝐻=𝑃 290° ,𝐹=𝐻 2𝐻𝑃(cid:73)
∴(cid:227)𝐹(cid:378)𝑃(cid:93)E(cid:241)𝐻𝑃(cid:93)A(cid:407)(cid:378)𝐸(cid:250)𝐷(cid:93)D(cid:228)(cid:63) (cid:26)(cid:38)(cid:241) (cid:153)(cid:355)(cid:250)0(cid:63)
(cid:93)F(cid:407)(cid:378)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:150) 2 = 4𝐷𝐸2(cid:73) 𝐴𝐷
∴(cid:15)(cid:153)(cid:154)9-3(cid:20)(cid:96)23-24(cid:97)(cid:98)𝐴(cid:99)𝐷(cid:100)·(cid:103)(cid:321)(cid:467)(cid:374)·(cid:107)(cid:237)(cid:108)(cid:79)(cid:80)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:60)(cid:38)(cid:150)4(cid:63)(cid:93) (cid:241)(cid:93) (cid:141)(cid:377)(cid:226)(cid:36)(cid:37) (cid:407)
(cid:378)(cid:63)(cid:250)(cid:462) (cid:93)(cid:228)(cid:407)(cid:378)(cid:458)(cid:459)(cid:63)(cid:234)(cid:93) (cid:150)(cid:51)(cid:218)(cid:63)(cid:244)(cid:36)(cid:37) (cid:245)(cid:233)(cid:93) (cid:246)𝐴(cid:228)𝐵𝐶(cid:247)𝐷(cid:248)(cid:249)90°(cid:63)(cid:140)(cid:250)(cid:36)𝐸(cid:37) 𝐵(cid:73) 𝐵𝐶
𝐶 𝐸 𝐸𝐴 𝐸 𝐸𝐹
(1)(cid:91)(cid:93) (cid:176) (cid:225)(cid:93)G(cid:63)(cid:33)(cid:43)(cid:10) = (cid:113)
(2)(cid:223)(cid:224)𝐹 (cid:94)𝐹𝐺⊥(cid:225)𝐵(cid:93)𝐶 (cid:63)(cid:223)(cid:224) (cid:63) 𝐵𝐸 (cid:26)𝐹𝐺(cid:277)(cid:38)(cid:67)(cid:137)(cid:468)(cid:93) (cid:26)(cid:407)(cid:378)(cid:160)(cid:153)(cid:355)(cid:63)(cid:79)(cid:144)(cid:153)(cid:63)(cid:33) (cid:26)(cid:277)(cid:38)(cid:63)(cid:79)(cid:153)(cid:63)
(cid:385)(cid:416)(cid:44)(cid:29)𝐴𝐹(cid:263)(cid:113)𝐶𝐷 𝐻 𝐸𝐻 △𝐸𝐶𝐻 𝐸 △𝐸𝐶𝐻(3)(cid:469)(cid:33)(cid:81)(cid:470)(cid:66)(cid:407)(cid:378)(cid:91)(cid:310)(cid:51)(cid:63)(cid:93) (cid:26)(cid:407)(cid:378)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:73)
(cid:15)(cid:116)(cid:117)(cid:20)(1)(cid:349)(cid:30)(cid:118) 𝐹
(2) (cid:26)(cid:277)(cid:38)(cid:144)(cid:153)(cid:63)8
(3)4△2𝐸𝐶𝐻
(cid:15)(cid:50)(cid:118)(cid:20)(cid:119)(cid:21)(cid:255)(cid:208)(cid:471)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:248)(cid:249)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:240)(cid:62)(cid:198)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:134)(cid:145)(cid:162)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:290)(cid:145)(cid:29)(cid:62)(cid:128)(cid:129)(cid:10)
(cid:96)1(cid:108)(cid:43)(cid:44) = = (cid:63)(cid:131)(cid:132)AAS(cid:43)(cid:44) (cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:110)(cid:111)(cid:113)
(cid:96)2(cid:108)(cid:244) 𝐴𝐸 (cid:245)𝐸𝐹(cid:93),∠𝑀(cid:246)𝐴(cid:228)𝐸(cid:247)(cid:248)∠𝐶(cid:249)𝐸𝐹90°(cid:140)(cid:250) (cid:63)(cid:50)△(cid:284)𝐴𝐵(cid:43)𝐸(cid:44)≌△𝐸𝐺𝐹 (cid:90) SAS)(cid:63)(cid:41)(cid:57)
(cid:472)(cid:140)(cid:141) △𝐴𝐷𝐻(cid:26)(cid:277)(cid:38)𝐴(cid:62)(cid:225) + + =△𝐴𝐵+𝐼 + +△𝐴𝐷=𝐻≌△+𝐴𝐵𝐼=8△(cid:113)𝐼𝐴𝐸≌△𝐻𝐴𝐸(
(cid:96)3(cid:108)(cid:223)△(cid:224)𝐸𝐶𝐻(cid:63)(cid:81) (cid:149)(cid:384)(cid:285)𝐸𝐻 =𝐸𝐶 (cid:63)𝐶𝐻(cid:43)(cid:44)𝐵𝐸 𝐸𝐶 𝐶𝐻 𝐻S𝐷AS)(cid:63)𝐵𝐶(cid:140)(cid:141)𝐶𝐷 =45°(cid:63)(cid:140)(cid:141)(cid:407)(cid:378)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:150)
4 2 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐸𝐶 △𝐴𝑀𝐸≌△𝐸𝐶𝐹( ∠𝐷𝐶𝐹
(cid:15)(cid:142)(cid:30)(cid:20)(cid:96)1(cid:108)(cid:43)(cid:44)(cid:10) (cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
=90°(cid:63)
∴∠𝐵 + =90°(cid:63)
∴(cid:248)∠𝐵(cid:249)𝐴𝐸(cid:140) ∠𝐵𝐸𝐴=90°(cid:63) = (cid:63)
∵ +∠𝐴𝐸𝐹 =90°(cid:63)𝐴𝐸 𝐸𝐹
∴∠𝐹𝐸𝐺=∠𝐵𝐸𝐴(cid:63)
∴∠𝐹𝐸𝐺 (cid:63)∠𝐵𝐴𝐸
∵𝐹𝐺⊥𝐵=𝐶90°(cid:63)
∴∠𝐹𝐺𝐸= =90°(cid:63)
∴∠𝐹𝐺𝐸 ∠𝐵 AAS)(cid:63)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:113)△𝐸𝐺𝐹(
∴(cid:96)𝐵2𝐸(cid:108)(cid:30)𝐹(cid:10)𝐺 (cid:26)(cid:277)(cid:38)(cid:144)(cid:153)
(cid:29)(cid:263)(cid:79)(cid:100)(cid:10)△(cid:244)𝐸𝐶𝐻 (cid:245)(cid:93) (cid:246)(cid:228)(cid:247)(cid:248)(cid:249)90°(cid:140)(cid:250) (cid:63)
△𝐴𝐷𝐻 𝐴 △𝐴𝐵𝐼(cid:70)(cid:60)(cid:25) (cid:67)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:63)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷=90°
∴(cid:263)∠(cid:248)𝐴𝐵(cid:249)𝐶(cid:140) ∠𝐷 (cid:63)
= △(cid:63)𝐴𝐷𝐻≌=△𝐴𝐵=𝐼 90°(cid:63) = (cid:63) =
∴𝐴𝐼 𝐴+𝐻 ∠𝐴𝐵=𝐼 18∠0𝐷°(cid:63) ∠𝐷𝐴𝐻 ∠𝐼𝐴𝐵 𝐷𝐻 𝐵𝐼
∴(cid:93)∠𝐴𝐵(cid:123)𝐼 (cid:123)∠𝐴(cid:151)𝐵𝐶(cid:36)
∴ 𝐼 𝐵=9𝐶0°(cid:63) =
∵∠𝐴𝐸𝐹=45° 𝐴𝐸 𝐸𝐹
∴∠𝐸𝐴𝐹+ =45°(cid:63)
∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐻=45°
∴(cid:138)∠𝐵𝐴𝐸 =∠4𝐼5𝐴°𝐵
∠𝐼𝐴𝐸= =45°(cid:63)
∴∠𝑇𝐴𝐸 ∠𝐻𝐴𝐸 SAS)
∴△𝐼=𝐴𝐸≌△𝐻𝐴𝐸(
∴𝐸𝐻= 𝐼𝐸+ = + =
∵𝐼𝐸 𝐵𝐸(cid:26)(cid:277)𝐵(cid:38)𝐼 (cid:62)𝐵(cid:225)𝐸 𝐷+𝐻 +𝐸𝐻 = + + + = + =8
∴△𝐸𝐶𝐻(cid:26)(cid:277)(cid:38)(cid:144)(cid:468)𝐸(cid:93)𝐻(cid:26)𝐸(cid:395)𝐶(cid:422)(cid:160)𝐶𝐻(cid:377)(cid:473)𝐵(cid:474)𝐸(cid:153)(cid:73)𝐸𝐶 𝐶𝐻 𝐻𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∴(cid:96)△3(cid:108)𝐸𝐶(cid:30)𝐻(cid:10)(cid:223)(cid:224) (cid:63)(cid:81)𝐸 (cid:149)(cid:384)(cid:285) = (cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:63)
𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝑀 𝐸𝐶
(cid:263)(cid:96)1(cid:108)(cid:128)(cid:63) = =
𝐴𝐸 𝐸S𝐹A,S∠)𝑀𝐴𝐸 ∠𝐶𝐸𝐹
∴△𝐴𝑀𝐸=≌△𝐸𝐶𝐹(
∴∠𝐴𝑀=𝐸 (cid:63)∠𝐸𝐶𝐹,= (cid:63)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝐸𝐶= ,
∴𝐵𝑀=9𝐵0𝐸°(cid:63)
∵∠𝐵 = =45°(cid:63)
∴∠𝐵𝑀𝐸=1∠3𝐵5𝐸°𝑀= (cid:63)
∴(cid:243)∠𝐴𝑀𝐸 =90°(cid:63) ∠𝐸𝐶𝐹
∠𝐸𝐶𝐷=45°(cid:63)
∴(cid:263)∠(cid:171)𝐷𝐶(cid:139)𝐹(cid:128)(cid:63)(cid:93) (cid:241) (cid:250) (cid:63)(cid:93) (cid:81)(cid:36)(cid:37) (cid:149)(cid:407)(cid:378)(cid:63)(cid:79)(cid:80)(cid:63)
𝐸 𝐵 𝐶 𝐹 𝐶𝐹
(cid:89)(cid:234)(cid:63)(cid:227)E(cid:241)B(cid:250)C(cid:228)(cid:63)(cid:93)F(cid:26)(cid:407)(cid:378)(cid:54)(cid:55)(cid:38)(cid:150)CF=AC= 4 +4 = 4 2(cid:73)
2 2