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专题 05 轴对称重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）
专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期
中、
期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短
路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。适合于培训机构的老师给学生作培训
时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 轴对称图形
1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．a=3，b=－5 B．a=－3，b=5 C．a=3，b=5 D．a=－3，b=1
3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（ ）
A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55
4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后 与 的交点为 ， 、 分别在 、
的位置上，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 垂直平分线的性质与判定
1. 垂直平分线的定义
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．
2. 垂直平分线的性质
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．
3.垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图， ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则 BDC的
周长是（ ） △ △
A．8 B．9 C．10 D．11
6.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的
度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．75°
7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接
EC．
（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．9．（2021·北京）如图所示， 是 的角平分线， 是 的垂直平分线，交 的延长线于点
F，连结 ，求证： ．
10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，
过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．
11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的
延长线于N．
（1）证明：BM＝CN；
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．
13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．14．（2019·广东）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
题型三 尺规作图
15．（2022·辽宁）已知在 中，点 为线段 边上一点，则按照顺序，线段 分别是 的
（ ）
A．①中线，②角平分线，③高线 B．①高线，②中线，③角平分线
C．①角平分线，②高线，③中线 D．①高线，②角平分线，③中线
16．（2022·山东）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交
于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 的周长为12， ，则 的周长
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．717．（2022·福建）如图，已知 ABC．
△
(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹）．
(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．
18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．
（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．
（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．
求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．
题型四 最短路径问题
20.（青竹湖）如图，在△ 中， ， 、 是△ 的两条中线， 是 上一个动点，
则下列线段的长度等于 最小值的是（ ）
A. B. C. D.
21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小
值时，∠APB的度数是（ ）
A．40° B．100° C．140° D．50°22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．
(1) 在图中画出△AOB关于y轴对称的△AOB，并直接写出点A 和点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P （x ，y ）、P （x 、y ），其两点间的距离P P
1 1 1 2 2 2 1 2
＝ 问题解决：已知A（1，5），B（7，3）
（1）试求A、B两点的距离；
（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使 PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长
度．
（3）在x轴上有一点M，在y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的
周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长．题型五 等腰三角形的性质与判定
1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高重合。（简称：三线合一）
24．已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．14或16
25．（2022·四川）如图，已知 中， ， ， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 的平行线，分别交 ， 于 ， ，则 的周长是__________．
26．（2020·北京）等腰 ABC的一个角为30°，则其顶角度数为__________．
27．（2021·广西）如图△，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，
则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
28．（2022·贵州）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．36° D．70°
29.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是 ．30．（2022·江苏）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：
(1)△AHE≌△BCE；
(2)AH=2BD．
31．（2020·北京）已知：在 ABC中，∠ABC=45°， 于点D，点E为CD上一点，且DE=AD，
连接BE并延长交AC于点F，△连接DF．求证：BE=AC．32．（2021·重庆）在 中， ， ，点 为 的中点， 、 分别在 、
上，且 ．
(1)求证： ；
(2)判断 的形状，并说明理由．
33．（2021·河北）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点
O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．34．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，DE与BC交于点G，CF平分∠DCE．
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）试判断CF、DE的位置关系，并说明理由．
题型六 等边三角形的性质与判定
1、等边三角形的性质：三边相等；三个角都等于60∘；30∘角所对的直角边是斜边的一半。
2、等边三角形的判定：三条边相等；两个角等于60∘；两边相等 + 一个60∘的角。
35．（2021·山东）如图，已知直线 ，将等边三角形如图放置．若 ，则 等于（ ）
A．17° B．22° C．27° D．32°
36．（2021·四川）如图，点D、E分别在等边三角形ABC的边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相
交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°37．（2021·福建）下列说法错误的是（ ）
A．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
B．等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．三角形三条边上的中垂线的交点到三个顶点的距离相等
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
38．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边
上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
39．（2021·四川）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=___．
40．（2021·重庆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝
1，则BC的长是_____．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC中点，DE⊥AB于E，AD＝4，求线段BE的
长度．
42．（2021·云南）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．43．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于
点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝18cm，求CM的长．
44．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接
DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
45．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）求AD的长．
46．（2019·重庆）如图，P为等边 ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D．
△
（1）求证：DP＝DB；
（2）求证：DA+DB＝DC；
