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专题 24 尺规作图（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 尺规作线段或角】...................................................................................................................................1
【考点2 尺规作三角形】.......................................................................................................................................2
【考点3 尺规作角平分线】...................................................................................................................................4
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】...................................................................................................................5
【考点5 尺规作等腰三角形】...............................................................................................................................7
【考点6 尺规作圆】...............................................................................................................................................9
【考点7 尺规作圆的切线】...................................................................................................................................9
【考点8 尺规作正多边形】.................................................................................................................................12
【考点9 格点作图】.............................................................................................................................................13
【考点10 无刻度直尺作图】.................................................................................................................................14
【考点1 尺规作线段或角】
【例1】（2022·江苏扬州·校考二模）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出
∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【变式1-1】（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．
【变式1-2】（2022·广东韶关·校考二模）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使DF=CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接AF．求证： AFD≌△DEC．
【变式1-3】（2022·北京西城·校考模拟
△
预测）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°．
求作：射线CG，使得CG ∥ AB．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程．
作法：如图2
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于F点；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，与②中作的弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG.所以射线CG就是所求作的射线．
根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)，并完成证明．
【考点2 尺规作三角形】
【例2】（2022·山西吕梁·统考三模）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出Rt△ABC，使斜边AB=m，
一条直角边AC=n．(1)如图2是小亮所作的Rt△ABC，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；
（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个Rt△ABC，使满足上述条件．（不写作法，但保留作
图痕迹）
【变式2-1】（2022·广西贵港·统考三模）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请
根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
【变式2-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）已知∠α，线段a，b，请按要求作图并回答问题；
(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；
(2)已知∠α＝45°，a＝4√2，b＝7，求△ABC的面积．
【变式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则
sin2α+cos2α=1．要求：(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保
留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【考点3 尺规作角平分线】
【例3】（2022·陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，BC=DC，请用尺规作图法，在四边形
ABCD的AB边上求作一点E，使S =S （保留作图痕迹，不写作法）
ΔBCE ΔDCE
【变式3-1】（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边
CD上求作一点P，使∠PBC=15°．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【变式3-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）已知：Rt△ABC，∠B=90°．求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC,∠PBC=45°．
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】
【例4】（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来
市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，
请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P ，P ，P ；
1 2 3
(3)建立平面直角坐标系，设M(0,2)，N(2,0)，停车位P(x,y)，请写出y与x之间的关系式，在图中画出
停车带，并判断点P(4,−4)是否在停车带上．
【变式4-1】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，
BC=5．(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【变式4-2】（2022·广西·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，BD是它的一条对角线，
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若∠DBE=25°，求∠AEB的度数．
【变式4-3】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，
E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作
BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明
的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°．
又∠A=90°，
∴__________________①∵AD∥BC，
∴__________________②
又__________________③
∴△BAE≌△EFB(AAS)．
同理可得__________________④
1 1 1
∴S =S +S = S + S = S ．
△BCE △EFB △EFC 2 矩形ABFE 2 矩形EFCD 2 矩形ABCD
【考点5 尺规作等腰三角形】
【例5】（2014·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、
△
AE √5−1
CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证： = ．（这个
AB 2
√5−1
比值 叫做AE与AB的黄金比．）
2
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2
中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标
注）
【变式5-1】（2011·浙江杭州·中考真题）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把
△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与
∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．
①作图：
②猜想：
③验证：
【变式5-2】（2022·福建莆田·统考一模）阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线l∥m∥n，点A在直线上．
求作：等边三角形ABC，使其点B，C分别落在直线m，n上．
作法：①在直线m上取点D，连接AD，向右作等边三角形∠ADE，使点E落在直线l，m之间；
②在直线m上取点P（点P在点D左侧），作∠AEC=∠ADP交直线n于点C；
③在射线DP上截取DB=CE；
④连接AB，AC，BC．
△ABC就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明△ABC所求作的等边三角形．
【变式5-3】（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰
三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【考点6 尺规作圆】
【例6】（2022·山东青岛·统考一模）已知：△ABC．求作：△ABC的外接圆内的点P，使∠P=2∠A，
PB=PC．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
【变式6-2】（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求
tan∠ADB的值．
【变式6-3】（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写
作法，保留作图痕迹）
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（2）在（1）的条件下，若AB= ，⊙O的半径为5，则sinB=________．（如需画草图，请使用图2）
5
【考点7 尺规作圆的切线】
【例7】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB=OC=BD=CD，
∴四边形OBDC是菱形，
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，
∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（_________________）（填推理的依据）．
【变式7-1】（2022·北京海淀·九年级模拟预测）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线PA，PB．
【变式7-2】（2022·北京海淀·九年级二模）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规
过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．
【变式7-3】（2022秋·北京东城·九年级一模）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过
程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．
作法： ①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
1
③分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧交点B；
2
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC=AD，BC= ．
∴BA OA．
∵ 点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线( ) (填写推理依据) ．
【考点8 尺规作正多边形】
【例8】（2022·福建·统考二模）尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图
将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构
成的多边形面积为_____．
【变式8-1】（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，
作出⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【变式8-2】（2022·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【变式8-3】（2022·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下
列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【考点9 格点作图】
【例9】（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格
点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
(1)在图1中画一条线段垂直AB．
(2)在图2中画一条线段平分AB．
【变式9-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为
1，△ABC 的顶点均为格点(1)在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出△ABC的高CM；
(2)在图②中，连接点B与格点D．点P是BC的中点，点Q为BD上的一动点，当△CPQ的周长最小时，
请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出△CPQ．
【变式9-2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网
格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出作法．
1
(1)在图1中的线段AB上找一点D，连结CD，使S = S ；
△ACD 2 △ABC
1
(2)在图2中的线段AB上找一点E，连结CE，使S = S ．
△ACE 4 △ABC
【变式9-3】（2022秋·江苏南京·九年级一模）如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，OA为
半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)在图①中，作A´B的中点M；
(2)在图②中，作B´N，使得B´N=A´B．【考点10 无刻度直尺作图】
【例10】（2022秋·江西南昌·八年级南昌市三模）如图，点D是等边△ABC内部一点，且DB=DC，请
仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
1
(1)在图①中BC上找一点E，使BE= BC；
2
1
(2)若∠BDC=2∠A，在图②中AB、AC边上分别找点M、N，使MN= BC．
2
【变式10-1】（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在
⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
(1)根据小芸的作法，补全图形；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB=∠AEB=______°．（____________）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，______是 ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直△线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．
【变式10-2】（2022秋·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，△ABC和△DCE是全等的等边
三角形，点A，C，D在一条直线上，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，以AD为边作一个直角三角形；
(2)在图2中，以AD为边作一个等腰三角形．
【变式10-3】（2022秋·江西南昌·九年级统考期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF=FC=CE，
线段AF与线段CD关于点O对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
(1)在图1中画出点O；
1
(2)在图2中画线段OM，使OM∥AF，且OM= AF．
2
