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专题 13.2 垂直平分线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】.........................................................................................................1
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】..................................................................................................................2
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】..................................................................................................................3
【题型4 由垂直平分线的性质求最值】..................................................................................................................4
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】.........................................................................................6
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】..............................................................................................................8
【题型7 证明是线段的垂直平分线】......................................................................................................................9
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】.......................................................................................................10
【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】...................................................................................11
【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】...........................................................................................................13
知识点1：垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段
AB的垂直平分线上，则PA=PB．
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD=CD，
∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于点F，若AB=7，BF=1，则BC= ．【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相
交于点C,D．连接CD，点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则
AE的长为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB,AC分
别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为 cm．
【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm
的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是 cm．
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】
【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分
线交AC于点D，交AB于点E，则△BCE的周长为（ ）A．18 B．14 C．17 D．19
【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分线交BC
边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（ ）
A．6❑√3 B．10 C．12 D．4+6❑√3
【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周
长为6，则△ABC的周长是 ．
【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC
交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC=20，EF=7，则△AEF的周长
是 ．
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】
【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，∠A=80°，点O是AB，AC的垂直平分线OD，OE的交
点，则∠BOC的度数为（ ）A．145° B．150° C．160° D．165°
【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，
AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分线FD，GE分别交BC于
点 D，E，若∠B=30°，∠C=48°，则∠DAE的度数为（ ）
A．26° B．15° C．24° D．30°
【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O
是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
1 1 1
A．α B． α+90° C． α+90° D．180°− α
4 2 2【题型4 由垂直平分线的性质求最值】
【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，分别以点A、B
为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积
为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，△ABC的周长为30，BC=12,AC=5，作BC边的垂
直平分线PF分别交AB，BC于点F,E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长
的最小值为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，点
E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意
一点，连接PD、PC．若BC=3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段
的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的
点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点．
求证：PA=PB
分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB．
(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，
若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．
①求BC的长
②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位
置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】
【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是
中点，试比较BE+CF与EF的大小： .（提示：可添加辅助线）【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.
（1）线段AB、AC、CE三者之间的长度有什么关系？
（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， △ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF
交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．
(1)求证：BG=CF；
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，
BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．(1)求证：DC=DF；
(2)若点E恰在线段AD的垂直平分线上，求证：AB=BD+DF．
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】
【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD
的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE
【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为
D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．
【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，
过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G
，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，求证：∠DEC=∠FEC．知识点2：垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线
段AB的垂直平分线上．
【题型7 证明是线段的垂直平分线】
【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D,E分别为AB，AC上的
点，BE=CD．
(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？
(2)连接AF,DE，求证：AF垂直平分DE．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，
BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于F．(1)求证：AF=CF；
(2)连接BF，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB
，PF⊥AC，垂足分别为E、F
(1)求证∶ PE=PF
(2)若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，OC是∠AOB的平分线，D、E两点分别在边OA、OB
上，且OD=OE，点F在OC上，连接DF、EF、DE．
(1)DE与OF有何关系？为什么？
(2)求证：DF=EF．
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】
【例8】（2024·山东青岛·一模）已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB=PC，且S =S ．
△PBC △ABC
【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知△ABC (AB90°，AB的垂直平分线分别
交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．
【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB
的中点，AB=BC,CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD．
（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分
别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄
M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉
树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎
样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．
【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使
它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上
修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图
中做出点P的位置．
