文档文本内容
专题 1.6 线段垂直平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:19)......................................................................................................10
知识点 线段垂直平分线的定义及其性质 +
A
A
科
全
★
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做众这 号 条线段的垂直平分线．
公
注
关
，
2.性质定理：线段垂直平分线上的源点与这条线段两个端点的距离相等．
资
辅
教
书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3.性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
4. (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)：
1
(1)以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C、D 两点；
2
(2)作为直线 CD，CD为所求直线．【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】
(cid:15)(cid:53)1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27) (cid:68)(cid:70) =6(cid:68) =5(cid:68)(cid:71) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:54) (cid:65)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐸
𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:74)24 B(cid:74)22 C(cid:74)20 D(cid:74)18
(cid:15)(cid:75)(cid:76)1-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:82)(cid:83)(cid:35)(cid:84)(cid:85)(cid:86) (cid:29)(cid:87)(cid:35)(cid:88) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:89)(cid:90)(cid:68)
(cid:90)(cid:91)(cid:73) (cid:68)(cid:92)B(cid:49)(cid:92)A(cid:93)(cid:51)(cid:68)(cid:94)(cid:95) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)20(cid:68) =6(cid:68)(cid:71)𝐴𝐵𝐶 (cid:29)(cid:72)(cid:33)𝐴(cid:44)𝐵 (cid:74)
𝐷𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:75)(cid:76)1-2(cid:19)(cid:54)24-25教(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) =8cm(cid:68)(cid:70) (cid:103) (cid:27)(cid:104)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:103) (cid:68)
(cid:71) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73) cm(cid:74) 𝐵𝐶 𝑀𝑃 𝑁𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
△𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:75)(cid:76)1-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)(cid:111) (cid:112)
(cid:92) (cid:68)(cid:110)(cid:111) (cid:112)(cid:92) (cid:74)(cid:70) (cid:49) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:27)(cid:104)(cid:44)40c△m𝐴(cid:113)𝐵2𝐶4cm(cid:68)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴𝐶= 𝐴 𝐵 cm(cid:74) 𝐴𝐵
𝐷 𝐴𝐶 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐷【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:53)2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:114)(cid:115)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:49) (cid:111)(cid:96)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:113) (cid:27)(cid:104)(cid:110)
(cid:112)(cid:92) (cid:113)(cid:92) (cid:74)(cid:116)(cid:117) (cid:113) (cid:68) =60°(cid:68)(cid:71) △=𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐶(cid:74)𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)𝐷(cid:76)2-1(cid:19)𝐸(cid:54)24-2𝐷5𝐴(cid:55)(cid:56)𝐸(cid:57)𝐴(cid:58)∠·(cid:118)𝐷𝐴(cid:119)𝐸(cid:120)(cid:64)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)∠(cid:66)𝐵𝐴(cid:67)𝐶(cid:68) (cid:64)(cid:68)(cid:111) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:104)(cid:110) (cid:68) (cid:112)(cid:92)
(cid:68) (cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:74)(cid:70) =24°(cid:68) (cid:68)(cid:71) (cid:29)(cid:34)(cid:121)(cid:73)△(cid:54)𝐴 𝐵 (cid:65)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷 𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶 𝐷𝐵⊥𝐵𝐶 ∠𝐴
A(cid:74)24° B(cid:74)30° C(cid:74)33° D(cid:74)66°
(cid:15)(cid:75)(cid:76)2-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) =35°(cid:68) =50°(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28) (cid:110) (cid:112)(cid:92) (cid:68)(cid:110) (cid:112)(cid:92) (cid:68) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:110) (cid:112)(cid:92)△𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:71) ∠𝐵(cid:29)(cid:34)(cid:121)(cid:73)∠ 𝐶 (cid:74) 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐹𝐶 𝐷 ∠𝐷𝐴𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)2-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:118)(cid:62)(cid:122)(cid:123)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:92)O(cid:44) (cid:113)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:110)(cid:92)(cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:113) (cid:68)(cid:70) = (cid:68)(cid:71) △𝐴(cid:29)𝐵𝐶(cid:124)(cid:125)(cid:73)𝐴𝐼(cid:54) (cid:65)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐼 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝛼 ∠𝐴𝐼𝐵
A(cid:74)90°+ 1 B(cid:74)90°+ 1
2 4
𝛼 𝛼
C(cid:74) 1 D(cid:74)180°+ 1
4 2
90°− 𝛼 𝛼
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:53)3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:106)(cid:126)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:64)(cid:28)(cid:68) (cid:44) (cid:111)(cid:29)(cid:64)(cid:24)
(cid:28)(cid:68)(cid:127) (cid:49) (cid:128)(cid:110)(cid:112)(cid:92) (cid:68)(cid:116)(cid:129) (cid:68) (cid:68)(cid:70)(cid:78)(cid:111)(cid:84) △(cid:49)(cid:78)𝐴𝐵(cid:111)𝐶(cid:84) 𝐵𝐷(cid:29)Δ(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:27)(cid:104)(cid:73)8(cid:103)𝐸𝐹13(cid:68)𝐵𝐶(cid:71)
(cid:29)(cid:36)(cid:37)𝐵(cid:73)𝐷((cid:130)𝐸(cid:130)𝐹) 𝐺 𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐶A(cid:74)36 B(cid:74)22 C(cid:74)20 D(cid:74)21
(cid:15)(cid:75)(cid:76)3-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:131)(cid:97)(cid:132)(cid:108)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:68) (cid:44) (cid:96)(cid:29)(cid:136)(cid:92)(cid:68)(cid:70)
=2(cid:68) =3(cid:68)(cid:71)(cid:67)(cid:64)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:44) (cid:74)𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸,𝐹 𝐴𝐷
𝐵𝐷 𝐴𝐷
+
A
(cid:15)(cid:75)(cid:76)3-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:140)(cid:62)(cid:64)(cid:118)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:69) (cid:64)(cid:68) 科=A =6cm(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
全
★
号
众
(cid:28)(cid:110) (cid:112)(cid:92) D(cid:68) (cid:110) (cid:112)(cid:92)E(cid:68)(cid:92)F(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:92)(cid:68)公(cid:92)M(cid:73)△(cid:28)𝐴(cid:52)𝐵𝐶 (cid:96)(cid:87)𝐴(cid:141)𝐵 (cid:92)𝐴(cid:68)𝐶(cid:70),𝐵𝐶 (cid:72)(cid:33)𝐴(cid:29)𝐵 (cid:38)(cid:125)(cid:39)(cid:73)
注
关
，
源
10cm𝐴(cid:68)𝐵 (cid:71) (cid:29)𝐴(cid:36)𝐶(cid:37)辅(cid:44) 资 cm (cid:74)𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐵𝐹𝑀
教
2
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)3-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:105)(cid:142)(cid:143)(cid:144)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) =45°(cid:68) =4(cid:68)
=12(cid:68)D(cid:73)(cid:111) (cid:96)(cid:29)(cid:141)(cid:92)(cid:68)(cid:92) (cid:3)(cid:112) (cid:68) (cid:29)(cid:133)(cid:134)(cid:92)(cid:27)(cid:104)(cid:44)(cid:92)△𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:68)(cid:116)∠(cid:117)𝐵𝐴𝐶(cid:68) (cid:68) 𝐵(cid:68)𝐶 𝑆(cid:36)△𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:29)
(cid:38)(cid:125)(cid:39)(cid:73) 𝐵 𝐶 (cid:74) 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:53)4(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:145)(cid:108)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) =4(cid:68)(cid:36)(cid:37)(cid:44)12(cid:68) (cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:27)(cid:104)(cid:110) (cid:68) (cid:111)(cid:112)(cid:92)E(cid:68)F(cid:74)(cid:70)(cid:92)D(cid:73) (cid:111)△(cid:29)𝐴(cid:64)𝐵𝐶(cid:92)(cid:68)(cid:92)𝐴𝐵P(cid:73)𝐴(cid:28)𝐶(cid:52)𝐵𝐶(cid:96)(cid:87)(cid:141)(cid:92)(cid:68)(cid:71) 𝐴𝐶(cid:72)
(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:125)(cid:39)𝐸(cid:44)𝐹(cid:54)(cid:130)(cid:130)(cid:65)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐹 △𝑃𝐶𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
A(cid:74)8 B(cid:74)辅3 资 C(cid:74)6 D(cid:74)4
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)4-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:105)(cid:142)(cid:143)(cid:144)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:92) (cid:44)
(cid:25)(cid:28) (cid:96)(cid:29)(cid:87)(cid:146)(cid:141)(cid:92)(cid:74)(cid:70) =7(cid:68) =4(cid:68) =5(cid:68)(cid:71) △𝐴𝐵(cid:72)𝐶 (cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:125)𝑚(cid:39)(cid:44) 𝐵 𝐶 (cid:74) 𝑃
𝑚 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝑃𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)4-2(cid:19)(cid:54)22-23(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:118)(cid:62)(cid:147)(cid:106)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)
(cid:112)(cid:92)N(cid:68)(cid:110) (cid:112)(cid:92)M(cid:68) =12cm(cid:68) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)20cm(cid:68)(cid:70)△(cid:92)𝐴P𝐵(cid:69)𝐶 (cid:25)(cid:28)𝐴𝐵 (cid:96)𝐴(cid:68)𝐶(cid:71)𝐴𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:73)𝐴 𝐶 .
𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝑀𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴−𝑃𝐵(cid:15)(cid:75)(cid:76)4-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:97)(cid:16)(cid:148)(cid:108)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:69)Rt (cid:64)(cid:68) =90°(cid:68) =5(cid:68) =12(cid:68) =13(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:92) (cid:44) (cid:96)(cid:87)(cid:141)(cid:92)(cid:68)(cid:149) (cid:47) (cid:68)(cid:24)△(cid:150)𝐴(cid:73)𝐵𝐶(cid:92) (cid:68)∠(cid:116)𝐴(cid:117) (cid:68)(cid:71)𝐴𝐵 + 𝐴(cid:29)𝐶(cid:38)(cid:125)(cid:39)(cid:73)𝐵𝐶 (cid:74)𝐸𝐹
𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹 𝑃 𝑃𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝐻
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】
(cid:15)(cid:53)5(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:140)(cid:62)(cid:151)(cid:108)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:111)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
A
(cid:27)(cid:28)+(cid:110) (cid:112)(cid:92)D(cid:68) (cid:111)(cid:29)
A
科
全
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:110) (cid:112)(cid:92)E(cid:68) (cid:49) (cid:128)(cid:110)(cid:112)(cid:92)O(cid:68)(cid:116)(cid:117) △(cid:68) 众𝐴𝐵𝐶号(cid:68) ★ 𝐴(cid:74)𝐵 𝑙1 𝐵𝐶 𝐴𝐶
公
注
关
𝑙2 𝐵𝐶 𝑙1 𝑙2 源 ， 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶
资
辅
教
(1)(cid:70) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)8cm(cid:68)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:33)(cid:73)________(cid:152)
(2)(cid:42)(cid:43)△(cid:92)𝐴𝐷O𝐸(cid:44)(cid:153)(cid:69) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶(cid:96)(cid:152)
(3)(cid:70) =120°(cid:68)𝐵𝐶(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:121)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)∠𝐵5𝐴-1𝐶(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)∠(cid:56)𝐷(cid:57)𝐴𝐸(cid:96)·(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:115)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:29)(cid:158)(cid:159)(cid:44)(cid:160)(cid:161)(cid:67)(cid:84)(cid:162)(cid:30)(cid:29)(cid:93)(cid:163)(cid:158)(cid:159)(cid:68)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:74)(1)(cid:66)(cid:67)1(cid:68)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)P(cid:44) (cid:96)(cid:175)(cid:87)(cid:92)(cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:113) (cid:68)(cid:82)(cid:28)(cid:52) (cid:88)(cid:25)(cid:28) (cid:133)(cid:90)(cid:68)
(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179) (cid:49) 𝑀(cid:171)𝑁(cid:180)(cid:93)(cid:51)𝐴(cid:68)𝐵(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑀𝑁(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:157)(cid:10)__𝑃_𝐴___𝑃__𝐵(cid:74) 𝐴𝐵 𝑀𝑁
(2)(cid:164)(cid:165)(cid:129)𝑃(cid:51)𝐴(cid:67)(cid:84)𝑃𝐵(cid:185)(cid:94)(cid:95)(cid:103)(cid:32)(cid:40)(cid:186)(cid:187)(cid:171)(cid:172)(cid:68)(cid:170)(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:41)(cid:149)(cid:190)(cid:74)
(cid:94)(cid:95)(cid:10)(cid:66)(cid:67)1(cid:68) (cid:112)(cid:92)C(cid:68)________(cid:68)(cid:92)P(cid:44)(cid:25)(cid:28) (cid:96)(cid:29)(cid:175)(cid:191)(cid:87)(cid:92)(cid:74)(cid:32)(cid:40)(cid:10)________(cid:74)
(cid:40)(cid:41)(cid:10) 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵 𝑀𝑁
(3)(cid:66)(cid:67)2(cid:68)CD(cid:44)(cid:28)(cid:52)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68) =22°(cid:68) =50°(cid:68)(cid:71) =________(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)5-2(cid:19)(cid:54)23-24(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:132)(cid:142)(cid:192)(cid:193)·(cid:63)∠(cid:64)𝐶𝐴(cid:65)𝐷(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)∠𝐶𝐵𝐴 (cid:64)(cid:68) ∠𝐴𝐷(cid:68)𝑃 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:110) (cid:112)(cid:92)
(cid:68)(cid:110) (cid:112)(cid:92) (cid:68)(cid:127) = (cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶
𝐹 𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 A +
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:152)
(2)(cid:70) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:72)𝐸(cid:33)𝐶 (cid:73)42cm(cid:68) =16cm(cid:68)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)△5𝐴-𝐵3(cid:19)𝐶(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)𝐴·𝐶(cid:118)(cid:119)(cid:194)(cid:195)·(cid:63)(cid:109)𝐷(cid:65)𝐶(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) =50°(cid:68) (cid:68)(cid:24)
(cid:150)(cid:73)D(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110) (cid:112)(cid:92)E(cid:68)(cid:110) (cid:112)(cid:92)F(cid:68)(cid:116)(cid:117)△𝐴𝐵(cid:74)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐹
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:152)
(2)(cid:32) 𝐴(cid:34)𝐹 (cid:121)𝐵(cid:74)𝐹
【题型
∠𝐹6𝐵 𝐷
判断是垂直平分线】
(cid:15)(cid:53)6(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:106)(cid:126)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:94)(cid:95)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68) = (cid:68)(cid:24)(cid:150)(cid:27)(cid:104)(cid:73)E(cid:113)D(cid:74)
𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐸⊥𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:152)
(2)(cid:116)(cid:117) 𝐴(cid:113)𝐷 (cid:68)𝐴𝐸(cid:42)(cid:43)(cid:25)(cid:28) (cid:49) (cid:29)(cid:3)(cid:196)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)𝐴6-𝑂1(cid:19)𝐵(cid:54)𝐶24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)𝐴(cid:58)𝑂·(cid:197)𝐵(cid:119)𝐶(cid:119)(cid:198)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)D(cid:44) (cid:96)(cid:29)(cid:87)(cid:92)(cid:68)(cid:127)
= (cid:68) (cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
(cid:15)(cid:75)(cid:76)6-2(cid:19)(cid:54)23-24(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:198)(cid:201)(cid:202)(cid:203)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)公(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:78)(cid:111)(cid:84) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:176)(cid:177)
注
关
，
源
(cid:185)(cid:204)(cid:205)(cid:136)(cid:206)(cid:207)(cid:111)(cid:27)(cid:104)(cid:128)(cid:208)辅(cid:29)(cid:78)资(cid:111)(cid:84)(cid:209)(cid:210)“(cid:211)(cid:84)”(cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶
教
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:152)
(2)(cid:25)(cid:28) △(cid:44)(cid:28)𝐴𝐵(cid:52)𝐶≌△(cid:29)𝐴(cid:24)𝐷𝐶(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:212)(cid:213)(cid:164)(cid:214)(cid:41)(cid:157)(cid:181)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)𝐴6-𝐶3(cid:19)(cid:54)23𝐵-2𝐷4(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:105)(cid:106)(cid:106)(cid:115)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:68) (cid:27)(cid:104)(cid:44)(cid:111) (cid:68)
(cid:96)(cid:29)(cid:64)(cid:28)(cid:68) (cid:68) (cid:128)(cid:110)(cid:112)(cid:92)O(cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐶𝐸
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:74)
𝑂𝐵 𝑂𝐶(2)(cid:116)(cid:117) (cid:68)(cid:215)(cid:214)(cid:41)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:74)
【题型
𝑂7 𝐴
尺规作垂直平
𝑂
分
𝐴
线】
𝐵𝐶
(cid:15)(cid:53)7(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:199)(cid:200)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)(cid:92)E(cid:44)(cid:111) (cid:96)(cid:87)(cid:92)(cid:68)(cid:127) (cid:26)(cid:27) (cid:74)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:164)(cid:216)(cid:98)(cid:217)(cid:34)(cid:29)(cid:25)(cid:45)(cid:103)(cid:218)(cid:46)(cid:47)(cid:189)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:127)(cid:49)(cid:111) (cid:110)(cid:112)(cid:92)D(cid:74)(cid:54)(cid:163)(cid:32)(cid:10)(cid:219)(cid:188)(cid:47)(cid:159)(cid:68)(cid:220)(cid:221)(cid:47)(cid:67)
(cid:91)(cid:222)(cid:65) 𝐵𝐸 𝐵𝐶
(2)(cid:116)(cid:117) (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)𝐸7-𝐷1(cid:19)(cid:54)24-25𝐸𝐷(cid:55)∥(cid:56)𝐴(cid:57)𝐵(cid:58)·(cid:197)(cid:119)(cid:119)(cid:198)·(cid:100)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:164)(cid:69) (cid:96)(cid:223)(cid:87)(cid:92) (cid:68)(cid:224)(cid:184) = (cid:74)
𝐴𝐵 𝑃 A +∠𝐵 ∠𝑃𝐶𝐵
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:75)(cid:76)7-2(cid:19)(cid:54)24-25教(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:105)(cid:142)(cid:220)(cid:48)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:48)(cid:69)(cid:234)(cid:235)m(cid:96)(cid:236)(cid:87)(cid:146)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:92)D(cid:103)(cid:240)
(cid:241)(cid:239)E(cid:68)(cid:242)(cid:163)(cid:32)(cid:171)(cid:80)(cid:58)(cid:243)(cid:47)(cid:67)(cid:54)(cid:220)(cid:221)(cid:47)(cid:67)(cid:91)(cid:222)(cid:68)(cid:219)(cid:163)(cid:32)(cid:188)(cid:47)(cid:159)(cid:65)(cid:74)
(1)(cid:66)(cid:67)1(cid:68)(cid:125)(cid:227)A(cid:68)B(cid:69)(cid:234)(cid:235)m(cid:29)(cid:244)(cid:245)(cid:68)(cid:163)(cid:224)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:92)D(cid:246)(cid:125)(cid:227)A(cid:68)B(cid:29)(cid:247)(cid:248)(cid:128)(cid:208)(cid:68)(cid:164)(cid:249)(cid:48)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:92)D(cid:29)
(cid:250)(cid:251)(cid:54)(cid:163)(cid:32)(cid:252)(cid:216)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:67)(cid:65)(cid:152)
(2)(cid:66)(cid:67)2(cid:68)(cid:125)(cid:227)A(cid:68)C(cid:69)(cid:234)(cid:235)m(cid:29)(cid:253)(cid:245)(cid:68)(cid:163)(cid:224)(cid:240)(cid:241)(cid:239)E(cid:246)(cid:125)(cid:227)A(cid:68)C(cid:29)(cid:247)(cid:248)(cid:254)(cid:103)(cid:38)(cid:255)(cid:68)(cid:164)(cid:249)(cid:48)(cid:240)(cid:241)(cid:239)E(cid:29)(cid:250)
(cid:251)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)7-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:98)(cid:99)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:49) (cid:128)(cid:110)(cid:112)(cid:92) (cid:68) = (cid:68) (cid:74)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐶∥𝐵𝐷(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:152)
(2)(cid:216)(cid:98)(cid:217)(cid:34)△(cid:29)𝐴𝐸(cid:25)𝐶(cid:45)≌(cid:103)△(cid:218)𝐵𝐸(cid:46)𝐷(cid:47)(cid:67)(cid:10)(cid:32)(cid:47)(cid:208)(cid:256) (cid:68)(cid:224)(cid:184)(cid:92)M(cid:69) (cid:96)(cid:68)(cid:92)N(cid:69) (cid:96)(cid:68)(cid:127) (cid:228)(cid:149)(cid:92) (cid:74)(cid:54)(cid:219)
(cid:188)(cid:47)(cid:159)(cid:68)(cid:220)(cid:221)(cid:47)(cid:67)(cid:91)(cid:222)(cid:68)(cid:257)(cid:41)(cid:258)(cid:259)(cid:65) △𝐶𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐸
【题型8 垂直平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:53)8(cid:19)(cid:54)24-25(cid:77)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:78)(cid:111)(cid:84) (cid:64)(cid:68) (cid:68)E(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:92)(cid:68)(cid:127)
(cid:68)(cid:260)(cid:33) (cid:110) (cid:29)(cid:260)(cid:33)(cid:28)(cid:112)(cid:92)F(cid:74)(cid:70) =12(cid:68) =𝐴5𝐵(cid:68)𝐶𝐷(cid:71) (cid:29)𝐴𝐵(cid:33)∥(cid:73)𝐶 𝐷 (cid:74)𝐵𝐶
𝐴𝐸⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:75)(cid:76)8-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:197)(cid:119)(cid:119)(cid:198)·(cid:63)关(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92) (cid:113) (cid:69)(cid:25)(cid:28) (cid:96)(cid:68)(cid:92) (cid:113) (cid:69)(cid:25)(cid:28) (cid:96)(cid:68) (cid:112)(cid:92)
，
源
资
辅
(cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:113) (cid:113) 教(cid:113) (cid:68) = (cid:68)(cid:70) =11(cid:68)(cid:71)𝐴 (cid:29)𝐵(cid:33)(cid:73)(cid:54)(cid:130)𝑚(cid:130)(cid:65) 𝑃 𝐻 𝑛 𝑚⊥𝑛
𝑂 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻
A(cid:74)11 B(cid:74)10 C(cid:74)9 D(cid:74)8
(cid:15)(cid:75)(cid:76)8-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:97)(cid:16)(cid:261)(cid:108)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:44) (cid:111)(cid:96)(cid:29)(cid:262)(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:110)
(cid:112)(cid:92) (cid:68)(cid:127) = (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) + = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐷𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)8-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:96)·(cid:180)(cid:263)·(cid:63)(cid:109)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:112)(cid:92)D(cid:68)D(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:92)(cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:68) (cid:29)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:110) (cid:112)(cid:92)O(cid:68)(cid:116)(cid:117) (cid:68)(cid:70) =120°(cid:68)(cid:71) 𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
