文档内容
清单 03 轴对称 （16 个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中
考热点聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
1．（2022秋•遵义期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若BC＝
9，AC＝5，则△ACD的周长为 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，再根据等量代换和三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为AD+AC+CD＝BD+AC+CD＝BC+AC＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
2．（2022秋•东台市期末）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足
为G．
（1）求证：AB＝2CD；
（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质等边对等角解答即可．
【解答】（1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE＝DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴AB＝2CD；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，∴∠BCE＝23°．
【点评】此题考查了直角三角形的性质等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注
意根据线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质解答是解此题的关键．
考点二．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个
元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．（2022秋•平泉市期末）等腰三角形的周长为16，其中腰为x，则x不可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据等腰三角形的周长和三角形的三边关系逐项求解即可．
【解答】解：A、当x＝4时，三边分别为4，4，8，
∵4+4＝8，
∴不能围成三角形，
∴腰不能为4，故选项符合题意；
B、当x＝5时，三边分别为5，5，6，
∵5+5＞6，
∴能围成三角形，
∴腰能为5，故选项不符合题意；
C、当x＝6时，三边分别为6，6，4，
∵4+6＞6，
∴能围成三角形，
∴腰能为6，故选项不符合题意；
D、当x＝7时，三边分别为7，7，2，
∵7+2＞7，
∴能围成三角形，
∴腰能为7，故选项不符合题意；
故选：A．
【点评】考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
4．（2023春•江北区期末）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（ ）
A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
考点三．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
5．（2022秋•双辽市期末）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF
＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结
合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出 GD＝
CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三
角形．
【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中， ，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据
△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．
6．（2022秋•江北区校级期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
（2）证明：设∠B＝ ，则∠C＝3 ，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4 ，
∵AD平分∠BAC，
α α α
∴∠BAD＝ ∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2 ，
∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
α
∴∠BDF＝ ＝∠B，
∴BF＝DF．
α
【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据角平分线的定义和垂直的定义解答．
考点四．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重
要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线
是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问
题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思
维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
7．（2022秋•九台区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝AD，DE⊥AB．求证：CE＝DE．【分析】根据垂直定义求出∠ADE＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC，根据角的和差
求出∠ECD＝∠EDC，根据等腰三角形的判定即可得解．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴CE＝DE．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2022秋•河北区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，
F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：BC＝EC．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠CB．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出
△BCE是等腰三角形，即可得到结论．
（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝ ∠ABC．
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠CBF＝∠E，
∴BC＝CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠BCD＝128°．∵F是BE的中点，BC＝CE，
∴CG平分∠BCD，
∴∠GCD＝ ∠BCD＝64°，
∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，
∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关
键．
9．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平
分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝
∠ACB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
根据角平分线定义得到 ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形
的判定定理是解题的关键．考点五．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶
角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是
对称轴．
10．（2022秋•芝罘区期末）如图，点P、Q是边长为9cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点
A出发沿线段AB运动，点Q从顶点B出发沿线段BC运动，它们的速度都为1cm/s，其中一点到达终点后
停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若△PBQ为直角三角形，则t的值为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6
【分析】假设运动时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，分当∠PQB＝90°和∠QPB＝90°时，两
种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：假设运动时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
当∠PQB＝90°时，则∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，即9﹣t＝2t，
解得t＝3；
当∠QPB＝90°时，则∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（9﹣t），
解得t＝6，
∴当t＝6秒或3秒时，△PBQ为直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟知直角三角形中 30°所对的直角边等于
斜边的一半是解题的关键．
11．（2022秋•河西区期末）如图，在等边三角形 ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形
ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．
（Ⅰ）求∠CAE的度数；
（Ⅱ）求∠FDC的度数．【分析】（Ⅰ）根据等边三角形的性质可得∠BAE＝60°，由于∠BAD＝15°，求得∠DAC的度数，进而求
出∠CAE的度数；
（Ⅱ）∠CAE即∠BAE与∠BAC之差，∠FDC可用∠ADC减去∠ADE得到．
【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，
∵∠DAE＝80°，
∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；
（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，
∴∠ADE＝ （180°﹣80°）＝50°，
∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，
又∵∠ADE＝50°
∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理；利用三角形内角和求角度是解题的关键．
12．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长 BC 至E，使 CE＝CD，
DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：CE＝2CF；
（2）若CF＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣
∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵DF⊥BE，
∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，
∴DC＝2CF．
∵CE＝CD
∴CE＝2CF；
（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，
∴DC＝2CF＝4．
∵△ABC为等边三角形，BD是中线，
∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．
13．（2022秋•建昌县期末）如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接
AD交BC于点E．
（1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝3，求DF的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，由DB＝DC得点A，D在线段BC的垂直平分线上，
即AD⊥BC且AD平分BC；
（2）△ABC是等边三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，可得∠CAD的度数，由平行得，∠CFD＝
∠BAC＝60°，从而可得∠ADF的度数，推出AF＝DF，即可得出答案．
【解答】解：（1）AD⊥BC且AD平分BC，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC．
∵DB＝DC，
∴点A，D在线段BC的垂直平分线上，
即AD⊥BC且AD平分BC．
（2）∵△ABC是等边三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，
∴ ．
∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ADF＝∠CAD＝30°，
∴AF＝DF，
∵AF＝AC﹣FC＝5﹣3＝2，
∴DF＝2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、
等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识的性质．
考点六．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个
角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
14．（2022秋•南平期末）如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，
∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出
∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形
是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
15．（2022秋•丛台区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且
AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据∠B＝∠C＝30°，再根据AD⊥AC，AE⊥AB，和三角形的内角和定理，证明∠ADE＝∠AED＝
60°，得到∠DAE＝60°，即可证明△AED为等边三角形．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴ ，
∴∠C＝30°；
（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，
∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△AED为等边三角形．
【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角，
以及三角形的内角和是180°是解题的关键．考点七．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质
为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，
解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角
三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般
三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个 60°的
角判定．
16．（2023春•开江县校级期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点
出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），
则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根
据等边三角形的判定可得结论；
（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可
解答．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝ BP，即t＝ ，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝ BQ，
即6﹣t＝ t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角
三角形含30度角的性质是关键．
17．（2023春•揭东区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝
EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填
“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点 E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答
过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为
1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，
由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形
AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，
利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可
得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟
练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
α
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
α
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三
角形的形状；
α
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，
α
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
α
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
α
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°，
α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
α
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°，
α α
∴ ＝125°．
α α
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
α
∴ ＝140°．
α
③当∠ADO＝∠OAD时，
α
﹣60°＝50°，
∴ ＝110°．
α
综上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
α
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各
α
种情况．
考点八．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用
来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
19．（2022秋•靖西市期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，
上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故
AB＝BC＝40 （海里）．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲
确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣
∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PB＝ BC＝20（海
里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），从而解决此题．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝20×2＝40（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝40 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴PB＝ BC＝20（海里），
∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．
∴航行的时间为60÷20＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最
短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决
本题的关键．
20．（2023春•青岛期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC
于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角
三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是
解题的关键．
考点九．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
21．（2022秋•东阿县期末）下列是四张益智器具图片，从对称的角度来看，哪一张与另三张不一样
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断，即可解答．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
所以，上列是四张益智器具图片，从对称的角度来看，B图与另三张不一样，
故选：B．
【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
22．（2022秋•高阳县校级期末）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我
们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点
A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以
最少是3步．
故选B．
【点评】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短
的路线是解题的关键．
考点十．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．（2023春•兴庆区校级期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则AC＝（ ）
A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线 l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出 AC＝
A'C′．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴AC＝A'C′．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．24．（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称
为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，
本题难点在于确定出不同的对称轴．
