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第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1．2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段垂直平分线的性质运判定
学习目标：1．理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
2．会用尺规过一点作已知直线的垂线.
3．能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
重点：理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．
难点：能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质
探究发现：如图，直线l垂直平分线段AB，P，P，P，…是l 上的点，请你量一量线段
1 2 3
PA，PB，PA，PB，PA，PB的长，你能发现什么？请猜想点P，P，P，…到点A 与
1 1 2 2 3 3 1 2 3
点B 的距离之间的数量关系．
PA ____PB
1 1
PA ____ PB
2 2
PA ____ PB
3 3
猜想：点P，P，P，…到点A 与点B 的距离分别相等．
1 2 3
由此你能得到什么结论？
性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
你能验证这一结论吗？
验证结论：
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l上．
求证：PA =PB．典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若
△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( )
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的
长．
练一练：
1．如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，
则线段PB的长为（ ）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
2．如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点
E， △BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 ．
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C ．
求作：AB的垂线，使它经过点C ．
想一想：（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 DE的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
例3 已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．方法总结：三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长
AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC＝AD（2）AB＝BC＋AD．
探究点2：线段垂直平分线的判定
合作探究：
想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
知识要点：
线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上．
想一想：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个这样的点？这
些点能组成什么几何图形？
应用格式：∵AB =AC，MB =MC，
∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
作用：判断一条直线是线段的垂直平分线的方法．
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，
D，连接CD．求证：OE是CD的垂直平分线．
二、课堂小结
当堂检测
1．如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC( )
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样
的点的组合有 种．
4．下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）．
5．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16 cm，则
△BCE的周长是 cm．
6．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD
与EF的关系．
拓展提升：
7．如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O．
（1）找出图中相等的线段；
（2）若OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．参考答案
课堂探究
一、要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质
探究发现 ＝ ＝ ＝
验证结论 证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
又AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB．
典例精析
例1 C 解析：∵△DBC的周长为BC+BD+CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝
BD，故BC+AD+CD＝35 cm．∵AC＝AD+DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．故选
C．
练一练：
1．B 2．10 cm
例2 解：作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E．
1
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
2
（4）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线．
例3 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．
同理，PB=PC．∴PA=PB=PC．
例4 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF．∵E是CD的中点，∴DE＝EC．
又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD．
（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF．∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分
线，
∴AB＝BF＝BC＋CF．∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．
探究点2：线段垂直平分线的判定
想一想 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC
=BC．
又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
想一想 与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合．
例5 证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE．
又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC．∴DO=CO．∴OE是CD的垂直平分线．
当堂检测
1．A 2．D 3．无数 4．① ② ③ 5．16
6．解：AD垂直平分EF．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°．
又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF．
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF．
拓展提升：
7．解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD．
（2）OE＝OF．理由如下：
在△AOC和△AOD中，∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF．
