文档文本内容
专题 2.8 线段垂直平分线、角平分线性质定理的逆定理（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:19)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:19)..................................................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:19)..................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..........................................................................................................18
知识点1 线段垂直平分线性质定理的逆定理
1.(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:7)(cid:8)(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:25)(cid:26)
+
A
A
科
2.(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:5)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)PA=PB(cid:35)(cid:37)(cid:12)P(cid:18)(cid:7)(cid:8)AB(cid:17)(cid:21)(cid:22)(cid:23)★(cid:24)(cid:7) 全 (cid:25)(cid:26)
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
知识点2 角平分线性质定理的逆定理
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:38)(cid:17)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:38)(cid:17)(cid:9)(cid:42)(cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:12)(cid:18)(cid:38)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:25)(cid:26)
2. (cid:43)(cid:44)(cid:5)(cid:38)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:17)(cid:45)(cid:3)(cid:17)(cid:46)(cid:47)(cid:20)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:18)(cid:38)(cid:17)(cid:39)(cid:40)(cid:17)(cid:12)(cid:41)(cid:38)(cid:9)(cid:42)(cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:51)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:49)(cid:18)(cid:38)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:7)
(cid:25)(cid:35)(cid:38)(cid:17)(cid:54)(cid:40)(cid:17)(cid:12)(cid:55)(cid:56)(cid:18)(cid:38)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:25)(cid:26)
【题型1 判断是垂直平分线】
(cid:15)(cid:43)1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:10)(cid:60)(cid:61)(cid:62) = (cid:62)(cid:25)(cid:63)(cid:28)(cid:64)(cid:65)E(cid:66)D(cid:67)
𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐸⊥𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) = (cid:70)
(2)(cid:71)(cid:72) 𝐴(cid:66)𝐷 (cid:62)𝐴𝐸(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:29) (cid:35) (cid:33)(cid:3)(cid:73)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)𝐴𝑂(1)(cid:76)𝐵𝐶(cid:77)(cid:78) 𝐴𝑂 𝐵𝐶
(2) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:15)(cid:28)𝐴𝑂(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)𝐵(cid:81)𝐶(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:89)(cid:90)(cid:83)(cid:84)(cid:85)
(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:91)(cid:92)(cid:24)(cid:79)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:94)“AAS”(cid:95)(cid:69) (cid:62)(cid:95)(cid:96) = (cid:70)
(cid:44)2(cid:57)(cid:94)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)△(cid:33)𝐴(cid:36)𝐷(cid:37)𝐶≌(cid:87)△(cid:84)𝐴(cid:88)𝐸(cid:85)𝐵(cid:40)(cid:86)(cid:33)𝐴(cid:36)𝐷(cid:37)(cid:95)𝐴(cid:96)𝐸 = (cid:62)(cid:97)(cid:98)(cid:95)(cid:96) = (cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:101)(cid:67)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:69)(cid:103)(cid:10) (cid:62) (cid:62) ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐸★𝐵𝐶全 𝑂𝐵 𝑂𝐶
号
众
公
注
= =90∵°(cid:62)𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵关
，
源
资
辅
(cid:104)∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:87)∠𝐴𝐸𝐵 (cid:105)教(cid:62)
△𝐴𝐷=𝐶 △𝐴𝐸𝐵
= (cid:62)
∠𝐴= ∠𝐴
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐸𝐵
𝐴𝐶 𝐴𝐵 AAS)(cid:62)
∴ △=𝐴𝐷𝐶≌(cid:70)△𝐴𝐸𝐵(
(cid:44)∴2𝐴(cid:57)𝐷(cid:77)(cid:10)𝐴𝐸 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:62)(cid:106)(cid:94)(cid:60)(cid:107)(cid:10)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
𝐴𝑂 𝐵𝐶
= (cid:62)
= (cid:62) ∵𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴∠ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:62)
∵ △𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐵= (cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐸 =∠𝐴𝐶𝐷(cid:62)
∴∠𝐷𝐶=𝐵 ∠(cid:62)𝐸𝐵𝐶
(cid:108)∴𝐵𝑂 =𝐶𝑂 (cid:62)
∵𝐴(cid:25)𝐵(cid:26)(cid:27)𝐴𝐶(cid:28) (cid:67)
(cid:15)∴(cid:109)𝐴𝑂(cid:110)1-1(cid:19)(cid:44)𝐵2𝐶4-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:111)(cid:112)(cid:112)(cid:113)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:115)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62)D(cid:24) (cid:48)(cid:33)(cid:116)(cid:117)(cid:62)(cid:118)
= (cid:62) (cid:62) (cid:27)(cid:28) (cid:62)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:67) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:67)+(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:122)
A
A
科
全
★
= (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:96)(cid:122) = 众 (cid:62)号(cid:84)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:96)(cid:122) = (cid:62)(cid:68)(cid:96)(cid:117)F(cid:104)(cid:29)(cid:54)
公
注
关
∠(cid:33)𝐶(cid:25)𝐷𝐸(cid:26)(cid:27)∠(cid:28)𝐷(cid:29)𝐶𝐹(cid:48)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:58)(cid:59)(cid:127)(cid:128)(cid:96)源(cid:122)(cid:117)，A(cid:104)∠𝐶(cid:29)𝐷(cid:54)𝐹 ∠(cid:33)𝐶(cid:25)𝐷𝐸(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)(cid:129)(cid:24)∠(cid:96)𝐶𝐷(cid:122)𝐹(cid:100)(cid:101)∠𝐷(cid:67)𝐶𝐹 𝐶𝐷
资
辅
教
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:69)(cid:103)(cid:10) (cid:62) 𝐶𝐷
= ∵(cid:62)𝐷𝐸∥𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐷(cid:27)𝐸(cid:28) ∠𝐷𝐶𝐹(cid:62)
∵𝐶𝐷 =∠𝐸𝐷𝐹 (cid:62)
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸(cid:62)
∴∠𝐶𝐷=𝐹 (cid:62)∠𝐷𝐶𝐹
∴(cid:117)𝐷𝐹F(cid:104)𝐶(cid:29)𝐹 (cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)
∴ = (cid:62)𝐶𝐷
∵(cid:117)𝐴𝐷A(cid:104)𝐴(cid:29)𝐶(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)
∴ (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐶𝐷(cid:67)
∴(cid:15)𝐴(cid:109)𝐹(cid:110)1-2(cid:19)(cid:44)𝐶𝐷23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:113)(cid:130)(cid:131)(cid:132)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104)(cid:133)(cid:134)(cid:86) (cid:105)(cid:62) = (cid:62) = (cid:62)(cid:135)(cid:136)
(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:134)(cid:28)(cid:64)(cid:143)(cid:84)(cid:33)(cid:133)(cid:134)(cid:86)(cid:144)(cid:145)“(cid:146)(cid:86)”(cid:67) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:70)
(2)(cid:26)(cid:29) △(cid:24)(cid:29)𝐴𝐵(cid:54)𝐶≌△(cid:33)𝐴(cid:25)𝐷𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:103)(cid:106)(cid:94)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)𝐴𝐶(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78)𝐵𝐷
(2)(cid:26)(cid:29) (cid:24)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:106)(cid:94)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)𝐴𝐶(cid:151)(cid:20)(cid:80)(cid:81)𝐵(cid:82)𝐷(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:70)
(cid:44)1(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:97)(cid:119)(cid:69)(cid:103)(cid:99)(cid:95)(cid:70)
(cid:44)2(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:99)(cid:95)(cid:96)(cid:152)(cid:69)(cid:103)(cid:70)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:69)(cid:103)(cid:10)(cid:104) (cid:87) (cid:105)(cid:62)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶 A +
A
= (cid:62) 全 科
★
𝐴𝐵 =𝐴𝐷 众 号
公
𝐵𝐶 𝐷𝐶 注
关
𝐴𝐶 𝐴𝐶 (cid:62) 源 ，
资
辅
教
∴(cid:44)△2(cid:57)𝐴𝐵𝐶(cid:24)≌△(cid:29)(cid:54)𝐴𝐷𝐶 (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:106)(cid:94)(cid:60)(cid:107)(cid:10)
=𝐴𝐶 (cid:62) 𝐵=𝐷 (cid:62)
∵𝐴𝐵(cid:104)𝐴𝐷(cid:33)(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)(cid:27)𝐷(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:48)(cid:62)
(cid:99)∴𝐴,𝐶(cid:24)𝐵(cid:29)𝐷(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:67)
(cid:15)𝐴(cid:109)𝐶(cid:110)1-3(cid:19)𝐵(cid:44)𝐷23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:153)(cid:51)(cid:51)(cid:154)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62) = (cid:62) (cid:62) (cid:28)(cid:64)(cid:24)(cid:134) (cid:62)
(cid:48)(cid:33)(cid:105)(cid:29)(cid:62) (cid:62) (cid:143)(cid:155)(cid:129)(cid:117)O(cid:67) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐵𝐷 𝐶𝐸
(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) = (cid:67)
(2)(cid:71)(cid:72) 𝑂(cid:62)𝐵(cid:156)(cid:150)𝑂(cid:103)𝐶 (cid:26)(cid:29) (cid:24)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)𝑂𝐴(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78) 𝑂𝐴 𝐵𝐶
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:87)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:94)“SAS”(cid:95)(cid:69) (cid:62)(cid:94)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:96) = (cid:62)(cid:94)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:96)
= (cid:62)(cid:95)△(cid:69)𝐴𝐵𝐷≌△=𝐴𝐶𝐸 (cid:62)(cid:95)(cid:96) = (cid:67) ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸
(cid:44)∠𝐴2𝐵(cid:57)𝐶(cid:120)(cid:121)∠𝐴𝐶𝐵= (cid:62)∠𝑂𝐵=𝐶 (cid:62)∠𝑂(cid:96)𝐶𝐵(cid:152) (cid:66)O(cid:104)𝑂𝐵(cid:29)(cid:54)𝑂𝐶 (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:69)(cid:103)(cid:100)(cid:101)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)𝑂1𝐵(cid:57)(cid:69)𝑂(cid:103)𝐶(cid:10)𝐴𝐵 (cid:62)𝐴𝐶 (cid:28)(cid:64)(cid:24)𝐴(cid:134) (cid:62) (cid:48)𝐵(cid:33)𝐶(cid:105)(cid:29)(cid:62)
= 1 (cid:62) = 1 ∵𝐵 (cid:62) 𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
2 2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵
= (cid:62)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:62)
∴(cid:104)𝐴𝐷 𝐴𝐸(cid:35) (cid:105)(cid:62)
△=𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐸
= (cid:62)
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∠𝐴 ∠𝐴
𝐴𝐸 𝐴𝐷 (SAS)(cid:62)
∴△𝐴𝐵𝐸=≌△𝐴𝐶𝐷(cid:62)
+
A
A
科
∴∠𝐴𝐵=𝐷 (cid:62)∠𝐴𝐶𝐸 ★ 全
号
众
公
注
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐶 (cid:62) 关
，
源
资
辅
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵= 教 (cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐶−=∠𝐴𝐵𝐷 (cid:62)∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐸
∴∠𝑂𝐵=𝐶 ∠(cid:67)𝑂𝐶𝐵
∴(cid:44)𝑂2𝐵(cid:57)(cid:69)𝑂(cid:103)𝐶(cid:10) = (cid:62) = (cid:62)
(cid:66)O(cid:104)(cid:29)(cid:54)∵𝑂𝐵(cid:33)(cid:25)𝑂𝐶(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:28)𝐵(cid:29)(cid:48)𝐴𝐶(cid:62)
∴(cid:140)𝐴 (cid:117)(cid:157)(cid:34)(cid:116)(cid:127)𝐵(cid:26)𝐶(cid:29)(cid:62)
∵(cid:26)(cid:29) (cid:24)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:67)
∴
【题型
𝑂𝐴2
尺规作
𝐵𝐶
垂直平分线】
(cid:15)(cid:43)2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:158)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:153)(cid:51)(cid:159)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:115)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62)(cid:117)E(cid:24)(cid:134) (cid:48)(cid:116)(cid:117)(cid:62)(cid:118) (cid:27)(cid:28) (cid:67)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶(1)(cid:149)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:33)(cid:26)(cid:30)(cid:87)(cid:166)(cid:31)(cid:32)(cid:152)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:118)(cid:35)(cid:134) (cid:155)(cid:129)(cid:117)D(cid:67)(cid:44)(cid:167)(cid:68)(cid:10)(cid:168)(cid:169)(cid:32)(cid:92)(cid:62)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:61)
(cid:172)(cid:173)(cid:57) 𝐵𝐸 𝐵𝐶
(2)(cid:71)(cid:72) (cid:62)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)𝐸𝐷(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78) 𝐸𝐷∥𝐴𝐵
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:174)(cid:167)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:175)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:84)(cid:134)(cid:177)(cid:84)(cid:40)(cid:62)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:178)(cid:59)(cid:143)(cid:3)(cid:59)
(cid:179)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:91)(cid:92)(cid:32)(cid:61)(cid:99)(cid:95)(cid:70)
+
A
A
科
(cid:44)2(cid:57)(cid:94)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:96) = (cid:62)(cid:180)(cid:94)(cid:84)(cid:134)(cid:177)(cid:84)(cid:40)(cid:87) ★ (cid:40)全(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:95)(cid:69)(cid:103) = (cid:62)
号
众
公
注
(cid:181)(cid:95)(cid:69)(cid:103) (cid:67) 𝐷𝐸 𝐷关𝐵 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷𝐸𝐵
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)𝐷(cid:44)𝐸1(cid:57)∥𝐴(cid:77)𝐵(cid:10)(cid:60)教(cid:61)(cid:114)(cid:115)(cid:62)(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:70)
(cid:44)2(cid:57)(cid:69)(cid:103)(cid:10) (cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:134) (cid:155)(cid:129)(cid:117)D(cid:62)
= (cid:62)∵ 𝐵𝐸 𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 𝐷=𝐵 (cid:62)
∴∠𝐷(cid:27)𝐸𝐵(cid:28) ∠𝐷𝐵(cid:62)𝐸
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐸(cid:62)
∴∠𝐴𝐵𝐸 (cid:67)∠𝐷𝐸𝐵
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐵(cid:15)(cid:109)(cid:110)2-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:111)(cid:112)(cid:112)(cid:113)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:149)(cid:104) (cid:48)(cid:182)(cid:116)(cid:117) (cid:62)(cid:183)(cid:96) = (cid:67)
𝐴𝐵 𝑃 ∠𝐵 ∠𝑃𝐶𝐵
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:32)(cid:61)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:32)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:155) (cid:129)
(cid:117) (cid:62)(cid:95)(cid:96) = (cid:62)(cid:99)(cid:96) = (cid:62)(cid:184)(cid:117) (cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:62)(cid:89)(cid:90)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)𝐵(cid:32)𝐶(cid:92)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)𝐴𝐵(cid:93)(cid:67)
(cid:15)𝑃(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:77)𝑃(cid:10)𝐵(cid:60)(cid:61)𝑃𝐶(cid:114)(cid:115)(cid:62)(cid:117)∠𝐵(cid:99)(cid:65)∠𝑃(cid:114)𝐶(cid:68)𝐵(cid:67) 𝑃
𝑃
(cid:15)(cid:109)(cid:110)2-2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:153)(cid:185)(cid:170)(cid:34)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:174)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:34)(cid:104)(cid:194)(cid:195)m(cid:48)(cid:196)(cid:116)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:117)D(cid:87)(cid:201)
(cid:202)(cid:200)E(cid:62)(cid:203)(cid:167)(cid:68)(cid:204)(cid:205)(cid:107)(cid:206)(cid:32)(cid:61)(cid:44)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:62)(cid:168)(cid:167)(cid:68)(cid:169)(cid:32)(cid:92)(cid:57)(cid:67) +
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:60)(cid:61)1(cid:62)(cid:207)(cid:188)A(cid:62)B(cid:104)(cid:194)(cid:195)m(cid:33)(cid:208)(cid:209)(cid:62)(cid:167)(cid:183)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:117)D(cid:122)(cid:207)(cid:188)A(cid:62)B(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:149)(cid:157)(cid:34)(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:117)D(cid:33)
(cid:212)(cid:213)(cid:44)(cid:167)(cid:68)(cid:214)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:57)(cid:70)
(2)(cid:60)(cid:61)2(cid:62)(cid:207)(cid:188)A(cid:62)C(cid:104)(cid:194)(cid:195)m(cid:33)(cid:215)(cid:209)(cid:62)(cid:167)(cid:183)(cid:201)(cid:202)(cid:200)E(cid:122)(cid:207)(cid:188)A(cid:62)C(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:216)(cid:87)(cid:217)(cid:218)(cid:62)(cid:149)(cid:157)(cid:34)(cid:201)(cid:202)(cid:200)E(cid:33)(cid:212)
(cid:213)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:70)
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:67)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:32)(cid:61)(cid:116)(cid:41)(cid:42)(cid:35)(cid:219)(cid:220)(cid:32)(cid:61)(cid:66)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:66)(cid:221)(cid:177)(cid:222)(cid:116)(cid:217)(cid:218)(cid:223)(cid:29)(cid:224)(cid:20)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:29)
(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:66)(cid:221)(cid:177)(cid:222)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:74)(cid:79)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:100)(cid:39)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:32)(cid:29)(cid:54) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:155)(cid:26)(cid:29)m(cid:129)(cid:117)D(cid:62)(cid:181)(cid:117)D(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:67)
(cid:44)2(cid:57)(cid:225)(cid:117)C(cid:3)(cid:129)(cid:26)(cid:29)m(cid:33)(cid:177)(cid:222)(cid:117) (cid:62)(cid:71)(cid:72)𝐴𝐵 (cid:155)(cid:26)(cid:29)m(cid:129)(cid:117)E(cid:62)(cid:181)(cid:117)E(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:77) (cid:60)(cid:61)1(cid:32)(cid:29)(cid:54) 𝐶(cid:33)′ (cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐴(cid:28)𝐶′(cid:29)(cid:62)(cid:155)(cid:26)(cid:29)m(cid:129)(cid:117)D(cid:62)(cid:181)(cid:117)D(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:67)
∶ 𝐴𝐵(cid:44)2(cid:57)(cid:77)(cid:10)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:225)(cid:117)C(cid:3)(cid:129)(cid:26)(cid:29)m(cid:33)(cid:177)(cid:222)(cid:117) (cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:155)(cid:26)(cid:29)m(cid:129)(cid:117)E(cid:67)(cid:151)(cid:226)
+ = + = (cid:62)(cid:65)(cid:217)(cid:207)(cid:227)(cid:62)(cid:181)(cid:117)E𝐶(cid:99)′ (cid:65)(cid:114)(cid:68)𝐴(cid:62)𝐶′
𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐶′𝐸 𝐴𝐶′
(cid:15)(cid:109)(cid:110)2-3(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:163)(cid:228)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:35) (cid:143)(cid:155)(cid:129)(cid:117) (cid:62) = (cid:62) (cid:67)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐶∥𝐵𝐷
+
A
(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:70) 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:42)(cid:163)(cid:164)(cid:165)△(cid:33)𝐴𝐸(cid:26)𝐶(cid:30)≌(cid:87)△(cid:166)𝐵𝐸(cid:31)𝐷(cid:32)(cid:61)(cid:10)(cid:68)(cid:32)(cid:84)(cid:88) (cid:62)公(cid:183)(cid:96)(cid:117)M(cid:104) (cid:48)(cid:62)(cid:117)N(cid:104) (cid:48)(cid:62)(cid:118) (cid:189)(cid:229)(cid:117) (cid:67)(cid:44)(cid:168)
注
关
，
源
(cid:169)(cid:32)(cid:92)(cid:62)(cid:170)(cid:171)(cid:32)(cid:61)(cid:172)(cid:173)(cid:62)辅(cid:230)(cid:103)资(cid:231)(cid:232)(cid:57) △𝐶𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐸
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:62)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:83)(cid:84)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:233)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:175)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:83)(cid:84)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:122) = (cid:62) = (cid:62)(cid:100)(cid:39) = (cid:62)(cid:214)(cid:42)AAS(cid:99)(cid:95)(cid:69)(cid:103) (cid:70)
(cid:44)2(cid:57)(cid:32) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:28)∠(cid:64)𝐴(cid:155) ∠𝐵 ∠(cid:129)𝐶(cid:117) ∠𝐷(cid:62)(cid:71)(cid:72)𝐸𝐶 𝐸(cid:99)𝐷(cid:95)(cid:67) △𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)𝐶(cid:44)𝐷1(cid:57) (cid:62) 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑀,𝑁 𝐶𝑀,𝐶𝑁
= (cid:62) ∵=𝐴𝐶∥𝐵(cid:62)𝐷
(cid:104)∴∠𝐴 ∠ 𝐵(cid:87) ∠𝐶 ∠(cid:105)𝐷(cid:62)
△=𝐴𝐸𝐶 △𝐵𝐸𝐷
= (cid:62)
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐶 ∠𝐷
𝐸𝐶 𝐸𝐷 (cid:70)
(cid:44)∴△2(cid:57)𝐴𝐸(cid:60)𝐶(cid:61)≌(cid:10)△(cid:84)𝐵𝐸(cid:88)𝐷(𝐴𝐴𝑆) (cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:67)
△𝐶𝑀𝑁(cid:94)(cid:32)(cid:61)(cid:95)(cid:59)(cid:10) (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:62)
= (cid:62) 𝑀𝑁 𝐶𝐷
∴𝐷𝑁= 𝐶𝑁 = = (cid:62)
∵∠𝐶 ∠𝐷,𝐷𝐸 𝐶𝐸(cid:62),∠𝐷𝐸𝑁 ∠𝐶𝐸𝑀
∴△𝐷=𝐸𝑁≌(cid:62)△𝐶𝐸𝑀
∴𝐶𝑀=𝐷𝑁(cid:62)
∴𝐶𝑀 𝐶𝑁(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68).
【
∴△
题
𝐶
型
𝑀3𝑁
垂直平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:43)3(cid:19)(cid:44)24-25(cid:158)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:153)(cid:51)(cid:159)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104)(cid:133)(cid:134)(cid:86) (cid:105)(cid:62) (cid:62)E(cid:65) (cid:33)(cid:105)(cid:117)(cid:62)(cid:118)
+
A
A
科
(cid:62)(cid:234)(cid:235) (cid:155) (cid:33)(cid:234)(cid:235)(cid:29)(cid:129)(cid:117)F(cid:67)(cid:236) =12(cid:62) =𝐴5𝐵(cid:62)𝐶★𝐷(cid:181)全(cid:33)𝐴𝐵(cid:235)∥(cid:65)𝐶 𝐷 (cid:67)𝐵𝐶
号
众
公
注
𝐴𝐸⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐵 关𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)8
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:237)(cid:175)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:238)(cid:157)(cid:239)(cid:240)(cid:152)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:241)(cid:106)
(cid:77)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:67)(cid:94)“AAS”(cid:95)(cid:69) (cid:62)(cid:95)(cid:96) = (cid:62) = =4(cid:62)(cid:94)(cid:29)
(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:96) = =12(cid:62)(cid:97)(cid:116)(cid:242)(cid:68)(cid:77)△(cid:99)𝐵(cid:95)𝐸𝐹(cid:67)≌△𝐶𝐸𝐷 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:77)(cid:10) (cid:65) (cid:33)𝐴(cid:105)𝐷(cid:117)(cid:62)𝐴𝐹
= (cid:62)∵ 𝐸 𝐵𝐶
∴ 𝐵𝐸 𝐸𝐶(cid:62)
∵ 𝐴𝐵∥=𝐷𝐶 (cid:62) = (cid:62)
(cid:104)∴ ∠𝐹 ∠(cid:35)𝐶𝐷𝐸 ∠𝐹(cid:105)𝐵(cid:62)𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
△𝐵𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐷=
= (cid:62)
∠𝐹 =∠𝐶𝐷𝐸
∠𝐹𝐵𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
𝐵𝐸 𝐶𝐸 (AAS)(cid:62)
∴ △𝐵=𝐸𝐹≌(cid:62)△𝐶𝐸=𝐷 =4(cid:62)
∴ 𝐸𝐹 𝐷(cid:62)𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐷
∵𝐴𝐸⊥=𝐷𝐸 =12(cid:62)
∴𝐴 𝐷 =𝐴𝐹 + = +4=12(cid:62)
∴ 𝐴𝐹 =𝐴8(cid:62)𝐵 𝐵𝐹 𝐴𝐵
(cid:184)∴(cid:74)𝐴(cid:75)𝐵(cid:65)(cid:10)8(cid:67)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)3-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:111)(cid:112)(cid:112)(cid:113)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:117) (cid:66) (cid:104)(cid:26)(cid:29) (cid:48)(cid:62)(cid:117) (cid:66) (cid:104)(cid:26)(cid:29) (cid:48)(cid:62) (cid:129)(cid:117)
(cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:66) (cid:66) (cid:66) (cid:62) = (cid:62)(cid:236) =11(cid:62)(cid:181)𝐴 (cid:33)𝐵(cid:235)(cid:65)(cid:44)(cid:243)𝑚(cid:243)(cid:57) 𝑃 𝐻 𝑛 𝑚⊥𝑛
𝑂 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:67)11 B(cid:67)10 C(cid:67)9 D(cid:67)8
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)A
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:174)(cid:167)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:87)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:20)(cid:244)(cid:95)(cid:69)(cid:103) (cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28) (cid:62)(cid:181)(cid:94)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:99)(cid:95)(cid:96)(cid:122)(cid:74)(cid:75)(cid:67) 𝑃𝐻
(cid:15)𝐴(cid:102)𝐵(cid:77)(cid:19)(cid:77)(cid:10) = (cid:62)
(cid:117)P(cid:104)(cid:29)(cid:54) ∵𝐴(cid:33)𝑃(cid:25)(cid:26)𝐵𝑃(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)
∴(cid:108) (cid:62) 𝐴𝐵
∵𝑚(cid:25)⊥(cid:26)𝑛(cid:27)(cid:28) (cid:62)
∴𝑃𝐻 = =𝐴11𝐵(cid:62)
∴(cid:184)𝐵(cid:245)𝐻(cid:10)A𝐴(cid:67)𝐻
(cid:15)(cid:109)(cid:110)3-2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:246)(cid:160)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62) (cid:24) (cid:134)(cid:48)(cid:33)(cid:247)(cid:62) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:155)
(cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:118) = (cid:62)(cid:68)(cid:69)(cid:10) + = (cid:67) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐷𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐶(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:71)(cid:72) (cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:69)(cid:103)(cid:99)(cid:95)(cid:67)
(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:29)𝐴(cid:54)𝐸(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:69)(cid:103)(cid:10)(cid:71)(cid:72) (cid:62)
(cid:62) = 𝐴(cid:62)𝐸
∵(cid:26)𝐴𝐷(cid:29)⊥𝐵𝐶(cid:24)(cid:29)𝐵(cid:54)𝐷 𝐷(cid:33)𝐸(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)
∴ =𝐴𝐷 (cid:62) 𝐵𝐸
∴𝐴𝐵(cid:33)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐸 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:155) (cid:129)(cid:117) (cid:62)
∵𝐴𝐶= (cid:62) 𝐷𝐶 𝐸
∴𝐸𝐶=𝐴𝐸(cid:62)
+
A
A
科
∴𝐸𝐶+ 𝐴𝐵= (cid:62) ★ 全
号
众
公
注
∵𝐸𝐶 +𝐷𝐸 =𝐷𝐶(cid:67) 关
，
源
资
辅
∴𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐶 教
(cid:67)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)3-3(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:83)(cid:248)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:129)(cid:117)D(cid:62)D(cid:65) (cid:33)(cid:105)(cid:117)(cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:62) (cid:33)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:155) (cid:129)(cid:117)O(cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:62)(cid:236) =120°(cid:62)(cid:181) 𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)60°
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:249)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:237)(cid:175)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:84)(cid:134)(cid:177)(cid:84)(cid:40)(cid:62)(cid:237)(cid:175)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:123)(cid:62)
(cid:250)(cid:94)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:249)(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:96) =30°(cid:62)(cid:251)(cid:65) (cid:62)D(cid:65) (cid:33)(cid:105)(cid:117)(cid:62)(cid:114)(cid:237) (cid:24) (cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:181)
∠𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑂𝐷 𝐵𝐶= =30°(cid:62)(cid:251)(cid:65) (cid:24) (cid:33)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:181) (cid:24) (cid:33)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:32)(cid:74)(cid:67)
(cid:15)∠𝑂(cid:102)𝐵𝐶(cid:77)(cid:19)∠(cid:77)𝐶(cid:10) =12𝐵0°𝑂(cid:62) ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:62) 𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶
=90°(cid:62)∠𝐴𝑂𝐶= 𝐴𝐷=⊥3𝐵0𝐶°(cid:62)
∴∠𝑂𝐷𝐶 (cid:62)D(cid:65)∠𝐶(cid:33)(cid:105)12(cid:117)0°(cid:62)−90°
∵𝐴𝐷(cid:24)⊥𝐵𝐶(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:62)
∴𝑂𝐷=𝐵𝐶 (cid:62)
∴𝑂𝐵 𝑂=𝐶 =30°(cid:62)
∴∠𝑂(cid:24)𝐵𝐶 ∠𝐶(cid:33)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)
∵𝐵𝑂 ∠=𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:62)
∴(cid:184)∠(cid:74)𝐴𝐵(cid:75)𝐶(cid:65)(cid:10)2∠60𝑂°𝐵(cid:67)𝐶
【题型4 角平分线的判定】
(cid:15)(cid:43)4(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:111)(cid:112)(cid:234)(cid:113)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:24) (cid:252)(cid:253)(cid:33)(cid:116)(cid:127)(cid:254)(cid:29)(cid:62)(cid:117) (cid:104) (cid:48)(cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:66) (cid:62)
= (cid:62)(cid:229)(cid:117) (cid:32) (cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:28)(cid:64)𝐵𝑃(cid:24)(cid:25)∠𝐴(cid:63)𝐵(cid:62)𝐶(cid:118) = (cid:62)(cid:68)(cid:69)(cid:10)𝐷 (cid:27)𝐵𝑃(cid:28) (cid:67)𝐴𝐷 𝐶𝐷
+
A
A
科
𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝑃 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷 𝑀 𝑁 ★𝑃𝑀全𝑃𝑁 𝐵𝑃 ∠𝐴𝐵𝐶
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:174)(cid:167)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)
(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:250)(cid:94)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:106)(cid:96)(cid:122) = (cid:62)(cid:180)(cid:69)(cid:103) SAS)(cid:62)(cid:96)(cid:122) = (cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:69)
(cid:103)(cid:100)(cid:101)(cid:67) ∠𝐴𝐷𝑃 ∠𝐶𝐷𝑃 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷( ∠𝐴𝐵𝑃 ∠𝐶𝐵𝑃
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:69)(cid:103)(cid:10) (cid:62) (cid:62) = (cid:62)
(cid:65) (cid:33)∵(cid:40)(cid:27)𝑃𝑀(cid:28)⊥(cid:29)𝐴(cid:62)𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷 𝑃𝑀 𝑃𝑁
∴ 𝐷𝑃 ∠=𝐴𝐷𝐶 (cid:62)
∴ ∠𝐴𝐷𝑃 =∠𝐶𝐷𝑃(cid:62)
(cid:104)∴ ∠𝐴𝐷𝐵(cid:87)∠𝐶𝐷𝐵 (cid:105)(cid:62)
△𝐴𝐵𝐷 △𝐶𝐵𝐷=
=
𝐴𝐷= 𝐶𝐷,
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵,
𝐵𝐷 𝐵𝐷, SAS)(cid:62)
∴ △𝐴𝐵𝐷=≌△𝐶𝐵(cid:62)𝐷(
∴ ∠𝐴(cid:27)𝐵𝑃(cid:28) ∠𝐶𝐵𝑃(cid:67)
(cid:15)∴(cid:109)𝐵(cid:110)𝑃 4-1(cid:19)∠𝐴(cid:44)𝐵2𝐶2-23(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:49)(cid:50)(cid:255)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:57)(cid:207)(cid:103)(cid:256)(cid:140)(cid:137)(cid:204)(cid:83)(cid:143)(cid:215)(cid:33)(cid:235)(cid:91)(cid:86)(cid:26)(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:257)(cid:213)(cid:104) (cid:48)(cid:62)(cid:140)
(cid:137)(cid:26)(cid:30)(cid:33)(cid:72)(cid:258)(cid:117)(cid:65) (cid:62)(cid:134) (cid:35)(cid:176)(cid:105)(cid:116)(cid:137)(cid:26)(cid:30)(cid:134)(cid:259)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:65) (cid:62)(cid:117) (cid:66) (cid:104)(cid:138)(cid:137)(cid:26)(cid:30)(cid:48)(cid:33)(cid:164)(cid:165)(cid:260)(cid:261)(cid:28)∠𝐴(cid:64)𝑂(cid:24)𝐵 2(cid:66)5(cid:62)
(cid:181) (cid:33)(cid:235)(cid:165)(cid:24) 𝑃(cid:67) 𝑂𝐴 𝐶 𝐶 𝑃
𝑂𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)3cm 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:40)(cid:27)(cid:28)辅(cid:29)(cid:36)资(cid:37)(cid:34)(cid:106)(cid:33)(cid:262)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:229) (cid:32) (cid:129) (cid:62)(cid:94)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:34)(cid:106)
教
(cid:33)(cid:262)(cid:34)(cid:106)(cid:239)(cid:152) (cid:27)(cid:28) (cid:62)(cid:96)(cid:122) = (cid:62)(cid:94)(cid:27)(cid:119)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)𝑃(cid:239)(cid:152)𝑃𝑁⊥𝑂𝐵= 𝑁 (cid:62)(cid:96)(cid:122)
= 𝑃(cid:62)𝑂(cid:251)(cid:151)∠𝐴𝑂=𝐵 (cid:62)(cid:94)∠𝐶𝑂=𝑃 ∠𝑁=𝑂𝑃3(cm)(cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:96)(cid:122) (cid:33)(cid:235)∠(cid:165)𝐶𝑃(cid:24)𝑂3cm∠(cid:67)𝑁𝑂𝑃
∠(cid:15)𝐶(cid:102)𝑂𝑃(cid:77)(cid:19)∠(cid:77)𝐶(cid:10)𝑃𝑂(cid:229) (cid:32) 𝑂𝐶 𝑃(cid:129)𝐶 (cid:62)𝑃𝐶 5−2 𝑂𝐶
𝑃 𝑃𝑁⊥𝑂𝐵 𝑁
(cid:94)(cid:20)(cid:244)(cid:96)(cid:10) = (cid:62) (cid:62) (cid:62)
(cid:27)(cid:28) 𝑃𝑀 (cid:62)𝑃𝑁 𝑃𝐶∥𝑂𝐵 𝑃𝑀⊥𝑂𝐴
∴𝑃𝑂 =∠𝐴𝑂𝐵 (cid:62)
∴∠𝐶𝑂𝑃(cid:62) ∠𝑁𝑂𝑃
∵𝑃𝐶∥𝑂𝐵= (cid:62)
∴∠𝐶𝑃𝑂=∠𝑁𝑂𝑃(cid:62)
∴∠𝐶𝑂=𝑃 (cid:62)∠𝐶𝑃𝑂
∴𝑂(cid:66)𝐶 (cid:104)𝑃𝐶(cid:138)(cid:137)(cid:26)(cid:30)(cid:48)(cid:33)(cid:164)(cid:165)(cid:260)(cid:261)(cid:28)(cid:64)(cid:24)2(cid:66)5(cid:62)
∵𝐶 =𝑃 =3(cm)(cid:62)
∴𝑃𝐶(cid:33)(cid:235)5−(cid:165)2(cid:24)3cm(cid:67)
(cid:184)∴(cid:74)𝑂𝐶(cid:75)(cid:65)(cid:10)3cm(cid:67)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)4-2(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:267)(cid:40) (cid:33)(cid:140)(cid:127)(cid:247) (cid:143)(cid:155)(cid:129)(cid:117)O(cid:62)(cid:118) = (cid:67)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷,𝐶𝐸 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) = (cid:70)
+
A
(2)(cid:68)(cid:69)(cid:10)(cid:22)𝐵𝐸(cid:23)(cid:117)𝐶𝐷O(cid:24)(cid:268)(cid:104) (cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:62)(cid:241)(cid:150)(cid:103)(cid:106)(cid:94)(cid:67) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(1)(cid:76)(cid:77)(cid:78) ∠𝐵𝐴𝐶 公
注
关
，
源
(2)(cid:117)O(cid:104) (cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)辅(cid:67)资(cid:106)(cid:94)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
教
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)∠(cid:20)𝐵𝐴(cid:80)𝐶(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:237)(cid:175)(cid:84)(cid:88)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:87)(cid:22)(cid:34)(cid:62)(cid:77)(cid:193)(cid:151)
(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:24)(cid:182)(cid:122) (cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:84)(cid:134)(cid:177)△(cid:84)𝐵(cid:40)𝐸(cid:250)𝐶≌(cid:68)△(cid:152)𝐶𝐷𝐵 = (cid:62)(cid:180)(cid:69)(cid:103) (cid:99)(cid:95)(cid:77)(cid:193)(cid:224)(cid:20)(cid:67)
(cid:44)2(cid:57)(cid:250)(cid:94)(cid:44)1(cid:57)(cid:33)(cid:83)(cid:84)(cid:96)(cid:122) ∠𝑂=𝐵𝐶 (cid:62)∠(cid:180)𝑂𝐶(cid:96)𝐵(cid:122) = △(cid:62)𝐵(cid:99)𝐸𝐶(cid:95)≌(cid:96)△(cid:122)𝐶𝐷(cid:117)𝐵(cid:104)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:77)(cid:10) (cid:66)𝐵𝐷(cid:24)𝐶𝐸 (cid:33)(cid:247)(cid:62)𝑂𝐷 𝑂𝐸
= =9∵0°𝐵(cid:67)𝐷 𝐶𝐸 △𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐵𝐸=𝐶 ∠(cid:62)𝐶𝐷𝐵
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:62)
(cid:108)∴∠𝑂 𝐵𝐶(cid:24)(cid:7)∠𝑂(cid:269)𝐶(cid:134)𝐵(cid:62)
∵ 𝐵𝐶 (AAS)(cid:67)
∴△𝐵𝐸=𝐶≌△(cid:67)𝐶𝐷𝐵
(cid:44)∴2𝐵(cid:57)𝐸(cid:77)(cid:10)𝐶𝐷(cid:117) (cid:104) (cid:33)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:67)
(cid:106)(cid:94)(cid:60)(cid:107)(cid:10) 𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶(cid:62)
∵△𝐵𝐸=𝐶≌△(cid:62)𝐶𝐷𝐵
(cid:108)∴𝐵𝐷 =𝐶𝐸 (cid:62)
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:62)(cid:99)(cid:10) =
(cid:108)∴ 𝐸𝐶−𝑂𝐶 (cid:62)𝐵𝐷−𝑂𝐵 (cid:62) 𝑂𝐷 𝑂𝐸
(cid:117)∵𝑂𝐷(cid:104)⊥𝐴𝐶 (cid:33)𝑂(cid:40)𝐸(cid:27)⊥𝐴(cid:28)𝐵(cid:29)(cid:48)(cid:67)
(cid:15)∴(cid:109)(cid:110)𝑂 4∠-3𝐵(cid:19)𝐴(cid:44)𝐶 24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:49)(cid:112)(cid:270)(cid:49)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:104)(cid:84)(cid:88) (cid:35)(cid:84)(cid:88) (cid:105)(cid:62) = (cid:62) = (cid:62)
= = (cid:62)(cid:71)(cid:72) (cid:87) (cid:143)(cid:155)(cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:155) (cid:129)(cid:117)△𝐴(cid:62)𝐵𝐶(cid:155) (cid:129)(cid:117)△𝐴(cid:67)𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 𝛼 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝑃 𝐴𝐶 𝑀 𝐴𝐷 𝑁
(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:70)
+
A
(2)(cid:68)(cid:69)(cid:10)△(cid:27)𝐵𝐴(cid:28)𝐷≌△𝐶(cid:67)𝐴𝐸 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(𝑃1𝐴)(cid:76)(cid:77)(cid:78)∠𝐵𝑃𝐸 公
注
关
，
源
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78) 辅 资
教
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:237)(cid:48)(cid:59)(cid:179)(cid:117)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:214)(cid:42)(cid:40)(cid:33)(cid:87)(cid:271)(cid:95)(cid:96) = (cid:62)(cid:100)(cid:39) = (cid:62) = (cid:62)(cid:99)(cid:95)(cid:94)SAS(cid:69)(cid:96)(cid:70)
(cid:44)2(cid:57)(cid:229)(cid:117) (cid:32) (cid:62)∠𝐵𝐴𝐷 ∠(cid:62)𝐶(cid:94)𝐴𝐸(cid:44)1(cid:57)(cid:95)𝐴(cid:59)𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸(cid:62)(cid:239)(cid:152) = (cid:62) = (cid:62)(cid:272)(cid:273)(cid:214)
(cid:42)(cid:274)(cid:275)(cid:7)(cid:110)𝐴(cid:97)(cid:98)𝐴𝐻(cid:96)⊥(cid:122)𝐵𝐷 =𝐴𝐹⊥(cid:62)𝐶𝐸(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)△(cid:34)𝐵(cid:106)𝐴𝐷(cid:99)≌(cid:95)△(cid:22)𝐶𝐴(cid:34)𝐸(cid:67) 𝑆△𝐵𝐴𝐷 𝑆△𝐶𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:69)(cid:103)(cid:10)𝐴𝐻 𝐴𝐹 = = (cid:62)
+ = ∵∠𝐵+𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸 𝛼
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐶𝐴𝐷 (cid:62)∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:108)∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶(cid:62)𝐴𝐸 = (cid:62)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷(SAS𝐴)𝐸(cid:67)
(cid:44)∴△2(cid:57)𝐵(cid:69)𝐴𝐷(cid:103)≌(cid:10)△(cid:229)𝐶𝐴(cid:117)𝐸 (cid:32) (cid:62) (cid:62)(cid:60)(cid:61)(cid:62)
𝐴 𝐴𝐻⊥𝐵𝐷 𝐴𝐹⊥𝐶𝐸(cid:94)(cid:44)1(cid:57)(cid:95)(cid:59) (cid:62)
= △𝐵𝐴(cid:62)𝐷≌△=𝐶𝐴𝐸(cid:62)
∴𝑆1 △𝐵𝐴 × 𝐷 𝑆△ = 𝐶𝐴 1 𝐸 × 𝐵𝐷 (cid:62) 𝐶𝐸
2 2
∴ 𝐵𝐷 𝐴𝐻 𝐶𝐸 𝐴𝐹
= (cid:62)
(cid:108)∴𝐴𝐻 𝐴𝐹 (cid:62) (cid:62)
∵𝐴(cid:27)𝐻(cid:28)⊥𝐵𝐷 (cid:67)𝐴𝐹⊥𝐶𝐸
【 ∴ 题 𝑃𝐴 型5 ∠ 角 𝐵𝑃 平 𝐸 分线的应用】
+
A
(cid:15)(cid:43)5(cid:19)(cid:44)2023·(cid:276)(cid:264)(cid:277)(cid:278)·(cid:85)(cid:279)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:133)(cid:134)(cid:86)(cid:188)(cid:280)(cid:24)(cid:281)(cid:282)(cid:263)(cid:283)(cid:33)(cid:116)(cid:253)(cid:28)科(cid:62)(cid:284)A(cid:104)(cid:167)(cid:104)(cid:138)(cid:116)(cid:188)(cid:280)(cid:252)(cid:196)(cid:116)(cid:197)(cid:285)(cid:286)(cid:62)
全
★
号
众
(cid:167)(cid:68)(cid:285)(cid:286)(cid:122)(cid:140)(cid:127)(cid:195)(cid:223) (cid:62) (cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:118)(cid:122)(cid:287)(cid:288)公(cid:66) (cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:149)(cid:157)(cid:34)(cid:285)(cid:286)(cid:33)(cid:212)(cid:213) (cid:67)
注
关
，
源
𝑂𝐴 辅𝑂𝐵资 𝐴 𝐶 𝑃
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:237)(cid:175)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:70)(cid:214)(cid:42)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:237)(cid:175)(cid:29)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:33)(cid:32)(cid:92)(cid:96)(cid:152)P(cid:117)(cid:99)(cid:95)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:60)(cid:61)(cid:114)(cid:115)(cid:10) (cid:117)(cid:99)(cid:65)(cid:114)(cid:68)(cid:67)
𝑃(cid:15)(cid:109)(cid:110)5-1(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:263)(cid:264)(cid:105)(cid:276)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:62) (cid:62) (cid:24)(cid:85)(cid:127)(cid:143)(cid:289)(cid:155)(cid:290)(cid:33)(cid:7)(cid:223)(cid:62)(cid:284)(cid:167)(cid:104)(cid:85)(cid:127)(cid:7)
(cid:223)(cid:291)(cid:205)(cid:33)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:188)(cid:280)(cid:252)(cid:292)(cid:196)(cid:116)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:200)(cid:62)(cid:167)(cid:68)(cid:294)(cid:295)(cid:200)(cid:122)𝐴(cid:85)𝐵(cid:127)(cid:7)𝐴𝐶(cid:223)(cid:33)𝐵𝐶(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:181)(cid:294)(cid:295)(cid:200)(cid:41)(cid:292)(cid:196)(cid:104)(cid:44) (cid:57)
A(cid:67) (cid:85)(cid:127)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:212)(cid:213) B(cid:67) (cid:85)(cid:127)(cid:247)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:212)(cid:213)
C(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:85)(cid:134)(cid:33)(cid:105)(cid:25)(cid:29)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:212)(cid:213) D(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:85)(cid:127)(cid:105)(cid:29)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:212)(cid:213)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)△A𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 ★ 全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:33)(cid:117)(cid:122)(cid:40)(cid:33)关(cid:140)(cid:134)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:178)(cid:296)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
，
源
资
辅
(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:33)(cid:117)(cid:122)教(cid:40)(cid:33)(cid:140)(cid:134)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:77)(cid:74)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:77)(cid:10) (cid:294)(cid:295)(cid:200)(cid:104)(cid:85)(cid:127)(cid:7)(cid:223)(cid:291)(cid:205)(cid:33)(cid:27)(cid:297)(cid:48)(cid:118)(cid:122)(cid:85)(cid:127)(cid:7)(cid:223)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)
(cid:294)(cid:295)(cid:200)(cid:41)(cid:298)(cid:104)∵ (cid:85)(cid:127)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:299)(cid:67)
∴(cid:184)(cid:245)(cid:10)A △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:109)(cid:110)5-2(cid:19)(cid:44)22-23(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:71)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:57)(cid:10)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:20)(cid:9)(cid:9)(cid:15)(cid:66)(cid:17)(cid:67)(cid:68) (cid:69)
(cid:69) (cid:35)(cid:70)(cid:18) (cid:25)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:78)(cid:79)(cid:52)(cid:41) (cid:69) (cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:35)𝐶(cid:80)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:76)(cid:77)(cid:17)(cid:83)(cid:84) (cid:67) 𝑀𝑁
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑀𝑁 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑃
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:85) (cid:17)(cid:38)(cid:23)(cid:24)(cid:7) (cid:35) (cid:6) (cid:17)(cid:66)(cid:12)(cid:41) (cid:17)(cid:9)(cid:42) (cid:35) (cid:17)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:26)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:31)∠(cid:32)𝐴(cid:33)𝑂𝐵(cid:34)(cid:5)(cid:85) 𝑂(cid:17)𝐷(cid:23)(cid:24)𝑂(cid:7)𝐷(cid:66)𝑀𝑁(cid:86)(cid:12) (cid:35)(cid:12)∠𝐴𝑂(cid:87)𝐵(cid:88)(cid:82)(cid:76)(cid:77)𝑂𝐴(cid:17)(cid:83)𝑂(cid:84)𝐵(cid:26)
∠𝐴𝑂𝐵 𝑀𝑁 𝑃 𝑃(cid:15)(cid:117)(cid:303)(cid:19)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:38)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:17)(cid:85)(cid:96)(cid:35)(cid:97)(cid:98)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:38)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:17)(cid:101)(cid:102)(cid:5)(cid:38)(cid:17)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:25)(cid:17)(cid:12)(cid:41)(cid:38)(cid:17)(cid:9)(cid:42)(cid:17)
(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:26)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)5-3(cid:19)(cid:44)23-24(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:252)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:87)(cid:307)(cid:308)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:85)(cid:127)(cid:7)(cid:223)(cid:140)(cid:140)(cid:143)(cid:155)(cid:129)A(cid:66)B(cid:66)C(cid:85)(cid:117)(cid:62)(cid:284)(cid:220)(cid:309)(cid:292)
(cid:196)(cid:116)(cid:197)(cid:191)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:62)(cid:167)(cid:68)(cid:138)(cid:197)(cid:311)(cid:312)(cid:122)(cid:85)(cid:127)(cid:7)(cid:223)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:224)(cid:95)(cid:313)(cid:245)(cid:314)(cid:33)(cid:297)(cid:91)(cid:315) (cid:299)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)4
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)
(cid:151)(cid:20)(cid:174)(cid:167)(cid:80)(cid:81)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:262)(cid:34)(cid:106)(cid:10)(cid:122)(cid:40)(cid:33)(cid:140)(cid:134)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:33)(cid:117)(cid:104)(cid:40)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:67)
(cid:251)(cid:65)(cid:167)(cid:122)(cid:85)(cid:127)(cid:7)(cid:223)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:114)(cid:237)(cid:311)(cid:312)(cid:167)(cid:245)(cid:314)(cid:33)(cid:212)(cid:213)(cid:24) (cid:252)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:87)(cid:249)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:155)(cid:117)(cid:62)(cid:32)(cid:61)(cid:95)(cid:59)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19) △𝐴𝐵𝐶
+
A
(cid:77)(cid:10)(cid:60)(cid:61) 科 A
全
★
号
众
(cid:184)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:10)4(cid:67) 公
注
关
，
源
资
辅
教
【题型6 角平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:43)6(cid:19)(cid:44)24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:316)(cid:266)(cid:235)(cid:317)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62)(cid:117) (cid:104) (cid:134)(cid:48)(cid:62) =100°(cid:62) (cid:33)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:155) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:229)(cid:117) (cid:32) (cid:62)(cid:25)(cid:63)(cid:65) (cid:62)(cid:118) △𝐴=𝐵𝐶50°(cid:62)(cid:71)(cid:72)𝐷 𝐵(cid:67)𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐸 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 ∠𝐴𝐸𝐹 𝐵𝐸
(1)(cid:68) (cid:33)(cid:165)(cid:261)(cid:70)
∠𝐷𝐴𝐸(2)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:70)
(3)(cid:236) =𝐵𝐸 =∠𝐴10𝐵(cid:62)𝐶(cid:85)(cid:40)(cid:86) (cid:33)(cid:274)(cid:275)(cid:24)16(cid:62)(cid:68) (cid:33)(cid:235)(cid:67)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)𝐴𝐷(cid:19)(16)4,𝐶0𝐷° 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝐹
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(3)2
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:252)(cid:40)(cid:87)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:249)(cid:40)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:40)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:48)(cid:33)(cid:117)(cid:122)(cid:40)(cid:33)(cid:140)(cid:134)(cid:33)(cid:210)(cid:211)(cid:143)(cid:84)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:44)1(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:96)(cid:122) =90°(cid:62)(cid:214)(cid:42)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:249)(cid:40)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:122) =140°(cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)
= + ∠𝐴𝐹(cid:62)𝐸(cid:99)(cid:95)(cid:68)(cid:152) (cid:33)(cid:165)(cid:261)(cid:70) ∠𝐵𝐴𝐸
(cid:44)∠𝐵2𝐴(cid:57)𝐸(cid:229)(cid:117)∠𝐵(cid:32)𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 (cid:62)(cid:120)∠(cid:121)𝐶𝐴(cid:40)𝐷(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:96)(cid:122) = = (cid:62)(cid:97)(cid:98)(cid:96)(cid:122) = (cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)
(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)𝐸(cid:22)(cid:34)𝐸𝐺(cid:34)⊥(cid:106)𝐴(cid:99)𝐷,(cid:95)𝐸𝐻(cid:69)⊥(cid:103)𝐵(cid:100)𝐶(cid:101)(cid:70) 𝐸𝐹 𝐸𝐺,𝐸𝐺 𝐸𝐻 𝐸𝐹 𝐸𝐻
(cid:44)3(cid:57)(cid:120)(cid:121)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:274)(cid:275)(cid:7)(cid:110)(cid:68)(cid:152) =2(cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)(cid:44)2(cid:57)(cid:105)(cid:100)(cid:101)(cid:99)(cid:95)(cid:68)(cid:77)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:77)(cid:10) (cid:62) 𝐸𝐻
+
A
=90°(cid:62) ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
∴∠𝐹 =50°(cid:62) 公
注
关
，
源
∵∠𝐴𝐸𝐹 = + =辅90°资+50°=140°(cid:62)
教
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹 ∠+𝐴𝐸𝐹 =100°(cid:62)
∵∠𝐵𝐴𝐸 =∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷=,∠𝐵𝐴𝐷 =40°(cid:62)(cid:99) =40°(cid:67)
(cid:44)∴2∠(cid:57)𝐶𝐴(cid:69)𝐷(cid:103)(cid:10)∠(cid:229)𝐵𝐴(cid:117)𝐸−(cid:32)∠𝐵𝐴𝐷 14(cid:155)0°−1(cid:129)00(cid:117)° (cid:155)∠𝐷𝐴𝐸(cid:129)(cid:117) (cid:62)
𝐸 𝐸𝐺⊥𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐺,𝐸𝐻⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐻
= =50°(cid:62)
∵∠𝐹 9=0°,∠𝐴𝐸𝐹 =40°(cid:62)
(cid:94)∴(cid:44)∠𝐸1𝐴(cid:57)𝐹(cid:95)(cid:59)90(cid:62)°−50° =40°(cid:62)
= ∠𝐶=𝐴𝐷40°(cid:62)
∴∠𝐸(cid:27)𝐴𝐹(cid:28) ∠𝐶𝐴𝐷(cid:62)
∴𝐴𝐸 ∠𝐹𝐴𝐷 (cid:62)
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐹,𝐸𝐺⊥𝐴𝐷= (cid:62)
∴𝐸𝐹(cid:27)(cid:28)𝐸𝐺 (cid:62)
∵𝐷𝐸= ∠(cid:62)𝐴𝐷𝐶,𝐸𝐺⊥𝐴𝐷,𝐸𝐻⊥𝐵𝐶
∴𝐸𝐺= 𝐸𝐻
∴𝐸𝐹 𝐸𝐻 (cid:62)
∵𝐸𝐹(cid:27)⊥(cid:28)𝐵𝐹,𝐸𝐻⊥(cid:67)𝐵𝐶
(cid:44)∴3𝐵(cid:57)𝐸(cid:77)(cid:10)∠𝐴𝐵𝐶 =16(cid:62)
+∵𝑆△𝐴𝐶𝐷=16(cid:62)
∴𝑆1 △𝐴𝐷𝐸 𝑆 + △ 1 𝐶𝐷𝐸 =16(cid:62)
2 2
∴ 𝐴𝐷⋅𝐸𝐺 𝐶𝐷⋅𝐸𝐻
= = = (cid:62)
∵𝐴1𝐷
×6×
6,𝐶𝐷
+
11
×
0,𝐸
1
𝐺
0×
𝐸𝐻
=16(cid:62)
2 2
∴ 𝐸𝐻 𝐸𝐻
=2(cid:62)
∴𝐸𝐻=2(cid:67)
A
+
A
科
全
★
(cid:15)∴(cid:109)𝐸𝐹(cid:110)6-1(cid:19)(cid:60)(cid:61)(cid:62) = =90°(cid:62)M(cid:24) (cid:33)(cid:105)(cid:117)(cid:62) 众 (cid:27)号(cid:28) (cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:67)
公
注
关
，
∠𝐵 ∠𝐶 源 𝐵𝐶 𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐴𝑀 ∠𝐷𝐴𝐵
资
辅
教
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:87)(cid:22)(cid:34)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:318)(cid:136)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:70)
(cid:229)M(cid:32) (cid:129)E(cid:62)(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:68)(cid:152) = = (cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:99)(cid:95)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)𝑀(cid:69)𝐸(cid:103)⊥𝐴(cid:10)𝐷(cid:229)M(cid:32) (cid:129)E(cid:62) 𝑀𝐸 𝑀𝐶 𝑀𝐵
𝑀𝐸⊥𝐴𝐷
(cid:27)(cid:28) (cid:62) =90°(cid:62) (cid:62)
∵𝐷𝑀 ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐶 𝑀𝐸⊥𝐴𝐷= (cid:62)
∴M𝑀𝐶(cid:65) 𝑀(cid:33)𝐸(cid:105)(cid:117)(cid:62)
∵ =𝐵𝐶 = (cid:62)
∴𝐵𝑀=9𝑀0𝐶°(cid:62) 𝑀𝐸 (cid:62)
∵∠𝐵(cid:27)(cid:28) 𝑀𝐸(cid:67)⊥𝐴𝐷
∴(cid:15)𝐴(cid:109)𝑀(cid:110)6-∠2(cid:19)𝐷𝐴(cid:44)𝐵24-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)·(cid:185)(cid:319)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:104) (cid:105)(cid:62) =90°(cid:62) (cid:129)(cid:117) (cid:62)
+ =180°(cid:62)(cid:117) (cid:104) (cid:48)(cid:62) = (cid:67) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷 𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐹
(1)(cid:68)(cid:69)(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:70)
(2)(cid:68)(cid:69)(cid:10)𝐴𝐷= ∠𝐵+𝐴𝐶 (cid:67)
+
A
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(𝐴1𝐵)(cid:76)(cid:77)𝐴(cid:78)𝐹(cid:70)2𝐵𝐸 科 A
全
★
号
众
(2)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:67) 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:94) +辅 资=180°(cid:62) + =180°(cid:62)(cid:181) = (cid:62)(cid:69)(cid:103)
教
(AAS)(cid:62)(cid:180)(cid:94)(cid:40)(cid:27)∠(cid:28)𝐶(cid:29)𝐹𝐷(cid:33)(cid:22)∠(cid:34)𝐴(cid:34)𝐹𝐷(cid:106)(cid:99)(cid:95)(cid:68)(cid:69)∠(cid:70)𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐶𝐹𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷 △𝐶𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐵
(cid:44)2(cid:57)(cid:250)(cid:69)(cid:103) (AAS)(cid:62)(cid:181) = (cid:62)(cid:114)(cid:237) = = + (cid:62)(cid:108) = (cid:62)(cid:272)(cid:273)(cid:125)(cid:287)(cid:68)(cid:69)(cid:99)
(cid:95)(cid:70) △𝐶𝐷𝐴≌△𝐸𝐷𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶 𝐶𝐹 𝐵𝐸
(cid:79)(cid:20)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:87)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:87)(cid:22)(cid:34)(cid:34)(cid:106)(cid:62)(cid:215)(cid:40)(cid:33)(cid:320)(cid:40)(cid:143)(cid:84)(cid:62)(cid:178)(cid:55)(cid:89)(cid:90)(cid:59)(cid:179)(cid:117)(cid:33)
(cid:41)(cid:42)(cid:24)(cid:77)(cid:20)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:67)
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:69)(cid:103)(cid:10) (cid:62)
= =90∵°(cid:62)𝐷𝐸⊥𝐴𝐵
∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷=180°(cid:62) + =180°(cid:62)
∵∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐷(cid:62) ∠𝐵 ∠𝐴𝐹𝐷
∴∠𝐶𝐹=𝐷90°∠(cid:62)𝐸𝐵𝐷
∵∠𝐶= =90°(cid:62)
∴(cid:104)∠𝐶 ∠𝐵𝐸(cid:87)𝐷 (cid:105)(cid:62)
∴ △𝐶𝐷𝐹 △𝐸𝐷𝐵= =90°
= (cid:62)
∠𝐶 ∠𝐵=𝐸𝐷
∠𝐶𝐹𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷
𝐷𝐹 𝐵𝐷 (AAS)(cid:62)
∴△𝐶=𝐷𝐹≌(cid:62)△𝐸𝐷𝐵
∴𝐷𝐸 𝐷𝐶(cid:62) (cid:62)
∵(cid:117)𝐷𝐸⊥(cid:104)𝐴𝐵 𝐷(cid:33)𝐶⊥(cid:27)𝐴(cid:28)𝐶(cid:29)(cid:48)(cid:62)
∴ 𝐷(cid:27)(cid:28)∠𝐵𝐴𝐶 (cid:70)
∴(cid:44)𝐴2𝐷(cid:57)(cid:69)(cid:103)∠(cid:10)𝐵𝐴𝐶 (cid:27)(cid:28) (cid:62)
= ∵𝐴𝐷(cid:62) ∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:104)∠𝐷𝐴𝐶 (cid:87)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:105)(cid:62)
△=𝐶𝐷𝐴 △=𝐸9𝐷0𝐴°
= (cid:62)
∠𝐶 ∠𝐴=𝐸𝐷
∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (AAS)(cid:62)
+
A
∴△𝐶=𝐷𝐴≌(cid:62)△𝐸𝐷𝐴 科 A
全
★
号
众
∴𝐴𝐶=𝐴𝐸= + (cid:62) 公
注
关
，
源
(cid:94)∴𝐴(cid:44)𝐶1(cid:57)𝐴(cid:96)𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶 辅(cid:62)资
教
= (cid:62)△𝐶𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐵
∴𝐶𝐹 =𝐵𝐸+ = + (cid:62)
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐹+𝐹𝐶 =𝐴𝐹 +𝐵𝐸 (cid:62)
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐸𝐵 (cid:67)𝐴𝐹 2𝐵𝐸
∴(cid:15)𝐴(cid:109)𝐵(cid:110)𝐴6-𝐹3(cid:19)(cid:44)2𝐵2𝐸4-25(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:107)·(cid:263)(cid:264)(cid:321)(cid:322)·(cid:161)(cid:105)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62) (cid:105)(cid:62)(cid:117) (cid:104)(cid:134) (cid:234)(cid:235)(cid:29)(cid:48)(cid:62) =
(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:155) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:229)(cid:117) (cid:32) (cid:62)(cid:25)(cid:63)(cid:65) (cid:62)(cid:118)△𝐴𝐵𝐶 =55°𝐷(cid:67) 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 110°,∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝐸 𝐸 𝐸𝐻⊥𝐵𝐷 𝐻 ∠𝐶𝐸𝐻
(1) (cid:33)(cid:165)(cid:261)(cid:24) (cid:70)
(2)∠(cid:68)𝐴(cid:69)𝐶𝐸(cid:10) (cid:27)(cid:28) (cid:70)
(3)(cid:236) +𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐹=8(cid:62)(cid:118) =21(cid:62)(cid:68) (cid:33)(cid:274)(cid:275)(cid:67)
𝐴𝐶 𝐶𝐷 14,𝐴𝐵 𝑆△𝐴𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐸(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:19)(1)35°
(2)(cid:69)(cid:103)(cid:76)(cid:77)(cid:78)
(3)12
(cid:15)(cid:28)(cid:78)(cid:19)(cid:79)(cid:20)(cid:174)(cid:167)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:22)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:252)(cid:40)(cid:87)(cid:34)(cid:106)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:70)
(cid:44)1(cid:57)(cid:250)(cid:68)(cid:152) =70°(cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)(cid:26)(cid:40)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:140)(cid:197)(cid:267)(cid:40)(cid:289)(cid:323)(cid:95)(cid:96) =40°(cid:62)(cid:272)(cid:273)(cid:120)(cid:121)
= ∠𝐴𝐶𝐷 (cid:99)(cid:95)(cid:96)(cid:70) ∠𝐷𝐶𝐸
∠(cid:44)𝐴2𝐶(cid:57)𝐸(cid:229)(cid:117)∠𝐴(cid:32)𝐶𝐷−∠𝐷𝐶𝐸(cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:250)(cid:120)(cid:121)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:96) = = (cid:62)(cid:324)(cid:98)(cid:95)
(cid:96) = 𝐸(cid:62)𝐸(cid:180)𝑀(cid:120)⊥(cid:121)𝐵(cid:40)𝐹(cid:27)(cid:28)𝑀(cid:29)(cid:33)(cid:22)𝐸(cid:34)𝑁(cid:99)⊥(cid:95)𝐴𝐶(cid:96)(cid:69)(cid:70)𝑁 𝐸𝑀 𝐸𝐻,𝐸𝑁 𝐸𝐻
(cid:44)3𝐸(cid:57)𝑀(cid:229)(cid:117)𝐸𝑁(cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:181) = = (cid:62)(cid:219) = = = (cid:62)(cid:180)(cid:120)(cid:121)
+ 𝐸 𝐸=𝑀⊥𝐵𝐹 =2𝑀1(cid:87)(cid:85)(cid:40)𝐸𝑁(cid:86)⊥(cid:33)𝐴(cid:274)𝐶(cid:275)(cid:7)𝑁(cid:110)(cid:95)(cid:96)𝐸𝑀(cid:33)(cid:227)𝐸(cid:62)𝐻(cid:324)(cid:98)𝐸(cid:95)𝑁(cid:96) 𝐸(cid:33)𝑀(cid:227)(cid:62)𝐸(cid:272)𝐻(cid:273)(cid:214)𝐸𝑁(cid:42)(cid:85)𝑥(cid:40)(cid:86)(cid:33)(cid:274)(cid:275)(cid:7)
(cid:110)𝑆△(cid:99)𝐴𝐶(cid:95)𝐸 (cid:96)𝑆(cid:67)△𝐷𝐶𝐸 𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝑥 𝐸𝑀
(cid:15)(cid:102)(cid:77)(cid:19)(cid:44)1(cid:57)(cid:77)(cid:10) =110°(cid:62)
= ∵∠𝐴=𝐶𝐵70°(cid:62)
+
A
∴∠𝐴𝐶𝐷 180°−∠=𝐴5𝐶5𝐵°(cid:62) 科 A
全
★
号
众
∵𝐸𝐻⊥𝐵=𝐷,∠𝐶𝐸𝐻 =35°(cid:62) 公
注
关
，
源
∴∠𝐷𝐶𝐸= 90°−∠𝐶𝐸𝐻 辅=35资°(cid:67)
教
(cid:44)∴2∠(cid:57)𝐴𝐶(cid:69)𝐸(cid:103)(cid:10)∠𝐴(cid:60)𝐶(cid:61)𝐷−(cid:62)∠(cid:229)𝐷(cid:117)𝐶𝐸 (cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹 𝑀 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁
(cid:27)(cid:28) (cid:62) (cid:62)
= (cid:62) ∵𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹,𝐸𝐻⊥𝐵𝐷
(cid:94)∴(cid:44)𝐸𝑀1(cid:57)(cid:95)𝐸𝐻(cid:59)(cid:62) = =35°(cid:62)(cid:99) (cid:27)(cid:28) (cid:62)
= (cid:62) ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐶𝐷
∴𝐸𝑁 =𝐸𝐻(cid:62)
(cid:108)∴𝐸𝑀(cid:117) (cid:104)𝐸𝑁 (cid:33)(cid:252)(cid:253)(cid:62)
∵ (cid:27)𝐸(cid:28) ∠𝐶𝐴𝐹(cid:67)
(cid:44)∴3𝐴(cid:57)𝐸(cid:77)(cid:10)∠(cid:60)𝐶(cid:61)𝐴𝐹(cid:62)(cid:229)(cid:117) (cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)(cid:32) (cid:129)(cid:117) (cid:62)
𝐸 𝐸𝑀⊥𝐵𝐹 𝑀 𝐸𝑁⊥𝐴𝐶 𝑁(cid:94)(cid:44)2(cid:57)(cid:58)(cid:96)(cid:10) = = (cid:62)
(cid:219) = = 𝐸𝑀= 𝐸(cid:62)𝐻 𝐸𝑁
𝐸𝑀 𝐸=𝐻21(cid:62)𝐸𝑁 𝑥
∵𝑆△𝐴𝐶𝐷+ =21(cid:62)
∴𝑆1 △𝐴𝐶𝐸 𝑆 + △𝐷 1 𝐶𝐸 =21(cid:62)(cid:99) 1 ( + )=21(cid:62)
2 2 2
(cid:108)∴ 𝐴𝐶⋅𝐸
+
𝑁
=
𝐶𝐷
14
⋅(cid:62)𝐸𝐻 𝑥 𝐴𝐶 𝐶𝐷
∵ = 𝐴𝐶2×2𝐶1𝐷 = 2×21 =3(cid:62)
14
∴𝑥
=
𝐴𝐶+
3
𝐶(cid:62)𝐷
+
A
A
科
∴𝐸𝑀=8(cid:62)
★
全
号
众
公
注
∵𝐴𝐵 (cid:33)(cid:274)(cid:275)(cid:65) 1 = 1 ×8×3，=1 关 2(cid:67)
2 资2 源
辅
教
∴△𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐵⋅𝐸𝑀
