文档内容
第 10 讲 章节复习专题：实数(12 类热点题型讲练)
目录
【考点一 无理数、实数的概念】............................................................................................................................1
【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】............................................................................................3
【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】........................................................................................5
【考点四 利用算术平方根的非负性解题】............................................................................................................6
【考点五 利用开平方、开立方解方程】................................................................................................................8
【考点六 平方根与立方根的综合问题】..............................................................................................................10
【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】......................................................................................13
【考点八 同类二次根式】......................................................................................................................................15
【考点九 利用二次根式的性质化简】..................................................................................................................17
【考点十 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................19
【考点十一 复合二次根式的化简】......................................................................................................................25
【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】......................................................................................................30
【考点一 无理数、实数的概念】
例题：（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0， ， 中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】本题考查无理数的定义，根据“无限不循环小数是无理数”进行判断即可．
【详解】解： 是无理数，
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数 ， ，0， ， ， ， （两个
1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可．【详解】解：在实数 ， ，0， ， ， ， （两个1之间依次多一个6）中，
， ， （两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个，
故选：C．
2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在 ， ， 0， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见三种表现形式为：①开方开不尽的数，
如❑√2等；②无限不循环的小数，如 等；③字母表示，如 等．
【详解】解：无理数为 ， 共1个，
故选A．
3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数 ， ， ，3.14， ，3.1212212221…（相邻两个1之
间依次增加一个2）， 中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】无理数
【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①
开方开不尽的数；②含 的数；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数概念逐个判断，即可解题．
【详解】解：题中的无理数有 ， ，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）， 共 个，
故选：D．
4．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 相邻的两个 之间依次
多一个 ．
(1)无理数集合： ________________________________________
(2)有理数集合： ________________________________________ ．
(3)分数集合： _______________________ ．
(4)负无理数集合： _____________ ．
【答案】(1) ， ， ， ， 相邻的两个 之间依次多一个(2) ， ， ， ，
(3) ， ，
(4) ，
【知识点】实数的分类
【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数
的定义求解即可．
【详解】（1）无理数集合： ， ， ， ， 相邻的两个 之间依次多一个 ，
故答案为： ， ， ， ， 相邻的两个 之间依次多一个 ，
（2）有理数集合： ， ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ， ，
（3）分数集合： ， ， ，
故答案为： ， ， ，
（4）负无理数集合： ， ，
故答案为： ， ，
【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：① 的平方根是 4；
② 表示6的算术平方根的相反数；
③ 的立方根是 ；④ 是 的平方根.
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可．【详解】解：① ， 的平方根是 ，故①错误；
② 表示6的算术平方根的相反数，故②正确；
③ 的立方根是 ，故③正确；
④ ， 是 的平方根，故④正确；
故选：C
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（ ）．
A． 的平方根是 ； B． 是64的立方根；
C． 是 的立方根； D． 的平方根是 ．
【答案】C
【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解
【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可．
【详解】解∶A． 是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意；
B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意；
C． 是 的立方根，故原说法正确，符合题意；
D． 的平方根是 ，故原说法错误，不符合题意；
故选∶C．
2．（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的立方根是0
C．3是9的一个平方根 D． 的立方根是
【答案】A
【知识点】立方根概念理解、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，理解并掌握平方根、算术平方根、立方根
的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 的平方根是 ，故本选项原说法错误，符合题意；
B、0的立方根是0，故本选项原说法正确，不符合题意；
C、3是9的一个平方根，故本选项原说法正确，不符合题意；
D、 的立方根是 ，故本选项原说法正确，不符合题意；
故选：A．
3．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是 ， B． 是 的立方根
C． 是 的平方根 D． 一定没有平方根
【答案】C【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解
【分析】本题考查平方根、立方根，解题的关键是理解和掌握平方根和立方根的定义．据此分析即可．
【详解】解：A．立方根等于它本身的数是 ， ，原说法不正确，故此选项不符合题意；
B． 是 的立方根，原说法不正确，故此选项不符合题意；
C． 是 的平方根，原说法正确，故此选项符合题意；
D．当 时， ，此时 有平方根，原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试） 的平方根是 ， 算术平方根是 ，−8的立方根是
【答案】 −2
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足 ，那
么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足 ，
那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解： 的平方根是 ， 算术平方根是 ，−8的立方根是 ，
故答案为： ； ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试） 的平方根是 ；5的立方根是 ； 的算术平方
根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
根据平方根、算术平方根、立方根的意义，即可解答．
【详解】解： 9的算术平方根是3，
3的平方根是 ，
5的立方根是 ，
64的算术平方根是8，
8的算术平方根是 即 ，
故答案为： ， ， ．2．（23-24八年级上·全国·单元测试） 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
的立方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义．熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【详解】解： 的算术平方根是 ；
，它的平方根是 ；
，它的立方根是 ；
故答案为： ； ； ．
3．（23-24七年级下·海南海口·期末） 的平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的立方
根是 ．
【答案】 /0.7 2
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，
0的立方根是0．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解．
【详解】解： ,
的平方根是 ； 的算术平方根是 ， 的立方根是2；
故答案： ， ，2．
【考点四 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若 、 满足 ，则
．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到 ，则
，据此代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、负整数指数幂
【分析】本题考查算术平方根的非负性，负整数指数幂，熟练算术平方根的非负性和负整数指数幂的求法
是解题的关键．先利用 和 求出 ，再求出 ，最后计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
代入 ，
得： ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若 ，则 的值为 ．
【答案】2
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性求出 的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）若 ，则 ．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性
【分析】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，即可求解，掌握非负
数的性质是解题的关键．．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点五 利用开平方、开立方解方程】
例题：（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
（1）根据平方根的性质可得 ，即可获得答案；
（2）根据立方根的性质可得 ，即可获得答案．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中 的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) ．
【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程
【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定
义．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：
∴
（2）
2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）解方程：
∴
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程
【分析】此题考查了根据平方根和立方根的意义解方程，
（1）根据平方根的意义得到 ，解一元一次方程即可；
（2）原方程变形为 ，根据立方根的定义得到， ，解一元一次方程即可．【详解】（1）解：
∴
解得 或
（2）解：
∴
根据立方根的定义得到，
解得
3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程
【分析】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键．
（1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可；
（2）先把方程两边同时减去27，然后再根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
∴ 或 ；
（2）解： ，
，
∴
【考点六 平方根与立方根的综合问题】
例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知 的算术平方根是3， 的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2) 的平方根．
【答案】(1) ，
(2) 的平方根是【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确
计算．
（1）根据 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，得出 ， ，求出结果即
可；
（2）把 ， 代入 求出 ，然后求出 的平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的算术平方根是 ， 的立方根是 ，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 是
的整数部分，求：
(1) 、 、 的值；
(2) 的立方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、平方根概念理解、求算术平方根的整数
部分和小数部分
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出 、 、
的值是解题的关键．
（1）根据算术平方根和平方根的定义求出 、 的值，再估算出 的大小，求出 的值即可；
（2）将（1）中求出的 、 、 的值代入 ，求出结果后再求出立方根即可．
【详解】（1）解： 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
， ，
解得： ， ，
，
，
的整数部分是 ，即 ，
， ， ；（2）解： ， ， ，
， ，
的立方根是 ．
2．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知： 的平方根为 ， 的算术平方根为它本身，
的立方根是
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ，
(2)
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一
个数的算术平方根
【分析】（1）根据平方根的运算可求出 的，算术平方根的运算及 的值可求出 的值，立方根的运算可
求出 的值；
（2）把（1）中的 的值代入，根据平方根的运算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 的平方根为 ，
∴ ，即 ，解得， ，
∵ 的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有 或 ，且 ，
∴ ，即 ，且 ，
∴ ，解得， ，
∵ 的立方根是 ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ ， ， ．
（2）解：由（1）可知， ， ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ，
∴ 的平方根为： ．
【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键．
3．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知 的立方根是2， 的算术平方根是4．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．【答案】(1) ， ；
(2)
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可；
（2）把a与b的值代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是2，
∴ ，
解得： ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解
题的关键．
【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如 的代数式叫做二次根式，由此逐项判断即可得
出答案．
【详解】解：A、当 时， ， 无意义，故本选项错误，不符合题意；
B、当 时， 无意义，故本选项错误，不符合题意；
C、无论 取何值， ， 有意义，故本选项正确，符合题意；
D、当 时， ， 无意义，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·四川自贡·开学考试）能够使二次根式 有意义的实数x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选B．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放开的尽的因数或因
式进行判断即可.
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，是最简二次根式，符合题意；
C、 ，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．x
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式．根据
二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、 是二次根式，本选项符合题意；
B、 没有意义，不是二次根式，本选项不符合题意；
C、 不是二次根式，本选项不符合题意；
D、x不是二次根式，本选项不符合题意；
故选：A．4．（23-24八年级下·全国·单元测试）使二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行
求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，根据最简二次根式应满足的条件：被开方数
的因数是整数，因式是整式（不含有分母）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有二
次根式，由此即可求解
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意
故选：A ．
【考点八 同类二次根式】
例题：（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列根式跟 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．本题主要考查的
是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：A、 ，与 的被开方数不相同，故不符合题意；B、 ，与 的被开方数相同，符合题意；
C、 ，与 的被开方数不相同，故不符合题意；
D、 ，与 的被开方数不相同，故不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）根式 中，与 是同类二次根式的有
（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么
这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可．
【详解】解： ， ， ， ， ，
∴与 是同类二次根的有 ，共1个，
故选：A．
2．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把五个二次根式化简，然后被开方数与
化简的结果的被开方数相同时，则能与 合并，反比不能与 合并．
【详解】解： ， ， ， ， ，
∴能与 合并的是 ， ， ，不能与 合并的是 ，
故选：B．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式、二次根式的加减运算【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断 与最简二次根式 是同
类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键．
【详解】解： ，且与最简二次根式 能合并，
与最简二次根式 是同类二次根式，
，解得 ，
故选：B．
4．（23-24八年级下·全国·期末）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个
最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得
，即可求解．
【详解】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
，
故选：A．
【考点九 利用二次根式的性质化简】
例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简
的结果为 ．
【答案】b
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了数轴、绝对值的的应用和二次根式的化简，先化简二次根式，再根据图形判断a、b的
大小和 的大小，最后去绝对值即可得出答案．
【详解】解： ，
如图可知 ，
，
，
故答案为：b．
【变式训练】1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知 的三边之长分别为2、5、m，则
．
【答案】 /
【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形三边关系及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数为非负数
是解题的关键．根据三角形的三边关系可得出 ，再根据二次根式有意义的条件即可将原式化简求
值．
【详解】解： 的三边之长分别为2、5、 ，
，
即 ，
， ，
．
故答案为：
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，化简： ．
【答案】
【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．根据二次根
式有意义的条件得出 ， 或 ， ，然后分两种情况，根据二次根式性质进行化简即可．【详解】解：∵ 有意义，
，
， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
故答案为： ．
4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把 中根号外的a移入根号内，则 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行求
解即可．
【详解】解：∵二次根式 要有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点十 二次根式的混合运算】
例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算
【分析】 先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，去绝对值，再合并同类二次根式即可；
先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的
应用．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，零指数
幂等知识．熟练掌握二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，零指数幂是
解题的关键．
（1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行减法运算即可；
（2）利用二次根式的性质进行化简，然后进行减法运算，最后进行乘法运算即可；
（3）先利用平方差公式计算，然后进行加法运算即可；
（4）先计算二次根式的除法，零指数幂，然后进行减法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；（4）解：
．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式的乘除和立方根，再计算加减即可；
（3）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可；
（4）根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：
；（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)9
(4)
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）利用二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可；
（3）先进行乘方，乘法计算，再合并同类二次根式即可；
（4）先进行乘法，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式
；
（4）原式 ．
4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，零指数幂：
（1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算二次根式加减法即可；
（3）先化简二次根式和分母有理数，再计算零指数幂，最后计算再计算二次根式加减法即可；
（4）先分母有理化，然后根据合并化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
，
当 时，原式 ．
【考点十一 复合二次根式的化简】
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式 及二次根
式的性质 化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将 予以化简．
【答案】(1) ； ； ；
(2)【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：
（1）根据 结合完全平方公式得到 ，据此化简即可；
（2）根据 结合完全平方公式得到 ，据此化简即可．
【详解】（1）解：
；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简 ，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ；
【答案】(1)④，
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进
行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质 即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解： ①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为： ；
（2）解：原式
．
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程：
材料一：形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，
即 ， ，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，
所以 ．
材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，
请根据材枓解答下列问题：
(1)填空：① ______； ② ______．
(2)化简： （诸写出计算过程）；
(3)化简： ．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)1
【知识点】复合二次根式的化简、分母有理化
【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化：
（1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题把 ，变成 ，然后根据阅读材料进行化简；
（3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式．
【详解】（1）解：①∵ ， ，即 ， ，
∴ ；
② ；
（2）解：解：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）解：．
3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是
根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 ，所以
．通过计算，我还发现设
（其中m，n，a，b都为正整数），则有 ，
， _______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的 ________．
(2)化简： ________．
(3)已知 ，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简： ________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)当 时， ，当 时，
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据 结合完全平方公式求解即可；
（3）根据 ，得出 ， ，根据x，y为正整数，求出 ，或 ， ，最后求出a的值即可．
（4）根据 进行化简求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ．
故答案为： ；
（2）解：
，
故答案为： ；
（3）解：由题意得 ，
∴ ， ，
∵x，y为正整数，
∴ ， 或 ， ，
∴ 或 ．
（4）解：
，
当 ，即 时，则原式 ；
当 ，即 时，则原式 ；
综上所述，当 时， ，当 时，
．
【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知
化简： ；
解： ；
(1)请在横线上直接写出化简的结果：
① ______；② ______．
观察发现
(2)第 个式子是 （ 为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
拓展应用
(3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
① ；
② ．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)① ；②
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算是解题的关键．
（1）利用分母有理化求解作答即可；
（2）根据 ，求解作答即可；
（3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，
结合互为相反数的和为零，计算即可．
【详解】（1）①解： ，
故答案为： ；
②解： ，故答案为： ；
（2）解： ，
∴ 的化简结果为 ；
（3）解：
；
②解：
．
【变式训练】
1．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；
……
请你根据以上规律，解答下列问题：
(1)写出第6个等式： ；第n个等式： ；
(2)计算： ．
【答案】(1) ，(2)
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总
结规律求解即可．
（1）由已知的等式，即可归纳出规律；
（2）根据归纳的规律进行变形计算即可．
【详解】（1）解：
（2）原式
．
2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算： ．
【答案】(1) 或 或
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的
关键．
（1）根据所给算式的规律可直接得出答案；
（2）根据所给算式得出一般性规律即可；（3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算．
【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得
（或 或 ）
（2）解：根据题干所给算式的规律，可得
（3）解：
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题．
；
；
；
…
(1)请直接写出第5个等式： ；
(2)利用上述规律，比较 与 的大小；
(3)直接写出 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是
解决问题的关键．
（1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式；
（2）利用（1）中等式的规律得到 ， ，然后比较 与的大小即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：第5个等式为 ；
故答案为： ；
（2）解： ， ，
，
，
即 ；
（3）解：原式
．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式：
① ；② ；③ ；…
解决下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与实数运算相关的规律题、二次根式的混合运算
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．
（1）利用题中等式的规律即可得到；
（2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式；（3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可．
【详解】（1）解：∵① ；② ；③ ；…
∴第⑥个式子为 ．
（2）根据题干规律可得：第n个式子为 ．
（3）根据（2）中规律可得：
原式
．
5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中 表示 的面积， 表
示 的面积，…，以此类推．
， ；
， ；
， ；
…．
根据以上规律，解答下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)求 的值．
【答案】(1)6，
(2)【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键．
（1）根据题意可得出 ， ，再令 求解即可；
（2）由（1）可得出 ，再结合二次根式的运
算法则计算即可．
【详解】（1）解： ， ；
， ；
， ；
…，
∴ ， ．
当 时，即 ， ．
故答案为：6， ；
（2）解：由（1）可知
．
6．（23-24八年级下·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程：
① ，
② ，③ ，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
(1)如果n为正整数，那么 的值为______；
(2)根据以上规律计算： 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出 是解题的
关键．
（1）结合已知的式子，在分子和分母同乘以 ，然后利用平方差公式进行运算即可；
（2）由（1）结论将原式化简，再进行加减运算即可；
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）
．
