FY24暑假初二B12线段垂直平分线与角平分线教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_志高_教师版PDF

12B 线段垂直平分线、角平分线与轨迹 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）线段垂直平分线 （2）角平分线 （3）轨迹 2. 考情分析 （1）线段垂直平分线、角平分线与轨迹是几何部分，属于图形与几何板块，占期末考分值 约20%； （2）线段垂直平分线、角平分线主要以填空题、解答题为主，轨迹主要以选择题、填空题 为主； （3）对应教材：八年级上，第十九章第四节：线段的垂直平分线与角的平分线； （4）主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线 定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为 我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：线段垂直平分线 30分钟 切片2：角平分线 40分钟 切片3：轨迹 20分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站 1——线段垂直平分线【建议时长：30分钟】 考点一：线段垂直平分线的性质定理 知识笔记1 线段垂直平分线性质定理 C 线段的垂直平分线____________________________________________. m 几何语言：如图1，∵CD是线段AB的垂直平分线 ∴CA=CB A D B 图1 【填空答案】 上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等 例题1: （1）（★★☆☆☆）已知点P在线段AB的垂直平分线上，连接PA、PB，若PA=3，则PB= ______． （2）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区月考）如图，等腰ABC 的周长为21，底边BC =5，AB的 垂直平分线DE交AB于点D，交AC 于点E，则BEC 的周长为( ) A．13 B．14 C．15 D．16 （3）（★★☆☆☆）（2023•浦东新区期末）如图，DF垂直平分AB，EG 垂直平分AC ，若 BAC =110，则DAE=______． 2（4）（★★★☆☆）（2022•黄浦区月考）如图，在ABC 中，AD垂直平分BC，E是AB边 上一点，连接ED，F 是ED延长线上一点，连接CF ，若BC平分ACF ，求证：BE =CF． 【常规讲解】 （1）解： 点P在线段AB的垂直平分线上， PB=PA=3， 故答案为：3． （2）解： ABC为等腰三角形， AB= AC ， BC =5， 2AB=2AC =21−5=16， 即AB= AC =8， 而DE是线段AB的垂直平分线， BE=AE，故BE+EC = AE+EC = AC =8 BEC的周长=BC+BE+EC =5+8=13． 故选：A． （3）解： BAC =110， B+C =180−BAC =180−110=70， DF 垂直平分AB，EG 垂直平分AC ， DA=DB，EA=EC， DAB=B，EAC =C， DAB+EAC =B+C =70， DAE=BAC−(DAB+EAC)=40， 故答案为：40． （4）证明： AD垂直平分BC， 3AB= AC ，BD=DC ， ABC =ACB， BC 平分ACF ， FCB=ACB， ABC =FCB， 在BDE和CDF中， EDB=FDC  BD=CD ，  EBD=FCD BDE CDF(ASA) BE=CF ． 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）如图，ABC 中，AB= AC，A=50，AB边的垂直平分线交AC 于点 D，交AB于点E，则DBC =______． （2）（★★★☆☆）（2023•浦东新区校级期末）如图，已知AB= AC =14cm，AB的垂直平分 线交AC 于D．若DBC 的周长为24cm，则BC =______cm． （3）（★★★☆☆）（2022•杨浦区期中）如图，在ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC于D、E两点，并且相交于点F ，且DFE =80，则DAE的度数是______． 4（4）（★★★☆☆）如图，在ABC 中，EF垂直平分AC ，交BC于点E，交AC 于点P， D是BE的中点，连接AD，AE，若AB= AE，BAD=24，求C的度数． 【常规讲解】 （1）解： 在ABC 中，A=50，AB= AC， 1 ABC= (180−A)=65． 2 AB边的垂直平分线交AC 于点D，交AB于点E， AD=BD， ABD=A=50， DBC =ABC−ABD=65−50=15． 故答案为15． （2）解： DE是AB的垂直平分线， DA=DB， DBC的周长为24cm， BC+CD+DB=BC+DC+DA=BC+ AC =24cm， AC =14cm， BC =10cm， 故答案为：10． （3）解： AB，AC 的垂直平分线分别交BC于D、E两点，并且相交于点F ，且DFE =80， BAC =360−90−90−80=100，DB=DA，EA=EC， B=DAB，C =EAC，B+C =180−BAC =180−100=80， B+C =80， DAE =BAC−DAB−EAC =100−80=20， 故答案为：20． 5（4） AB=AE，D是BE的中点， AD⊥BC，BAE =2BAD=48， AD⊥BC，BA=AE，EF垂直平分AC ， AB= AE =EC， C =CAE， BAE=48， 1 AED= (180−48)=66， 2 1 C= AED=33． 2 考点二：线段垂直平分线的逆定理 知识笔记2 线段垂直平分线逆定理 _____________________________________________________________. 几何语言：如图2，∵CA=CB ∴点C在线段AB的垂直平分线. 【填空答案】 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 例题2: （1）（★★☆☆☆）下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段 AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的 个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）（★★★☆☆）已知，如图，AB= AC，BO、CO分别是ABC和ACB的平分线，联 结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥ BC． 6（3）（★★★☆☆）如图所示，Rt△ABC中,D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交 AC于点E，CD交BE于点F. 求证：BE垂直平分CD. 【常规讲解】 （1）解：根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理， ①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的； ②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的； ③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的； ④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的； 所以正确的是①②③三个． 故选：C． （2）证明： AB= AC ， ABC =ACB， BO、CO分别是ABC和ACB的平分线， 1 1 OBC= ABC，OCB= ACB， 2 2 OBC =OCB， OB=OC ， 点O在线段BC的垂直平分线上， AB= AC ， 点 A在线段BC的垂直平分线上， 7直线AD是线段BC的垂直平分线， 即AD⊥ BC． （3）证明：∵DE⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDE=∠ACB=90°， ∵BD=BC，BE=BE ∴△BCE≌△BDE ∴∠CBE=∠DBE ∵BF=BF， ∴△BCF≌△BDF ∴∠BFC=∠BFD，CF=DF ∵∠BFC+∠BFD=180°， ∴∠BFC=∠BFD=90° ∴BE垂直平分CD. 练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）下列说法正确的的是( ) A．直线AB垂直平分线段CD，所以CD也垂直平分AB B．两直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 C．两平行线被第三条直线所截，同位角相等 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）（★★★☆☆）已知：如图，在EBC 中，作EBA=C ，AB交EC于点A，作BD平 分ABC交AC 于点D，F 是BD上一点，联结EF，点G 是EF上一点，且有GB=GD．求 证：EF ⊥BD． （3）（★★★☆☆）已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥BC，E、F为垂足，再过点D作 DG∥AB，交BC于点G， 且DE=DF。 ①求证：DG=BG； 8②求证：BD垂直平分EF． 【常规讲解】 （1）解：A．若线段AB垂直平分线段CD，则线段CD不一定垂直平分AB，故本选项不 符合题意； B．两平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故本选项不符合题意； C ．两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项符合题意； D．经过直线外一点有一条且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意； 故选：C． （2）证明： BD平分ABC， ABD=DBC， EBA=C， EBD=EBA+ABD，EDB=DBC+C， EBD=EDB， BE=DE， GB=GD， E、G 在BD的垂直平分线上，即EF ⊥BD． （3）证明：①联结BD． ∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF， ∴∠ABD=∠DBC， 又∵DG∥AB， ∴∠ABD=∠BDG， ∴∠BDG=∠DBC， ∴DG=BG； ②由①∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB， 在△BDE与△BDF中， 9∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB， ∴△BDE≌△BDF， ∴BE=BF，DE=DF， ∴BD垂直平分EF． 10知识加油站 2——角平分线【建议时长：40分钟】 考点三：角平分线的性质定理 知识笔记3 角平分线性质定理： _____________________________________________________________. 几何语言表示：∵OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB ∴CF＝DF. B D E F O 图4 C A 【填空答案】 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 例题3 （1）（★★☆☆☆）三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( ) A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高线的交点 （2）（★★☆☆☆）如图，OP平分MON ，PA⊥ON 于点A，点Q是射线OM 上的一个动 点，若PA=2，则PQ的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11（3）（★★★☆☆）（2022•黄浦区民办立达中学月考）如图，在ABC 中，ABC =50，三角 形的两个外角DAC和ACF 的平分线交于点E，则ABE=_______度． （4）（★★★☆☆）（2022•宝山区期末）在ABC 中，ABC和ACB的平分线交于点D， DE ⊥ BC于点E，如果DE=1，ABC 的面积是6，则ABC 的周长是_______. （5）（★★★★☆）ABC 的三边AB、BC、CA的长分别是 20、30、40，其三条角平分线 相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则S :S :S =_______． ABO BCO CAO （6）（★★★★☆）如图，ABC 中，ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P， 连接AP． ①求证：PA平分BAC的外角CAM ； ②过点C 作CE ⊥ AP，E是垂足，并延长CE 交BM 于点D．求证：CE =ED． 【常规讲解】 （1）解：在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点． 故选：A． 12（2）解： 垂线段最短， 当PQ⊥OM 时，PQ有最小值， 又 OP平分MON ，PA⊥ON ， PQ=PA=2， 故选：B． （3）解：如图，过点E作ABC 三边的垂线段EG ，EH ，EK ， 三角形的两个外角DAC和ACF 的平分线交于点E， EG=EH ，EH =EK， EG=EK， E在ABC的角平分线上，即（1BE是ABC的角平分线， 1 ABE= ABC=25． 2 故答案为：25． （4）解：过D点作DF ⊥AB于F ，DH ⊥ AC于H，连接AD， BD，CD分别是ABC和ACB的角平分线， DF=DE=1，DH =DE=1， 1 1 1 1 S =S +S +S = AB1+ BC1+ AC1= (AB+BC+AC)=6． ABC ABD BCD ACD 2 2 2 2 AB+BC+ AC =12， 即ABC 的周长是12． 故答案为：12． 13（5）解：设ABO边AB上的高为h ，BCO边BC上的高为h ，CAO边CA上的高为 AB BC h ， CA 由角平分线的性质得：h =h =h ， AB BC CA 1 1 1 故S :S :S = AB h : BC h : CA h = AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4， ABO BCO CAO 2 AB 2 BC 2 CA 故答案为：2:3:4． （6）证明：①过P作PT ⊥ BC于T，PS ⊥ AC于S，PQ⊥BA于Q，如图， 在ABC 中， ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P， PQ=PT ，PS =PT ， PQ=PS， AP平分DAC， 即PA平分BAC的外角CAM ； ② PA平分BAC的外角CAM ， DAE =CAE， CE⊥ AP， AED=AEC =90， 在AED和AEC 中 DAE =CAE  AE = AE  DEA=CEA AEDAEC， CE=ED． 练习3: 【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）（2023•青浦区校级期中）已知ABC 内一点M ，如果点M 到两边AB、 BC的距离相等，那么点M( ) A．在AC 边的高上 B．在AC 边的中线上 C．在ABC的平分线上 D．在AC 边的垂直平分线上 （2）（★★★☆☆）如图，已知在ABC 中，CD是AB边上的高，BE平分ABC，交CD于 点E，BC =5，DE=2，则BCE 的面积等于_______． 14（3）（★★★★☆）如图，ABC中，C =90，BD平分ABC，如果CD =2，AB =8， 那么ABD的面积等于_______． （4）（★★★★☆）如图，BD是ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC =24cm， S =144cm2，则DE的长是_______． ABC （5）（★★★★☆）如图，在ABC 中，ACB=90，BC =a，AC =b，CD是ABC 的角 平分线，DE ⊥ AC于点E，DE = x． ①用两种方法计算ABC 的面积； ②探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x． ．（6）（★★★★☆）（2023•静安区校级期中）已知：如图，在ABC 中，BE是ABC的角平 分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：BAD=CAD+C ． 15【常规讲解】 （1）解： ME⊥AB，MF ⊥BC，ME=MF， M 在ABC的角平分线上， 故选：C． （2）解：过E作EF ⊥ BC于点F ， CD是AB边上的高，BE平分ABC， DE =EF =2， 1 1 S = BCEF = 52=5， BCE 2 2 故答案为：5． （3）解：如图，过点D作DE ⊥ AB于E， C =90，BD平分ABC， DE =CD=2， 1 1 ABD的面积= AB DE = 82=8． 2 2 故答案为：8． 16（4）解：如图，过D作DF ⊥ BC于F ， BD是ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DE=DF， 1 1 而S =S +S = DEAB+ DFBC， ABC ABD CBD 2 2 1 1 144= DE36+ DF24， 2 2 144=18DE+12DF ， 而DE=DF， DE =4.8cm． 故答案为：4.8cm． （5）解：①过D作DF ⊥ BC于F ， CD是ABC 的角平分线，DE ⊥ AC， DF =DE = x， 1 1 S = AC BC= ab； ABC 2 2 1 1 1 S =S +S = bx+ ax= (a+b)x； ABC ADC BCD 2 2 2 1 1 ②由（1）知， ab= (a+b)x， 2 2 ab x= ． a+b 17（6）证明：如图，延长AD交BC 于点F ， BE是ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D ． AB=AF（三线合一）， BAF =BFA（等边对等角）， AFB=C+CAF （三角形外角性质）， BAD=CAD+C． 考点四：角平分线的性质定理的逆定理 知识笔记4 角平分线性质定理的逆定理： _____________________________________________________________. B D 几何语言表示：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD ∴点P在∠AOB的平分线上. P O 图5 C A 【填空答案】 在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 例题4: （1）（★★★☆☆）如图，已知点P到 AE、 AD、BC 的距离相等，下列说法： ①点P在BAC的平分线上； ②点P在CBE的平分线上； ③点P在BCD的平分线上； ④点P在BAC，CBE，BCD的平分线的交点上． 18其中正确的是( ) A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③ （2）（★★★☆☆）如图，已知在四边形ABCD中，AB⊥CB于B ，DC ⊥BC于C ，DE 平分ADC，且E 为BC 的中点． 求证： AE平分BAD； （3）（★★★☆☆）已知：如图，P是OC 上一点，PD⊥OA于D ，PE ⊥OB于E ，F 、 G 分别是OA、OB 上的点，且PF =PG，DF =EG． 求证：OC 是AOB的平分线． 【常规讲解】 （1）解： 点P到 AE、AD、BC 的距离相等， 点P在BAC的平分线上，故①正确； 点P在CBE的平分线上，故②正确； 点P在BCD的平分线上，故③正确； 点P在BAC，CBE，BCD的平分线的交点上，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选： A． 19（2）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F ， C=90，DE平分ADC， CE=EF ， E是BC 的中点， BE =CE， BE=EF， 又 B=90，EF⊥AD， AE平分BAD； PF =PG （3）证明：在RtPFD和RtPGE中， ， DF =EG RtPFDRtPGE(HL)， PD=PE， P是OC 上一点，PD⊥OA，PE ⊥OB， OC是AOB的平分线． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★★☆☆）如图，1=2，PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为D ，E ，下列结论 错误的是( ) A．PD=PE B．OD=OE C．DPO=EPO D．PD=OP （2）（★★★☆☆）已知：如图，BP、CP分别是ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB于点M ， PN ⊥ AC于点N ．求证： AP平分MAN ． 20（3）（★★★☆☆）在四边形 ABCD中，AB//CD，E 是BC 中点，连接AE，DE，AE 平分BAD， 求证：DE平分ADC． （1）解： PD⊥OA，PE ⊥OB， PEO=PDO， 在OPE和OPD中， 1=2  PEO=PDO，  OP=OP OPEOPD， PD=PE，OD=OE，DPO=EPO， 故选：D ． （2）证明：作PD⊥BC 于点D ， BP是ABC的外角平分线，PM ⊥ AB，PD⊥BC ， PM =PD， 同理，PN =PD， PM = PN ，又PM ⊥ AB，PN ⊥ AC， PA平分MAN ． 21（3）过点E作EF ⊥AB于点F ，延长FE 交CD于G ，过E 作EH ⊥AD于H ， AE平分BAD， HAE =FAE，HE =FE， AB//DG，EF ⊥AB BFE =CGE，EF ⊥CD， CEG=BEF， E是BC 中点， CE =BE， CEG=BEF， BEF CEG(AAS)， GE=FE， HE=FE， GE=HE， EH ⊥AD，EG⊥DC， DE平分ADC； 22知识加油站 3——轨迹【建议时长：20分钟】 考点五：轨迹 知识笔记5 1．点的轨迹 符合某些条件的所有的点的集合． 2．三个基本轨迹 （1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的_____________； （2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角_________点的轨迹是这个角的平分线； （3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆． 【填空答案】 （1）垂直平分线 （2）两边的距离相等的 例题5： （1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区民办立达中学月考）下列说法错误的是( ) A．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm的圆 B．等腰ABC的底边BC 固定，顶点 A的轨迹是线段BC 的垂直平分线 C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线 D．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 （2）①（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）经过定点P ，Q 的圆的圆心的轨迹是 _______________________________________. ②（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）到点 P 的距离等于 4cm 的点的轨迹是 _______________________________________. ③（★★☆☆☆）已知两个定点 A、B 的距离为4厘米，到点 A、B 的距离之和为4厘米 的点的轨迹是_______________________________________. 23（3）（★★★☆☆）如图，已知AOB与点M 、N ，求作一点P ，使点P 到边OA、OB 的 距离相等，且PM =PN（保留作图痕迹，不写作法）． 【常规讲解】 （1）解：A．到点P 距离等于1cm的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm的圆，命 题正确，不符合题意； B．等腰ABC的底边BC 固定，顶点 A的轨迹是线段BC 的垂直平分线（不含BC 的中 点），原命题错误，符合题意； C ．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，命题 正确，不符合题意； D ．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，命 题正确，不符合题意； 故选：B． （2）①解：过定点P，Q 的圆的圆心的轨迹是线段PQ的垂直平分线． 故答案为：线段PQ的垂直平分线． ②解：到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P 为圆心，以4cm为半径的圆． 故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆． ③解：不妨设这个点为P ，由AP+BP AB，取等号的条件是P 在线段 AB上 故答案为：线段 AB （3）解：①作AOB的平分线OE ②作线段MN 的垂直平分线GH ，GH 交OE 于点P ． 点P即为所求． 24练习5: 【学习框16】 （1）（★★☆☆☆）（2022•普陀区曹杨二中期中）到点A(3,0)、B(−2,0)两点的距离之和为5的 点的轨迹是( ) A．线段 AB的垂直平分线 B．以 A、B为端点的线段 C．线段 AB的延长线 D．与线段 AB的距离为4的两条平行直线 （ 2 ） ① （ ★★☆☆☆ ） 平 面 上 经 过 A 、 B 两 点 的 圆 的 圆 心 的 轨 迹 是 _______________________________________. ②（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期末）经过定点 A 且半径为2cm 的圆的圆心的轨迹是 _______________________________________. ③（★★☆☆☆）已知两个定点 A、B 的距离为2厘米，则到点 A、B 的距离之和为2厘 米的点的轨迹是_______________________________________. （3）（★★★☆☆）如图，在ABC中，点P是AC 上一点，连接BP，求作一点M ，使得点 M 到 AB和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图 痕迹） 【常规讲解】 （1）解： 点A(3,0)、B(−2,0)， |AB|=5，动点到两定点距离之和为| AB|， 动点轨迹为线段 AB． 25故选：B． （2）①解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点 A和点B 的距离相等，即经过已知点 A和点B的圆的圆心的轨迹是线段 AB的垂直平分线． 故答案为：线段 AB的垂直平分线． ②解：所求圆心的轨迹，就是到 A点的距离等于 2 厘米的点的集合，因此应该是一个以点 A为圆心，2cm为半径的圆， 故答案为：以点 A为圆心，2cm为半径的圆． ③解：不防设这个点为P ，由PA+PB AB，取等号的条件是点P 在线段AB上， 故答案为：线段 AB． （3）解：如图，点M 即为所求， 26全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （ ★★☆☆☆ ） 到 点 A 的 距 离 等 于 6cm 的 点 的 轨 迹 是 _______________________________________． 【常规讲解】 解：由题知，到点 A的距离等于6cm的点的轨迹是以点 A为圆心，6cm为半径的圆， 故答案为：以点 A为圆心，6cm为半径的圆． 练习2: （★★★☆☆）如图，在ABC中，BC =8，B=2C，点D 为边AC 的垂直平分线与边 BC 的交点，且BD=AB−2． （1）求证AB= AD； （2）求CD长． 【常规讲解】 （1）证明： 点D 为边AC 的垂直平分线与边BC 的交点， DC= AD， C =CAD， ADB=C+CAD=2C =B， AB=AD； （2）解： AB=AD，CD= AD，BD=AB−2，BC =8， CD+CD−2=8， CD=5． 27练习3: （★★★☆☆）如图，四边形ABCD中，B=C =90，点E 为BC 的中点，且 AE平分 BAD． （1）求证：DE平分ADC； （2）求证：AB+CD= AD． 【常规讲解】 证明：（1）如图，过点E 作EF⊥AD于F ， B=90， AE平分DAB， BE=EF， E是BC 的中点， BE =CE， CE=EF ， 又 C=90，EF⊥AD， DE是ADC的平分线． （2） AE平分BAD，DE平分ADC，EF⊥AD，B=C =90， AB=AF，DC =DF， AB+CD= AF +FD= AD． 2829练习4: （★★★☆☆）如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DE⊥AB于点E ，DF ⊥ AC于点 F ，ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC =13cm，求DE的长． 【常规讲解】 解： AD为BAC的平分线，DE⊥AB，DF ⊥ AC， DE=DF， 1 1 S =S +S = ABDE+ ACDF， ABC ABD ACD 2 2 1  S ABC = 2 (AB+ AC)DE 1 即 (15+13)DE=84， 2 解得：DE =6， DE =6cm． 关卡二 练习5: （★★★★☆）如图，在ABC中，BC = AC，ACB=90，D 是AC 上一点，AE⊥BD交 1 BD的延长线于点E ，且AE= BD，求证：BD是ABC的角平分线． 2 【常规讲解】 证明：延长 AE、BC 交于点F ． AE⊥BE， 30BEF =90，又ACF =ACB=90， DBC+AFC =FAC+AFC=90， DBC =FAC， 在ACF和BCD中， ACF =BCD=90  AC =BC  FAC =DBC ACF BCD(ASA)， AF=BD． 1 又AE= BD， 2 1 AE= AF =EF ，即点E 是AF 的中点． 2 BE⊥AF DE是 AF 的垂直平分线 AB=BF， 根据等腰三角形三线合一的性质可知： BD是ABC的角平分线． 练习6: （★★★★☆）数学课上，老师画出一等腰ABC并标注：AB= AC =10，A=30，然后让 同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予常规讲解． （1）甲同学提出：B=C=_______度； （2）乙同学提出：ABC的面积为：_______； （3）丙同学提出：点D 为边BC 的中点，DE⊥AB，DF ⊥ AC，垂足为E 、F ，则有DE=DF， 请写出DE=DF的直接依据：______________________________； （4）丁同学说受丙同学启发，点D 为边BC 上任一点，DE⊥AB，DF ⊥ AC，CH ⊥ AB， 垂足为E、F ，H ，则有DE+DF =CH ．请你为丁同学说明理由． 31【常规讲解】 解：（1） AB= AC =10，A=30， 1  B=C= (180−A)=75； 2 故答案为：75； （2）过点B作BH ⊥ AC，交AC 于点H ，则：BHA=90， AB= AC =10，A=30， 1  BH = AB=5， 2 1 1  S ABC = 2 ACBH = 2 105=25； 故答案为：25； （3）连接AD， 法一： AB= AC ，点D 为边BC 的中点， AD平分BAC， DE⊥AB，DF ⊥ AC， DE=DF（角平分线上的性质）； 故答案为：角平分线的性质； 法二： AB= AC ，点D 为边BC 的中点， DAE=DAF， DE⊥AB，DF ⊥ AC， DEA=DFA=90， 又 AD=AD， AEDAFD(AAS)， 32DE=DF（全等三角形的性质）； 综上：可以用角平分线的性质，也可以用全等三角形的性质，得到DE=DF； 故答案为：角平分线的性质或全等三角形的性质； （4）证明：连接AD， DE⊥AB，DF ⊥ AC，CH ⊥ AB， 1 1 1  S ABD = 2 ABDE,S ACD = 2 ACDF,S ABC = 2 ABCH ， S +S =S ，AB= AC， ABD ACD ABC 1 1 1  ABDE+ ACDF = ABCH ， 2 2 2 即：AB(DE+DF)= ABCH ， DE+DF =CH ． 33