文档文本内容
专题 1.8 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..............................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..................................................................................................................11
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 公 众
注
关
，
源
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)辅(cid:13)(cid:14) 资 (cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:15)(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:25)
教
2. (cid:26)(cid:27)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:11)(cid:29)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:11)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)
(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:5)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)(cid:11)P(cid:45)(cid:8)(cid:9)AB(cid:19)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:20)(cid:46)PA=PB(cid:25)
3. (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:5)
1
(1)(cid:47)(cid:11)A(cid:20)B (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:20)(cid:47)(cid:51)(cid:16) AB(cid:19)(cid:52)(cid:48)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:20)(cid:30)(cid:56)(cid:57)(cid:16)C(cid:58)D (cid:30)(cid:11)(cid:59)
2
(2)(cid:55)(cid:48)(cid:15)(cid:8) CD(cid:20)CD(cid:48)(cid:43)(cid:60)(cid:15)(cid:8)(cid:25)知识点2 角的平分线的性质
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:61)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:11)(cid:62)(cid:61)(cid:19)(cid:30)(cid:63)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)
2. (cid:64)(cid:65)(cid:5)(cid:66)1(cid:67)(cid:17)(cid:68)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:19)(cid:70)(cid:11)(cid:62)(cid:61)(cid:19)(cid:30)(cid:63)(cid:14)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:52)(cid:59)
(cid:66)2(cid:67)(cid:71)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:47)(cid:73)(cid:74)(cid:55)(cid:48)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:35)(cid:36)(cid:19)(cid:77)(cid:78)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:36)(cid:85)(cid:61)(cid:86)(cid:59)
(cid:66)3(cid:67)(cid:87)(cid:83)(cid:71)(cid:88)(cid:89)(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:18)(cid:92)(cid:70)(cid:42)(cid:10)(cid:93)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:58)(cid:93)(cid:14)(cid:15)(cid:59)
(cid:66)4(cid:67)(cid:94)(cid:83)(cid:61)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:8)(cid:5)(cid:101)(cid:61)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:102)(cid:103)(cid:11)(cid:104)(cid:30)(cid:63)(cid:55)(cid:14)(cid:8)(cid:9)(cid:20)(cid:105)(cid:83)(cid:106)(cid:35)(cid:36)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:106)
(cid:110)(cid:88)(cid:89)(cid:25)
3. (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:35)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:5)(cid:102)(cid:103)(cid:5) AOB(cid:20)(cid:60)(cid:55)(cid:5) AOB(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:25)
(cid:55)(cid:111)(cid:5)(cid:66)1(cid:67)(cid:47)(cid:11)O(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:52)(cid:48)∠(cid:53)(cid:54)(cid:114)(cid:56)(cid:20)(cid:57)O∠A(cid:16)(cid:11)M(cid:20)(cid:57)OB(cid:16)(cid:11)N(cid:25)
1
(cid:66)2(cid:67)(cid:24)(cid:115)(cid:47)(cid:11)M(cid:20)N(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:20)(cid:51)(cid:16) MN(cid:19)(cid:52)(cid:48)(cid:53)(cid:54)(cid:114)(cid:56)(cid:20)(cid:30)(cid:56)(cid:45) AOB(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:57)(cid:16)(cid:11)C(cid:25)
2
(cid:66)3(cid:67)(cid:114)(cid:118)(cid:8)OC(cid:25)(cid:118)(cid:8)OC(cid:119)(cid:48)(cid:43)(cid:60)(cid:25) ∠
(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:5)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:55)(cid:42)(cid:77)(cid:78)(cid:5)(cid:120)(cid:121) OMC ONC(cid:66)SSS(cid:67)(cid:25)
★
【题型1 根据垂直 △ 平分线 ≌△ 的性质求长度】
(cid:15)(cid:50)1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27) (cid:65)(cid:67) =6(cid:65) =5(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)(cid:51) (cid:62)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐸
𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)24 B(cid:71)22 C(cid:71)20 D(cid:71)18
(cid:15)(cid:72)(cid:73)1-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:79)(cid:80)(cid:35)(cid:81)(cid:82)(cid:83) (cid:29)(cid:84)(cid:35)(cid:85) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:86)(cid:87)(cid:65)
(cid:87)(cid:88)(cid:70) (cid:65)(cid:89)B(cid:90)(cid:89)A(cid:91)(cid:92)(cid:65)(cid:48)(cid:49) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:93)20(cid:65) =6(cid:65)(cid:68)𝐴𝐵𝐶 (cid:29)(cid:69)(cid:33)𝐴(cid:93)𝐵 (cid:71)
𝐷𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:72)(cid:73)1-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) =8cm(cid:65)(cid:67) (cid:102) (cid:27)(cid:103)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:102) (cid:65)
(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70) cm(cid:71) 𝐵𝐶 𝑀𝑃 𝑁𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
△𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:72)(cid:73)1-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:109)(cid:110) (cid:111)
(cid:89) (cid:65)(cid:109)(cid:110) (cid:111)(cid:89) (cid:71)(cid:67) (cid:90) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:27)(cid:103)(cid:93)40c△m𝐴(cid:112)𝐵2𝐶4cm(cid:65)𝐴(cid:68)𝐵 𝐴𝐶= 𝐴 𝐵 cm(cid:71) 𝐴𝐵
𝐷 𝐴𝐶 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:50)2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:113)(cid:114)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:90) (cid:110)(cid:94)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:112) (cid:27)(cid:103)(cid:109)
(cid:111)(cid:89) (cid:112)(cid:89) (cid:71)(cid:115)(cid:116) (cid:112) (cid:65) =60°(cid:65)(cid:68) △=𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐶(cid:71)𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)𝐷(cid:73)2-1(cid:19)𝐸(cid:51)24-2𝐷5𝐴(cid:52)(cid:53)𝐸(cid:54)𝐴(cid:55)∠·(cid:117)𝐷𝐴(cid:118)𝐸(cid:119)(cid:61)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)∠(cid:63)𝐵𝐴(cid:64)𝐶(cid:65) (cid:61)(cid:65)(cid:110) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:103)(cid:109) (cid:65) (cid:111)(cid:89)
(cid:65) (cid:65)(cid:115)(cid:116) (cid:71)(cid:67) =24°(cid:65) (cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:70)△(cid:51)𝐴 𝐵 (cid:62)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷 𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶 𝐷𝐵⊥𝐵𝐶 ∠𝐴
A(cid:71)24° B(cid:71)30° C(cid:71)33° D(cid:71)66°
(cid:15)(cid:72)(cid:73)2-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =35°(cid:65) =50°(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28) (cid:109) (cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89) (cid:65) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:109) (cid:111)(cid:89)△𝐴(cid:65)𝐵𝐶(cid:68) ∠𝐵(cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:70)∠ 𝐶 (cid:71) 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐹𝐶 𝐷 ∠𝐷𝐴𝐹(cid:15)(cid:72)(cid:73)2-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:117)(cid:59)(cid:121)(cid:122)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:89)O(cid:93) (cid:112)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)(cid:89)(cid:65)(cid:115)(cid:116) (cid:112) (cid:65)(cid:67) = (cid:65)(cid:68) △𝐴(cid:29)𝐵𝐶(cid:123)(cid:124)(cid:70)𝐴𝐼(cid:51) (cid:62)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐼 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝛼 ∠𝐴𝐼𝐵
A(cid:71)90°+ 1 B(cid:71)90°+ 1
2 4
𝛼 𝛼
C(cid:71) 1 D(cid:71)180°+ 1
4 2
90°− 𝛼 𝛼
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
+
A
A
科
(cid:15)(cid:50)3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:125)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)
★
(cid:61)全(cid:65) (cid:93) (cid:29)(cid:61)(cid:28)(cid:65) (cid:93) (cid:110)(cid:29)(cid:61)(cid:24)
号
众
公
注
(cid:28)(cid:65)(cid:126) (cid:90) (cid:127)(cid:109)(cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:115)(cid:128) (cid:65) (cid:65)关(cid:67)(cid:75)(cid:110)(cid:81) △(cid:90)(cid:75)𝐴𝐵(cid:110)𝐶(cid:81) 𝐵𝐷(cid:29)Δ(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:27)(cid:103)(cid:70)8(cid:102)𝐸𝐹13(cid:65)𝐵𝐶(cid:68)
，
源
资
辅
(cid:29)(cid:36)(cid:37)𝐵(cid:70)𝐷((cid:129)𝐸(cid:129)𝐹) 教𝐺 𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)36 B(cid:71)22 C(cid:71)20 D(cid:71)21
(cid:15)(cid:72)(cid:73)3-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:16)(cid:95)(cid:130)(cid:107)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:93) (cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:65) (cid:93) (cid:94)(cid:29)(cid:134)(cid:89)(cid:65)(cid:67)
=2(cid:65) =3(cid:65)(cid:68)(cid:64)(cid:61)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:27)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:93) (cid:71)𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸,𝐹 𝐴𝐷
𝐵𝐷 𝐴𝐷(cid:15)(cid:72)(cid:73)3-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:138)(cid:59)(cid:61)(cid:117)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:66) (cid:61)(cid:65) = =6cm(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:109) (cid:111)(cid:89) D(cid:65) (cid:109) (cid:111)(cid:89)E(cid:65)(cid:89)F(cid:70) (cid:29)(cid:61)(cid:89)(cid:65)(cid:89)M(cid:70)△(cid:28)𝐴(cid:47)𝐵𝐶 (cid:94)(cid:84)𝐴(cid:139)𝐵 (cid:89)𝐴(cid:65)𝐶(cid:67),𝐵𝐶 (cid:69)(cid:33)𝐴(cid:29)𝐵 (cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:70)
10cm𝐴(cid:65)𝐵 (cid:68) (cid:29)𝐴(cid:36)𝐶(cid:37)(cid:93) cm (cid:71)𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐵𝐹𝑀
2
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)3-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:104)(cid:140)(cid:141)(cid:142)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =45°(cid:65) =4(cid:65)
=12(cid:65)D(cid:70)(cid:110) (cid:94)(cid:29)(cid:139)(cid:89)(cid:65)(cid:89) (cid:3)(cid:111) (cid:65) (cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:89)(cid:27)(cid:103)(cid:93)(cid:89)△𝐴(cid:65)𝐵𝐶(cid:65)(cid:115)∠(cid:116)𝐵𝐴𝐶(cid:65) (cid:65) 𝐵(cid:65)𝐶 𝑆(cid:36)△𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:29)
(cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:70) 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:50)4(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:95)(cid:96)(cid:143)(cid:107)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) =4(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:93)12(cid:65) (cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:27)(cid:103)(cid:109) (cid:65) (cid:110)(cid:111)(cid:89)E(cid:65)F(cid:71)(cid:67)(cid:89)D(cid:70) (cid:110)△(cid:29)𝐴(cid:61)𝐵𝐶(cid:89)(cid:65)(cid:89)𝐴𝐵P(cid:70)𝐴(cid:28)𝐶(cid:47)𝐵𝐶(cid:94)(cid:84)(cid:139)(cid:89)(cid:65)(cid:68) 𝐴𝐶(cid:69)
(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:124)(cid:39)𝐸(cid:93)𝐹(cid:51)(cid:129)(cid:129)(cid:62)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐹 △𝑃𝐶𝐷
A(cid:71)8 B(cid:71)3 C(cid:71)6 D(cid:71)4
(cid:15)(cid:72)(cid:73)4-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:104)(cid:140)(cid:141)(cid:142)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65)(cid:25)(cid:28) (cid:93)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:89) (cid:93)
(cid:25)(cid:28) (cid:94)(cid:29)(cid:84)(cid:144)(cid:139)(cid:89)(cid:71)(cid:67) =7(cid:65) =4(cid:65) =5(cid:65)(cid:68) △𝐴𝐵(cid:69)𝐶 (cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:124)𝑚(cid:39)(cid:93) 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝑃
𝑚 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝑃𝐶(cid:15)(cid:72)(cid:73)4-2(cid:19)(cid:51)22-23(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:117)(cid:59)(cid:145)(cid:105)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:109)
(cid:111)(cid:89)N(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)M(cid:65) =12cm(cid:65) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:93)20cm(cid:65)(cid:67)△(cid:89)𝐴P𝐵(cid:66)𝐶 (cid:25)(cid:28)𝐴𝐵 (cid:94)𝐴(cid:65)𝐶(cid:68)𝐴𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:123)(cid:39)(cid:70)𝐴 𝐶 .
𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝑀𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴−𝑃𝐵
(cid:15)(cid:72)(cid:73)4-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:95)(cid:96)(cid:146)(cid:107)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65) =A5+(cid:65) =12(cid:65) =13(cid:65)
A
科
全
★
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:89) (cid:93) (cid:94)(cid:84)(cid:139)(cid:89)(cid:65)(cid:147) (cid:46) (cid:65)(cid:24)△(cid:148)𝐴众 (cid:70)𝐵𝐶(cid:89)号(cid:65)∠(cid:115)𝐴(cid:116) (cid:65)(cid:68)𝐴𝐵 + 𝐴(cid:29)𝐶(cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:70)𝐵𝐶 (cid:71)𝐸𝐹
公
注
关
，
𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹 源𝑃 𝑃𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝐻
资
辅
教
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】
(cid:15)(cid:50)5(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:138)(cid:59)(cid:149)(cid:107)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:110)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:109) (cid:111)(cid:89)D(cid:65) (cid:110)(cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:109) (cid:111)(cid:89)E(cid:65) (cid:90) (cid:127)(cid:109)(cid:111)(cid:89)O(cid:65)(cid:115)(cid:116) △(cid:65)𝐴𝐵𝐶(cid:65) 𝐴(cid:71)𝐵 𝑙1 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝑙2 𝐵𝐶 𝑙1 𝑙2 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:67) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)8cm(cid:65)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:33)(cid:70)________(cid:150)
(2)(cid:151)(cid:152)△(cid:89)𝐴𝐷O𝐸(cid:93)(cid:153)(cid:66) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶(cid:94)(cid:150)
𝐵𝐶(3)(cid:67) =120°(cid:65)(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)∠𝐵5𝐴-1𝐶(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)∠(cid:53)𝐷(cid:54)𝐴𝐸(cid:94)·(cid:104)(cid:105)(cid:105)(cid:114)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:29)(cid:158)(cid:159)(cid:93)(cid:160)(cid:161)(cid:64)(cid:81)(cid:162)(cid:30)(cid:29)(cid:91)(cid:163)(cid:158)(cid:159)(cid:65)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:71)
(1)(cid:63)(cid:64)1(cid:65)(cid:25)(cid:28) (cid:93)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)P(cid:93) (cid:94)(cid:175)(cid:84)(cid:89)(cid:65)(cid:115)(cid:116) (cid:112) (cid:65)(cid:79)(cid:28)(cid:47) (cid:85)(cid:25)(cid:28) (cid:131)(cid:87)(cid:65)
(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179) (cid:90) 𝑀(cid:171)𝑁(cid:180)(cid:91)(cid:92)𝐴(cid:65)𝐵(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑀𝑁(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:185)(cid:157)(cid:10)__𝑃_𝐴___𝑃__𝐵(cid:71) 𝐴𝐵 𝑀𝑁
(2)(cid:164)(cid:165)(cid:128)𝑃(cid:92)𝐴(cid:64)(cid:81)𝑃𝐵(cid:186)(cid:48)(cid:49)(cid:102)(cid:32)(cid:40)(cid:187)(cid:188)(cid:171)(cid:172)(cid:65)(cid:170)(cid:189)(cid:190)(cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:191)(cid:71)
(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:63)(cid:64)1(cid:65) (cid:111)(cid:89)C(cid:65)________(cid:65)(cid:89)P(cid:93)(cid:25)(cid:28) (cid:94)(cid:29)(cid:175)(cid:192)(cid:84)(cid:89)(cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10)________(cid:71)
(cid:40)(cid:41)(cid:10) 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵 𝑀𝑁
(3)(cid:63)(cid:64)2(cid:65)CD(cid:93)(cid:28)(cid:47)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) =22°(cid:65) =50°(cid:65)(cid:68) A=+________(cid:71)
A
科
全
★
(cid:15)(cid:72)(cid:73)5-2(cid:19)(cid:51)23-24(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:130)(cid:140)(cid:193)(cid:194)·(cid:60)∠(cid:61)𝐶𝐴(cid:62)𝐷(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) 众∠𝐶号𝐵𝐴 (cid:61)(cid:65) ∠𝐴𝐷(cid:65)𝑃 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)
公
注
关
(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:126) = (cid:65)(cid:115)(cid:116)源 ，(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶
资
辅
教
𝐹 𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:150)
(2)(cid:67) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:69)𝐸(cid:33)𝐶 (cid:70)42cm(cid:65) =16cm(cid:65)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)△5𝐴-𝐵3(cid:19)𝐶(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)𝐴·𝐶(cid:117)(cid:118)(cid:195)(cid:196)·(cid:60)(cid:108)𝐷(cid:62)𝐶(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) =50°(cid:65) (cid:65)(cid:24)
(cid:148)(cid:70)D(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:109) (cid:111)(cid:89)E(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)F(cid:65)(cid:115)(cid:116)△𝐴𝐵(cid:71)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐹
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:150)
𝐴𝐹 𝐵𝐹(2)(cid:32) (cid:34)(cid:120)(cid:71)
【题型
∠𝐹6𝐵 𝐷
利用角平分线的性质求长度】
(cid:15)(cid:50)6(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:107)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:48)(cid:49) =150°(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:111)(cid:89)D(cid:65)
(cid:109) (cid:111)(cid:89)C(cid:65)(cid:67) =4(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:33)(cid:70)(cid:51) (cid:62) ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵 𝑃𝐶∥𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑃𝐷 𝑂𝐶
A(cid:71)6 B(cid:71)8 C(cid:71)10 D(cid:71)12
(cid:15)(cid:72)(cid:73)6-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:194)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:109) (cid:111)D(cid:89)(cid:65) (cid:111)E(cid:89)(cid:65)(cid:67)
=4(cid:65) =5(cid:65) =9(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:33)(cid:70) (cid:71) 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:15)(cid:72)(cid:73)6-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:117)(cid:118)源(cid:203)(cid:204)， ·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:48)(cid:49) (cid:61)(cid:65)D(cid:70) (cid:110)(cid:94)(cid:84)(cid:89)(cid:65)E(cid:70) (cid:110)(cid:94)(cid:84)(cid:89)(cid:65)
资
辅
教
(cid:115)(cid:116) (cid:65) (cid:65) (cid:65) = (cid:65)(cid:67) =2.7(cid:65) =1.5(cid:65)△𝐴𝐵=𝐶1(cid:65)(cid:68) 𝐵=𝐶 (cid:71) 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)6-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) = =4cm =3cm
=5cm(cid:65)O(cid:93) (cid:90) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:109)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:89)O(cid:211) (cid:29)(cid:212)△(cid:213)𝐴(cid:70)𝐵 𝐶 (cid:71)∠𝐶 90°,𝐴𝐶 ,𝐵𝐶
,𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 𝐴𝐵
【题型7 利用角平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:50)7(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:130)(cid:140)(cid:214)(cid:114)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =7(cid:65) =6(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教(cid:111) (cid:65) =2(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:51) (cid:62)
𝐸 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)13 B(cid:71)19 C(cid:71)20 D(cid:71)26
(cid:15)(cid:72)(cid:73)7-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65)(cid:215)(cid:216)(cid:55)(cid:217)(cid:218)(cid:46)(cid:64)(cid:10) (cid:216)
(cid:89)A(cid:70)(cid:219)(cid:220)(cid:65)(cid:216)(cid:124)(cid:111) (cid:33)(cid:70)(cid:221)(cid:222)(cid:46)(cid:223)(cid:65)(cid:27)(cid:103)(cid:109) (cid:65) (cid:111)(cid:89)M
△
(cid:65)
𝐴𝐵
N
𝐶
(cid:150) (cid:27)
∠
(cid:103)
𝐶
(cid:216)M(cid:65)N(cid:70)(cid:219)(cid:220)(cid:65)(cid:216)(cid:123)(cid:111)
1①
(cid:29)
2
(cid:33)(cid:70)(cid:221)(cid:222)(cid:46)(cid:223)(cid:65)(cid:66) 𝐴𝐶(cid:224)(cid:134)(cid:223)(cid:109)(cid:111)(cid:89)O(cid:150) (cid:46)𝐴(cid:225)𝐶(cid:28)𝐴𝐵(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)②D(cid:71)(cid:67) (cid:29)(cid:33)(cid:70)3(cid:65) =8(cid:65)(cid:68) 𝑀𝑁
(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) ∠𝐵(cid:71)𝐴𝐶 ③ 𝐴𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:72)(cid:73)7-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:94)(cid:122)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)关(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =2(cid:65) =3(cid:65) (cid:93) (cid:29)(cid:26)(cid:27)
，
源
资
辅
教3 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:28)(cid:65)(cid:63)(cid:226) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) (cid:65)(cid:227)(cid:228) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) (cid:71)
2
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)7-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:91)(cid:229)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:65)(cid:126) = (cid:65) = (cid:65)
(cid:70) (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)E(cid:65)(cid:109) (cid:111)(cid:89)F(cid:65)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:29)(cid:36)𝐴(cid:37)𝐷(cid:70)⊥7𝐵(cid:65)𝐶(cid:68)(cid:64)𝐶(cid:61)𝐷(cid:135)(cid:136)2(cid:137)𝐵𝐷(cid:27)(cid:75)4𝐵(cid:110)𝐶(cid:81) 3𝐴𝐶 (cid:29)𝐶(cid:36)𝐹
(cid:37)(cid:70)∠𝐴 𝐶 𝐵 (cid:71) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐹【题型8 利用角平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:50)8(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:56)(cid:114)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:70)Rt (cid:230)(cid:110) (cid:94)(cid:29)(cid:231)(cid:65) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)
(cid:103)(cid:109) (cid:112) (cid:111) (cid:65)(cid:24)(cid:148)(cid:70)(cid:89) (cid:71) 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71)
(2)(cid:67) =𝐶𝐸20°(cid:65)𝐹(cid:32)𝐺 (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)∠𝐵8-1(cid:19)(cid:51)22-2∠3𝐴(cid:52)𝐹(cid:53)𝐺 (cid:54)(cid:94)·(cid:138)(cid:59)(cid:138)(cid:107)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:111)E(cid:65) (cid:111)F(cid:65) = (cid:65)
=25°(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:93) (cid:71) 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)8-2(cid:19)(cid:51)23-24(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:95)(cid:96)(cid:146)(cid:107)·(cid:99)(cid:47)(cid:100)(cid:101)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:79) (cid:82)(cid:83)(cid:85) (cid:87)(cid:232)(cid:65)(cid:89)A(cid:233)(cid:66)(cid:89) (cid:234)(cid:65)(cid:235)
′
(cid:236)(cid:237)(cid:148) (cid:26)(cid:27) (cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:67) =125°(cid:65)(cid:68) (cid:34)(cid:120)△(cid:70)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝐷𝐸 𝐴
′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶,𝐴 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠1 ∠2
(cid:15)(cid:72)(cid:73)8-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:74)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:117)(cid:59)(cid:238)(cid:239)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:29)(cid:240)(cid:35) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:90)(cid:224)(cid:35) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:109)(cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:67) =54°(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:93) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶【题型9 利用角平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:50)9(cid:19)(cid:51)24-25(cid:241)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:242)(cid:243)(cid:95)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65)(cid:89)D(cid:66) (cid:110)(cid:94)(cid:65)(cid:115)(cid:116)
(cid:65)(cid:147)(cid:89)D(cid:46) (cid:109) (cid:111)(cid:89) (cid:65) = (cid:65)(cid:89)P(cid:70)(cid:28)(cid:47) △(cid:94)𝐴(cid:84)𝐵𝐶(cid:139)(cid:89)(cid:65)∠𝐶(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:67) =𝐴6𝐶(cid:65)(cid:68)(cid:28)(cid:47) (cid:29)
𝐵(cid:38)𝐷(cid:124)(cid:39)(cid:93) 𝐷(cid:71)𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐶𝐷 𝐷𝑃
(cid:15)(cid:72)(cid:73)9-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:247)(cid:248)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:216) (cid:29)(cid:249)(cid:89)O(cid:70)(cid:219)(cid:220)(cid:65)(cid:250)(cid:251)(cid:33)(cid:70)(cid:221)(cid:222)(cid:252)(cid:223)(cid:65)(cid:27)(cid:103)(cid:109)
(cid:65) (cid:111)(cid:89) (cid:65) (cid:65)(cid:253)(cid:27)(cid:103)(cid:216)(cid:89)M(cid:102)(cid:89)N(cid:70)(cid:219)(cid:220)(cid:65)(cid:123)
∠𝐴
(cid:111)
𝑂1𝐵
(cid:33)(cid:70)(cid:221)(cid:222)(cid:252)(cid:223)(cid:51)(cid:223)(cid:254)(cid:66)(cid:219)(cid:29)(cid:221)(cid:222)(cid:78)(cid:127)(cid:255)(cid:62)(cid:65)(cid:134)
2
(cid:223)𝑂𝐴(cid:109)(cid:111)𝑂𝐵(cid:89)P(cid:71)𝑀(cid:252)(cid:225)𝑁(cid:28) (cid:65)(cid:46) (cid:111)(cid:89)C(cid:65)(cid:126) =2(cid:65)𝑀(cid:93)𝑁(cid:225)(cid:28) (cid:94)(cid:84)(cid:144)(cid:139)(cid:89)(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:70)
𝑂𝑃 𝑃𝐶⊥𝑂𝐴 𝑃𝐶 𝑄 𝑂𝐵 𝑃𝑄
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)9-2(cid:19)(cid:51)22-23(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:256)(cid:118)(cid:118)(cid:197)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:66) (cid:61)(cid:65)(cid:48)(cid:49) =6(cid:65) (cid:110)(cid:94)(cid:29)(cid:231) =4(cid:65) (cid:134)
(cid:144)(cid:224)(cid:35)(cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:127)(cid:109)(cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:147) (cid:46) (cid:111)(cid:89)△(cid:65)𝐴𝐵(cid:68)𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:123)𝐵(cid:39)𝐶(cid:93) 𝐵(cid:71)𝐶 ℎ △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)9-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)𝑂(cid:94)·(cid:197)(cid:198)𝑂(cid:257)𝑂(cid:107)𝐷·(cid:60)⊥𝐵(cid:108)𝐶(cid:62)(cid:63)(cid:64)𝐷(cid:65)(cid:66)𝑂𝐷 (cid:61)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:109) (cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:89) (cid:65) (cid:27)
(cid:103)(cid:93) (cid:102) (cid:94)(cid:29)(cid:139)(cid:89)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷 𝑀 𝑁
𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:51)1(cid:62)(cid:67) =60 (cid:65) =40 (cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:120)(cid:70) (cid:150)
∘ ∘
(cid:51)2(cid:62)(cid:67)∠𝐵𝐴𝐶 =12(cid:65) ∠𝐶=8(cid:65)(cid:68) ∠+𝐴𝐷𝐵(cid:29)(cid:38)(cid:124)(cid:39)(cid:70) (cid:71)
【题型1𝑆0 △ 𝐴𝐵
利
𝐶
用角平分
𝐴𝐶
线的性质证
𝐵𝑀
明】
𝑀𝑁
(cid:15)(cid:50)10(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:197)(cid:198)(cid:92)(cid:258)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:93) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)C(cid:93) (cid:94)(cid:84)(cid:89)(cid:65) (cid:65)
𝑂𝑀 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑀 𝐶𝐷⊥𝑂𝐴(cid:65)(cid:24)(cid:148)(cid:27)(cid:103)(cid:70)D(cid:65)E(cid:65)(cid:89)F(cid:93) (cid:94)(cid:29)(cid:259)(cid:84)(cid:89)(cid:65)(cid:115)(cid:116) (cid:65) (cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71)
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 𝑂𝑀 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐹𝑂 ∠𝐸𝐹𝑂
(cid:15)(cid:72)(cid:73)10-1(cid:19)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:93) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) = (cid:65)(cid:89)P(cid:66) (cid:94)(cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:24)(cid:148)(cid:27)(cid:103)(cid:93)M(cid:112)
N(cid:65)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71)𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:72)(cid:73)10-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:117)(cid:59)(cid:246)(cid:107)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:24)(cid:148)(cid:27)(cid:103)(cid:70) (cid:65)
(cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71) 𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶 𝐷
+
A
𝐸 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)10-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:94)·(cid:75)(cid:76)(cid:260)(cid:117)·(cid:60)(cid:108)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:254)(cid:261)(cid:65)(cid:89) (cid:112)(cid:27)(cid:103)(cid:93) (cid:112) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:94)(cid:29)(cid:89)(cid:65)
(cid:111)(cid:89) (cid:65) (cid:111)(cid:89) (cid:65) (cid:111)(cid:89) (cid:65)(cid:32)(cid:40)(cid:10) + 𝐴= 𝐵 (cid:71) ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵⊥𝑂𝑃
𝐸 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐶 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵
