第02讲线段垂直平分线的性质和判定（知识解读+真题演练+课后巩固)（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第02讲 线段垂直平分线的性质和判定 1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定； 2. 能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题． 知识点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫 线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 知识点2 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点3：线段的垂直平分线逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（2023•邵阳县二模）如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线分 别交 AC、BC 于 E、D 两点，且 AB＝4，BC＝7，则△ABD 的周长是 （ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∵AB＝4，BC＝7， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD ＝AB+BD+CD ＝AB+BC ＝4+7 ＝11， 故选：B． 【变式1-1】（2022秋•防城港期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分 别交 AB、BC 于点 D、E，连接 AE，若 AE＝4，EC＝2，则 BC 的长是 （ ） A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝4， ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 故选：B． 【变式1-2】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂 直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D， ∴AD＝BD， ∵△BCD周长为8，AC＝5， ∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8， ∴BC＝8﹣5＝3， 故选：C． 【变式1-3】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂 直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C 【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D， ∴AD＝BD， ∵△BCD周长为8，AC＝5， ∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8， ∴BC＝8﹣5＝3， 故选：C． 【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例2】（2023春•青羊区期末）如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平 分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD＝25°，∠C＝35°， 则∠B的度数为（ ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝35°， ∵∠BAD＝25°， ∴∠B＝180°﹣25°﹣35°﹣35°＝85°， 故选：D． 【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，AB的 垂直平分线与∠BAC的角平分线交于点O，则∠ABO的度数为（ ）A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】A 【解答】解：∵AO平分∠BAC， ∴ ， ∵OD垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝35°， 故选：A． 【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边 AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足 为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ） A．70° B．55° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， ∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线， ∴FB＝FA，NC＝NA， ∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，故选：C． 【变式2-3】（2022秋•青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则∠EBC 的大小为（ ） A．30° B．40° C．50° D．80° 【答案】A 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EBA＝∠A＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°； 故选：A． 【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将 A、B、C三个村庄连成 一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个 村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上． 故选：B． 【变式3-1】（2022春•于洪区期末）如图，电信部门要在公路 l旁修建一座移 动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 M，N的距离必须相等， 则发射塔应该建在（ ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【解答】解： 根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线， 所以EF上的点到M、N的距离相等， 即发射塔应该建在C处， 故选：C． 【变式3-2】（2022秋•天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山 县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴 桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路 m旁建立公用移动 通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（ ）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】B 【解答】解：基站应该建立在B处， 故选：B． 【变式3-3】（2022秋•平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为 各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落 户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便 利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建 在（ ） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建 在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平 分线的交点处， 故选：A． 【题型4 线段垂直平分线的性质的综合应用】【典例4】（2022秋•宁乡市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交 BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC； （2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）75°． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∵BE＝AC， ∴AE＝AC， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC； （2）解：∵AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C＝2∠B， ∵∠C＝70°， ∴∠B＝35°， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣70°＝75°．【变式4-1】（2022秋•天河区校级期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分 线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长为20cm，AE＝5cm，求△ABC的 周长． 【答案】30cm 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝20cm， 又∵AE＝5cm， ∴AC＝2AE＝2×5＝10（cm）， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20+10＝30（cm）． 【变式4-2】（2022春•永丰县期中）如图，在 Rt△ABC中DE为AB的垂直平 分线． （1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长； （2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数． 【答案】（1）14cm； （2）36°． 【解答】解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）； （2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝2x， ∵∠C＝90°， ∴x+2x+2x＝90°， 解得：x＝18°， 则∠B＝2x＝36°． 【变式4-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线 l与m分别是△ABC边AC和 BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△CDE的周长为10． ∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10； （2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， 又∵∠ACB＝125°， ∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ACD+∠BCE＝55°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【题型5 线段垂直平分线的判定】 【典例5】（秋•南安市期末）（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程） （2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BE 平分∠ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）已知：如图，QA＝QB． 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点Q作QM⊥AB，垂足为点M．则∠QMA＝∠QMB＝90°， 在Rt△QMA和Rt△QMB中， ∵QA＝QB，QM＝QM， ∴Rt△QMA≌Rt△QMB（HL）， ∴AM＝BM， ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． （2）证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°， ∴∠A＝∠ABE， ∴EA＝EB， ∴点E在线段AB的垂直平分线上．【变式 5】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为 A、B．求证：PO垂直平分AB． 【解析】证明：∵OP是角平分线， ∴∠AOP=∠BOP ∵PA⊥OM,PB⊥ON, ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴在△AOP 和△BOP中 AOPBOP  OAPOBP  OP=OP  ∴△AOP≌△BOP（AAS） ∴OA=OB ∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上）. 【题型6 线段垂直平分线的作法】 【典例6】（2022秋•杭州期中）如图，直线 m表示一条公路，A、B表示两所 大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出 这点P． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．【变式6-1】（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝ GH，我们知道按如图所作的直线 l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确 的是（ ） A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线 【答案】A 【解答】解：如图： A．∵直线l为线段FG的垂直平分线， ∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH， ∴EF+FO＝OG+GH， 即EO＝OH， ∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确； B．∵EO≠OQ， ∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误； C．∵FO≠OH， ∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误； D．∵l为直线，直线没有垂直平分线， ∴EH不能平分直线l，故此选项错误； 故选：A． 【变式6-2】（秋•丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高 线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧， 两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ ＝BA， ＝CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理 的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）理由：连接BE，EC． ∵AB＝BE，EC＝CA， ∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的 点在线段的垂直平分线上）， ∴直线BC垂直平分线段AE， ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】 【典例7】（2022春•甘孜州期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30° ，以A为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC于点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结AP并延长交BC于 点D． （1）求证：点D在线段AB的垂直平分线上； （2）若△ACD的面积为3，求△ADB的面积．【答案】（1）证明见解答过程； （2）6． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， 根据作图方法可知，AD是∠CAB的角平分线， ∴∠DAC＝∠DAB＝ ∠BAC＝30°， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∴点D在线段AB的垂直平分线上； （2）在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝ AD， ∵AD＝BD， ∴CD＝ BD， ∴S ＝2S ＝6． △ABD △ACD 【变式7】（2022秋•牡丹江期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分 线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长； （2）设直线DM、EN交于点O． ①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴AD＝BD，AE＝CE， C ＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10； △ADE （2）①如图，点O在BC的垂直平分线上， 理由：连接AO，BO，CO， ∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴AO＝BO，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； ②∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∵∠BAC＝100°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°， ∴∠BOC＝2∠MON＝160°． 1．（2023•南宁一模）如图，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AC＝10，BC ＝6，则△BCD的周长为（ ）A．6 B．10 C．16 D．18 【答案】C 【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵AC＝10，BC＝6， ∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝6+10＝16， 故选：C． 2．（2023•贵阳模拟）如图，地面上有三个洞口 A、B、C，老鼠可从任意一个 洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在 （ ） A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三条边的中线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 3．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP ＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距 1 2 1 2 离可能是（ ）A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：连接OP ，OP ，P P ， 1 2 1 2 ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P ，P ， 1 2 ∴OP ＝OP＝2.8，OP＝OP ＝2.8， 1 2 OP +OP ＞P P ， 1 2 1 2 0＜P P ＜5.6， 1 2 故选：B． 4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于 点D，交BC于点E，已知AD＝ 3cm，△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长是（ ） A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm 【答案】D 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3cm， ∴AC＝2AD＝6cm，AE＝CE， ∵△ABE的周长为14cm， ∴AB+BC＝C ＝14cm， △ABE∴C ＝AB+AC+BC＝14+6＝20（cm）， △ABC 故选：D． 5．（2022•青海）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分 线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°， ∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°， ∴∠EAC＝∠C＝40°， 故答案为：40°． 6．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l 、l 相交于点O，若∠1 1 2 ＝39°，则∠AOC＝ ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l 、l 相交于点O， 1 2 ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°； 解法二： 连接OB， ∵线段AB、BC的垂直平分线l 、l 相交于点O， 1 2 ∴AO＝OB＝OC， ∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE， ∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°， ∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°， ∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°； 故答案为：78°． 7．（2020•牡丹江）在△ABC 中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边 AB，分别交 AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA． ∵∠CAB＝∠B+30°， ∠CAB＝∠CAE+∠EAB， ∴∠CAE＝30°． ∵∠C＝90°， ∴∠AEC＝60°． ∴∠AEB＝120° 1．如图，△ABC 中，∠C＝90°，ED 垂直平分 AB，若 AC＝12，EC＝5，且 △ACE的周长为30，则BE的长为（ ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D【解答】解：∵ED垂直平分AB， ∴BE＝AE， ∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30， ∴12+5+AE＝30， ∴AE＝13， ∴BE＝AE＝13， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC 于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则 ∠EAG的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC 于点F， ∴AG＝CG，AE＝BE， ∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE， ∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， 故选：B． 3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是（ ） A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．故选：D． 4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD 的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为（ ） A．14 B．28 C．18 D．23 【答案】D 【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E， ∴BE＝CE，BD＝CD， ∵△ABD的周长为13， ∴AB+AD+BD＝AB+AC＝13， ∵BE＝5， ∴BC＝10， ∴△ABC的周长AB+AC+BC＝13+10＝23， 故选：D． 5．温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有三角形草坪（△ABC），现准 备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则 该树应种在（ ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵树到△ABC三个顶点的距离相等，∴树选择△ABC三边的垂直平分线的交点． 故选：A． 6．如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度 数为（ ） A．90° B．60° C．86° D．43° 【答案】C 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DCA＝∠A＝43°， ∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝86°， 故选：C． 7．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足为点 E、F，下面四个结论中：①∠AEF＝∠AFE；② AD 垂直平分 EF；③S ：S ＝BF：CE；④EF∥BC，正确的是（ ） △BFD △CED A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠A的平分线交BC于D，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE，又∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠AEF＝∠AFE，①正确； ∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，又DE＝DF， ∴AD垂直平分EF，②正确； S ：S ＝ ×BF×DF： ×CE×DE＝BF：CE，③正确； △BFD △CED EF与BC不一定平行，④错误， 故选：A． 8．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（ ） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD， ∴AB垂直平分CD， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D， 交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ） A．4cm B．5m C．6cm D．7cm 【答案】C 【解答】解：连接AD． ∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm， ∴AD＝BD＝12cm，∠B＝∠BAD＝15°； 又∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ADC＝30°，∴AC＝ AD＝6cm． 故选：C． 10．在△ABC中，∠B＝60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若 AE＝BC，则∠A＝ 4 0 °． 【答案】40． 【解答】解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A， ∵AE＝BC， ∴BE＝BC， ∴∠C＝∠BEC＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+60°＝180°， ∴∠A＝40°， 故答案为：40． 11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不 写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝ ∠DAC＝40°． 12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且 AC＝15cm，△BCE的周长等于24cm． （1）求BC的长； （2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求证：BC＝BE． 【答案】（1）9cm； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE＝BE， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC， ∵AC＝15cm，△BCE的周长＝24cm ∴BC＝24﹣15＝9（cm）； （2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°， ∵AB的垂直平分线MN交AB于点D， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝36°， 由三角形的外角性质得，∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°， ∴∠BEC＝∠C， ∴BC＝BE．