文档内容
13.2 垂直平分线的性质和应用
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
知识点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂
线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分
AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝ ×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
【变式1-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC
于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴BC＝EB+EC＝EA+EC＝5+3＝8，
故答案为：8．
【变式1-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠ABC，
∵DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA＝DE＝3，
故答案为：3．
【变式1-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别
以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直
线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．故选：D．
【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于
点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【答案】（1）10；
（2）28°．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
【变式2-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂
足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】A
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝160°，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°．
故选：A．
【变式2-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交
BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（
）
A．25° B．45° C．50° D．70°
【答案】B
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣25°×2＝70°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝25°，
∴∠ACF＝70°﹣25°＝45°，
故选：B．【变式2-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂
足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【变式2-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和
边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝5，则△CMN的周长为 5 ；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）5；
（2）40°．【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴MA＝MC，NB＝NC，
∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB，
∵AB＝5，
∴△CMN的周长＝5，
故答案为：5；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°，
∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°，
∵MA＝MC，NB＝NC，
∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，
∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°．
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在 A，B，C三个村庄附近建立一所
小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【答案】A
【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在△ABC的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【变式3-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的
三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁
获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l 交BC于点D，AC的
1
垂直平分线l 交BC于点E，l 与l 相交于点O，△ADE的周长为6．
2 1 2
（1）AD与BD的数量关系为 AD ＝ BD ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【答案】（1）AD＝BD；
（2）6；
（3）5．
【解答】解：（1）∵l 是线段AB的垂直平分线，
1
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l 是线段AC的垂直平分线，
2
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l 是线段AB的垂直平分线，
1
∴OA＝OB，
∵l 是线段AC的垂直平分线，
2
OA＝OC，∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB+OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【变式4-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂
直平分线，连接AD，CD．
（1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数；
（2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）50°；
（2）∠B+∠ACD＝90°，理由见解答过程．
【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H，
∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，DC＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，
∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC，
∴∠ADC＝2∠ABC＝80°，
∵DA＝DB，DC＝DB，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠CAD＝ （180°﹣80°）＝50°；
（2）∠B+∠ACD＝90°，
理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴2∠ACD+2∠ABC＝180°，∴∠ACD+∠ABC＝90°．
【变式4-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点
D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝BD，
CE＝EB，
又∵EC＝4，
∴BE＝4，
又∵△BDC的周长＝18，
∴BD+DC＝10，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDN＝60°，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC＝90°，
∴∠C＝30°，
又∵∠C＝∠DBC＝30°，
∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝50°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．
【变式4-3】（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC
于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【答案】（1）9；
（2）80°．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
【典例5】（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l 、l 表
1 3
示直路，而l 表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l 和l 的距离相等，
2 1 3
且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置．
【答案】答案见解答过程．【解答】解：设l 和l 交于点E，
1 3
以点E为圆心，以适当的长为半径画弧分别交l ，l 于点M，N，
1 3
分别以MN为圆心，以大于 为半径画弧在l ，l 的内部交于点F，
1 3
作射线EF，
连接BC，
分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于T，H，
作直线TH与射线BF交于点P，
则点P为所求作的点．
理由如下：
由作图可知：EF为直线l ，l 夹角的平分线，点P在EF上，
1 3
∴点P到l 和l 的距离相等，
1 3
由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线，点P在TH上，
∴TB＝TC．
∴点P点P到l 和l 的距离相等，且到点B和C的距离也相等．
1 3
【变式5-1】（2023秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，
建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的
距离相等．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，点P为所作．
【变式5-2】（2022秋•黄埔区期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定
该超市的位置P．
【答案】图见解析．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【变式5-3】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公
路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离
也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：
一、单选题
1．如图，D为BC上一点，CE垂直平分AD交AD于点E，已知AC=5，BC=8，则BD的
长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出CD，然后
利用线段和差关系求解即可．
【详解】解：∵CE垂直平分AD交AD于点E，AC=5，
∴CD=AC=5，
又BC=8，
∴BD=BC−CD=3，
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB=8，BC=12，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，则
△ABD的周长为（ ）A．14 B．20 C．28 D．32
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到
AD=DC，再根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
∴AD=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=8+12=20，
故选：B．
3．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢
凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应
放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得，掌握线段垂直平分线的性质是
解题的关键．
【详解】解：为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线
段两端的距离相等可知，要将凳子放在△ABC三边中垂线的交点，
故选：D．
4．如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平
分线的是（ ）
A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以
C．只有甲可以 D．甲、 乙都可以
【答案】C
【分析】由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段AC的垂直平分线，由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出∠BAC的平分线，即可得出答案．本题考查作图—基本作
图，熟练掌握基本尺规作图方法是解答本题的关键．
【详解】解：由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段AC的垂直平分线，
故甲符合题意；
由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出∠BAC的平分线，
故乙不符合题意．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠B=34°，∠ACB=78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α=（
）
A．66° B．77° C．78° D．101°
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角
形内角和求出∠BAC，再用角平分线求出∠BAD，由线段垂直平分线知
∠BCF=∠B=34°，然后用外角性质求出∠AFC，最后根据三角形的内角和求出∠α．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=34°，∠ACB=78°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠ACB=180°−34°−78°=68°，
由作图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分BC，
1
∴ ∠BAD= ∠BAC=34°，∠BCF=∠B=34°，
2
∴ ∠AFC=∠B+∠BCF=68°，
∴ ∠α=180°−∠AFC−∠BAD=180°−68°−34°=78°，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则
△PAQ的周长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】A
【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等是解题关键．
根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，AQ=CQ，然后结合图形求解即可．
【详解】解：∵MP，NQ分别是AB，AC的垂直平分线，
∴PA=PB，AQ=CQ，
∵BC=10，
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=10，
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周
长为50cm，则AC+BC=（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
利用垂直平分线的性质得到AD=DB，再利用三角形的周长进行转化求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB，
∵△ACD的周长为50cm，
∴AC+CD+AD=50cm，
∴AC+BC=AC+CD+DB=AC+CD+AD=50cm，
故选：C．8．如图，在长方形ABCD中，在AD、AC上分别截取AE、AF，使AE=AF，分别以
1
E、F为圆心、以大于 EF长为半径作弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG；又分
2
1
别以A、C为圆心，以大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN；射线
2
AG和直线MN交于点P，则∠α的度数为（ ）
A．68° B．56° C．54° D．45°
【答案】B
【分析】由平行线的性质得∠CAD=∠ACB=68°，由角平分线的定义得
1
∠CAP= ∠CAD=34°，求出∠APN=56°，然后根据对顶角的性质即可求解．
2
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=68°．
由作图知，AG平分∠CAD，
1
∴∠CAP= ∠CAD=34°．
2
由作图知，MN⊥AC，
∴∠APN=90°−34°=56°，
∴α=∠APN=56°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，尺规作图，直角三角形两锐角互余，以及对等角相等，
理解作图的含义是解答本题的关键．
9．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点1
B，点D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接MN交
2
AB于点E，已知AC=5，AB=9，则△ADE的周长为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】D
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的
性质是解题的关键．
解：由作图可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，则BE=DE，根据
△ADE的周长为AE+DE+AD=AB+AC，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+BE+AC=AB+AC=9+5=14．
故选：D．
二、填空题
10．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E两点，连接
AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数是 °．
【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分
线的性质得出∠EAD=∠C=35°，再根据角的和差关系即可得出
∠BAC=∠BAD+∠EAD=60°，最后根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠EAD=∠C=35°，∴∠BAC=∠BAD+∠EAD=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=85°，
故答案为：85．
11．如图，在△ABC中，∠C=56°，利用尺规作图，得到直线DE和射线AF．若
∠EAF=22°，则∠B= °．
【答案】40
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形
内角和定理等知识，由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，
则AE=BE，∠EAC=2∠EAF=44°，从而得到∠BAE=∠B，由三角形内角和定理求
出∠B，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，
1
∴AE=BE，∠EAF= ∠EAC，
2
∴∠BAE=∠B，∠EAC=2∠EAF=2×22°=44°,
∵∠B+∠C+∠BAE+∠EAC=180°，∠C=56°，∠EAC=44°,
∴∠B+56°+∠BAE+44°=180°，
∴∠B+∠BAE=80°，
∴2∠B=80°，
∴∠B=40°，
故答案为：40．
12．如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D．连接CD，
点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为
．【答案】3
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是
解题的关键．根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，△ABC与△ABE的周长
之差为4，就是2AC−2AE=4，即可求解．
【详解】解：根据作图的意义，可得CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC,AE=BE，
∴△ABC与△ABE的周长之差为4，即2AC−2AE=4，
∵AC=5，
∴10−2AE=4，
解得AE=3，
故答案为：3．
13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，DM⊥CM，AD=2，BC=4，CD
长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性
质是解题的关键．延长DM交CB延长线于点N，证明△ADM≌△BNM，得DM=NM，
AD=NB=2，又由DM⊥CM，得CM垂直平分DN，得CD=CN，即可求解．
【详解】解：延长DM交CB延长线于点N，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠NBM，∠ADM=∠BNM，
又∵点M是AB的中点，即AM=BM，
∴△ADM≌△BNM，∴DM=NM，AD=NB=2，
∵DM⊥CM，DM=NM，即CM垂直平分BN，
∴CD=CN=NB+BC=2+4=6，
故答案为：6．
三、解答题
14．如图，利用尺规在∠ABC内部求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且
PG=PH．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂直平分线，先作图∠ABC的角平分线，再
作出HG的垂直平分线，交点即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所作，
．
15．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，
交AC于点D．连接DE．
(1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．
(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数．
【答案】(1)AB=6
(2)∠CDE=60°【分析】（1）先证明AB=BE，AD=DE，结合△ABC的周长为19，△DEC的周长为
7，可得AB+BE=19−7=12，从而可得答案；
（2）先求解∠BAC=180°−30°−45°=105°，证明△BAD≌△BED(SSS)，再利用全
等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB=BE，AD=DE，
∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，
∴AB+BE+CE+CD+AD=19，CD+EC+DE=CD+CE+AD=7，
∴AB+BE=19−7=12，
∴AB=BE=6；
（2）解：∵∠ABC=30°，∠C=45°，
∴∠BAC=180°−30°−45°=105°，
在△BAD和△BED中，
{BA=BE
)
BD=BD ，
DA=DE
∴△BAD≌△BED(SSS)，
∴∠BED=∠BAC=105°，
∴∠CDE=∠BED−∠C=105°−45°=60°．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内
角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点
D，DE∥AB，交BC于点E．
(1)请作出△BDE中BE边上的高
(2)求∠BDE的度数．【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】此题考查了尺规作垂线，三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质，
（1）根据题意做出△BDE中BE边上的高即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC=80°，再由角平分线的定义求出∠ABD的度
数，即可利用平行线的性质求出∠BDE的度数．
【详解】（1）如图所示，DF即为所求；
（2）解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°．
又∵∠A=70°，∠C=30°
∴∠ABC=80°
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD= ∠ABC=40°，
2
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°．
17．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分
别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
(1)若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
(2)若∠BAC=104°，求∠EAG的度数．
【答案】(1)10
(2)28°【分析】本题考查垂直平分线，三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的
性质，三角形的内角和，即可．
（1）根据垂直平分线的性质，则BE=AE，AG=CG；根据△AEG的周长为10，
BC=BE+EG+GC，即可；
（2）根据垂直平分线的性质，则∠B=∠BAE，∠C=∠CAG，根据三角形的内角和，
求出∠B+∠C=76°，再根据等量代换，∠BAC=∠BAE+∠EAG+∠CAG，即可．
【详解】（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+AG+EG=10，
∵BC=BE+EG+GC，
∴BC=AE+EG+AG=10．
（2）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∠BAC=104°，
∴∠B+∠C=76°，
∴∠BAE+∠CAG=76°，
∵∠BAC=∠BAE+∠EAG+∠CAG，
∴∠BAC=∠EAG+∠B+∠C=104°，
∴
