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专题 13.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】
【人教版】
【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】.........................................................................................1
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】.............................................................................................2
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】.............................................................................................3
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】.....................................................................................................5
【题型5 线段垂直平分线的判定】..........................................................................................................................6
【题型6 线段垂直平分线的作法】..........................................................................................................................7
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】.................................................................................................8
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】
【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，
PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝ ．
【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分
线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
1
（3）试说明CE= BF．
2【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平
分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在
数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【变式1-3】（2022秋•海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝
60°．
（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【例2】（2022秋•周村区校级期中）如图，线段 AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝
72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（ ）A．168° B．158° C．128° D．118°
【变式2-1】（2022秋•龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，
∠A＝α（0°＜α＜90°），
（1）求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【变式2-2】（2022秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l、l 相交于点O．若∠1＝40°，则
1 2
∠AOC＝（ ）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【变式2-3】（2022春•金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线
的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC
的数量关系是：∠BOC＝ ．【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【例3】（2022秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，
发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-1】（2022春•浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫
苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【变式3-2】（2022春•武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须
到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三个角的角平分线的交点
【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B
的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A．∠1的平分线和线段AB的交点处
B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
C．∠2的平分线和线段AB的交点处
D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】
【例4】（2022秋•广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于
E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；
（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．
【变式4-1】（2022秋•鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC
于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【变式4-2】（2022春•市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、
N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【变式4-3】（2022秋•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点
E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S ＝10，求点D到AB的距离．
△BCF
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【例5】（2022秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【变式5-1】（2022秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．【变式5-2】（2022春•市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别
是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【变式5-3】（2022秋•平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【例6】（2022秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、
AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．1
【变式6-1】（2022秋•祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半
2
径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，
则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．18 D．20
【变式6-2】（2022•榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在
线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-3】（2022•长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，
在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【例7】（2022秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l 交AB于点M，交BC于点D，AC
1
的垂直平分线l 交AC于点N，交BC于点E，l 与l 相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问
2 1 2题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【变式7-1】（2022•阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．
【变式7-2】（2022•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC
对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【变式7-3】（2022秋•信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
