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第 10 讲 章节复习专题：实数(12 类热点题型讲练)
目录
【考点一 无理数、实数的概念】............................................................................................................................1
【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】............................................................................................3
【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】........................................................................................5
【考点四 利用算术平方根的非负性解题】............................................................................................................6
【考点五 利用开平方、开立方解方程】................................................................................................................8
【考点六 平方根与立方根的综合问题】..............................................................................................................10
【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】......................................................................................13
【考点八 同类二次根式】......................................................................................................................................15
【考点九 利用二次根式的性质化简】..................................................................................................................17
【考点十 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................19
【考点十一 复合二次根式的化简】......................................................................................................................25
【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】......................................................................................................30
【考点一 无理数、实数的概念】
例题：（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0， ， 中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数 ， ，0， ， ， ， （两个
1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在 ， ， 0， ， ， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数 ， ， ，3.14， ，3.1212212221…（相邻两个1之
间依次增加一个2）， 中，无理数的个数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中：， ， ， ， ， ， ， ， ， 相邻的两个 之间依次
多一个 ．
(1)无理数集合： ________________________________________
(2)有理数集合： ________________________________________ ．
(3)分数集合： _______________________ ．
(4)负无理数集合： _____________ ．
【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：① 的平方根是 4；
② 表示6的算术平方根的相反数；
③ 的立方根是 ；④ 是 的平方根.
其中，正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（ ）．
A． 的平方根是 ； B． 是64的立方根；
C． 是 的立方根； D． 的平方根是 ．
2．（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．0的立方根是0
C．3是9的一个平方根 D． 的立方根是
3．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数是 ， B． 是 的立方根
C． 是 的平方根 D． 一定没有平方根
【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试） 的平方根是 ， 算术平方根是 ，−8的立方根是
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试） 的平方根是 ；5的立方根是 ； 的算术平方
根是 ．2．（23-24八年级上·全国·单元测试） 的算术平方根是 ， 的平方根是 ，
的立方根是 ．
3．（23-24七年级下·海南海口·期末） 的平方根是 ， 的算术平方根是 ， 的立方
根是 ．
【考点四 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若 、 满足 ，则
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若 ，则 的值为 ．
3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）若 ，则 ．
【考点五 利用开平方、开立方解方程】
例题：（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中 的值
(1) ；
(2) ．
2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程．
(1)
(2)
【考点六 平方根与立方根的综合问题】
例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知 的算术平方根是3， 的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2) 的平方根．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知 的算术平方根是 ， 的平方根是 ， 是
的整数部分，求：
(1) 、 、 的值；
(2) 的立方根．
2．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知： 的平方根为 ， 的算术平方根为它本身，
的立方根是
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
3．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知 的立方根是2， 的算术平方根是4．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的平方根．
【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·四川自贡·开学考试）能够使二次根式 有意义的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．x
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）使二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点八 同类二次根式】
例题：（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列根式跟 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）根式 中，与 是同类二次根式的有
（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）下列二次根式，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·全国·期末）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 （ ）A． B． C． D．
【考点九 利用二次根式的性质化简】
例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简
的结果为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知 的三边之长分别为2、5、m，则
．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，化简： ．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ．
4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把 中根号外的a移入根号内，则 ．
【考点十 二次根式的混合运算】
例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算
(1) ；
(2) ．
(3) ；(4)已知 ，求 的值．
【考点十一 复合二次根式的化简】
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式 及二次根
式的性质 化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将 予以化简．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简 ，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ；
2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程：材料一：形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，
即 ， ，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ， ，
所以 ．
材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：
，
请根据材枓解答下列问题：
(1)填空：① ______； ② ______．
(2)化简： （诸写出计算过程）；
(3)化简： ．
3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是
根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 ，所以
．通过计算，我还发现设
（其中m，n，a，b都为正整数），则有 ，
， _______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的 ________．(2)化简： ________．
(3)已知 ，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简： ________．（直接写出答案）
【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】
例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知
化简： ；
解： ；
(1)请在横线上直接写出化简的结果：
① ______；② ______．
观察发现
(2)第 个式子是 （ 为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）．
拓展应用
(3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：
① ；
② ．
【变式训练】
1．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；
……
请你根据以上规律，解答下列问题：(1)写出第6个等式： ；第n个等式： ；
(2)计算： ．
2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式
① ；② ；③ ……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1) _________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算： ．
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题．
；
；
；
…
(1)请直接写出第5个等式： ；
(2)利用上述规律，比较 与 的大小；
(3)直接写出 ．
4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式：
① ；② ；③ ；…
解决下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算： ．
5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中 表示 的面积， 表
示 的面积，…，以此类推．
， ；
， ；
， ；
…．
根据以上规律，解答下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)求 的值．
6．（23-24八年级下·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程：
① ，
② ，
③ ，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：(1)如果n为正整数，那么 的值为______；
(2)根据以上规律计算： 的值．
