文档文本内容
专题 2.1 认识实数、平方根（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:20)................................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:20)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:37)(cid:27)(cid:28)(cid:20)....................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:26)(cid:30)(cid:41)(cid:20)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 a(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:20)....................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:51)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:30)(cid:56)(cid:57)(cid:20)........................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:20)........................................................................................................................6
知识点1 认识实数
(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:15)(cid:12)(cid:16)
(cid:17)(cid:15)(cid:12)(cid:18)(cid:6)(cid:15)(cid:12)(cid:19)(cid:13)(cid:20)(cid:12)(cid:21)(cid:22)(cid:20)(cid:12)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:14)(cid:17)(cid:15)(cid:12)(cid:18)(cid:6)(cid:15)(cid:12)(cid:16)
知识点2 算术平方根和平方根的区别与联系 教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:12)χ(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:39)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:12)x(cid:38)(cid:28)(cid:29)
(cid:40)a,(cid:22)x²=a(cid:21)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:36)(cid:12)x(cid:44)(cid:45)
(cid:3)(cid:4) (cid:39)(cid:40)a,(cid:22)x²=a(cid:21)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:36)(cid:37)(cid:12)x
(cid:46)a(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:50)(cid:29)
(cid:44)(cid:45)(cid:46)a(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:30)(cid:51)
(cid:65)(cid:66) (cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:12)(cid:17)(cid:53)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)(cid:54)(cid:55)(cid:56)
(cid:36)(cid:12) (cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:12)(cid:52)(cid:17)(cid:31)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:14)(cid:57)(cid:58)(cid:12)(cid:59)(cid:60)(cid:12)(cid:61)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:62)(cid:63)(cid:29)(cid:64) (cid:37)(cid:12)a(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:14) (cid:37)(cid:12)a(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:62)(cid:63)(cid:14)±
(cid:71)(cid:17)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:60)(cid:75)(cid:21)(cid:22)
(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) 𝑎 a(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:23)(cid:37)(cid:23)(cid:60)(cid:21)(cid:48)(cid:23)(cid:14)𝑎 0
0(cid:21) 0
𝑎
(cid:76)(cid:77) (cid:28)𝑎(cid:29) ≥ (cid:30)(cid:78)(cid:79) 𝑎≥ (cid:80)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:41)(cid:36)
(cid:49)(cid:83)
(cid:76)(cid:77)
(cid:84)(cid:40)0 0(cid:38)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:85)(cid:81)0
教辅资源，关注公众号★全科AA+知识点3 开平方
1.(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:86)(cid:31)(cid:36)(cid:12)a(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:87)(cid:26)(cid:21)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:21)a(cid:45)(cid:46)(cid:89)(cid:88)(cid:29)(cid:12)(cid:16)
2.(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:18)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:65)(cid:66)(cid:90)(cid:76)(cid:77)
(cid:47)1)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:91)(cid:21)(cid:89)(cid:88)(cid:29)(cid:12)a(cid:92)(cid:93)(cid:81)(cid:74)(cid:60)(cid:12)(cid:16)
(cid:47)2)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:81)(cid:12)(cid:21)(cid:81)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:94)(cid:35)(cid:59)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:81)(cid:31)(cid:95)(cid:87)(cid:26)(cid:21)(cid:81)(cid:86)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:96)(cid:97)(cid:16)
(cid:47)3)(cid:28)(cid:29)(cid:18)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:14)(cid:98)(cid:87)(cid:26)(cid:21)(cid:23)(cid:24)(cid:99)(cid:28)(cid:29)(cid:87)(cid:26)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:88)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:94)(cid:35)(cid:81)(cid:103)(cid:37)(cid:104)(cid:16)
知识点4 与 的性质
𝟐
𝐚² 𝐚
(cid:105)(cid:106) (cid:75)(cid:107) (cid:63)(cid:108)
6 =|6|=6
(cid:62) (cid:63)
² =| |= (cid:62) < (cid:63) 2
𝟐 𝒂 𝒂≥𝟎 6) =| |=6
𝒂 𝒂 𝒂 −𝒂 𝒂 𝟎 2
(− −6
( ) = (cid:62) (cid:63) ( 6) =6
𝟐 𝟐 2
𝒂 𝐚 𝐚 𝐚≥𝟎
【题型1 认识实数】
3
(cid:15)(cid:64)1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:74)(cid:68)(cid:75)(cid:26)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:74)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:56)(cid:30)(cid:87)(cid:9)(cid:88)(cid:10)1 (cid:80) (cid:80)
4
5 30 −0.25
(cid:80)206(cid:80)0(cid:80) (cid:80)21%(cid:80) (cid:80)
9 2 5
𝜋
−(cid:89)3(cid:78)(cid:26)(cid:90)(cid:91){ − 2.0 1 0 0 1…0(cid:92)00100001⋯⋯
(cid:45)(cid:46)(cid:93)(cid:26)(cid:90)(cid:91){ …(cid:92)
(cid:94)(cid:93)(cid:26)(cid:90)(cid:91){ …(cid:92)
22
(cid:15)(cid:95)(cid:96)1-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:51)(cid:25)(cid:26) (cid:104)0(cid:104) (cid:104)3.14(cid:55)(cid:80)(cid:105)(cid:94)(cid:93)(cid:26)(cid:30)(cid:106) (cid:107)
3 7
π
(cid:15)(cid:95)(cid:96)1-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:108)(cid:16)(cid:109)(cid:110)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:111)x(cid:105)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115) 2< <0(cid:30)(cid:94)(cid:93)(cid:26)(cid:80)(cid:116)(cid:47)(cid:117)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:119)(cid:91)(cid:21)
(cid:47)(cid:30)x(cid:41) (cid:62)(cid:82)(cid:83)(cid:120)(cid:121)(cid:112)(cid:63)(cid:107) − 𝑥
7
(cid:15)(cid:95)(cid:96)1-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:70)(cid:122)(cid:123)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:51)(cid:26) (cid:55)(cid:80)(cid:94)(cid:93)(cid:26)(cid:124)(cid:46)
11
(cid:113)(cid:107) −65, ,3.14,0,2.36,−π,0.020020002⋯⋯
【题型2 平方根的概念】
(cid:15)(cid:64)2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:70)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:57)(cid:96)(cid:128)(cid:129)(cid:130)“9(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:131)(cid:132)±3”(cid:89)(cid:133)(cid:30)(cid:105)(cid:62) (cid:63)
A(cid:107) 9= B(cid:107) 9=3 C(cid:107) 9=±3 D(cid:107)± 9=±3
(cid:15)(cid:95)(cid:96)2-1(cid:20)(cid:62)−324-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:68)(cid:75)(cid:138)(cid:26)(cid:55)(cid:80)(cid:139)(cid:46)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:105)(cid:62) (cid:63)
教辅资源，关注公众号★全科AA+A(cid:107)4 B(cid:107)(cid:140)4 C(cid:107)0 D(cid:107)2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)2-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:16)(cid:141)(cid:142)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:12)(cid:82)(cid:31)(cid:3)(cid:17)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:81)(cid:47)(cid:112)(cid:112)(cid:51)
A(cid:107)a2﹣5 B(cid:107)﹣a C(cid:107)a+1 D(cid:107)a2+1
(cid:15)(cid:95)(cid:96)2-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:143)(cid:144)(cid:143)(cid:126)·(cid:145)(cid:21)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:38)(cid:68)(cid:75)(cid:138)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:81)(cid:57)(cid:96)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:10)
(1) (cid:148)
2
(1−6 7)
(2) (cid:107)
25
【题型3 算术平方根的概念】教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:64)3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:134)(cid:135)(cid:149)(cid:126)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:46)(cid:112)(cid:113)(cid:26)(cid:41)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:80)(cid:155)(cid:93)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:130)(cid:80)(cid:159)(cid:160)(cid:85)(cid:30) =256(cid:161)(cid:80)
(cid:160)(cid:118)(cid:30) (cid:41)(cid:105) (cid:107) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:95)(cid:96)3-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:136)(cid:162)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:163)(cid:33)(cid:10) =
2
1− (−6)
3
(cid:15)(cid:95)(cid:96)3-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:164)(cid:134)(cid:165)(cid:126)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:166)(cid:40)(cid:3)(cid:132) (cid:30)(cid:28)(cid:167) +1= + (cid:30)(cid:168)(cid:105) = (cid:80)(cid:169) (cid:30)(cid:33)
4
(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105) (cid:107) 𝑥 −3𝑥 𝑥 2𝑎 𝑥 − 𝑎
(cid:15)(cid:95)(cid:96)3-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:112)(cid:113)(cid:26)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)x(cid:80)(cid:169)(cid:174)(cid:175)(cid:113)(cid:26)(cid:18)2(cid:30)(cid:26)(cid:30)(cid:33)(cid:34)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)(cid:62)(cid:176)(cid:176)(cid:63)
A(cid:107)x2+2 B(cid:107) +2 C(cid:107) D(cid:107) +2
2 2
【题型4 平方根的性质】 𝑥 𝑥 −2 𝑥
(cid:15)(cid:64)4(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:16)(cid:141)(cid:142)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:166)(cid:40)(cid:25)(cid:26) (cid:80) (cid:120)(cid:86)(cid:131)(cid:80)(cid:177) = (cid:80) = (cid:107)
(1)(cid:111) (cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:106)3(cid:80)(cid:38) (cid:30)(cid:41)(cid:148) 𝑥 𝑦 𝑥 1−2𝑎 𝑦 3𝑎−4
(2)(cid:156)𝑥(cid:178)(cid:112)(cid:113)(cid:89)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:106)𝑎(cid:80) (cid:80)(cid:38)(cid:175)(cid:113)(cid:89)(cid:26)(cid:107)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)4-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)𝑥 ·(cid:43)𝑦(cid:179)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:89)(cid:26)(cid:30)(cid:180)(cid:113)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:78)(cid:181)(cid:105) +3(cid:182) (cid:80)(cid:169)(cid:175)(cid:113)(cid:89)(cid:26)
(cid:105) (cid:107) 2𝑎 1−𝑎
(cid:15)(cid:95)(cid:96)4-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:137)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:166)(cid:40)3(cid:105) (cid:30)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:80) (cid:105) +1(cid:30)(cid:112)(cid:113)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:107)(cid:169) + = (cid:107) 𝑥−1 −5 𝑥−2𝑦
(cid:15)(cid:95)(cid:96)𝑥4-3(cid:20)𝑦 (cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)·(cid:164)(cid:134)(cid:186)(cid:187)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:111) (cid:182) (cid:105)(cid:188)(cid:112)(cid:113)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:80)(cid:169) (cid:106) (cid:107)
2𝑚−4 3𝑚−1 𝑚
教辅资源，关注公众号★全科AA+【题型5 开平方】
(cid:15)(cid:64)54(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:134)(cid:189)(cid:190)(cid:126)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:111)(cid:25)(cid:26)a(cid:104)b(cid:114)(cid:115)(cid:28)(cid:167)x2(cid:191)5(cid:80)(cid:177)a(cid:192)b(cid:80)(cid:68)(cid:75)(cid:193)(cid:194)(cid:89)(cid:133)(cid:30)(cid:105)(cid:62)(cid:176) (cid:176)(cid:63)
A(cid:107)5(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)b B(cid:107)5(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)a
C(cid:107)5(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)b D(cid:107)5(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)a
(cid:15)(cid:95)(cid:96)5-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:108)(cid:16)(cid:195)(cid:196)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:156)(cid:178)(cid:197)(cid:198)(cid:26)a(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)±m(cid:80)(cid:199)(cid:200)a+1(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:57)m(cid:129)(cid:130)
(cid:106)(cid:62)(cid:176)(cid:176)(cid:63)
A(cid:107)±(cid:62)m+1(cid:63) B(cid:107)(cid:62)m2+1(cid:63) C(cid:107)± +1 D(cid:107)± +1
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)5-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:201)(cid:70)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:67)(cid:206)(cid:207)·(cid:73)𝑚(cid:103)(cid:63)(cid:156)(cid:157)(cid:80)(cid:25)(cid:26)a(cid:104)b𝑚(cid:51)(cid:26)(cid:208)(cid:98)(cid:30)(cid:207)(cid:209)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:130)(cid:80)(cid:210)
(cid:211) | |+ ( ) = (cid:107)
2 2
𝑎 − 𝑏 𝑎−𝑏
= +6
(cid:15)(cid:95)(cid:96)5-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:16)(cid:101)(cid:212)(cid:213)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:3)(cid:132) (cid:80) (cid:30)(cid:214)(cid:215)(cid:112)(cid:216)(cid:28)(cid:167)(cid:217)
+ =
(cid:30)(cid:168) (cid:80) (cid:114)(cid:115)
𝑥−𝑦 𝑎
(cid:3)(cid:218)(cid:96) + =2(cid:80)(cid:169) (cid:30)(cid:41)(cid:106)(cid:62) (cid:63) 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 2𝑎 𝑥 𝑦
A(cid:107)14𝑥 𝑦 𝑎B(cid:107)12 C(cid:107)10 D(cid:107)8
【题型6 求未知数的值】
(cid:15)(cid:64)6(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:219)(cid:135)(cid:69)(cid:220)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:111) =2(cid:80)(cid:169)x(cid:30)(cid:41)(cid:105) (cid:107)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)6-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:219)(cid:171)(cid:219)(cid:126)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)2(cid:147)𝑥(cid:63)(cid:168)(cid:28)(cid:167)(cid:10)
(1) =0
2
(2)𝑥2(−6 ) =50
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)𝑥−63-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:221)(cid:222)(cid:134)(cid:223)(cid:223)(cid:224)(cid:225)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:46)(cid:112)(cid:226)(cid:33)(cid:167)(cid:227)(cid:156)(cid:68)(cid:10)
(cid:111)(cid:160)(cid:118)(cid:30)(cid:41)(cid:105)25(cid:80)(cid:169)(cid:160)(cid:85)(cid:30)(cid:41)(cid:228)(cid:229)(cid:105) (cid:107)
(cid:15)(cid:95)(cid:96)6-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:43)(cid:179)·(cid:145)(cid:21)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:166)(cid:40) (cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)±3(cid:80) + (cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105)4(cid:80)(cid:199)
(cid:200) (cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105) (cid:107) 2𝑎−1 3𝑎 𝑏−1
【
𝑎
题
−
型
2𝑏7
算术平方根的双重非负性】
(cid:15)(cid:64)7(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:108)(cid:16)(cid:230)(cid:231)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:111)(cid:25)(cid:26) (cid:114)(cid:115) +( +1) +| |=0(cid:80)(cid:169) + + (cid:30)(cid:27)
2
(cid:28)(cid:29)(cid:105) (cid:107) 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥−2 𝑦 𝑧−3 𝑥 𝑦 𝑧
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:15)(cid:95)(cid:96)7-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:164)(cid:134)(cid:186)(cid:187)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:111)| +2|+ =0(cid:80)(cid:169) ( ) (cid:30)(cid:41)(cid:106) (cid:107)
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)7-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:69)(cid:16)(cid:232)(cid:126)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:111)m(cid:104)n 𝑥(cid:114)(cid:115)( 𝑦− ) 3 + = 𝑥 0 𝑦 (cid:80)(cid:169) + (cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:105) (cid:107)
2
𝑚−2 𝑛−14 𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:95)(cid:96)7-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:170)(cid:135)(cid:233)(cid:155)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:166)(cid:40)(cid:25)(cid:26) (cid:104)(cid:114)(cid:115) + +2=0(cid:80)(cid:169)( + )
2024
𝑥 𝑦 𝑥−1 𝑦 𝑥 𝑦
(cid:30)(cid:41)(cid:106) (cid:107)
【题型8 有意义的条件】 教辅资源,关注公众号•全科AA+
𝐚
(cid:15)(cid:64)8(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:234)(cid:235)(cid:219)(cid:137)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:111)| |+ = (cid:80)(cid:169) 2023 = (cid:107)
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)8-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:126)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)20(cid:147)2(cid:63)3−(cid:111)𝑚 = 𝑚−20+24 𝑚+4(cid:80)𝑚 − = (cid:80)(cid:169) (cid:30)(cid:41)
(cid:106) (cid:107) 𝑚 𝑥−6 6−𝑥 𝑛 𝑥−9 𝑚−𝑛
(cid:15)(cid:95)(cid:96)8-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:237)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:99)(cid:100)(cid:238)(cid:239)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:166)(cid:40)| |+ = (cid:80)(cid:169) 2012 (cid:30)(cid:41) (cid:107)
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)8-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:238)(cid:240)(cid:241)(cid:27)·(cid:150)(cid:151)(cid:146)(cid:147)(cid:63)(cid:166)(cid:40)(cid:10) 201 = 2−𝑎 𝑎 + −2013 + 𝑎1 (cid:80)(cid:38) 𝑎− (cid:242)(cid:26)(cid:96) + +2
2
𝑥 𝑦
𝑦 1−8𝑥 8𝑥−1 𝑦 𝑥 −
+ (cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:107)
𝑥 𝑦
𝑦 𝑥−2
【题型9 算术平方根在实际生活中的应用】
(cid:15)(cid:64)9(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:170)(cid:135)(cid:243)(cid:126)·(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:106)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:80)(cid:112)(cid:55)(cid:11)(cid:252)(cid:253)(cid:54)(cid:254)(cid:255)(cid:217)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:30)(cid:261)(cid:262)
(cid:263)(cid:264)(cid:80)(cid:81)(cid:106)(cid:265)(cid:112)(cid:101)(cid:263)(cid:264)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:112)(cid:113)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:107)A(cid:255)(cid:217)(cid:270)(cid:271)(cid:256)(cid:257)(cid:89)(cid:28)(cid:272)(cid:263)(cid:264)(cid:80)B(cid:255)(cid:217)(cid:270)(cid:271)(cid:256)(cid:257)(cid:273)(cid:28)(cid:272)(cid:268)(cid:269)(cid:274)(cid:275)
(cid:276)(cid:277)(cid:163)(cid:33)(cid:80)(cid:278)(cid:279)(cid:89)(cid:28)(cid:272)(cid:263)(cid:264)(cid:280)(cid:281)(cid:203)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:273)(cid:28)(cid:272)(cid:268)(cid:269)(cid:55)(cid:107)
(cid:252)(cid:21) (cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:287)(cid:268)(cid:269)(cid:256)(cid:257)
(cid:157)(cid:130)
(cid:86)(cid:3)(cid:26)(cid:288)(cid:287)(cid:193) (cid:89)(cid:28)(cid:272)(cid:263)(cid:264)(cid:30)(cid:290)(cid:291)(cid:106)64cm (cid:80)(cid:273)(cid:28)(cid:272)(cid:268)(cid:269)(cid:30)(cid:273)(cid:182)(cid:292)(cid:30)(cid:174)(cid:106)2:1(cid:80)(cid:290)(cid:291)(cid:106)
2
(cid:289) 140cm
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)9-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:170)(cid:171)(cid:293)(cid:294)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:65)(cid:295)(cid:296)(cid:105)(cid:112)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:30)(cid:55)(cid:300)(cid:245)(cid:301)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:80)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:48)(cid:80)(cid:105)(cid:309)(cid:65)
(cid:310)(cid:296)(cid:217)(cid:270)(cid:30)(cid:107)(cid:311)(cid:112)(cid:312)(cid:65)(cid:295)(cid:296)(cid:76)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:130)(cid:286)(cid:313) (cid:314) (cid:315)(cid:9)(cid:80)(cid:309)(cid:175)(cid:316)(cid:65)(cid:295)(cid:296)(cid:317)(cid:270)(cid:30)“(cid:318)(cid:319)”(cid:30)(cid:290)(cid:291)(cid:105)32(cid:80)(cid:199)(cid:200)“(cid:318)
(cid:319)”(cid:98)(cid:320)(cid:46)(cid:321)(cid:322)(cid:30)(cid:296)(cid:310)(cid:323)(cid:273)(cid:106) (cid:107) ① ⑦
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:15)(cid:95)(cid:96)9-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:324)(cid:186)(cid:325)(cid:170)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:11)(cid:326)(cid:239)(cid:327)(cid:328)(cid:46)(cid:112)(cid:113)(cid:273)(cid:104)(cid:292)(cid:329)(cid:174)(cid:106)5(cid:10)2(cid:30)(cid:273)(cid:28)(cid:272)(cid:277)(cid:330)(cid:80)(cid:331)(cid:290)
(cid:291)(cid:106)10m (cid:80)(cid:111)(cid:57)40(cid:310)(cid:18)(cid:255)(cid:86)(cid:188)(cid:30)(cid:89)(cid:28)(cid:272)(cid:247)(cid:332)(cid:311)(cid:175)(cid:113)(cid:277)(cid:330)(cid:333)(cid:114)(cid:80)(cid:247)(cid:332)(cid:30)(cid:323)(cid:273)(cid:105) (cid:107)
2
(cid:15)(cid:95)(cid:96)9-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:334)(cid:135)(cid:137)(cid:335)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:246)(cid:255)(cid:336)(cid:106)(cid:258)(cid:337)(cid:286)(cid:283)(cid:338)(cid:339)(cid:340)(cid:54)(cid:254)(cid:30)(cid:37)(cid:341)(cid:80)(cid:342)(cid:343)(cid:51)(cid:112)(cid:310)(cid:290)(cid:291)(cid:106)
500m (cid:30)(cid:89)(cid:28)(cid:272)(cid:344)(cid:247)(cid:98)(cid:144)(cid:112)(cid:113)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:107)(cid:166)(cid:40)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:30)(cid:290)(cid:291)(cid:106)162m (cid:80)(cid:331)(cid:55)(cid:273)(cid:241)(cid:292)(cid:30)(cid:174)(cid:106)2:1(cid:80)(cid:177)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:30)(cid:234)
2 2
(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:118)1m(cid:292)(cid:30)(cid:344)(cid:247)(cid:80)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:163)(cid:33)(cid:193)(cid:289)(cid:280)(cid:281)(cid:76)(cid:58)(cid:343)(cid:51)(cid:175)(cid:310)(cid:344)(cid:247)(cid:98)(cid:144)(cid:112)(cid:113)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:352)
【题型10 算术平方根的规律探究】
(cid:15)(cid:64)10(cid:20)(cid:62)24-25(cid:97)(cid:66)(cid:67)(cid:98)·(cid:69)(cid:16)(cid:353)(cid:354)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:355)(cid:356)(cid:68)(cid:75)(cid:138)(cid:96)(cid:10)
1+ 1 + 1 =1+ 1 1 =1 1 (cid:148) 1+ 1 + 1 =1+ 1 1 =1 1 (cid:148) 1+ 1 + 1 =1+ 1 1 =1 1 (cid:80)…
1 2 1 2 2 2 3 2 3 6 3 4 3 4 12
2 2 2 2 2 2
(cid:274)(cid:275)(cid:29)(cid:288)(cid:229)(cid:98)(cid:357)(cid:113)(cid:131)−(cid:96)(cid:358)(cid:359)(cid:30)(cid:6)(cid:360)(cid:168)(cid:82)(cid:68)(cid:75)(cid:361)(cid:21) − −
1 1
(1)(cid:362)(cid:363) 1+ + =______=______(cid:148)
7 8
2 2
(2)(cid:364)(cid:365)(cid:10)(cid:29)(cid:288)(cid:275)(cid:30)(cid:355)(cid:356)(cid:80)(cid:362)(cid:363)(cid:80)(cid:274)(cid:117)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:57)n(cid:62)n(cid:106)(cid:89)(cid:366)(cid:26)(cid:63)(cid:129)(cid:130)(cid:30)(cid:131)(cid:96)(cid:10)________________(cid:148)
82 1
(3)(cid:56)(cid:57)(cid:10)(cid:163)(cid:33) + (cid:107)
81 100
1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:95)(cid:96)10-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:219)(cid:135)(cid:367)(cid:126)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:355)(cid:356)(cid:68)(cid:75)(cid:138)(cid:96)(cid:10) 1+ =2 (cid:80) 2+ =3 (cid:80) 3+ =4
3 3 4 4 5
1 1 1
(cid:80)……(cid:80)(cid:29)(cid:288)(cid:275)(cid:368)(cid:369)(cid:30)(cid:58)(cid:59)(cid:80)(cid:111)(cid:96)(cid:128) + =8 (cid:62)a(cid:104)b(cid:106)(cid:89)(cid:366)(cid:26)(cid:63)(cid:119)(cid:91)(cid:229)(cid:98)(cid:58)(cid:59)(cid:80)(cid:169) + (cid:30)(cid:41)(cid:106)
5
(cid:62) (cid:63) 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:107)2 B(cid:107)4 C(cid:107)6 D(cid:107)8
(cid:15)(cid:95)(cid:96)10-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:43)(cid:179)(cid:370)(cid:27)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:62)1(cid:63)(cid:355)(cid:356)(cid:368)(cid:369)(cid:10)
教辅资源，关注公众号★全科AA+( >0)… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
𝑎 𝑎
… 0.01 x 1 y 100 …
𝑎
(cid:129)(cid:371)(cid:55) = (cid:80) = (cid:107)
(cid:62)2(cid:63)(cid:364)𝑥(cid:365)(cid:372)(cid:373)𝑦(cid:10)
(cid:374)(cid:37)(cid:28)(cid:26)(cid:30)(cid:255)(cid:26)(cid:262)(cid:265)(cid:375)(cid:376)(cid:377)(cid:254)2(cid:207)(cid:80)(cid:86)(cid:56)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:255)(cid:26)(cid:262)(cid:378)(cid:375)______(cid:377)(cid:254)______(cid:207)(cid:107)
(cid:62)3(cid:63)(cid:58)(cid:59)(cid:226)(cid:57)(cid:10)
(cid:166)(cid:40) 5 2.24(cid:80)(cid:169) 500 ______(cid:148)
①(cid:166)(cid:40) ≈ 7.07, 5000 ≈70.7(cid:80)(cid:169)m(cid:191)______(cid:107)
(cid:15)②(cid:95)(cid:96)102-𝑚3(cid:20)≈(cid:62)24-25(cid:65)(cid:66)(cid:67)≈(cid:68)·(cid:164)(cid:134)(cid:294)(cid:126)·(cid:73)(cid:103)(cid:63)(cid:156)(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:133)(cid:247)(cid:163)(cid:33)(cid:118)(cid:234)(cid:207)(cid:26)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:383)(cid:352)(cid:76)(cid:384)(cid:68)(cid:290)
(cid:308)(cid:385)(cid:275)(cid:386)(cid:280)(cid:387)(cid:388)(cid:107)
(1)(cid:229)(cid:68)(cid:105)(cid:255)(cid:289)(cid:60)(cid:61) 1849(cid:30)(cid:277)(cid:167)(cid:80)(cid:274)(cid:389)(cid:390)(cid:391)(cid:366)(cid:10)
(cid:309)10 =100(cid:80)100 =10000(cid:228)(cid:229)(cid:133)(cid:343) 1849(cid:105)__________(cid:207)(cid:26)(cid:148)
2 2
①(cid:309)1849(cid:30)(cid:113)(cid:207)(cid:98)(cid:30)(cid:26)(cid:105)9(cid:80)(cid:228)(cid:229)(cid:133)(cid:343) 1849(cid:30)(cid:113)(cid:207)(cid:98)(cid:30)(cid:26)(cid:105)__________(cid:392)__________(cid:148)
②(cid:156)(cid:178)(cid:393)(cid:394)1849(cid:395)(cid:290)(cid:30)(cid:180)(cid:207)49(cid:396)(cid:388)(cid:26)18(cid:80)(cid:397)4 =16(cid:80)5 =25(cid:80)(cid:228)(cid:229)(cid:133)(cid:343) 1849(cid:30)(cid:398)(cid:207)(cid:98)(cid:30)(cid:26)(cid:105)4(cid:148)(cid:399)
2 2
③4×(4+1)=20(cid:80)(cid:397)18<20(cid:80)(cid:158)(cid:229)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:255)(cid:30)(cid:113)(cid:207)(cid:26)(cid:403)(cid:80)(cid:169) 1849=__________(cid:107)
(2)(cid:166)(cid:40)3136(cid:386)(cid:105)(cid:112)(cid:113)(cid:366)(cid:26)(cid:30)(cid:27)(cid:28)(cid:80)(cid:274)(cid:29)(cid:288)(cid:404)(cid:405)(cid:30)(cid:28)(cid:194)(cid:38)(cid:118) 3136(cid:80)(cid:81)(cid:193)(cid:289)(cid:93)(cid:309)(cid:107)
教辅资源，关注公众号★全科AA+
