专题1.8线段垂直平分线的性质、角平分线的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本

专题 1.8 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..........................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..........................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................................22
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)..............................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)..............................................................................................................29
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..............................................................................................................33
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..................................................................................................................36
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 线段垂直平分线的定义及其性质 公 众
注
关
，
源
1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)辅(cid:13)(cid:14) 资 (cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:15)(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:25)
教
2. (cid:26)(cid:27)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:11)(cid:29)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:11)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)
(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:5)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)(cid:11)P(cid:45)(cid:8)(cid:9)AB(cid:19)(cid:14)(cid:15)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:20)(cid:46)PA=PB(cid:25)
3. (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:5)
1
(cid:47)1(cid:48)(cid:49)(cid:11)A(cid:20)B (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:49)(cid:53)(cid:16) AB(cid:19)(cid:54)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:20)(cid:30)(cid:58)(cid:59)(cid:16)C(cid:60)D (cid:30)(cid:11)(cid:61)
2
(cid:47)2(cid:48)(cid:57)(cid:50)(cid:15)(cid:8) CD(cid:20)CD(cid:50)(cid:43)(cid:62)(cid:15)(cid:8)(cid:25)
知识点2 角的平分线的性质1. (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:63)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:11)(cid:64)(cid:63)(cid:19)(cid:30)(cid:65)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:25)
2. (cid:66)(cid:67)(cid:5)(cid:47)1(cid:48)(cid:17)(cid:68)(cid:19)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:19)(cid:70)(cid:11)(cid:64)(cid:63)(cid:19)(cid:30)(cid:65)(cid:14)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:54)(cid:61)
(cid:47)2(cid:48)(cid:71)(cid:26)(cid:27)(cid:72)(cid:49)(cid:73)(cid:74)(cid:57)(cid:50)(cid:75)(cid:76)(cid:30)(cid:18)(cid:8)(cid:9)(cid:35)(cid:36)(cid:19)(cid:77)(cid:78)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:36)(cid:85)(cid:63)(cid:86)(cid:61)
(cid:47)3(cid:48)(cid:87)(cid:83)(cid:71)(cid:88)(cid:89)(cid:19)(cid:90)(cid:91)(cid:18)(cid:92)(cid:70)(cid:42)(cid:10)(cid:93)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:60)(cid:93)(cid:14)(cid:15)(cid:61)
(cid:47)4(cid:48)(cid:94)(cid:83)(cid:63)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:8)(cid:5)(cid:101)(cid:63)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:19)(cid:102)(cid:103)(cid:11)(cid:104)(cid:30)(cid:65)(cid:57)(cid:14)(cid:8)(cid:9)(cid:20)(cid:105)(cid:83)(cid:106)(cid:35)(cid:36)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:106)
(cid:110)(cid:88)(cid:89)(cid:25)
3. (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:35)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:5)(cid:102)(cid:103)(cid:5) AOB(cid:20)(cid:62)(cid:57)(cid:5) AOB(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:25)
(cid:57)(cid:111)(cid:5)(cid:47)1(cid:48)(cid:49)(cid:11)O(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:112)(cid:113)(cid:54)(cid:50)∠(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:58)(cid:20)(cid:59)O∠A(cid:16)(cid:11)M(cid:20)(cid:59)OB(cid:16)(cid:11)N(cid:25)
1
(cid:47)2(cid:48)(cid:24)(cid:115)(cid:49)(cid:11)M(cid:20)N(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:20)(cid:53)(cid:16) MN(cid:19)(cid:54)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:58)(cid:20)(cid:30)(cid:58)(cid:45) AOB(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:35)(cid:59)(cid:16)(cid:11)C(cid:25)
2
(cid:47)3(cid:48)(cid:114)(cid:118)(cid:8)OC(cid:25)(cid:118)(cid:8)OC(cid:119)(cid:50)(cid:43)(cid:62)(cid:25) ∠
(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:5)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:57)(cid:42)(cid:77)(cid:78)(cid:5)(cid:120)(cid:121) OMC ONC(cid:47)SSS(cid:48)(cid:25)
★
【题型1 根据垂直 △ 平分线 ≌△ 的性质求长度】
(cid:15)(cid:50)1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27) (cid:65)(cid:67) =6(cid:65) =5(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)(cid:51) (cid:62)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐸
𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:71)24 B(cid:71)22 C(cid:71)20 D(cid:71)18
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:75)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = =6(cid:65) = =6(cid:65)
= =5(cid:65)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:71) 𝐴𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)𝐶𝐷(cid:86)(cid:83)𝐵(cid:19)𝐷 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65) =6
= ∵𝐶=𝐸6 𝐴𝐹 𝐶𝐹
∴𝐴𝐶(cid:24)(cid:25)𝐶𝐹(cid:26)(cid:27) (cid:65)
∵𝐴𝐷 𝐵𝐶= =6(cid:65) = =5
∴𝐴𝐵 𝐴(cid:29)𝐶 (cid:69)(cid:33)(cid:70)𝐶𝐷 +𝐵𝐷 + + =6+6+5+5=22(cid:71)
∴(cid:87)△(cid:88)𝐴(cid:10)𝐵B𝐶(cid:71) 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:89)(cid:90)1-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:96)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:99)(cid:100) (cid:29)(cid:101)(cid:35)(cid:102) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:103)(cid:104)(cid:65)
(cid:104)(cid:105)(cid:70) (cid:65)(cid:106)B(cid:107)(cid:106)A(cid:108)(cid:109)(cid:65)(cid:48)(cid:49) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)20(cid:65) =6(cid:65)(cid:68)𝐴𝐵𝐶 (cid:29)(cid:69)(cid:33)𝐴(cid:110)𝐵 (cid:71)
𝐷𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)32
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = = = (cid:65)(cid:112)(cid:113)(cid:109)
= + + = + + + + (cid:32)(cid:83)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:20)(cid:71)𝐵𝐸 𝐴𝐸 6,𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:86)𝐴𝐵(cid:83)(cid:19)𝐵(cid:83)𝐶(cid:10)𝐴𝐶 (cid:70)𝐴𝐸 (cid:29)𝐵(cid:24)𝐸(cid:25)(cid:26)𝐴𝐷(cid:27)(cid:28)𝐷(cid:65)𝐶 𝐴=𝐶 6(cid:65)
= = ∵ 𝐷𝐸= 𝐴𝐵(cid:65) 𝐴𝐸
+
A
A
科
∴𝐵 𝐸 𝐴𝐸=206,=𝐵𝐷 +𝐴𝐷 + (cid:65) ★ 全
号
众
公
(cid:68)∵ 𝐶△𝐴𝐶𝐷= + 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶 𝐷𝐶 关 注
，
源
资
辅
=𝐶△𝐴+𝐵𝐶 𝐴+𝐵 𝐵+𝐶 教𝐴+𝐶
=𝐴𝐸+𝐵𝐸+𝐵𝐷+𝐷𝐶+𝐴𝐶
=𝐴6𝐸+6𝐵+𝐸20 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐶
=32(cid:114)
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)32(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)1-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) =8cm(cid:65)(cid:67) (cid:123) (cid:27)(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:123) (cid:65)
(cid:68) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70) cm(cid:71) 𝐵𝐶 𝑀𝑃 𝑁𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
△𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)8
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:75)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:129)(cid:28)(cid:47)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79) = (cid:65) = (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:7)(cid:90)(cid:130)(cid:131)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:83)(cid:71)
𝐵𝑃 𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝐶𝑄(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:123) (cid:27)(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:123) (cid:65)
= (cid:65) ∵𝑀=𝑃 𝑁(cid:65)𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴𝐵𝑃 𝐴(cid:29)𝑃 (cid:69)𝐴(cid:33)𝑄 =𝐶𝑄+ + = + + = =8cm(cid:65)
∴(cid:87)△(cid:72)𝐴(cid:73)𝑃(cid:70)𝑄(cid:10)8(cid:71) 𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝑃𝑄 𝐵𝑃 𝐶𝑄 𝑃𝑄 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:90)1-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:137)(cid:138) (cid:139)
(cid:106) (cid:65)(cid:137)(cid:138) (cid:139)(cid:106) (cid:71)(cid:67) (cid:107) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:27)(cid:124)(cid:110)40c△m𝐴(cid:140)𝐵2𝐶4cm(cid:65)𝐴(cid:68)𝐵 𝐴𝐶= 𝐴 𝐵 cm(cid:71) 𝐴𝐵
𝐷 𝐴𝐶 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)8
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:129)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:65) = (cid:65) = = 1 (cid:65)(cid:81)
2
+
(cid:82)(cid:129) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)24cm(cid:85)(cid:79) + =24(cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)
(cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)4科0cmA𝐴
(cid:79)
𝐸
(cid:80)
A𝐵𝐸
=1
𝐴
6
𝐷
cm(cid:65)
𝐵𝐷
(cid:81)(cid:82)(cid:84)
𝐴
(cid:85)
𝐵
(cid:32)
全
★
号
众
(cid:83)(cid:65)(cid:126)△(cid:127)𝐸𝐵(cid:28)𝐶(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:110)𝐶(cid:83)𝐵(cid:20)𝐶(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71) 公△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
注
关
，
源
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:110) (cid:29)辅(cid:24)(cid:25)资(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
教
= (cid:65) ∵𝐷 = 𝐸 𝐴𝐵 = 1 (cid:65)
2
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)24cm(cid:65)
∵△𝐸+𝐵𝐶 + =24(cid:65)
∴𝐵𝐸+𝐶𝐸+𝐵𝐶=24(cid:65)
(cid:84)∴𝐴𝐸 +𝐶𝐸 =𝐵2𝐶4(cid:65)
(cid:141)𝐴𝐶 𝐵𝐶(cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)40cm(cid:65)
∵△+𝐴𝐵𝐶+ =40(cid:65)
∴𝐴𝐵+𝐴24𝐶=4𝐵0𝐶(cid:65)
∴𝐴𝐵=16cm(cid:65)
∴𝐴𝐵 = 1 =8cm(cid:65)
2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)8(cid:71)【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:50)2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:142)(cid:143)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:107) (cid:138)(cid:115)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:140) (cid:27)(cid:124)(cid:137)
(cid:139)(cid:106) (cid:140)(cid:106) (cid:71)(cid:144)(cid:145) (cid:140) (cid:65) =60°(cid:65)(cid:68) △=𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐶(cid:71)𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)𝐷(cid:73)(cid:19)60𝐸°(cid:146)120°𝐷𝐴 𝐸𝐴 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:121)
(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:27)2(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:65) (cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:157)(cid:79) = (cid:140) = (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:158)(cid:79)
+ ①=120°(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)∠𝐵(cid:32)(cid:79)∠𝐵𝐴𝐸 +∠𝐶 ∠𝐶=𝐴6𝐷0°(cid:65)(cid:22)(cid:23)
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐷𝐸+ + (cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:114) (cid:159)(cid:106) (cid:107)∠(cid:106)𝐵𝐴(cid:108)𝐸(cid:109)∠(cid:65)𝐶(cid:106)𝐴𝐷(cid:107)(cid:106) (cid:108)(cid:109)(cid:65) = =60°(cid:71)
(cid:15)∠𝐵(cid:86)𝐴𝐶(cid:83)(cid:19)∠(cid:83)𝐵(cid:10)𝐴𝐸(cid:22)(cid:23)∠(cid:20)𝐷𝐴(cid:158)𝐸(cid:65)(cid:160)∠2𝐶(cid:154)𝐴𝐷(cid:155)(cid:156)(cid:65) ② 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:63)(cid:64)(cid:65)
①
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:107) (cid:138)(cid:115)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:140)源 ，(cid:27)(cid:124)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:140)(cid:106) (cid:65)
资
辅
教
∵ 𝐴𝐶= 𝐴𝐵(cid:65) = (cid:65) 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶 𝐷 𝐸
∴𝐴𝐸 =𝐵𝐸 𝐴(cid:65)𝐷 𝐶=𝐷 (cid:65)
∴∠𝐵 ∠=𝐵6𝐴0𝐸°(cid:65)∠𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷
∵∠𝐷𝐴𝐸+ =120°(cid:65)
∴∠𝐴𝐸𝐷(cid:110)∠𝐴𝐷𝐸 (cid:29)(cid:101)(cid:161)(cid:153)(cid:35)(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:101)(cid:161)(cid:153)(cid:35)(cid:65)
∵∠𝐴𝐸𝐷=△𝐴+𝐵𝐸 = ∠(cid:65)𝐴𝐷𝐸 △=𝐴𝐷𝐶+ = (cid:65)
∴∠𝐴𝐸𝐷 +∠𝐵 ∠𝐵=𝐴𝐸1202°(cid:65)∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 2∠𝐶𝐴𝐷
∴2∠𝐵𝐴𝐸+ 2∠𝐶𝐴=𝐷60°(cid:65)
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷 + + =120°(cid:71)
∴∠(cid:63)𝐵(cid:64)𝐴𝐶(cid:65)(cid:159)∠(cid:106)𝐵𝐴𝐸(cid:107)(cid:106)∠𝐷(cid:108)𝐴(cid:109)𝐸 (cid:65)∠(cid:106)𝐶𝐴(cid:107)𝐷(cid:106) (cid:108)(cid:109)(cid:65)
② 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶(cid:75)(cid:162)(cid:65) = =60°(cid:71)
(cid:163)(cid:115)∠(cid:164)𝐵(cid:165)𝐴𝐶(cid:65) ∠𝐷𝐴𝐸=60°(cid:146)120°(cid:71)
(cid:87)∴(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)60∠°(cid:146)𝐵𝐴1𝐶20°(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)2-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:61)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:61)(cid:65)(cid:138) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:137) (cid:65) (cid:139)(cid:106)
(cid:65) (cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:71)(cid:67) =24°(cid:65) (cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:70)△(cid:51)𝐴 𝐵 (cid:62)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷 𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶 𝐷𝐵⊥𝐵𝐶 ∠𝐴
+
A
A(cid:71)24° B(cid:71)30° C(cid:71)33° D(cid:71)科66°A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)C 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:47)辅(cid:24)(cid:25)资(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:153)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:149)(cid:65)(cid:129)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
教
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79) = (cid:65)(cid:84)(cid:79) = (cid:65)(cid:129)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:170)(cid:171)(cid:35)(cid:172)(cid:173)(cid:79) = =66°(cid:65)(cid:81)(cid:82)(cid:129)(cid:97)(cid:35)
(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:85)𝐷(cid:79) 𝐵𝐷=66°(cid:65)∠(cid:23)𝐴 (cid:75)∠(cid:84)𝐷(cid:85)𝐵𝐴(cid:32)(cid:83)(cid:65)(cid:126)(cid:127)(cid:174)(cid:115)(cid:49)(cid:175)(cid:106)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)∠(cid:3)𝐵𝐷(cid:128)𝐶(cid:71) 90°−∠𝐶
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) 2∠(cid:24)𝐴(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)
= ∵𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷 (cid:65)
∴∠𝐴 ∠𝐷(cid:65)𝐵𝐴
∵𝐷𝐵⊥𝐵=𝐶90°(cid:65)
∴∠𝐷𝐵=𝐶24°(cid:65)
∵∠𝐶 = = =66°(cid:65)
∴∠𝐵𝐷𝐶=90°−+∠𝐶 90=°−24°(cid:65)
∵∠𝐵𝐷𝐶=66∠°𝐴(cid:65) ∠𝐷𝐵𝐴 2∠𝐴
∴2∠𝐴=33°(cid:65)
∴(cid:87)∠(cid:88)𝐴(cid:10)C(cid:71)(cid:15)(cid:89)(cid:90)2-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =35°(cid:65) =50°(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28) (cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:137) (cid:139)(cid:106)△𝐴(cid:65)𝐵𝐶(cid:68) ∠𝐵(cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:70)∠ 𝐶 (cid:71) 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐹𝐶 𝐷 ∠𝐷𝐴𝐹
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)30°/30(cid:34)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:123)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:65)(cid:178)(cid:139)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:21)(cid:65)
(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:115)(cid:165)(cid:181)(cid:111)(cid:49)(cid:175)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:79)(cid:182) =95°(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:123)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79) = =35°(cid:65)(cid:183)(cid:82)(cid:79) ∠𝐵=𝐴6𝐶0°(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)(cid:79)(cid:72)(cid:73)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) =35°(cid:65) =50∠°𝐵(cid:65) ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐹
= ∵∠𝐵 =∠𝐶95°(cid:65)
∴∠𝐵(cid:24)𝐴(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:27)180°−(cid:65)50°−35°
+
A
∵𝐸𝐹 = (cid:65)𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
∴𝐹𝐴 =𝐹𝐵 =35°(cid:65) 公
注
关
，
源
∴∠𝐵 ∠=𝐵𝐴𝐹 =辅 资 =60°(cid:65)
教
∴∠𝐶(cid:26)𝐴(cid:27)𝐹 ∠𝐵𝐴(cid:65)𝐶−∠𝐵𝐴𝐹 95°−35°
∵𝐴𝐷
=
∠1𝐹𝐴𝐶
=30°(cid:65)
2
∴∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)30°(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)2-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:166)(cid:59)(cid:186)(cid:187)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:106)O(cid:110) (cid:140)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:140) (cid:65)(cid:67) = (cid:65)(cid:68) △𝐴(cid:29)𝐵𝐶(cid:188)(cid:189)(cid:70)𝐴𝐼(cid:51) (cid:62)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐼 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝛼 ∠𝐴𝐼𝐵
A(cid:71)90°+ 1 B(cid:71)90°+ 1
2 4
𝛼 𝛼
C(cid:71) 1 D(cid:71)180°+ 1
4 2
90°− 𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:190)(cid:65)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:65)(cid:144)(cid:145)(cid:179)(cid:43)(cid:29)(cid:191)(cid:192)(cid:28)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:144)(cid:145) (cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)D(cid:65)(cid:129)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:49) = (cid:65) = (cid:65)(cid:84)(cid:79)(cid:182) = (cid:65)
𝐶𝑂 𝐵𝐼 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝑂𝐴𝐶
= (cid:65)(cid:113)(cid:109)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:32)(cid:182) = = (cid:65)(cid:84) = (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)
2
𝛼
∠𝑂𝐶𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵 2∠𝐴𝐶𝐵 𝛼 ∠𝐴𝐶𝐵
(cid:177)(cid:160) + = (cid:71)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:190)(cid:79)(cid:182) = 1 (cid:65) = 1 (cid:65)(cid:112)(cid:113)(cid:109)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)
2 2 2
𝛼
∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 180°− ∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐵𝐴
(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)D(cid:71)
𝐶𝑂 𝐵𝐼
(cid:106)O(cid:110) (cid:140) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)
∵ = 𝐴𝐶(cid:65) 𝐵𝐶= (cid:65)
∴𝑂𝐴 𝑂=𝐶 𝑂𝐵(cid:65)𝑂𝐶 = (cid:65)
+
A
∴∠𝑂𝐶𝐴 =∠𝑂𝐴𝐶 +∠𝑂𝐶𝐵 =∠𝑂𝐵𝐶 (cid:65) = + = 科(cid:65) A
全
★
号
众
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝑂𝐶𝐴+∠𝑂𝐴𝐶 =2∠𝑂𝐶𝐴 +∠𝐵𝑂𝐷 =∠𝑂𝐶公𝐵 ∠=𝑂𝐵𝐶(cid:65) 2∠𝑂𝐶𝐵
注
关
，
源
∴∠𝐴𝑂𝐵
=
∠
(cid:65)
𝐴𝑂𝐷 ∠𝐵
教
𝑂𝐷辅2资∠𝑂𝐶𝐴 2∠𝑂𝐶𝐵 2∠𝐴𝐶𝐵 𝛼
2
𝛼
∴∠𝐴𝐶𝐵
+ = = (cid:71)
2
𝛼
∴∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 180°−∠𝐴𝐶𝐵 180°−
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
∵𝐴𝐼
=
∠1𝐵𝐴𝐶 𝐵
(cid:65)
𝐼 ∠
=
𝐴𝐵1𝐶
(cid:65)
2 2
∴∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐵𝐴
+ = 1 ( + )= (cid:65)
2 4
𝛼
∴∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 90°−
= ( + )=90°+ (cid:71)
4
𝛼
∴∠𝐴𝐼𝐵 180°− ∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐴𝐵𝐼
(cid:87)(cid:88)B(cid:71)
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:50)3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:116)(cid:117)(cid:133)(cid:195)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:61)(cid:28)(cid:65) (cid:110) (cid:138)(cid:29)(cid:61)(cid:24)
(cid:28)(cid:65)(cid:196) (cid:107) (cid:197)(cid:137)(cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:144)(cid:113) (cid:65) (cid:65)(cid:67)(cid:92)(cid:138)(cid:98) △(cid:107)(cid:92)𝐴𝐵(cid:138)𝐶(cid:98) 𝐵𝐷(cid:29)Δ(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:27)(cid:124)(cid:70)8(cid:123)𝐸𝐹13(cid:65)𝐵𝐶(cid:68)
(cid:29)(cid:36)(cid:37)𝐵(cid:70)𝐷((cid:198)𝐸(cid:198)𝐹) 𝐺 𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐶A(cid:71)36 B(cid:71)22 C(cid:71)20 D(cid:71)21
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:110)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:130)(cid:131)(cid:65)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:28)(cid:47)(cid:29)
(cid:170)(cid:161)(cid:199)(cid:106)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:90)(cid:130)(cid:131)(cid:65)(cid:79)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:92)(cid:138)(cid:98) (cid:107)(cid:92)(cid:138)(cid:98) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:124)(cid:70)8(cid:123)13(cid:65)
= ∵ =5(cid:65)𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺
∴𝑆△𝐴(cid:110)𝐺𝐷 13−(cid:29)8(cid:61)(cid:28)(cid:65)
∵𝐵𝐷 △=𝐴𝐵𝐶 =5(cid:65)
+
A
A
科
∴𝑆△𝐶𝐺𝐷=3𝑆(cid:65)△𝐴𝐺𝐷
★
全
号
众
公
∴𝑆△𝐶(cid:110)𝐺𝐸 (cid:138)(cid:29)(cid:61)(cid:24)(cid:28)(cid:65) 关 注
，
源
资
辅
∵𝐸(cid:110)𝐹 𝐵(cid:29)𝐶 (cid:61)(cid:106)(cid:65) 教
∴𝐸 𝐵𝐶= =3(cid:65)
∴𝑆△𝐵𝐸𝐺 =𝑆3△+𝐶𝐺3𝐸+5=11(cid:65)
∴𝑆△𝐵𝐷𝐶 =22(cid:65)
(cid:87)∴(cid:88)𝑆△(cid:10)𝐴𝐵B𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:90)3-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:16)(cid:116)(cid:202)(cid:135)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:65) (cid:110) (cid:115)(cid:29)(cid:170)(cid:106)(cid:65)(cid:67)
=2(cid:65) =3(cid:65)(cid:68)(cid:64)(cid:61)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:27)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:110) (cid:71)𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸,𝐹 𝐴𝐷
𝐵𝐷 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)3
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:64)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:126)(cid:127)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:64)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:158)(cid:79)(cid:80) (cid:110) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:85)(cid:40) (SSS)(cid:65)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:129)(cid:75)(cid:85)(cid:79)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:27)
(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) 𝐴𝐷(cid:65)(cid:129)𝐵(cid:75)𝐶(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:71) △𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐹 𝑆△𝐵𝐸𝐹 𝑆△𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)𝑆(cid:83)△(cid:10)𝐴𝐵𝐷 (cid:110) (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:65)
(cid:110) (cid:29)(cid:24)∵(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷(cid:27)△(cid:28)(cid:65)𝐴𝐵𝐶
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 = (cid:65)
∴(cid:66)𝐵𝐸 𝐶𝐸(cid:123),𝐵𝐹 𝐶𝐹(cid:61)(cid:65)
△=𝐵𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹
= (cid:65)
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐵𝐹 𝐶𝐹
𝐸𝐹 𝐸𝐹 (SSS)(cid:65)
∴△𝐵𝐸𝐹=≌△𝐶𝐸(cid:65)𝐹
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹
=
𝑆△𝐶𝐸𝐹
= 1 = 1 ×2×3=3(cid:65)
阴影 2 2
∴𝑆 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷·𝐴𝐷
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)3 (cid:71)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:89)(cid:90)3-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:210)(cid:59)(cid:61)(cid:166)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:66) ★ (cid:61)全(cid:65) = =6cm(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
号
众
公
(cid:28)(cid:137) (cid:139)(cid:106) D(cid:65) (cid:137) (cid:139)(cid:106)E(cid:65)(cid:106)F(cid:70) 关(cid:29)(cid:61) 注 (cid:106)(cid:65)(cid:106)M(cid:70)△(cid:28)𝐴(cid:47)𝐵𝐶 (cid:115)(cid:101)𝐴(cid:211)𝐵 (cid:106)𝐴(cid:65)𝐶(cid:67),𝐵𝐶 (cid:69)(cid:33)𝐴(cid:29)𝐵 (cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70)
，
源
资
辅
10cm𝐴(cid:65)𝐵 (cid:68) (cid:29)𝐴(cid:36)教𝐶(cid:37)(cid:110) cm (cid:71)𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐵𝐹𝑀
2
△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)21
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:32)(cid:38)(cid:212)(cid:200)(cid:201)(cid:140)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:149)(cid:49)(cid:175)(cid:71)
(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79)A(cid:107)B(cid:3)(cid:139) (cid:203)(cid:204)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:68)(cid:159)A(cid:140) (cid:140)F(cid:97)(cid:106)(cid:213)
′ ′ ′
(cid:28)(cid:162)(cid:65) (cid:69)(cid:33)(cid:38)(cid:189)(cid:65)(cid:84)(cid:159)(cid:106)M(cid:107)𝐸𝐷 (cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:65) 𝐴𝐹 (cid:69)𝐸𝐷(cid:33)(cid:214)(cid:79)𝑀(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65)𝐵𝑀 (cid:69)(cid:33)(cid:38)(cid:189)𝑀(cid:70) + (cid:29)
′ ′
(cid:33)(cid:65)(cid:22)(cid:23)△(cid:149)𝑀(cid:150)𝐵(cid:97)𝐹 (cid:35)(cid:98)“(cid:97)(cid:28)(cid:109)(cid:101)”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)𝑀(cid:79) △(cid:65)𝐵(cid:22)𝐹(cid:23)𝑀(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:90)(cid:84)△(cid:85)(cid:79)𝐵𝐹(cid:72)𝑀(cid:73)(cid:71) 𝐴𝐹 𝐹𝐵
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:110)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
A(cid:107)B(cid:3)(cid:139) ∵𝐸(cid:203)𝐷(cid:204)(cid:65) 𝐴𝐵
∴ 𝐸𝐷(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:144)(cid:145)
′ ′
𝐴𝐹 𝐸𝐷 𝑀 𝐵𝑀
= (cid:65)
′ ′
∵𝐴𝑀 𝑀=𝐵 + + = + + + (cid:65)
′ ′ ′ ′ ′
∴(cid:159)𝐶△A𝑀(cid:140)𝐵𝐹 (cid:140)𝑀F(cid:97)𝐵(cid:106)(cid:213)𝑀(cid:28)𝐹(cid:162)(cid:65)𝐹𝐵 𝐴𝑀 (cid:69)𝑀(cid:33)(cid:38)𝐹(cid:189)𝐹(cid:65)𝐵(cid:84)≥(cid:159)𝐴(cid:106)𝐹 M𝐹(cid:107)𝐵 (cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:65) (cid:69)(cid:33)(cid:214)(cid:79)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65)
′ ′ ′
𝑀(cid:69)(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70)10c△m𝑀(cid:65)𝐵𝐹 𝑀 △𝐵𝐹𝑀
∵△𝐵𝐹𝑀= + =10cm(cid:65)
∴F𝐶△(cid:70)𝑀𝐵𝐹 (cid:138)𝐴(cid:29)𝐹(cid:61)(cid:106)𝐹(cid:65)𝐵 = (cid:65) =6cm(cid:65)
∵ 𝐵𝐶 (cid:65) = 𝐴=𝐵 3cm𝐴𝐶(cid:65) 𝐵𝐶
+
A
A
科
∴𝐴𝐹⊥=𝐵𝐶 𝐵=𝐹 7c𝐶m𝐹(cid:65) ★ 全
号
众
公
注
∴𝐴𝐹 1 = 0−13 × × = 1 ×6×7=2，1cm 关 (cid:71)
2 2 资 源
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐹 教 辅 2
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)21(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)3-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:132)(cid:215)(cid:216)(cid:217)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =45°(cid:65) =4(cid:65)
=12(cid:65)D(cid:70)(cid:138) (cid:115)(cid:29)(cid:211)(cid:106)(cid:65)(cid:106) (cid:3)(cid:139) (cid:65) (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:27)(cid:124)(cid:110)(cid:106)△𝐴(cid:65)𝐵𝐶(cid:65)(cid:144)∠(cid:145)𝐵𝐴𝐶(cid:65) (cid:65) 𝐵(cid:65)𝐶 𝑆(cid:36)△𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:29)
(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70) 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)18
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:32)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:29)(cid:218)(cid:20)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:151)(cid:152)(cid:65)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)
(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79) = (cid:65) = (cid:65) = (cid:65) = (cid:65)(cid:149)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:79)
𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐷𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹= = (cid:65) =90°(cid:65)(cid:79) (cid:110)(cid:149)(cid:150)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:79)(cid:159) (cid:162)(cid:65) (cid:214)(cid:38)(cid:189)
(cid:39)𝐴𝐸(cid:65)(cid:84)𝐴(cid:85)𝐹(cid:46)(cid:72)𝐴𝐷(cid:71) ∠𝐸𝐴𝐹 △𝐸𝐴𝐹 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:164)(cid:222)(cid:10)
𝐴𝐷
(cid:106) (cid:3)(cid:139) (cid:65) (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:27)(cid:124)(cid:110)(cid:106) (cid:65) (cid:65)
∵ 𝐷(cid:110) (cid:29)𝐴𝐵(cid:24)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐶 (cid:27)(cid:28)(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:24)𝐸 (cid:25)𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∴𝐴𝐵=𝐷𝐸(cid:65) = (cid:65) 𝐴𝐶 =𝐷𝐹 (cid:65) = (cid:65)
∴𝐴𝐸=𝐴𝐷=𝐴𝐹 (cid:65)𝐴𝐷 ∠=𝐸𝐴𝐵 ∠𝐷=𝐴𝐵90°(cid:65)∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹 A +
A
科
全
★
∴𝐴𝐸 𝐴(cid:110)𝐹 (cid:149)𝐴(cid:150)𝐷(cid:25)(cid:35)∠𝐸(cid:97)𝐴(cid:35)𝐹(cid:98)(cid:65)2∠𝐵𝐴𝐶 众 号
公
注
关
∴(cid:159)△𝐸𝐴(cid:38)𝐹(cid:189)(cid:84) (cid:214)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:162)(cid:65) 源(cid:29)，(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:189)(cid:65)
资
辅
教
∴(cid:159)𝐴𝐸 (cid:65)𝐴𝐷 (cid:214)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65) △𝐴𝐸𝐹
∴ 𝐴=𝐷⊥4(cid:65)𝐵𝐶 𝐴𝐷=12(cid:65)
∵𝐵1
×
𝐶
4×
𝑆△
=
𝐴𝐵
1
𝐶
2(cid:65)
2
∴ 𝐴𝐶
=6(cid:65)
∴𝐴𝐶 (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)= 1 × = 1 × =18(cid:65)
2 2
2 2
∴△𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐶
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)18(cid:71)
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:50)4(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:116)(cid:117)(cid:223)(cid:135)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) =4(cid:65)(cid:36)(cid:37)(cid:110)12(cid:65) (cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:27)(cid:124)(cid:137) (cid:65) (cid:138)(cid:139)(cid:106)E(cid:65)F(cid:71)(cid:67)(cid:106)D(cid:70) (cid:138)△(cid:29)𝐴(cid:61)𝐵𝐶(cid:106)(cid:65)(cid:106)𝐴𝐵P(cid:70)𝐴(cid:28)𝐶(cid:47)𝐵𝐶(cid:115)(cid:101)(cid:211)(cid:106)(cid:65)(cid:68) 𝐴𝐶(cid:69)
(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)𝐸(cid:110)𝐹(cid:51)(cid:198)(cid:198)(cid:62)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐹 △𝑃𝐶𝐷A(cid:71)8 B(cid:71)3 C(cid:71)6 D(cid:71)4
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:205)(cid:203)(cid:204)—(cid:38)(cid:212)(cid:224)(cid:28)(cid:218)(cid:20)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:65) (cid:65)(cid:129)
= (cid:65)(cid:106) (cid:110) (cid:138)(cid:29)(cid:61)(cid:106)(cid:65)(cid:68) (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:90)(cid:32)(cid:182) (cid:29)(cid:33)(cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐷(cid:110)(cid:28)𝐴𝑃(cid:47) (cid:29)
(cid:24)𝐴𝐵(cid:25)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶(cid:28)(cid:85)𝐷(cid:49)(cid:65)𝐵(cid:106)𝐶 (cid:3)(cid:139)(cid:25)(cid:28) (cid:29)𝐴𝐷(cid:203)⊥(cid:204)𝐵(cid:106)𝐶(cid:70)(cid:106) (cid:65)(cid:159) (cid:140)(cid:140) (cid:97)(cid:106)(cid:213)(cid:28)(cid:162)(cid:65)𝐴(cid:84)𝐷 (cid:29)(cid:33)(cid:70) +𝐸𝐹 (cid:29)(cid:38)(cid:189)𝐴𝐶(cid:39)(cid:65)
(cid:129)(cid:75)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:182)(cid:113)(cid:225)(cid:65)𝐶(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:49)𝐸(cid:175)𝐹 (cid:106)(cid:29)(cid:226)(cid:43)(cid:110)(cid:83)𝐴(cid:20)(cid:29)(cid:3)𝐴(cid:128)𝑃(cid:71) 𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝑃 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:144)(cid:145) (cid:65) (cid:65)
𝐴𝐷 𝐴𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
= (cid:65)(cid:106) (cid:110) (cid:138)(cid:29)(cid:61)(cid:106)(cid:65)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:65) 𝐷 𝐵𝐶
∴𝐴𝐷⊥𝐵 = 𝐶1 = 1 ×4× =12(cid:65)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷 𝐴𝐷
=6(cid:65)
∴𝐴𝐷(cid:110)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∵(cid:106)𝐸𝐹 (cid:3)(cid:139)(cid:25)𝐴(cid:28)𝐶 (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:70)(cid:106) (cid:65)
∴(cid:159)𝐶(cid:140)(cid:140) (cid:97)𝐸(cid:106)𝐹(cid:213)(cid:28)(cid:162)(cid:65)(cid:84) 𝐴(cid:29)(cid:33)(cid:70) + (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65)
∴ 𝐴 𝑃 (cid:29)(cid:69) 𝐷 (cid:33)(cid:38)(cid:212)=( + 𝐴𝐷 )+ 𝐶 = 𝑃 𝑃 + 𝐷1 =6+ 1 ×4=6+2=8(cid:65)
2 2
∴△𝐶𝐷𝑃 𝐶𝑃 𝑃𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:87)(cid:88)(cid:10)A(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)4-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:132)(cid:215)(cid:216)(cid:217)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65)(cid:25)(cid:28) (cid:110)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:106) (cid:110)
(cid:25)(cid:28) (cid:115)(cid:29)(cid:101)(cid:161)(cid:211)(cid:106)(cid:71)(cid:67) =7(cid:65) =4(cid:65) =5(cid:65)(cid:68) △𝐴𝐵(cid:69)𝐶 (cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)𝑚(cid:39)(cid:110) 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝑃
𝑚 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝑃𝐶(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)11
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:65)(cid:211)(cid:106)(cid:38)(cid:39)(cid:218)(cid:20)(cid:61)(cid:29)“(cid:96)(cid:227)(cid:228)(cid:229)”(cid:218)(cid:20)(cid:65)(cid:83)(cid:230)(cid:110)(cid:10)(cid:46)(cid:152)(cid:106)(cid:3)(cid:139)(cid:211)(cid:106)(cid:231)(cid:232)(cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:65)
(cid:129)(cid:139)(cid:106) (cid:3)(cid:139)(cid:25)(cid:28) (cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:106)(cid:70)(cid:106) (cid:65)(cid:87)(cid:159)(cid:106) (cid:66) (cid:115)(cid:162)(cid:65) + (cid:39)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:65)(cid:32)(cid:182) (cid:33)(cid:34)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:80)(cid:113)(cid:225)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)𝐶 (cid:83)(cid:10)(cid:233)(cid:25)𝑚(cid:28) (cid:137) (cid:139) (cid:65)𝐵(cid:144)(cid:145) (cid:65)𝑃(cid:63)(cid:64)𝐴(cid:164)𝐵(cid:222)(cid:10) 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐴𝐵
𝑚 𝐴𝐵 𝐷 𝐵𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
(cid:25)(cid:28) (cid:110) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) 公
注
关
，
源
∵ (cid:140)𝑚(cid:3)(cid:139)𝐵𝐶(cid:25)(cid:28) (cid:203)(cid:204)(cid:65)辅=资(cid:65)
教
∴(cid:159)𝐵 (cid:123)𝐶 (cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:65)𝑚 + 𝐵(cid:29)𝑃(cid:39)(cid:38)𝑃𝐶(cid:189)(cid:65)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:149)(cid:139) (cid:29)(cid:33)(cid:65)
∴ 𝑃 𝐷(cid:69)(cid:33)= 𝐴+𝑃 𝐶+𝑃 (cid:65)(cid:196) + (cid:29)(cid:38)(cid:189)𝐴(cid:39)𝐵(cid:149)(cid:139) (cid:65)
∴△𝐴𝑃𝐶(cid:69)(cid:33)(cid:29)(cid:38)𝐴𝑃(cid:189)(cid:39)𝑃(cid:110)𝐶 𝐴+𝐶 =𝐴7𝑃+4𝐶𝑃=11(cid:65) 𝐴𝐵
∴(cid:87)△(cid:72)𝐴(cid:73)𝑃(cid:70)𝐶 (cid:10)11(cid:71) 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:90)4-2(cid:19)(cid:51)22-23(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:166)(cid:59)(cid:234)(cid:133)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:137)
(cid:139)(cid:106)N(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)M(cid:65) =12cm(cid:65) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:110)20cm(cid:65)(cid:67)△(cid:106)𝐴P𝐵(cid:66)𝐶 (cid:25)(cid:28)𝐴𝐵 (cid:115)𝐴(cid:65)𝐶(cid:68)𝐴𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:70)𝐴 𝐶 .
𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝑀𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴−𝑃𝐵
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)8cm/8(cid:235)(cid:236)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:112)(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:170)(cid:138)(cid:237)(cid:238)(cid:189)(cid:139)(cid:239)(cid:97)(cid:138)(cid:83)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:71)
𝑀𝐴 𝑀𝐶(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)
= (cid:65)∵𝑀𝑁 𝐴𝐶
(cid:141)∴𝑀𝐴 𝑀𝐶= + + =20cm(cid:65) + = =12cm(cid:65)
∵𝐶=△𝐵𝑀𝐶 𝐵𝑀=8c𝑀m𝐶(cid:65) 𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝑀𝐴 𝐴𝐵
(cid:66)∴𝐵𝐶 (cid:115)2(cid:214)0(cid:106)−12(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:140) (cid:140) (cid:65)
𝑀𝑁(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑃(cid:27) (cid:65) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶
∵𝑀𝑁= (cid:65) 𝐴𝐶
∴𝑃𝐴 𝑃𝐶= (cid:65)
(cid:66)∴𝑃𝐴−𝑃𝐵(cid:61) 𝑃𝐶−𝑃𝐵< (cid:65)
(cid:159)△(cid:140)𝑃𝐵(cid:140)𝐶 (cid:213)𝑃𝐶(cid:28)−(cid:162)𝑃𝐵(cid:65)(cid:84)𝐵𝐶(cid:240)(cid:211)(cid:80)(cid:107) (cid:108)(cid:109)(cid:162)(cid:65) (cid:160)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:65)
′
(cid:75)𝑃(cid:162) 𝐵 𝐶 = =8c𝑃m(cid:71) 𝑃 (𝑃𝐶−𝑃𝐵)
(cid:87)(cid:72)𝑃(cid:73)𝐶(cid:70)−𝑃(cid:10)𝐵8cm𝐵(cid:71)𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:106)(cid:241)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:28)(cid:47)(cid:237)(cid:238)(cid:29)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:240)(cid:43)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:138)(cid:35)(cid:3)(cid:242)(cid:107)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)4-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:116)(cid:117)(cid:243)(cid:135)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65) =5(cid:65) =12(cid:65) =13(cid:65)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:106) (cid:110) (cid:115)(cid:101)(cid:211)(cid:106)(cid:65)(cid:244) (cid:46) (cid:65)(cid:24)△(cid:245)𝐴(cid:70)𝐵𝐶(cid:106) (cid:65)∠(cid:144)𝐴(cid:145) (cid:65)(cid:68)𝐴𝐵 + 𝐴(cid:29)𝐶(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70)𝐵𝐶 (cid:71)𝐸𝐹
𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹 𝑃 𝑃𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝐻
60
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)
13
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:246)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:247)(cid:248) (cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:144)(cid:145)
(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:68)(cid:160) + = + (cid:65)(cid:27)(cid:74)(cid:85)𝐵(cid:49)𝑃(cid:159) (cid:97)(cid:106)(cid:213)(cid:28)(cid:162)(cid:65)
𝐴𝑃+ (cid:160)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70) (cid:29)𝐴𝑃(cid:33)(cid:65)𝐵(cid:75)𝑃(cid:162) (cid:110)𝐵R𝑃t 𝑃𝐻 (cid:29)𝐴(cid:246)𝑃(cid:65)𝑃(cid:112)𝐻(cid:42)≥(cid:43)𝐴(cid:149)𝐻(cid:36)(cid:37)(cid:230)(cid:84)(cid:85)(cid:32)𝐴(cid:83),𝑃(cid:71),𝐻
𝐵𝑃 𝑃𝐻 𝐴𝐻 𝐴𝐻 △𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:65)
𝐴𝑃
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:106) (cid:110) (cid:115)(cid:101)(cid:211)(cid:106)(cid:65)
∵𝐸𝐹 = (cid:65) 𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹
∴𝐴𝑃+ 𝐵𝑃= + (cid:65)
∴(cid:159)𝐵𝑃 𝑃𝐻(cid:97)(cid:106)𝐴(cid:213)𝑃(cid:28)(cid:162)𝑃𝐻(cid:65)≥𝐴𝐻+ (cid:160)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:65)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70) (cid:29)(cid:33)(cid:65)
∴ 𝐴,𝑃,𝐻 (cid:65) (cid:97)(cid:106)(cid:213)𝐵𝑃(cid:28)(cid:65)𝑃𝐻 𝐴𝐻
∵(cid:75)𝑃𝐻(cid:162)⊥𝐵𝐶(cid:110)R𝐴t,𝑃,𝐻 (cid:29)(cid:246)(cid:65)
∴ 𝐴𝐻 △5×𝐴1𝐵2𝐶 60
= = =
13 13
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
∴𝐴𝐻 𝐵𝐶
60
+ (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70) (cid:71) +
13 A A
科
全
(cid:87) ∴𝐵 (cid:72) 𝑃 (cid:73)(cid:70) 𝑃𝐻 (cid:10) 60 (cid:71) 公 众 号 ★
13 注
关
，
源
资
【题型5 根据垂直平教分线 辅 的性质求证明】
(cid:15)(cid:50)5(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:210)(cid:59)(cid:249)(cid:135)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:138)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:137) (cid:139)(cid:106)D(cid:65) (cid:138)(cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:137) (cid:139)(cid:106)E(cid:65) (cid:107) (cid:197)(cid:137)(cid:139)(cid:106)O(cid:65)(cid:144)(cid:145) △(cid:65)𝐴𝐵𝐶(cid:65) 𝐴(cid:71)𝐵 𝑙1 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝑙2 𝐵𝐶 𝑙1 𝑙2 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:67) (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)8cm(cid:65)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:33)(cid:70)________(cid:114)
(2)(cid:151)(cid:250)△(cid:106)𝐴𝐷O𝐸(cid:110)(cid:251)(cid:66) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶(cid:115)(cid:114)
(3)(cid:67) =120°(cid:65)𝐵𝐶(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)∠𝐵(cid:19)𝐴(𝐶1)8cm ∠𝐷𝐴𝐸
(2)(cid:106)O(cid:66) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)
𝐵𝐶(3) =60°(cid:71)
(cid:15)(cid:27)∠𝐷(cid:74)𝐴(cid:19)𝐸(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:110)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:28)(cid:47)(cid:170)(cid:161)(cid:199)(cid:106)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:71)
(cid:51)1(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:182) = (cid:65) = (cid:65)(cid:32)(cid:182) = + + (cid:114)
(cid:51)2(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:182)𝐷𝐴= 𝐷𝐵(cid:65)𝐸𝐴= 𝐸𝐶(cid:65)(cid:157)(cid:182) 𝐵𝐶= 𝐵𝐷(cid:65)(cid:84)𝐷(cid:85)𝐸(cid:40)(cid:41)𝐸(cid:106)𝐶 O(cid:66) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:114)
(cid:51)3(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:79)(cid:182) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵 𝑂=𝐴60°(cid:65)𝑂𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:149)(cid:150)𝑂𝐵(cid:97)(cid:35)𝑂(cid:98)𝐶(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:182) =𝐵𝐶 (cid:65)
= (cid:65)(cid:22)(cid:23) =∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:32)(cid:182)(cid:113)(cid:252)(cid:84)(cid:85)(cid:71) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)∠𝐸(cid:86)𝐴𝐶(cid:83)(cid:19)∠(cid:51)𝐴1𝐶(cid:62)𝐵(cid:83)(cid:10) ∠(cid:110)𝐷𝐴𝐸(cid:138)(cid:29)∠𝐵(cid:24)𝐴(cid:25)𝐶−(cid:26)∠(cid:27)𝐵𝐴(cid:28)𝐷(cid:65)−∠𝐸𝐴𝐶
= (cid:65) ∵𝑙1 𝐴𝐵
∴𝐷𝐴(cid:110) 𝐷(cid:138)𝐵(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∵𝑙2 =𝐴𝐶 (cid:65)
∴𝐸𝐴 𝐸𝐶(cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)8cm(cid:65)
∵△𝐴=𝐷𝐸 + + = + + =8(cm)(cid:114)
+
A
(cid:87)∴𝐵(cid:72)𝐶(cid:73)(cid:70)𝐵𝐷(cid:10)8c𝐷m𝐸(cid:114) 𝐸𝐶 𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐸𝐴 科 A
全
★
号
众
(cid:51)2(cid:62)(cid:83)(cid:10)(cid:106)O(cid:66) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:65) 公
注
关
，
源
(cid:177)(cid:129)(cid:10) (cid:110) (cid:138)(cid:29)𝐵𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)辅(cid:27)(cid:28)资(cid:65)
教
=∵𝑙1(cid:65)𝐴𝐵
∴𝑂𝐴(cid:110) 𝑂(cid:138)𝐵(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∵𝑙2 =𝐴𝐶 (cid:65)
∴𝑂𝐴 =𝑂𝐶(cid:65)
∴(cid:106)𝑂𝐵O(cid:66)𝑂𝐶 (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:114)
∴(cid:51)3(cid:62)(cid:83)(cid:10)𝐵𝐶 =120°(cid:65)
+ ∵∠𝐵𝐴𝐶=60°(cid:65)
∴∠𝐴𝐵=𝐶 ∠(cid:65)𝐴𝐶𝐵= (cid:65)
∵𝐷𝐴 𝐷=𝐵 𝐸𝐴(cid:65)𝐸𝐶 = (cid:65)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵= =60°(cid:71)
(cid:15)∴∠(cid:89)𝐷𝐴(cid:90)𝐸5-1∠(cid:19)𝐵(cid:51)𝐴𝐶2−4-∠25𝐵𝐴(cid:52)𝐷(cid:53)−(cid:54)∠𝐸(cid:115)𝐴𝐶·(cid:132)(cid:133)1(cid:133)20(cid:143)°−·6(cid:120)0(cid:47)° (cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:253)(cid:254)(cid:157)(cid:177)(cid:29)(cid:255)(cid:230)(cid:110)(cid:256)(cid:257)(cid:64)(cid:98)(cid:178)(cid:30)(cid:29)(cid:108)(cid:148)(cid:255)(cid:230)(cid:65)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)
(cid:262)(cid:263)(cid:193)(cid:264)(cid:265)(cid:83)(cid:72)(cid:71)(1)(cid:63)(cid:64)1(cid:65)(cid:25)(cid:28) (cid:110)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)P(cid:110) (cid:115)(cid:266)(cid:101)(cid:106)(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:140) (cid:65)(cid:96)(cid:28)(cid:47) (cid:102)(cid:25)(cid:28) (cid:203)(cid:104)(cid:65)
(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270) (cid:107) 𝑀(cid:264)𝑁(cid:209)(cid:108)(cid:109)𝐴(cid:65)𝐵(cid:129)(cid:75)(cid:85)(cid:79)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑀𝑁(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:10)__𝑃_𝐴___𝑃__𝐵(cid:71) 𝐴𝐵 𝑀𝑁
(2)(cid:258)(cid:259)(cid:113)𝑃(cid:109)𝐴(cid:64)(cid:98)𝑃𝐵(cid:271)(cid:48)(cid:49)(cid:123)(cid:32)(cid:40)(cid:272)(cid:273)(cid:264)(cid:265)(cid:65)(cid:193)(cid:274)(cid:182)(cid:40)(cid:41)(cid:244)(cid:275)(cid:71)
(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:63)(cid:64)1(cid:65) (cid:139)(cid:106)C(cid:65)________(cid:65)(cid:106)P(cid:110)(cid:25)(cid:28) (cid:115)(cid:29)(cid:266)(cid:158)(cid:101)(cid:106)(cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10)________(cid:71)
(cid:40)(cid:41)(cid:10) 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵 𝑀𝑁
(3)(cid:63)(cid:64)2(cid:65)CD(cid:110)(cid:28)(cid:47)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) =22°(cid:65) =50°(cid:65)(cid:68) =________(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(1)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:28)(cid:47)(cid:170)∠𝐶(cid:199)𝐴𝐷(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)∠𝐶𝐵𝐴 ∠𝐴𝐷𝑃
(2) = (cid:114) = (cid:114)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:83)(cid:74)
(3)𝐴62𝐶° 𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 A +
A
科
全
★
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:75)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:110)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:64)(cid:98)(cid:140)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)号(cid:65)(cid:276)(cid:244)(cid:277)(cid:101)(cid:278)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:61)(cid:106)(cid:65)(cid:193)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:139)(cid:279)(cid:278)(cid:28)
众
公
注
关
(cid:47)(cid:29)(cid:25)(cid:28)(cid:65)(cid:280)(cid:281)(cid:279)(cid:278)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)源(cid:27)(cid:28)， ((cid:61)(cid:24)(cid:28))(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:282)(cid:204)“(cid:61)(cid:24)(cid:28)”(cid:71)
资
辅
教
(cid:51)1(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:72)(cid:114)
(cid:51)2(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:72)(cid:114)
(cid:51)3(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:170)(cid:171)(cid:35)(cid:172)(cid:173)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:72)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:51)1(cid:62)(cid:83)(cid:10) (cid:25)(cid:28) (cid:110)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
= (cid:65) =∵ 𝑀 𝑁=90° 𝐴𝐵
(cid:66)∴𝐴𝐶 𝐵(cid:123)𝐶 ∠𝐴𝐶𝑃(cid:61) ∠𝐵𝐶𝑃
△𝐴𝐶=𝑃 △𝐵𝐶𝑃
=
𝐴𝐶 =𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐵𝐶𝑃
𝑃𝐶 𝑃𝐶 (SAS)
∴△𝐴𝐶=𝑃≌△(cid:71)𝐵𝐶𝑃
(cid:84)∴(cid:28)𝐴𝑃(cid:47)(cid:24)𝐵(cid:25)𝑃(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:10)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:28)(cid:47)(cid:170)(cid:199)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:71)
(cid:51)2(cid:62)(cid:83)(cid:10)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:63)(cid:64)1(cid:65) (cid:139)(cid:106)C(cid:65) = (cid:65)(cid:106)P(cid:110)(cid:25)(cid:28) (cid:115)(cid:29)(cid:266)(cid:158)(cid:101)(cid:106)(cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71)
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70) = (cid:114) =𝑀𝑁⊥(cid:114)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴 𝑃𝐵
∶ 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:83)(cid:10) (cid:65)
=∵ 𝑀𝑁 ⊥=𝐴9𝐵0°
(cid:66)∴ ∠𝐴𝐶𝑃(cid:123)∠𝐵𝐶𝑃 (cid:61)
△𝐴𝐶=𝑃 △𝐵𝐶𝑃
=
𝐴𝐶 =𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐵𝐶𝑃
𝑃𝐶 𝑃𝐶 (SAS)
∴△𝐴𝐶=𝑃≌△(cid:71)𝐵𝐶𝑃
(cid:51)∴3𝐴(cid:62)𝑃(cid:83)(cid:10)𝐵𝑃 CD(cid:110)(cid:28)(cid:47)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
= ∵(cid:65) =90°(cid:71)
∴ 𝐴𝐶 =𝐵𝐶 ∠𝐴𝑃=𝐶50°(cid:71)
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= (cid:65)
∵∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐷𝐴𝑃 ∠𝐶𝐴𝐵= =28°(cid:71)
∴∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐴𝐵−=∠9𝐶0𝐴°𝐷(cid:65) 50°−22°
+
A
∵∠𝐷𝐴𝑃=∠𝐴𝐷𝑃 = =62°(cid:71) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)∴(cid:89)∠𝐴(cid:90)𝐷𝑃5-2(cid:19)90(cid:51)°−23∠-𝐷24𝐴𝑃(cid:52)(cid:53)9(cid:54)0(cid:115)°−·2(cid:202)8°(cid:215)(cid:284)(cid:285)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)公(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:65) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)
注
关
，
源
(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:196) =辅(cid:65)资(cid:144)(cid:145) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶
教
𝐹 𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:114)
(2)(cid:67) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:69)𝐸(cid:33)𝐶 (cid:70)42cm(cid:65) =16cm(cid:65)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)△(cid:19)𝐴(𝐵1𝐶)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:83)(cid:74) 𝐴𝐶 𝐷𝐶
(2) =13cm
(cid:15)(cid:27)𝐷𝐶(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:110)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:126)(cid:127)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:170)(cid:161)(cid:199)(cid:106)(cid:29)(cid:200)(cid:201)
(cid:197)(cid:149)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:51)1(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:85) = (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23) (cid:65) = (cid:65)(cid:79)(cid:80) (cid:110) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:149)(cid:219)
(cid:220)(cid:221)(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:114) 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸
(cid:51)2(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:158)(cid:65)(cid:68) + + =42cm(cid:65)(cid:32)(cid:182) + =42cm-16cm=26cm(cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)
+ + + 𝐴=𝐵26𝐵cm𝐶(cid:65)𝐴(cid:79)𝐶(cid:80) + =13𝐴c𝐵m(cid:65)𝐵(cid:38)𝐶(cid:185)(cid:22)(cid:23) = + (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐶(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:51)1(cid:62)(cid:83)(cid:10)(cid:40)(cid:41)(cid:63)(cid:55)(cid:10)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:65)
∵𝐸𝐹 = (cid:65) 𝐴𝐶
∴𝐴𝐸 𝐸𝐶(cid:65) = (cid:65)
∵𝐴𝐷(cid:110)⊥𝐵𝐶(cid:29)(cid:24)𝐵𝐷(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:27)𝐸(cid:28)(cid:65)
∴𝐴𝐷=𝐵𝐸(cid:65)
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸(cid:71)
∴(cid:51)𝐴2𝐵(cid:62)(cid:83)𝐸(cid:10)𝐶 (cid:29)(cid:69)(cid:33)(cid:70)42cm(cid:65)
+ ∵+△𝐴𝐵=𝐶42cm(cid:65)
∴𝐴𝐵=𝐵16𝐶cm𝐴(cid:65)𝐶
∵𝐴𝐶+ =42cm-16cm=26cm(cid:65)
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐶(cid:65) = (cid:65)
∵𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+𝐴𝐵 +𝐸𝐶=26cm(cid:65)
+
A
∴𝐴𝐵 +𝐵𝐷 𝐷=𝐸26c𝐸m𝐶(cid:65) 科 A
全
★
号
众
∴2𝐷𝐸+ 2𝐸=𝐶13cm(cid:65) 公
注
关
，
源
∴𝐷𝐸=𝐸𝐶 + (cid:65) 辅 资
教
∵𝐷𝐶=𝐷13𝐸cm(cid:71)𝐸𝐶
(cid:15)∴𝐷(cid:89)𝐶(cid:90)5-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:166)(cid:167)(cid:286)(cid:287)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) = (cid:65) =50°(cid:65) (cid:65)(cid:24)
(cid:245)(cid:70)D(cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:137) (cid:139)(cid:106)E(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)F(cid:65)(cid:144)(cid:145)△𝐴𝐵(cid:71)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐹
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:114)
(2)(cid:32) 𝐴(cid:34)𝐹 (cid:169)𝐵(cid:71)𝐹
(cid:15)(cid:72)(cid:73)∠𝐹(cid:19)𝐵(𝐷1)(cid:180)(cid:83)(cid:74)
(2) =40°
(cid:15)(cid:27)∠𝐹(cid:74)𝐵(cid:19)𝐷(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:151)(cid:152)(cid:140)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:149)(cid:49)(cid:175)(cid:65)(cid:288)(cid:160)(cid:101)(cid:152)(cid:29)(cid:163)(cid:109)(cid:30)(cid:65)(cid:289)(cid:290)(cid:34)(cid:291)(cid:188)(cid:65)(cid:178)(cid:139)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:21)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:115)(cid:165)(cid:49)(cid:175)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:51)1(cid:62)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79) = (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)“(cid:97)(cid:28)(cid:109)(cid:101)”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41) (cid:110)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐶𝐹(cid:28)(cid:65)(cid:79) = (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:79)(cid:113)(cid:225)(cid:114) 𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:51)2(cid:62)(cid:129)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:176) 𝐵 (cid:35) 𝐹 (cid:123)(cid:152) 𝐶𝐹 (cid:177)(cid:32)(cid:182) = =65°,(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)“(cid:97)(cid:28)(cid:109)(cid:101)”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41) = 1
2
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶𝐴𝐹
=25°(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79) = (cid:65)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:32)(cid:79) = =25°(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:29)
∠(cid:123)𝐵(cid:238)𝐴𝐶(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:182) (cid:65)(cid:129) = (cid:85)(cid:79) = 𝐴𝐹 (cid:65)𝐶𝐹(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:182)(cid:72)(cid:73)(cid:71)∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐴𝐶𝐹
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:51)1(cid:62)∠(cid:40)𝐵𝐶(cid:41)𝐹(cid:10)(cid:144)(cid:145)𝐶𝐹 (cid:65)𝐵𝐹 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐹
𝐶𝐹
+
A
A
科
(cid:110) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) 全
★
号
众
公
注
∵𝐸𝐹 =𝐴𝐶 (cid:65) 关
，
源
资
辅
∴𝐴𝐹 =𝐶𝐹(cid:65) 教(cid:65)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:65)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴𝐵𝐷(cid:110) 𝐶𝐷(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶(cid:65)
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹(cid:114)
(cid:51)∴2𝐴(cid:62)𝐹(cid:83)(cid:10)𝐵𝐹 = (cid:65) =50°(cid:65)
=
∵𝐴𝐵 𝐴
=
𝐶1
(
∠𝐵𝐴𝐶
)=65°(cid:65)
2
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−∠𝐵𝐴𝐶
(cid:65)
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 = 1 =25°(cid:65)
2
∴∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶
= (cid:65)
∵𝐴𝐹 𝐶=𝐹 =25°(cid:65)
∴∠𝐶𝐴𝐹 =∠𝐴𝐶𝐹 =40°(cid:71)
∴∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐹【题型6 利用角平分线的性质求长度】
(cid:15)(cid:50)6(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:135)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:48)(cid:49) =150°(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:139)(cid:106)D(cid:65)
(cid:137) (cid:139)(cid:106)C(cid:65)(cid:67) =4(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:33)(cid:70)(cid:51) (cid:62) ∠𝐴𝑂𝐵 𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵 𝑃𝐶∥𝑂𝐵
𝑂𝐴 𝑃𝐷 𝑂𝐶
A(cid:71)6 B(cid:71)8 C(cid:71)10 D(cid:71)12
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:152)(cid:190)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:65)(cid:26)(cid:295)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:65)30°(cid:35)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)
(cid:98)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:296)(cid:297)(cid:191)(cid:192)(cid:28)(cid:298)(cid:299)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:244)(cid:106)P(cid:46) (cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:70)E(cid:65)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:79) = =4(cid:65) = (cid:65)(cid:129)(cid:26)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:85)
(cid:157)(cid:40) =30°𝑃(cid:65)𝐸⊥𝑂𝐶 = (cid:65)(cid:79) = (cid:65)Rt (cid:61)𝑃(cid:65)𝐸 𝑃=𝐷 =∠8𝑃(cid:65)𝑂(cid:164)𝐷(cid:174)∠𝑃𝑂=𝐸 =8(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)∠𝑃(cid:19)𝐶𝑂(cid:83)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)∠𝐶(cid:244)𝑃(cid:106)𝑂 P(cid:46)𝑃𝑂𝐸 𝐶𝑂(cid:65)(cid:24)𝐶(cid:245)𝑃(cid:70)E(cid:65)△𝐶𝑃𝐸 𝐶𝑃 2𝑃𝐸 A +𝐶𝑂 𝐶𝑃
A
科
全
★
𝑃𝐸⊥𝑂𝐶 众 号
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65)
∵𝑂𝑃= ∠𝐴=𝑂4𝐵(cid:65)𝑃𝐷⊥𝑂=𝐵 (cid:65)
∴𝑃𝐸 𝑃𝐷(cid:65) ∠𝑃𝑂𝐷 ∠𝑃𝑂𝐸
∵𝑃𝐶∥𝑂+𝐵 =180°(cid:65)
∴∠𝑃𝐶𝑂= ∠𝐴𝑂𝐵(cid:114)
∠𝐶𝑃𝑂 =∠𝑃𝑂𝐷 =30°(cid:65)
∴∠𝑃𝐶𝑂= 180(cid:114)°−150°
∠𝐶𝑃𝑂= 𝑃(cid:65)𝑂𝐸
∴R𝐶t𝑂 𝐶𝑃(cid:61)(cid:65) = =2×4=8(cid:65)
△=𝐶𝑃𝐸 =8𝐶(cid:114)𝑃 2𝑃𝐸
∴(cid:87)𝐶(cid:88)𝑂(cid:10)B𝐶(cid:71)𝑃
(cid:15)(cid:89)(cid:90)6-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:300)(cid:301)(cid:302)(cid:285)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:137) (cid:139)D(cid:106)(cid:65) (cid:139)E(cid:106)(cid:65)(cid:67)
𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶=4(cid:65) =5(cid:65) =9(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:33)(cid:70) (cid:71)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)2
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:244)(cid:106)D(cid:46) (cid:139)F(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:69)(cid:33)(cid:7)(cid:90)(cid:130)(cid:131)(cid:84)(cid:85)(cid:71)
(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:29)(cid:110)(cid:35)(cid:26)(cid:27)𝐷𝐹(cid:28)⊥(cid:29)𝐵(cid:30)𝐴(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:303)(cid:35)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:35)𝐷(cid:29)𝐸(cid:170)(cid:138)𝐷(cid:29)𝐹 (cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:244)(cid:106)D(cid:46) (cid:65)(cid:137) (cid:29)(cid:194)(cid:33)(cid:28)(cid:139)F(cid:65)
𝐷𝐹⊥𝐵𝐴 𝐵𝐴
+
A
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65) (cid:65) 科 A
全
★
号
众
∵𝐵𝐷= ∠(cid:65)𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶 𝐷𝐹⊥𝐵𝐴 公
注
关
，
源
∴𝐷𝐸=4𝐷(cid:65)𝐹 =5(cid:65) 辅=资9(cid:65)
教
∵𝐴1𝐵 ×4× 𝐵𝐶 + 1 ×5× 𝑆△𝐴𝐵𝐶 =9(cid:65)
2 2
∴ 𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:83)(cid:79)(cid:10) = =2(cid:65)
(cid:87)(cid:72)(cid:73)𝐷(cid:70)𝐸(cid:10)2.𝐷𝐹
(cid:15)(cid:89)(cid:90)6-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:166)(cid:167)(cid:304)(cid:305)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:48)(cid:49) (cid:61)(cid:65)D(cid:70) (cid:138)(cid:115)(cid:101)(cid:106)(cid:65)E(cid:70) (cid:138)(cid:115)(cid:101)(cid:106)(cid:65)
(cid:144)(cid:145) (cid:65) (cid:65) (cid:65) = (cid:65)(cid:67) =2.7(cid:65) =1.5(cid:65)△𝐴𝐵=𝐶1(cid:65)(cid:68) 𝐵=𝐶 (cid:71) 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)1.8
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:306)(cid:22)(cid:23) = (cid:65) (cid:65)(cid:40)(cid:41) = (cid:65)
𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐶
(cid:307)(cid:106) (cid:80) (cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:70) (cid:65)(cid:106) (cid:80) (cid:65) (cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:70) (cid:65) (cid:65)(cid:68) = (cid:65)(cid:112)(cid:129)(cid:149)(cid:36)(cid:37)(cid:230)(cid:85)(cid:79) = (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:71)
𝐴𝐵 𝐵𝐷
𝐴 𝐵𝐶 ℎ 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ℎ1 ℎ2 ℎ1 ℎ2 𝐴𝐶 𝐶𝐷(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) = (cid:65)
= ∵𝐴(cid:65)𝐸 𝐸𝐷
(cid:141)∴∠𝐵𝐴𝐷 ∠(cid:65)𝐴𝐷𝐸
∵𝐷𝐸∥𝐴=𝐶 (cid:65)
∴∠𝐴𝐷𝐸 =∠𝐷𝐴𝐶(cid:65)(cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
∴(cid:307)∠(cid:106)𝐵𝐴𝐷(cid:80) ∠(cid:29)𝐷𝐴(cid:200)𝐶(cid:201)(cid:70)𝐴(cid:65)𝐷(cid:106) (cid:80)∠𝐵𝐴𝐶(cid:65) (cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:70) (cid:65) (cid:65)(cid:68) = (cid:65)
𝐴 𝐵1𝐶 1 ℎ 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ℎ1 ℎ2 ℎ1 ℎ2
=2 =2 (cid:65)
1 1
𝑆△𝐴𝐵𝐷 2𝐴𝐵⋅ℎ1 2𝐵𝐷⋅ℎ
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐶⋅ℎ2 𝐶𝐷⋅ℎ
2.7 1.5
(cid:68) = (cid:65)(cid:84)(cid:10) = (cid:65)
1
𝐴𝐵 𝐵𝐷
𝐴𝐶 =1 𝐶 . 𝐷 8(cid:65) 𝐴𝐶
(cid:87)∴𝐴(cid:72)𝐶(cid:73)(cid:70)(cid:10)1.8(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)6-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:313)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) = =4cm =3cm
=5cm(cid:65)O(cid:110) (cid:107) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)(cid:68)(cid:106)O(cid:80) (cid:29)(cid:200)△(cid:201)𝐴(cid:70)𝐵 𝐶 (cid:71)∠𝐶 90°,𝐴𝐶 ,𝐵𝐶
,𝐴𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 𝐴𝐵 A +
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)1cm/1(cid:235)(cid:236)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:283)(cid:107)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:246)(cid:160)(cid:3)(cid:29)(cid:130)(cid:131)(cid:65)(cid:27)(cid:124)(cid:244)(cid:106)O(cid:46)
(cid:65)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:314)(cid:79)(cid:106) (cid:66) (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:65)(cid:157)(cid:182) = = (cid:65)(cid:233)
𝑂𝐸⊥=𝐴𝐶,𝑂=𝐹⊥𝐵=𝐶,𝑂(cid:65)𝐺⊥(cid:22)𝐴(cid:23)𝐵 =𝑂𝐶 + 𝑂 ∠+𝐴𝐶𝐵 (cid:65)(cid:301)(cid:315)(cid:255)(cid:275)(cid:32)(cid:83)(cid:84)𝑂(cid:85)𝐹(cid:71)𝑂𝐸 𝑂𝐺
𝑂(cid:15)𝐸(cid:86)(cid:83)𝑂(cid:19)𝐹(cid:83)(cid:10)𝑂𝐺(cid:27)(cid:124)𝑥(cid:244)(cid:106)O(cid:46)𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐵 𝑆△𝑂𝐴𝐶 𝑆△(cid:65)𝑂𝐶(cid:144)𝐵(cid:145) (cid:65)
𝑂𝐸⊥𝐴𝐶,𝑂𝐹⊥𝐵𝐶,𝑂𝐺⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶
(cid:106) (cid:110) (cid:107) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)
∵(cid:106)𝑂(cid:66)∠𝐶𝐴𝐵(cid:29)∠(cid:35)𝐶(cid:26)𝐵𝐴(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:65)
∴ 𝑂= ∠𝐴𝐶=𝐵 (cid:65)
∴𝑂𝐹 𝑂𝐸 𝑂𝐺(cid:233) = = = (cid:65)
𝑂𝐸 =𝑂𝐹 𝑂𝐺+ 𝑥 + (cid:65)
∵(cid:66)𝑆△𝐴𝐵𝐶 (cid:61)𝑆△(cid:65)𝑂𝐴𝐵 =𝑆△𝑂𝐴𝐶 =𝑆△4𝑂c𝐶m𝐵 =3cm =5cm(cid:65)
1 × △ 3 𝐴𝐵 × 𝐶 4= 1∠ × 𝐶 90 + °,1𝐴 × 𝐶 + ,1𝐵 × 𝐶 (cid:65) ,𝐴𝐵
2 2 2 2
∴ 5𝑂𝐺 4𝑂𝐸 3𝑂𝐹
=6(cid:65)
∴6𝑥=1(cid:65)
∴(cid:106)𝑥 (cid:80) (cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:149)(cid:139)1cm(cid:71)
(cid:87)∴ (cid:72)𝑂(cid:73)(cid:70)𝐴𝐵(cid:10)1cm(cid:71)
【题型7 利用角平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:50)7(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:202)(cid:215)(cid:316)(cid:143)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =7(cid:65) =6(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
(cid:139) (cid:65) =2(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:51) (cid:62) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
𝐸 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:71)13 B(cid:71)19 C(cid:71)20 D(cid:71)26
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:35)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:35)(cid:29)(cid:170)(cid:138)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:317)(cid:49)(cid:175)(cid:106)(cid:110)(cid:83)
(cid:72)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:244) (cid:106)(cid:46) (cid:139) (cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:80) = =2(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:90)(cid:65)(cid:42)(cid:43)
𝐷 =𝐷𝐹⊥𝐴𝐵+ 𝐹 (cid:81)(cid:295)(cid:130)(cid:131)(cid:84)(cid:85)(cid:71) 𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)𝑆△(cid:86)𝐴𝐵(cid:83)𝐶 (cid:19)𝑆(cid:83)△𝐴(cid:10)𝐵𝐷(cid:63)(cid:64)𝑆(cid:65)△𝐴(cid:244)𝐶𝐷 (cid:106)(cid:46) (cid:139) (cid:65)
𝐷 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65) (cid:65)
= =2(cid:65) ∵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐷𝐹⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝐹 𝐷𝐸= + (cid:65)
∴ = 𝑆1 △ × 𝐴𝐵 7 𝐶 ×2 𝑆 + △𝐴 1 𝐵𝐷 ×6× 𝑆△ 2 𝐴 (cid:65) 𝐶𝐷
2 2
=13(cid:71)
(cid:87)(cid:88)(cid:10)A(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)7-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65)(cid:318)(cid:174)(cid:55)(cid:319)(cid:320)(cid:46)(cid:64)(cid:10) (cid:174)
(cid:106)A(cid:70)(cid:321)(cid:322)(cid:65)(cid:174)(cid:189)(cid:139) (cid:33)(cid:70)(cid:323)(cid:324)(cid:46)(cid:325)(cid:65)(cid:27)(cid:124)(cid:137) (cid:65) (cid:139)(cid:106)
△
M(cid:65)
𝐴𝐵
N
𝐶
(cid:114) (cid:27)
∠𝐶
(cid:124)(cid:174)M(cid:65)N(cid:70)(cid:321)(cid:322)(cid:65)(cid:174)(cid:188)(cid:139)
1①
(cid:29)
2
(cid:33)(cid:70)(cid:323)(cid:324)(cid:46)(cid:325)(cid:65)(cid:66) 𝐴𝐶(cid:176)(cid:170)(cid:325)(cid:137)(cid:139)(cid:106)O(cid:114) (cid:46)𝐴(cid:326)𝐶(cid:28)𝐴𝐵(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)D②(cid:71)(cid:67) (cid:29)(cid:33)(cid:70)3(cid:65) =8(cid:65)(cid:68) 𝑀𝑁
(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) ∠𝐵(cid:71)𝐴𝐶 ③ 𝐴𝑂 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)12
+
A
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:327)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:65) (cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)科(cid:106)A(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:46)(cid:64)(cid:85)(cid:79) (cid:70) (cid:29)
全
★
号
众
(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:79) = =3(cid:65)公(cid:112)(cid:42)(cid:43)𝐷(cid:97)(cid:35)𝐷(cid:98)𝐸⊥(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵(cid:130)(cid:131)(cid:7)𝐸(cid:90)(cid:32)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:71) 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐵
注
关
，
源
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:244)(cid:106) (cid:46) 辅 资(cid:139)(cid:106) 𝐶(cid:65)𝐷 𝐷𝐸
教
𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
(cid:22)(cid:23)(cid:46)(cid:64)(cid:85)(cid:49) (cid:70) (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
= 𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐵
∵∠𝐶 =90°,=𝐷𝐸3(cid:65)⊥𝐴𝐵
∴𝐶𝐷=𝐷8(cid:65)𝐸
∵𝐴𝐵 = 1 = 1 ×3×8=12(cid:65)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10)12
(cid:15)(cid:89)(cid:90)7-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:115)(cid:187)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) =2(cid:65) =3(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:26)(cid:27)
3 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:28)(cid:65)(cid:63)(cid:252) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) (cid:65)(cid:328)(cid:329) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:70) (cid:71)
2
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐵𝐶9
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19) /0.9
10
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:244)(cid:106)D(cid:27)(cid:124)(cid:46) (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:28)(cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:70)E(cid:140)F(cid:65)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
2 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:31)(cid:85)(cid:79) = (cid:65)(cid:68)(cid:85)(cid:40)(cid:41) = = (cid:65)(cid:23)(cid:75)(cid:32)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:71)
3
𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:86)(cid:83) 𝐷 (cid:19) 𝐸 (cid:83)(cid:10) 𝐷 (cid:63) 𝐹 (cid:64)(cid:164)(cid:222)(cid:65)(cid:244) 𝑆 (cid:106) △𝐶𝐵 D 𝐷 (cid:27)(cid:124)𝐵𝐶(cid:46) (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:28)(cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:70)E(cid:140)F(cid:65)
𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:110) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) (cid:65) (cid:65)
∵𝐵𝐷=∠𝐴𝐵(cid:65)𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 1 2 = = 2 (cid:65) A A +
1 3 科
𝑆△𝐴𝐵𝐷 2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸 𝐴𝐵 ★ 全
号
∵𝑆△𝐶𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 3 ⋅𝐷𝐹 𝐵𝐶 = 9 (cid:65) 注 公 众
3 2 10 ， 关
源
资
∴𝑆△𝐶𝐵𝐷 + 9 𝑆△𝐴𝐵𝐶 教 辅
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:114) (cid:71)
10
(cid:15)(cid:89)(cid:90)7-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:108)(cid:330)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:65)(cid:196) = (cid:65) = (cid:65)
(cid:70) (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)E(cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106)F(cid:65)(cid:67)△𝐴𝐵𝐶(cid:29)(cid:36)𝐴(cid:37)𝐷(cid:70)⊥7𝐵(cid:65)𝐶(cid:68)(cid:64)𝐶(cid:61)𝐷(cid:206)(cid:207)2(cid:208)𝐵𝐷(cid:27)(cid:92)4𝐵(cid:138)𝐶(cid:98) 3𝐴𝐶 (cid:29)𝐶(cid:36)𝐹
(cid:37)(cid:70)∠𝐴 𝐶 𝐵 (cid:71) 𝐴𝐷 𝐴𝐵 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐷𝐸𝐹
13
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:36)(cid:37)(cid:130)(cid:131)(cid:65)(cid:233) = (cid:65)(cid:68)(cid:160) = (cid:65) = (cid:65)(cid:244)(cid:106)E
(cid:46) (cid:139)(cid:106)G(cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:23) (cid:85)(cid:79) 𝐵𝐷 =7(cid:65) 𝑎 (cid:184)(cid:185)(cid:85) 𝐵 (cid:79) 𝐶 3𝑎 = 𝐴1𝐶 4𝑎 =14(cid:65)
2
𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐸𝐺 𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸⋅𝑎 𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐶⋅𝐸𝐺3 63
(cid:68) = + =21(cid:65)(cid:22)(cid:23) = = (cid:65)(cid:79)(cid:80) = (cid:114)(cid:331)(cid:177)(cid:85)(cid:79) = (cid:65)(cid:85)(cid:40)(cid:41) =
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐵𝐶
= 𝑆 3 △ (cid:65) 𝐴𝐷 (cid:68) 𝐶 𝑆△𝐴𝐶 = 𝐸 3 𝑆△𝐶𝐷𝐸 = 27 (cid:65)(cid:84)(cid:85)(cid:79) 𝑆 (cid:80) △𝐴𝐷𝐶 𝐶 = 𝐷 𝑆△𝐴 = 𝐵𝐶 13 (cid:71) 𝐹𝑀 𝐹𝑁 𝐴𝐹 𝐴𝐶
4 7 2 阴影 2
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)𝑆(cid:83) △𝐵 (cid:10) 𝐶𝐹 (cid:233) 𝑆△ = 𝐴𝐵𝐶 (cid:65)(cid:68) = (cid:65) 𝑆 𝑆△𝐵𝐶𝐹−𝑆△𝐶𝐷𝐸
= (cid:65) 𝐵𝐷 𝑎 𝐶𝐷 2𝑎
∴𝐵𝐶 =3𝑎 (cid:65)
∵4𝐵𝐶= 3(cid:65)𝐴𝐶
∴(cid:244)𝐴(cid:106)𝐶 E4(cid:46)𝑎 (cid:139)(cid:106)G(cid:65)(cid:244)(cid:106)F(cid:27)(cid:124)(cid:46) (cid:65) (cid:29)(cid:24)(cid:28)(cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:27)(cid:124)(cid:70)M(cid:140)N(cid:65)
𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶
+
A
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65) 科 A
全
★
号
众
∵𝐶𝐹 = ∠𝐴(cid:65)𝐶𝐵 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 公
注
关
，
源
∴𝐸𝐷 𝐸 = 𝐺1 =教 1 辅 资 =7(cid:65)
2 2
∵𝑆△𝐶𝐷𝐸 𝐷𝐸⋅𝐷𝐶 𝐷𝐸⋅2𝑎
=7(cid:65)
∴𝐷𝐸⋅𝑎 = 1 = 1 = =14(cid:65)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝐴𝐶⋅𝐸𝐺 𝐷𝐸⋅4𝑎 𝐷𝐸⋅2𝑎
= + =21(cid:65)
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝑆△𝐴𝐶3𝐸 𝑆△𝐶𝐷𝐸
= = (cid:65)
2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶
∵𝑆△𝐴𝐷𝐶 𝐶𝐷
63
= (cid:114)
2
∴(cid:331)𝑆(cid:177) △𝐴 (cid:85) 𝐵𝐶 (cid:79) = (cid:65)
1
𝐹𝑀 𝐹𝑁
= =2 (cid:65)
1
𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝐵𝐹 2𝐵𝐶⋅𝐹𝑀
∵𝑆△𝐴𝐶𝐹 𝐴𝐹 3 𝐴𝐶⋅𝐹𝑁
= = (cid:65)
4
𝐵𝐹 𝐵𝐶
∴𝐴𝐹 𝐴𝐶
= 3 = 3 (cid:65)
3 4 7
∴𝐵𝐹 + 𝐴𝐵 𝐴𝐵
= 3 = 27 (cid:65)
7 2
∴𝑆△𝐵𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶13
= = (cid:65)
阴影 2
∴𝑆 𝑆△𝐵𝐶𝐹−𝑆△𝐶𝐷𝐸
13
(cid:87)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:10) (cid:71)
2
【题型8 利用角平分线的性质求角度】
(cid:15)(cid:50)8(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:56)(cid:57)(cid:56)(cid:143)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:70)Rt (cid:332)(cid:138) (cid:115)(cid:29)(cid:246)(cid:65) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)
(cid:124)(cid:137) (cid:140) (cid:139) (cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:70)(cid:106) (cid:71) 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵 𝐺
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71) 源 ，
资
辅
教
(2)(cid:67) =𝐶𝐸20°(cid:65)𝐹(cid:32)𝐺 (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)∠𝐵(cid:19)(1)(cid:180)(cid:83)(cid:74)∠𝐴𝐹𝐺
(2)55°
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:140)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:151)(cid:152)(cid:283)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:35)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:140)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:151)(cid:152)(cid:283)(cid:25)(cid:35)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:114)
(cid:51)1(cid:62)(cid:129)(cid:20)(cid:158)(cid:314)(cid:79) = (cid:65) = (cid:65)(cid:68)(cid:160) + = + =90°(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:85)(cid:79)
= =𝐶𝐹 𝐹(cid:65)𝐺(cid:81)(cid:82)∠𝐶(cid:218)𝐴𝐹(cid:20)(cid:85)∠(cid:32)𝐵(cid:40)𝐴𝐹(cid:114) ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐶
(cid:51) ∠𝐴 2 𝐸 (cid:62) 𝐷 (cid:129)(cid:51) ∠ 1 𝐴 (cid:62) 𝐹𝐶 (cid:85)(cid:79) ∠𝐶𝐸𝐹 = 1 =35°(cid:65)(cid:68)(cid:160) = =55°(cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:85)(cid:79) (cid:65)(cid:81)(cid:82)(cid:22)(cid:23)(cid:26)
2
∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐸𝐷 90°−∠𝐵𝐴𝐹 𝐶𝐷∥𝐹𝐺
(cid:295)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:81)(cid:295)(cid:32)(cid:83)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:51)1(cid:62)(cid:40)(cid:41)(cid:10) =90°(cid:65) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:137) (cid:140) (cid:139) (cid:65)
= (cid:65) = ∵∠𝐴𝐶(cid:65)𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸,𝐹,𝐹𝐺⊥𝐴𝐵
∴𝐶𝐹 𝐹𝐺(cid:65)∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐹
∵𝐶𝐷⊥𝐴+𝐵 = + =90°(cid:65)
∴∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐶= = (cid:65)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠=𝐴𝐹𝐶(cid:114) ∠𝐶𝐸𝐹
∴(cid:51)𝐶2𝐸(cid:62)(cid:83)𝐶(cid:10)𝐹 𝐹𝐺=20°(cid:65)
= ∵∠𝐵 =70°(cid:65)
∴∠𝐵𝐴𝐶
=
910°−∠𝐵
=35°(cid:65)
2
∴∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶
= =55°(cid:65)
∴∠𝐴𝐸𝐷 90°−∠𝐵𝐴(cid:65)𝐹
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵(cid:65),𝐹𝐺⊥𝐴𝐵
∴𝐶𝐷∥𝐹𝐺= =55°(cid:71)
∴(cid:15)∠(cid:89)𝐴𝐹(cid:90)𝐺8-1∠(cid:19)𝐴(cid:51)𝐸𝐷22-23(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:210)(cid:59)(cid:210)(cid:135)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:139)E(cid:65) (cid:139)F(cid:65) = (cid:65)
=25°(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:110) (cid:71) 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)130°
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:122)(cid:78)(cid:45)(cid:63)(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:64)(cid:63)(cid:19)(cid:30)(cid:65)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)(cid:11)(cid:45)(cid:63)(cid:19)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:123)(cid:124)(cid:25)(cid:88)(cid:125)(cid:14)(cid:15)(cid:3)(cid:4)(cid:49)(cid:126)(cid:127)(cid:65)(cid:86)(cid:116)(cid:63)(cid:128)
360(cid:129)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:40)(cid:133)(cid:134)(cid:119)(cid:72)(cid:25)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:140)(cid:141)(cid:45)(cid:63)(cid:19)(cid:116)(cid:117)(cid:64)(cid:63)(cid:19)(cid:30)(cid:65)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)(cid:11)(cid:45)(cid:63)(cid:19)
(cid:23)(cid:24)(cid:8)(cid:28)(cid:70)(cid:123)(cid:136)(cid:19)(cid:142)(cid:143)(cid:25)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:123)(cid:5) (cid:20) (cid:20) = (cid:20)
(cid:11) (cid:45) ∵(cid:19)𝐷(cid:23)𝐸(cid:24)⊥(cid:8)𝑂𝐴(cid:28)(cid:20)𝐷𝐹⊥𝑂𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐹
∴ 𝐷 =∠𝐴𝑂𝐵 =25°(cid:25)
∴∠𝐴𝑂𝐷=5∠0𝐵°𝑂𝐷
∴∠𝐵𝑂𝐴 =130°
∴(cid:144)3(cid:124)60(cid:145)°−(cid:50)90(cid:5)°−13900°°−50°
(cid:15)(cid:89)(cid:90)8-2(cid:19)(cid:51)23-24(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:116)(cid:117)(cid:243)(cid:135)·(cid:120)(cid:47)(cid:121)(cid:122)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:96) (cid:99)(cid:100)(cid:102) (cid:104)(cid:333)(cid:65)(cid:106)A(cid:334)(cid:66)(cid:106) (cid:335)(cid:65)(cid:336)
′
(cid:337)(cid:338)(cid:245) (cid:26)(cid:27) (cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:67) =125°(cid:65)(cid:68) (cid:34)(cid:169)△(cid:70)𝐴 𝐵 𝐶 (cid:71) 𝐷𝐸 𝐴
′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶,𝐴 𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠1 ∠2(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)70°/70(cid:34)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:103)(cid:104)(cid:89)(cid:221)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:152)(cid:177)(cid:283)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)
(cid:125)(cid:49)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:101)(cid:161)(cid:153)(cid:35)(cid:149)(cid:139)(cid:107)(cid:339)(cid:291)(cid:197)(cid:340)(cid:29)(cid:170)(cid:161)(cid:176)(cid:35)(cid:29)(cid:123)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:176)(cid:35)(cid:123)(cid:149)(cid:139)180°(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:144)(cid:145)
(cid:65)(cid:244) (cid:46) (cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:79)(cid:80) (cid:26)(cid:27) (cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:283)𝐴(cid:97)
′ ′ ′ ′ ′ ′
𝐴(cid:35)(cid:98)(cid:176)𝐴(cid:35)(cid:123)𝐴(cid:152)𝑀(cid:177)(cid:79)⊥𝐴(cid:182)𝐵(cid:197),𝐴(cid:226)𝑁(cid:35)⊥(cid:34)𝐵𝐶(cid:65),𝐴(cid:81)𝑃(cid:82)⊥(cid:32)𝐴(cid:79)𝐶 =70°(cid:114)(cid:112)(cid:22)(cid:23)(cid:104)(cid:333)(cid:85)𝐴𝐴(cid:49)(cid:65)(cid:79)∠(cid:182)𝐵𝐴𝐶= (cid:65)(cid:129)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:30)
′
(cid:31)(cid:79)(cid:182) = = (cid:65)(cid:38)(cid:185)(cid:42)∠(cid:43)𝐵𝐴(cid:153)𝐶(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:80)(cid:72)(cid:73)(cid:71) 𝐷𝐴 𝐷𝐴
′ ′
(cid:15)(cid:86)(cid:83)∠(cid:19)𝐷(cid:83)𝐴𝐴(cid:10)(cid:144)(cid:145)∠𝐷𝐴 𝐴(cid:65)(cid:244)∠𝐶(cid:46)𝐴𝐴′ (cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:164)(cid:222)(cid:10)
′ ′ ′ ′ ′
𝐴𝐴 𝐴 𝐴 𝑀⊥𝐴𝐵,𝐴 𝑁⊥𝐵𝐶,𝐴 𝑃⊥𝐴𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
′ ′
∵𝐴 𝐵 = ∠𝐴𝐵=𝐶 𝐴 𝐶(cid:65) ∠𝐴𝐶𝐵
′ ′ ′
∴𝐴 𝑀(cid:26)(cid:27)𝐴 𝑁 (cid:65)𝐴 𝑃
′
∴𝐴𝐴 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:65)
∴∠𝐷𝐴(cid:26)𝐴′(cid:27) ∠𝐸𝐴𝐴(cid:65)′ (cid:26)(cid:27) (cid:65)
′ ′
∵𝐴 𝐵
=
∠1𝐴𝐵𝐶
(cid:65)
𝐴 𝐶 ∠
=
𝐴𝐶1𝐵
(cid:65)
2 2
′ ′
∴∠𝐴 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
=125°(cid:65)
∵ ∠1 + = = =55°(cid:65)
′ ′
∴ ∠𝐴 𝐵+𝐶 ∠𝐴=𝐶𝐵2( 180°+−∠1 1)8=0°1−1102°(cid:65)5°
′ ′
∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵 ∠=𝐴7𝐵0𝐶°(cid:65)∠𝐴 𝐶𝐵
∴(cid:96)∠𝐵𝐴𝐶 1(cid:99)80(cid:100)°−(cid:102)110°(cid:104)(cid:333)(cid:65)(cid:106)A(cid:334)(cid:66)(cid:106) (cid:335)(cid:65)
′
∵ △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴= (cid:65)
∴𝐷𝐴 𝐷=𝐴′ (cid:65)
∴∠𝐷𝐴𝐴′ =∠𝐷𝐴′𝐴 (cid:65)
∵∠𝐷𝐴𝐴′= ∠𝐶𝐴𝐴′= (cid:65)
∴∠𝐷𝐴(cid:110)𝐴′ ∠𝐷𝐴′(cid:29)𝐴(cid:101)(cid:161)∠𝐶(cid:153)𝐴(cid:35)𝐴′(cid:65)
′
∵∠2= △𝐴 𝐷𝐴+ = + = =70°(cid:65)
∴(cid:87)∠(cid:72)2(cid:73)(cid:70)∠𝐷(cid:10)𝐴7′𝐴0°(cid:71)∠𝐷𝐴𝐴′ ∠𝐷𝐴𝐴′ ∠𝐶𝐴𝐴′ ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:90)8-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:91)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:166)(cid:59)(cid:341)(cid:342)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:29)(cid:153)(cid:35) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:107)(cid:176)(cid:35) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:137)(cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:67) =54°(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:110) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)36°
+
A
A
科
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:226)(cid:43)(cid:65)(cid:194)全(cid:33) (cid:65)(cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:46)
★
号
众
公
注
(cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:184)(cid:185)(cid:40)(cid:41) (cid:110)关 (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:81)(cid:82)(cid:85)(cid:79) 𝐵𝐴 (cid:29)(cid:34)(cid:169)𝐸(cid:65)(cid:112)𝐸𝐹(cid:32)⊥(cid:182)𝐵𝐷 (cid:29)𝐹(cid:34)(cid:169)(cid:65)𝐸𝐺⊥𝐴𝐶
，
源
资
辅
(cid:183)(cid:82)(cid:85)𝐺 (cid:79)(cid:72)𝐸(cid:73)𝐻(cid:65)⊥(cid:3)𝐵𝐴(cid:128)(cid:110)教(cid:126)𝐻(cid:127)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝐴𝐸(cid:30)(cid:31)∠(cid:71)𝐶𝐴𝐻 ∠𝐶𝐴𝐻 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:194)(cid:33) (cid:65)(cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)
𝐵𝐴 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐵𝐷 𝐹 𝐸𝐺⊥𝐴𝐶 𝐺 𝐸𝐻⊥𝐵𝐴 𝐻
(cid:29)(cid:153)(cid:35) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:107)(cid:176)(cid:35) (cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:137)(cid:139)(cid:106) (cid:65)
∵△𝐴𝐵=𝐶 (cid:65) ∠𝐴=𝐶𝐷 (cid:65) 𝐶𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐸
∴𝐸𝐻=𝐸𝐹(cid:65)𝐸𝐺 𝐸𝐹
∴𝐸𝐻(cid:110) 𝐸𝐺 (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
∴𝐴𝐸 ∠=𝐶5𝐴4𝐻°(cid:65)
∵∠𝐶𝐴𝐸 = =108°(cid:65)
∴∠𝐶𝐴𝐻 2∠𝐶𝐴𝐸= =72°(cid:65)
∴∠𝐵𝐴(cid:26)𝐶(cid:27)180°−(cid:65)∠𝐶𝐴(cid:26)𝐻(cid:27) (cid:65)
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 𝐶(cid:65)𝐸 ∠𝐴=𝐶𝐷 (cid:65)
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐸𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶(cid:65) 2∠𝐸𝐵=𝐶 + (cid:65)
∵∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵𝐸𝐶 =∠7𝐸2𝐵°𝐶(cid:65) ∠𝐴𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶=326∠°𝐵(cid:114)𝐸𝐶
(cid:87)∴(cid:72)∠𝐵(cid:73)𝐸𝐶(cid:70)(cid:10)36°(cid:71)
【题型9 利用角平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:50)9(cid:19)(cid:51)24-25(cid:343)(cid:53)(cid:54)(cid:55)·(cid:344)(cid:345)(cid:116)(cid:346)(cid:347)(cid:348)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)Rt (cid:61)(cid:65) =90°(cid:65)(cid:106)D(cid:66) (cid:138)(cid:115)(cid:65)(cid:144)(cid:145)
(cid:65)(cid:244)(cid:106)D(cid:46) (cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65) = (cid:65)(cid:106)P(cid:70)(cid:28)(cid:47) △(cid:115)𝐴(cid:101)𝐵𝐶(cid:211)(cid:106)(cid:65)∠𝐶(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:67) =𝐴6𝐶(cid:65)(cid:68)(cid:28)(cid:47) (cid:29)
𝐵(cid:38)𝐷(cid:189)(cid:39)(cid:110) 𝐷(cid:71)𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝐶𝐷 𝐷𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)6 教
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:129)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:79)(cid:65)(cid:159) (cid:162)(cid:65)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:39)(cid:38)(cid:189)(cid:65)(cid:129)(cid:149)(cid:138)(cid:203)(cid:149)(cid:35)(cid:79) = (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:295)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79) = (cid:65)(cid:68)𝐷𝑃(cid:26)⊥(cid:27)𝐴𝐵 (cid:65)(cid:22)𝐷(cid:23)𝑃(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:71)∠𝐵𝐷𝐸 ∠𝐷𝐵𝐸
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)∠(cid:83)𝐵(cid:10)𝐷(cid:129)𝐸 (cid:24)∠(cid:28)𝐷(cid:47)𝐵(cid:38)𝐶(cid:212)(cid:79)(cid:65)𝐵𝐷(cid:159) ∠𝐴𝐵𝐶(cid:162)(cid:65)(cid:28)(cid:47) (cid:29)(cid:39)(cid:38)(cid:189)(cid:65)
= (cid:65) 𝐷𝑃⊥𝐴𝐵 𝐷𝑃
∵𝐷𝐸 𝐵𝐸= (cid:65)
∴∠𝐵𝐷𝐸 (cid:65)∠𝐷𝐵𝐸
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶= (cid:65)
∴∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐷𝐵𝐶(cid:65)(cid:84) (cid:26)(cid:27) (cid:65)
∴∠𝐷𝐵=𝐸90°∠(cid:65)𝐷(cid:159)𝐵𝐶 𝐵𝐷(cid:162)(cid:65)(cid:28)∠𝐴(cid:47)𝐵𝐶 (cid:29)(cid:39)(cid:38)(cid:189)(cid:65)
∵(cid:28)∠𝐶(cid:47) (cid:29)(cid:38)(cid:189)𝐷(cid:39)𝑃(cid:110)⊥(cid:10)𝐴𝐵 = =𝐷𝑃6(cid:65)
∴(cid:87)(cid:72)(cid:73)𝐷(cid:70)𝑃(cid:10)6(cid:71) 𝐷𝑃 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:106)(cid:241)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:26)(cid:295)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:121)(cid:126)(cid:127)(cid:26)(cid:295)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:174)(cid:283)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:65)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:15)(cid:89)(cid:90)9-1(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:349)(cid:350)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:174) (cid:29)(cid:351)(cid:106)O(cid:70)(cid:321)(cid:322)(cid:65)(cid:352)(cid:159)(cid:33)(cid:70)(cid:323)(cid:324)(cid:353)(cid:325)(cid:65)(cid:27)(cid:124)(cid:137)
(cid:65) (cid:139)(cid:106) (cid:65) (cid:65)(cid:112)(cid:27)(cid:124)(cid:174)(cid:106)M(cid:123)(cid:106)N(cid:70)(cid:321)(cid:322)(cid:65)(cid:188)
∠𝐴
(cid:139)
𝑂1𝐵
(cid:33)(cid:70)(cid:323)(cid:324)(cid:353)(cid:325)(cid:51)(cid:325)(cid:164)(cid:66)(cid:321)(cid:29)(cid:323)(cid:324)(cid:95)(cid:197)(cid:149)(cid:62)(cid:65)(cid:170)
2
𝑂(cid:325)𝐴(cid:137)(cid:139)𝑂𝐵(cid:106)P(cid:71)𝑀(cid:353)(cid:326)𝑁(cid:28) (cid:65)(cid:46) (cid:139)(cid:106)C(cid:65)(cid:196) =2(cid:65) 𝑀(cid:110)𝑁(cid:326)(cid:28) (cid:115)(cid:101)(cid:161)(cid:211)(cid:106)(cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70)
𝑂𝑃 𝑃𝐶⊥𝑂𝐴 𝑃𝐶 𝑄 𝑂𝐵 𝑃𝑄
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)2
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:129)(cid:46)(cid:230)(cid:79) (cid:110) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)(cid:129)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)(cid:212)(cid:79)
(cid:162)(cid:65) (cid:29)(cid:39)(cid:38)(cid:189)(cid:65)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:114)(cid:126)(cid:127)(cid:24)(cid:28)(cid:47)(cid:38)𝑂(cid:212)𝑃(cid:65)∠(cid:35)𝐴(cid:26)𝑂𝐵(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71) 𝑃𝑄⊥𝑂𝐵
(cid:15)(cid:86)𝑃(cid:83)𝑄(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:129)(cid:46)(cid:230)(cid:79)(cid:10) (cid:110) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)
(cid:159) (cid:162)(cid:65) (cid:29)(cid:39)(cid:38)𝑂(cid:189)𝑃(cid:65)∠𝐴𝑂𝐵
+
A
𝑃𝑄⊥𝑂𝐵(cid:65) 𝑃𝑄 科 A
全
★
号
众
∵𝑃𝐶⊥=𝑂𝐴 =2(cid:65) 公
注
关
，
源
∴𝑃 𝑄 (cid:29)𝑃(cid:38)𝐶(cid:189)(cid:39)(cid:70)2(cid:65) 辅 资
教
(cid:87)∴(cid:72)𝑃(cid:73)𝑄(cid:10)2(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)9-2(cid:19)(cid:51)22-23(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:354)(cid:167)(cid:167)(cid:292)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:66) (cid:61)(cid:65)(cid:48)(cid:49) =6(cid:65) (cid:138)(cid:115)(cid:29)(cid:246) =4(cid:65) (cid:170)
(cid:161)(cid:176)(cid:35)(cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:197)(cid:137)(cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:244) (cid:46) (cid:139)(cid:106)△(cid:65)𝐴𝐵(cid:68)𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:188)𝐵(cid:39)𝐶(cid:110) 𝐵(cid:71)𝐶 ℎ △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)2 𝑂 𝑂 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝑂𝐷
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:355)(cid:306)(cid:148)(cid:22)(cid:23)(cid:278)(cid:356)(cid:353)(cid:182)(cid:357)(cid:64)(cid:65)(cid:63)(cid:64)(cid:164)(cid:222)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:278)(cid:356)(cid:85)(cid:49)(cid:10)(cid:106) (cid:70) (cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)(cid:68) (cid:70)(cid:80)
(cid:358)(cid:138)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:80)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:97)(cid:278)(cid:138)(cid:29)(cid:200)(cid:201)𝑂(cid:197)(cid:149)△(cid:71)𝐴(cid:85)𝐵(cid:79)𝐶 (cid:65) (cid:65) 𝑂𝐷 (cid:29)
(cid:246)△(cid:95)𝐴𝐵(cid:110)𝐶 (cid:65)(cid:68) = + + (cid:65)(cid:38)(cid:185)(cid:22)(cid:23)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:97)(cid:138)(cid:3)(cid:242)(cid:84)(cid:85)△(cid:79)(cid:182)𝑂𝐴(cid:71)𝐵 △𝑂𝐵𝐶 △𝑂𝐴𝐶
(cid:15)(cid:86)(cid:83)𝑂(cid:19)𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐶 𝑆△𝑂𝐵𝐶 𝑆△𝑂𝐴𝐵
(cid:83)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:10) (cid:106) (cid:70) (cid:170)(cid:161)(cid:176)(cid:35)(cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:106)(cid:65)
(cid:70)(cid:106) ∵(cid:80) 𝑂 △(cid:97)𝐴𝐵(cid:138)𝐶(cid:29)(cid:200)(cid:201) 𝑂𝐷⊥𝐵𝐶
∴ 𝑂𝐷 𝑂 △𝐴𝐵𝐶(cid:233) =
(cid:68) 𝑂𝐷 𝑟 = 1 × × = 1 ×( + + )×
2 2
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 ℎ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑟
(cid:220)(cid:359)(cid:169)(cid:23)(cid:79)(cid:10) = 24
6
𝑟 𝐴𝐵+𝐴𝐶+
+ >
∵ 𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐵6𝐶
∴ 𝐴𝐵 24𝐴𝐶
< =2
6 6
∴ 𝑟 (cid:29)+(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:70)2
(cid:87)∴(cid:72)𝑂(cid:73)𝐷(cid:70)2
(cid:15)(cid:106)(cid:241)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:140)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:97)(cid:138)(cid:3)(cid:242)(cid:140)(cid:149)(cid:37)(cid:230)(cid:32)(cid:28)(cid:47)(cid:33)(cid:34)(cid:149)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:125)(cid:121)(cid:240)(cid:43)(cid:110)(cid:83)(cid:360)(cid:111)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)
(cid:15)(cid:89)(cid:90)9-3(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:292)(cid:293)(cid:361)(cid:135)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66) (cid:61)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:106) (cid:65) (cid:27)
(cid:124)(cid:110) (cid:123) (cid:115)(cid:29)(cid:211)(cid:106)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷 𝑀 𝑁
+
A
𝐴𝐷 𝐴𝐵 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:51)1(cid:62)(cid:67) =60 (cid:65) =40 (cid:65)(cid:68) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:70) (cid:114)
∘ ∘
(cid:51)2(cid:62)(cid:67)∠𝐵𝐴𝐶 =12(cid:65) ∠𝐶=8(cid:65)(cid:68) ∠+𝐴𝐷𝐵(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:70) (cid:71)
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)𝑆 △ 𝐴 𝐵𝐶 70°/70(cid:34)𝐴𝐶 3 𝐵𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:51)1(cid:62)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:190)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:114)
(cid:51)2(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:68) = =90 (cid:65)(cid:85)(cid:40)
′ ′ ′ ∘ ′
(ASA)(cid:65)(cid:79)(cid:80) =𝐵 𝐵(cid:65)𝐵 ⊥𝐴=𝐷 (cid:65)𝐺(cid:84)(cid:106)𝐴𝐶(cid:107)(cid:106)𝐵(cid:3)(cid:139) ∠𝐴(cid:203)𝐺(cid:204)𝐵 (cid:65)∠(cid:244)𝐴(cid:106)𝐺𝐵 (cid:46) (cid:139)△(cid:106)𝐴𝐵(cid:65)𝐺(cid:137)≌△𝐴(cid:139)𝐵(cid:106)𝐺 (cid:65)
′ ′ ′ ′ ′
(cid:129)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:29)(cid:30)𝐵(cid:31)𝐺(cid:85)(cid:49)𝐵(cid:65)𝐺(cid:106)𝐴𝐵(cid:84)(cid:70)𝐴(cid:362)𝐵 + 𝐵 (cid:38)(cid:189)𝐵(cid:29)(cid:106)(cid:65)𝐴𝐷 = + 𝐵 (cid:65)𝐵(cid:244)𝑁(cid:106)⊥𝐴(cid:46)𝐵 𝑁 (cid:139)(cid:106)𝐴𝐷(cid:65)(cid:129)𝑀(cid:97)(cid:35)
′
(cid:98)(cid:36)(cid:37)(cid:79)(cid:80) =3(cid:65)(cid:141)(cid:363)𝑀(cid:70) 𝐵𝑀(cid:110)(cid:149)𝑀(cid:150)𝑁(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:65)(cid:79)(cid:80)𝐵 𝑁 =𝐵𝑀 =𝑀3𝑁(cid:65)(cid:84) 𝐵+ 𝐵𝐸(cid:29)⊥(cid:38)𝐴𝐶(cid:189)(cid:39)(cid:110)𝐸3(cid:65)(cid:129)(cid:75)
′ ′
(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:83)(cid:71)𝐵𝐸 △𝐴𝐵𝐵 𝐵 𝑁 𝐵𝐸 𝐵𝑀 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10)(cid:51)1(cid:62) (cid:26)(cid:27) (cid:65) =60 (cid:65)
∘
= 1 = ∵1𝐴 × 𝐷 60 = ∠𝐵 30 𝐴𝐶 (cid:65) ∠𝐵𝐴𝐶
2 2
∘ ∘
∴∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶= + (cid:65) =40 (cid:65)
∘
∵∠𝐴𝐷𝐵=∠30𝐶𝐴+𝐷40∠𝐶=7∠0𝐶(cid:71)
∘ ∘ ∘
(cid:51)∴∠2𝐴(cid:62)𝐷(cid:63)𝐵 (cid:64)(cid:65)(cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:68) = =90 (cid:65)
′ ′ ′ ∘
𝐵 𝐵𝐵 ⊥𝐴𝐷 𝐺 𝐴𝐶 𝐵 ∠𝐴𝐺𝐵 ∠𝐴𝐺𝐵
(cid:26)(cid:27) (cid:65)
∵𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:65)
′
∴∠𝐵𝐴=𝐺 (cid:65)∠𝐵 𝐴𝐺
∵𝐴𝐺 𝐴𝐺 (ASA)(cid:65)
′
∴△𝐴=𝐵𝐺≌△(cid:65)𝐴𝐵 =𝐺 (cid:65)(cid:84)(cid:106) (cid:107)(cid:106) (cid:3)(cid:139) (cid:203)(cid:204)(cid:65)(cid:244)(cid:106) (cid:46) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:137) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:129)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:29)
+
A
′ ′ ′ ′ ′ 科 A
∴(cid:30)𝐵(cid:31)𝐺(cid:85)(cid:49)𝐵(cid:65)𝐺(cid:106)𝐴𝐵(cid:84)(cid:70)𝐴(cid:362)𝐵 + 𝐵 (cid:38)(cid:189)𝐵(cid:29)(cid:106)(cid:65)𝐴𝐷 = + 𝐵 (cid:65)𝐵(cid:244) ★𝑁(cid:106)⊥全𝐴(cid:46)𝐵 𝑁 (cid:139)(cid:106)𝐴𝐷(cid:65) 𝑀
号
众
′ 公
注
=12(cid:65)𝑀 =8(cid:65)𝐵𝑀 𝑀𝑁 关𝐵 𝑁 𝐵𝑀 𝑀𝑁 𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸
，
源
资
辅
∵𝑆1 △
×
𝐴
8
𝐵𝐶
=1
𝐴
2(cid:65)
𝐶 教
2
∴ ⋅𝐵𝐸
(cid:83)(cid:79)(cid:65) =3(cid:65)
=𝐵𝐸 (cid:65)
′
∵𝐴𝐵 𝐴𝐵(cid:110)(cid:149)(cid:150)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:65)
′
∴△𝐴𝐵=𝐵 =3(cid:65)(cid:84) + (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:110)3(cid:114)
′
∴(cid:87)𝐵(cid:72)𝑁(cid:73)(cid:70)𝐵(cid:10)𝐸 70°(cid:114)𝐵𝑀3(cid:71)𝑀𝑁
(cid:15)(cid:106)(cid:241)(cid:19)(cid:111)①(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)②(cid:77)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:190)(cid:283)(cid:30)(cid:31)(cid:152)(cid:177)(cid:65)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:153)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:150)
(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:123)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:205)(cid:203)(cid:204)(cid:32)(cid:38)(cid:212)(cid:224)(cid:324)(cid:29)(cid:130)(cid:131)(cid:149)(cid:49)(cid:175)(cid:29)(cid:163)(cid:109)(cid:65)(cid:126)(cid:127)(cid:174)(cid:115)(cid:49)(cid:175)(cid:65)(cid:169)(cid:98)(cid:113)(cid:109)(cid:27)(cid:74)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:128)(cid:71)
【题型10 利用角平分线的性质证明】
(cid:15)(cid:50)10(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:292)(cid:293)(cid:109)(cid:364)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:110) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)C(cid:110) (cid:115)(cid:101)(cid:106)(cid:65) (cid:65)
(cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:27)(cid:124)(cid:70)D(cid:65)E(cid:65)(cid:106)F(cid:110) (cid:115)(cid:29)(cid:365)(cid:101)(cid:106)𝑂(cid:65)𝑀(cid:144)(cid:145)∠𝐴𝑂𝐵(cid:65) (cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10) 𝑂𝑀= (cid:71)𝐶𝐷⊥𝑂𝐴
𝐶𝐸⊥𝑂𝐵 𝑂𝑀 𝐷𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐷𝐹𝑂 ∠𝐸𝐹𝑂(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:180)(cid:86)(cid:83)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:153)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:366)(cid:367)(cid:126)(cid:127)(cid:197)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:176)(cid:368)(cid:110)(cid:83)
(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:306)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79) = = = = (cid:113)(cid:109)(cid:153)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:79)
= (cid:65)(cid:363)(cid:70) = (cid:65)(cid:40)∠(cid:41)𝐷𝑂𝐶 ∠𝐸𝑂𝐶,∠𝑂𝐷(S𝐶AS)(cid:65)∠𝑂(cid:84)𝐸(cid:85)𝐶 (cid:46)9(cid:72)0(cid:71)°,𝐷𝐶 𝐶𝐸,
(cid:15)∠𝐷(cid:86)𝐶𝐹(cid:83)(cid:19)∠(cid:83)𝐸(cid:10)𝐶𝐹 (cid:110)𝐶𝐹 (cid:29)𝐶𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65)△𝐷𝐹𝐶≌△(cid:65)𝐸𝐹𝐶 (cid:65)
= ∵𝑂𝑀 ∠𝐴=𝑂𝐵 = 𝐶𝐷⊥=𝑂𝐴 𝐶𝐸⊥𝑂𝐵
∴∠𝐷𝑂𝐶+ ∠𝐸𝑂𝐶,∠=𝑂𝐷𝐶 +∠𝑂𝐸𝐶 (cid:65)90°,𝐷𝐶 𝐶𝐸,
(cid:84)∴∠𝐷𝑂𝐶 =∠𝑂𝐷𝐶 (cid:65)∠𝐸𝑂𝐶 ∠𝑂𝐸𝐶
∠𝐷=𝐶𝐹 (cid:65)∠𝐸𝐶𝐹
+
A
∵𝐶𝐹 𝐶𝐹 (SAS)(cid:65) 科 A
全
★
号
众
∴△𝐷𝐹𝐶=≌△𝐸𝐹𝐶(cid:71) 公
注
关
，
源
(cid:15)∴∠(cid:89)𝐷𝐹(cid:90)𝑂10-∠1(cid:19)𝐸𝐹(cid:63)𝑂(cid:64)(cid:65) (cid:110)辅 资(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:65) = (cid:65)(cid:106)P(cid:66) (cid:115)(cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:27)(cid:124)(cid:110)M(cid:140)
教
N(cid:65)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71)𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷 𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:180)(cid:83)(cid:74)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:151)(cid:152)(cid:107)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:366)(cid:367)(cid:126)(cid:127)(cid:197)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:176)(cid:368)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:306)
(cid:79) = (cid:65)(cid:112)(cid:113)(cid:109) = (cid:65) = (cid:65)(cid:40)(cid:41) (cid:65)(cid:68) = (cid:65)(cid:363)(cid:70) (cid:65)
∠𝐴𝐵𝐷(cid:65)(cid:87)∠𝐶𝐵𝐷= (cid:71) 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷 ∠𝑀𝐷𝑃 ∠𝑁𝐷𝑃 𝑃𝑀⊥𝐴𝐷
(cid:15)𝑃𝑁(cid:86)⊥(cid:83)𝐶(cid:19)𝐷(cid:40)(cid:41)𝑃(cid:10)𝑀 𝑃(cid:110)𝑁 (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
= ∵(cid:65)𝐵 𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐵=𝐷 (cid:65)∠𝐶𝐵𝐷= (cid:65)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐷 (cid:65)𝐵𝐷
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷= (cid:65)
∴∠𝑀𝐷𝑃 (cid:65)∠𝑁𝐷𝑃 (cid:65)
∵𝑃PM𝑀=⊥𝐴P𝐷N(cid:71)𝑃𝑁⊥𝐶𝐷
∴(cid:15)(cid:89)(cid:90)10-2(cid:19)(cid:51)24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:166)(cid:59)(cid:348)(cid:135)·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:26)(cid:27) (cid:65) (cid:65) (cid:65)(cid:24)(cid:245)(cid:27)(cid:124)(cid:70) (cid:65)
(cid:71)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:71) 𝐴𝑂 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐶𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶 𝐷
𝐸 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:83)(cid:74)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:147)(cid:148)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:209)(cid:149)(cid:97)(cid:35)(cid:98)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:107)(cid:151)(cid:152)(cid:65)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:149)(cid:138)(cid:203)(cid:149)(cid:35)(cid:65)(cid:306)(cid:129)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:112)(cid:40)(cid:41) (ASA)(cid:79)(cid:80) = (cid:65)(cid:68)(cid:85)(cid:40)(cid:41) = (cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)𝑂𝐷(cid:19)(cid:40)𝑂(cid:41)𝐸(cid:10) (cid:26)(cid:27)△𝐵𝑂𝐷≌(cid:65)△𝐶𝑂𝐸 (cid:65) 𝑂𝐵(cid:65) 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐵𝐶 ∠𝑂𝐶𝐵
+
A
= (cid:65) ∵𝐴𝑂= ∠𝐵𝐴=𝐶90𝐶°(cid:65)𝑂⊥𝐴𝐵 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶 科 A
全
★
号
众
∴(cid:141)𝑂𝐷 𝑂𝐸=∠𝑂𝐷𝐵(cid:65) ∠𝑂𝐸𝐶 公
注
关
，
源
∵∠𝐵𝑂𝐷 ∠𝐶𝑂𝐸(ASA)(cid:65)辅 资
教
∴△𝐵=𝑂𝐷≌(cid:65)△𝐶𝑂𝐸
∴𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:71)
∴(cid:15)∠(cid:89)OB(cid:90)C10-∠3O(cid:19)(cid:51)CB24-25(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:115)·(cid:92)(cid:93)(cid:369)(cid:166)·(cid:60)(cid:136)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:164)(cid:222)(cid:65)(cid:106) (cid:140)(cid:27)(cid:124)(cid:110) (cid:140) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:65)
(cid:139)(cid:106) (cid:65) (cid:139)(cid:106) (cid:65) (cid:139)(cid:106) (cid:65)(cid:32)(cid:40)(cid:10) + 𝐴= 𝐵 (cid:71) ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵⊥𝑂𝑃
𝐸 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐶 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁 𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:19)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:83)(cid:74)(cid:71)
(cid:15)(cid:27)(cid:74)(cid:19)(cid:111)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:125)(cid:303)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:80)(cid:35)(cid:170)(cid:138)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:149)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:110)(cid:83)(cid:20)(cid:3)(cid:128)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:35)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:182) = (cid:65) = (cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:47)(cid:29)(cid:123)(cid:238)(cid:3)(cid:242)(cid:84)(cid:85)(cid:79)(cid:113)(cid:225)(cid:71)
(cid:15)(cid:86)(cid:83)(cid:19)(cid:83)(cid:10) (cid:106) 𝐵(cid:140)𝐶 (cid:27)𝐵(cid:124)𝑃(cid:110)𝐴𝐷 𝐴(cid:140)𝑃 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:115)(cid:29)(cid:106)(cid:65) (cid:65) (cid:65) (cid:65)
= (cid:65) ∵ =𝐴 𝐵(cid:65) ∠𝑁𝑂𝑃 ∠𝑀𝑂𝑃 𝐴𝐵⊥𝑂𝑃 𝐵𝐶⊥𝑀𝑁 𝐴𝐷⊥𝑀𝑁
∴𝐵AD𝐶+B𝐵C𝑃=𝐴B𝐷P+A𝐴P𝑃=AB(cid:71)
∴