文档文本内容
专题 1.6 线段垂直平分线的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:36)(cid:37)(cid:19)............................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:38)(cid:39)(cid:19)..........................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:19)..........................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)..............................................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:19)..............................................................................................................................25
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:19)......................................................................................................28
知识点 线段垂直平分线的定义及其性质 +
A
A
科
全
★
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做众这 号 条线段的垂直平分线．
公
注
关
，
2.性质定理：线段垂直平分线上的源点与这条线段两个端点的距离相等．
资
辅
教
书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
3.性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
4. (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)：
1
(1)以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C、D 两点；
2
(2)作为直线 CD，CD为所求直线．【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】
(cid:15)(cid:53)1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27) (cid:68)(cid:70) =6(cid:68) =5(cid:68)(cid:71) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)(cid:54) (cid:65)△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 △𝐴𝐶𝐹 𝐶𝐸
𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:74)24 B(cid:74)22 C(cid:74)20 D(cid:74)18
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:78)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83) = =6(cid:68) = =6(cid:68)
= =5(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:32)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:74) 𝐴𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶
+
(cid:15)𝐶𝐷(cid:89)(cid:86)𝐵(cid:19)𝐷 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68) =6 A A
科
全
★
号
众
= ∵𝐶=𝐸6 𝐴𝐹 𝐶𝐹 公
注
关
，
源
∴𝐴𝐶(cid:24)(cid:25)𝐶𝐹(cid:26)(cid:27) (cid:68) 资
辅
教
∵𝐴𝐷= =6𝐵(cid:68)𝐶 = =5
∴𝐴𝐵 𝐴(cid:29)𝐶 (cid:72)(cid:33)(cid:73)𝐶𝐷 +𝐵𝐷 + + =6+6+5+5=22(cid:74)
∴(cid:90)△(cid:91)𝐴(cid:10)𝐵B𝐶(cid:74) 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:92)(cid:93)1-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:99)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:102)(cid:103) (cid:29)(cid:104)(cid:35)(cid:105) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:106)(cid:107)(cid:68)
(cid:107)(cid:108)(cid:73) (cid:68)(cid:109)B(cid:49)(cid:109)A(cid:110)(cid:51)(cid:68)(cid:111)(cid:112) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)20(cid:68) =6(cid:68)(cid:71)𝐴𝐵𝐶 (cid:29)(cid:72)(cid:33)𝐴(cid:44)𝐵 (cid:74)
𝐷𝐸 △𝐴𝐶𝐷 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)32
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83) = = = (cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:51)
= + + = + + + + (cid:32)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:20)(cid:74)𝐵𝐸 𝐴𝐸 6,𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐶△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:89)𝐴𝐵(cid:86)(cid:19)𝐵(cid:86)𝐶(cid:10)𝐴𝐶 (cid:73)𝐴𝐸 (cid:29)𝐵(cid:24)𝐸(cid:25)(cid:26)𝐴𝐷(cid:27)(cid:28)𝐷(cid:68)𝐶 𝐴=𝐶 6(cid:68)
= = ∵ 𝐷𝐸= 𝐴𝐵(cid:68) 𝐴𝐸
∴𝐵𝐸 𝐴𝐸 6,𝐵𝐷 𝐴𝐷=20= + + (cid:68)
(cid:71)∵ 𝐶△𝐴𝐶𝐷= + 𝐴𝐷+ 𝐴𝐶 𝐷𝐶
=𝐶△𝐴+𝐵𝐶 𝐴+𝐵 𝐵+𝐶 𝐴+𝐶
=𝐴𝐸+𝐵𝐸+𝐵𝐷+𝐷𝐶+𝐴𝐶
=𝐴6𝐸+6𝐵+𝐸20 𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐶
=32(cid:116)
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)32(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)1-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:119)(cid:120)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) =8cm(cid:68)(cid:70) (cid:124) (cid:27)(cid:125)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:124) (cid:68)
(cid:71) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73) cm(cid:74) 𝐵𝐶 𝑀𝑃 𝑁𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
△𝐴𝑃𝑄
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)8
+
A
A
科
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)全(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:78)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)
★
号
众
公
注
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = (cid:68) = (cid:68)关(cid:114)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:7)(cid:93)(cid:131)(cid:132)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:86)(cid:74)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:124)𝐵教𝑃(cid:27)(cid:125)𝐴𝑃(cid:24)(cid:25)𝐴(cid:26)𝑄 (cid:27)𝐶𝑄(cid:124) (cid:68)
= (cid:68) ∵𝑀=𝑃 𝑁(cid:68)𝑄 𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴𝐵𝑃 𝐴(cid:29)𝑃 (cid:72)𝐴(cid:33)𝑄 =𝐶𝑄+ + = + + = =8cm(cid:68)
∴(cid:90)△(cid:75)𝐴(cid:76)𝑃(cid:73)𝑄(cid:10)8(cid:74) 𝐴𝑃 𝐴𝑄 𝑃𝑄 𝐵𝑃 𝐶𝑄 𝑃𝑄 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:92)(cid:93)1-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:138)(cid:139) (cid:140)
(cid:109) (cid:68)(cid:138)(cid:139) (cid:140)(cid:109) (cid:74)(cid:70) (cid:49) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:27)(cid:125)(cid:44)40c△m𝐴(cid:141)𝐵2𝐶4cm(cid:68)𝐴(cid:71)𝐵 𝐴𝐶= 𝐴 𝐵 cm(cid:74) 𝐴𝐵
𝐷 𝐴𝐶 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 △𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)8
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:68) = (cid:68) = = 1 (cid:68)(cid:84)
2
𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:85)(cid:130) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)24cm(cid:88)(cid:82) + =24(cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)40cm(cid:82)(cid:83) =16cm(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:87)(cid:88)(cid:32)
△𝐸𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵(cid:86)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
= (cid:68) ∵𝐷 = 𝐸 𝐴𝐵 = 1 (cid:68)
2
∴𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)24cm(cid:68)
∵△𝐸+𝐵𝐶 + =24(cid:68)
∴𝐵𝐸+𝐶𝐸+𝐵𝐶=24(cid:68)
(cid:87)∴𝐴𝐸 +𝐶𝐸 =𝐵2𝐶4(cid:68)
(cid:142)𝐴𝐶 𝐵𝐶(cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)40cm(cid:68)
∵△+𝐴𝐵𝐶+ =40(cid:68)
∴𝐴𝐵+𝐴24𝐶=4𝐵0𝐶(cid:68)
∴𝐴𝐵=16cm(cid:68)
∴𝐴𝐵 = 1 =8cm(cid:68)
2
∴𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)8(cid:74)
A
+
A
科
全
★
号
【题型2 根据垂直平分线的性质求角度】 公 众
注
关
，
源
(cid:15)(cid:53)2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)辅·(cid:59)(cid:60)资(cid:143)(cid:144)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:49) (cid:139)(cid:117)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:141) (cid:27)(cid:125)(cid:138)
教
(cid:140)(cid:109) (cid:141)(cid:109) (cid:74)(cid:145)(cid:146) (cid:141) (cid:68) =60°(cid:68)(cid:71) △=𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐶(cid:74)𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:75)𝐷(cid:76)(cid:19)60𝐸°(cid:147)120°𝐷𝐴 𝐸𝐴 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:152)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:126)(cid:122)
(cid:127)(cid:128)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:27)2(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:68) (cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:156)(cid:82) = (cid:141) = (cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:157)(cid:82)
+ ①=120°(cid:68)(cid:158)(cid:159)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:152)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)∠𝐵(cid:32)(cid:82)∠𝐵𝐴𝐸 +∠𝐶 ∠𝐶=𝐴6𝐷0°(cid:68)(cid:22)(cid:23)
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐷𝐸+ + (cid:87)(cid:88)(cid:32)(cid:86)(cid:116) (cid:160)(cid:109) (cid:49)∠(cid:109)𝐵𝐴(cid:110)𝐸(cid:51)∠(cid:68)𝐶(cid:109)𝐴𝐷(cid:49)(cid:109) (cid:110)(cid:51)(cid:68) = =60°(cid:74)
(cid:15)∠𝐵(cid:89)𝐴𝐶(cid:86)(cid:19)∠(cid:86)𝐵(cid:10)𝐴𝐸(cid:22)(cid:23)∠(cid:20)𝐷𝐴(cid:157)𝐸(cid:68)(cid:161)∠2𝐶(cid:153)𝐴𝐷(cid:154)(cid:155)(cid:68) ② 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:66)(cid:67)(cid:68)
①
(cid:49) (cid:139)(cid:117)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:141) (cid:27)(cid:125)(cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:141)(cid:109) (cid:68)
∵ 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝑀 𝐸𝑁 𝐵𝐶 𝐷 𝐸= (cid:68) = (cid:68)
∴𝐴𝐸 =𝐵𝐸 𝐴(cid:68)𝐷 𝐶=𝐷 (cid:68)
∴∠𝐵 ∠=𝐵6𝐴0𝐸°(cid:68)∠𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷
∵∠𝐷𝐴𝐸+ =120°(cid:68)
∴∠𝐴𝐸𝐷(cid:44)∠𝐴𝐷𝐸 (cid:29)(cid:104)(cid:162)(cid:152)(cid:35)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:104)(cid:162)(cid:152)(cid:35)(cid:68)
∵∠𝐴𝐸𝐷=△𝐴+𝐵𝐸 = ∠(cid:68)𝐴𝐷𝐸 △=𝐴𝐷𝐶+ = (cid:68)
∴∠𝐴𝐸𝐷 +∠𝐵 ∠𝐵=𝐴𝐸1202°(cid:68)∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷 2∠𝐶𝐴𝐷
∴2∠𝐵𝐴𝐸+ 2∠𝐶𝐴=𝐷60°(cid:68)
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷 + + =120°(cid:74)
∴∠(cid:66)𝐵(cid:67)𝐴𝐶(cid:68)(cid:160)∠(cid:109)𝐵𝐴𝐸(cid:49)(cid:109)∠𝐷(cid:110)𝐴(cid:51)𝐸 (cid:68)∠(cid:109)𝐶𝐴(cid:49)𝐷(cid:109) (cid:110)(cid:51)(cid:68)
② 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(cid:78)(cid:163)(cid:68) = =60°(cid:74) 源 ，
资
辅
教
(cid:50)(cid:117)∠(cid:164)𝐵(cid:165)𝐴𝐶(cid:68) ∠𝐷𝐴𝐸=60°(cid:147)120°(cid:74)
(cid:90)∴(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)60∠°(cid:147)𝐵𝐴1𝐶20°(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)2-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:64)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:64)(cid:68)(cid:139) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:27)(cid:125)(cid:138) (cid:68) (cid:140)(cid:109)
(cid:68) (cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:74)(cid:70) =24°(cid:68) (cid:68)(cid:71) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:73)△(cid:54)𝐴 𝐵 (cid:65)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐷 𝐸 𝐵𝐷 ∠𝐶 𝐷𝐵⊥𝐵𝐶 ∠𝐴
A(cid:74)24° B(cid:74)30° C(cid:74)33° D(cid:74)66°
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)C
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:152)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:68)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82) = (cid:68)(cid:87)(cid:82) = (cid:68)(cid:130)(cid:25)(cid:35)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:170)(cid:171)(cid:35)(cid:172)(cid:173)(cid:82) = =66°(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:130)(cid:100)(cid:35)
(cid:101)(cid:152)(cid:35)(cid:30)(cid:31)𝐴(cid:88)𝐷(cid:82) 𝐵𝐷=66°(cid:68)∠(cid:23)𝐴 (cid:78)∠(cid:87)𝐷(cid:88)𝐵𝐴(cid:32)(cid:86)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:174)(cid:117)(cid:112)(cid:175)(cid:109)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)∠(cid:3)𝐵𝐷(cid:129)𝐶(cid:74) 90°−∠𝐶
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) 2∠(cid:24)𝐴(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)
∵𝐷𝐸 𝐴𝐵=
∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷 (cid:68)
∴∠𝐴 ∠𝐷(cid:68)𝐵𝐴
∵𝐷𝐵⊥𝐵=𝐶90°(cid:68)
∴∠𝐷𝐵=𝐶24°(cid:68)
∵∠𝐶 = = =66°(cid:68)
∴∠𝐵𝐷𝐶=90°−+∠𝐶 90=°−24°(cid:68)
∵∠𝐵𝐷𝐶=66∠°𝐴(cid:68) ∠𝐷𝐵𝐴 2∠𝐴
∴2∠𝐴=33°(cid:68)
∴(cid:90)∠(cid:91)𝐴(cid:10)C(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)2-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) =35°(cid:68) =50°(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28) (cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:68) (cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:138) (cid:140)(cid:109)△𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:71) ∠𝐵(cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:73)∠ 𝐶 (cid:74) 𝐴𝐵
𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐹𝐶 𝐷 ∠𝐷𝐴𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)30°/30(cid:34)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:48)(cid:177)(cid:68)(cid:178)(cid:140)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:21)(cid:68)
(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:117)(cid:165)(cid:181)(cid:113)(cid:112)(cid:175)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:48)(cid:177)(cid:82)(cid:182) =95°(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = =35°(cid:68)(cid:183)(cid:85)(cid:82) ∠𝐵=𝐴6𝐶0°(cid:68)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:82)(cid:75)(cid:76)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) =35°(cid:68) =50∠°𝐵(cid:68) ∠𝐵𝐴𝐹 ∠𝐶𝐴𝐹
= ∵∠𝐵 =∠𝐶95°(cid:68)
∴∠𝐵(cid:24)𝐴(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:27)180°−(cid:68)50°−35°
∵𝐸𝐹 = (cid:68)𝐴𝐵
∴𝐹𝐴 =𝐹𝐵 =35°(cid:68)
∴∠𝐵 ∠=𝐵𝐴𝐹 = =60°(cid:68)
∴∠𝐶(cid:26)𝐴(cid:27)𝐹 ∠𝐵𝐴(cid:68)𝐶−∠𝐵𝐴𝐹 95°−35°
∵𝐴𝐷
=
∠1𝐹𝐴𝐶
=30°(cid:68)
2
∴∠𝐷𝐴𝐹 ∠𝐹𝐴𝐶
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)30°(cid:74)(cid:15)(cid:92)(cid:93)2-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:166)(cid:62)(cid:186)(cid:187)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:109)O(cid:44) (cid:141)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:138)(cid:109)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:141) (cid:68)(cid:70) = (cid:68)(cid:71) △𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:188)(cid:189)(cid:73)𝐴𝐼(cid:54) (cid:65)∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐼 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐴𝑂 𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 𝛼 ∠𝐴𝐼𝐵
A(cid:74)90°+ 1 B(cid:74)90°+ 1
2 4
𝛼 𝛼
C(cid:74) 1 D(cid:74)180°+ 1
4 2
90°− 𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:190)(cid:68)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:152)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:100)
(cid:35)(cid:101)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:48)(cid:177)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:179)(cid:159)(cid:29)(cid:191)(cid:192)(cid:28)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:145)(cid:146) (cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109)D(cid:68)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:112) = (cid:68) = (cid:68)(cid:87)(cid:82)(cid:182) = (cid:68)
𝐶𝑂 𝐵𝐼 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶 ∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝑂𝐴𝐶
= (cid:68)(cid:115)(cid:51)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:152)(cid:35)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:32)(cid:182) = = (cid:68)(cid:87) = (cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:48)
2
A𝛼+
A
∠
(cid:177)
𝑂
(cid:161)
𝐶𝐵 ∠𝑂
+
𝐵𝐶
= (cid:74)(cid:130)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)
∠
(cid:190)
𝐴𝑂
(cid:82)
𝐵
(cid:182)
2∠𝐴
号
𝐶
=
𝐵
1★
𝛼全
(cid:68)
科∠𝐴𝐶𝐵
= 1 (cid:68)(cid:114)(cid:115)(cid:51)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:176)
2 众 2 2
𝛼 公
注
关
(cid:35)(cid:124) ∠ (cid:48) 𝐶 (cid:177) 𝐴𝐵 (cid:87)(cid:88) ∠ (cid:32) 𝐶𝐵 (cid:86) 𝐴 (cid:74) 180°− 源 ， ∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐵𝐴
资
辅
教
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:193)(cid:194)(cid:33)(cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109)D(cid:74)
𝐶𝑂 𝐵𝐼
(cid:109)O(cid:44) (cid:141) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:138)(cid:109)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐶(cid:68) 𝐵𝐶= (cid:68)
∴𝑂𝐴 𝑂=𝐶 𝑂𝐵(cid:68)𝑂𝐶 = (cid:68)
∴∠𝑂𝐶𝐴 =∠𝑂𝐴𝐶 +∠𝑂𝐶𝐵 =∠𝑂𝐵𝐶 (cid:68) = + = (cid:68)
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝑂𝐶𝐴+∠𝑂𝐴𝐶 =2∠𝑂𝐶𝐴 +∠𝐵𝑂𝐷 =∠𝑂𝐶𝐵 ∠=𝑂𝐵𝐶(cid:68) 2∠𝑂𝐶𝐵
∴∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐷 ∠𝐵𝑂𝐷 2∠𝑂𝐶𝐴 2∠𝑂𝐶𝐵 2∠𝐴𝐶𝐵 𝛼
= (cid:68)
2
𝛼
∴∠𝐴𝐶𝐵
+ = = (cid:74)
2
𝛼
∴∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 180°−∠𝐴𝐶𝐵 180°−
(cid:26)(cid:27) (cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68)
∵𝐴𝐼 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐼 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 (cid:68) = 1 (cid:68)
2 2
∴∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐵𝐴
+ = 1 ( + )= (cid:68)
2 4
𝛼
∴∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐴𝐵𝐼 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐶𝐵𝐴 90°−
= ( + )=90°+ (cid:74)
4
𝛼
∴∠𝐴𝐼𝐵 180°− ∠𝐵𝐴𝐼 ∠𝐴𝐵𝐼
(cid:90)(cid:91)B(cid:74)
【题型3 根据垂直平分线的性质求面积】
(cid:15)(cid:53)3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:134)(cid:195)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:64)(cid:28)(cid:68) (cid:44) (cid:139)(cid:29)(cid:64)(cid:24)
(cid:28)(cid:68)(cid:196) (cid:49) (cid:197)(cid:138)(cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:145)(cid:115) (cid:68) (cid:68)(cid:70)(cid:95)(cid:139)(cid:101) △(cid:49)(cid:95)𝐴𝐵(cid:139)𝐶(cid:101) 𝐵𝐷(cid:29)Δ(cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:27)(cid:125)(cid:73)8(cid:124)𝐸𝐹13(cid:68)𝐵𝐶(cid:71)
(cid:29)(cid:36)(cid:37)𝐵(cid:73)𝐷((cid:198)𝐸(cid:198)𝐹) 𝐺 𝐴𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺 △𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
A(cid:74)36 B(cid:74)22 源 ， C(cid:74)20 D(cid:74)21
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)B
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:29)(cid:44)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:131)(cid:132)(cid:68)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:29)(cid:109)(cid:83)(cid:28)(cid:52)(cid:29)
(cid:170)(cid:162)(cid:199)(cid:109)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:150)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:93)(cid:131)(cid:132)(cid:68)(cid:82)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:95)(cid:139)(cid:101) (cid:49)(cid:95)(cid:139)(cid:101) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:125)(cid:73)8(cid:124)13(cid:68)
= ∵ =5(cid:68)𝐶𝐷𝐺𝐸 𝐴𝐶𝐸𝐺
∴𝑆△𝐴(cid:44)𝐺𝐷 13−(cid:29)8(cid:64)(cid:28)(cid:68)
∵𝐵𝐷 △=𝐴𝐵𝐶 =5(cid:68)
∴𝑆△𝐶𝐺𝐷=3𝑆(cid:68)△𝐴𝐺𝐷
∴𝑆△𝐶(cid:44)𝐺𝐸 (cid:139)(cid:29)(cid:64)(cid:24)(cid:28)(cid:68)
∵𝐸(cid:44)𝐹 𝐵(cid:29)𝐶 (cid:64)(cid:109)(cid:68)
∴𝐸 𝐵𝐶= =3(cid:68)
∴𝑆△𝐵𝐸𝐺 =𝑆3△+𝐶𝐺3𝐸+5=11(cid:68)
∴𝑆△𝐵𝐷𝐶 =22(cid:68)
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶(cid:90)(cid:91)(cid:10)B
(cid:15)(cid:92)(cid:93)3-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:202)(cid:118)(cid:203)(cid:136)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:68) (cid:44) (cid:117)(cid:29)(cid:170)(cid:109)(cid:68)(cid:70)
=2(cid:68) =3(cid:68)(cid:71)(cid:67)(cid:64)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:27)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:44) (cid:74)𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐸,𝐹 𝐴𝐷
𝐵𝐷 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)3
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:67)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:24)(cid:25) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:67)(cid:101)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:157)(cid:82)(cid:83) (cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:88)(cid:40) (SSS)(cid:68)(cid:82)(cid:83) = (cid:68)(cid:130)(cid:78)(cid:88)(cid:82)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:27)
(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:73) 𝐴𝐷(cid:68)(cid:130)𝐵(cid:78)𝐶(cid:87)(cid:88)(cid:32)(cid:86)(cid:74) △𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐸𝐹 𝑆△𝐵𝐸𝐹 𝑆△𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)𝑆(cid:86)△(cid:10)𝐴𝐵𝐷 (cid:44) (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:68)
A
+
A
科
全
★
(cid:44) (cid:29)(cid:24)∵(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷(cid:27)△(cid:28)(cid:68)𝐴𝐵𝐶
众
号
公
注
关
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 = (cid:68) 源 ，
资
辅
教
∴(cid:69)𝐵𝐸 𝐶𝐸(cid:124),𝐵𝐹 𝐶𝐹(cid:64)(cid:68)
△=𝐵𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹
= (cid:68)
𝐵𝐸= 𝐶𝐸
𝐵𝐹 𝐶𝐹
𝐸𝐹 𝐸𝐹 (SSS)(cid:68)
∴△𝐵𝐸𝐹=≌△𝐶𝐸(cid:68)𝐹
∴𝑆△𝐵𝐸𝐹
=
𝑆△𝐶𝐸𝐹
= 1 = 1 ×2×3=3(cid:68)
阴影 2 2
∴𝑆 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷·𝐴𝐷
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)3 (cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)3-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:211)(cid:62)(cid:64)(cid:166)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:69) (cid:64)(cid:68) = =6cm(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:138) (cid:140)(cid:109) D(cid:68) (cid:138) (cid:140)(cid:109)E(cid:68)(cid:109)F(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:109)M(cid:73)△(cid:28)𝐴(cid:52)𝐵𝐶 (cid:117)(cid:104)𝐴(cid:212)𝐵 (cid:109)𝐴(cid:68)𝐶(cid:70),𝐵𝐶 (cid:72)(cid:33)𝐴(cid:29)𝐵 (cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73)
10cm𝐴(cid:68)𝐵 (cid:71) (cid:29)𝐴(cid:36)𝐶(cid:37)(cid:44) cm (cid:74)𝐵𝐶 𝐷𝐸 △𝐵𝐹𝑀
2
△𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)21
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:32)(cid:38)(cid:213)(cid:200)(cid:201)(cid:141)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:150)(cid:112)(cid:175)(cid:74)
(cid:130)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82)A(cid:49)B(cid:3)(cid:140) (cid:204)(cid:205)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:71)(cid:160)A(cid:141) (cid:141)F(cid:100)(cid:109)(cid:214)
′ ′ ′
(cid:28)(cid:163)(cid:68) (cid:72)(cid:33)(cid:38)(cid:189)(cid:68)(cid:87)(cid:160)(cid:109)M(cid:49)𝐸𝐷 (cid:110)(cid:51)(cid:163)(cid:68) 𝐴𝐹 (cid:72)𝐸𝐷(cid:33)(cid:215)(cid:82)𝑀(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)𝐵𝑀 (cid:72)(cid:33)(cid:38)(cid:189)𝑀(cid:73) + (cid:29)
′ ′
(cid:33)(cid:68)(cid:22)(cid:23)△(cid:150)𝑀(cid:151)𝐵(cid:100)𝐹 (cid:35)(cid:101)“(cid:100)(cid:28)(cid:51)(cid:104)”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)𝑀(cid:82) △(cid:68)𝐵(cid:22)𝐹(cid:23)𝑀(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:93)(cid:87)△(cid:88)(cid:82)𝐵𝐹(cid:75)𝑀(cid:76)(cid:74) 𝐴𝐹 𝐹𝐵
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
A(cid:49)B(cid:3)(cid:140) ∵𝐸(cid:204)𝐷(cid:205)(cid:68) 𝐴𝐵
∴(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:138) 𝐸𝐷(cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:145)(cid:146)
+
A
′ ′ 科 A
𝐴𝐹 𝐸𝐷 𝑀 𝐵𝑀 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
= (cid:68)
′ ′
∵𝐴𝑀 𝑀=𝐵 + + = + + + (cid:68)
′ ′ ′ ′ ′
∴(cid:160)𝐶△A𝑀(cid:141)𝐵𝐹 (cid:141)𝑀F(cid:100)𝐵(cid:109)(cid:214)𝑀(cid:28)𝐹(cid:163)(cid:68)𝐹𝐵 𝐴𝑀 (cid:72)𝑀(cid:33)(cid:38)𝐹(cid:189)𝐹(cid:68)𝐵(cid:87)≥(cid:160)𝐴(cid:109)𝐹 M𝐹(cid:49)𝐵 (cid:110)(cid:51)(cid:163)(cid:68) (cid:72)(cid:33)(cid:215)(cid:82)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)
′ ′ ′
𝑀(cid:72)(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73)10c△m𝑀(cid:68)𝐵𝐹 𝑀 △𝐵𝐹𝑀
∵△𝐵𝐹𝑀= + =10cm(cid:68)
∴F𝐶△(cid:73)𝑀𝐵𝐹 (cid:139)𝐴(cid:29)𝐹(cid:64)(cid:109)𝐹(cid:68)𝐵 = (cid:68) =6cm(cid:68)
∵ 𝐵𝐶 (cid:68) = 𝐴=𝐵 3cm𝐴𝐶(cid:68) 𝐵𝐶
∴𝐴𝐹⊥=𝐵𝐶 𝐵=𝐹 7c𝐶m𝐹(cid:68)
∴𝐴𝐹 1 = 0−13 × × = 1 ×6×7=21cm (cid:74)
2 2
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐹
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)21(cid:74)(cid:15)(cid:92)(cid:93)3-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:133)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) =45°(cid:68) =4(cid:68)
=12(cid:68)D(cid:73)(cid:139) (cid:117)(cid:29)(cid:212)(cid:109)(cid:68)(cid:109) (cid:3)(cid:140) (cid:68) (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:27)(cid:125)(cid:44)(cid:109)△𝐴(cid:68)𝐵𝐶(cid:68)(cid:145)∠(cid:146)𝐵𝐴𝐶(cid:68) (cid:68) 𝐵(cid:68)𝐶 𝑆(cid:36)△𝐴(cid:37)𝐵𝐶(cid:29)
(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73) 𝐵 𝐶 (cid:74) 𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)18
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:32)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:29)(cid:219)(cid:20)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:25)(cid:35)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:49)(cid:42)(cid:48)(cid:68)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)
(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:150)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:82)
= = (cid:68) =90°(cid:68)(cid:82) 𝐴𝐸 (cid:44)𝐴(cid:150)𝐷(cid:151)(cid:25)𝐴𝐹(cid:35)(cid:100)𝐴(cid:35)𝐷(cid:101)(cid:68)∠𝐸(cid:114)𝐴(cid:22)𝐵(cid:23)(cid:24)∠𝐷(cid:28)𝐴(cid:52)𝐵(cid:38)∠(cid:213)𝐶𝐴(cid:82)𝐷(cid:160) ∠𝐶𝐴𝐹 (cid:163)(cid:68) (cid:215)(cid:38)(cid:189)
+
A
(cid:39)𝐴𝐸(cid:68)(cid:87)𝐴(cid:88)𝐹(cid:47)(cid:75)𝐴𝐷(cid:74) ∠𝐸𝐴𝐹 △𝐸𝐴𝐹 科 A 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷
全
★
号
众
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:66)(cid:67)(cid:164)(cid:223)(cid:10) 公
注
关
，
源
𝐴𝐷 辅 资
教
(cid:109) (cid:3)(cid:140) (cid:68) (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:27)(cid:125)(cid:44)(cid:109) (cid:68) (cid:68)
∵ 𝐷(cid:44) (cid:29)𝐴𝐵(cid:24)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐶 (cid:27)(cid:28)(cid:68) (cid:44) (cid:29)(cid:24)𝐸 (cid:25)𝐹(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∴𝐴𝐵=𝐷𝐸(cid:68) = (cid:68) 𝐴𝐶 =𝐷𝐹 (cid:68) = (cid:68)
∴𝐴𝐸=𝐴𝐷=𝐴𝐹 (cid:68)𝐴𝐷 ∠=𝐸𝐴𝐵 ∠𝐷=𝐴𝐵90°(cid:68)∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐹
∴𝐴𝐸 𝐴(cid:44)𝐹 (cid:150)𝐴(cid:151)𝐷(cid:25)(cid:35)∠𝐸(cid:100)𝐴(cid:35)𝐹(cid:101)(cid:68)2∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:160)△𝐸𝐴(cid:38)𝐹(cid:189)(cid:87) (cid:215)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:163)(cid:68) (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:189)(cid:68)
∴(cid:160)𝐴𝐸 (cid:68)𝐴𝐷 (cid:215)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68) △𝐴𝐸𝐹
∴ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷=4(cid:68) =12(cid:68)
∵𝐵1
×
𝐶
4×
𝑆△
=
𝐴𝐵
1
𝐶
2(cid:68)
2
∴ 𝐴𝐶
=6(cid:68)
∴𝐴𝐶 (cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)= 1 × = 1 × =18(cid:68)
2 2
2 2
∴△𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐶
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)18(cid:74)
【题型4 根据垂直平分线的性质求最值】
(cid:15)(cid:53)4(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:224)(cid:136)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) =4(cid:68)(cid:36)(cid:37)(cid:44)12(cid:68) (cid:29)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:27)(cid:125)(cid:138) (cid:68) (cid:139)(cid:140)(cid:109)E(cid:68)F(cid:74)(cid:70)(cid:109)D(cid:73) (cid:139)△(cid:29)𝐴(cid:64)𝐵𝐶(cid:109)(cid:68)(cid:109)𝐴𝐵P(cid:73)𝐴(cid:28)𝐶(cid:52)𝐵𝐶(cid:117)(cid:104)(cid:212)(cid:109)(cid:68)(cid:71) 𝐴𝐶(cid:72)
(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)𝐸(cid:44)𝐹(cid:54)(cid:198)(cid:198)(cid:65)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐸𝐹 △𝑃𝐶𝐷
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
A(cid:74)8 B(cid:74)3 源 ， C(cid:74)6 D(cid:74)4
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:206)(cid:204)(cid:205)—(cid:38)(cid:213)(cid:225)(cid:28)(cid:219)(cid:20)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68) (cid:68)(cid:130)
= (cid:68)(cid:109) (cid:44) (cid:139)(cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:71) (cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:93)(cid:32)(cid:182) (cid:29)(cid:33)(cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23)𝐴𝐷(cid:44)(cid:28)𝐴𝑃(cid:52) (cid:29)
(cid:24)𝐴𝐵(cid:25)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶(cid:28)(cid:88)𝐷(cid:112)(cid:68)𝐵(cid:109)𝐶 (cid:3)(cid:140)(cid:25)(cid:28) (cid:29)𝐴𝐷(cid:204)⊥(cid:205)𝐵(cid:109)𝐶(cid:73)(cid:109) (cid:68)(cid:160) (cid:141)(cid:141) (cid:100)(cid:109)(cid:214)(cid:28)(cid:163)(cid:68)𝐴(cid:87)𝐷 (cid:29)(cid:33)(cid:73) +𝐸𝐹 (cid:29)(cid:38)(cid:189)𝐴𝐶(cid:39)(cid:68)
(cid:130)(cid:78)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:182)(cid:115)(cid:226)(cid:68)𝐶(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:112)𝐸(cid:175)𝐹 (cid:109)(cid:29)(cid:227)(cid:159)(cid:44)(cid:86)𝐴(cid:20)(cid:29)(cid:3)𝐴(cid:129)𝑃(cid:74) 𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝑃 𝑃𝐷
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10)(cid:145)(cid:146) (cid:68) (cid:68)
𝐴𝐷 𝐴𝑃
= (cid:68)(cid:109) (cid:44) (cid:139)(cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷 𝐵𝐶(cid:68)
∴𝐴𝐷⊥𝐵 = 𝐶1 = 1 ×4× =12(cid:68)
2 2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷 𝐴𝐷
=6(cid:68)
∴𝐴𝐷(cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∵(cid:109)𝐸𝐹 (cid:3)(cid:140)(cid:25)𝐴(cid:28)𝐶 (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:73)(cid:109) (cid:68)
∴(cid:160)𝐶(cid:141)(cid:141) (cid:100)𝐸(cid:109)𝐹(cid:214)(cid:28)(cid:163)(cid:68)(cid:87) 𝐴(cid:29)(cid:33)(cid:73) + (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)
∴ 𝐴 𝑃 (cid:29)(cid:72) 𝐷 (cid:33)(cid:38)(cid:213)=( + 𝐴𝐷 )+ 𝐶 = 𝑃 𝑃 + 𝐷1 =6+ 1 ×4=6+2=8(cid:68)
2 2
∴△𝐶𝐷𝑃 𝐶𝑃 𝑃𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:90)(cid:91)(cid:10)A(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)4-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:133)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:109) (cid:44)
(cid:25)(cid:28) (cid:117)(cid:29)(cid:104)(cid:162)(cid:212)(cid:109)(cid:74)(cid:70) =7(cid:68) =4(cid:68) =5(cid:68)(cid:71) △𝐴𝐵(cid:72)𝐶 (cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)𝑚(cid:39)(cid:44) 𝐵 𝐶 (cid:74) 𝑃
𝑚 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝑃𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)11
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:68)(cid:212)(cid:109)(cid:38)(cid:39)(cid:219)(cid:20)(cid:64)(cid:29)“(cid:99)(cid:228)(cid:229)(cid:230)”(cid:219)(cid:20)(cid:68)(cid:86)(cid:231)(cid:44)(cid:10)(cid:47)(cid:48)(cid:109)(cid:3)(cid:140)(cid:212)(cid:109)(cid:232)(cid:233)(cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:68)
(cid:130)(cid:140)(cid:109) (cid:3)(cid:140)(cid:25)(cid:28) (cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109)(cid:73)(cid:109) (cid:68)(cid:90)(cid:160)(cid:109) (cid:69) (cid:117)(cid:163)(cid:68) + (cid:39)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:68)(cid:32)(cid:182) (cid:33)(cid:34)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:83)(cid:115)(cid:226)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)𝐶 (cid:86)(cid:10)(cid:234)(cid:25)𝑚(cid:28) (cid:138) (cid:140) (cid:68)𝐵(cid:145)(cid:146) (cid:68)𝑃(cid:66)(cid:67)𝐴(cid:164)𝐵(cid:223)(cid:10) 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐴𝐵
𝑚 𝐴𝐵 𝐷 𝐵𝑃
(cid:25)(cid:28) (cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∵ (cid:141)𝑚(cid:3)(cid:140)𝐵𝐶(cid:25)(cid:28) (cid:204)(cid:205)(cid:68) = (cid:68)
∴(cid:160)𝐵 (cid:124)𝐶 (cid:110)(cid:51)(cid:163)(cid:68)𝑚 + 𝐵(cid:29)𝑃(cid:39)(cid:38)𝑃𝐶(cid:189)(cid:68)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:150)(cid:140) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
∴ 𝑃 𝐷(cid:72)(cid:33)= 𝐴+𝑃 𝐶+𝑃 (cid:68)(cid:196) + (cid:29)(cid:38)(cid:189)𝐴(cid:39)𝐵(cid:150)(cid:140) (cid:68)
∴△𝐴𝑃𝐶 𝐴𝑃 𝑃𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐴𝐵(cid:72)(cid:33)(cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:44) + =7+4=11(cid:68)
∴(cid:90)△(cid:75)𝐴(cid:76)𝑃(cid:73)𝐶 (cid:10)11(cid:74) 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:92)(cid:93)4-2(cid:19)(cid:54)22-23(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:166)(cid:62)(cid:235)(cid:134)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:138)
(cid:140)(cid:109)N(cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109)M(cid:68) =12cm(cid:68) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:44)20cm(cid:68)(cid:70)△(cid:109)𝐴P𝐵(cid:69)𝐶 (cid:25)(cid:28)𝐴𝐵 (cid:117)𝐴(cid:68)𝐶(cid:71)𝐴𝐶 (cid:29)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:73)𝐴 𝐶 .
𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝑀𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴−𝑃𝐵
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)8cm/8(cid:236)(cid:237)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83) = (cid:68)(cid:114)(cid:158)(cid:159)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:170)(cid:139)(cid:238)(cid:239)(cid:189)(cid:140)(cid:240)(cid:100)(cid:139)(cid:86)(cid:75)(cid:87)(cid:88)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68) 𝑀𝐴 𝑀𝐶
= (cid:68)∵𝑀𝑁 𝐴𝐶
+
A
A
科
(cid:142)∴𝑀𝐴 𝑀𝐶= + + =20cm(cid:68) + = =12cm★ (cid:68)全
号
众
公
∵𝐶=△𝐵𝑀𝐶 𝐵𝑀=8c𝑀m𝐶(cid:68) 𝐵𝐶 𝐵𝑀关𝑀 注 𝐴 𝐴𝐵
，
源
资
辅
(cid:69)∴𝐵𝐶 (cid:117)2(cid:215)0(cid:109)−12(cid:68)(cid:145)(cid:146)教(cid:141) (cid:141) (cid:68)
𝑀𝑁(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑃(cid:27) (cid:68) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶
∵𝑀𝑁= (cid:68) 𝐴𝐶
∴𝑃𝐴 𝑃𝐶= (cid:68)
(cid:69)∴𝑃𝐴−𝑃𝐵(cid:64) 𝑃𝐶−𝑃𝐵< (cid:68)
(cid:160)△(cid:141)𝑃𝐵(cid:141)𝐶 (cid:214)𝑃𝐶(cid:28)−(cid:163)𝑃𝐵(cid:68)(cid:87)𝐵𝐶(cid:241)(cid:212)(cid:83)(cid:49) (cid:110)(cid:51)(cid:163)(cid:68) (cid:161)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:68)
′
(cid:78)𝑃(cid:163) 𝐵 𝐶 = =8c𝑃m(cid:74) 𝑃 (𝑃𝐶−𝑃𝐵)
(cid:90)(cid:75)𝑃(cid:76)𝐶(cid:73)−𝑃(cid:10)𝐵8cm𝐵(cid:74)𝐶(cid:15)(cid:109)(cid:242)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:238)(cid:239)(cid:29)(cid:38)(cid:188)(cid:39)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:241)(cid:159)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:139)(cid:35)(cid:3)(cid:243)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)4-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:118)(cid:16)(cid:244)(cid:136)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:69)Rt (cid:64)(cid:68) =90°(cid:68) =5(cid:68) =12(cid:68) =13(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:109) (cid:44) (cid:117)(cid:104)(cid:212)(cid:109)(cid:68)(cid:245) (cid:47) (cid:68)(cid:24)△(cid:246)𝐴(cid:73)𝐵𝐶(cid:109) (cid:68)∠(cid:145)𝐴(cid:146) (cid:68)(cid:71)𝐴𝐵 + 𝐴(cid:29)𝐶(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73)𝐵𝐶 (cid:74)𝐸𝐹
𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹 𝑃 𝑃𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻 𝐵𝑃 𝐵𝑃 𝑃𝐻
60
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)
13
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:247)(cid:68)(cid:158)(cid:159)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:248)(cid:249) (cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)(cid:145)(cid:146)
(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83) = (cid:68)(cid:71)(cid:161) + = + (cid:68)(cid:27)(cid:77)(cid:88)𝐵(cid:112)𝑃(cid:160) (cid:100)(cid:109)(cid:214)(cid:28)(cid:163)(cid:68)
𝐴𝑃+ (cid:161)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73) (cid:29)𝐴𝑃(cid:33)(cid:68)𝐵(cid:78)𝑃(cid:163) (cid:44)𝐵R𝑃t 𝑃𝐻 (cid:29)𝐴(cid:247)𝑃(cid:68)𝑃(cid:114)𝐻(cid:158)≥(cid:159)𝐴(cid:150)𝐻(cid:36)(cid:37)(cid:231)(cid:87)(cid:88)(cid:32)𝐴(cid:86),𝑃(cid:74),𝐻
(cid:15)𝐵𝑃(cid:89)(cid:86)𝑃(cid:19)𝐻(cid:86)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68)𝐴𝐻 𝐴𝐻 △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:109) (cid:44) (cid:117)(cid:104)(cid:212)(cid:109)(cid:68)
∵𝐸𝐹 = (cid:68) 𝐴𝐵 𝑃 𝐸𝐹
∴𝐴𝑃+ 𝐵𝑃= + (cid:68)
∴(cid:160)𝐵𝑃 𝑃𝐻(cid:100)(cid:109)𝐴(cid:214)𝑃(cid:28)(cid:163)𝑃𝐻(cid:68)≥𝐴𝐻+ (cid:161)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
∴ 𝐴,𝑃,𝐻 (cid:68) (cid:100)(cid:109)(cid:214)𝐵𝑃(cid:28)(cid:68)𝑃𝐻 𝐴𝐻
∵(cid:78)𝑃𝐻(cid:163)⊥𝐵𝐶(cid:44)R𝐴t,𝑃,𝐻 (cid:29)(cid:247)(cid:68)
∴ 𝐴𝐻 △5×𝐴1𝐵2𝐶 60
= = =
13 13
𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
∴𝐴𝐻 𝐵𝐶
60
+ (cid:29)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:73) (cid:74)
13
∴𝐵𝑃 𝑃𝐻
60
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10) (cid:74)
13
【题型5 根据垂直平分线的性质求证明】
(cid:15)(cid:53)5(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:211)(cid:62)(cid:250)(cid:136)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:139)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:138) (cid:140)(cid:109)D(cid:68) (cid:139)(cid:29)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝑙1 𝐵𝐶 𝐴𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:138) (cid:140)(cid:109)E(cid:68) (cid:49) (cid:197)(cid:138)(cid:140)(cid:109)O(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68) (cid:68) (cid:74)
𝑙2 𝐵𝐶 𝑙1 𝑙2 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(1)(cid:70) (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)8cm(cid:68)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:33)(cid:73)________(cid:116)
(2)(cid:42)(cid:43)△(cid:109)𝐴𝐷O𝐸(cid:44)(cid:251)(cid:69) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:28)𝐶(cid:117)(cid:116)
(3)(cid:70) =120°(cid:68)𝐵𝐶(cid:32) (cid:29)(cid:34)(cid:169)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)∠𝐵(cid:19)𝐴(𝐶1)8cm ∠𝐷𝐴𝐸
(2)(cid:109)O(cid:69) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)
(3) =𝐵𝐶60°(cid:74)
(cid:15)(cid:27)∠𝐷(cid:77)𝐴(cid:19)𝐸(cid:113)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:44)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
+
A
A
科
(cid:28)(cid:117)(cid:29)(cid:109)(cid:83)(cid:28)(cid:52)(cid:170)(cid:162)(cid:199)(cid:109)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:150)(cid:74) 全
★
号
众
公
注
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:182) = 关(cid:68) = (cid:68)(cid:32)(cid:182) = + + (cid:116)
，
源
资
辅
(cid:54)2(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)教(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:182)𝐷𝐴= 𝐷𝐵(cid:68)𝐸𝐴= 𝐸𝐶(cid:68)(cid:156)(cid:182) 𝐵𝐶= 𝐵𝐷(cid:68)(cid:87)𝐷(cid:88)𝐸(cid:40)(cid:41)𝐸(cid:109)𝐶 O(cid:69) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:116)
(cid:54)3(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:82)(cid:182) 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵 𝑂=𝐴60°(cid:68)𝑂𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:150)(cid:151)𝑂𝐵(cid:100)(cid:35)𝑂(cid:101)𝐶(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:182) =𝐵𝐶 (cid:68)
= (cid:68)(cid:22)(cid:23) =∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:32)(cid:182)(cid:115)(cid:252)(cid:87)(cid:88)(cid:74) ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
(cid:15)∠𝐸(cid:89)𝐴𝐶(cid:86)(cid:19)∠(cid:54)𝐴1𝐶(cid:65)𝐵(cid:86)(cid:10) ∠(cid:44)𝐷𝐴𝐸(cid:139)(cid:29)∠𝐵(cid:24)𝐴(cid:25)𝐶−(cid:26)∠(cid:27)𝐵𝐴(cid:28)𝐷(cid:68)−∠𝐸𝐴𝐶
= (cid:68) ∵𝑙1 𝐴𝐵
∴𝐷𝐴(cid:44) 𝐷(cid:139)𝐵(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∵𝑙2 =𝐴𝐶 (cid:68)
∴𝐸𝐴 𝐸𝐶(cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)8cm(cid:68)
∵△𝐴=𝐷𝐸 + + = + + =8(cm)(cid:116)
(cid:90)∴𝐵(cid:75)𝐶(cid:76)(cid:73)𝐵𝐷(cid:10)8c𝐷m𝐸(cid:116) 𝐸𝐶 𝐷𝐴 𝐷𝐸 𝐸𝐴
(cid:54)2(cid:65)(cid:86)(cid:10)(cid:109)O(cid:69) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)
(cid:177)(cid:130)(cid:10) (cid:44) (cid:139)(cid:29)𝐵𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
=∵𝑙1(cid:68)𝐴𝐵
∴𝑂𝐴(cid:44) 𝑂(cid:139)𝐵(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∵𝑙2 𝐴𝐶= (cid:68)
∴𝑂𝐴 =𝑂𝐶(cid:68)
∴(cid:109)𝑂𝐵O(cid:69)𝑂𝐶 (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:116)
∴(cid:54)3(cid:65)(cid:86)(cid:10)𝐵𝐶 =120°(cid:68)
+ ∵∠𝐵𝐴𝐶=60°(cid:68)
∴∠𝐴𝐵=𝐶 ∠(cid:68)𝐴𝐶𝐵= (cid:68)
∵𝐷𝐴 𝐷=𝐵 𝐸𝐴(cid:68)𝐸𝐶 = (cid:68)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵= =60°(cid:74)
(cid:15)∴∠(cid:92)𝐷𝐴(cid:93)𝐸5-1∠(cid:19)𝐵(cid:54)𝐴𝐶2−4-∠25𝐵𝐴(cid:55)𝐷(cid:56)−(cid:57)∠𝐸(cid:117)𝐴𝐶·(cid:133)(cid:134)1(cid:134)20(cid:144)°−·6(cid:121)0(cid:52)° (cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:253)(cid:254)(cid:156)(cid:177)(cid:29)(cid:255)(cid:231)(cid:44)(cid:256)(cid:257)(cid:67)(cid:101)(cid:178)(cid:30)(cid:29)(cid:110)(cid:149)(cid:255)(cid:231)(cid:68)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)
(cid:262)(cid:263)(cid:193)(cid:264)(cid:265)(cid:86)(cid:75)(cid:74)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
(1)(cid:66)(cid:67)1(cid:68)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)源(cid:25)(cid:26)，(cid:27)(cid:28)(cid:68)P(cid:44) (cid:117)(cid:266)(cid:104)(cid:109)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:141) (cid:68)(cid:99)(cid:28)(cid:52) (cid:105)(cid:25)(cid:28) (cid:204)(cid:107)(cid:68)
资
辅
教
(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:270) (cid:49) 𝑀(cid:264)𝑁(cid:210)(cid:110)(cid:51)𝐴(cid:68)𝐵(cid:130)(cid:78)(cid:88)(cid:82)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝑀𝑁(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:177)(cid:10)__𝑃_𝐴___𝑃__𝐵(cid:74) 𝐴𝐵 𝑀𝑁
(2)(cid:258)(cid:259)(cid:115)𝑃(cid:51)𝐴(cid:67)(cid:101)𝑃𝐵(cid:271)(cid:111)(cid:112)(cid:124)(cid:32)(cid:40)(cid:272)(cid:273)(cid:264)(cid:265)(cid:68)(cid:193)(cid:274)(cid:182)(cid:40)(cid:41)(cid:245)(cid:275)(cid:74)
(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:66)(cid:67)1(cid:68) (cid:140)(cid:109)C(cid:68)________(cid:68)(cid:109)P(cid:44)(cid:25)(cid:28) (cid:117)(cid:29)(cid:266)(cid:157)(cid:104)(cid:109)(cid:74)(cid:32)(cid:40)(cid:10)________(cid:74)
(cid:40)(cid:41)(cid:10) 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵 𝑀𝑁
(3)(cid:66)(cid:67)2(cid:68)CD(cid:44)(cid:28)(cid:52)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68) =22°(cid:68) =50°(cid:68)(cid:71) =________(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(1)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:29)(cid:109)(cid:83)(cid:28)(cid:52)(cid:170)∠𝐶(cid:199)𝐴𝐷(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:150)∠𝐶𝐵𝐴 ∠𝐴𝐷𝑃
(2) = (cid:116) = (cid:116)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(3)𝐴62𝐶° 𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:78)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:29)(cid:44)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:67)(cid:101)(cid:141)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:276)(cid:245)(cid:277)(cid:104)(cid:278)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:193)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:140)(cid:279)(cid:278)(cid:28)
(cid:52)(cid:29)(cid:25)(cid:28)(cid:68)(cid:280)(cid:281)(cid:279)(cid:278)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)((cid:64)(cid:24)(cid:28))(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:282)(cid:205)“(cid:64)(cid:24)(cid:28)”(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:75)(cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:75)(cid:116)
(cid:54)3(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:25)(cid:35)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:170)(cid:171)(cid:35)(cid:172)(cid:173)(cid:87)(cid:88)(cid:86)(cid:75)(cid:74)(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)1(cid:65)(cid:86)(cid:10) (cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
= (cid:68) =∵ 𝑀 𝑁=90° 𝐴𝐵
(cid:69)∴𝐴𝐶 𝐵(cid:124)𝐶 ∠𝐴𝐶𝑃(cid:64) ∠𝐵𝐶𝑃
△𝐴𝐶=𝑃 △𝐵𝐶𝑃
=
𝐴𝐶 =𝐵𝐶
∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐵𝐶𝑃
𝑃𝐶 𝑃𝐶 (SAS)
∴△𝐴𝐶=𝑃≌△(cid:74)𝐵𝐶𝑃
(cid:87)∴(cid:28)𝐴𝑃(cid:52)(cid:24)𝐵(cid:25)𝑃(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:48)(cid:177)(cid:10)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:29)(cid:109)(cid:83)(cid:28)(cid:52)(cid:170)(cid:199)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:150)(cid:74)
(cid:54)2(cid:65)(cid:86)(cid:10)(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:66)(cid:67)1(cid:68) (cid:140)(cid:109)C(cid:68) = (cid:68)(cid:109)P(cid:44)(cid:25)(cid:28) (cid:117)(cid:29)(cid:266)(cid:157)(cid:104)(cid:109)(cid:74)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:74)
(cid:90)(cid:75)(cid:76)(cid:73) = (cid:116) =𝑀𝑁⊥(cid:116)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑀𝑁 𝑃𝐴 𝑃𝐵
(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:86)∶(cid:10)𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃𝐴(cid:68) 𝑃𝐵
=∵ 𝑀𝑁 ⊥=𝐴9𝐵0°
(cid:69)∴ ∠𝐴𝐶𝑃(cid:124)∠𝐵𝐶𝑃 (cid:64)
A
+
△𝐴𝐶=𝑃 △𝐵𝐶𝑃 科 A
全
= 号 ★
众
𝐴𝐶 =𝐵𝐶 注 公
关
∠𝐴𝐶𝑃 ∠𝐵𝐶𝑃 ，
源
𝑃𝐶 𝑃𝐶 (SAS) 辅 资
教
∴△𝐴𝐶=𝑃≌△(cid:74)𝐵𝐶𝑃
(cid:54)∴3𝐴(cid:65)𝑃(cid:86)(cid:10)𝐵𝑃 CD(cid:44)(cid:28)(cid:52)AB(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
= ∵(cid:68) =90°(cid:74)
∴ 𝐴𝐶 =𝐵𝐶 ∠𝐴𝑃=𝐶50°(cid:74)
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= (cid:68)
∵∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐷𝐴𝑃 ∠𝐶𝐴𝐵= =28°(cid:74)
∴∠𝐷𝐴𝑃+ ∠𝐶𝐴𝐵−=∠9𝐶0𝐴°𝐷(cid:68) 50°−22°
∵∠𝐷𝐴𝑃=∠𝐴𝐷𝑃 = =62°(cid:74)
(cid:15)∴(cid:92)∠𝐴(cid:93)𝐷𝑃5-2(cid:19)90(cid:54)°−23∠-𝐷24𝐴𝑃(cid:55)(cid:56)9(cid:57)0(cid:117)°−·2(cid:203)8°(cid:216)(cid:284)(cid:285)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:68) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109)
(cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:196) = (cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶
𝐹 𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:116)
(2)(cid:70) 𝐴𝐵(cid:29)(cid:72)𝐸(cid:33)𝐶 (cid:73)42cm(cid:68) =16cm(cid:68)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)△(cid:19)𝐴(𝐵1𝐶)(cid:40)(cid:41)(cid:180)(cid:86)(cid:77) 𝐴𝐶 𝐷𝐶
(2) =13cm
(cid:15)(cid:27)𝐷𝐶(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:29)(cid:44)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:29)(cid:109)(cid:83)(cid:28)(cid:52)(cid:29)(cid:170)(cid:162)(cid:199)(cid:109)(cid:29)(cid:200)(cid:201)
(cid:197)(cid:150)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:88) = (cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23) (cid:68) = (cid:68)(cid:82)(cid:83) (cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:150)(cid:220)
(cid:221)(cid:222)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:116) 𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸
(cid:54)2(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:157)(cid:68)(cid:71) + + =42cm(cid:68)(cid:32)(cid:182) + =42cm-16cm=26cm(cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23)
+ + + 𝐴=𝐵26𝐵cm𝐶(cid:68)𝐴(cid:82)𝐶(cid:83) + =13𝐴c𝐵m(cid:68)𝐵(cid:38)𝐶(cid:185)(cid:22)(cid:23) = + (cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:74)
𝐴(cid:15)𝐵(cid:89)(cid:86)𝐵(cid:19)𝐷(cid:54)1𝐷(cid:65)𝐸(cid:86)(cid:10)𝐸𝐶(cid:40)(cid:41)(cid:66)(cid:58)(cid:10) 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐶
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)
∵𝐸𝐹 = (cid:68) 𝐴𝐶
+
A
∴𝐴𝐸 𝐸𝐶(cid:68) = (cid:68) 科 A
全
★
号
众
∵𝐴𝐷(cid:44)⊥𝐵𝐶(cid:29)(cid:24)𝐵𝐷(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:27)𝐸(cid:28)(cid:68) 公
注
关
，
源
∴𝐴𝐷=𝐵𝐸(cid:68) 辅 资
教
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸(cid:74)
∴(cid:54)𝐴2𝐵(cid:65)(cid:86)𝐸(cid:10)𝐶 (cid:29)(cid:72)(cid:33)(cid:73)42cm(cid:68)
+ ∵+△𝐴𝐵=𝐶42cm(cid:68)
∴𝐴𝐵=𝐵16𝐶cm𝐴(cid:68)𝐶
∵𝐴𝐶+ =42cm-16cm=26cm(cid:68)
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐶(cid:68) = (cid:68)
∵𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+𝐴𝐵 +𝐸𝐶=26cm(cid:68)
∴𝐴𝐵 +𝐵𝐷 𝐷=𝐸26c𝐸m𝐶(cid:68)
∴2𝐷𝐸+ 2𝐸=𝐶13cm(cid:68)
∴𝐷𝐸=𝐸𝐶 + (cid:68)
∵𝐷𝐶=𝐷13𝐸cm(cid:74)𝐸𝐶
(cid:15)∴𝐷(cid:92)𝐶(cid:93)5-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:166)(cid:167)(cid:286)(cid:287)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) =50°(cid:68) (cid:68)(cid:24)
(cid:246)(cid:73)D(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:138) (cid:140)(cid:109)E(cid:68)(cid:138) (cid:140)(cid:109)F(cid:68)(cid:145)(cid:146)△𝐴𝐵(cid:74)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐹(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:116)
(2)(cid:32) 𝐴(cid:34)𝐹 (cid:169)𝐵(cid:74)𝐹
(cid:15)(cid:75)(cid:76)∠𝐹(cid:19)𝐵(𝐷1)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(2) =40°
(cid:15)(cid:27)∠𝐹(cid:77)𝐵(cid:19)𝐷(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:42)(cid:48)(cid:141)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:176)(cid:35)(cid:124)(cid:48)(cid:177)(cid:150)(cid:112)(cid:175)(cid:68)(cid:288)
(cid:161)(cid:104)(cid:48)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:30)(cid:68)(cid:289)(cid:290)(cid:34)(cid:291)(cid:188)(cid:68)(cid:178)(cid:140)(cid:179)(cid:180)(cid:20)(cid:21)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:117)(cid:165)(cid:112)(cid:175)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = (cid:68)(cid:114)(cid:22)(cid:23)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)“(cid:100)(cid:28)(cid:51)(cid:104)”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41) (cid:44)
(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐶𝐹(cid:28)(cid:68)(cid:82) = (cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:40)(cid:82)(cid:115)(cid:226)(cid:116) 𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶
(cid:54)2(cid:65)(cid:130)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:176) 𝐵 (cid:35) 𝐹 (cid:124)(cid:48) 𝐶𝐹 (cid:177)(cid:32)(cid:182) = =65°,(cid:114)(cid:22)(cid:23)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)“(cid:100)A(cid:28)A(cid:51)(cid:104) + ”(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41) = 1
全 科 2
★
号
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 众 ∠𝐶𝐴𝐹
=25°(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) =公(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:88)(cid:32)(cid:82) = =25°(cid:68)(cid:184)(cid:185)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:29)
注
关
，
源
∠(cid:124)𝐵(cid:239)𝐴𝐶(cid:87)(cid:88)(cid:32)(cid:182) (cid:68)(cid:130) 辅=资(cid:88)(cid:82) = 𝐴𝐹 (cid:68)𝐶𝐹(cid:87)(cid:88)(cid:32)(cid:182)(cid:75)(cid:76)(cid:74)∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐴𝐶𝐹
教
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)1(cid:65)∠(cid:40)𝐵𝐶(cid:41)𝐹(cid:10)(cid:145)(cid:146)𝐶𝐹 (cid:68)𝐵𝐹 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐵𝐶𝐹
𝐶𝐹
(cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∵𝐸𝐹 =𝐴𝐶 (cid:68)
∴𝐴𝐹 =𝐶𝐹(cid:68) (cid:68)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:68)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴𝐵𝐷(cid:44) 𝐶𝐷(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∴𝐴𝐷=𝐵𝐶(cid:68)
∴𝐵𝐹 𝐶𝐹= (cid:116)
(cid:54)∴2𝐴(cid:65)𝐹(cid:86)(cid:10)𝐵𝐹 = (cid:68) =50°(cid:68)
=
∵𝐴𝐵 𝐴
=
𝐶1
(
∠𝐵𝐴𝐶
)=65°(cid:68)
2
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 180°−∠𝐵𝐴𝐶
(cid:68)
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 = 1 =25°(cid:68)
2
∴∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐶
= (cid:68)
∵𝐴𝐹 𝐶=𝐹 =25°(cid:68)
∴∠𝐶𝐴𝐹 =∠𝐴𝐶𝐹 =40°(cid:74)
【
∴
题
∠𝐹
型
𝐵𝐷6
判
∠𝐵
断
𝐶
是
𝐹
垂直平分线】
(cid:15)(cid:53)6(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:134)(cid:195)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68) = (cid:68)(cid:24)(cid:246)(cid:27)(cid:125)(cid:73)E(cid:141)D(cid:74)
𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐸⊥𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:116)
(2)(cid:145)(cid:146) 𝐴(cid:141)𝐷 (cid:68)𝐴𝐸(cid:42)(cid:43)(cid:25)(cid:28) (cid:49) (cid:29)(cid:3)(cid:243)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)𝐴𝑂(1)(cid:180)𝐵𝐶(cid:86)(cid:77) 𝐴𝑂 𝐵𝐶
(2) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:15)(cid:27)𝐴𝑂(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)𝐵(cid:80)𝐶(cid:81)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:210)(cid:150)(cid:100)
(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:255)(cid:231)(cid:44)(cid:113)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:130)“AAS”(cid:88)(cid:40) (cid:68)(cid:88)(cid:82) = (cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:130)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)△(cid:29)𝐴(cid:30)𝐷(cid:31)𝐶≌(cid:124)△(cid:150)𝐴(cid:151)𝐸(cid:100)𝐵(cid:35)(cid:101)(cid:29)𝐴(cid:30)𝐷(cid:31)(cid:88)𝐴(cid:82)𝐸 = (cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:88)(cid:82) = (cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:115)(cid:226)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)1(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:68) (cid:68) ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐸𝐵𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶
= =90∵°(cid:68)𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
(cid:69)∴∠𝐴𝐷𝐶 (cid:124)∠𝐴𝐸𝐵 (cid:64)(cid:68)
△𝐴𝐷=𝐶 △𝐴𝐸𝐵
= (cid:68)
∠𝐴= ∠𝐴
∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐸𝐵
𝐴𝐶 𝐴𝐵AAS)(cid:68)
∴ △=𝐴𝐷𝐶≌(cid:116)△𝐴𝐸𝐵(
(cid:54)∴2𝐴(cid:65)𝐷(cid:86)(cid:10)𝐴𝐸 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:177)(cid:130)(cid:66)(cid:58)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68)
𝐴𝑂 𝐵𝐶
= (cid:68)
= (cid:68) ∵𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴∠ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 (cid:68)
∵ △𝐴𝐷=𝐶≌△𝐴𝐸(cid:68)𝐵
∴∠𝐴𝐵𝐸 =∠𝐴𝐶𝐷(cid:68)
∴∠𝐷𝐶=𝐵 ∠(cid:68)𝐸𝐵𝐶
+
A
A
科
(cid:142)∴𝐵𝑂 =𝐶𝑂 (cid:68) ★ 全
号
众
公
注
∵𝐴(cid:24)𝐵(cid:25)(cid:26)𝐴𝐶(cid:27) (cid:74) 关
，
源
资
辅
(cid:15)∴(cid:92)𝐴𝑂(cid:93)6-1(cid:19)(cid:54)𝐵2𝐶4-25教(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:292)(cid:167)(cid:167)(cid:293)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:164)(cid:223)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)D(cid:44) (cid:117)(cid:29)(cid:104)(cid:109)(cid:68)(cid:196)
= (cid:68) (cid:68) (cid:26)(cid:27) (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:26)(cid:294)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:294)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83)
= (cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:190)(cid:82)(cid:83) = (cid:68)(cid:150)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:82)(cid:83) = (cid:68)(cid:32)(cid:82)(cid:109)F(cid:69)(cid:28)(cid:52)
∠(cid:29)𝐶(cid:24)𝐷𝐸(cid:25)(cid:26)∠(cid:27)𝐷(cid:28)𝐶𝐹(cid:117)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:112)(cid:278)(cid:295)(cid:82)(cid:83)(cid:109)A(cid:69)∠𝐶(cid:28)𝐷(cid:52)𝐹 ∠(cid:29)𝐶(cid:24)𝐷𝐸(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)(cid:140)(cid:44)∠(cid:82)𝐶𝐷(cid:83)𝐹(cid:115)(cid:226)∠𝐷(cid:74)𝐶𝐹 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:68) 𝐶𝐷
= ∵(cid:68)𝐷𝐸∥𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐷(cid:26)𝐸(cid:27) ∠𝐷𝐶𝐹(cid:68)
∵𝐶𝐷 ∠𝐸𝐷𝐹= (cid:68)
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸(cid:68)
∴∠𝐶𝐷=𝐹 (cid:68)∠𝐷𝐶𝐹
∴(cid:109)𝐷𝐹F(cid:69)𝐶(cid:28)𝐹 (cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)
∴ = (cid:68)𝐶𝐷
∵(cid:109)𝐴𝐷A(cid:69)𝐴(cid:28)𝐶(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)
∴ (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐶𝐷(cid:74)
∴(cid:15)𝐴(cid:92)𝐹(cid:93)6-2(cid:19)(cid:54)𝐶𝐷23-24(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:293)(cid:296)(cid:297)(cid:298)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:95)(cid:139)(cid:101) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) = (cid:68)(cid:267)(cid:268)
(cid:271)(cid:279)(cid:153)(cid:170)(cid:299)(cid:300)(cid:139)(cid:27)(cid:125)(cid:197)(cid:150)(cid:29)(cid:95)(cid:139)(cid:101)(cid:280)(cid:281)“(cid:301)(cid:101)”(cid:74) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶
+
A
A
科
全
★
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:116)
众
号
公
注
关
(2)(cid:25)(cid:28) △(cid:44)(cid:28)𝐴𝐵(cid:52)𝐶≌△(cid:29)𝐴(cid:24)𝐷𝐶(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)源(cid:302)(cid:303)，(cid:258)(cid:304)(cid:41)(cid:177)(cid:130)(cid:74)
资
辅
教
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)𝐴𝐶(1)(cid:180)(cid:86)(cid:77)𝐵𝐷
(2)(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:177)(cid:130)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)𝐴𝐶(cid:78)(cid:20)(cid:79)(cid:80)𝐵(cid:81)𝐷(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:116)
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:294)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:88)(cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:182)(cid:40)(cid:41)(cid:116)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)1(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:69) (cid:124) (cid:64)(cid:68)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶
= (cid:68)
𝐴𝐵 =𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐴𝐶 (cid:68)
∴(cid:54)△2(cid:65)𝐴𝐵𝐶(cid:44)≌△(cid:28)(cid:52)𝐴𝐷𝐶 (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:177)(cid:130)(cid:66)(cid:58)(cid:10)
=𝐴𝐶 (cid:68) 𝐵=𝐷 (cid:68)
∵𝐴𝐵(cid:69)𝐴𝐷(cid:29)(cid:24)𝐵𝐶(cid:25)(cid:26)𝐷(cid:27)𝐶(cid:28)(cid:117)(cid:68)
(cid:87)∴𝐴,𝐶(cid:44)𝐵(cid:28)𝐷(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:74)
𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:15)(cid:92)(cid:93)6-3(cid:19)(cid:54)23-24(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:133)(cid:134)(cid:134)(cid:144)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) = (cid:68) (cid:68) (cid:27)(cid:125)(cid:44)(cid:139) (cid:68)
(cid:117)(cid:29)(cid:64)(cid:28)(cid:68) (cid:68) (cid:197)(cid:138)(cid:140)(cid:109)O(cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐵𝐷 𝐶𝐸
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) = (cid:74)
(2)(cid:145)(cid:146) 𝑂(cid:68)𝐵(cid:305)(cid:304)𝑂(cid:41)𝐶 (cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)𝑂𝐴(1)(cid:180)(cid:86)(cid:77) 𝑂𝐴 𝐵𝐶
(2)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:130)“SAS”(cid:88)(cid:40) (cid:68)(cid:130)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = (cid:68)(cid:130)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82)
= (cid:68)(cid:88)△(cid:40)𝐴𝐵𝐷≌△=𝐴𝐶𝐸 (cid:68)(cid:88)(cid:82) = (cid:74) ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸
(cid:54)∠𝐴2𝐵(cid:65)𝐶(cid:22)(cid:23)∠𝐴𝐶𝐵= (cid:68)∠𝑂𝐵=𝐶 (cid:68)∠𝑂(cid:82)𝐶𝐵(cid:182) (cid:141)O(cid:69)𝑂𝐵(cid:28)(cid:52)𝑂𝐶 (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:40)(cid:41)(cid:115)(cid:226)(cid:74)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)𝑂1𝐵(cid:65)(cid:40)𝑂(cid:41)𝐶(cid:10)𝐴𝐵 (cid:68)𝐴𝐶 (cid:27)(cid:125)(cid:44)𝐴(cid:139) (cid:68) (cid:117)𝐵(cid:29)𝐶(cid:64)(cid:28)(cid:68)
★
全
号
众
公
注
= 1 (cid:68) = 1 ∵𝐵 (cid:68) 𝐷 𝐶𝐸 ， 𝐴𝐶关𝐴𝐵
2 2 资 源
辅
教
∴𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵
= (cid:68)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶(cid:68)
∴(cid:69)𝐴𝐷 𝐴𝐸(cid:49) (cid:64)(cid:68)
△=𝐴𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐸
= (cid:68)
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∠𝐴 ∠𝐴
𝐴𝐸 𝐴𝐷 (SAS)(cid:68)
∴△𝐴𝐵𝐸=≌△𝐴𝐶𝐷(cid:68)
∴∠𝐴𝐵=𝐷 (cid:68)∠𝐴𝐶𝐸
∵𝐴𝐵 𝐴=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵= (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐶−=∠𝐴𝐵𝐷 (cid:68)∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐸
∴∠𝑂𝐵=𝐶 ∠(cid:74)𝑂𝐶𝐵
∴(cid:54)𝑂2𝐵(cid:65)(cid:40)𝑂(cid:41)𝐶(cid:10) = (cid:68) = (cid:68)
∵𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:141)O(cid:69)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)
∴(cid:170)𝐴 (cid:109)(cid:306)(cid:48)(cid:104)(cid:278)𝐵(cid:25)𝐶(cid:28)(cid:68)
∵(cid:25)(cid:28) (cid:44)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:74)
∴
【题型
𝑂𝐴7
尺规作
𝐵𝐶
垂直平分线】
(cid:15)(cid:53)7(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:164)(cid:223)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68)(cid:109)E(cid:44)(cid:139) (cid:117)(cid:104)(cid:109)(cid:68)(cid:196) (cid:26)(cid:27) (cid:74)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
(1)(cid:258)(cid:159)(cid:119)(cid:307)(cid:34)(cid:29)(cid:25)(cid:45)(cid:124)(cid:308)(cid:46)(cid:47)(cid:182)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:196)(cid:49)(cid:139) (cid:138)(cid:140)(cid:109)D(cid:74)(cid:54)(cid:149)(cid:32)(cid:10)(cid:291)(cid:274)(cid:47)(cid:231)(cid:68)(cid:309)(cid:310)(cid:47)(cid:67)
(cid:108)(cid:233)(cid:65) 𝐵𝐸 𝐵𝐶
(2)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:74)
A
+
A
科
全
★
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)𝐸𝐷(1)(cid:180)(cid:86)(cid:77) 𝐸𝐷∥𝐴𝐵 众 号
公
注
关
(2)(cid:180)(cid:86)(cid:77) 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:283)(cid:311)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:150)(cid:139)(cid:204)(cid:150)(cid:35)(cid:68)(cid:26)(cid:294)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:68)(cid:126)(cid:112)(cid:197)(cid:3)(cid:112)
(cid:175)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:67)(cid:255)(cid:231)(cid:47)(cid:67)(cid:87)(cid:88)(cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = (cid:68)(cid:114)(cid:130)(cid:150)(cid:139)(cid:204)(cid:150)(cid:35)(cid:124)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:190)(cid:88)(cid:40)(cid:41) = (cid:68)
(cid:71)(cid:88)(cid:40)(cid:41) (cid:74) 𝐷𝐸 𝐷𝐵 ∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐷𝐸𝐵
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)𝐷(cid:54)𝐸1(cid:65)∥𝐴(cid:86)𝐵(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:164)(cid:223)(cid:68)(cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:40)(cid:41)(cid:10) (cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:49)(cid:139) (cid:138)(cid:140)(cid:109)D(cid:68)
= (cid:68)∵ 𝐵𝐸 𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 𝐷𝐵= (cid:68)
∴∠𝐷(cid:26)𝐸𝐵(cid:27) ∠𝐷𝐵(cid:68)𝐸
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐸(cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐸 (cid:74)∠𝐷𝐸𝐵
∴(cid:15)𝐷(cid:92)𝐸(cid:93)∥𝐴7𝐵-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:292)(cid:167)(cid:167)(cid:293)·(cid:121)(cid:52)(cid:122)(cid:123)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:258)(cid:69) (cid:117)(cid:312)(cid:104)(cid:109) (cid:68)(cid:313)(cid:82) = (cid:74)
𝐴𝐵 𝑃 ∠𝐵 ∠𝑃𝐶𝐵
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:47)(cid:67)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:47)(cid:231)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:151)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:47)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:138) (cid:140)
(cid:109) (cid:68)(cid:88)(cid:82) = (cid:68)(cid:87)(cid:82) = (cid:68)(cid:90)(cid:109) (cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:68)(cid:127)(cid:128)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝐵(cid:47)𝐶(cid:231)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)𝐴𝐵(cid:129)(cid:74)
(cid:15)𝑃(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)𝑃(cid:10)𝐵(cid:66)(cid:67)𝑃𝐶(cid:164)(cid:223)(cid:68)(cid:109)∠𝐵(cid:87)(cid:73)∠𝑃(cid:164)𝐶(cid:32)𝐵(cid:74) 𝑃
𝑃 A +
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:92)(cid:93)7-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:133)(cid:216)(cid:309)(cid:48)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:277)(cid:314)(cid:315)(cid:276)(cid:316)(cid:148)(cid:317)(cid:318)(cid:319)(cid:48)(cid:69)(cid:320)(cid:321)m(cid:117)(cid:322)(cid:104)(cid:162)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:109)D(cid:124)(cid:326)
(cid:327)(cid:325)E(cid:68)(cid:328)(cid:149)(cid:32)(cid:264)(cid:97)(cid:58)(cid:329)(cid:47)(cid:67)(cid:54)(cid:309)(cid:310)(cid:47)(cid:67)(cid:108)(cid:233)(cid:68)(cid:291)(cid:149)(cid:32)(cid:274)(cid:47)(cid:231)(cid:65)(cid:74)
(1)(cid:66)(cid:67)1(cid:68)(cid:189)(cid:315)A(cid:68)B(cid:69)(cid:320)(cid:321)m(cid:29)(cid:330)(cid:331)(cid:68)(cid:149)(cid:313)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:109)D(cid:83)(cid:189)(cid:315)A(cid:68)B(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:197)(cid:150)(cid:68)(cid:258)(cid:306)(cid:48)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:109)D(cid:29)
(cid:332)(cid:333)(cid:54)(cid:149)(cid:32)(cid:158)(cid:159)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:67)(cid:65)(cid:116)
(2)(cid:66)(cid:67)2(cid:68)(cid:189)(cid:315)A(cid:68)C(cid:69)(cid:320)(cid:321)m(cid:29)(cid:334)(cid:331)(cid:68)(cid:149)(cid:313)(cid:326)(cid:327)(cid:325)E(cid:83)(cid:189)(cid:315)A(cid:68)C(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:238)(cid:124)(cid:38)(cid:213)(cid:68)(cid:258)(cid:306)(cid:48)(cid:326)(cid:327)(cid:325)E(cid:29)(cid:332)
(cid:333)(cid:74)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(1)(cid:180)(cid:86)(cid:77)(cid:116)
(2)(cid:180)(cid:86)(cid:77)(cid:74)(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:67)(cid:104)(cid:227)(cid:159)(cid:49)(cid:234)(cid:131)(cid:47)(cid:67)(cid:141)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:104)(cid:38)(cid:213)(cid:225)(cid:28)(cid:219)(cid:20)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:28)
(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:141)(cid:206)(cid:204)(cid:205)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:75)(cid:113)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:115)(cid:51)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:47)(cid:28)(cid:52) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:138)(cid:25)(cid:28)m(cid:140)(cid:109)D(cid:68)(cid:71)(cid:109)D(cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:74)
(cid:54)2(cid:65)(cid:215)(cid:109)C(cid:3)(cid:140)(cid:25)(cid:28)m(cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109) (cid:68)(cid:145)(cid:146)𝐴𝐵 (cid:138)(cid:25)(cid:28)m(cid:140)(cid:109)E(cid:68)(cid:71)(cid:109)E(cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:54)1(cid:65)(cid:86) (cid:66)(cid:67)1(cid:47)(cid:28)(cid:52) 𝐶(cid:29)′ (cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶′(cid:28)(cid:68)(cid:138)(cid:25)(cid:28)m(cid:140)(cid:109)D(cid:68)(cid:71)(cid:109)D(cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:74)
∶ 𝐴𝐵
(cid:54)2(cid:65)(cid:86)(cid:10)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:215)(cid:109)C(cid:3)(cid:140)(cid:25)(cid:28)m(cid:29)(cid:204)(cid:205)(cid:109) (cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:138)(cid:25)(cid:28)m(cid:140)(cid:109)E(cid:74)(cid:78)(cid:163)
+ = + = (cid:68)(cid:73)(cid:38)(cid:189)(cid:39)(cid:68)(cid:71)(cid:109)E𝐶(cid:87)′ (cid:73)(cid:164)(cid:32)𝐴(cid:68)𝐶′
𝐴𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐶′𝐸 𝐴𝐶′
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(cid:15)(cid:92)(cid:93)7-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:119)(cid:120)·(cid:63)关(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:49) (cid:197)(cid:138)(cid:140)(cid:109) (cid:68) = (cid:68) (cid:74)
，
源
资
辅
教 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐶∥𝐵𝐷
(1)(cid:32)(cid:40)(cid:10) (cid:116)
(2)(cid:159)(cid:119)(cid:307)(cid:34)△(cid:29)𝐴𝐸(cid:25)𝐶(cid:45)≌(cid:124)△(cid:308)𝐵𝐸(cid:46)𝐷(cid:47)(cid:67)(cid:10)(cid:32)(cid:47)(cid:150)(cid:151) (cid:68)(cid:313)(cid:82)(cid:109)M(cid:69) (cid:117)(cid:68)(cid:109)N(cid:69) (cid:117)(cid:68)(cid:196) (cid:276)(cid:245)(cid:109) (cid:74)(cid:54)(cid:291)
(cid:274)(cid:47)(cid:231)(cid:68)(cid:309)(cid:310)(cid:47)(cid:67)(cid:108)(cid:233)(cid:68)(cid:335)(cid:41)(cid:336)(cid:337)(cid:65) △𝐶𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝑁 𝐸
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(1)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(2)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:47)(cid:231)(cid:68)(cid:26)(cid:294)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:210)(cid:150)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:68)(cid:338)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:47)(cid:231)(cid:283)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:210)(cid:150)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:48)(cid:177)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:54)1(cid:65)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:294)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:82)(cid:83) = (cid:68) = (cid:68)(cid:115)(cid:51) = (cid:68)(cid:158)(cid:159)AAS(cid:87)(cid:88)(cid:40)(cid:41) (cid:116)
(cid:54)2(cid:65)(cid:47) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:27)∠(cid:125)𝐴(cid:138) ∠𝐵 ∠(cid:140)𝐶(cid:109) ∠𝐷(cid:68)(cid:145)(cid:146)𝐸𝐶 𝐸(cid:87)𝐷(cid:88)(cid:74) △𝐴𝐸𝐶≌△𝐵𝐸𝐷
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)𝐶(cid:54)𝐷1(cid:65) (cid:68) 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑀,𝑁 𝐶𝑀,𝐶𝑁
= (cid:68) ∵=𝐴𝐶∥𝐵(cid:68)𝐷
∴∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐷(cid:69) (cid:124) (cid:64)(cid:68)
△=𝐴𝐸𝐶 △𝐵𝐸𝐷
= (cid:68)
∠𝐴= ∠𝐵
∠𝐶 ∠𝐷
𝐸𝐶 𝐸𝐷 (cid:116)
(cid:54)∴△2(cid:65)𝐴𝐸(cid:66)𝐶(cid:67)≌(cid:10)△(cid:150)𝐵𝐸(cid:151)𝐷(𝐴𝐴𝑆) (cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32)(cid:47)(cid:29)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:74)
△𝐶𝑀𝑁
(cid:130)(cid:47)(cid:67)(cid:88)(cid:112)(cid:10) (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:68)
= (cid:68) 𝑀𝑁 𝐶𝐷
∴𝐷𝑁= 𝐶𝑁 = = (cid:68)
∵∠𝐶 ∠𝐷,𝐷𝐸 𝐶𝐸(cid:68),∠𝐷𝐸𝑁 ∠𝐶𝐸𝑀
+
A
∴△𝐷=𝐸𝑁≌(cid:68)△𝐶𝐸𝑀 科 A
全
★
号
众
∴𝐶𝑀=𝐷𝑁(cid:68) 公
注
关
，
源
∴𝐶𝑀 𝐶𝑁(cid:87)(cid:73)(cid:164)(cid:32). 辅 资
教
【
∴△
题
𝐶
型
𝑀8𝑁
垂直平分线的判定与性质的综合】
(cid:15)(cid:53)8(cid:19)(cid:54)24-25(cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:95)(cid:139)(cid:101) (cid:64)(cid:68) (cid:68)E(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:196)
(cid:68)(cid:194)(cid:33) (cid:138) (cid:29)(cid:194)(cid:33)(cid:28)(cid:140)(cid:109)F(cid:74)(cid:70) =12(cid:68) =𝐴5𝐵(cid:68)𝐶𝐷(cid:71) (cid:29)𝐴𝐵(cid:33)∥(cid:73)𝐶 𝐷 (cid:74)𝐵𝐶
𝐴𝐸⊥𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)8
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:174)(cid:283)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:339)(cid:306)(cid:156)(cid:340)(cid:182)(cid:210)(cid:150)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:193)(cid:177)
(cid:86)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:3)(cid:129)(cid:74)(cid:130)“AAS”(cid:88)(cid:40) (cid:68)(cid:88)(cid:82) = (cid:68) = =4(cid:68)(cid:130)(cid:28)
(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:88)(cid:82) = =12(cid:68)(cid:84)(cid:104)(cid:341)(cid:32)(cid:86)△(cid:87)𝐵(cid:88)𝐸𝐹(cid:74)≌△𝐶𝐸𝐷 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐹(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) (cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)
= (cid:68)∵ 𝐸 𝐵𝐶
∴ 𝐵𝐸 𝐸𝐶(cid:68)
∵ 𝐴𝐵∥=𝐷𝐶 (cid:68) = (cid:68)
(cid:69)∴ ∠𝐹 ∠(cid:49)𝐶𝐷𝐸 ∠𝐹(cid:64)𝐵(cid:68)𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
△𝐵=𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐷
= (cid:68)
∠𝐹 =∠𝐶𝐷𝐸
∠𝐹𝐵𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸
𝐵𝐸 𝐶𝐸 (AAS)(cid:68)
∴ △𝐵=𝐸𝐹≌(cid:68)△𝐶𝐸=𝐷 =4(cid:68)
∴ 𝐸𝐹 𝐷(cid:68)𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐷
∵𝐴𝐸⊥=𝐷𝐸 =12(cid:68)
∴𝐴 𝐷 =𝐴𝐹 + = +4=12(cid:68)
∴ 𝐴𝐹 =𝐴8(cid:68)𝐵 𝐵𝐹 𝐴𝐵
+
A
(cid:90)∴(cid:75)𝐴(cid:76)𝐵(cid:73)(cid:10)8(cid:74) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:92)(cid:93)8-1(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:292)(cid:167)(cid:167)(cid:293)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)公(cid:68)(cid:109) (cid:141) (cid:69)(cid:25)(cid:28) (cid:117)(cid:68)(cid:109) (cid:141) (cid:69)(cid:25)(cid:28) (cid:117)(cid:68) (cid:140)(cid:109)
注
关
，
源
(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:141) (cid:141) (cid:141) 辅(cid:68)资= (cid:68)(cid:70) =11(cid:68)(cid:71)𝐴 (cid:29)𝐵(cid:33)(cid:73)(cid:54)(cid:198)𝑚(cid:198)(cid:65) 𝑃 𝐻 𝑛 𝑚⊥𝑛
教
𝑂 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐻 𝐵𝐻
A(cid:74)11 B(cid:74)10 C(cid:74)9 D(cid:74)8
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)A
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:148)(cid:149)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:48)(cid:177)(cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:20)(cid:157)(cid:88)(cid:40)(cid:41) (cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27) (cid:68)(cid:71)(cid:130)(cid:28)(cid:52)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:82)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:74) 𝑃𝐻
(cid:15)𝐴(cid:89)𝐵(cid:86)(cid:19)(cid:86)(cid:10) = (cid:68)
(cid:109)P(cid:69)(cid:28)(cid:52) ∵𝐴(cid:29)𝑃(cid:24)(cid:25)𝐵𝑃(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:117)(cid:68)
∴(cid:142) (cid:68) 𝐴𝐵
∵𝑚(cid:24)⊥(cid:25)𝑛(cid:26)(cid:27) (cid:68)
∴𝑃𝐻 𝐴𝐵= =11(cid:68)
(cid:90)∴𝐵(cid:91)𝐻(cid:10)A𝐴(cid:74)𝐻
(cid:15)(cid:92)(cid:93)8-2(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:118)(cid:16)(cid:179)(cid:136)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69) (cid:64)(cid:68) (cid:44) (cid:139)(cid:117)(cid:29)(cid:247)(cid:68) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:138)
(cid:140)(cid:109) (cid:68)(cid:196) = (cid:68)(cid:32)(cid:40)(cid:10) + = (cid:74) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶
𝐷𝐶 𝐸 𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)(cid:180)(cid:86)(cid:77)
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:87)(cid:88)(cid:74)
(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:28)𝐴(cid:52)𝐸(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:126)(cid:122)(cid:127)(cid:128)(cid:42)(cid:48)(cid:124)(cid:30)(cid:31)(cid:44)(cid:86)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:129)(cid:74)
(cid:15)(cid:89)(cid:86)(cid:19)(cid:40)(cid:41)(cid:10)(cid:145)(cid:146) (cid:68)
(cid:68) = 𝐴(cid:68)𝐸
∵(cid:25)𝐴𝐷(cid:28)⊥𝐵𝐶(cid:44)(cid:28)𝐵(cid:52)𝐷 𝐷(cid:29)𝐸(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
+
A
A
科
∴ =𝐴𝐷 (cid:68) 𝐵𝐸 ★ 全
号
众
公
注
∴𝐴𝐵(cid:29)(cid:24)𝐴(cid:25)𝐸 (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:138) (cid:140)(cid:109) (cid:68) 关
，
源
资
辅
∵𝐴𝐶= (cid:68) 𝐷教𝐶 𝐸
∴𝐸𝐶=𝐴𝐸(cid:68)
∴𝐸𝐶+ 𝐴𝐵= (cid:68)
∵𝐸𝐶 +𝐷𝐸 =𝐷𝐶(cid:74)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐷𝐶
(cid:74)
(cid:15)(cid:92)(cid:93)8-3(cid:19)(cid:54)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:117)·(cid:210)(cid:342)·(cid:63)(cid:137)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68) (cid:140)(cid:109)D(cid:68)D(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68) (cid:29)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:138) (cid:140)(cid:109)O(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:68)(cid:70) =120°(cid:68)(cid:71) 𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐷 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:19)60°
(cid:15)(cid:27)(cid:77)(cid:19)(cid:113)(cid:20)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:152)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:174)(cid:283)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:42)(cid:48)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:68)(cid:150)(cid:139)(cid:204)(cid:150)(cid:35)(cid:68)(cid:174)(cid:283)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:48)(cid:190)(cid:68)
(cid:343)(cid:130)(cid:100)(cid:35)(cid:101)(cid:29)(cid:152)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:82) =30°(cid:68)(cid:344)(cid:73) (cid:68)D(cid:73) (cid:29)(cid:64)(cid:109)(cid:68)(cid:164)(cid:174) (cid:44) (cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)(cid:71)
= =30°(cid:68)(cid:344)(cid:73)∠𝐶(cid:44) (cid:29)(cid:35)(cid:26)𝐴𝐷(cid:27)⊥(cid:28)𝐵(cid:68)𝐶(cid:71) (cid:44)𝐵𝐶 (cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑂𝐷(cid:68)(cid:87)𝐵(cid:88)𝐶(cid:47)(cid:75)(cid:74)
(cid:15)∠𝑂(cid:89)𝐵𝐶(cid:86)(cid:19)∠(cid:86)𝐶(cid:10) =12𝐵0°𝑂(cid:68) ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:68) 𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶
=90°(cid:68)∠𝐴𝑂𝐶= 𝐴𝐷=⊥3𝐵0𝐶°(cid:68)
∴∠𝑂𝐷𝐶 (cid:68)D(cid:73)∠𝐶(cid:29)(cid:64)12(cid:109)0°(cid:68)−90°
∵𝐴𝐷(cid:44)⊥𝐵𝐶(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝐵𝐶(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∴𝑂𝐷=𝐵𝐶 (cid:68) A +
A
科
全
★
∴𝑂𝐵 𝑂=𝐶 =30°(cid:68) 众 号
公
注
关
∴∠𝑂(cid:44)𝐵𝐶 ∠𝐶(cid:29)(cid:35)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68) 源 ，
资
辅
教
∵𝐵𝑂 ∠=𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:68)
∴(cid:90)∠(cid:75)𝐴𝐵(cid:76)𝐶(cid:73)(cid:10)2∠60𝑂°𝐵(cid:74)𝐶
