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专题12.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上
的到这条线段两个端点的距离相等。
①如图，直线l垂直平分线段AB，P、P、P 是l上的点.试说明PA= PB.
1 2 3 1 1
证明：∵直线l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB.
1 1
又CA=CB，PC= PC，
1 1
∴△PCA≌△PCB (SAS).
1 1
∴PA= PB.
1 1
几何语言叙述：
∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;
∴PA=PB.
【知识点2】线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上.
如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？
解答：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，
在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC.
∴PC是AB的垂直平分线，
即点P在线段AB的垂直平分线上.线段垂直平分线性质的逆定理：
几何语言叙述：
∵PA=PB;
∴P点在AB的垂直平分线上.
【知识点3】尺规作图——作线段垂直平分线
如图所示，已知线段AB，作其垂直平分线
步骤如下：
1
（1）分别以AB为圆心，大于 AB为半径作弧，两弧交于点C、D，
2
（2）作直线CD，则CD为所求
【考点一】角平分线➼➻角平分线性质证明角相等
【例1】如图，在△ABC中,BC=5，AC=8,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长等
于（ ）
A．18 B．15 C．13 D．12
【答案】C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 ，故可得出 的周长
，由此即可得出结论．
解： 在 中， ， ， 是线段 的垂直平分线，，
的周长 ．
故选C．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【举一反三】
【变式】点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC ( )的交点.
A．三条高 B．三条角平分线 C．三条中线 D．三边的垂直平分线
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线性质判断即可．
解：因为点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选D．
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解
本题的关键．
【考点二】全等图形➼➻求正方形网格中的角度之和
【例2】如图，在 ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数
是（ ） △
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【分析】根据条件求出AB=AC，转化角度即可解答.
解：已知在 ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，
故CE=C△A=AB，
∠ACB=∠ABC=∠CEA+∠CAE=60°，
故∠CAB=60°，
即∠BAE=∠CAB+∠CAE=60+30°=90°.
故选C.
【点拨】本题考查角度转换，关键是了解角平分线的知识.【举一反三】
【变式】如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧
相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【答案】A
【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和
计算∠B的度数．
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B=180°-75°-30°=75°．
故选A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【考点三】全等图形➼➻把全等图形分割成几个全等图形
【例3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于
点G，DF⊥EG，交AC于点F．
(1) 求证：BE＝CG；
(2) 判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)见分析；(2)BE+CF＞EF，见分析
【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；
（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角
形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，
（1）解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，
∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，
本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【举一反三】
【变式】如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E．
(1) 若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；
(2) 若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长．
【答案】(1)相等；(2)15.
【分析】（1）由∠C=∠AED=90°，CD=DE，AD=AD，利用HL可以证明△ACD≌△AED，即可得到
∠CAD=∠BAD；
（2）由垂直平分线定理，得到AD=BD，则BC=AD+CD=10，即可得到△ACD的周长．
解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠C，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL）
∴∠CAD=∠BAD；
（2）∵AE=BE，DE⊥AB,
∴DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+CD=10，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及垂直平分线定理，解题的关键是掌握垂直平分线
定理.
【考点四】全等三角形➼➻全等三角形的概念
【例4】在 中， .BD平分 交AC于点D，又 交延长线BD于
点E.求证：
【分析】延长AE、BC交于点F，证明△AFC≌△BDC，所以AF=BD，再证明△ABE≌△FBE，可得AE=EF，
从而可得BD=2AE.
解：
证明：延长AE、BC交于点F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EDA=∠CDB，
∵∠FAC=∠DBC，
在△AFC和△DBC中，
∴△AFC≌△BDC（ASA），
∴AF=BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE与△FBE中，
∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE=EF，
∴BD=AF=2AE.
【点拨】本题考查了中垂线的性质，三角形全等的判定，解题的关键是判定三角形全等，从而找出对
应边相等，即可得解.
【举一反三】
【变式1】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在 中， ， ．
(1) 作 边上的高 ，作 的平分线 ， 与 相交于点 ．
(2) 求所作图形中 的度数．
【答案】(1)见分析；(2)
【分析】（1）利用基本作图，过点 作 于 ，再利用基本作图作 的平分线 ，
与 相交于点 ；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出 ，再根据角平分线的性质得出 ，
根据同角的余角相等得 ，最后根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：（1）如图，线段 是 边上的高，线段 是 的角平分线．
（2） ， ，
， ，
是 的角平分线，
，
线段 是 边上的高，，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握
基本几何图形的性质是解本题的关键．
【变式2】如图， 是 外一点， 是 上一点， ， ， ，
，则 的度数为___________．
【答案】 /35度
【分析】连接 ，则 垂直平分 ，可得 ，再证明 ，即可得到
．
解：连接 ，
， ，
是 的垂直平分线，
，
在 和 中
，，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到 是 的垂直平分线再想到证明
是解题的关键．
【考点五】全等三角形➼➻全等三角形的性质
【例5】如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分
线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则
为________度．
【答案】108
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再
求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求
出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定
理列式计算即可得解．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为108．
【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的
性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，
熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【举一反三】
【变式1】如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于
△
点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点
F，若AF＝6，则BC的长为_____．【答案】4．
【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，设BC=x，可知AB=2BC=2x，再由作法可知
BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD=AD=x，由AF=6，进而可
得出结论．
解：连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
设BC＝x，
∴AB＝2BC＝2x．
∵作法可知BC＝CD＝x，CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝x，
∴BF＝DF＝ x，
∴AF＝AD+DF＝x+ x＝6．
解得：x＝4．
故答案为4
【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的
关键．
【变式2】如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC， ，现给出下列结论：① ；
② ；③MB平分 ；④若 ， ，则 ．其中正确的是______．
【答案】①②
【分析】①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题；
②结合①利用HL证明 ；
③连接MD，根据MA≠MD≠MB,即可得MB不平分 ；
④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，据此解题．
解：① 是 的垂直平分线上的点
，
故①正确；
②在 与 中，
故②正确；
③如图，连接MD
为 的中点，
不平分 ，
故③错误；④
故④错误，
综上所述，正确的是①②
故答案为：①②．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂
直平分线的作法．
