文档文本内容
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
１
……………………………………………………………………
第1 课时 认识勾股定理
１
…………………………………………………………
第2 课时 勾股定理的验证及其简单应用
２
………………………………………
2 一定是直角三角形吗
４
……………………………………………………………
3 勾股定理的应用
６
…………………………………………………………………
专项突破１ 利用勾股定理解决折叠问题
８
………………………………………
题型１ 与三角形有关的折叠问题 题型２ 与长方形有关的折叠问题
专项突破２ 用勾股定理解决最短路径问题
９
……………………………………
题型１ 平面上的最短路径问题
题型２ 几何体上的最短路径问题
第一章自主检测
１０
……………………………………………………………………
第二章 实数
1 认识实数
１２
…………………………………………………………………………
第1 课时 无限不循环小数
１２
………………………………………………………
第2 课时 实数
１３
……………………………………………………………………
2 平方根与立方根
１５
………………………………………………………………
第1 课时 算术平方根
１５
……………………………………………………………
第2 课时 平方根
１６
…………………………………………………………………
专项突破３ 平方根概念应用中的四种方法
１８
…………………………………
方法１ 巧用非负性求值
方法２ 巧用正数有两个平方根求值
方法３ 巧用算术平方根求最值
方法４ 巧用平方根定义解方程
第3 课时 立方根
１９
…………………………………………………………………
第4 课时 估算
２１
……………………………………………………………………
3 二次根式
２３
…………………………………………………………………………
第1 课时 二次根式的概念及乘除运算
２３
…………………………………………
第2 课时 二次根式的化简及加减运算
２５
…………………………………………
第3 课时 二次根式的混合运算
２７
…………………………………………………
专项突破４ 二次根式中的易错类型
２９
…………………………………………
易错点１ 忽视隐含条件
易错点２ 混淆运算法则
易错点３ 用错乘法公式
第二章自主检测
３０
……………………………………………………………………
第三章 位置与坐标
1 确定位置
３２
…………………………………………………………………………
2 平面直角坐标系
３４
………………………………………………………………
第1 课时 平面直角坐标系的有关概念
３４
…………………………………………
第2 课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
３５
……………………………………
第3 课时 建立适当的坐标系描述图形的位置
３６
…………………………………
ጒ
（部分展示）
微专题
“勾股数”模型 Ｐ３
点的坐标与距离
Ｐ３４
方差
Ｐ９０
平行线中的拐点问题
Ｐ１０６
新课标
推理能力
Ｐ３
Ｔ１０
创新意识
Ｐ５
Ｔ１５
几何直观
Ｐ１４
Ｔ１８
运算能力
Ｐ１７
Ｔ２１
推理能力
Ｐ３７
Ｔ１２
抽象能力
Ｐ４５
Ｔ１２
模型观念
Ｐ５５
Ｔ１０
运算能力
Ｐ６９
Ｔ１４
应用意识
Ｐ７４
Ｔ９
数据观念
Ｐ９３
Ｔ１３
重难题微课
勾股定理
Ｐ１
Ｔ６
勾股定理的验证方法Ｐ１０
Ｔ５
平方根性质的应用Ｐ１８
Ｔ４
分母有理化
Ｐ２８
Ｔ１３
点的坐标特征
Ｐ３５
Ｔ４
分段计费问题
Ｐ４７
Ｔ８
一次函数图象综合题Ｐ６５
Ｔ２４
二元一次方程组的应用
Ｐ８６
Ｔ１１
箱线图
Ｐ９８
Ｔ６
二元一次方程组同解问题
Ｐ１２０Ｔ９
—
１
—
ጒ
（部分展示）
新考向
数学文化
Ｐ１
Ｔ２
项目探究题
Ｐ７
Ｔ１１
数学文化
Ｐ１０Ｔ５
尺规作图
Ｐ１４Ｔ１７
代数推理
Ｐ１７Ｔ１９
规律探究题
Ｐ２２Ｔ９
新定义题
Ｐ２６Ｔ１７
实践探究题
Ｐ５１Ｔ１５
过程性学习试题
Ｐ７０Ｔ７
新定义题
Ｐ７１Ｔ１３
跨学科
数学跨物理·滑轮Ｐ１
Ｔ７
数学跨语文·古算诗
Ｐ１１Ｔ１０
数学跨物理·浮力Ｐ２２Ｔ８
数学跨地理·经纬度
Ｐ３２Ｔ３
数学跨物理·弹簧Ｐ４２Ｔ１１
数学跨生物·植物生长
Ｐ５４Ｔ７
数学跨物理·光的反射
Ｐ５９Ｔ２
数学跨生物·蛇
Ｐ８１Ｔ４
数学跨物理·杠杆原理
Ｐ８５Ｔ７
数学跨化学·溶解度
Ｐ８６Ｔ１４
3 轴对称与坐标变化
３８
……………………………………………………………
第三章自主检测
３９
……………………………………………………………………
第四章 一次函数
1 函数
４１
………………………………………………………………………………
2 认识一次函数
４３
…………………………………………………………………
第1 课时 均匀变化
４３
………………………………………………………………
第2 课时 一次函数与正比例函数
４４
………………………………………………
第3 课时 用一次函数解决计费问题
４６
……………………………………………
3 一次函数的图象
４８
………………………………………………………………
第1 课时 正比例函数的图象及其有关性质
４８
……………………………………
第2 课时 一次函数的图象及其有关性质
５０
………………………………………
4 一次函数的应用
５２
………………………………………………………………
第1 课时 确定一次函数表达式
５２
…………………………………………………
第2 课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
５４
………………………………
第3 课时 借助两个一次函数图象解决有关问题
５６
………………………………
专项突破５ 一次函数与图形面积的三种常见题型
５８
…………………………
题型１ 由一次函数图象求面积 题型２ 由面积求函数表达式
题型３ 由面积求点的坐标
专项突破６ 函数中的跨学科问题
５９
………………………………………………
类型１ 跨物理学科
类型２ 跨体育与健康学科
类型３ 跨地理学科
第四章自主检测
６０
……………………………………………………………………
期中综合检测
６２
………………………………………………………………………
第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
６６
…………………………………………………………
2 二元一次方程组的解法
６８
………………………………………………………
第1 课时 代入消元法
６８
……………………………………………………………
第2 课时 加减消元法
７０
……………………………………………………………
专项突破７ 二元一次方程（组）三种特殊解问题
７２
…………………………
题型１ 同解问题 题型２ 错解问题 题型３ 整数解问题
3 二元一次方程组的应用
７３
………………………………………………………
第1 课时 列二元一次方程组解古代问题
７３
………………………………………
第2 课时 利用列表法找等量关系
７５
………………………………………………
第3 课时 利用画图法找等量关系
７７
………………………………………………
4 二元一次方程与一次函数
７９
……………………………………………………
第1 课时 用图象法求二元一次方程组的解
７９
……………………………………
第2 课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
８１
……………………………
—
２
—
5 三元一次方程组
８３
………………………………………………………………
第五章自主检测
８５
……………………………………………………………………
第六章 数据的分析
1 平均数与方差
８７
…………………………………………………………………
第1 课时 众数和算术平均数
８７
……………………………………………………
第2 课时 加权平均数
８８
……………………………………………………………
第3 课时 离差平方和、方差和标准差
８９
…………………………………………
第4 课时 组内离差平方和
９１
………………………………………………………
2 中位数与箱线图
９２
………………………………………………………………
第1 课时 中位数和百分位数
９２
……………………………………………………
第2 课时 四分位数和箱线图
９４
……………………………………………………
3 哪个团队收益大
９６
………………………………………………………………
第六章自主检测
９８
……………………………………………………………………
第七章 证明
1 为什么要证明
１００
…………………………………………………………………
2 认识证明
１０１
………………………………………………………………………
第1 课时 定义与命题
１０１
…………………………………………………………
第2 课时 定理与证明
１０２
…………………………………………………………
3 平行线的证明
１０３
…………………………………………………………………
第1 课时 平行线的判定
１０３
………………………………………………………
第2 课时 平行线的性质
１０５
………………………………………………………
第七章自主检测
１０７
……………………………………………………………………
综合与实践 哪个城市夏天更热
１０９
………………………………………………
综合与实践 神奇的加密术
１１０
……………………………………………………
期末专题复习
１１１
………………………………………………………………………
专题精练1 勾股定理
１１１
…………………………………………………………
专题精练2 实数
１１２
………………………………………………………………
专题精练3 坐标与函数
１１３
………………………………………………………
专题精练4 二元一次方程组
１１４
…………………………………………………
专题精练5 数据分析
１１５
…………………………………………………………
专题精练6 证明
１１６
………………………………………………………………
中考风向标
１１７
…………………………………………………………………………
期末综合检测
１１９
………………………………………………………………………
答案全解全析 教材练习答案
ጒ
（部分展示）
学科特色
易错题
Ｐ１
Ｔ１
分类讨论思想
Ｐ１
Ｔ６
转化思想
Ｐ１０
Ｔ６
教材变式
Ｐ１２
Ｔ４
分类讨论思想
Ｐ１７
Ｔ２１
多解法
Ｐ４８
Ｔ６
教材变式
Ｐ５０
Ｔ７
分类讨论思想
Ｐ５８
Ｔ７
直接代入法
Ｐ６６
Ｔ３
易错题
Ｐ６８
Ｔ５
多解法
Ｐ７０
Ｔ４
教材变式
Ｐ７８
Ｔ８
易错题
Ｐ８７
Ｔ５
多解法
Ｐ１１２Ｔ６
几何画板
最短路径问题
Ｐ９
Ｔ６
数轴与圆的周长
Ｐ１４
Ｔ１３
正方形网格中的平行线问题
Ｐ１０３Ｔ３
箭头图形中的平行线问题
Ｐ１０６例题
公路拐弯问题
Ｐ１０６变式１
平行线中的拐点问题
Ｐ１０６变式２
—
３
—
᮰
6
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，世界上几个文明古国都曾发现并且进行了广
泛深入的研究，因此勾股定理有许多名称．
第
一
章
勾
股
定
理
１
第一章
勾股定理
１ 探索勾股定理
第1 课时 认识勾股定理
ۻᆱ݆
知识点 勾股定理
１．
学科
特色易错题下列说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．若ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，则ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２
Ｂ．若ａ，ｂ，ｃ是Ｒｔ△ＡＢＣ的三边长，则ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２
Ｃ．若ａ，ｂ，ｃ是Ｒｔ△ＡＢＣ的三边长，∠Ａ＝９０°，则ａ
２＋
ｂ
２＝ｃ
２
Ｄ．若ａ，ｂ，ｃ是Ｒｔ△ＡＢＣ的三边长，∠Ａ＝９０°，则ｃ
２＋
ｂ
２＝ａ
２
２．新
考向
数学文化勾股定理被记载于我国古代著名的数学
著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方
形，三角形是直角三角形，若正方形Ａ，Ｃ的面积分
别为６，１０，则正方形Ｂ的边长是
（Ｃ）
"
#
$
Ａ．８
Ｂ．４
Ｃ．２
Ｄ．３
３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．
（１）若ｃ＝２．５，ｂ＝２，求ａ．
（２）若ａ＝７，ｂ＝２４，求ｃ．
（３）若ｃ＝４０，ａ∶ｂ＝３∶４，求ａ，ｂ．
解析 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，由勾股定理得ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２．
（１）因为ａ
２＝ｃ
２－ｂ
２＝２．５
２－２
２＝２．２５＝１．５
２，所以ａ＝
１．５．
（２）因为ｃ
２＝ａ
２＋ｂ
２＝７
２＋２４
２＝６２５＝２５
２，所以ｃ＝２５．
（３）设ａ＝３ｘ，ｂ＝４ｘ（ｘ＞０），则（３ｘ）
２＋（４ｘ）
２＝４０
２，
所以ｘ＝８，所以ａ＝２４，ｂ＝３２．
ᑧү Ӭ
４．「2025 浙江杭州公益中学模拟，
」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，
"
1
#
$
∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝
５，以点Ｂ为圆心，ＢＣ长为
半径画弧交边ＡＢ于点Ｐ，
则ＡＰ的长为
（Ｄ）
Ａ．５
Ｂ．６
Ｃ．７
Ｄ．８
５．
学科
特色
教材
变式「
」已知等腰三角形的腰长是１５，底边长
是１８，则它底边上的高为
（Ｂ）
Ａ．９
Ｂ．１２
Ｃ．１５
Ｄ．１８
６．
学科
特色
分类讨
论思想「2025 四川成都玉林中学月考，
」已知
△ＡＢＣ，ＡＢ＝２０，ＡＣ＝１３，ＢＣ边上的高为
１２，则△ＡＢＣ的面积为１２６或６６．
７．跨
物理
滑轮
「2025 江苏泰州姜堰期中，
」物理课上，老师
带着科技小组的同学们进行物理实验．同学们将一
根不可拉伸的绳子绕过定滑轮Ａ，一端拴在滑块Ｂ
上，另一端拴在物体Ｃ上，滑块Ｂ放置在水平地面
的直轨道上，通过滑块Ｂ的左右滑动来调节物体Ｃ
的升降．实验初始状态如图１，物体Ｃ静止在直轨
道上，物体Ｃ到滑块Ｂ的水平距离是６ｄｍ，物体Ｃ
到定滑轮Ａ的垂直距离是８ｄｍ．（实验过程中，绳
子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小
忽略不计）
（１）求绳子的总长度．
（２）如图２，若物体Ｃ升高７ｄｍ，求滑块Ｂ向左滑
动的距离．
"
$
#
图１
"
$
#
图２
见答案册Ｄ１
᮰
6
成功者一遇到问题就会马上动手去解决，他们不花费时间去发愁，因为发愁不能解决任何问题，只会不断增加忧
虑，浪费时间．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２
第2 课时 勾股定理的验证及其简单应用
ۻᆱ݆
知识点１ 验证勾股定理
１．
学科
特色
教材
变式「2025 江苏南京期中」如图所示的是由四个全等
的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如
果大正方形的面积为２５，小正方形的面积为４，直
角三角形的两直角边长分别为ａ和ｂ，那么（ａ＋ｂ）
２
的值为４６．
B
C
第１题图
4
4
4
"
$
#
第２题图
２．如图所示的是边长为１的正方形网格，下面是勾股
定理的探索与验证过程，请补充完整：
因为Ｓ１＝４，Ｓ２＝９，Ｓ３＝１３，所以Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３，
即ＡＣ
２＋ＢＣ
２＝ＡＢ
２．
知识点２ 勾股定理的简单应用
３．河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人
为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，
他们仅仅少走了
，却踩伤了花草！青青绿草
地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！
（Ｄ）
Ａ．３ｍ
Ｂ．４ｍ
Ｃ．５ｍ
Ｄ．６ｍ
第３题图
第４题图
４．「2025 广东清远期中」如图，玻璃杯的底面圆半径为
４ｃｍ，高为６ｃｍ，有一只长１３ｃｍ的吸管任意斜放于
杯中，则吸管露出杯口部分的长度至少为
（Ｃ）
Ａ．１ｃｍ
Ｂ．２ｃｍ
Ｃ．３ｃｍ
Ｄ．４ｃｍ
５．「2025 陕西宝鸡期中」如图，在Ｒｔ△ＡＯＢ和Ｒｔ△ＣＯＤ
中，ＡＢ＝ＣＤ＝２５，ＯＢ＝７，ＡＣ＝４．
（１）求ＯＣ的长．
（２）求ＢＤ的长．
#
%
0
$
"
解析
（１）在Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定理得
ＯＡ
２＝ＡＢ
２－ＯＢ
２＝２５
２－７
２＝２４
２，∴ＯＡ＝２４．
∵ＡＣ＝４，∴ＯＣ＝ＯＡ－ＡＣ＝２４－４＝２０．
（２）在Ｒｔ△ＣＯＤ中，由勾股定理得ＯＤ
２＝ＣＤ
２－ＯＣ
２
＝２５
２－２０
２＝１５
２，∴ＯＤ＝１５，∴ＢＤ＝ＯＤ－ＯＢ＝１５－７＝８．
ᑧү Ӭ
６．
学科
特色
教材
变式「2025 辽宁沈阳虹桥初级中学月考，
」意大利著
名画家达·芬奇用如图所示的方法验证了勾股定
理．若设图１中空白部分的面积为Ｓ１，图３中空白
部分的面积为Ｓ２，则下列等式成立的是
（Ｃ）
B
D
C
B
D
C
ޖᐬ
DFܲ
̶̷5D
Ａ．Ｓ２＝ｃ
２
Ｂ．Ｓ２＝ｃ
２＋１
２ａｂ
Ｃ．Ｓ１＝ａ
２＋ｂ
２＋ａｂ
Ｄ．Ｓ１＝ａ
２＋ｂ
２＋２ａｂ
７．「2025 广东高州中学期中，
」如图，小明在广场上先
向东走１０米，又向南走４０米，再向西走２０米，又
向南走４０米，再向东走７０米，则终止点与出发点
的距离为
（Ｂ）
Ａ．８０米
Ｂ．１００米
Ｃ．１１０米
Ｄ．１８０米
ܦ %
3 %
͈
第７题图
"
%
0
$
#
第８题图
８．「2024 河南郑州巩义期末，
」对角线互相垂直的四边
形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四
᮰
6
以直角三角形两直角边为边所作的两个图形的面积和一般等于以斜边为边所作的图形的面积．常见的图形有正方形、
等边三角形、等腰直角三角形、半圆．
第
一
章
勾
股
定
理
３
边形ＡＢＣＤ，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ．若ＡＤ＝２，ＢＣ
＝４，则ＡＢ
２＋ＣＤ
２＝２０．
９．「2025 辽宁锦州期中，
」《中华人民共和国道路交通安
全法实施条例》规定：在高速公路上行驶的小型载客汽
车最高车速不得超过１２０ｋｍ／ｈ．高速公路边会安装车速
检测仪对过往车辆进行速度检测，如图所示，Ａ点装有
一车速检测仪，它到公路边的距离ＡＮ＝９０ｍ，汽车行驶
过检测仪监控区域，到达Ｎ点时开始计时，离开Ｍ点时
停止计时，依此计算车速，已知ＡＭ＝１５０ｍ．
（１）若一辆汽车以１０８ｋｍ／ｈ的速度通过监控区
域，共用时几秒？
（２）若另一辆车通过监控区域共用时３ｓ，该车是否
超速？请说明理由．
"
.
/
见答案册Ｄ２
б ͞
１０．新
课标
推理能力「2024 山东枣庄期末」我国古代数学家赵爽
为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图１），
后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
B CD
图１
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
D
图２
C
C
B
B
D
D
图３
B
C
D
4
4
4
图４
（１）对于勾股定理的验证，人们已经找到了４００
多种方法，请从图１、图２、图３的验证方法中
任选一种来验证该定理．
（２）如图４所示，分别以直角三角形三边为直径作
半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）
的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，直角三角形的面积为Ｓ３，
请判断Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的关系并验证．
见答案册Ｄ２
微专题
“勾股树”模型
例题
「2024 江苏省江都中学期中」如图所示的是一株
美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形，若正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ
的面积分别为１，２，５，１０，则正方形Ｄ的面积是２．
"
#
$
%
&
例题图
4
4
4 4
变式２题图
变式1 【枝繁叶茂的勾股树】「2024 北京房山期末」有
一个边长为１的正方形，经过１次“生长”后，在它
的左、右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形
的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过１次
这样的“生长”后，变成了如图１所示的图形．如果
照此规律继续“生长”下去，它将变成如图２所示的
“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了２０２５次
后形成的图形中所有正方形的面积和是２０２６．
图１
图２
变式2
【变形勾股树】「2025 黑龙江牡丹江十六中期中」
如图所示的是勾股树衍生图案，它由若干个正方形
和直角三角形构成，Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４分别表示其所在正
方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的
面积分别是６４，９，则Ｓ１－Ｓ２＋Ｓ３－Ｓ４的值为５５．
᮰
6
未经历坎坷泥泞的艰难，哪能知道阳光大道的可贵；未经历风雪交加的黑夜，哪能体会风和日丽的可爱；未经历挫
折和磨难的考验，哪能体会胜利和成功的喜悦．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４
２ 一定是直角三角形吗
ۻᆱ݆
知识点１ 由三边关系判定直角三角形
１．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是
（Ｄ）
Ａ．６，８，１２
Ｂ．５，１２，１４
Ｃ．７，１５，１８
Ｄ．０．６，０．８，１
２．
学科
特色
教材
变式将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的
２倍，得到的三角形是
（Ｃ）
Ａ．钝角三角形
Ｂ．锐角三角形
Ｃ．直角三角形
Ｄ．无法确定
３．
学科
特色
教材
变式如图，已知四边形ＡＢＣＤ，ＡＤ＝４ｍ，ＣＤ＝３ｍ，
∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＢ＝１３ｍ，ＢＣ＝１２ｍ，则四边形ＡＢＣＤ
的面积为
（Ａ）
"
%
$
#
Ａ．２４ｍ
２
Ｂ．３０ｍ
２
Ｃ．４８ｍ
２
Ｄ．６０ｍ
２
４．木工师傅要做一张长方形的桌面，完成后，量得桌
面的长为１００ｃｍ，宽为８０ｃｍ，对角线长为１３０ｃｍ，
则做出的这个桌面不合格．（填“合格” 或“不合
格”）
５．如图，若小方格的边长为１，请你根据所学的知识
回答下列问题：
（１）求△ＡＢＣ的面积．
（２）判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由．
解析 （１）△ＡＢＣ的面积＝４×８－１
２×１×８－１
２×２×３－
１
２×６×４＝１３．
（２）△ＡＢＣ是直角三角形．理由：因为小方格的边长
为１，
所以ＡＣ
２＝１
２＋８
２＝６５，ＡＢ
２＝３
２＋２
２＝１３，ＢＣ
２＝６
２＋４
２＝５２．
在△ＡＢＣ中，ＡＢ
２＋ＢＣ
２＝１３＋５２＝６５，ＡＣ
２＝６５，
所以ＡＢ
２＋ＢＣ
２＝ＡＣ
２，所以△ＡＢＣ是直角三角形．
知识点２ 勾股数
６．
学科
特色易错题下列各组数是勾股数的是
（Ｂ）
Ａ．１
６，１
８，１
１０
Ｂ．５，１２，１３
Ｃ．１．５，２，２．５
Ｄ．１，２，３
７．新
考向
数学文化「2025 山东泰安期中」勾股定理ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２本身
就是一个关于ａ，ｂ，ｃ的方程，满足这个方程的正整数
解（ａ，ｂ，ｃ）通常叫作勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了
一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如
下勾股数组：（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…，分析
上面勾股数组可以发现，４＝１×（３＋１），１２＝２×（５＋１），
２４＝３×（７＋１），……，根据规律，第５个勾股数组为
（１１，６０，６１）．
ᑧү Ӭ
８．「2024 辽宁大连旅顺口期中，
」甲、乙两艘客轮同时离
开港口Ｐ，航行速度都是４０ｍ／ｍｉｎ，甲客轮用时１５
ｍｉｎ到达点Ａ，乙客轮用时２０ｍｉｎ到达点Ｂ．若Ａ，Ｂ
两点的直线距离为１０００ｍ，甲客轮沿着北偏东６０°
的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是
（Ｄ）
Ａ．北偏西６０°
Ｂ．南偏西６０°
Ｃ．南偏西３０°
Ｄ．南偏东３０°
９．「2025 江苏南京期中，
」当ｎ为正整数时，下列各组
数：①３ｎ，４ｎ，５ｎ；②ｎ
３，ｎ
４，ｎ
５；③２ｎ－１，２ｎ＋１，２ｎ＋３，
其中一定是勾股数的是
（Ａ）
Ａ．①
Ｂ．①②
Ｃ．①③
Ｄ．②③
１０．「2025 四川成都锦江月考，
」如图，在４×４的正方形网
格中，点Ａ，Ｂ为格点，另取一格点Ｃ，使△ＡＢＣ为直
角三角形，则点Ｃ的个数为
（Ｂ）
"
#
Ａ．５
Ｂ．６
Ｃ．７
Ｄ．８
᮰
6
直角三角形的判定：判定直角三角形，出现三边用定理，出现直角用定义，两角互余也可以．
第
一
章
勾
股
定
理
５
１１．「2024 安徽安庆期末，
」如图，已知∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝ＡＢ
＝４，ＣＤ＝２，ＢＤ＝６，则∠ＡＣＤ＝４５°．
%
"
#
$
１２．「2024 江苏盐城期中，
」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，
∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＣ＝３ｃｍ，动点Ｐ从点Ｂ
出发，沿射线ＢＣ以２ｃｍ／ｓ的速度移动，设运动的
时间为ｔｓ，当ｔ＝
２或２５
８
时，△ＡＢＰ为直角三
角形．
"
$
1
#
１３．「2024 广东汕头金平期末，
」如图所示，在五边形
ＡＢＣＤＥ中，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＥ⊥ＥＤ．已知ＢＣ＝９，ＡＢ＝１２，
ＡＥ＝１５，ＥＤ＝ＣＤ＝８．
（１）求证：△ＡＣＤ是直角三角形．
（２）求五边形ＡＢＣＤＥ的面积．
"
#
$
%
&
解析 （１）证明：因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＥ⊥ＥＤ，所以∠Ｂ
＝∠Ｅ＝９０°，所以ＡＣ
２＝ＢＣ
２＋ＡＢ
２＝９
２＋１２
２＝１５
２，
ＡＤ
２＝ＡＥ
２＋ＤＥ
２＝１５
２＋８
２＝１７
２，所以ＡＣ＝１５，ＡＤ
＝１７，
因为ＡＣ
２＋ＣＤ
２＝１５
２＋８
２＝２８９，ＡＤ
２＝１７
２＝２８９，
所以ＡＣ
２＋ＣＤ
２＝ＡＤ
２，所以△ＡＣＤ是直角三角形．
（２）Ｓ五边形ＡＢＣＤＥ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＥＤ＋Ｓ△ＡＣＤ
＝１
２×１２×９＋１
２×１５×８＋１
２×１５×８＝１７４．
１４．「2025 江苏镇江期中，
」随着中国科技、经济的不
断发展，５Ｇ信号覆盖的广泛性和稳定性都有提
升．如图，有一辆汽车以１０ｍ／ｓ的速度在直线ＡＢ
上由点Ａ向点Ｂ行驶，已知点Ｃ为某个５Ｇ信号
源，且点Ｃ到点Ａ和点Ｂ的距离分别为６０ｍ和
８０ｍ，ＡＢ＝１００ｍ，信号源中心周围５０ｍ可以接收
到５Ｇ信号．汽车在从点Ａ向点Ｂ行驶的过程中，
能接收到５Ｇ信号吗？若能，请求出有多长时间
可以接收到５Ｇ信号；若不能，请说明理由．
"
$
#
见答案册Ｄ４
б ͞
１５．新
课标
创新意识「2024 山东济宁梁山期末」定义：如图，点Ｍ，
Ｎ把线段ＡＢ分割成ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ三部分，若以
ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ为边的三角形是一个直角三角形，则
称点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点．
（１）若ＡＭ＝１．５，ＭＮ＝２．５，ＢＮ＝２，则点Ｍ，Ｎ是线
段ＡＢ的勾股分割点吗？说明理由．
（２）已知点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点，且ＡＭ
为直角边，若ＡＢ＝２４，ＡＭ＝６，求ＢＮ的长．
"
.
/
#
解析
（１）是．理由：因为ＡＭ
２＋ＢＮ
２＝１．５
２＋２
２＝
６．２５，ＭＮ
２＝２．５
２＝６．２５，所以ＡＭ
２＋ＢＮ
２＝ＭＮ
２，所
以以ＡＭ，ＭＮ，ＢＮ为边的三角形是直角三角形，所
以点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点．
（２）设ＢＮ＝ｘ，则ＭＮ＝２４－ＡＭ－ＢＮ＝１８－ｘ，
分情况讨论：①当ＭＮ为最长线段时，
依题意得ＭＮ
２＝ＡＭ
２＋ＢＮ
２，
即（１８－ｘ）
２＝３６＋ｘ
２，解得ｘ＝８．
②当ＢＮ为最长线段时，依题意得ＢＮ
２＝ＡＭ
２
＋ＭＮ
２，
即ｘ
２＝３６＋（１８－ｘ）
２，解得ｘ＝１０．
综上所述，ＢＮ的长为８或１０．
᮰
6
一个人只有具备了更多的知识，才会发现原来自己未知的更多，正所谓学海无涯．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６
３ 勾股定理的应用
ۻᆱ݆
知识点１ 勾股定理的应用
１．如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，它垂
到地面时比墙高多出了２米，教练拉着绳子的末端
后退８米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则
此攀岩墙的高度是
（Ｂ）
Ａ．１０米
Ｂ．１５米
Ｃ．１６米
Ｄ．１７米
２．
学科
特色
教材
变式「2024 河南信阳期末」如图，在长方形ＡＢＣＤ中，
ＡＢ＝３，ＡＤ＝９，将此长方形折叠，使点Ｄ与点Ｂ重
合，折痕为ＥＦ，则△ＡＢＥ的面积为
（Ｃ）
"
#
'
&
%
$
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．１２
３．「2025 四川成都月考」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＤ
是ＡＣ边上的高，若ＤＣ＝２，则ＢＤ＝６．
"
#
$
%
４．「2025 浙江金华期中」儿童散学归来早，忙趁东风放纸
鸢．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（１）班的
小明和小亮学习了“勾股定理”后，为了测得风筝的垂
直高度（ＣＥ的长），他们进行了如下操作：①测得水平
距离（ＢＤ的长）为１５米；②根据手中剩余线的长度计
算出风筝线ＢＣ的长为２５米；③牵线放风筝的小明的
身高为１．６米．
（１）求风筝的垂直高度．
（２）如果小明想让风筝沿ＣＤ向下降１２米，则他应
该往回收线多少米？
%
"
#
$
&
解析 （１）在Ｒｔ△ＣＤＢ中，由勾股定理得ＣＤ
２＝ＢＣ
２－
ＢＤ
２＝２５
２－１５
２＝４００＝２０
２，所以ＣＤ＝２０米，所以ＣＥ＝
ＣＤ＋ＤＥ＝２０＋１．６＝２１．６（米），因此，风筝的垂直高度为
２１．６米．
.
%
"
#
$
&
（２）如图，设风筝沿ＣＤ向下降１２米
到Ｍ点处，由题意得ＣＭ＝１２米，所
以ＤＭ＝８米，在Ｒｔ△ＢＤＭ中，ＢＭ
２＝
ＤＭ
２＋ＢＤ
２＝８
２＋１５
２＝１７
２，所以ＢＭ＝
１７米，所以ＢＣ－ＢＭ＝２５－１７＝８（米），所以他应该
往回收线８米．
知识点２ 直角三角形判定的应用
５．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测
门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边ＡＢ
和ＢＣ的长，再测量点Ａ和点Ｃ间的距离，由此可
推断∠Ｂ是不是直角，这样做的依据是
（Ｂ）
$
#
"
%
Ａ．勾股定理
Ｂ．勾股定理的逆定理
Ｃ．三角形内角和定理
Ｄ．三角形的稳定性
６．
学科
特色
教材
变式「2024 江西宜春高安期中」五根小木棒的长度分
别为８，９，１２，１５，１７，现将它们摆成两个直角三角
形，正确的是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
᮰
6
应用勾股定理解决问题时，若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形，将已知条件运用到直角三
角形中求解．
第
一
章
勾
股
定
理
７
ᑧү Ӭ
７．「2025 四川成都实验中学月考，
」如图，在△ＡＢＣ中，
ＡＢ＝６，ＡＣ＝９，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，Ｍ为ＡＤ上任意一
点，则ＭＣ
２－ＭＢ
２等于
（Ｄ）
Ａ．２９
Ｂ．３２
Ｃ．３６
Ｄ．４５
"
.
%
$
#
第７题图
"
#
第８题图
８．「2025 山东东营期中，
」如图，长方体的长、宽、高分
别是６，３，５，现一只蚂蚁从Ａ点沿长方体表面爬行
到Ｂ点，设爬行的最短路线长为ａ，则ａ
２的值
是１００．
９．「2025 陕西咸阳永寿蒿店中学月考，
」在学校组织的研
学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．如图所示的是
他们搭建帐篷的支架示意图．在△ＡＢＣ中，支架ＡＤ
⊥ＢＣ于点Ｄ．经测量得知，ＢＤ＝１．６ｍ，ＡＤ＝１．２ｍ，
ＡＣ＝１．５ｍ．按照要求，帐篷支架ＡＢ与ＡＣ所夹的角
为直角．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷的支
架是否符合要求．
%
$
#
"
见答案册Ｄ４
１０．
学科
特色
教材
变式「2024 陕西西安铁一中学月考，
」某单行隧道
的截面如图所示，四边形ＡＢＣＤ是长方形，上部是
以ＡＤ为直径的半圆，ＡＢ＝６ｍ，ＢＣ＝４ｍ．现有一
辆装满货物的卡车，高为７．３ｍ，宽为３．２ｍ，问这
辆卡车能否安全通过隧道？请说明理由．
"
%
$
#
解析
不能安全通过．理由：如图，设点Ｏ为半圆
的圆心，则Ｏ为ＡＤ的中点，
因为卡车的宽为３．２ｍ，所以在ＯＤ上取ＯＦ＝
１．６ｍ，过点Ｆ作ＧＥ⊥ＡＤ，交半圆于点Ｇ，交ＢＣ于
点Ｅ，连接ＯＧ，在Ｒｔ△ＯＦＧ中，ＯＧ＝１
２ＢＣ＝２ｍ，所
以ＦＧ
２＝ＯＧ
２－ＯＦ
２＝２
２－１．６
２＝１．２
２，所以ＦＧ＝１．２ｍ，
所以ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝６＋１．２＝７．２ｍ＜７．３ｍ，
所以卡车不能安全通过隧道．
"
%
$
&
0
'
(
#
б ͞
１１．新
课标
推理能力新
考向
项目探究题「2025 江苏无锡期中」
【项目主题】监控器如何布设更好？
【项目背景】监控器有效监测距离为５００ｍ，最大
监测角度为９０°．村落、河流如图所示，河流南岸长
５０００ｍ．监控布设线ｌ距离河流南岸３００ｍ，ｌ上任
意两个监控（Ｍ１，Ｍ２，…）之间的距离相等．
【项目方案】
（１）方案１：如图１所示，从河流南岸边缘Ａ点处
起，使ＡＭ１＝５００ｍ，ＢＭ１⊥ＡＢ，ＡＢ为监控器
Ｍ１的监测范围，以此类推继续布设监控器，
至少需要布设多少监控器？
（２）方案２：如图２所示，Ａ点为河流南岸边缘，ＡＢ
为监控器Ｍ１的监测范围，ＢＣ为监控器Ｍ２的
监测范围，ＡＭ１⊥ＢＭ１，ＢＭ２⊥ＣＭ２，ＢＭ１＝ＣＭ２
＝３７５ｍ，以此类推继续布设监控器，至少需
要布设多少监控器？
【项目总结】
（３）我认为方案２更好．
#
$
"
M
.
.
!" ᇤ
ᱽ9
图１
#
"
M
.
.
$
!" ᇤ
ᱽ9
图２
见答案册Ｄ５
᮰
6
纵观古今，但凡成大事者，必然有梦想，盘古若是没有梦想，就不会有天地；女娲若是没有梦想，就不会有人类；
中国人民若是没有梦想，就不会有神舟系列飞船相继升空．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８
专项突破１ 利用勾股定理解决折叠问题
题型１ 与三角形有关的折叠问题
１．「2024 四川甘孜州中考」如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，
ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，折叠△ＡＢＣ，使点Ａ与点Ｂ重合，折
痕ＤＥ与ＡＢ交于点Ｄ，与ＡＣ交于点Ｅ，则ＣＥ的长
为３．
"
&
%
#
$
第１题图
"
%
#
$
#ĉ
第２题图
$
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'
#
"
第３题图
２．「2025 广东佛山顺德期中」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ
＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，点Ｄ在边ＢＣ上，把△ＡＢＣ沿
直线ＡＤ折叠，使得点Ｂ的对应点Ｂ′落在ＡＣ的延
长线上，则ＣＤ＝３．
３．「2024 江苏常州中考」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝
９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝４，Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ是边ＢＣ上
一点，连接ＢＤ，ＤＥ．将△ＣＤＥ沿ＤＥ翻折，点Ｃ落在
ＢＤ上的点Ｆ处，则ＣＥ＝
３
２．
４．「2025 山东青岛莱西期中」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ
＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１５．点Ｐ从点Ｂ出发沿ＢＣ向右
以每秒２个单位长度的速度运动，当点Ｐ与点Ｃ
重合时，停止运动．设点Ｐ的运动时间为ｔ秒，连
接ＡＰ．
（１）当ｔ＝４．５时，求ＡＰ的长．
（２）如图２，将△ＡＰＣ沿直线ＡＰ折叠，使得点Ｃ的对应
点Ｍ恰好落在边ＡＢ上，求此时ｔ的值．
"
$
1
#
图１
"
$
1
#
.
图２
解析 （１）由题意得ＢＰ＝２ｔ，所以ＰＣ＝１５－２ｔ，
当ｔ＝４．５时，ＰＣ＝１５－２×４．５＝６．
因为ＡＣ＝８，∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＡＰ
２＝ＡＣ
２＋ＰＣ
２＝８
２＋６
２
＝１００＝１０
２，所以ＡＰ＝１０．
（２）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１５，所以ＡＢ
２＝ＡＣ
２
＋ＢＣ
２＝８
２＋１５
２＝２８９＝１７
２，所以ＡＢ＝１７．
由折叠的性质可知∠ＡＭＰ＝∠ＡＣＰ＝９０°，ＡＭ＝ＡＣ＝
８，ＭＰ＝ＣＰ＝１５－２ｔ，所以ＢＭ＝１７－８＝９，∠ＢＭＰ
＝９０°，
所以ＢＰ
２＝ＢＭ
２＋ＰＭ
２，所以（２ｔ）
２＝９
２＋（１５－２ｔ）
２，
解得ｔ＝５．１，故此时ｔ的值为５．１．
题型２ 与长方形有关的折叠问题
５．「2024 江苏徐州中考」如图，将长方形纸片ＡＢＣＤ沿直
线ＥＦ折叠，使点Ｄ落在边ＢＣ的中点Ｍ处．若ＡＢ
＝４，ＢＣ＝６，则ＣＦ＝
７
８．
"
#
.
$
'
%
&
第５题图
$
%
/
&
%ĉ
$ĉ
"
#
.
第６题图
６．「2024 山东威海中考」将一张长方形纸片（四边形ＡＢ⁃
ＣＤ）按如图所示的方式折叠，使点Ｃ落在ＡＢ上的
点Ｃ′处，折痕为ＭＮ，点Ｄ落在点Ｄ′处，Ｃ′Ｄ′交ＡＤ
于点Ｅ．若ＢＭ＝３，ＢＣ′＝４，ＡＣ′＝３，则ＤＮ＝
３
２．
７．「2025 广东深圳福田期中」如图，将长方形ＡＢＣＤ沿直
线ＡＥ折叠，顶点Ｄ恰好落在ＢＣ边上的Ｆ点处，已
知ＡＤ＝１５，ＡＢ＝９．
（１）求ＢＦ的长．
（２）求阴影部分的面积．
"
#
$
&
%
'
见答案册Ｄ６
᮰
6
确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出
最短路线．
第
一
章
勾
股
定
理
９
专项突破２ 用勾股定理解决最短路径问题
题型１ 平面上的最短路径问题
１．如图，在△ＡＢＣ中，有一点Ｐ在线段ＡＣ上移动，若
ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，则ＢＰ长的最小值为
（Ｃ）
Ａ．１０
Ｂ．１２
Ｃ．９．６
Ｄ．８
第１题图
M
"
#
第２题图
２．如图，要在河边ｌ上修建一个水泵站，分别向Ａ村
和Ｂ村送水，已知Ａ村、Ｂ村到河边的距离分别为
２ｋｍ和７ｋｍ，且Ａ，Ｂ两村庄相距１３ｋｍ，则铺设水
管的最短长度是１５ｋｍ．
３．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ边上有一点Ｅ，
ＡＥ＝３，ＥＢ＝１，在ＡＣ上有一点Ｐ，使ＥＰ＋ＢＰ的值最
小，求ＥＰ＋ＢＰ的最小值．
解析 如图，连接ＥＤ与ＡＣ交于点Ｐ，连接ＢＰ，此
时ＥＰ＋ＢＰ的值最小．
易知Ｂ，Ｄ两点关于直线ＡＣ对称，
∴ＢＰ＝ＰＤ，∴ＥＰ＋ＢＰ＝ＥＰ＋ＰＤ＝ＥＤ．
在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＥ＝３，ＡＤ＝ＡＢ＝１＋３＝４，
由勾股定理得ＥＤ
２＝３
２＋４
２＝２５＝５
２，
∴ＥＤ＝５，∴ＥＰ＋ＢＰ的最小值为５．
题型２ 几何体上的最短路径问题
４．「2024 河南许昌月考」如图，学校实验楼前有一个三级
台阶，它的每一级的长、宽、高分别为２４ｄｍ，３ｄｍ，
３ｄｍ，点Ｍ和点Ｎ是这个台阶上两个相对的顶点，
Ｍ点有一只蚂蚁，想到Ｎ点去吃可口的食物，则蚂
蚁沿着台阶面爬行到点Ｎ的最短路程为
（Ｃ）
Ａ．１０ｄｍ
Ｂ．２０ｄｍ
Ｃ．３０ｄｍ
Ｄ．３６ｄｍ
/
.
第４题图
#
"
第５题图
５．「2025 陕西咸阳兴平期中」我国古代有这样一道数学问
题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤
自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”
题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，一丈是
十尺，该圆柱的高为２０尺，底面周长为３尺，有葛
藤自点Ａ处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点
Ｂ处（点Ｂ在点Ａ正上方），则葛藤的最短长度是
（Ｃ）
Ａ．１５尺
Ｂ．２０尺
Ｃ．２５尺
Ｄ．３０尺
６．「2023 四川广安中考」如图，圆柱形玻璃杯的
杯高为９ｃｍ，底面周长为１６ｃｍ，在杯内壁
离杯底４ｃｍ的点Ａ处有一滴蜂蜜，此时，
一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿１ｃｍ，且与
蜂蜜相对的点Ｂ处，则蚂蚁从外壁Ｂ处到内壁Ａ处
所走的最短路程为１０ｃｍ．（杯壁厚度不计）
"
#
７．如图，长方体盒子的棱长ＡＢ＝ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＡ１＝
１４ｃｍ，假设昆虫甲从顶点Ｃ１开始以１ｃｍ／ｓ的
速度在盒子的外部沿棱Ｃ１Ｃ向下爬行，同时昆虫乙从顶
点Ａ开始以相同的速度在盒外的侧面上爬行，那么昆虫
乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
"
#
%
%
"
#
$
$
见答案册Ｄ６
᮰
6
从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀．勤奋是学习的枝叶，当然很苦，智慧是学习的花
朵，当然香郁．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１０
第一章自主检测
范围：勾股定理
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2025 广东深圳中学期中」在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，
ＡＣ＝５，则下列结论正确的是
（Ｂ）
Ａ．△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ａ＝９０°
Ｂ．△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｂ＝９０°
Ｃ．△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°
Ｄ．△ＡＢＣ不是直角三角形
２．「2025 河南平顶山汝州期中」下列几组数中，为勾股数
的是
（Ｃ）
Ａ．３
５，４
５，１
Ｂ．３，４，６
Ｃ．５，１２，１３
Ｄ．０．９，１．２，１．５
３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝３，分别以ＡＣ，
ＢＣ为一边向外作正方形，记这两个正方形的面积
分别为Ｓ１，Ｓ２，则Ｓ１＋Ｓ２的值为
（Ｄ）
Ａ．６
Ｂ．７
Ｃ．８
Ｄ．９
"
$
#
第３题图
#
$
"
第４题图
４．「2025 四川成都月考」如图，在Ａ村与Ｂ村之间有一座
大山，原来从Ａ村到Ｂ村，需沿道路Ａ→Ｃ→Ｂ（∠Ｃ
＝９０°）绕过大山，在大山上打通隧道后，就可直接
从Ａ村到Ｂ村．已知ＡＣ＝５ｋｍ，ＢＣ＝１２ｋｍ，那么打
通隧道后从Ａ村到Ｂ村比原来减少的路程是
（Ｂ）
Ａ．１３ｋｍ
Ｂ．４ｋｍ
Ｃ．７ｋｍ
Ｄ．２ｋｍ
５．新
考向
数学文化「2024 河南许昌期末」我国是最早了
解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记
载，勾股定理的公式与证明是商高发现
的，故又称之为“商高定理”．蒋铭祖在其著作《蒋
铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出
了另外一个证明．选项中的四幅图中，不能证明勾
股定理的是
（Ｄ）
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
D
Ａ
C
C
B
B
D
D
Ｂ
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
D
Ｃ
B
B
B
B
C
C
C
C
Ｄ
６．
学科
特色
转化
思想「2025 陕西西安二十三中月考」如图所示的是一Ｕ
型池的示意图，该Ｕ型池可以看成是一个长方体
去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是
直径为４０
π ｍ的半圆，其边缘ＡＢ＝ＣＤ＝２０ｍ，点Ｅ
在ＣＤ上，ＣＥ＝５ｍ，一滑板爱好者从Ａ点滑到Ｅ
点，则他滑行的最短距离为（边缘部分的厚度忽略
不计）
（Ａ）
Ａ．２５ｍ
Ｂ．２４ｍ
Ｃ．２６ｍ
Ｄ．８π ｍ
#
$
"
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&
?
第６题图
第７题图
７．「2023 河南南阳期末」如图，长方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ＝
６，ＡＢ＝ＣＤ＝１０，点Ｅ为线段ＤＣ上的一个动点，将
△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠得到△ＡＤ′Ｅ，连接Ｄ′Ｂ，当△ＡＤ′Ｂ
为直角三角形时，ＤＥ的长为
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．１或９
４
Ｄ．２或９
二、填空题（每小题５分，共１５分）
８．「2023 浙江台州期末」如图，这是一个可近似看作等腰
△ＡＢＣ的衣架，其中腰长２６ｃｍ，底边上的高为
１０ｃｍ，则底边ＢＣ＝４８ｃｍ．
DN
DN
"
#
%
$
᮰
6
构造直角三角形法：当题目中没有直角三角形时，往往根据题意作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股
定理直接计算或列方程求解．
第
一
章
勾
股
定
理
１１
９．「2025 江苏扬州期中」已知两条线段的长分别为１５ｃｍ和
８ｃｍ，则当第三条线段的长取整数１７ｃｍ时，这三条
线段能组成一个直角三角形．
１０．跨
语文
古算诗「2024 吉林中考改编」图１中有一首古算诗，
根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖
水深度，其示意图如图２所示，其中ＡＢ＝ＡＢ′，ＡＢ
⊥Ｂ′Ｃ于点Ｃ，ＢＣ＝０．５尺，Ｂ′Ｃ＝２尺，则ＡＣ的长
为３．７５尺．
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#ĉ
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7B#L,8
三、解答题（共５０分）
１１．（１０分）如图，公园里有一块三角形空地ＡＢＣ，过
点Ａ修垂直于ＢＣ的小路ＡＤ，过点Ｄ修垂直于
ＡＣ的小路ＤＥ．经测量ＡＢ＝１３米，ＢＤ＝５米，ＣＤ＝
９米．（小路宽度忽略不计）
（１）求小路ＡＤ的长．
（２）求小路ＤＥ的长．
"
&
$
#
%
解析 （１）因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°，
在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ
２＝ＡＢ
２－ＢＤ
２＝１３
２－５
２＝１４４＝１２
２，
所以ＡＤ＝１２米，所以小路ＡＤ的长为１２米．
（２）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＣ
２＝ＡＤ
２＋ＣＤ
２
＝１２
２＋９
２＝２２５＝１５
２，所以ＡＣ＝１５米．
因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以Ｓ△ＡＤＣ＝１
２ＡＤ·ＣＤ＝１
２ＡＣ·ＤＥ，
所以ＤＥ＝ＡＤ·ＣＤ
ＡＣ
＝１２×９
１５＝７．２（米）．
所以小路ＤＥ的长为７．２米．
１２．「2025 陕西西安西工大附中期中」（１０分）如图，在
△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１７，ＡＣ＝１５，ＢＣ＝８．
（１）判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由．
（２）若点Ｄ为线段ＡＣ上一点，连接ＢＤ，且ＢＤ－
ＡＤ＝１，求△ＡＢＤ的面积．
"
%
$
#
解析 （１）△ＡＢＣ是直角三角形．理由如下：
因为ＡＢ＝１７，ＡＣ＝１５，ＢＣ＝８，８
２＋１５
２＝１７
２，
所以ＢＣ
２＋ＡＣ
２＝ＡＢ
２，所以△ＡＢＣ是直角三角形．
（２）设ＡＤ＝ａ，则ＢＤ＝ａ＋１，ＣＤ＝１５－ａ，
由（１）知△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°，
所以ＣＤ
２＋ＢＣ
２＝ＢＤ
２，即（１５－ａ）
２＋８
２＝（ａ＋１）
２，
解得ａ＝９，所以ＡＤ＝９，
所以Ｓ△ＡＢＤ＝１
２ＡＤ·ＢＣ＝１
２×９×８＝３６．
１３．「2025 辽宁沈阳浑南期中」（１５分）勾股定理是人类数
学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何
问题重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如
图，有一架秋千，当它静止在ＡＤ的位置时，踏板
离地的垂直高度为０．８ｍ，将秋千ＡＤ往前推３ｍ，
到达ＡＢ的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高
度为１．８ｍ，秋千的绳索始终保持拉直状态．
（１）求秋千ＡＤ的长度．
（２）如果将秋千ＡＤ往前推４米，求此时踏板离地
的垂直高度．
"
$
%
&
'
#
见答案册Ｄ８
１４．（１５分）如图，等腰三角形ＡＢＣ的底边ＢＣ的长为８
ｃｍ，腰ＡＢ，ＡＣ的长为５ｃｍ，一动点Ｐ在底边上从
点Ｂ向点Ｃ以０．２５ｃｍ／ｓ的速度移动，当点Ｐ运动
到ＰＡ与腰垂直的位置时，求点Ｐ运动的时间．
见答案册Ｄ８
᮰
6
诚实是人世间最珍贵的宝物，是每个人都应当坚守的伟大情操．就算是向人承认自己的错误而受到严厉惩罚，你也应
该这样做，因为做人理应如此．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１２
第二章
实数
１ 认识实数
第1 课时 无限不循环小数
ۻᆱ݆
知识点 认识无限不循环小数
１．下列是无限不循环小数的是
（Ｄ）
Ａ．３．１４１５９
Ｂ．１
７
Ｃ．０．０１１１１
Ｄ．π
２．
学科
特色易错题下列说法正确的是
（Ｂ）
Ａ．有理数是无限循环小数
Ｂ．无限不循环小数不是有理数
Ｃ．无限小数是无限不循环小数
Ｄ．一个数不是无限循环小数，就是无限不循环小数
３．将五个边长为１的小正方形组成的十字形纸板
（如图）剪拼成一个大正方形，则大正方形的边长
不是有理数（填“是”或“不是”）．
第３题图
%
&
$
#
"
1
第４题图
４．
学科
特色
教材
变式如图，在由边长为１的小正方形组成的网格
中，有五条线段ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，ＰＤ，ＰＥ，其中长度是有
理数的有２条．
５．已知一个等边三角形的边长为４，则这个三角形的
高为无限不循环小数．（填“无限循环” 或“无限
不循环”）
６．已知长方体的体积是１６２０，它的长、宽、高的比是
５∶４∶３，问长方体的长、宽、高是无限不循环小数
吗？为什么？
解析 长、宽、高不是无限不循环小数．理由：因为
长方体的长、宽、高的比是５∶４∶３，所以设长、宽、
高分别为５ｘ，４ｘ，３ｘ．由体积公式得６０ｘ
３＝１６２０，所
以ｘ
３＝２７，所以ｘ＝３，故长、宽、高分别为１５，１２，９，
不是无限不循环小数．
ᑧү Ӭ
７．「2024 陕西西安碑林铁一中学期中改编，
」下列各数中，
是无限不循环小数的是
（Ｃ）
Ａ．面积为１６的正方形的边长
Ｂ．体积为２７的正方体的棱长
Ｃ．两直角边长分别为２和３的直角三角形的斜
边长
Ｄ．长为４、宽为３的长方形的对角线长
８．「2025 河南郑州期中改编，
」如图所示的是第七届国
际数学教育大会（ＩＣＭＥ－７）的会徽图案，它是由一
串有公共顶点Ｏ的直角三角形演化而来的．若图中
的ＯＡ１＝Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝…＝Ａ７Ａ８＝１，按此规律继续演
化，则线段ＯＡ１２的长最接近的整数是３．
*$.&
"
"
"
"
"
"
"
"
0
９．「
」如图，在棱长为４的正方体箱子中，放入一根
细长的玻璃棒．
（１）玻璃棒的最大长度是整数吗？是分数吗？说
明理由．
（２）玻璃棒的最大长度最接近哪个整数？
（３）玻璃棒的最大长度的十分位上的数字是什么？
百分位上的数字是什么？
"
#
$
%
见答案册Ｄ８
᮰
6
两正实数比大小，绝对值大数也大；两负实数比大小，绝对值大反而小；正数大于零、负数，零比一切负数大．
第
二
章
实
数
１３
第2 课时 实数
ۻᆱ݆
知识点１ 无理数的概念
１．「2025 重庆南开中学期中」下列各数中，是无理数的是
（Ｃ）
Ａ．－１
６
Ｂ．０．１００１１
Ｃ．π
Ｄ．０
２．下列说法：①无限小数不能转化为分数；②无理数分
为正无理数、零、负无理数；③有限小数是有理数；
④无限小数是无理数，其中正确的有
（Ｂ）
Ａ．０个
Ｂ．１个
Ｃ．２个
Ｄ．３个
３．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
①０．２３３；②－７
４；③１．２
·
；④３．１４１５９２６；⑤１１
７；
⑥－０．５３５３３５…（相邻两个５之间３的个数逐次加１）；
⑦π
５．
解析 ①②③④⑤是有理数，⑥⑦是无理数．
知识点２ 实数及其分类
４．「2024 四川宜宾期末」π 不是
（Ａ）
Ａ．有理数
Ｂ．无理数
Ｃ．实数
Ｄ．无限小数
５．下列说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．实数包括有理数、无理数和零
Ｂ．有理数就是有限小数
Ｃ．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
Ｄ．有理数和无理数都是实数
６．下列各数：－３．１４，－１
２７，０．０１００１０００１，π
２，－０．３１２
·
，
其中是正实数的是０．０１００１０００１，π
２．
７．「2025 浙江杭州十五中期中改编」把下列各数的序号填
在相应的横线上：
①－２；②π；③－１
３；④－３；⑤２２
７；⑥－０．３；⑦５；⑧０；
⑨２．１０１００１０００１…（每相邻两个１之间依次多一个０）．
整数：①④⑦⑧…；负分数：③⑥…；
无理数：②⑨…；负实数：①③④⑥…．
知识点３ 实数的有关性质
８．下列比较大小正确的是
（Ｃ）
Ａ．｜－１．５｜＞１．５
·
Ｂ．２
３＞０．６６７
Ｃ．π＜３．１４２
Ｄ．π＝３．１４１５９２６
９．求下列各数的相反数、绝对值和倒数．
（１）５．５．（２）－２
π ．（３）－３１
３．（４）π－３．１４．
解析 （１）５．５的相反数是－５．５，绝对值是５．５，倒数
为２
１１．
（２）－２
π 的相反数是２
π ，绝对值是２
π ，倒数为－π
２．
（３）－３１
３的相反数是３１
３，绝对值是３１
３，倒数是
－３
１０．
（４）π－３．１４的相反数是３．１４－π，绝对值是π－３．１４，
倒数是
１
π－３．１４．
知识点４ 实数与数轴上点的关系
１０．「2024 广西北海期末」和数轴上的点一一对应的是
（Ｃ）
Ａ．整数
Ｂ．无理数
Ｃ．实数
Ｄ．有理数
１１．「2024 北京中考」实数ａ，ｂ在数轴上对应的点的位
置如图所示，下列结论中正确的是
（Ｃ）
C
B
Ａ．ｂ＞－１
Ｂ．｜ｂ｜＞２
Ｃ．ａ＋ｂ＞０
Ｄ．ａｂ＞０
ᑧү Ӭ
１２．「2024 安徽滁州月考，
」若实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝
１－π，则
（Ｄ）
Ａ．ａ，ｂ都是有理数
Ｂ．ａ－ｂ的结果必定为无理数
᮰
6
成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神可能来自他们的博学，多样化会使人的观点新颖．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１４
Ｃ．ａ，ｂ都是无理数
Ｄ．ａ－ｂ的结果可能为有理数
１３．「2025 河北石家庄期中，
」如图，半径为
１个单位长度的圆上有一点Ａ与数轴
上表示－１的点重合，若将该圆沿数轴
向右滚动一周，圆上的点Ａ恰好与数轴上的点Ｂ
重合，则点Ｂ表示的实数为
（Ｃ）
"
#
Ａ．π－１
Ｂ．π＋１
Ｃ．２π－１
Ｄ．２π＋１
１４．「2025 北京房山期中，
」如图，数轴上Ａ，Ｂ两点所
表示的实数分别是－π，１．若线段ＣＢ＝２ＡＢ，则点Ｃ
所表示的实数是
（Ｃ）
"
$
#
?
Ａ．π＋１
Ｂ．－２π
Ｃ．－２π－１
Ｄ．－２π－２
１５．「2024 四川广元第六学区月考，
」如图，长方形ＯＡＢＣ
的长为２，宽为１，ＯＡ在数轴上，以原点Ｏ为圆心，
以对角线ＯＢ的长为半径画弧，交数轴于点Ｄ，若
点Ｄ表示的实数为ｘ，则１３－ｘ
２的值是８．
"
0
$
%
#
１６．「2024 山西朔州期末改编，
」阅读：直角三角形具有
下列性质：若直角三角形的两直角边长分别为ａ，
ｂ，斜边长为ｃ，则ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２．利用这一性质可求出某
些线段的长，如图，正方形网格中，每个小正方形的
边长均为１，则ＢＣ
２＝２
２＋３
２＝１３，因为没有一个有理
数的平方等于１３，所以ＢＣ的长不是有理数，而是
无理数．
请你根据阅读材料，判断图中线段ＡＣ，ＡＢ的长是
有理数还是无理数．
"
$
#
解析
由勾股定理得ＡＣ
２＝４
２＋３
２＝２５＝５
２，所以
ＡＣ＝５，即ＡＣ的长是有理数．
ＡＢ
２＝１
２＋５
２＝２６，因为没有一个有理数的平方等
于２６，所以ＡＢ的长不是有理数，而是无理数．
１７．新
考向
尺规作图「2024 广东佛山期末改编，
」在Ｒｔ
△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝１，ｂ＝３，则ｃ
２＝１
２
＋３
２＝１０，在数轴上找到表示斜边长ｃ的点．
解析 如图，在数轴上作Ｒｔ△ＯＰＱ，使ＯＱ＝３，ＰＱ
＝１，∠ＯＱＰ＝９０°，以点Ｏ为圆心，ＯＰ的长为半径
画弧，交数轴正半轴于点Ｅ，则点Ｅ表示的数为ｃ．
2
1
0
&
б ͞
１８．新
课标
几何直观
学科
特色
教材
变式「2025 黑龙江哈尔滨三十九中期中改编」如
图１，方格纸中每个小正方形的边长均为１，正方
形ＡＢＣＤ的顶点都在格点上．
（１）正方形ＡＢＣＤ的面积是１７．
（２）正方形ＡＢＣＤ的边长是无理数（填“有理”
或“无理”）．
（３）正方形ＡＢＣＤ的边长最接近的整数是４．
（４）在图２中设计一个与正方形ＡＢＣＤ面积不相
等的正方形，要求边长为无理数．
"
#
%
$
(
'
&
)
图１
图２
解析 （１）如图１，由题意得Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝Ｓ正方形ＥＦＧＨ－
４Ｓ△ＡＢＥ＝５
２－４× １
２×１×４＝１７．
（２）正方形ＡＢＣＤ的边长是无理数．
（３）因为正方形ＡＢＣＤ边长的平方为１７，４
２＝１６，
５
２＝２５，１７更接近１６，所以正方形ＡＢＣＤ边长最接
近的整数是４．
（４）答案不唯一．如图２，正方形即为所求，正方形
的面积是５，边长是无理数．
᮰
6
算术平方根等于它本身的数只有０和１．负数没有算术平方根．
第
二
章
实
数
１５
２ 平方根与立方根
第1 课时 算术平方根
ۻᆱ݆
知识点１ 算术平方根
１．下列关于算术平方根的说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．负数一定有算术平方根
Ｂ．只有正数才有算术平方根
Ｃ．正数有两个算术平方根
Ｄ．算术平方根是非负数
２．下列说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．０．４的算术平方根是０．２
Ｂ．－４是１６的算术平方根
Ｃ．５和－５是２５的算术平方根
Ｄ．１
３６的算术平方根是１
６
３．「2025 河南南阳月考」一个数的算术平方根是３，这个
数是
（Ｂ）
Ａ．９
Ｂ．３
Ｃ．±９
Ｄ．３
４．「2024 河北石家庄月考」求下列各数的算术平方根．
（１）６４．（２）０．２５．（３）４９
８１．（４）１０
－２．
解析 （１）
６４＝８．（２）
０．２５＝０．５．
（３）
４９
８１＝７
９．（４）
１０
－２＝
０．０１＝０．１．
知识点２ （ａ）
２和ａ
２的性质
５．「2024 上海浦东新区期末」下列计算正确的是
（Ａ）
Ａ．－
（－８）
２＝－８
Ｂ．（－８）
２＝６４
Ｃ．
（－２５）
２＝±２５
Ｄ．
３１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝９１
１６
６．已知（ｘ）
２＝５，则ｘ＝５．已知
ｘ
２＝５，则ｘ＝±５．
ᑧү Ӭ
７．「2025 河北石家庄期中，
」有一个数值转换器，原理
如图，当输入ｘ＝４时，输出的ｙ是
（Ｄ）
DڑY
0ᱛᵥ
᭛ᬌ)
᭛ᰵ)
DܦZ
Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．４
Ｄ．２
８．「
」一个正偶数的算术平方根是ａ，那么与这个
正偶数相邻且比它大的正偶数的算术平方根是
（Ｃ）
Ａ．ａ＋２
Ｂ．ａ
２＋２
Ｃ．
ａ
２＋２
Ｄ．
ａ＋２
９．「2025 浙江丽水期中，
」若｜ａ－１７｜＋（ｂ－１）
２＝０，则
ａ－ｂ的算术平方根为２．
１０．
学科
特色易错题「2025 重庆朝阳中学月考，
」若
１
２ｘ－２＝
１
２ｘ－２，则ｘ＝４或６．
１１．
学科
特色
教材
变式「2024 北京汇文中学期中，
」已知ａ，ｂ，ｃ分别
为Ｒｔ△ＡＢＣ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边，∠Ｃ＝９０°，ａ
和ｂ满足ａ－２＋（ｂ－３）
２＝０，则ｃ的值为
１３．
１２．「2024 湖北武汉硚口期中，
」如图，一根细线上端固
定，下端系一个小重物，让这个小重物自由摆动，
来回摆动一次所用时间ｔ（单位：ｓ）与细线长度ｌ
（单位：ｍ）满足关系式ｔ＝２π
ｌ
１０，当细线长度为
１ｄｍ时，小重物来回摆动一次所用的时间是多
少？（π 取３．１４）
解析 １ｄｍ＝０．１ｍ，所以ｔ＝２×３．１４×
０．１
１０＝６．２８
× １
１０＝０．６２８，所以小重物来回摆动一次所用的时
间是０．６２８ｓ．
᮰
6
讨论是一种学习，有利于拓宽知识面和加深对问题的理解，能让逻辑思维能力得到提高．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１６
第2 课时 平方根
ۻᆱ݆
知识点１ 平方根的定义及性质
１．「2025 浙江杭州育才中学期中」“１６
２５的平方根是± ４
５”，用
数学式子表示为
（Ｃ）
Ａ．
１６
２５＝± ４
５
Ｂ．
１６
２５＝４
５
Ｃ．±
１６
２５＝± ４
５
Ｄ．－
１６
２５＝－４
５
２．「2024 四川内江中考」１６的平方根是
（Ｄ）
Ａ．２
Ｂ．－４
Ｃ．４
Ｄ．±４
３．「2024 广西南宁三中期中」下列各数中没有平方根的数是
（Ｂ）
Ａ．（－２）
２
Ｂ．－２
２
Ｃ．
（－２）
２
Ｄ．０
４．「2024 四川内江期末」下列说法正确的是
（Ｃ）
Ａ．正数的平方根是它本身
Ｂ．１００的平方根是１０
Ｃ．－１０是１００的一个平方根
Ｄ．－１的平方根是－１
５．「2025 山西太原月考」若－８是８ａ的一个平方根，则ａ
的值是
（Ｄ）
Ａ．－１
Ｂ．１
Ｃ．－８
Ｄ．８
６．「2025 四川巴中通江二中期中」若一个正数的平方根分
别是２ｍ－３与ｍ－６，则ｍ的值为
（Ｂ）
Ａ．－３
Ｂ．３
Ｃ．２
Ｄ．－３或３
７．「2025 浙江温州期中」已知某数的一个平方根是－５，
则这个数的另一个平方根是
５．
８．求下列各数的平方根：
（１）１
１６．（２）０．０００９．（３）０．（４）１３．（５）（－４）
２．
解析 （１）１
１６的平方根是±
１
１６＝± １
４．
（２）０．０００９的平方根为±
０．０００９＝±０．０３．
（３）０的平方根为０．
（４）１３的平方根为±
１３．
（５）（－４）
２的平方根为±
（－４）
２＝±４．
知识点２ 开平方的应用
９．下列各数中，不能开平方的是
（Ｃ）
Ａ．２
Ｂ．０
Ｃ．－（－５）
２
Ｄ．｜－２｜
１０．下面开平方运算错误的是
（Ｃ）
Ａ．±
０．０４＝±０．２
Ｂ．±
０．００４９＝±０．０７
Ｃ．±
０．０２２５＝±０．０１５
Ｄ．±
０．０１６９＝±０．１３
１１．求下列各式的值．
（１）
３６． （２）－
４９．
（３）±
１０
－６． （４）±
２５
１６．
解析 （１）
３６＝
６
２＝６．
（２）－
４９＝－
７
２＝－７．
（３）±
１０
－６＝±
（１０
－３）
２＝±１０
－３＝±０．００１．
（４）±
２５
１６＝±
５
４
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝± ５
４．
ᑧү Ӭ
１２．
学科
特色易错题「2024 河北沧州期末，
」
１６的平方根是
（Ｃ）
Ａ．２
Ｂ．－２
Ｃ．±２
Ｄ．±４
１３．「2025 山东枣庄滕州月考，
」如果ｘ的平方根是
±３，那么ｘ的值是
（Ｃ）
Ａ．９
Ｂ．－９
Ｃ．８１
Ｄ．－８１
１４．「2024 安徽淮南九中期末，
」若ａ＝２，ｂ＝３，则ａｂ
的平方根等于±６．
１５．「2024 辽宁鞍山期末，
」学校水房前有一个长、宽
之比为５∶２的长方形过道，其面积为１０ｍ
２，若用
４０块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，则
地砖的边长是０．５ｍ．
１６．「2025 广东茂名一中期中，
」如果１－３ｘ和ｙ－２７互
为相反数，那么ｘｙ的平方根是±３．
᮰
6
ａ
２若求平方根，根据ａ来细讨论．不等零时正负ａ，等于零时零相认．若求（非零）算术平方根，结果为正别再分．
第
二
章
实
数
１７
１７．新
考向
规律探究题「2023 内蒙古呼伦贝尔中考，
」观察下列
各式：
Ｓ１＝
１＋１
１
２＋１
２
２＝１＋１
１×２，Ｓ２＝
１＋１
２
２＋１
３
２＝１＋１
２×３，
Ｓ３＝
１＋１
３
２＋１
４
２＝１＋１
３×４，……
请利用你所发现的规律计算：Ｓ１＋Ｓ２＋… ＋Ｓ５０＝
５０５０
５１．
１８．「2024 广东深圳新华中学月考，
」求下列各式中ｘ
的值．
（１）ｘ
２－１４３＝１．
（２）４（ｘ＋１）
２＝８１．
解析 （１）移项，合并同类项，得ｘ
２＝１４４，
因为（±１２）
２＝１４４，所以ｘ＝±１２．
（２）两边都除以４，得（ｘ＋１）
２＝８１
４，
因为± ９
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝８１
４，所以ｘ＋１＝± ９
２，
解得ｘ＝７
２或ｘ＝－１１
２．
１９．新
考向
代数推理「2025 河南南阳月考，
」一个正数ｂ的两
个平方根分别是２ａ－３与５－ａ．
（１）求ｂ的值．
（２）求５ａ＋ｂ－３的平方根．
解析 （１）根据题意可知２ａ－３＋５－ａ＝０，解得ａ＝－２．
将ａ＝－２代入５－ａ，得５－ａ＝５－（－２）＝７，所以ｂ＝７
２
＝４９．
（２）将ａ＝－２和ｂ＝４９代入５ａ＋ｂ－３，得５ａ＋ｂ－３＝５
×（－２）＋４９－３＝３６，所以５ａ＋ｂ－３的平方根为±６．
２０．「2024 广东深圳福田八校联考期中，
」已知正数ｘ的
平方根是ｍ和ｍ＋ｎ．
（１）当ｎ＝６时，求ｍ的值．
（２）若ｍ
２ｘ＋（ｍ＋ｎ）
２ｘ＝３２，求ｘ－１的值．
解析 （１）∵正数ｘ的平方根是ｍ和ｍ＋ｎ，
∴ｍ＋ｍ＋ｎ＝０，∵ｎ＝６，∴２ｍ＋６＝０，∴ｍ＝－３．
（２）∵正数ｘ的平方根是ｍ和ｍ＋ｎ，
∴（ｍ＋ｎ）
２＝ｘ，ｍ
２＝ｘ，∵ｍ
２ｘ＋（ｍ＋ｎ）
２ｘ＝３２，
∴ｘ
２＋ｘ
２＝３２，∴ｘ
２＝１６，∵ｘ＞０，∴ｘ＝４，∴ｘ－１＝３．
б ͞
２１．新
课标
运算能力
学科
特色
分类讨
论思想「2024 河北石家庄栾城期中」在学习平
方根后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数
的算术平方根为３ｘ－２，平方根为±（ｘ＋２），求这个
数．小明的解答过程如下：
解：因为一个数的算术平方根为３ｘ－２，平方根为
±（ｘ＋２），
所以３ｘ－２＝ｘ＋２或３ｘ－２＝－（ｘ＋２）．
①当３ｘ－２＝ｘ＋２时，解得ｘ＝２，
所以（３ｘ－２）
２＝１６，所以这个数为１６．
②当３ｘ－２＝－（ｘ＋２）时，解得ｘ＝０，
所以（３ｘ－２）
２＝４，所以这个数为４．
综上所述，这个数为１６或４．
小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的
解答过程．
解析 不正确，正确的解题过程如下：
因为一个数的算术平方根为３ｘ－２，平方根为±（ｘ＋
２），
所以３ｘ－２＝ｘ＋２或３ｘ－２＝－（ｘ＋２）．
①当３ｘ－２＝ｘ＋２时，解得ｘ＝２，
此时３ｘ－２＝４，±（ｘ＋２）＝± ４，４
２＝１６，故这个数
为１６．
②当３ｘ－２＝－（ｘ＋２）时，解得ｘ＝０，
此时３ｘ－２＝－２＜０，不符合题意，舍去．
综上所述，这个数为１６．
᮰
6
每个人的时间都一样，但是每个人使用的效果却不同．如果你没有崇高的理想，就不能战胜自己的惰性．无法战胜惰
性，就很难把握时间．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１８
专项突破３ 平方根概念应用中的四种方法
方法１ 巧用非负性求值
１．「2025 湖南衡阳逸夫中学月考」已知ａ－２＋｜ｂ－８｜＝０，则
ａ
ｂ的平方根是
（Ａ）
Ａ．± １
２
Ｂ．－１
２
Ｃ．±２
Ｄ．２
２．若２ａ－２与｜ｂ＋２｜互为相反数，则ａ＋ｂ的值为
（Ｄ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．－２
Ｄ．－１
３．若ｘ，ｙ均为实数，且
ｘ－１＋
１－ｘ＋２ｙ－１＝０，求
１５ｘ＋２ｙ的平方根．
解析 ∵
ｘ－１＋
１－ｘ＋２ｙ－１＝０，
∴ｘ－１≥０，１－ｘ≥０，解得ｘ＝１，∴２ｙ－１＝０，∴ｙ＝１
２，
∴
１５ｘ＋２ｙ＝
１５＋１＝
１６＝４，
∵（±２）
２＝４，∴
１５ｘ＋２ｙ的平方根为±２．
方法２ 巧用正数有两个平方根求值
４．
学科
特色易错题「2025 湖南长沙开学测试」若２ｍ－４与
３ｍ－１是同一个正数的平方根，则这个正
数为
（Ｂ）
Ａ．４
Ｂ．４或１００
Ｃ．１００
Ｄ．±４
５．若ａ－１＝２，正数ｂ的两个平方根分别是２ｃ－３和
３ｃ－７，求２ａ－３ｂ＋ｃ的平方根．
解析
∵正数ｂ的两个平方根分别是２ｃ－３和３ｃ
－７，
∴２ｃ－３＋３ｃ－７＝０，解得ｃ＝２，∴ｂ＝（２×２－３）
２＝１，
由ａ－１＝２，得ａ＝５，∴２ａ－３ｂ＋ｃ＝１０－３＋２＝９，
∵（±３）
２＝９，∴２ａ－３ｂ＋ｃ的平方根是±３．
方法３ 巧用算术平方根求最值
６．「2025 四川省名山中学期中」已知
１２＋ｍ是整数，则自
然数ｍ的最小值是
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．８
Ｄ．１１
７．「2025 河北正定中学期中」已知实数ａ，ｂ满足ｂ＝
２０－ａ，若ａ，ｂ均为正整数，则当ｂ取最大值时，ａ
＝４．
方法４ 巧用平方根定义解方程
８．解方程：
（１）１２１ｘ
２＝６４．
（２）２（ｘ＋１）
２－４９＝１．
解析 （１）∵１２１ｘ
２＝６４，∴ｘ
２＝６４
１２１，∴ｘ＝± ８
１１．
（２）２（ｘ＋１）
２－４９＝１，整理得（ｘ＋１）
２＝２５，
∴ｘ＋１＝±５，∴ｘ＝４或－６．
９．「2025 甘肃天水期中」已知一个正数的两个不相等的
平方根是ａ＋６与２ａ－９．
（１）求ａ的值及这个正数．
（２）求关于ｘ的方程ａｘ
２－１６＝０的解．
解析 （１）由题意得ａ＋６＋２ａ－９＝０，解得ａ＝１，所
以（ａ＋６）
２＝７
２＝４９，所以这个正数是４９．
（２）当ａ＝１时，方程ａｘ
２－１６＝０为ｘ
２－１６＝０，所以
ｘ
２＝１６，所以ｘ＝±４，即关于ｘ的方程ａｘ
２－１６＝０的
解是ｘ＝４或ｘ＝－４．
᮰
6
在利用开立方进行化简与计算时，若被开方数是带分数，应先将带分数化为假分数．若被开方数是一个负数，要利用
３－ａ＝－
３ａ将负号移到根号外．
第
二
章
实
数
１９
第3 课时 立方根
ۻᆱ݆
知识点１ 立方根与开立方
１．「2025 浙江宁波期中」１
６４的立方根是
（Ａ）
Ａ．１
４
Ｂ．± １
４
Ｃ．± １
２
Ｄ．１
２
２．下列说法正确的是
（Ｃ）
Ａ．２７的立方根是±３
Ｂ．
３３是９的立方根
Ｃ．－２是－８的立方根
Ｄ．０没有立方根
３．「2024 山东烟台蓬莱期末」已知
３ａ＋２＝－２，则ａ的值为
－１０．
４．「2025 浙江杭州西湖中学期中」如图，二阶魔方为２×２×２的
正方体结构，有８个方块，已知二阶魔方的体积约为
１０００ｃｍ
３（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块
的棱长为５ｃｍ．
５．
学科
特色
教材
变式求下列各数的立方根．
（１）５１２．（２）－０．３４３．（３）－２１０
２７．（４）１
１０
３．
解析
（１）因为８
３＝５１２，所以５１２的立方根是８，
即
３５１２＝８．
（２）因为（－０．７）
３＝－０．３４３，所以－０．３４３的立方根是
－０．７，即
３－０．３４３＝－０．７．
（３）－２１０
２７＝－６４
２７，因为－４
３
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
＝－６４
２７，所以－２１０
２７的立
方根是－４
３，即
３
－２１０
２７＝－４
３．
（４）因为
１
１０
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
＝１
１０
３，所以１
１０
３的立方根为１
１０，即
３１
１０
３＝１
１０．
知识点２ 立方根的性质
６．「2025 甘肃张掖甘州月考」下列计算正确的是
（Ｂ）
Ａ．
３（－２）
３＝２
Ｂ．
３（－０．４）
３＝－０．４
Ｃ．（
３－２１）
３＝２１
Ｄ．
３
２１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
＝３
２
７．
学科
特色易错题有下列说法：
①负数没有平方根，但有立方根；
②有平方根的数一定有立方根，有立方根的数也一
定有平方根；
③６４的平方根是±８，立方根是±４；
④
３ａ与
３－ａ互为相反数．
其中正确的有
（Ｂ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
８．若
３（ｘ－９）
３＝９－ｘ，则ｘ的平方根为±３．
９．计算
３－６４＋
１６的结果是０．
１０．计算：（－２）
３＋
（－４）
２＋
３（－４）
３× －１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
－
３２７＝
－８．
１１．求下列各式的值．
（１）
３２５
３． （２）
３（－０．０２）
３．
（３）（
３－７２９）
３． （４）－
３
５－１０
２７．
解析 （１）
３２５
３＝２５．（２）
３（－０．０２）
３＝－０．０２．
（３）（
３－７２９）
３＝－７２９．（４）－
３
５－１０
２７＝－
３１２５
２７＝
－５
３．
ᑧү Ӭ
１２．「2025 重庆万州二中月考，
」若一个数的立方根与
它的算术平方根相同，则这个数是
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．１或０
Ｃ．０
Ｄ．±１或０
１３．「2025 宁夏银川三中期中，
」若ｍ，ｎ为实
数，且ｍ－１＋｜ｎ＋２｜＝０，则
３ｍ＋ｎ的值是
－１．
１４．「2024 黑龙江哈尔滨巴彦华山中学月考，
」如果ｘ
２＝
６４，那么
３ｘ等于±２．
᮰
6
学习既要有铁棒磨成针的精神，又要有举一反三的学习方法；读书既要有勇于攀登的志气，又要有乐于思考的精神．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２０
１５．「2024 天津明华学校期末，
」把两个半径分别为
１ｃｍ和
３７ｃｍ的铅球熔化后做成一个更大的铅
球，则这个大铅球的半径是２ｃｍ
球的体积公式为Ｖ＝４
３πｒ
３，其中ｒ是球的半径
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
１６．「2024 天津期末，
」根据下面的分析，解答问题：
①因为１０
３＝１０００，１００
３＝１００００００，所以可确定
３１９６８３是两位数．②因为１９６８３的个位上的数
字是３，所以可确定
３１９６８３的个位上的数字是７．
③因为划去１９６８３后面的三位６８３，得到１９，２
３＝
８，３
３＝２７，所以可确定
３１９６８３的十位上的数字是
２，所以
３１９６８３＝２７．
（１）
３５９３１９是两位数．
（２）
３５９３１９＝３９．
１７．（１）「2025 吉林长春农安期中，
」求下列式子中ｘ的
值：ｘ－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
３
＝－１
１２５．
（２）「2024 四川江油实验中学月考，
」若Ａ＝
６－２ｂａ＋３ｂ
是ａ＋３ｂ的算术平方根，Ｂ＝
２ａ－３１－ａ
２是１－ａ
２
的立方根，求
３Ａ＋Ｂ的值．
解析 （１）方程两边都开立方，得ｘ－１
２＝
３
－１
１２５，
所以ｘ－１
２＝－１
５，解得ｘ＝３
１０．
（２）由题意知６－２ｂ＝２，２ａ－３＝３，解得ａ＝３，ｂ＝２，
所以ａ＋３ｂ＝３＋３×２＝９，１－ａ
２＝１－３
２＝－８，
所以Ａ＝９＝３，Ｂ＝
３－８＝－２，
所以
３Ａ＋Ｂ＝
３３＋（－２）＝１．
１８．「2025 陕西西安蓝田月考，
」张老师要求每名同学
制作一个正方体盒子，制作完后小丽对小宇说：
“我制作的盒子的表面积是９６ｃｍ
２，你的呢？” 小
宇低头想了一下，说：“我制作的盒子比你的盒子
的体积大２７９ｃｍ
３，你能算出我的盒子的表面积
吗？”小丽思考了一会儿，顺利得到了答案．你能算
出来吗？
解析 小丽制作的正方体盒子的棱长为
９６
６＝
４（ｃｍ），则其体积为４
３＝６４（ｃｍ
３），
故小宇制作的盒子的体积为６４＋２７９＝３４３（ｃｍ
３），
所以小宇制作的盒子的棱长为
３３４３＝７（ｃｍ），
所以小宇制作的盒子的表面积为６×７
２＝２９４（ｃｍ
２）．
б ͞
１９．新
课标
运算能力「2024 重庆江津东方红学校月考」【发现】
①
３８＋
３－８＝２＋（－２）＝０；
②
３１＋
３－１＝１＋（－１）＝０；
③
３１０００＋
３－１０００＝１０＋（－１０）＝０；
④
３１
６４＋
３
－１
６４＝１
４＋－１
４
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝０；
……
（１）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等
式： ．
【归纳】等式①②③④所反映的规律，可归纳为一结
论：对于任意两个实数ａ，ｂ，若
，则
３ａ＋
３ｂ＝０；
反之，也成立．
【应用】根据上述结论，解决下列问题：
（２）若
３３－２ｘ与
３ｘ＋６互为相反数，则
４ｘ＝
．
（３）若
３４ａ
２－１０与
３６－３ｂ互为相反数，且１０ａ
２－６ｂ
＝１６，求ａ的值．
解析 【发现】（１）
３２７＋
３－２７＝３＋（－３）＝０．（答
案不唯一）
【归纳】对于任意两个实数ａ，ｂ，若ａ，ｂ互为相反
数，则
３ａ＋
３ｂ＝０；反之，也成立．
【应用】（２）因为
３３－２ｘ与
３ｘ＋６互为相反数，所以
３３－２ｘ＋
３ｘ＋６＝０，所以３－２ｘ＋ｘ＋６＝０，所以ｘ＝９，
所以
４ｘ＝３６＝６．
（３）因为
３４ａ
２－１０与
３６－３ｂ互为相反数，所以４ａ
２
－１０＋６－３ｂ＝０，所以ｂ＝４ａ
２－４
３
，
因为１０ａ
２－６ｂ＝１６，所以１０ａ
２－８ａ
２＋８＝１６，所以
２ａ
２＝８，所以ａ＝± ４＝±２．
᮰
6
夹逼法：“夹”就是从两边确定范围，“逼”就是一点点加强限制，使所处范围越来越小．估计无理数的近似值，常用
这种方法．
第
二
章
实
数
２１
第4 课时 估算
ۻᆱ݆
知识点１ 借助估算或计算器求无理数近似值
１．估算下列各数，正确的是
（Ａ）
Ａ．２５．８≈５
Ｂ．
３２８≈５
Ｃ．１２６≈１４
Ｄ．
３７≈３
２．「2025 浙江初中名校发展共同体期中」与８最接近的整数是
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
３．估算下列各数的大小：
（１）
２０（结果精确到０．１）．
（２）－
３２．５（结果精确到０．１）．
（３）
３１５５．２（结果精确到１）．
解析 （１）因为４．４５
２＜２０＜４．５０
２，所以２０≈４．５．
（２）因为５．７０
２＜３２．５＜５．７５
２，
所以３２．５≈５．７，所以－
３２．５≈－５．７．
（３）因为５．０
３＜１５５．２＜５．５
３，所以
３１５５．２≈５．
４．用计算器计算：
（１）
１
７＋
６３－
４９（精确到０．０１）．
（２）（
２７－
３－９）×
１２（精确到０．１）．
解析 （１）
１
７＋
６３－
４９≈１．３１５２１８４０６≈１．３２．
（２）（２７－
３－９）×
１２≈２５．２０５６２１７３≈２５．２．
知识点２ 比较数的大小
５．新
考向
数学文化「2025 河北石家庄栾城期中」我国古代数学家张衡
将圆周率取值为
１０，祖冲之给出圆周率的一种分数
形式的近似值为２２
７．比较大小：２２
７
＜
１０（填“＞”或
“＜”）．
６．利用计算器比较下列各数的大小：
（１）
１４，
３５６．
（２）－
２１，－
３１００．
（３）５－１
２
，
３０．２３．
解析 （１）１４≈３．７４２，
３５６≈３．８２６，
因为３．７４２＜３．８２６，所以１４＜
３５６．
（２）－
２１≈－４．５８，－
３１００≈－４．６４，
因为－４．５８＞－４．６４，所以－
２１＞－
３１００．
（３）５－１
２
≈０．６１８，
３０．２３≈０．６１３，
因为０．６１８＞０．６１３，所以５－１
２
＞
３０．２３．
７．「2025 山东泰安东平期中」在某消防队的一次应急演练
中，消防员架起一架长２５ｍ的云梯ＡＢ，如图，云梯
斜靠在一面墙上，这时云梯底端到墙脚的距离ＢＣ
＝７ｍ，∠ＤＣＥ＝９０°．
（１）求这架云梯顶端到地面的距离．
（２）在演练过程中，高２４．３ｍ的墙头有求救声，消
防员需调整云梯去救被困人员．经验表明，云梯
靠墙摆放时，如果云梯底端到墙脚的距离不小
于云梯长度的１
５，那么云梯和消防员相对安全．
在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达
２４．３ｍ高的墙头去救被困人员？
"
%
$
#
&
解析 （１）在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＡＣ＝
ＡＢ
２－ＢＣ
２＝
２５
２－７
２＝２４（ｍ），所以这架云梯顶端
到地面的距离为２４ｍ．
（２）当云梯底端到墙脚的距离刚好为云梯长度的
１
５时，云梯顶端到地面的距离最大，为
２５
２－１
５×２５
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝
６００（ｍ）．因为２４．３
２＝５９０．４９＜
６００，所以２４．３＜
６００，所以在相对安全的前提下，
云梯的顶端能到达２４．３ｍ高的墙头去救被困人员．
᮰
6
人生就像一座山，重要的不是它的高低，而在于灵秀；人生就像一场雨，重要的不是它的大小，而在于及时．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２２
ᑧү Ӭ
８．跨
物理
浮力
「2024 山西朔州期末，
」读了“曹冲称象”的故
事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物
块的体积（物块的体积等于排出水的体积）．如图，他
将一个正方体物块用绳子悬挂后完全浸入盛满水的
圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一
个量筒中，测得溢出的水的体积为５０ｃｍ
３．由此可估
计该正方体物块的棱长介于哪两个相邻的整数之间
（Ｃ）
Ａ．１和２之间
Ｂ．２和３之间
Ｃ．３和４之间
Ｄ．４和５之间
'
!
第９题图
"
$
%
#
第１１题图
９．新
考向
规律探究题「2024 浙江宁波海曙中学期中，
」我们规定：
［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数．如［２］＝２，［３．２］＝
３，则［１］＋［２］＋［３］＋［４］＋… ＋［
８７］＋
［
８８］的值为
（Ｂ）
Ａ．５０７
Ｂ．５１６
Ｃ．５２５
Ｄ．５３４
１０．「2024 北京房山期中，
」已知５１
２＝２６０１，５２
２＝
２７０４，５３
２＝２８０９，５４
２＝２９１６．若ｎ为整数，且ｎ＜
２９００＜ｎ＋１，则ｎ的值为５３．
１１．「2025 山东青岛文汇中学月考，
」为了比较
１７与
１０＋１的大小，可以构造如图所示的图形，∠Ｃ＝
９０°，ＢＣ＝４，点Ｄ在ＢＣ上且ＣＤ＝３，ＡＣ＝１．通过观
察图形可得
１７＜
１０＋１．（填“＞”“＜”或“ ＝”）
１２．「2024 山东聊城临清期中改编，
」任何一个
无理数都夹在两个相邻的整数之间，如
５，因为４＜５＜９，所以２＜５＜３，所以５的整数
部分是２，小数部分是５－２．根据上述材料，回答
问题：
（１）
１７的整数部分是
，小数部分是
．
（２）若５＋３的整数部分是ａ，小数部分是ｂ，求２ａ
＋ｂ的值．
解析 （１）因为１６＜
１７＜
２５，所以４＜
１７＜５，
所以１７的整数部分是４，小数部分是１７－４．
（２）因为１＜３＜４，所以１＜３＜２，
所以６＜５＋３＜７，所以５＋３的整数部分是６，小数
部分是５＋３－６＝３－１，所以ａ＝６，ｂ＝３－１，
所以２ａ＋ｂ＝２×６＋３－１＝１１＋３．
б ͞
１３．新
课标
几何直观
「2025 福建泉州南安期中」小李同学探索
１３０的近似值的过程如下：
因为面积为１３０的正方形的边长是１３０，且１１＝
１２１＜
１３０＜
１４４＝１２，所以设１３０＝１１＋ｘ，其
中０＜ｘ＜１，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中大正方形的面积＝１１
２＋２×
１１ｘ＋ｘ
２＝１３０，当０＜ｘ＜１时，可忽略ｘ
２的值，得１２１
＋２２ｘ≈１３０，解得ｘ≈０．４１，所以１３０≈１１．４１．
（１）
１７０的整数部分为
．
（２）仿照小李同学的探索过程，求１７０的近似值．
（画出示意图，标注数据，并写出求解过程）
Y
Y
Y
Y
Y
解析 （１）因为１６９＜１７０＜１９６，即１３＜
１７０＜
１４，所以１７０的整数部分为１３．
（２）如图所示，大正方形的面积为１７０，边长为
１７０，设１７０＝１３＋ｘ，其中０＜ｘ＜１，
由图可知大正方形的面积＝（１３＋ｘ）
２＝１３
２＋２×１３ｘ
＋ｘ
２＝１７０，当０＜ｘ＜１时，可忽略ｘ
２的值，得１６９＋
２６ｘ≈１７０，解得ｘ≈０．０４，所以１７０≈１３．０４．
Y
Y
Y
Y
Y
᮰
6
判断一个式子是不是二次根式，要从式子的形式和被开方数的取值两方面考虑，要同时具备“根指数为２，被开方
数为非负数”这两个条件，缺一不可．
第
二
章
实
数
２３
３ 二次根式
第1 课时 二次根式的概念及乘除运算
ۻᆱ݆
知识点１ 二次根式的定义
１．「2024 云南中考」若ｘ在实数范围内有意义，则实数ｘ
的取值范围为
（Ａ）
Ａ．ｘ≥０
Ｂ．ｘ≤０
Ｃ．ｘ＞０
Ｄ．ｘ＜０
２．「2025 福建泉州永春期中联考」下列四个数中，二次根式
ｘ－１中ｘ不可取的数是
（Ａ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．２
Ｄ．３
３．「2024 浙江温州期中」当ｘ＝２时，二次根式３ｘ－２的值
是２．
４．下列各式是不是二次根式？说明理由．
（１）
０．０４． （２）
－２２．
（３）
ｘ－３． （４）
－１
ｘ（ｘ＜０）．
解析 （１）
０．０４的被开方数是０．０４，０．０４＞０，
所以０．０４是二次根式．
（２）
－２２的被开方数是－２２，－２２＜０，所以－２２不
是二次根式．
（３）
ｘ－３的被开方数是ｘ－３，不一定大于０，所以
ｘ－３不一定是二次根式．
（４）
－１
ｘ（ｘ＜０）的被开方数是正数，故
－１
ｘ（ｘ＜
０）是二次根式．
知识点２ 二次根式的乘除运算
５．对于二次根式的除法运算，一般地，有ａ
ｂ
＝
ａ
ｂ．该
运算法则成立的条件是
（Ｃ）
Ａ．ａ≥０，ｂ≥０
Ｂ．ａ≤０，ｂ≤０
Ｃ．ａ≥０，ｂ＞０
Ｄ．ａ≤０，ｂ＜０
６．「2024 江苏南通中考」计算２７×
１
３的结果是
（Ｂ）
Ａ．９
Ｂ．３
Ｃ．３３
Ｄ．３
７．「2025 广东深圳福田期中」下列各数中，与２相乘的积
仍为无理数的是
（Ｄ）
Ａ．
１
８
Ｂ．８
Ｃ．１８
Ｄ．２８
８．下列计算正确的是
（Ａ）
Ａ．３３×４３＝３６
Ｂ．３３×４３＝７３
Ｃ．３３×４３＝１２３
Ｄ．３３×４３＝９×１２＝１０８
９．「2024 山东临沂郯城期末」计算：４
１５
２５
＝２３．
１０．已知一个三角形的面积为１２，一边长为３，则这
条边上的高为４．
１１．计算：
（１）
１０×
０．１． （２）
５０＋
１８
２
．
（３）
１２× ６
８
． （４）（２２－３）
２．
（５）（５－
１４）×（５＋
１４）．
（６）（
２４－６）×
１
６．
解析 （１）
１０×
０．１＝
１０×０．１＝１＝１．
（２）
５０＋
１８
２
＝
５０
２
＋
１８
２
＝
５０
２＋
１８
２＝
２５＋９＝５＋３＝８．
（３）
１２× ６
８
＝
１２×６
８
＝
７２
８＝９＝３．
（４）（２２－３）
２＝（２２）
２－２×２２× ３＋（３）
２
＝８－４６＋３＝１１－４６．
（５）（５－１４）×（５＋１４）＝（５）
２－（１４）
２
＝５－１４＝－９．
᮰
6
什么样的学习方法最有效？适合你的方法，就是最有效的方法．你需要了解别人的学习方法，但不是照搬，而是在别
人方法的启发下，量身定制适合自己的方法，才会产生最大的效应．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２４
（６）（２４－６）×
１
６＝
２４×
１
６－６×
１
６
＝４－１＝２－１＝１．
ᑧү Ӭ
１２．「2024 河北邯郸馆陶期中，
」用乘法公式计算：
①（ｘ－３）（－ｘ＋３）；②（ｘ＋３）（－ｘ＋３），下列
说法正确的是
（Ｄ）
Ａ．①②都可以用平方差公式计算
Ｂ．①②都可以用完全平方公式计算
Ｃ．①用平方差公式计算，②用完全平方公式计算
Ｄ．①用完全平方公式计算，②用平方差公式计算
１３．「2024 河北廊坊六中月考，
」如图，正方形Ｍ的边
长为ｍ，面积为８；正方形Ｎ的边长为ｎ，面积为
３２．计算ｍ－ｎ
２
的结果为
（Ｂ）
.
/
Ａ．１
Ｂ．－２
Ｃ．２
Ｄ．－２
１４．「2023 湖北荆州中考，
」已知ｋ＝２（５＋３）×（５
－３），则与ｋ最接近的整数为
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
１５．「2024 辽宁大连金州期中，
」计算：（５－２）
２０２４×
（５＋２）
２０２５＝
５＋２．
１６．「2024 河南商丘永城期末，
」已知ａ＝
６－２，ｂ＝
６＋２．
（１）求ａ
２＋３ａｂ的值．
（２）若ｃ＝２５，试判断以ａ，ｂ，ｃ为三边长的三角
形的形状，并说明理由．
解析 （１）因为ａ＝６－２，ｂ＝６＋２，
所以ａ
２＋３ａｂ＝（６－２）
２＋３（６－２）×（６＋２）＝６－
４６＋４＋３×（６－４）＝１６－４６．
（２）以ａ，ｂ，ｃ为三边长的三角形是直角三角形．
理由：因为ａ＝６－２，ｂ＝６＋２，ｃ＝２５，
所以ａ
２＝（６－２）
２＝１０－４６，ｂ
２＝（６＋２）
２＝１０＋
４６，ｃ
２＝（２５）
２＝２０，所以ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２，
所以以ａ，ｂ，ｃ为三边长的三角形是直角三角形．
б ͞
１７．新
课标
创新意识「2025 安徽宿州九中月考」阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可
以写成另一个式子的平方，如３＋２２＝（１＋２）
２．善
于思考的小明进行了以下探索：设ａ＋２ｂ＝（ｍ＋
２ｎ）
２（ａ，ｂ，ｍ，ｎ均为整数），则有ａ＋２ｂ＝ｍ
２＋２ｎ
２＋
２２ｍｎ，所以ａ＝ｍ
２＋２ｎ
２，ｂ＝２ｍｎ．这样小明就找到了
一种把类似于ａ＋２ｂ的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（１）当ａ，ｂ，ｍ，ｎ均为正整数时，若ａ＋３ｂ＝（ｍ＋
３ｎ）
２，用含ｍ，ｎ的式子分别表示ａ，ｂ，得ａ＝
，ｂ＝
．
（２）利用所探索的结论，找一组正整数ａ，ｂ，ｍ，ｎ填
空：
＋
３＝（
＋
３）
２．
（３）若ａ＋４３＝（ｍ＋３ｎ）
２，且ａ，ｍ，ｎ均为正整
数，求ａ的值．
解析 （１）因为ａ＋３ｂ＝（ｍ＋３ｎ）
２，
所以ａ＋３ｂ＝ｍ
２＋３ｎ
２＋２３ｍｎ，
所以ａ＝ｍ
２＋３ｎ
２，ｂ＝２ｍｎ．
（２）答案不唯一，如７９＋２０３＝（２＋５３）
２．
（３）因为ａ＋４３＝（ｍ＋３ｎ）
２，
所以ａ＋４３＝ｍ
２＋３ｎ
２＋２３ｍｎ，
所以ａ＝ｍ
２＋３ｎ
２，２ｍｎ＝４，所以ｍｎ＝２，
因为ａ，ｍ，ｎ均为正整数，
所以当ｍ＝１，ｎ＝２时，ａ＝１
２＋３×２
２＝１３，
当ｍ＝２，ｎ＝１时，ａ＝２
２＋３×１
２＝７．
综上，ａ的值是１３或７．
᮰
6
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
第
二
章
实
数
２５
第2 课时 二次根式的化简及加减运算
ۻᆱ݆
知识点１ 二次根式的性质
１．「2024 河北保定期末」与２５×１６计算结果相同的是
（Ｂ）
Ａ．４÷５
Ｂ．４×５
Ｃ．４－５
Ｄ．４＋５
２．「2024 河南周口期末」若
ｘ＋１
２－ｘ＝
ｘ＋１
２－ｘ
成立，则ｘ的值
可以是
（Ｂ）
Ａ．－２
Ｂ．０
Ｃ．２
Ｄ．３
３．化简：
（１）
０．２５×０．１６．（２）
４９×２１．（３）
３
１６．
解析 （１）
０．２５×０．１６＝
０．２５× ０．１６＝０．５×０．４＝０．２．
（２）
４９×２１＝
４９×
２１＝７
２１．
（３）
３
１６＝
３
１６
＝３
４．
知识点２ 最简二次根式
４．「2025 广东茂名期中」下列式子中，是最简二次根式的是
（Ａ）
Ａ．３０
Ｂ．
１
２
Ｃ．８
Ｄ．
ａ
２
５．「2024 江西南昌期中」写出一个正整数ｎ，使２ｎ是最
简二次根式，ｎ可以是１（答案不唯一）．
６．已知２≈１．４１４，则８的近似值为２．８３（结果保留
小数点后两位）．
７．「2024 山东聊城期末」比较下列两个数的大小：５
１
５
＜６
１
６．（填“＞”或“＜”）
８．下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？对
不是最简二次根式的进行化简．
（１）
４５． （２）
１
３． （３）５
３．
（４）
０．５． （５）
１４
５．
解析 （１）被开方数中含有能开得尽方的因数或因
式，因此原式不是最简二次根式，
４５＝
９×５＝３５．
（２）被开方数中含有分母，因此原式不是最简二次
根式，
１
３＝３
３．
（３）５
３的被开方数中不含分母，且不含能开得尽方
的因数或因式，因此是最简二次根式．
（４）被开方数是小数，原式不是最简二次根式，
０．５＝
１
２＝２
２．
（５）被开方数中含有分母，因此原式不是最简二次
根式，
１４
５＝
９
５＝３５
５．
知识点３ 二次根式的加减
９．「2025 福建泉州永春五中期中」下列计算正确的是
（Ｄ）
Ａ．２＋２＝２
Ｂ．２＋３＝５
Ｃ．４－２３＝２３
Ｄ．１８－２＝２２
１０．若５＋５＝ｎ，则ｎ＝
（Ｂ）
Ａ．２５
Ｂ．２０
Ｃ．２４
Ｄ．３０
１１．「2024 江苏南京期末」计算
２７－
１
３的结果是
８３
３
．
１２．「2024 内蒙古呼和浩特期末」某一长方形纸片的长为
６２ｃｍ，宽为３２ｃｍ，则此长方形纸片的周长为
１８２ｃｍ．
１３．计算：
（１）
２４＋
５４－
９６．（２）
２８－
１
７＋
１７５．
（３）
２０－１０
１
５＋
４５．（４）
３２－
１
８
æ
è
ç
ö
ø
÷ × ２．
解析 （１）２４＋
５４－
９６＝２６＋３６－４６＝６．
（２）２８－
１
７＋
１７５＝２７－７
７＋５７＝４８７
７
．
（３）
２０－１０
１
５＋
４５＝２５－１０× ５
５＋３５＝２５
－２５＋３５＝３５．
（４）
３２－
１
８
æ
è
ç
ö
ø
÷ ×
２＝
３２×
２－
１
８×
２＝
３２×２－
１
８×２＝８－１
２＝１５
２．
᮰
6
感恩是一种心态，犹如口渴时喝一杯绿茶，甘甜解渴，清香沁肺；感恩是一种生活态度，一种善于发现美并欣赏美
的道德情操．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２６
ᑧү Ӭ
１４．「2024 河北廊坊六中月考，
」设ｍ＝
３，ｎ＝
５，则
３０ｍ
２
ｎ
２
＝
（Ｂ）
Ａ．３
Ｂ．３２
Ｃ．６
Ｄ．２６
１５．「2024 河北沧州月考，
」若ｍ８＋
３２－ｎ２＝５２，
则ｍ，ｎ的取值可以是
（Ｂ）
Ａ．ｍ＝０，ｎ＝１
Ｂ．ｍ＝１，ｎ＝１
Ｃ．ｍ＝－１，ｎ＝０
Ｄ．ｍ＝２，ｎ＝４
１６．「2025 甘肃兰州十一中期中，
」若
２８与最简二次
根式３ｍ－５可以合并，则ｍ的值为
（Ｂ）
Ａ．７
３
Ｂ．４
Ｃ．１９
３
Ｄ．１１
１７．新
考向
新定义题「2024 浙江中考，
」我们规定运算符号
“△”的意义是：当ａ＞ｂ时，ａ△ｂ＝ａ＋ｂ；当ａ≤ｂ时，
ａ△ｂ＝ａ－ｂ，其他运算符号的意义不变，计算：（３
△２）－（２３△３２）＝
－３＋４２．
１８．「2025 山西临汾月考，
」古希腊数学家海伦和我国
南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长
求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个
三角形的三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，记ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ
２
，那么
这个三角形的面积Ｓ＝
ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）．若ａ
＝５，ｂ＝８，ｃ＝７，三角形面积Ｓ的整数部分为ｍ，则
ｍ的值为１７．
１９．「2024 山东青岛莱西月考，
」为打造莱西人“家门
口的好去处”“城市新空间”，园林部门计划将两
块正方形小绿地整合成一“口袋公园”．如图，已
知正方形ＡＢＣＤ和正方形ＣＥＦＧ的面积分别为
４５ｍ
２，２０ｍ
２，则长方形口袋公园ＡＢＥＨ的面积为
７５ｍ
２．
"
%
)
'
(
#
$
&
２０．「2024 湖北襄阳谷城期末，
」如图，每个小正方形的
边长都为１，求四边形ＡＢＣＤ的面积与周长．
%
"
#
$
解析 由勾股定理得ＡＢ
２＝５
２＋１
２＝２６，ＢＣ
２＝４
２＋
２
２＝２０，ＣＤ
２＝２
２＋１
２＝５，ＡＤ
２＝１
２＋４
２＝１７，所以ＡＢ
＝
２６，ＢＣ＝２５，ＣＤ＝５，ＡＤ＝
１７，所以四边形
ＡＢＣＤ的周长为２６＋２５＋５＋
１７＝
２６＋３５＋
１７．四边形ＡＢＣＤ的面积为５×５－１
２×（１×５＋４×２
＋２×１＋４×１）－１×１＝２５－１０．５＝１４．５．
２１．「2024 山东青岛大学附中月考，
」已知Ａ＝５
２ｘ＋１，
Ｂ＝３
ｘ＋３，Ｃ＝
１０ｘ＋３ｙ，其中Ａ，Ｂ为最简二次
根式，且Ａ＋Ｂ＝Ｃ，求２ｙ－ｘ
２的值．
解析 因为Ａ，Ｂ为最简二次根式，且Ａ和Ｂ能合
并，所以２ｘ＋１＝ｘ＋３，解得ｘ＝２，所以Ａ＝５５，Ｂ＝３５，
因为Ａ＋Ｂ＝Ｃ，所以Ｃ＝Ａ＋Ｂ＝８５＝
３２０，
因为Ｃ＝
１０ｘ＋３ｙ，所以１０ｘ＋３ｙ＝３２０，
所以２０＋３ｙ＝３２０，解得ｙ＝１００，
所以２ｙ－ｘ
２＝
２×１００－２
２＝
１９６＝１４．
б ͞
２２．新
课标
运算能力新
考向
规律探究题「2025 河南郑州期中」二次根式中
有一个有趣的“穿墙”现象．
（１）具体运算，发现规律：
①
２２
３＝
８
３＝
２
２×２
３
＝２
２
３；
②
３３
８＝３
３
８；③
４４
１５＝４
４
１５；
④
５５
２４＝
．
（２）观察、归纳，得出猜想：如果ｎ为正整数（ｎ≥
２），用含ｎ的式子表示上述运算规律（提醒：
注意带分数的表达规范）．
（３）证明你的猜想．
解析 （１）５
５
２４．
（２）
ｎ＋
ｎ
ｎ
２－１
＝ｎ
ｎ
ｎ
２－１
．
（３）证明：因为
ｎ＋
ｎ
ｎ
２－１
＝
ｎ（ｎ
２－１）＋ｎ
ｎ
２－１
＝
ｎ
３－ｎ＋ｎ
ｎ
２－１
＝
ｎ
３
ｎ
２－１
＝ｎ
ｎ
ｎ
２－１
，
所以
ｎ＋
ｎ
ｎ
２－１
＝ｎ
ｎ
ｎ
２－１
．
᮰
6
二次根式混（合）运算，弄清顺序是关键，先乘方来后乘除，最后再来相加减．
第
二
章
实
数
２７
第3 课时 二次根式的混合运算
ۻᆱ݆
知识点 二次根式的混合运算
１．「2025 陕西西安西光中学月考」计算３×
１
３＋３
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的结
果是
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．１＋３
２．「2025 陕西西安期中」计算２８－２×（２＋４）的结果为
（Ａ）
Ａ．－２
Ｂ．２－４
Ｃ．－４
Ｄ．８２－４
３．「2025 河北石家庄期中」如图，甲、乙、丙三人手中各有
一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式．这
三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有
（Ｂ）
甲：（２－３）
２
乙：２×（２－８）
丙：
２４－
（－３）
２
Ａ．０张
Ｂ．１张
Ｃ．２张
Ｄ．３张
４．计算：２
１２－６
１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷２３＝１．
５．计算：
（１）
３２－
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
１
８．（２）
４
７＋７－
１
７．
（３）（２＋
１３）（１３－３）．（４）
１８÷ ３＋（２－３）
２．
解析
（１）
３２－
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ÷
１
８＝
３２－
１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ × ８
＝
３２×８－
１
２×８＝１６－２＝１４．
（２）
４
７＋７－
１
７＝２７
７＋７－７
７＝８７
７．
（３）（２＋１３）（１３－３）＝２１３－６＋１３－３１３＝
７－
１３．
（４）
１８÷ ３＋（２－３）
２＝６＋２－２６＋３＝５－６．
６．「2025 福建三明宁化期中」先化简，再求值：（ａ－３）·（ａ
＋３）－ａ（ａ－５），其中ａ＝５＋１
２．
解析 （ａ－３）（ａ＋３）－ａ（ａ－５）＝ａ
２－３－ａ
２＋５ａ
＝５ａ－３，当ａ＝５＋１
２时，原式＝５
５＋１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ －３＝５
＋５
２－３＝２＋５
２．
ᑧү Ӭ
７．「2024 湖南邵阳邵东月考，
」如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在数
轴上，则可以近似表示２×
１８－
２４÷２２的运算
结果的点是
（Ｃ）
%
$
#
"
Ａ．点Ａ
Ｂ．点Ｂ
Ｃ．点Ｃ
Ｄ．点Ｄ
８．「2024 河北中考模拟，
」设Ｍ＝
１
ａｂ－
ａ
ｂ
æ
è
ç
ö
ø
÷ ·
ａｂ，其中ａ＝－３，ｂ＝－２，则Ｍ的值为
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．－２
Ｃ．１
Ｄ．－１
９．「2024 山东日照期末，
」若６－
１３的整数部分为ｘ，
小数部分为ｙ，则（２ｘ＋
１３）ｙ的值是
（Ｂ）
Ａ．５－３
１３
Ｂ．３
Ｃ．３
１３－５
Ｄ．－３
１０．「2024 江苏南京求真中学中考模拟，
」计算２
３
÷
３＋
１
３
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的结果是
１
２．
１１．「2024 湖南永州期末，
」阅读与计算：斐波那契是
意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇
妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的
一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，
发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很
多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰
好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很
多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐
波那契数列中的第ｎ（ｎ为整数且ｎ＞０）个数用代
᮰
6
积极的人在每次忧患中都会看到机会，而消极的人在每个机会中都会看到某种忧患．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
２８
数式表示为１
５
１＋５
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
ｎ
－１－５
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
ｎ
é
ë
êê
ù
û
úú ，这是用无理
数表示有理数的一个范例．请计算斐波那契数列
中的第２个数是１．
１２．「2024 湖北武汉实验学校月考，
」△ＡＢＣ的三边长分
别为
２７ａ，ａ
３
ａ，１
２ａ
７５ａ
３（ａ＞０），若ａ＝２，求
△ＡＢＣ的周长．
解析 △ＡＢＣ的周长＝
２７ａ＋ａ
３
ａ＋１
２ａ
７５ａ
３
＝３
３ａ＋
３ａ＋５
２
３ａ＝１３
２
３ａ．
把ａ＝２代入，得原式＝１３
２
６．
所以当ａ＝２时，△ＡＢＣ的周长为１３
２
６．
１３．「2025 广东佛山顺德期中，
」我们知道
（
１３＋３）（
１３－３）＝４，因此在计算
１
１３－３
时，分子和分母同时乘（
１３＋３），
从而将分母中的二次根式通过化简去掉，这就是
分母有理化．
（１）化简：
１
４＋
１５
．
（２）若ａ＝
１
３－７
，求４ａ
２－１２ａ＋５的值．
（３）若ａ＝
１
６－５
，ｂ＝
１
５－２
，比较ａ和ｂ的大小．
解析 （１）
１
４＋
１５
＝
４－
１５
（４＋
１５）（４－
１５）
＝４－
１５
１６－１５＝４－
１５．
（２）因为ａ＝
１
３－７
＝３＋７
２
，
所以４ａ
２－１２ａ＋５＝４× ３＋７
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
－１２×３＋７
２
＋５
＝（３＋７）
２－１８－６７＋５＝９＋６７＋７－１８－６７＋５
＝３．
（３）ａ＝
１
６－５
＝６＋５，ｂ＝
１
５－２
＝５＋２，
因为６＞２，所以６＋５＞５＋２，所以ａ＞ｂ．
б ͞
１４．新
课标
创新意识新
考向
代数推理
「2023 湖南张家界中考」阅读下面
材料：
将边长分别为ａ，ａ＋ｂ，ａ＋２ｂ，ａ＋３ｂ的正方形面
积分别记为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，
则Ｓ２－Ｓ１＝（ａ＋ｂ）
２－ａ
２
＝［（ａ＋ｂ）＋ａ］·［（ａ＋ｂ）－ａ］
＝（２ａ＋ｂ）· ｂ
＝２ａｂ＋ｂ．
例如：当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ２－Ｓ１＝３＋２３．
根据以上材料，解答下列问题：
（１）当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ３－Ｓ２＝
，Ｓ４－Ｓ３＝
．
（２）当ａ＝１，ｂ＝３时，把边长为ａ＋ｎｂ的正方形面
积记为Ｓｎ＋１，其中ｎ是正整数，根据（１）中的
计算结果，你能猜出Ｓｎ＋１－Ｓｎ等于多少吗？并
证明你的猜想．
（３）当ａ＝１，ｂ＝３时，令ｔ１＝Ｓ２－Ｓ１，ｔ２＝Ｓ３－Ｓ２，ｔ３＝Ｓ４
－Ｓ３，……，ｔｎ＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ，且Ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋…＋ｔ５０，
求Ｔ的值．
解析 （１）Ｓ３－Ｓ２＝（ａ＋２ｂ）
２－（ａ＋ｂ）
２＝（ａ＋２ｂ＋
ａ＋ｂ）·［ａ＋２ｂ－（ａ＋ｂ）］＝（２ａ＋３ｂ）· ｂ＝
２ａｂ＋３ｂ，
当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ３－Ｓ２＝９＋２３．
Ｓ４－Ｓ３＝（ａ＋３ｂ）
２－（ａ＋２ｂ）
２＝（ａ＋３ｂ＋ａ＋２ｂ）
·［ａ＋３ｂ－（ａ＋２ｂ）］＝（２ａ＋５ｂ）· ｂ＝２ａｂ
＋５ｂ，
当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ４－Ｓ３＝１５＋２３．
故答案为９＋２３；１５＋２３．
（２）Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝６ｎ－３＋２３．
证明：Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝（１＋３ｎ）
２－［１＋（ｎ－１）３］
２
＝［２＋（２ｎ－１）３］× ３＝３（２ｎ－１）＋２３＝６ｎ－３＋
２３．
（３）当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋…＋ｔ５０＝Ｓ２－Ｓ１＋
Ｓ３－Ｓ２＋Ｓ４－Ｓ３＋…＋Ｓ５１－Ｓ５０＝Ｓ５１－Ｓ１＝（１＋５０３）
２－１
＝７５００＋１００３．
᮰
6
非负数的应用：因为ａ
２，｜ａ｜，ａ（ａ≥０）都为非负数，所以可利用“若几个非负数的和为零，则这几个非负数同时
为零”建立方程组解决有关的问题．
第
二
章
实
数
２９
专项突破４ 二次根式中的易错类型
易错点１ 忽视隐含条件
１．「2024 福建漳州长泰一中期中」若
ａ
２＝ａ，则ａ不可以是
（Ａ）
Ａ．－１
Ｂ．０
Ｃ．１
Ｄ．２
２．化简二次根式
－１
ｂ的结果是
（Ｃ）
Ａ．－ｂ
－ｂ
Ｂ．ｂ
－ｂ
Ｃ．－
－ｂ
ｂ
Ｄ．
－ｂ
ｂ
３．（１）通过下列各式的值探究问题．
①
４
２＝４，１６
２＝１６，
０
２＝０，
１
９
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝
１
９．
结论：对于任意非负有理数ａ，ａ
２＝ａ．
②
（－３）
２＝３，（－０．５）
２＝０．５，
－１
８
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝
１
８，
－３２
９
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝３２
９．
结论：对于任意负有理数ａ，
ａ
２＝－ａ．
综上，对于任意有理数ａ，
ａ
２＝｜ａ｜．
（２）应用（１）所得的结论解决问题：有理数ａ，ｂ在
数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
ａ
２－
ｂ
２－
（ａ－ｂ）
２＋｜ａ＋ｂ｜．
解析 （１）①４；１６；０；１
９；ａ．
②３；０．５；１
８；３２
９；－ａ；｜ａ｜．
（２）根据题中数轴可知－２＜ａ＜－１，０＜ｂ＜１，
所以ａ－ｂ＜０，ａ＋ｂ＜０．
ａ
２－
ｂ
２－
（ａ－ｂ）
２＋｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ｜－｜ｂ｜－｜ａ－ｂ｜－
（ａ＋ｂ）＝－ａ－ｂ＋ａ－ｂ－ａ－ｂ＝－ａ－３ｂ．
易错点２ 混淆运算法则
４．下列式子成立的是
（Ｄ）
Ａ．
１
４＝２
Ｂ．
１６１
４＝
１６×
１
４
Ｃ．
－３
－４＝
－３
－４
Ｄ．
（－４）×（－３）＝
４×３
５．计算：（１）
２４－
１８×
１
３＋（２－３）
０．
（２）
２７－２× ８＋
（－４）
２．
（３）８＋
１８
２
－
１６．
解析 （１）原式＝２６－
１８× １
３＋１＝６＋１．
（２）原式＝３３－４＋４＝３３．
（３）原式＝４＋９－４＝２＋３－４＝１．
易错点３ 用错乘法公式
６．计算：（６－１）
２－（１－６）（２－６）．
解析 （６－１）
２－（１－６）（２－６）
＝６－２６＋１－（２－６－２６＋６）
＝６－２６＋１－２＋６＋２６－６
＝６－１．
７．计算：（２２－３３－５）（２２＋３３－５）．
解析 （２２－３３－５）（２２＋３３－５）
＝［（２２－５）－３３］［（２２－５）＋３３］
＝（２２－５）
２－（３３）
２
＝８－４
１０＋５－２７＝－１４－４
１０．
᮰
6
人不能总无所事事，人生必须有目标！但是，聪明的人知道，目标必须切合实际，行动也必须积极有效．不能为了出
风头或一时痛快而不顾可能产生的不良后果．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
３０
第二章自主检测
范围：实数
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2024 山东枣庄滕州育才中学期中」在实数－２２
３，π，０，２，
３．１０１００１０００１…（每相邻两个１之间依次增加１
个０）中，无理数有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
２．「2025 江西萍乡期中」下列说法不正确的是
（Ａ）
Ａ．两个无理数的和还是无理数
Ｂ．实数和数轴上的点一一对应
Ｃ．有理数和无理数统称为实数
Ｄ．无限循环小数是有理数
３．「2024 广东深圳公明中学期中」下列式子中，属于最简二
次根式的是
（Ｂ）
Ａ．１２
Ｂ．７
Ｃ．０．３
Ｄ．
２
３
４．「2024 海南三亚期末」下列各组数中互为相反数的是
（Ａ）
Ａ．－２与
（－２）
２
Ｂ．－
３８与
３－８
Ｃ．－２与－１
２
Ｄ．｜－２｜与２
５．「2025 辽宁阜新实验中学期中」若ｘ，ｙ是两个连续自然
数，且满足ｘ＜５＋１＜ｙ，则ｘｙ的算术平方根为
（Ｃ）
Ａ．２５
Ｂ．５
Ｃ．２３
Ｄ．１２
６．「2025 贵州六盘水期中」已知
３ｘ－１＝ｘ－１，则ｘ
２
＋ｘ的值为
（Ｄ）
Ａ．０或１
Ｂ．０或２
Ｃ．０或６
Ｄ．０或２或６
７．「2025 广东佛山顺德期中」我国南宋时期数学家秦九韶
在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦
九韶公式，也叫三斜求积术，即如果一个三角形的
三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，那么该三角形的面积Ｓ＝
１
４
ａ
２ｂ
２－ａ
２＋ｂ
２－ｃ
２
２
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
é
ë
êê
ù
û
úú ．现已知△ＡＢＣ的三边长
分别为ａ＝５，ｂ＝６，ｃ＝７，则△ＡＢＣ的面积为
（Ｃ）
Ａ．６６
Ｂ．３６
Ｃ．２６
２
Ｄ．２６
二、填空题（每小题５分，共２０分）
８．「2025 宁夏银川金凤期中」
８１的算术平方根是３．
９．「2024 江西赣州期中改编」利用计算器，得
０．０５≈
０．２２３６，０．５≈０．７０７１，５≈２．２３６，５０≈７．０７１，根
据上述数据，可得５００≈２２．３６，５０００≈７０．７１．
１０．「2025 陕西渭南期中」数学课上，嘉嘉做了几道计算
题：①４＝±２；②５＋２＝
７；③５× ８＝２
１０；
④９÷ ３
３
× ３＝３；⑤（２－２）
２＝６－４２．请你检查一
下，嘉嘉做对的是③⑤（填序号）．
１１．已知ａ满足｜２０２４－ａ｜＋
ａ－２０２５＝ａ，则ａ－２０２４
２
的值为２０２５．
三、解答题（共４５分）
１２．（１５分）计算：
（１）（－１）
２０２５－｜３－４｜－
３－２７＋
１２．
（２）
１
３＋
４８－３．
（３）（２－１）
２－（５－２）（５＋２）．
解析 （１）（－１）
２０２５－｜３－４｜－
３－２７＋
１２
＝－１－１＋３＋２３＝２３＋１．
（２）
１
３＋
４８－３＝３
３＋４３－３＝１０３
３
．
（３）（２－１）
２－（５－２）（５＋２）
＝２－２２＋１－（５－２）＝３－２２－３＝－２２．
᮰
6
分母有理化，又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，将该分母化为有理数的过程，也就是将
分母中的根号化去．
第
二
章
实
数
３１
１３．「2025 贵州贵阳北师大附属中学月考」（１０分）某快递公
司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三
款包装纸箱，纸箱底面规格如下表：
型号
长
宽
小号
２０ｃｍ
１４ｃｍ
中号
２５ｃｍ
１５ｃｍ
大号
３０ｃｍ
１６ｃｍ
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别
为９０ｃｍ
２，１６０ｃｍ
２．若要将它们合在一个包装箱中
寄出，底面摆放方式如图所示，从节约材料的角度
考虑，应选择哪种型号的纸箱？请说明理由．
*+
ᏁL
΅+ᏁL
解析 从节约材料的角度考虑，应选择中号的纸
箱．理由：因为甲、乙两件礼品底面都是正方形，底
面积分别为９０ｃｍ
２，１６０ｃｍ
２，所以甲礼品的底面
边长为
９０＝３１０（ｃｍ），乙礼品的底面边长为
１６０＝４１０（ｃｍ）．３１０＋４１０＝７１０（ｃｍ），因为
７１０＝
４９０，２２
２＝４８４＜４９０＜５２９＝２３
２，所以２２＜
７１０＜２３，
因为４１０＝
１６０，１２
２＝１４４＜１６０＜１６９＝１３
２，所以
１２＜４１０＜１３，所以从节约材料的角度考虑，应选
择中号的纸箱．
１４．「2025 辽宁丹东凤城期中」（１０分）图１是由８个同样
大小的正方体组成的魔方，总体积为Ｖ．
（１）这个魔方的棱长为
３Ｖ（用含Ｖ的代数式表
示）．
（２）当魔方的体积Ｖ＝６４时．
①这个魔方的棱长为４．
②图１中的阴影部分是正方形ＡＢＣＤ，则正方
形ＡＢＣＤ的边长为２２．
③把图１中的正方形ＡＢＣＤ放置在数轴上，如
图２所示，使得点Ａ与数１对应的点重合，则
数轴上Ｄ点表示的数为１－２２．
④请在图２中的数轴上准确画出表示实数－
５的点Ｅ（不写作法，保留作图痕迹）．
"
#
$
%
图１
"
#
$
%
图２
解析 （１）因为魔方（是一个正方体）的体积为
Ｖ，所以魔方的棱长为
３Ｖ．
（２）①当魔方的体积Ｖ＝６４时，
这个魔方的棱长为
３６４＝４．
②因为魔方的棱长为４，所以每个小正方体的棱
长为４÷２＝２，所以正方形ＡＢＣＤ的边长为
２
２＋２
２
＝２２．
③因为点Ａ表示的数为１，正方形ＡＢＣＤ的边长
为２２，所以点Ｄ表示的数为１－２２．
④如图，点Ｅ即为所求．
"
#
$
%
&
１５．「2025 山东枣庄滕州期中」（１０分）阅读下面的计算过
程，解答问题．
１
２＋１
＝
１×（２－１）
（２＋１）（２－１）
＝
２－１．
１
５＋２
＝
１×（５－２）
（５＋２）（５－２）
＝
５－２．
（１）
１
９＋
１０
＝
．
（２）用简便方法计算
１
１＋２
＋
１
２＋３
＋
１
３＋４
＋…＋
１
２０２４＋
２０２５
的值．
（３）若ａ＝
１
５－２
，求ａ
２－４ａ＋４的值．
见答案册Ｄ１８
᮰
6
命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远在自己手中．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
３２
第三章
位置与坐标
１ 确定位置
ۻᆱ݆
知识点 平面内确定物体位置的方法
１．某班级第３列第４排的位置可以用数对（３，４）表
示，则数对（１，２）表示的位置是
（Ｃ）
Ａ．第２列第１排
Ｂ．第１列第１排
Ｃ．第１列第２排
Ｄ．第２列第２排
２．「2024 广东清远期末」如图所示的是某学校的平面示意
图，下列对科技楼位置的表示正确的是
（Ｃ）
Ａ．Ａ１区
Ｂ．Ｂ１区
Ｃ．Ｃ１区
Ｄ．Ｃ２区
３．跨
地理
经纬度「2025 河南平顶山汝州期中」Ａ地在地球上的位
置如图所示，则Ａ地的位置可表示为
（Ｃ）
Ａ．东经１３０°，北纬５０°
Ｂ．东经１３０°，北纬６０°
Ｃ．东经１５０°，北纬５０°
Ｄ．东经４０°，北纬５０°
3
͈3
cccc
"
c
c
c
c
第３题图
c
c
ccc
c
c
c
c
c
c
c
"
#
0
第４题图
４．「2024 湖南永州双牌期末」如图，一艘海洋科考船在Ｏ
点用雷达发现了Ａ，Ｂ两个目标，目标Ａ的位置为
（２，９０°），用方位角和距离可描述为在点Ｏ正北方
向，距离Ｏ点２个单位长度处．小明和小美用这两
种方式表示目标Ｂ的位置，小明：目标Ｂ的位置为
（４，３００°）；小美：目标Ｂ在点Ｏ南偏东３０°方向，距
离Ｏ点４个单位长度处．小明和小美的表示中
（Ｃ）
Ａ．只有小明正确
Ｂ．只有小美正确
Ｃ．两人均正确
Ｄ．两人均不正确
５．
学科
特色
教材
变式「2024 江苏南通如皋期中」如图，甲处位于２街与
５巷的十字路口，乙处位于５街与２巷的十字路
口，如果用数对（２，５）表示甲处的位置，那么乙处
的位置可以表示为（５，２）．
*
ጣ
ጣ
ጣ
ጣ
ጣ
ጣ= = = = = =
΅
６．
学科
特色
教材
变式如图所示的是小明家和学校所在地的简单地
图，已知ＯＡ＝２ｋｍ，ＯＢ＝３．５ｋｍ，ＯＰ＝４ｋｍ，点Ｃ为
ＯＰ的中点，回答下列问题：
（１）图中到小明家距离相等的地方是哪两个？
（２）请用方位角与距离描述学校、商场、停车场相
对于小明家的位置．
ᄻᬺტ
c
c
c
႒ᵍ
ژ
͈
ֈD
1
$
"
#
0
解析 （１）因为点Ｃ为ＯＰ的中点，所以ＯＣ＝１
２ＯＰ
＝１
２×４＝２（ｋｍ），又因为ＯＡ＝２ｋｍ，ＯＢ＝３．５ｋｍ，
ＯＰ＝４ｋｍ，所以到小明家距离相等的地方是学校
和公园．
（２）学校在小明家北偏东４５°方向上，到小明家的
距离为２ｋｍ，商场在小明家北偏西３０°方向上，到
小明家的距离为３．５ｋｍ，停车场在小明家南偏东
６０°方向上，到小明家的距离为４ｋｍ．
᮰
6
平面上点的位置，知道两数才准确，两数确定位置定，两数交换位置变．
第
三
章
位
置
与
坐
标
３３
ᑧү Ӭ
７．「2024 广东茂名信宜二中期中，
」如图所示的是某教
室学生座位平面示意图，老师把王明的座位“第５
列第２排”记为（５，２）．若小东的座位为（３，４），则
以下四个座位中，与小东相邻，能比较方便讨论交
流的同学的座位是
（Ｂ）
Ａ．（５，２）
Ｂ．（３，５）
Ｃ．（５，３）
Ｄ．（４，２）
８．跨
英语
单词
「2024 河南漯河期中，
」如图，有一个英文单
词的字母按顺序用有序数对表示分别为（１，２），
（１，３），（２，３），（５，１），请你把这个英文单词翻译成
中文：希望．
W
P
I
B
X
Q
J
C
Y
R
K
D
Z
S
L
E
[
T
M
F
U
N
G
V
O
H
９．「2024 广东深圳龙华期中，
」如图，在一次社会实践
活动中，位于Ａ处的１班和位于Ｃ处的３班准备前
往Ｂ处与２班会合．
（１）用方位角和距离分别描述Ａ处和Ｃ处相对于
Ｂ处的位置．
（２）判断∠ＡＢＣ的大小，并说明理由．
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c
LN
LN
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#
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解析
（１）Ａ处在Ｂ处北偏东３７° 方向，距离为
５ｋｍ处．Ｃ处在Ｂ处南偏东８０° 方向，距离为
６ｋｍ处．
（２）∠ＡＢＣ＝６３°．理由：如图，过点Ｂ作一条南北方
向的直线ＤＥ，
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易知ＤＥ∥ＡＦ∥ＣＧ，所以∠ＡＢＤ＝∠Ａ＝３７°，∠ＣＢＥ
＝∠Ｃ＝８０°，因为∠ＡＢＤ＋∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝１８０°，所
以∠ＡＢＣ＝１８０°－３７°－８０° ＝６３°．
б ͞
１０．新
课标
几何直观「2025 河北唐山月考」如图，一只甲虫在７×７
的方格图（每个小方格的边长为１个单位长度）
上沿网格线运动．规定：向上、向右走为正，向下、
向左走为负．例如，Ａ→Ｂ记为（＋３，＋４）；Ｃ→Ｄ记
为（０，－３）（第一个数表示左右方向的运动，第二
个数表示上下方向的运动）．
（１）Ａ→Ｃ记为（＋５，＋２）．
（２）Ｂ→Ｐ记为（＋２，０），在图中标出Ｐ的位置．若甲
虫从Ｐ出发，行走路线依次为（－４，－１），
（＋２，－１），最终到达Ｑ处，在图中标出Ｑ的位置．
（３）若甲虫行走的路线为Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ，计算甲虫
走过的路程．
（４）若甲虫从Ｂ处到达Ｄ处，行走的路线为（ａ１，
ｂ１），（ａ２，ｂ２），（ａ３，ｂ３），…，（ａｎ，ｂｎ），则ａ１－ｂ１＋
ａ２－ｂ２＋ａ３－ｂ３＋…＋ａｎ－ｂｎ＝７．
#
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%
解析 （１）Ａ→Ｃ记为（＋５，＋２）．
（２）Ｐ，Ｑ的位置如图所示．
#
1
2
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（３）因为Ａ→Ｂ记为（＋３，＋４），Ｂ→Ｃ记为（＋２，
－２），Ｃ→Ｄ记为（０，－３），
所以甲虫走过的路程为３＋４＋２＋｜－２｜＋｜－３｜＝１４．
（４）因为Ｂ→Ｄ记为（＋２，－５），所以ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝
２，ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ＝－５，所以ａ１－ｂ１＋ａ２－ｂ２＋ａ３－ｂ３＋…＋
ａｎ－ｂｎ＝（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）－（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝２＋５＝７．
᮰
6
逆境是成长必经的过程，勇于面对逆境的人，生命力会日渐旺盛．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
３４
２ 平面直角坐标系
第1 课时 平面直角坐标系的有关概念
ۻᆱ݆
知识点 平面直角坐标系及点的坐标
１．如图，有４名同学各画了一个平面直角坐标系，其
中画法正确的是
（Ｃ）
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Z
Ａ
0
Y
Z
Ｂ
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Y
Z
Ｃ
0
Y
Z
Ｄ
２．
学科
特色易错题「2024 广东深圳期末改编」如图所示的是某
学校的示意图，以办公楼所在位置为原点，建立
平面直角坐标系，则旗杆的坐标是
（Ｂ）
Ａ．（４，１）
Ｂ．（４，－１）
Ｃ．（１，４）
Ｄ．（１，－４）
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第２题图
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第３题图
３．如图，点Ａ的坐标是（３，３），横坐标和纵坐标都
是负数的点是Ｃ
，坐标是（－２，２）的点是Ｄ
．
ᑧү Ӭ
４．「2024 辽宁辽阳二中月考，
」若以Ｂ点为原点，建立直
角坐标系，Ａ点的坐标为（３，４），则以点Ａ为原点，建
立直角坐标系，Ｂ点的坐标为（－３，－４）．
５．新
考向
规律探究题「2025 山东德州乐陵月考，
」如图，一个机器
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人从Ｏ点出发，向正东方向走
３ｍ到达Ａ１点，再向正北方向
走６ｍ到达Ａ２点，再向正西方
向走９ｍ到达Ａ３点，再向正南
方向走１２ｍ到达Ａ４点，再向
正东方向走１５ｍ到达Ａ５点，按此规律走下去，当机器
人走到Ａ６点时，Ａ６点的坐标是（９，１２）．
６．跨
语文
古诗
「2024 河南驻马店期中，
」如图，我们把杜甫
的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中．
（１）“一”“岭”和“鸣”的坐标分别是
．
（２）先将第２行与第３行对调，再将第３列与第７列对
调，“雪”的坐标依次变为
，
．
（３）“东”开始的坐标是（３，１），使它的坐标变为（５，
３），应该先将哪两行对调，再将哪两列对调？
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解析 （１）（１，３），（４，２），（５，４）．
（２）（７，３）；（３，３）．
（３）“东”开始的坐标是（３，１），使它的坐标变为（５，
３），应该先将第１行与第３行对调，再将第３列与第５
列对调．
微专题
点的坐标与距离
方法指引 已知平面直角坐标系内的一点Ｐ（ｘ，ｙ），则点Ｐ到ｘ轴的距离为｜ｙ｜，到ｙ轴的距离为｜ｘ｜，到
原点的距离为
ｘ
２＋ｙ
２．
１．已知点Ｐ的坐标为（２－ａ，２ａ－１），且点Ｐ到两坐标
轴的距离相等，则点Ｐ的坐标是
（Ｄ）
Ａ．（１，１） Ｂ．（１，－１）
Ｃ．（３，－３）
Ｄ．（１，１）或（３，－３）
２．点（－３，４）到ｘ轴的距离是４，到ｙ轴的距离是
３，到原点的距离是５．
３．在平面直角坐标系中，点Ｐ的横坐标是－６，且点Ｐ到原
点的距离为１０，则点Ｐ的坐标是（－６，８）或（－６，－８）．
᮰
6
特殊点坐标的记忆口诀：坐标平面点（ｘ，ｙ），横在前来纵在后；（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象
限分前后；ｘ轴上ｙ为０，ｘ为０在ｙ轴．
第
三
章
位
置
与
坐
标
３５
第2 课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
ۻᆱ݆
知识点 平面内点的坐标特征
１．「2025 广东揭阳揭西期中改编」在平面直角坐标系中，点Ｐ
（２，ａ）在第四象限，则ａ的值可能为
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．－３
Ｃ．０
Ｄ．１
２
２．「2025 江西吉安期中」若点Ａ（ｎ－１，４）在ｙ轴上，则点
Ｂ（ｎ＋１，ｎ－３）在
（Ｄ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
３．
学科
特色
教材
变式「2025 山西省实验中学月考」直接写出下列各点
所处象限或坐标轴．
点Ａ（２，－３）在第四象限；点Ｂ（－２，５）在第二象
限；点Ｃ（－３，－２）在第三象限；
点Ｄ（２，３）在第一象限；
点Ｅ（－３，０）在ｘ轴上；
点Ｆ（０，２－π）在ｙ轴上．
４．「2025 江苏南京四中月考」已知点Ｐ（２ａ－３，ａ＋６）．
（１）若点Ｐ在ｘ轴上，求点Ｐ的坐标．
（２）若点Ｐ在第二象限，且到ｘ轴、ｙ轴的距离相
等，求ａ
２０２５＋２０２４的值．
解析 （１）因为点Ｐ（２ａ－３，ａ＋６）在ｘ轴上，所以ａ
＋６＝０，所以ａ＝－６，所以２ａ－３＝２×（－６）－３＝－１５，
所以点Ｐ的坐标为（－１５，０）．
（２）因为点Ｐ（２ａ－３，ａ＋６）在第二象限，点Ｐ到ｘ
轴、ｙ轴的距离相等，所以－（２ａ－３）＝ａ＋６，所以ａ＝
－１，所以ａ
２０２５＋２０２４＝（－１）
２０２５＋２０２４＝－１＋２０２４
＝２０２３．
ᑧү Ӭ
５．「2025 辽宁沈阳第一四三中学月考，
」点Ａ（ｍ－３，－ｍ＋
１）在第一、三象限的角平分线上，则点Ａ的坐标为
（Ａ）
Ａ．（－１，－１）
Ｂ．（－２，－２）
Ｃ．（－２，２）
Ｄ．（２，２）
６．「2025 江苏泰州靖江期末，
」已知直线ＭＮ∥ｘ轴，Ｍ
点的坐标为（２，３），并且线段ＭＮ＝３，则点Ｎ的坐
标为
（Ｄ）
Ａ．（－１，３）
Ｂ．（５，３）
Ｃ．（１，３）或（５，３）
Ｄ．（－１，３）或（５，３）
７．「2024 陕西咸阳模拟，
」在平面直角坐标系中有
Ｍ（－２，４），Ｎ（１，－２），Ｐ（－２，－４），Ｑ（－１，２）四点，
其中三点在同一直线上，则不在该直线上的是
（Ｃ）
Ａ．点Ｍ
Ｂ．点Ｎ
Ｃ．点Ｐ
Ｄ．点Ｑ
８．「2025 北京海淀八一学校期中，
」如图，在平面直角坐
标系中，已知点Ａ的坐标为（０，８），点Ｂ的坐标为
（１０，８），线段ＡＢ上的一点Ｐ到两坐标轴的距离相
等，则点Ｐ的坐标为（８，８）．
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９．「2025 贵州三联教育集团期中，
」如图，在长方形
ＯＡＢＣ中，Ｏ为平面直角坐标系的原点，点Ａ的坐
标为（ａ，０），点Ｃ的坐标为（０，ｂ），且ａ，ｂ满足
ａ－４＋｜ｂ－６｜＝０，点Ｂ在第一象限内，点Ｐ从原点
出发，以每秒２个单位长度的速度沿着路径Ｏ→Ｃ
→Ｂ→Ａ→Ｏ移动．
（１）ａ＝４，ｂ＝６，点Ｂ的坐标为（４，６）．
（２）当点Ｐ移动４秒时，求出点Ｐ的坐标．
（３）在移动过程中，当点Ｐ到ｘ轴的距离为５个单
位长度时，求点Ｐ移动的时间．
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解析
（１）因为ａ，ｂ满足
ａ－４＋
｜ｂ－６｜＝０，所以ａ－４＝０，ｂ－６＝０，
解得ａ＝４，ｂ＝６，所以ＯＡ＝４，
ＯＣ＝６，结合四边形ＯＡＢＣ是长方
形，可知点Ｂ的坐标是（４，６）．
见答案册Ｄ２０
᮰
6
困难是一块顽石，对于弱者它是绊脚石，对于强者它是垫脚石．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
３６
第3 课时 建立适当的坐标系描述图形的位置
ۻᆱ݆
知识点 建立平面直角坐标系
１．
学科
特色
教材
变式如图，一个长方形的长是８，宽是４，分别以两组对
边中点连线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，下
面的点不在长方形上的是
（Ｂ）
Ａ．（４，－２）
Ｂ．（－２，４）
Ｃ．（４，２）
Ｄ．（０，－２）
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第１题图
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第２题图
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第３题图
２．「2025 山西太原期中」如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，
建立平面直角坐标系，点Ｃ的坐标为（１，２），点Ｄ
在第二象限，点Ａ在第三象限．若ＣＤ∥ｘ轴，则点Ａ
的坐标为
（Ａ）
Ａ．（－３，－２）
Ｂ．（－２，－３）
Ｃ．（３，２）
Ｄ．（－３，２）
３．「2025 陕西西安期中」褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图
所示的是在方格中画出的褐马鸡的示意图．建立适
当的平面直角坐标系，若嘴部点Ａ的坐标为（－３，
２），尾部点Ｂ的坐标为（２，０），则足部点Ｃ的坐标为
（Ｄ）
Ａ．（０，１）
Ｂ．（－１，－１）Ｃ．（０，－２）
Ｄ．（０，－１）
４．
学科
特色
教材
变式「2025 广东深圳福田期末」△ＯＡＢ为等边三角形，
如图，以Ｏ为坐标原点，ＯＡ所在直线为ｘ轴，过Ｏ
作ＯＡ的垂线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，若ＯＡ
＝４，则点Ｂ的坐标为
（Ｄ）
Ａ．（２，２）
Ｂ．（２，３）
Ｃ．（２，－２３）
Ｄ．（２，２３）
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第４题图
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第５题图
５．新
考向
地域文化「2024 北京西城期中」如图所示的是利用平面
直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，
若这个坐标系分别以正东、正北方向为ｘ轴、ｙ轴
的正方向，表示金水桥的点的坐标为（１，－２），表示
本仁殿的点的坐标为（３，－１），则表示乾清门的点
的坐标是（１，３）．
６．「2024 河北唐山期中」如图所示的是某台阶的横截面，
每个台阶的高、宽分别是１和２，每个台阶拐角的
顶点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ．
（１）若以Ｃ为原点，平行于地面的直线为ｘ轴，在图
中画出ｘ轴、ｙ轴，并直接写出点Ａ，Ｄ的坐标．
（２）若以台阶拐角的顶点为原点，且有３个顶点落
在第一象限，直接写出原点的位置．
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解析 （１）建立平面直角坐标系，如图所示，Ａ（－４，
－２），Ｄ（２，１）．
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（２）原点在顶点Ｂ处．
７．「2024 湖南衡阳月考」如图，方格纸中每个小方格的边
长均为１个单位长度，若学校Ａ的坐标为（１，２），
解答以下问题：
（１）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出
图书馆Ｂ的坐标．
（２）若体育馆Ｃ的坐标为（－３，３），请在图中标出
体育馆Ｃ的位置．
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解析 （１）建立平面
直角坐标系如图所
示，Ｂ（－３，－２）．
（２）体育馆Ｃ的位
置如图所示．
᮰
6
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同．
第
三
章
位
置
与
坐
标
３７
ᑧү Ӭ
８．「2023 湖南永州期末，
」在各选项中，正方形ＡＢＣＤ
的边长为４，建立平面直角坐标系后，点Ｄ的坐标
正确的是
（Ａ）
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９．「2024 云南昆明期末，
」如图，建立平面直角坐标
系，使点Ｂ，Ｃ的坐标分别为（－３，－２）和（１，－２），则
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ中，在第二象限的点的个数是
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
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第９题图
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第１０题图
１０．「2024 山东潍坊高密期中，
」如图，在某游乐园的平
面示意图上建立平面直角坐标系，游乐园的入口
位于坐标原点Ｏ处，观鱼台位于点Ａ（６００，－８００）
处，从观鱼台出发沿射线ＯＡ前行８００ｍ到达民
俗园Ｂ，从民俗园Ｂ向右转９０°后直行６００ｍ到达
动物园Ｃ，则点Ｃ的坐标是（６００，－１８００）．
１１．
学科
特色
教材
变式「2024 湖北荆门期中，
」有一段关于古代藏
宝图的记载：“如图，从赤石向一棵杉树笔直走
去，恰好在其连线中点处向右转９０°前进，到达唐
伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”将赤石
标记为点Ａ，杉树标记为点Ｂ，洞穴标记为点Ｃ．
（１）根据这段记载，应用数学知识描述点Ｃ与线
段ＡＢ间的位置关系．
（２）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，使点
Ａ，Ｂ的坐标分别为（３，１），（３，７），点Ｃ到线段
ＡＢ的距离为４，求洞穴到赤石的距离．
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B-
ᱵᴽ
见答案册Ｄ２２
б ͞
１２．新
课标
推理能力「2025 广东深圳罗湖期末」如图１，Ａ，Ｅ两点在
直线ｌ同侧，分别过点Ａ，Ｅ作ＡＢ⊥ＢＤ，ＥＤ⊥ＢＤ，
垂足分别为点Ｂ，Ｄ，Ｃ为线段ＢＤ上一动点，连接
ＡＣ，ＥＣ．已知ＡＢ＝５，ＤＥ＝３，ＢＤ＝１５，设ＣＤ＝ｘ．
【任务一】
（１）用含ｘ的代数式表示ＢＣ的长．
（２）点Ｃ满足什么条件时，ＡＣ＋ＣＥ的值最小？并
求出最小值．
【任务二】代数式
ｘ
２＋１＋
（ｘ－３）
２＋４＝
（ｘ－０）
２＋１
２＋（ｘ－３）
２＋２
２的几何意义：如图２，建立
平面直角坐标系，点Ｐ（ｘ，０）是ｘ轴上一点，则
（ｘ－０）
２＋１
２可以看成点Ｐ与点Ａ（０，１）之间的距
离，（ｘ－３）
２＋２
２可以看成点Ｐ与点Ｂ（３，２）之间的
距离，所以原代数式的值可以看成线段ＰＡ与ＰＢ
长度之和，代数式的最小值就是ＰＡ＋ＰＢ的最小值．
（３）求代数式（ｘ＋１）
２＋９＋（４－ｘ）
２＋１的最小值．
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图１
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1
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图２
见答案册Ｄ２２
᮰
6
你不能预知明天，但你可以把握今天；你不能样样顺利，但你可以事事尽心；你不能延伸生命的长度，但你可以增
加生命的宽度．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
３８
３ 轴对称与坐标变化
ۻᆱ݆
知识点 轴对称与坐标变化的关系
１．「2025 广西大学附中期中」在平面直角坐标系中，点
Ｐ（０，５）与点Ｑ关于ｘ轴对称，则点Ｑ的坐标是
（Ｄ）
Ａ．（０，５）
Ｂ．（５，０）
Ｃ．（－５，０）
Ｄ．（０，－５）
.
.
Y
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0
２．「2024 四川绵阳中考」蝴蝶颜色
绚丽，翩翩起舞时非常美
丽，深受人们的喜爱，它的
图案具有对称美，如图，蝴
蝶图案关于ｙ轴对称，点Ｍ
的对应点为Ｍ１，若点Ｍ的坐标为（－２，－３），则点
Ｍ１的坐标为
（Ａ）
Ａ．（２，－３）
Ｂ．（－３，２）
Ｃ．（－２，３）
Ｄ．（２，３）
３．「2024 河北保定竞秀期末」将第一象限的“小旗”各点的
横坐标分别乘－１，纵坐标保持不变，得到一个新图
形，符合上述要求的选项是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
４．如图，△ＡＢＣ三个顶点的坐标分别为Ａ（－１，５），Ｂ
（－３，０），Ｃ（－４，３）．
（１）画出与△ＡＢＣ关于ｘ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写
出点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１的坐标．
（２）求出△ＡＢＣ的面积．
解析 （１）如图，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求．
Ａ１（－１，－５），Ｂ１（－３，０），Ｃ１（－４，－３）．
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（２）Ｓ△ＡＢＣ＝３× ５－１
２× １× ３－１
２× ２× ５－１
２× ２× ３＝
１５－３
２－５－３＝１１
２．
ᑧү Ӭ
５．「2025 四川成都树德中学期中，
」若点Ａ（－３，ｎ）在ｘ轴
上，则点Ｂ（ｎ－２，ｎ＋２）关于ｙ轴的对称点Ｂ′在（Ａ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
６．「2025 广东广州二中期中，
」在平面直角坐标系ｘＯｙ
中，对于任意点Ｔ（ｍ，ｎ），将点Ｔ的“元变化”定义为：
当｜ｍ｜＞｜ｎ｜时，作点Ｔ关于ｘ轴的对称点；当｜ｍ｜≤｜ｎ｜
时，作点Ｔ关于ｙ轴的对称点．根据定义，解决问题：
已知点Ｐ（３，２），Ｑ（－２，ｂ），其中ｂ＜－２，点Ｐ，Ｑ“元
变化”后的对应点是Ｐ′，Ｑ′．
（１）直接写出坐标：Ｐ′ （３，－２），Ｑ′ （２，ｂ）（Ｑ′的
坐标用含ｂ的式子表示）．
（２）若ＰＱ′＝Ｐ′Ｑ，则ｂ的值为－３．
７．「2024 山东济南稼轩学校期中，
」△ＡＢＣ在平面直角
坐标系中的位置如图所示，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在格点上．
（１）作出与△ＡＢＣ关于ｘ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写
出点Ｃ１的坐标．
（２）在ｙ轴上求作点Ｄ，使得ＡＤ＋ＢＤ的值最小，请
你直接写出Ｄ点坐标．
（３）若点Ｐ为ｘ轴正半轴上一动点，且满足△ＢＣＰ的
面积为１，请你直接写出Ｐ点坐标．
解析 （１）如图所示，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求，点Ｃ１的
坐标是（３，－２）．
（２）如图，作点Ａ关于ｙ轴的对称点Ａ′，连接ＢＡ′与ｙ轴
交于点Ｄ，此时ＡＤ＋ＢＤ的值最小，Ｄ点坐标是（０，２）．
（３）（１，０）．
᮰
6
点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｘ轴的距离为｜ｙ｜，到ｙ轴的距离为｜ｘ｜，到原点的距离为
ｘ
２＋ｙ
２．
第
三
章
位
置
与
坐
标
３９
第三章自主检测
范围：位置与坐标
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2025 河北保定高碑店期中」在平面直角坐标系中，点Ａ
（２，－１）位于
（Ｄ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
２．「2025 陕西西安铁一中学月考」如图，某一时刻，一艘货
轮与导航灯相距１０千米，我们用有序数对（北偏东
６０°，１０ｋｍ）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么
导航灯相对于货轮的位置可描述为
（Ｄ）
Ａ．（北偏东３０°，１０ｋｍ） Ｂ．（南偏东３０°，１０ｋｍ）
Ｃ．（北偏西６０°，１０ｋｍ） Ｄ．（南偏西６０°，１０ｋｍ）
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第２题图
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1
2
第３题图
３．「2025 广东揭阳期中」如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝
人已经找到了Ａ（３，２）和Ｂ（３，－２）两个标志点，并且
知道藏宝地点的坐标为（０，０），藏宝地点可能是
（Ｄ）
Ａ．Ｍ点
Ｂ．Ｎ点
Ｃ．Ｐ点
Ｄ．Ｑ点
４．「2024 湖南益阳期末」平面直角坐标系中，已知点
Ａ（２，３），Ｂ（２，１），经过点Ａ的直线ａ∥ｘ轴，点Ｃ是直
线ａ上的一个动点，当线段ＢＣ的长度最短时，点Ｃ的
坐标为
（Ｄ）
Ａ．（０，３）
Ｂ．（－１，－２）
Ｃ．（－２，３）
Ｄ．（２，３）
５．「2025 广东清远清新三中期中」如图，每个小方格的边长
为１个单位，若Ａ点的坐标为（－３，１），点Ｂ在格点
上，点Ｃ与点Ｂ关于ｙ轴对称，则点Ｃ的坐标是
（Ｄ）
Ａ．（－１，－２）
Ｂ．（－１，２）
Ｃ．（－２，１）
Ｄ．（１，－２）
"
#
第５题图
0
$
"
#
Z
Y
第６题图
６．「2024 安徽合肥四十五中期中」如图，平面直角坐标系中
Ａ（－４，０），Ｃ（１，０），若ＡＢ＝ＡＣ，且点Ｂ在ｙ轴正半
轴上，则点Ｂ的坐标为
（Ａ）
Ａ．（０，３）
Ｂ．（３，０）
Ｃ．（２，０）
Ｄ．（０，２）
７．新
考向
规律探究题「2025 安徽宣城期中」如图，动点Ｐ
在平面直角坐标系中按箭头所示的路径
运动，第１次从原点运动到点（－１，１），第２次运动
到点（－２，０），第３次运动到点（－３，２），……，按这
样的运动规律，经过第２０２５次运动后，动点Ｐ的
坐标是
（Ｂ）
Y
Z
0
ć
Ａ．（－２０２５，０）
Ｂ．（－２０２５，１）
Ｃ．（－２０２５，２）
Ｄ．（－２０２６，１）
二、填空题（每小题５分，共２０分）
８．「2024 贵州贵阳二十八中模拟」某小区的圆形花园中有两
Y
Z
"
#
0
条互相垂直的小路，园丁在花
园中栽种了８棵桂花树，如图
所示．Ａ，Ｂ两棵桂花树关于纵
向小路对称，在以两条小路为
坐标轴的平面直角坐标系内，
若点Ａ的坐标为（－６，２），则点
Ｂ的坐标为（６，２）．
９．「2024 山东滨州邹平期末」已知平面直角坐标系中，点Ｐ
（ａ－７，ａ＋２）在第二象限，且它到ｘ轴的距离是它到ｙ
轴距离的２倍，则ａ的值为４．
᮰
6
人生是一场旅行，重要的不是目的地，而是沿途的风景以及看风景时的心情．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４０
１０．新
考向
数学文化「2024 吉林松原宁江期末」七巧板是中国传统
智力玩具，它由七块板组成，可以通过不同的拼
法拼成人物、动物、建筑等多种图形．如图所示的
是由七巧板拼成的“小船”，若点Ａ的坐标为（－２，
１），点Ｂ的坐标为（０，－１），则点Ｃ的坐标为
（－３，－２）．
"
$
#
第１０题图
"
%
0
#
$
Y
Z
第１１题图
１１．「2024 江西科技学院附中期中」如图，在平面直角坐标系
中，点Ａ，Ｂ，Ｄ的坐标分别为（４，０），（０，２），（２，０），
点Ｐ从点Ｂ出发，沿Ｂ→Ｃ→Ａ运动，速度为每秒１
个单位长度；点Ｑ以每秒２个单位长度的速度从点
Ｄ出发，在ＤＡ上往返运动（两个点同时出发，当点
Ｐ到达点Ａ时，两点同时停止运动）．设运动时间为
ｔ秒，在运动过程中，当ＰＱ∥ＯＢ时，点Ｐ的坐标为
（２，２）或１０
３，２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 或（４，１）．
三、解答题（共４５分）
１２．「2024 浙江台州临海东塍中学期中」（１０分）已知点
Ａ（２ｍ－１，ｍ＋３），试根据下列条件求出点Ａ的
坐标．
（１）点Ａ在ｘ轴上．
（２）点Ａ的横坐标比纵坐标大２．
（３）点Ａ到ｙ轴的距离为３．
见答案册Ｄ２４
１３．「2025 重庆珊瑚初级中学校期中」（１５分）四边形ＡＢＣＤ
在平面直角坐标系中的位置如图所示，点Ａ，Ｂ，
Ｃ，Ｄ均在格点上．
（１）写出点Ａ，Ｂ的坐标．
（２）点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的纵坐标保持不变，横坐标分别
乘－１，依次得到点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，用线段顺次连
接起来，画出四边形ＥＦＧＨ，则四边形ＥＦＧＨ
与四边形ＡＢＣＤ有怎样的位置关系？
（３）求四边形ＥＦＧＨ的面积．
$
#
"
%
0
Y
Z
&
'
(
)
见答案册Ｄ２４
１４．新
考向
存在性探究题「2024 广西南宁一中期中」（２０分）如图，在
平面直角坐标系中，已知Ａ（ａ，０），Ｂ（ｂ，０），其中ａ，
ｂ满足｜ａ＋２｜＋（ｂ－４）
２＝０．
（１）求ａ，ｂ的值．
（２）如果在第三象限内有一点Ｍ（－３，ｍ），请用含
ｍ的式子表示△ＡＢＭ的面积．
（３）在（２）的条件下，当ｍ＝－４时，在ｙ轴上是否
存在点Ｐ，使得△ＡＢＰ的面积与△ＡＢＭ的面
积相等？若存在，请求出点Ｐ的坐标；若不存
在，请说明理由．
0
"
#
.
Y
Z
解析 （１）因为｜ａ＋２｜＋（ｂ－４）
２＝０，所以ａ＋２＝０，
ｂ－４＝０，所以ａ＝－２，ｂ＝４．
（２）过点Ｍ作ＭＥ⊥ｘ轴于点Ｅ（图略），
易知Ａ（－２，０），Ｂ（４，０），所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝４，所以
ＡＢ＝６，因为在第三象限内有一点Ｍ（－３，ｍ），所
以ＭＥ＝｜ｍ｜＝－ｍ，
所以Ｓ△ＡＢＭ＝１
２ＡＢ·ＭＥ＝１
２×６×（－ｍ）＝－３ｍ．
（３）存在．当ｍ＝－４时，Ｓ△ＡＢＭ＝－３×（－４）＝１２，
设Ｐ（０，ｐ），则ＯＰ＝｜ｐ｜，
所以Ｓ△ＡＰＢ＝１
２ＡＢ·ＯＰ＝１
２×６× ｜ｐ｜＝３｜ｐ｜，
所以３｜ｐ｜＝１２，解得ｐ＝±４，所以Ｐ（０，４）或（０，－４）．
᮰
6
函数关系有三法，列表解析图象法．表格表示列表法，数学式子解析式，坐标平面图象法．
第
四
章
一
次
函
数
４１
第四章
一次函数
１ 函数
ۻᆱ݆
知识点１ 函数的定义
１．「2025 辽宁锦州期中」下列式子中，ｙ不是ｘ的函数的是
（Ａ）
Ａ．ｙ
２＝３ｘ
Ｂ．ｙ＝ｘ
Ｃ．ｙ＝２ｘ＋１
Ｄ．ｙ＝ｘ
２
２．「2024 吉林长春外国语学校期末」下列四个图象中，ｙ是ｘ
的函数的是
（Ｄ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
知识点２ 函数的表示方法
３．「2024 江西中考」将常温中的温度计插入一杯６０℃的
热水（恒温）中，温度计的读数ｙ（℃）与时间ｘ（ｍｉｎ）的
关系用图象可近似表示为
（Ｃ）
YNJO
Zč
0
Ａ
YNJO
Zč
0
Ｂ
YNJO
Zč
0
Ｃ
YNJO
Zč
0
Ｄ
４．「2025 陕西西安高陵期中」高山地区海拔高，空气稀薄，
所以大气压低于标准大气压，水的沸点随气压的减
小而降低．下表是４个城市的海拔及水的沸点统计
情况，请根据表中的数据，写出ｙ与ｘ的关系式：
ｙ＝１００－ｘ
３００．
城市
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
海拔ｘ／米
０
３００
６００
１５００
沸点ｙ／℃
１００
９９
９８
９５
知识点３ 自变量的取值范围及函数值
５．「2024 广东茂名茂南期中」在ｙ＝２ｘ－３中，当ｙ＝３时，ｘ
的值为
（Ａ）
Ａ．３
Ｂ．－３
Ｃ．９
Ｄ．－９
６．「2025 浙江绍兴新昌期末」函数ｙ＝
１
２ｘ－５中，自变量ｘ的
取值范围是ｘ≠５
２．
７．「2025 浙江杭州期中」已知跳伞运动员在跳离飞机打
开降落伞前，下降的高度ｄ（米）和下降的时间ｔ
（秒）之间满足关系式ｄ＝５ｔ
２（不计空气阻力），则跳
伞运动员在跳离飞机打开降落伞前下降１１２５米
需要的时间为１５秒．
ᑧү Ӭ
８．「2024 湖北恩施州利川模拟，
」函数ｙ＝
ｘ＋３
ｘ－２中，自
变量ｘ的取值范围是
（Ａ）
Ａ．ｘ≥－３且ｘ≠２
Ｂ．ｘ≥２
Ｃ．ｘ≤３且ｘ≠－２
Ｄ．ｘ≤－２且ｘ≠－３
９．「2023 黑龙江哈尔滨中考，
」
一条小船沿直线从Ａ码
头向Ｂ码头匀速前进，
到达Ｂ码头后，停留一
段时间，然后沿原路匀速返回Ａ码头．在整个过程
中，这条小船与Ｂ码头的距离ｘ（单位：ｍ）与所用
时间ｔ（单位：ｍｉｎ）之间的关系如图所示，则这条小
船从Ａ码头到Ｂ码头的速度和从Ｂ码头返回Ａ码
头的速度分别为
（Ｄ）
Ａ．１５ｍ／ｍｉｎ，２５ｍ／ｍｉｎＢ．２５ｍ／ｍｉｎ，１５ｍ／ｍｉｎ
Ｃ．２５ｍ／ｍｉｎ，３０ｍ／ｍｉｎＤ．３０ｍ／ｍｉｎ，２５ｍ／ｍｉｎ
１０．跨
生物
光合作用「2024 山西忻州期末，
」植物的光合作用受
多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用
的氧气释放速度ｖ（单位：毫克／小时）与光照强度Ｌ
（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图１所示
的实验装置．根据实验结果，绘制了１５℃和２５℃时，
氧气释放速度ｖ与光照强度Ｌ之间的关系图象（如
图２），则下列说法正确的是①②（填序号）．
᮰
6
相信自己，跟随自己的心灵和直觉，不要盲从信条，不要盲目攀比，你就会是最幸福的．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４２
A%ٵ
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$04۞"
图１
W !ٷᄻᬢ
č
č
- ߾ٷ
图２
①当Ｌ＞６时，该绿色植物２５℃环境下的氧气释
放速度比１５℃环境下的要快．
②当Ｌ＝８时，该绿色植物２５℃环境下比１５℃环境
下经过２小时多释放２０毫克的氧气．
③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度
越慢．
１１．跨
物理
弹簧
「
」某班同学在物理课上探究弹簧的长
度与所受外力之间的关系时，部分实验数据如
下表：
砝码的
质量
ｘ／ｇ
０
５０
１００１５０２００２５０３００４００５００
弹簧的
长度
ｙ／ｃｍ
２
３
４
５
６
７
７．５７．５７．５
（１）ｙ是ｘ的函数吗？为什么？
（２）当ｘ＝０时，函数值是多少？它的实际意义是
什么？
（３）当ｘ≥３００时，弹簧的长度保持不变．请你结合
生活经验，解释出现这种现象的可能原因．
解析 （１）ｙ是ｘ的函数．理由：因为在这个变化
过程中，对于ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确
定的值与之对应，所以ｙ是ｘ的函数．
（２）当ｘ＝０时，ｙ＝２，它的实际意义是弹簧的原长是
２ｃｍ．
（３）原因可能是弹簧所受外力超过了弹簧在弹性
限度内所能承受的最大拉力．
１２．「2025 安徽蚌埠怀远期中，
」如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ
＝１５，高ＡＤ＝８．动点Ｃ′由点Ｃ沿ＣＢ向点Ｂ移动
（不与点Ｂ重合）．设ＣＣ′的长为ｘ，△ＡＢＣ′的面积
为Ｓ．
（１）请写出Ｓ与ｘ之间的函数关系式，并指出自
变量ｘ的取值范围．
（２）当ｘ分别取１０，５，３时，请计算出相应的Ｓ
的值．
"
#
%
$ĉ$
解析 （１）因为ＣＣ′的长为ｘ，所以ＢＣ′＝１５－ｘ，
所以Ｓ＝１
２×（１５－ｘ）×８＝６０－４ｘ（０≤ｘ＜１５）．
（２）当ｘ＝１０时，Ｓ＝６０－４×１０＝２０．
当ｘ＝５时，Ｓ＝６０－４×５＝４０．
当ｘ＝３时，Ｓ＝６０－４×３＝４８．
б ͞
１３．新
课标
抽象能力「2024 山东泰安泰山期末」在某次大型活动
中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现
场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程
中速度相同．无人机的飞行高度ｈ（米）与操控无
人机的时间ｔ（分钟）之间的关系如图所示，根据
图象回答下列问题：
（１）无人机在７５米高的空中停留的时间是多久？
（２）图中ａ和ｂ的值是多少？
（３）求第１４分钟时无人机的飞行高度．
I1
B
0
UܲI
C
解析 （１）无人机在７５米高的空中停留的时间
是１２－７＝５（分钟）．
（２）无人机上升的速度为７５－５０
７－６＝２５（米／分钟），
则ａ＝５０
２５＝２，ｂ＝１２＋７５
２５＝１５．
（３）７５－（１４－１２）×２５＝２５（米），
因此第１４分钟时无人机的飞行高度是２５米．
᮰
6
成功的秘诀就是四个简单的字：多一点点．凡事比别人多一点点！多一点努力，多一点自律，多一点实践．多一点点
就能创造奇迹！
第
四
章
一
次
函
数
４３
２ 认识一次函数
第1 课时 均匀变化
ۻᆱ݆
知识点 变量的均匀变化
１．「2024 山东菏泽期末」油箱中有油２０升，油从管道中
匀速流出，１００分钟流完．油箱中剩余油量Ｑ（升）
与流出的时间ｔ（分钟）之间的函数关系式是
（Ｃ）
Ａ．Ｑ＝２０－５ｔ
Ｂ．Ｑ＝１
５ｔ＋２０
Ｃ．Ｑ＝２０－１
５ｔ
Ｄ．Ｑ＝１
５ｔ
２．「2024 广东深圳期中」为了探究一种皮球的弹跳高度
与下落高度之间的关系，通过实验得到下表中的数
据（单位：ｃｍ）：
下落高度
４０
５０
８０
１００
１５０
…
弹跳高度
２０
２５
４０
５０
７５
…
若该皮球的下落高度为１８０ｃｍ，则对应的弹跳高
度为
（Ａ）
Ａ．９０ｃｍ
Ｂ．８５ｃｍ
Ｃ．８０ｃｍ
Ｄ．１００ｃｍ
３．已知摄氏温度ｘ（℃）与华氏温度ｙ（℉）之间存在
下列关系：
摄氏温度ｘ／℃
０
１０
２０
３０
４０
５０
…
华氏温度ｙ／℉
３２
５０
６８
８６
１０４
１２２
…
（１）根据表中的数据，ｙ随着ｘ的增加而增加，变化是
均匀的吗？
（２）根据表中提供的信息，写出ｙ与ｘ之间的函数
关系式．
解析 （１）观察题中表格数据可知摄氏温度每增
加１０℃，华氏温度增加１８℉，因此，变化是均
匀的．
（２）摄氏温度每增加１０℃，华氏温度增加１８℉，
故当摄氏温度增加１℃时，华氏温度增加１．８℉，
由摄氏温度为０℃时，华氏温度为３２℉，可知ｙ与
ｘ之间的函数关系式为ｙ＝１．８ｘ＋３２．
ᑧү Ӭ
４．「2024 重庆南开中学月考，
」为了提高学生劳动能
力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”的活动．初一
某班栽种红薯幼苗，栽种幼苗的总棵数ｙ与参与活
动的人数ｘ的关系如表所示：
ｘ
１
２
３
４
５
…
ｙ
４
８
１２
１６
２０
…
观察表中数据可知，该班有
８
人参与活动时，栽
种幼苗的总棵数为３２．
５．「2024 山东青岛期中，
」科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的
次数与室外温度（华氏温度，单位：℉）的关系做了如
下记录，如果这种关系不变，则当室外温度为８８℉
时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是１９２．
室外温度／℉
７６
７８
８０
８２
８４
…
每分钟鸣
叫的次数
１４４
１５２
１６０
１６８
１７６
…
６．
学科
特色
教材
变式「2025 山西晋中期中，
」某兴趣小组通过实验
估计某液体的沸点，在标准大气压下，经过测量得
到几组数据如下：
加热时间ｔ／ｓ
１０
２０
３０
４０
液体温度ｙ／℃
１８
２８
３８
４８
（１）根据兴趣小组得到的数据，在如图所示的平面
直角坐标系中描出（ｔ，ｙ）对应的点．
（２）估计加热２２ｓ时的液体温度，并说明理由．
（３）试写出液体温度ｙ与加热时间ｔ的关系式．
（４）若加热３ｍｉｎ时该液体沸腾，求该液体的沸点．
UT
Zč
0
见答案册Ｄ２５
᮰
6
学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，那就必定会摔下来了．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４４
第2 课时 一次函数与正比例函数
ۻᆱ݆
知识点１ 一次函数与正比例函数的定义
１．「2025 浙江杭州萧山月考」下列函数中，是正比例函数
的是
（Ａ）
Ａ．ｙ＝２ｘ
Ｂ．ｙ＝２
３ｘ＋２０
Ｃ．ｔ＝１５０
ｖ
Ｄ．ｙ＝２（３－ｘ）
２．「2025 广东河源期中」下列函数中，是一次函数的是
（Ｃ）
①ｙ＝３ｘ；②ｙ＝ｘ
２＋２；③ｙ＝２ｘ＋１；④ｙ＝４
ｘ．
Ａ．②④
Ｂ．②③
Ｃ．①③
Ｄ．①②
３．对于函数ｙ＝（ｋ－３）ｘ＋ｋ＋３，当ｋ＝－３
时，它是正
比例函数；当ｋ≠３时，它是一次函数．
４．已知ｙ＋２与ｘ－１成正比例，且ｘ＝３时，ｙ＝４．
（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式．
（２）当ｙ＝１时，求ｘ的值．
解析 （１）设ｙ＋２＝ｋ（ｘ－１）（ｋ≠０），把ｘ＝３，ｙ＝４代
入，得４＋２＝ｋ（３－１），解得ｋ＝３，则函数关系式是ｙ＋２＝
３（ｘ－１），即ｙ＝３ｘ－５．
（２）当ｙ＝１时，３ｘ－５＝１，解得ｘ＝２．
知识点２ 根据实际问题列一次函数关系式
５．「2024 山东济南期中」为打造“比、学、赶、帮、超”良好的
班风和浓厚的学风，白老师为８班孩子们购买了
５包卡通橡皮和ｘ包表扬信，卡通橡皮每包１２元，表
扬信每包３０元，共花费ｙ元，则关系式为
（Ｄ）
Ａ．ｙ＝５ｘ＋６
Ｂ．ｙ＝１２ｘ＋３０
Ｃ．ｙ＝８ｘ＋１２
Ｄ．ｙ＝３０ｘ＋６０
６．
学科
特色
教材
变式求各小题中ｙ与ｘ之间的函数表达式，并判
断ｙ是不是ｘ的一次函数，是不是ｘ的正比例函数．
（１）某农场种植玉米，每平方米种玉米６株，玉米
株数ｙ与种植面积ｘ（ｍ
２）之间的关系．
（２）正方形的面积ｙ与周长ｘ之间的关系．
（３）等腰三角形ＡＢＣ的周长为１６ｃｍ，底边ＢＣ的长
为ｙｃｍ，腰ＡＢ的长为ｘｃｍ，ｙ与ｘ之间的关系．
解析 （１）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝６ｘ，ｙ是ｘ的
正比例函数，也是ｘ的一次函数．
（２）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝
１
４ｘ
æ
è
ç
ö
ø
÷
２
＝１
１６ｘ
２，ｙ不是
ｘ的一次函数，也不是ｘ的正比例函数．
（３）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝１６－２ｘ，ｙ是ｘ的一次
函数，不是ｘ的正比例函数．
７．某工艺厂接到一个生产Ａ，Ｂ两种工艺品
的任务．已知该工艺厂每天生产Ａ，Ｂ两种
工艺品共６０００件，生产Ａ工艺品和Ｂ工艺品每件
的成本分别为２．５元和３．５元．设每天生产ｘ件Ａ
工艺品，每天的生产成本为ｙ元．
（１）设ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，求ｋ，ｂ的
值，并说明ｋ和ｂ的实际意义．
（２）若每天生产Ｂ工艺品４０００件，则每天的生产
成本是多少元？
解析 （１）由题意得ｙ＝２．５ｘ＋３．５（６０００－ｘ）＝－ｘ＋
２１０００，∴ｋ＝－１，其实际意义为每天每多生产１件
Ａ工艺品，该厂每天的生产成本减少１元，ｂ＝
２１０００，其实际意义为该厂每天的生产成本的最大
值为２１０００元．
（２）ｘ＝６０００－４０００＝２０００，代入ｙ＝－ｘ＋２１０００，
得ｙ＝－２０００＋２１０００＝１９０００．
因此，每天的生产成本是１９０００元．
ᑧү Ӭ
８．「2024 湖北孝感期末，
」阅读图中信息，对于琳琳与
梅梅两人的说法，判断正确的是
（Ａ）
(L᭛
(C᭛
̬ ܩZ LY CUᑿ
Y ߌᬢUܩZۻ
ᄻUҌ6(ܦϬʹU
ᑦᑦ
))
ᶱᶱ
Ａ．琳琳对
Ｂ．梅梅对
Ｃ．琳琳与梅梅都对
Ｄ．琳琳与梅梅都不对
᮰
6
一次函数是人类思维的产物，属意识范畴，它所研究的是客观事物在变化过程中量与量之间的关系．
第
四
章
一
次
函
数
４５
９．跨
物理
温度
「2024 安徽合肥一六八中学月考，
」某食用油
的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过１００
℃的温度计测算出这种食用油的沸点．在老师的指
导下，他在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，
每隔１０ｓ测量一次油温，得到的数据记录如下：
时间ｔ／ｓ
０
１０
２０
３０
４０
油温ｙ／℃
１０
３０
５０
７０
９０
经老师介绍，在这种食用油沸腾前，油温ｙ与加热时
间ｔ符合一次函数关系，当加热１１０ｓ时，油沸腾了，
由此可推算出这种食用油的沸点为
（Ｄ）
Ａ．２００℃
Ｂ．２１０℃
Ｃ．２２０℃
Ｄ．２３０℃
１０．「2025 江苏盐城射阳实验中学期中，
」已知函数ｙ＝
（ｍ－２）ｘ
３－｜ｍ｜＋ｍ＋７．
（１）当ｍ为何值时，ｙ是ｘ的一次函数？
（２）若函数是ｘ的一次函数，则ｘ为何值时，ｙ的
值为３？
解析 （１）由ｙ＝（ｍ－２）ｘ
３－｜ｍ｜＋ｍ＋７是ｘ的一次函
数，得３－｜ｍ｜＝１，ｍ－２≠０，解得ｍ＝－２，所以当ｍ
＝－２时，ｙ＝（ｍ－２）ｘ
３－｜ｍ｜＋ｍ＋７是ｘ的一次函数．
（２）由（１）易得函数为ｘ的一次函数时，解析式为
ｙ＝－４ｘ＋５，
当ｙ＝３时，３＝－４ｘ＋５，解得ｘ＝１
２，
所以当ｘ＝１
２时，ｙ的值为３．
１１．新
考向
数学文化「2024 山西晋中期末，
」在“制作计时器”
项目式学习中，小明利用漏壶计时原理制作了如
图所示的计时器模型：Ａ是一个高为６０ｃｍ的圆
柱形玻璃容器，Ｂ是塑料制作的底托，Ｃ为轻质塑
料标尺，Ｄ为固定于容器盖口处的指示标识．让水
龙头匀速滴水，经过２小时，标尺显示底托高度由
０ｃｍ上升到１２ｃｍ，其中底托的高度ｙ（ｃｍ）是滴
水时间ｘ（小时）的正比例函数．
（１）求ｙ与ｘ的函数关系式．
（２）该装置最多可计时多长时间（底托厚度忽略
不计）？
"
#
$
!T
%
解析 （１）由题意，可知经过２小时，底托的高度
由０ｃｍ上升到１２ｃｍ，
∴经过１小时，底托的高度上升６ｃｍ，
∴ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝６ｘ．
（２）将ｙ＝６０代入ｙ＝６ｘ，得６０＝６ｘ，解得ｘ＝１０，
∴该装置最多可计时１０小时．
б ͞
１２．新
课标
抽象能力「2025 河北保定高碑店期中」科学家通过实验
发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而
变化．通过查阅资料发现，声音在空气中的传播速
度和气温存在如下关系．
气温Ｔ／℃
０
１
２
３
４
５
声音在空气中
的传播速度
ｖ／（ｍ／ｓ）
３３１３３１．６３３２．２３３２．８３３３．４３３４
（１）在这个变化过程中，气温Ｔ（℃）是自变量．
（２）声音在空气中的传播速度ｖ（ｍ／ｓ）与气温Ｔ
（℃）的关系式为ｖ＝０．６Ｔ＋３３１．
（３）某日的气温为１５℃，小乐看到烟花燃放５ｓ
后才听到声响，则小乐与烟花燃放所在地大
约相距多远？
解析 （１）自变量．
（２）ｖ＝０．６Ｔ＋３３１．
详解：由题中表格可知声音在空气中的传播速度
ｖ（ｍ／ｓ）随着气温Ｔ（℃）的变化而变化，气温每升
高１℃，声音在空气中的传播速度增加０．６ｍ／ｓ，
由此可知声音在空气中的传播速度ｖ（ｍ／ｓ）与气
温Ｔ（℃）的关系式为ｖ＝０．６Ｔ＋３３１．
（３）由（２）可知ｖ＝０．６Ｔ＋３３１，当Ｔ＝１５时，ｖ＝０．６×
１５＋３３１＝３４０，３４０×５＝１７００（ｍ）．
因此，小乐与烟花燃放所在地大约相距１７００ｍ．
᮰
6
若对待生活中的每一天都像对待生命的最后一天，人生定会更精彩．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４６
第3 课时 用一次函数解决计费问题
ۻᆱ݆
知识点 利用一次函数解决计费问题
１．「2024 安徽百校联考」小李从安徽通过快递给在广东
的亲人邮寄土特产，寄快递时，快递公司规定：不超
过１千克时，收费１２元；超过１千克时，超出部分
按每千克４元加收费用．若小李给亲人邮寄了ｘ（ｘ＞
１）千克土特产，则邮寄的费用ｙ（元）与ｘ（千克）之
间的函数关系式为
（Ｃ）
Ａ．ｙ＝１２ｘ
Ｂ．ｙ＝８ｘ＋８
Ｃ．ｙ＝４ｘ＋８
Ｄ．ｙ＝４ｘ＋１２
２．「2025 上海静安期中」某风景区集体门票的收费标准是
２５人以内（含２５人），每人１０元；超过２５人，超过的
部分每人５元．当人数超过２５时，请写出应收门票
费用ｙ（元）与人数ｘ之间的函数关系式：ｙ＝５ｘ
＋１２５．
３．「2024 四川南充月考」七年级某班需要购买一种笔记
本，已知总费用ｍ（单位：元）和购买笔记本数量ｎ
（单位：本）之间的函数关系式为ｍ＝
２．４ｎ（ｎ≤１００），
２．２ｎ（ｎ＞１００），
{
如果需要购买１００本笔记本，怎样
购买能省钱？此时ｍ的值为２２２．２．
４．某校将举办秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒
乓球拍和乒乓球，一副球拍标价８０元，一盒乒乓球
标价２５元．体育用品商店提供了两种优惠方案，具
体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓
球按标价出售；
方案乙：按标价打九折出售．
学校欲购买乒乓球拍１０副，乒乓球ｘ（ｘ≥１０）盒．
（１）请直接写出两种优惠方案实际付款金额ｙ甲
（元）、ｙ乙（元）与ｘ（盒）之间的函数关系式．
（２）如果学校需要购买１５盒乒乓球，哪种优惠方
案更省钱？
解析 （１）由题意得ｙ甲＝１０×８０＋２５（ｘ－１０）＝２５ｘ＋
５５０，ｙ乙＝２５×０．９ｘ＋８０×０．９×１０＝２２．５ｘ＋７２０．
（２）当ｘ＝１５时，ｙ甲＝２５×１５＋５５０＝９２５，
ｙ乙＝２２．５×１５＋７２０＝１０５７．５，
∵９２５＜１０５７．５，∴选择方案甲更省钱．
５．「2025 陕西宝鸡期中」我国居民个人劳务报酬所得税
预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过８００
元的，预扣预缴税款为０元；每次收入超过８００元
但不超过４０００元的，预扣预缴税款＝（每次收入－
８００）×２０％．如某人取得劳务报酬２０００元，他这笔
所得的预扣预缴税款为（２０００－８００）× ２０％＝
２４０元．
（１）当每次收入超过８００元但不超过４０００元时，
写出劳务报酬所得税预扣预缴税款ｙ（元）与每
次收入ｘ（元）之间的关系式．
（２）某人某次取得劳务报酬３５００元，他这笔所得
的预扣预缴税款为多少元？
（３）如果某人某次预扣预缴税款为６００元，那么此
人这次取得的劳务报酬是多少元？
解析 （１）ｙ＝（ｘ－８００）×２０％＝０．２ｘ－１６０．
（２）当ｘ＝３５００时，ｙ＝０．２×３５００－１６０＝５４０，
所以他这笔所得的预扣预缴税款为５４０元．
（３）因为０．２×４０００－１６０＝６４０，６００＜６４０，所以此人
这次取得的劳务报酬低于４０００元．
令０．２ｘ－１６０＝６００，解得ｘ＝３８００．
故此人这次取得的劳务报酬是３８００元．
ᑧү Ӭ
６．「2025 重庆复旦中学教育集团期中，
」某停车场的收费
标准如下，若一辆汽车的停车费为２２元，那么停车
时间可能是
（Ｄ）
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ŗBDᄻᬢUBD+Fܲ ᄻᬢᩢBٯ
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Ａ．８∶５５～１１∶０５
Ｂ．７∶４５～１２∶２５
Ｃ．９∶２０～１３∶２５
Ｄ．１２∶２５～１５∶３５
７．「2024 河北沧州期末，
」甲、乙两个体育用品专卖店
的优惠活动如下，设购买体育用品的原价总额为ｘ
᮰
6
人生是分段函数，一段又一段，看似断了层，却又相连，我们的每一天都上演着一段段的喜与悲，可它们却被时间
给紧紧地结合在一起了．
第
四
章
一
次
函
数
４７
元，实际付款金额分别为ｙ甲元、ｙ乙元．对于结论Ⅰ，
Ⅱ，判断正确的是
（Ａ）
甲店：所有商品按原价打八折出售；
乙店：一次性购买商品总额不超过２００元时，按原价
付款；超过２００元时，２００元部分无优惠，超过２００元
的部分享受七折优惠．
结论Ⅰ：当ｘ＞２００时，ｙ乙与ｘ之间的函数解析式为
ｙ＝０．７ｘ＋６０；
结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的
原价总额相同且实际付款相差２０元时，ｘ的值为
１００或８００．
Ａ．只有结论Ⅰ正确
Ｂ．只有结论Ⅱ正确
Ｃ．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
Ｄ．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确
８．「2025 广东江门培英中学月考，
」为了保护
水资源，提倡节约用水，某城市对居民生
活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过１２ｍ
３
３元／ｍ
３
超过１２ｍ
３但不超过１８ｍ
３的部分
６元／ｍ
３
超过１８ｍ
３的部分
９元／ｍ
３
（１）若Ａ户居民本月用水量为１６ｍ
３，求Ａ户居民
本月的水费为多少元．
（２）设每户每月用水量为ｘｍ
３，水费为ｙ元，求ｙ关
于ｘ的函数关系式．
（３）若Ｂ户居民本月的水费为５４元，求Ｂ户居民
本月用水量．
解析 （１）Ａ户居民本月的水费为１２×３＋（１６－１２）
×６＝６０（元）．
（２）当０≤ｘ≤１２时，ｙ＝３ｘ，
当１２＜ｘ≤１８时，ｙ＝３×１２＋６×（ｘ－１２）＝６ｘ－３６，
当ｘ＞１８时，ｙ＝３×１２＋６×（１８－１２）＋９×（ｘ－１８）＝９ｘ－９０，
故ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝
３ｘ（０≤ｘ≤１２），
６ｘ－３６（１２＜ｘ≤１８），
９ｘ－９０（ｘ＞１８）．
ì
î
í
ïï
ïï
（３）已知Ｂ户居民本月的水费为５４元，
当ｘ＝１２时，ｙ＝３ｘ＝３×１２＝３６，
当ｘ＝１８时，ｙ＝６×１８－３６＝７２，３６＜５４＜７２，
所以Ｂ户居民本月用水量大于１２ｍ
３且小于
１８ｍ
３，
令６ｘ－３６＝５４，解得ｘ＝１５．
故Ｂ户居民本月用水量为１５ｍ
３．
б ͞
９．新
课标
运算能力「2024 河北石家庄四十一中模拟」为了倡导绿色
低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采
取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家７月份用电
量为２８０千瓦时，缴纳电费１６４元．
第一档
月用电量１８０千瓦时以下（含１８０千瓦时），
每千瓦时价格０．５５元
第二档
月用电量１８０千瓦时至３００千瓦时的部分（含
３００千瓦时），每千瓦时比第一档提价ａ元
第三档
月用电量３００千瓦时以上的部分，每千瓦时
比第一档提价０．３０元
（１）求ａ的值．
（２）设某户每月用电量为ｘ千瓦时，应缴纳电费ｙ
元，求ｙ与ｘ的函数关系式．
（３）某户８月份的电费为１９４元，求该户８月份的
用电量．
解析 （１）由题意得１８０×０．５５＋（２８０－１８０）×（０．５５＋
ａ）＝１６４，解得ａ＝０．１．
（２）①当０≤ｘ≤１８０时，ｙ＝０．５５ｘ．
②当１８０＜ｘ≤３００时，ｙ＝１８０×０．５５＋（ｘ－１８０）×（０．５５＋
０．１）＝０．６５ｘ－１８．
③当ｘ＞３００时，ｙ＝１８０×０．５５＋（３００－１８０）×（０．５５＋
０．１）＋（ｘ－３００）×（０．５５＋０．３０）＝０．８５ｘ－７８，所以ｙ与ｘ
的函数关系式为ｙ＝
０．５５ｘ（０≤ｘ≤１８０），
０．６５ｘ－１８（１８＜ｘ≤３００），
０．８５ｘ－７８（ｘ＞３００）．
ì
î
í
ïï
ïï
（３）当ｘ＝３００时，ｙ＝０．６５×３００－１８＝１７７＜１９４，
故该用户８月份用电量大于３００千瓦时，
令０．８５ｘ－７８＝１９４，
解得ｘ＝３２０．
故该户８月份的用电量为３２０千瓦时．
᮰
6
“指点江山，激扬文字”是一种豪迈的潇洒，“天生我材必有用”是一种自信的潇洒．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
４８
３ 一次函数的图象
第1 课时 正比例函数的图象及其有关性质
ۻᆱ݆
知识点１ 正比例函数的图象
１．「2024 四川德阳中考」正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象
如图所示，则ｋ的值可能是
（Ａ）
0
Y
Z
Ａ．１
２
Ｂ．－１
２
Ｃ．－１
Ｄ．－１
３
２．
学科
特色
教材
变式若点Ａ（－４，ｍ）在正比例函数ｙ＝－１
２ｘ的图象
上，则ｍ的值是
（Ａ）
Ａ．２
Ｂ．－２
Ｃ．８
Ｄ．－８
３．「2025 上海杨浦月考」如果正比例函数ｙ＝ｍｘ
ｍ
２－３的图象
经过第二、四象限，那么ｍ的值是－２．
４．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：ｙ
＝－１
２ｘ；ｙ＝－ｘ；ｙ＝－３ｘ．
见答案册Ｄ２７
５．「2024 江西赣州期末改编」已知函数ｙ＝（２ｍ＋６）ｘ＋ｍ－３
的图象经过原点．
（１）求ｍ的值．
（２）试判断点（－３，－３７）是否在此函数图象上，并
说明理由．
解析 （１）∵函数ｙ＝（２ｍ＋６）ｘ＋ｍ－３的图象经过原
点，∴当ｘ＝０时，ｙ＝０＋ｍ－３＝０，解得ｍ＝３．
（２）点（－３，－３７）不在函数图象上，理由：由ｍ＝３
得ｙ＝１２ｘ，当ｘ＝－３时，ｙ＝－３×１２＝－３６≠－３７，∴点
（－３，－３７）不在函数图象上．
知识点２ 正比例函数的性质
６．
学科
特色多解法「2023 四川成都二中月考」若点Ａ（－５，ｙ１）和点
Ｂ（－６，ｙ２）都在正比例函数ｙ＝－９ｘ的图象上，则ｙ１
与ｙ２的大小关系是
（Ａ）
Ａ．ｙ１＜ｙ２
Ｂ．ｙ１＞ｙ２
Ｃ．ｙ１＝ｙ２
Ｄ．无法确定
７．关于正比例函数ｙ＝－１
４ｘ，下列结论不正确的是（Ｃ）
Ａ．图象经过原点
Ｂ．ｙ随ｘ的增大而减小
Ｃ．点２，１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 在函数图象上
Ｄ．图象经过第二、四象限
８．下列正比例函数中，ｙ的值随着ｘ值的增大而减小
的有①③④．
①ｙ＝－８ｘ；②ｙ＝３ｘ；③ｙ＝（３－４）ｘ；④ｙ＝－１
４ｘ．
９．
学科
特色
教材
变式已知正比例函数ｙ＝４ｘ，ｙ＝０．６ｘ，ｙ＝５
２ｘ，这三
个函数的函数值都随自变量的增大而增大，其中函
数值增大速度最快的是ｙ＝４ｘ．
１０．已知正比例函数ｙ＝（ｋ－２）ｘ．
（１）若ｙ的值随着ｘ值的增大而减小，则ｋ的取值
范围是什么？
（２）若点（２，－３）在此函数的图象上，求这个函数
的表达式．
（３）在（２）的结论下，若ｘ的取值范围是－２≤ｘ≤
４，求ｙ的取值范围．
解析 （１）∵ｙ的值随着ｘ值的增大而减小，
∴ｋ－２＜０，解得ｋ＜２．
（２）把（２，－３）代入ｙ＝（ｋ－２）ｘ，得２（ｋ－２）＝－３，
解得ｋ＝１
２，∴这个函数的表达式为ｙ＝－３
２ｘ．
᮰
6
正比例函数图象是直线，经过（１，ｋ）和原点；图居一三或二四，变化趋势记心间；ｋ正左低右边高，ｘ大ｙ大像爬
山；ｋ负左高右边低，ｘ大ｙ小下山峦．
第
四
章
一
次
函
数
４９
（３）当ｘ＝－２时，ｙ＝３，当ｘ＝４时，ｙ＝－６，
∵正比例函数ｙ＝－３
２ｘ中，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴ｙ的取值范围为－６≤ｙ≤３．
ᑧү Ӭ
１１．「2023 陕西西安爱知中学期中，
」若正比例函数
ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０）的图象经过点Ａ（２，－３），则以下四
个点中，也在其图象上的是
（Ａ）
Ａ．（－４，６）
Ｂ．（６，－４）
Ｃ．（４，６）
Ｄ．（－６，－４）
１２．「2025 上海奉贤期中改编，
」已知点Ａ（ｘ１，ｙ１）和点
Ｂ（ｘ２，ｙ２）是直线ｙ＝－２ｘ上的两个点，如果ｘ１＜０＜
ｘ２，那么ｙ１和ｙ２的大小关系正确的是
（Ｃ）
Ａ．ｙ１＞ｙ２＞０
Ｂ．ｙ１＜ｙ２＜０
Ｃ．ｙ１＞０＞ｙ２
Ｄ．ｙ１＜０＜ｙ２
１３．「2025 上海静安期中，
」如图，三个正比例函数的
图象对应的解析式分别是ｙ＝ａｘ，ｙ＝ｂｘ，ｙ＝ｃｘ，用
“＜”表示ａ，ｂ，ｃ的不等关系，正确的是
（Ｂ）
Z DY
Z CY
Z BY
Z
Y
0
Ａ．ａ＜ｂ＜ｃ
Ｂ．ｃ＜ａ＜ｂ
Ｃ．ｃ＜ｂ＜ａ
Ｄ．ａ＜ｃ＜ｂ
１４．「2024 辽宁本溪期中，
」定义运算“ ※”：ａ※ｂ＝
－ａｂ（ｂ＞０），
ａｂ（ｂ≤０），
{
如１※（－２）＝１×（－２）＝－２，则函数ｙ
＝２※ｘ的图象大致是
（Ａ）
0
Y
Z
Ａ
0
Y
Z
Ｂ
0
Y
Z
Ｃ
0
Y
Z
Ｄ
１５．「2023 陕西师大附中期末，
」在平面直角坐标系中，若
一个正比例函数的图象经过Ａ（４，ｂ），Ｂ（ａ，３）两点，
则ａ，ｂ一定满足的关系式为
（Ｃ）
Ａ．ａ－ｂ＝１
Ｂ．ａ＋ｂ＝７
Ｃ．ａｂ＝１２
Ｄ．ａ
ｂ＝３
４
１６．跨
物理
压力
「2024 上海宝山期末，
」如图，射线ｌＡ，ｌＢ分
别表示两个物体Ａ和Ｂ所受压力Ｆ与受力面积Ｓ
的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力
分别为ＦＡ，ＦＢ，则ＦＡ＞ＦＢ．（填“＞”“＜”或“ ＝”）
１７．「
」若正比例函数ｙ＝２ｘ（ｘ＜０）的图象上一点到ｙ
轴的距离是３，则这点的坐标为（－３，－２３）．
１８．「2024 安徽合肥肥东期末，
」对于正比例函数ｙ＝
３ｘ，当２≤ｘ≤４时，ｙ的最大值是１２．
１９．「
」已知Ａ（１，４），Ｂ（４，９），将直线ｙ＝ｋｘ（ｘ≥０）
绕原点旋转，当直线ｙ＝ｋｘ与线段ＡＢ有公共点
时，ｋ的取值范围是
９
４≤ｋ≤４．
б ͞
２０．新
课标
创新意识「2024 陕西西安期中」如图，在平面直角坐标
系中，函数ｙ＝ｘ和ｙ＝－１
２ｘ的图象分别为直线ｌ１，
ｌ２，过点Ａ１１，－１
２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 作ｘ轴的垂线交ｌ１于点Ａ２，过
点Ａ２作ｙ轴的垂线交ｌ２于点Ａ３，过点Ａ３作ｘ轴的
垂线交ｌ１于点Ａ４，过点Ａ４作ｙ轴的垂线交ｌ２于点
Ａ５，……，依次进行下去，则点Ａ２０２３的横坐标为
（Ｃ）
Ａ．２
１０１２
Ｂ．－２
１０１２
Ｃ．－２
１０１１
Ｄ．２
１０１１
᮰
6
春天不播种，夏天就不生长，秋天就不能收获，冬天就不能品尝．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
５０
第2 课时 一次函数的图象及其有关性质
ۻᆱ݆
知识点１ 一次函数的图象
１．一次函数ｙ＝－３ｘ－１的大致图象是
（Ｃ）
Z
Y
0
Ａ
Z
Y
0
Ｂ
Z
Y
0
Ｃ
Z
Y
0
Ｄ
２．「2024 湖南株洲期末」在平面直角坐标系中，一次函数
ｙ＝２ｘ－３的图象不经过的象限是第二象限．
３．
学科
特色
教材
变式「2025 广东深圳期中」一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象
如图所示，则代数式７ｋ－ｂ的值为－２．
Z
Y
0
４．画出函数ｙ＝２ｘ－１的图象．
（１）列表：
ｘ
…
－２
－１
０
１
２
３
…
ｙ
…
…
（２）在如图所示的坐标系中描点并连线．
（３）判断点Ａ（－３，－５），Ｂ（２，－３），Ｃ（３，５）是否在
函数ｙ＝２ｘ－１的图象上．
见答案册Ｄ２９
知识点２ 一次函数的性质
５．「2024 江苏无锡滨湖二模改编」下列一次函数中，ｙ随ｘ
的增大而减小的是
（Ｄ）
Ａ．ｙ＝５ｘ＋３
Ｂ．ｙ＝ｘ－２
Ｃ．ｙ＝ｘ
Ｄ．ｙ＝－８ｘ－５
６．
学科
特色多解法「2024 江苏淮安期末」已知点（－２，ｙ１），（３，ｙ２）
都在直线ｙ＝－２ｘ＋１上，则ｙ１与ｙ２的大小关系为
（Ａ）
Ａ．ｙ１＞ｙ２
Ｂ．ｙ１＝ｙ２
Ｃ．ｙ１＜ｙ２
Ｄ．无法比较
７．
学科
特色
教材
变式已知一次函数ｙ＝（９＋３ｍ）ｘ＋ｍ－８．
（１）ｍ的值可以为－３吗？为什么？
（２）写出符合条件的ｍ的两个值，使ｙ的值随ｘ值
的增大而减小．
（３）当ｍ为何值时，其图象与直线ｙ＝４ｘ－７交于ｙ
轴上同一点？
（４）当ｍ为何值时，其图象与直线ｙ＝８ｘ＋５平行？
见答案册Ｄ２９
知识点３ 一次函数图象的平移规律
８．「2025 四川成都锦江嘉祥外国语学校」若直线ｙ＝－ｘ向上
平移４个单位长度后经过点（１，ｍ），则ｍ的值为
（Ａ）
Ａ．３
Ｂ．２
Ｃ．－２
Ｄ．－３
９．「2025 江苏无锡锡山期末」将一次函数ｙ＝２ｘ－４的图象
向上平移２个单位长度，平移后图象经过点
（Ｂ）
Ａ．（２，０）
Ｂ．（１，０）
Ｃ．（０，－４）
Ｄ．（０，－６）
ᑧү Ӭ
１０．「2024 河北保定期末，
」在同一平面直角坐标系
中，关于下列函数①ｙ＝ｘ＋１；②ｙ＝２ｘ＋１；③ｙ＝２ｘ－
１；④ｙ＝－２ｘ＋１的图象，说法不正确的是
（Ｃ）
Ａ．②和③的图象互相平行
Ｂ．②的图象可由③的图象平移得到
Ｃ．①和④的图象关于ｙ轴对称
Ｄ．③和④的图象关于ｘ轴对称
１１．「2024 陕西商洛期末，
」若一次函数ｙ＝２ｘ＋１的图
象向上平移ｍ个单位后，所得图象经过点（－１，
０），则ｍ的值为
（Ｄ）
Ａ．４
Ｂ．３
Ｃ．２
Ｄ．１
１２．「2025 广东河源期中，
」直线ｌ１：ｙ＝－ｋｘ＋ｂ与直线
ｌ２：ｙ＝３ｋｘ－ｂ在同一平面直角坐标系中的大致图
象可能是
（Ｂ）
᮰
6
ｋ、ｂ的符号定象限，ｋ为正时跨一三，ｂ为正时一二三，ｂ为负时一三四，ｘ与ｙ同增又同减．
第
四
章
一
次
函
数
５１
0
M
M
Z
Y
0
M
M
Z
Y
0
M
M
Z
Y
0
M
M
Z
Y
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
１３．「2025 江苏南京月考，
」已知一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ－
２ｍ＋１，其中ｍ≠１，当－２≤ｘ≤３时，函数有最大值，为２，
则ｍ的值为
１
４或４．
１４．「2025 山东青岛期中改编，
」如图，直线ｌ是一次函
数ｙ＝ｋｘ＋４的图象，回答下面的问题：
（１）当ｘ＝５时，ｙ＝－６．
（２）当ｘ＜３
２时，ｙ＞１．
（３）求直线ｌ与两坐标轴所围成的三角形的面积．
M
Z
Y
0
解析 （１）把（３，－２）代入ｙ＝ｋｘ
＋４，解得ｋ＝－２，
∴直线ｌ的表达式为ｙ＝－２ｘ＋４，
当ｘ＝５时，ｙ＝－２×５＋４＝－６．故
答案为－６．
（２）当ｘ＝３
２时，ｙ＝－２× ３
２＋４＝１．
∵ｋ＝－２＜０，∴ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当ｘ＜３
２时，ｙ＞１．故答案为１．
（３）在ｙ＝－２ｘ＋４中，令ｙ＝０，得－２ｘ＋４＝０，解得ｘ＝２，
∴直线ｌ与ｘ轴交于点（２，０），
∴直线ｌ与两坐标轴所围成的三角形的面积为
１
２×２×４＝４．
б ͞
１５．新
课标
推理能力新
考向
实践探究题「2025 河南省实验中学期中」小明在
学习一次函数后，对形如ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｎ（ｋ，ｍ，ｎ
为常数，且ｋ≠０）的一次函数图象和性质进行了
探究，过程如下：
如图所示，小明分别画出了函数ｙ＝（ｘ－１）＋２，ｙ＝
－（ｘ－１）＋２，ｙ＝２（ｘ－１）＋２的图象．
【深入探究】
（１）通过对几个函数图象的观察、思考，你发现ｙ
＝ｋ（ｘ－１）＋２（ｋ为常数，且ｋ≠０）的图象一定
会经过的点的坐标是
．
【得到性质】
（２）函数ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｎ（ｋ，ｍ，ｎ为常数，且ｋ≠０）的
图象一定会经过的点的坐标是
．
【实践运用】
（３）已知一次函数ｙ＝ｋ（ｘ＋２）－３（ｋ为常数，且ｋ≠
０）的图象一定过点Ｎ，且与ｙ轴相交于点Ａ，若
△ＯＡＮ的面积为５，求ｋ的值．
Z Y
Z
Z Y
Z Y
Y
0
见答案册Ｄ３０
微专题
一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中一次项系数ｋ和常数项ｂ的作用
方法指导 （１）一次项系数ｋ决定函数的增减性和函数图象的倾斜方向和角度．
（２）常数项ｂ决定图象与ｙ轴交点的位置．
１．「2024 河北邯郸期末」已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ，若ｋ，ｂ
满足ｋ＋ｂ＝－３，ｋｂ＝２，则该函数的图象不经过的
象限是
（Ａ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
２．「2024 安徽名校联盟模拟」在平面直角坐标系中，直
线ｙ＝５ｘ＋ｂ与ｘ轴的交点坐标为－１
５，０
æ
è
ç
ö
ø
÷ ，则该
直线与ｙ轴的交点坐标为
（Ｄ）
Ａ．（０，－１） Ｂ．（－１，０） Ｃ．（１，０） Ｄ．（０，１）
３．「2025 浙江杭州长河中学月考」已知Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，
ｙ２）为直线ｙ＝－２ｘ＋３上不同的两个点，以下判断
正确的是
（Ａ）
Ａ．（ｘ１－ｘ２）（ｙ１－ｙ２）＜０
Ｂ．（ｘ１－ｘ２）（ｙ１－ｙ２）≤０
Ｃ．（ｘ１－ｘ２）（ｙ１－ｙ２）＞０
Ｄ．（ｘ１－ｘ２）（ｙ１－ｙ２）≥０
᮰
6
不管前方的路有多难走，只要走的方向正确，就比站在原地更接近幸福．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
５２
４ 一次函数的应用
第1 课时 确定一次函数表达式
ۻᆱ݆
知识点 确定一次函数表达式
１．「2025 陕西榆林期中」一个正比例函数的图象经过点
（４，－２），则这个正比例函数的表达式为
（Ｃ）
Ａ．ｙ＝－２ｘ
Ｂ．ｙ＝２ｘ
Ｃ．ｙ＝－１
２ｘ
Ｄ．ｙ＝１
２ｘ
２．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ，当ｘ＝１时，ｙ＝－２，且它的
图象与ｙ轴交点的纵坐标是－５，则这个一次函数
的表达式是
（Ｄ）
Ａ．ｙ＝３ｘ＋５
Ｂ．ｙ＝－３ｘ－５
Ｃ．ｙ＝－３ｘ＋５
Ｄ．ｙ＝３ｘ－５
３．如图，该直线的表达式是
（Ａ）
0
Y
Z
Ａ．ｙ＝２ｘ＋４
Ｂ．ｙ＝４ｘ＋２
Ｃ．ｙ＝－２ｘ＋４
Ｄ．ｙ＝－２ｘ－４
４．「2024 海南华侨中学期中」实验表明，
在压强不变时，一定质量的气体的体积Ｖ（Ｌ）随着
温度Ｔ（℃）的改变而改变，关系式近似为Ｖ＝ｐＴ＋ｑ，
已测得当Ｔ＝０℃时，体积Ｖ＝１００Ｌ，当Ｔ＝１０℃时，
体积Ｖ＝１０３．５Ｌ，则ｐ＝０．３５．
５．
学科
特色
教材
变式
「2025 广西梧州期中」如图，直线ｌ经过点
Ａ（４，０），Ｂ（０，３）．
（１）求直线ｌ的函数表达式．
（２）点Ｐ（－４，６）是否在直线ｌ上？
0
"
M
#
Y
Z
解析 （１）设直线ｌ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），
∵直线ｌ经过点Ａ（４，０），Ｂ（０，３），
∴４ｋ＋ｂ＝０，ｂ＝３，解得ｋ＝－３
４，∴ｙ＝－３
４ｘ＋３．
（２）当ｘ＝－４时，ｙ＝－３
４×（－４）＋３＝６，
∴点Ｐ（－４，６）在直线ｌ上．
６．据研究，地面上空ｈ（ｍ）处的气温Ｔ（℃）与地面气
温Ｔ０（℃）有如下关系：Ｔ＝Ｔ０－ｋｈ（ｋ≠０）．现用气象
气球测得某时离地面０ｍ处的气温为１０℃，离地
面４００ｍ处的气温为６．８℃．
（１）求Ｔ０，ｋ的值．
（２）求此时地面上空１０００ｍ处的气温．
解析 （１）根据题意，得Ｔ０＝１０，６．８＝Ｔ０－４００ｋ，解得ｋ
＝１
１２５．
（２）由（１）可得Ｔ＝１０－１
１２５ｈ，
把ｈ＝１０００代入，得Ｔ＝１０－１
１２５×１０００，解得Ｔ＝２，
∴此时地面上空１０００ｍ处的气温为２℃．
ᑧү Ӭ
７．「2025 陕西理工大学附中期末，
」一个正比例函数的
图象经过点Ａ（ａ，２），Ｂ（ａ＋１，４），则这个正比例函
数的表达式为
（Ａ）
Ａ．ｙ＝２ｘ
Ｂ．ｙ＝－２ｘ
Ｃ．ｙ＝１
２ｘ
Ｄ．ｙ＝－１
２ｘ
８．「2025 四川内江月考，
」如图，过点Ａ的一次函数的
图象与正比例函数ｙ＝２ｘ的图象相交于点Ｂ，则这
个一次函数的表达式是
（Ａ）
0
Y
"
#
Z Y
Z
Ａ．ｙ＝－ｘ＋３
Ｂ．ｙ＝－２ｘ＋３
Ｃ．ｙ＝２ｘ－３
Ｄ．ｙ＝－ｘ－３
９．「2024 浙江湖州期末，
」已知
△ＡＢＣ的顶点坐标分别为Ａ（－５，０），Ｂ（３，０），Ｃ
（０，３），当过点Ｃ的直线ｌ将△ＡＢＣ分成面积相等
的两部分时，直线ｌ的函数表达式为ｙ＝３ｘ＋３．
᮰
6
勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．
第
四
章
一
次
函
数
５３
１０．「2025 山西晋中期中，
」某数学兴趣小组的同学根
据古代的沙漏模型，制作了一套“ 沙漏计时装
置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上
放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精
密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读
数计算时间（假设沙子足够，电子秤的量程足够
大）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子
秤读数，得到下表中的数据：
漏沙时间ｘ／小时
０
２
４
６
８
电子秤读数ｙ／克
６
１８
３０
４２
５４
已知电子秤读数ｙ（克）与漏沙时间ｘ（小时）满足
一次函数关系．若本次实验开始记录的时间是上
午８：３０，由表中数据推测，当精密电子秤的读数
为７２克时，时间是１９：３０．
１１．新
考向
项目探究题「2025 山西运城期中，
」某校综合实践小
组以“探究桶装水在常温（２３℃）下的最佳饮用
时间”为主题展开项目学习．
项目主题：探究桶装水在常温（２３℃）下的安全饮
用时间．
项目背景：桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等
污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水
中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：（１）取一桶桶装水，打开并静置；
（２）逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
（３）分析数据，形成结论．
部分试验数据如表：
试验天数ｘ
０
１
２
３
４
菌落总数ｙ／（ＣＦＵ／ｍＬ）
１５
２０
２５
３０
３５
请根据此项目学习的相关材料回答问题．
（１）根据表中信息，求出菌落总数ｙ与试验天数ｘ
之间的函数关系式．
（２）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过５０
ＣＦＵ／ｍＬ时就要停止饮用，请你通过计算说
明桶装水打开后的安全饮用时间是多少天．
见答案册Ｄ３１
б ͞
１２．新
课标
推理能力「2025 江西九江期中」如图，直线ｙ＝ｋｘ＋３
与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ，Ｂ两点，ＯＡ＝４
３ＯＢ，点
Ｃ（ｘ，ｙ）是直线ｙ＝ｋｘ＋３上与Ａ，Ｂ不重合的
动点．
（１）求直线ＡＢ的表达式．
（２）作直线ＯＣ，当点Ｃ运动到什么位置时，△ＡＯＢ
的面积被直线ＯＣ分成１∶２的两部分？
0
"
#
Y
Z
解析 （１）在ｙ＝ｋｘ＋３中，令ｘ＝０，得ｙ＝３，∴Ｂ（０，３），
∴ＯＢ＝３，∵ＯＡ＝４
３ＯＢ，∴ＯＡ＝４，∴Ａ（４，０），
把（４，０）代入ｙ＝ｋｘ＋３，得０＝４ｋ＋３，解得ｋ＝－３
４，
∴直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－３
４ｘ＋３．
（２）∵ＯＢ＝３，ＯＡ＝４，∴Ｓ△ＡＯＢ＝１
２ＯＡ·ＯＢ＝１
２×４×３＝６．
点Ｃ在线段ＡＢ上，分情况讨论如下：
①当Ｓ△ＡＯＣ∶Ｓ△ＢＯＣ＝１∶２时，如图１，
Ｓ△ＡＯＣ＝１
３Ｓ△ＡＯＢ＝２，∴１
２ＯＡ·ｙＣ＝２，
即１
２×４×ｙＣ＝２，∴ｙＣ＝１，
在ｙ＝－３
４ｘ＋３中，令ｙ＝１，解得ｘ＝８
３，∴Ｃ８
３，１
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
0
"
$
#
Y
Z
图１
0
"
$
#
Y
Z
图２
②当Ｓ△ＢＯＣ∶Ｓ△ＡＯＣ＝１∶２时，如图２，
Ｓ△ＡＯＣ＝２
３Ｓ△ＡＯＢ＝４，∴１
２ＯＡ·ｙＣ＝４，
即１
２×４×ｙＣ＝４，∴ｙＣ＝２，
在ｙ＝－３
４ｘ＋３中，令ｙ＝２，解得ｘ＝４
３，∴Ｃ４
３，２
æ
è
ç
ö
ø
÷ ．
综上所述，当点Ｃ运动到点８
３，１
æ
è
ç
ö
ø
÷ 或４
３，２
æ
è
ç
ö
ø
÷ 的位置
时，△ＡＯＢ的面积被直线ＯＣ分成１∶２的两部分．
᮰
6
多数的错失，是因为不坚持，不努力，不挽留，然后催眠自己说一切都是命运．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
５４
第2 课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
ۻᆱ݆
知识点１ 一次函数与一元一次方程的关系
１．「2025 福建宁德古田期中」若关于ｘ的方程２ｘ＋ｂ＝０的解
是ｘ＝２，则直线ｙ＝２ｘ＋ｂ一定经过点
（Ａ）
Ａ．（２，０）
Ｂ．（０，２）
Ｃ．（１，０）
Ｄ．（０，１）
Y
"
0
Z
２．「2025 山东枣庄滕州期中」如图，一次函数
ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＜０）的图象经过点Ａ，则关
于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝３的解是ｘ＝２．
３．「2024 山东济南长清期中」如图，直线ｙ＝ｋｘ
＋ｂ经过点Ａ（０，－４），Ｂ（３，２），且与ｘ轴交于点Ｃ．
（１）求直线的表达式．
（２）直接写出关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝０的解．
Y
"
$
0
#
Z
解析 （１）把（０，－４），（３，２）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得ｂ＝－４，
３ｋ＋ｂ＝２，解得ｋ＝２，∴直线的表达式为ｙ＝２ｘ－４．
（２）把ｙ＝０代入ｙ＝２ｘ－４，得２ｘ－４＝０，解得ｘ＝２，
∴点Ｃ（２，０），∴关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝０的解为ｘ＝２．
知识点２ 单个函数图象的实际应用
４．跨
物理
滑轮
「2024 山西忻州期末」在物理实验课上，小鹏利
用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力Ｆ
（Ｎ）和所悬挂物体的重力Ｇ（Ｎ）的几组数据用电
脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦力）．以
下结论错误的是
（Ｃ）
Ａ．拉力Ｆ与重力Ｇ成一次函数关系
Ｂ．当滑轮组不悬挂物体时，拉力Ｆ为０．５Ｎ
Ｃ．当物体的重力Ｇ＝１Ｎ时，拉力Ｆ＝１Ｎ
Ｄ．拉力随着物体的重力的增加而增大
0
'/
(/
第４题图
Z-
YI
0
第５题图
５．「2025 山东枣庄期中」某型号汽车油箱的剩余油量ｙ
（Ｌ）与行驶时间ｘ（ｈ）之间的关系如图所示，根据
图象可知，这辆汽车行驶１小时的耗油量与行驶的
最长时间分别为
（Ａ）
Ａ．５Ｌ，８ｈ
Ｂ．５Ｌ，２４ｈ
Ｃ．２５Ｌ，３ｈ
Ｄ．５Ｌ，５ｈ
６．「2025 陕西宝鸡期中」在弹性限度内，某一弹簧的长度
ｙ（ｃｍ）与它受到的拉力ｘ（Ｎ）满足如图所示的一次
函数关系．
（１）求弹簧的长度ｙ与它受到的拉力ｘ的函数表
达式．
（２）当弹簧受到的拉力为１．５Ｎ时，求弹簧的长度．
ZDN
B
0
Y/
解析 （１）设函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），
将（０，５），（２．５，１０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，
得ｂ＝５，２．５ｋ＋ｂ＝１０，解得ｋ＝２，
∴弹簧的长度ｙ与它受到的拉力ｘ的函数表达式
为ｙ＝２ｘ＋５．
（２）当ｘ＝１．５时，ｙ＝２×１．５＋５＝８，
∴当弹簧受到的拉力为１．５Ｎ时，弹簧的长度为
８ｃｍ．
ᑧү Ӭ
７．跨
生物
植物生长「2024 陕西榆林二中期中，
」某生物小组观
察一植物生长，得到的植物高度ｙ（单位：厘米）与
观察时间ｘ（单位：天）的关系如图所示（ＡＣ是线
段，直线ＣＤ平行于ｘ轴）．下列说法错误的是
（Ｄ）
Ａ．从开始观察起，５０天后该植物停止长高
Ｂ．直线ＡＣ的函数表达式为ｙ＝１
５ｘ＋６
Ｃ．第４０天，该植物的高度为１４厘米
Ｄ．该植物最高为１５厘米
᮰
6
自信，是无尽智慧的凝聚．平淡，是成功路上的驿站．
第
四
章
一
次
函
数
５５
第７题图
Z̳ٯ
Y̳Ϧ
0
Ŗ
ŗ
第８题图
８．「2025 重庆珊瑚中学期中，
」如图，射线①是某公共
汽车线路收支差额ｙ（票价总收入减去运营成本）
与乘客量ｘ的函数图象．目前这条线路亏损．为了扭
亏，公交公司在保持票价不变的情况下，决定通过
优化管理来降低运营成本．射线②是改变后ｙ与ｘ
的函数图象．两射线与ｘ轴的交点坐标分别是
（０．５，０），（０．３，０），则当乘客人数为１万时，改变后
的收支差额较之前增加了０．４万元．
９．「2025 广东深圳中学期中，
」某手机的电池剩余电量
ｙ（毫安）是使用天数ｘ的一次函数，函数图象如图
所示．
（１）此手机的电池容量是１０００毫安，此手机在充
满电时最多可以使用５天，此手机每天消耗的
电量是２００毫安．
（２）求一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的表达式，并说出｜ｋ｜和ｂ
的实际意义．
（３）此手机的电池剩余电量为４００毫安时就会发
出提示音，在手机充满电使用几天后，手机会
发出提示音？
Z!Ⴕ
Y๕
0
解析 （１）由点（０，１０００）可知，当使用０天时，手
机的电池剩余电量是１０００毫安，
∴此手机的电池容量是１０００毫安．
由点（５，０）可知，当使用５天时，手机的电池剩余电量
是０毫安，∴此手机在充满电时最多可以使用５天．
∵１０００
５
＝２００（毫安／天），
∴此手机每天消耗的电量是２００毫安．
（２）∵该一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（０≤ｘ≤５）的图象过点
（０，１０００）和点（５，０），∴ｂ＝１０００，５ｋ＋ｂ＝０，解得ｋ＝－２００，
∴表达式为ｙ＝－２００ｘ＋１０００．
｜ｋ｜表示此手机每天消耗的电量，ｂ表示此手机的电池
容量．
（３）在ｙ＝－２００ｘ＋１０００中，令ｙ＝４００，
得４００＝－２００ｘ＋１０００，解得ｘ＝３，
∴在手机充满电使用３天后，手机会发出提示音．
б ͞
１０．新
课标
模型观念「2025 河南郑州实验外国语学校期中」
【问题情境】水龙头关不严会漏水，浪费水资源，
为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行
了以下的试验与研究．
【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示
水量的容器，每５ｍｉｎ记录一次容器中的水量，得
到下表中的数据：
时间ｔ／ｍｉｎ
０
５
１０
１５
２０
…
水量ｗ／ｍＬ
５
２０
３５
５０
６５
…
【问题解决】
（１）请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出ｗ
关于ｔ的函数图象，根据图象可以发现，容器内
的水量ｗ（ｍＬ）与滴水时间ｔ（ｍｉｎ）符合学习过
的一次函数关系（填“正比例”或“一次”）．
（２）根据以上判断，求ｗ关于ｔ的函数表达式．
（３）一个人一天大约饮用１６００毫升水，在这种滴
水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按３０
天计算）的漏水量可供一人饮用大约多少天．
XN-
UNJO
0
见答案册Ｄ３２
᮰
6
开启成功之门，钥匙有三．其一，勤奋的精神；其二，科学的方法；其三，良好的心态．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
５６
第3 课时 借助两个一次函数图象解决有关问题
ۻᆱ݆
知识点 两个一次函数图象的实际应用
１．「2025 福建宁德期中」甲、乙两人相约去爬山，甲先出
发一段时间，乙才从同一地点出发，甲、乙两人到出
发地的距离ｙ（ｍ）与甲爬山的时间ｘ（ｍｉｎ）的函数
图象如图所示，根据图象所提供的信息，下列说法
正确的是
（Ｃ）
ZN
0
YNJO
*
΅
Ａ．甲比乙先出发３ｍｉｎ
Ｂ．乙出发１２ｍｉｎ后追上甲
Ｃ．乙的速度为４８ｍ／ｍｉｎ
Ｄ．乙比甲提前２ｍｉｎ到达山顶
２．「2024 山东济南中考」某公司生产了Ａ，Ｂ两款新能源电
动汽车．如图，ｌ１，ｌ２分别表示Ａ款、Ｂ款新能源电动
汽车充满电后电池的剩余电量ｙ（ｋＷ·ｈ）与汽车行
驶路程ｘ（ｋｍ）的关系．当两款新能源电动汽车的行
驶路程都是３００ｋｍ时，Ａ款新能源电动汽车电池的
剩余电量比Ｂ款新能源电动汽车电池的剩余电量多
１２ｋＷ·ｈ．
Z L8eI
YLN
M
M
0
３．「2025 陕西西安交大附中月考」甲无人机从地面起飞，乙
无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人
机同时匀速上升１０ｓ．甲、乙两架无人机所在的位置
距离地面的高度ｙ（单位：ｍ）与无人机上升的时间ｘ
（单位：ｓ）之间的关系如图所示．
（１）写出乙无人机距离地面的高度ｙ与上升时间ｘ
之间的关系式：
，关系式中一次项
系数的实际意义是 ，常数项的实
际意义是 ．
（２）无人机上升多长时间后，两架无人机的高度差
为１０ｍ？
ZN
YT
0
*
΅
解析 （１）乙无人机上升的速度为４０－２０
５
＝４（ｍ／ｓ）．
∴乙无人机距离地面的高度ｙ与上升时间ｘ之间的
关系式为ｙ＝４ｘ＋２０，关系式中一次项系数的实际意
义是乙无人机平均每秒上升４ｍ，常数项的实际意
义是乙无人机从距离地面２０ｍ高的楼顶起飞．
（２）甲无人机上升的速度为４０÷５＝８（ｍ／ｓ），
∴甲无人机距离地面的高度ｙ与上升时间ｘ之间的
关系式为ｙ＝８ｘ，根据题意得４ｘ＋２０－８ｘ＝１０或８ｘ－
（４ｘ＋２０）＝１０，解得ｘ＝２．５或ｘ＝７．５，
∴无人机上升２．５ｓ或７．５ｓ后，两架无人机的高度
差为１０ｍ．
ᑧү Ӭ
４．「2024 河南安阳期末，
」一辆客车从甲地开往乙地，
一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车
到甲地的距离ｙ（千米）与行驶时间ｘ（小时）之间的
函数图象如图所示，则下列说法错误的是
（Ｃ）
Yᄻᬢ
0
Z 1
Ａ．客车比出租车晚４小时到达目的地
Ｂ．客车的速度为６０千米／小时，出租车的速度为
１００千米／小时
Ｃ．两车出发３．２５小时后相遇
Ｄ．两车相遇时客车距乙地３７５千米
５．「2025 广西贺州钟山期中，
」随着人工智能的发展，
智能机器人送餐成为现实．图１是某餐厅的机器人
聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距
᮰
6
几度播洒汗水，即将迎来收获；几度辛勤耕耘，即将结出硕果；几度怀揣梦想，即将放飞希望．成功已在招手，只等
最后拼搏．
第
四
章
一
次
函
数
５７
４５０ｃｍ的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保
持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的
２倍．设聪聪行走的时间为ｘｓ，聪聪和慧慧行走的
路程分别为ｙ１ｃｍ，ｙ２ｃｍ，ｙ１，ｙ２与ｘ之间的函数图
象如图２所示，则图２中ｎ＝４５．
图１
O YT
ZDN
$
%
"
N
#
0
图２
６．「2023 陕西榆林期末，
」现有甲、乙
两个长方体蓄水池，将甲池中的水
匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中
水的深度ｙ（米）与注水时间
ｘ（小时）之间的函数图象如图所
示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为
０．２小时．
７．「2025 陕西西安碑林期中，
」用充电器给某手机充电
时，其屏幕画面显示目前电量为４０％．经测试，在用
快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量
ｙ（单位：％）与充电时间ｘ（单位：分钟）的函数图象
分别为图中的线段ＡＣ，ＡＢ．
根据信息，回答下列问题：
（１）求线段ＡＢ对应的函数表达式．
（２）先用普通充电器充电ａ分钟，电量达到７０％
后，再改为用快速充电器充电，电量充满时充
电总时长为ｂ分钟．通过计算求出ａ，ｂ的值，并
在图中画出改用快速充电器后电量ｙ与充电
时间ｘ的函数图象ＤＥ．
Z
YܲI
0
$
#
"
解析 （１）设直线ＡＢ对应的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋
ｐ（ｋ≠０）．
把（０，４０）和（６０，１００）分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｐ，
得ｐ＝４０，６０ｋ＋ｐ＝１００，解得ｋ＝１，
∴线段ＡＢ对应的函数表达式为ｙ＝ｘ＋４０（０≤ｘ≤６０）．
（２）当ｙ＝７０时，ｘ＋４０＝７０，解得ｘ＝３０，∴ａ＝３０，即
使用普通充电器充了３０分钟．
设直线ＡＣ对应的函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）．
把（０，４０）和（２０，１００）分别代入ｙ＝ｍｘ＋ｎ，
得ｎ＝４０，２０ｍ＋ｎ＝１００，解得ｍ＝３，
∴线段ＡＣ对应的函数表达式为ｙ＝３ｘ＋４０（０≤ｘ≤２０）．
当ｙ＝７０时，３ｘ＋４０＝７０，解得ｘ＝１０，
∴改用快速充电器后的充电时间为２０－１０＝１０（分
钟），∴ｂ＝３０＋１０＝４０，∴函数图象ＤＥ如图所示．
Z
YܲI
$
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%
#
"
0
б ͞
８．新
课标
模型观念「2025 安徽六安舒城二中月考」某通信公司就手
机流量套餐推出三种方案，如下表：
Ａ方案Ｂ方案Ｃ方案
每月基本费用／元
２０
５６
２６６
每月免费使用流量／兆
１０２４
ｍ
无限
超出后每兆收费／元
ｎ
ｎ
Ａ，Ｂ，Ｃ三种方案每月所需的费用ｙ（元）与每月使
用的流量ｘ（兆）之间的函数关系如图所示．
（１）请直接写出ｍ，ｎ的值．
（２）在Ａ方案中，当每月使用的流量不少于１０２４
兆时，求每月所需的费用ｙ（元）与每月使用的
流量ｘ（兆）之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围．
（３）在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范
围内时，选择Ｂ方案最划算？
Yٲ
$ᵴ
#ᵴ
"ᵴ
0
Zٯ
见答案册Ｄ３３
᮰
6
在你的一生中，可以有所作为的时候只有现在．然而，许多人却在悔恨过去和担忧未来之中浪费了大好时光．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
５８
专项突破５ 一次函数与图形面积的三种常见题型
题型１ 由一次函数图象求面积
１．「2025 广东佛山禅城期中」如图，直线ｙ＝－ｘ＋４与坐标
轴围成的△ＡＢＯ的面积是８．
"
0
#
Y
Z Y
Z
２．「2025 重庆七十一中期中节选」如图，在平面直角坐标系
中，直线ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ，Ｂ（０，６），与直线
ｙ＝－ｘ＋３交于点Ｃ（－１，ａ），直线ｙ＝－ｘ＋３与ｙ轴交于
点Ｅ，连接ＡＥ．
"
0
&
M
Z Y
#
$
Z
Y
（１）求直线ｌ的表达式．
（２）求△ＡＣＥ的面积．
解析
（１）∵直线ｙ＝－ｘ＋３过
点Ｃ（－１，ａ），
∴ａ＝１＋３＝４，∴点Ｃ（－１，４），
设直线ｌ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），
∵直线ｌ过点Ｂ（０，６），Ｃ（－１，４），
∴ｂ＝６，４＝－ｋ＋ｂ，解得ｋ＝２，
∴直线ｌ的表达式为ｙ＝２ｘ＋６．
见答案册Ｄ３４
题型２ 由面积求函数表达式
３．「2025 四川成都树德中学期中」已知直线ｙ＝ｋｘ＋４（ｋ≠０）
与坐标轴所围成的三角形的面积为６，则该直线的
表达式是ｙ＝４
３ｘ＋４或ｙ＝－４
３ｘ＋４．
４．「2025 安徽六安月考」在平面直角坐标系中，已知点Ａ
（ａ，０）和点Ｂ（０，４），直线ＡＢ与坐标轴围成的三角
形的面积等于１２，则直线ＡＢ的表达式为
ｙ＝２
３ｘ＋
４或ｙ＝－２
３ｘ＋４．
５．「2025 湖南益阳月考节选」如图，已知直线ｙ＝３
４ｘ＋３与
坐标轴交于Ｂ，Ｃ两点，点Ａ是ｘ轴正半轴上一点，
并且Ｓ△ＡＢＣ＝１５．求ＡＢ所在直线的表达式．
$
0
"
Y
#
Z
见答案册Ｄ３４
题型３ 由面积求点的坐标
６．「2024 四川南充白塔中学期中」如图，在平面直角坐标系
中，点Ａ（３，７）在正比例函数图象上．
（１）求正比例函数的表达式．
（２）点Ｂ（１，０）和点Ｃ都在ｘ轴上，当△ＡＢＣ的面
积是１７．５时，求点Ｃ的坐标．
"
0
Y
Z
见答案册Ｄ３４
７．
学科
特色
分类讨
论思想「2024 山东济宁金乡月考节选」如图，在平面直角
坐标系中，直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴交于点
Ｂ（－５，０），与ｙ轴交于点Ａ，直线ｙ＝－４
３ｘ＋４过点
Ａ，与ｘ轴交于点Ｃ，点Ｐ是ｘ轴上方的一个动点．
（１）求直线ＡＢ的函数表达式．
（２）若点Ｐ在射线ＢＡ上，且Ｓ△ＡＰＣ＝Ｓ△ＡＯＢ，求点Ｐ
的坐标．
"
Z
0
$
Y
#
解析
（１）∵点Ａ在ｙ轴上，
直线ｙ＝－４
３ｘ＋４过点Ａ，∴点
Ａ的坐标为（０，４），
将（０，４）和（－５，０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，
得ｂ＝４，－５ｋ＋ｂ＝０，解得ｋ＝４
５，
∴直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝４
５ｘ＋４．
见答案册Ｄ３４
᮰
6
制订一个切实可行的学习计划，用以指导自己的学习，古人曰：“凡事预则立，不预则废．”按计划进行学习，将会
取得良好的效果．
第
四
章
一
次
函
数
５９
专项突破６ 函数中的跨学科问题
类型１ 跨物理学科
１．「2025 陕西榆林期中」在物理实验课上，小明在进行“温
度与金属导体电阻之间的关系”实验时发现，某种金
属导体的电阻Ｒ（单位：Ω）与温度Ｔ（单位：℃）之间
存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻
进行了记录，如下表．当温度Ｔ为５５℃时，该金属导体
的电阻Ｒ为
（Ａ）
Ｔ／℃
０
１０
２０
３０
４０
Ｒ／Ω
５
５．０８
５．１６
５．２４
５．３２
Ａ．５．４４Ω
Ｂ．５．４０Ω
Ｃ．５．３６Ω
Ｄ．５．４８Ω
２．「2025 河南郑州实验中学期中」如图，从光源Ａ发出的一
束光，经过平面镜（ｙ轴）上的点Ｂ反射后，反射光
线ＢＣ交ｘ轴于点Ｃ（－１，０），若直线ＡＢ的表达式
为ｙ＝－１
２ｘ＋ｂ，则ｂ的值是
（Ａ）
Ａ．１
２
Ｂ．１
３
Ｃ．２
２
Ｄ．３
３
"
0
#
Y
Z
$
第２题图
ZN
YT
0
第３题图
类型２ 跨体育与健康学科
３．「2025 重庆一中期中」在运动会２００米跑比赛中，运动
员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲、乙两
人的路程ｙ（ｍ）与时间ｘ（ｓ）的关系如图所示．下列
说法错误的是
（Ｃ）
Ａ．乙的速度为２０
３ｍ／ｓ
Ｂ．甲在１８ｓ时追上了乙
Ｃ．甲的速度为１０ｍ／ｓ
Ｄ．甲比乙晚出发了３ｓ
４．「2025 四川德阳模拟」学校利用课后服务时间开展趣
味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从Ａ处匀
速跑向Ｂ处，乙同学从Ｂ处匀速跑向Ａ处，两人同
时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学
跑步的时间为ｘ秒，甲、乙两人之间的距离为ｙ米，
ｙ与ｘ之间的函数关系如图所示，则图中ｔ的值是
４０
３
．
Y.
Z1
0
U
类型３ 跨地理学科
５．「2024 辽宁抚顺期末」我们在地理课上学过，海拔每上
升１ｋｍ，温度平均下降６℃．某时刻，Ａ市地面温度
为２０℃．设高出地面ｘｋｍ处的温度为ｙ℃．
（１）写出ｙ与ｘ的函数解析式．
（２）已知Ａ市一山峰高出地面５００ｍ，则这时山顶
的温度大约是多少？
（３）此刻有一架飞机飞过Ａ市上空，若机舱内仪表
显示飞机外面的温度为－３４℃，则飞机离地面
的高度为多少？
解析 （１）ｙ＝２０－６ｘ（ｘ＞０）．
（２）５００ｍ＝０．５ｋｍ，将ｘ＝０．５代入ｙ＝２０－６ｘ，
得ｙ＝２０－６× ０．５＝１７，∴这时山顶的温度大约是
１７℃．
（３）将ｙ＝－３４代入ｙ＝２０－６ｘ，得２０－６ｘ＝－３４，
解得ｘ＝９，∴飞机离地面的高度是９ｋｍ．
᮰
6
人生里面总是有所缺少，重要的是你应该知道自己到底要什么．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６０
第四章自主检测
范围：一次函数
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2024 陕西中考」若点Ａ（－２，ｙ１）和点Ｂ（２，ｙ２）在同一
个正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０）的图象上，则
（Ａ）
Ａ．ｙ１＝－ｙ２
Ｂ．ｙ１＝ｙ２
Ｃ．ｙ２＞０
Ｄ．ｙ２＞ｙ１
２．把函数ｙ＝２ｘ－１的图象向上平移３个单位，则下列
各点中，在平移后的图象上的是
（Ｄ）
Ａ．（１，５）
Ｂ．（２，４）
Ｃ．（０，３）
Ｄ．（２，６）
３．「2025 河南平顶山期中」已知ｙ－１与ｘ成正比例，当ｘ＝
３时，ｙ＝２，则当ｘ＝－１时，ｙ的值是
（Ｄ）
Ａ．－１
Ｂ．０
Ｃ．－１
３
Ｄ．２
３
４．「2024 广东东莞期末」一次函数ｙ＝ｍｘ＋２中，ｙ随ｘ的
增大而增大，则点Ｐ（ｍ，－ｍ）所在的象限为（Ｄ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
５．「2025 安徽合肥五十中月考」已知一次函数ｙ＝ｋｘ－ｂ与ｙ
＝－ｋｂｘ（ｋ，ｂ为常数，且ｋｂ≠０），则它们在同一平面
直角坐标系中的图象可能为
（Ｄ）
0
Y
Z
Ａ
0
Y
Z
Ｂ
0
Y
Z
Ｃ
0
Y
Z
Ｄ
６．「2024 内蒙古包头期末」如图所示的是本地区一种产品
３０天的销售情况的图象，图１是产品日销售量ｙ（单
位：件）与时间ｔ（单位：天）的函数关系图象，图２是
一件产品的销售利润ｚ（单位：元）与时间ｔ（单位：
天）的函数关系图象，已知日销售利润＝日销售量×
一件产品的销售利润．各选项中的结论错误的是
（Ｃ）
图１
图２
Ａ．第２４天的日销售量为２００件
Ｂ．第１２天的日销售利润是１９５０元
Ｃ．第３０天的日销售利润是５元
Ｄ．第１０天销售一件产品的利润是１５元
７．「2025 山西运城期中」如图，直线ｙ＝－ｘ＋４与ｙ轴、ｘ轴分
别交于点Ａ，Ｂ，点Ｃ是线段ＯＡ的中点，点Ｄ（ｍ，１）在
直线ＡＢ上，Ｐ为ｘ轴上一动点，当ＰＣ＋ＰＤ的值最小
时，点Ｐ的坐标为
（Ｃ）
0
1
#
Z Y
Y
%
"
$
Z
Ａ．（－３，０）
Ｂ．（－２，０）
Ｃ．（２，０）
Ｄ．（３，０）
二、填空题（每小题５分，共２０分）
８．「2024 山东潍坊中考」请写出同时满足以下两个条件
的一个一次函数：ｙ＝－ｘ＋２（答案不唯一）．
①ｙ随ｘ的增大而减小；
②函数图象与ｙ轴正半轴相交．
９．「2024 江苏扬州中考」如图，已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠
０）的图象分别与ｘ轴、ｙ轴交于Ａ，Ｂ两点，若ＯＡ＝２，
ＯＢ＝１，则关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝０的解为ｘ＝－２．
"
0
#
Z
Y
᮰
6
求直线与坐标轴所围三角形面积，先确定直线表达式，再求出直线与坐标轴交点的坐标，以此确定三角形的底与
高，从而求出三角形面积．
第
四
章
一
次
函
数
６１
１０．「2024 江苏苏州中考调研」一支原长为２０ｃｍ的蜡烛，
点燃后，蜡烛剩余长度与燃烧时间的关系如下表：
燃烧时间／ｍｉｎ
１０
２０
３０
４０
５０
…
剩余长度／ｃｍ
１９
１８
１７
１６
１５
…
当这支蜡烛的剩余长度为１０ｃｍ时，这支蜡烛燃
烧了１００ｍｉｎ．
１１．「2025 陕西西安长安期末」如图，在平面直角坐标系中，
直线ｙ＝－３
４ｘ＋３交ｘ轴于点Ａ，交ｙ轴于点Ｂ，以点Ａ
为圆心，ＡＢ长为半径画弧，交ｘ轴的负半轴于点Ｃ，
则直线ＢＣ的表达式为ｙ＝３ｘ＋３．
#
$
0
"
Z
Y
三、解答题（共４５分）
１２．「2025 广东茂名期中」（１２分）已知函数ｙ＝（ｍ－
３）ｘ
｜ｍ｜－２＋ｎ－２．
（１）当ｍ，ｎ为何值时，函数是一次函数？
（２）当ｍ，ｎ为何值时，函数是正比例函数？
见答案册Ｄ３６
１３．「2025 陕西咸阳永寿期末」（１５分）生活即教育，行为即
课程．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校
入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪
树木，以及打扫校园周边环境卫生等，学校现要购
买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出
了两种购买方案（如下表），且都送货上门．
方案
运费
劳动工具价格
方案一
５０元
１２．５元／件
方案二
０元
１５元／件
若学校购买ｘ件劳动工具，按方案一购买的总金额
为ｙ１元，按方案二购买的总金额为ｙ２元．
（１）请分别写出ｙ１，ｙ２与ｘ之间的函数关系式．
（２）若学校计划用９００元购买劳动工具，请你通过计
算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多．
见答案册Ｄ３６
１４．「2025 安徽六安月考」（１８分）如图，在平面直角坐标
系中，一次函数ｙ１＝－１
２ｘ－３的图象与ｘ轴、ｙ轴分
别交于点Ａ和点Ｃ，直线ｙ２＝ｘ＋ｂ（ｂ是常数）与ｘ
轴交于点Ｂ且经过点Ｃ．
（１）ｂ＝－３，ＡＢ＝９．
（２）若直线ＤＥ∥ｙ轴且在ｙ轴右侧，直线ＤＥ与直
线ＡＣ，ＢＣ分别交于点Ｄ和点Ｅ，ＤＥ＝３，求点
Ｄ的坐标．
（３）直线ＡＣ上是否存在点Ｐ，使得三角形ＡＢＰ的
面积为９？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存
在，说明理由．
0
"
#
$
Z
Y
解析 （１）将ｘ＝０代入ｙ１＝－１
２ｘ－３，得ｙ１＝－３，
所以点Ｃ的坐标为（０，－３）．
将（０，－３）代入ｙ２＝ｘ＋ｂ，得ｂ＝－３，所以ｙ２＝ｘ－３．
令ｙ２＝０，解得ｘ＝３，所以点Ｂ的坐标为（３，０）．
令ｙ１＝０，解得ｘ＝－６，所以点Ａ的坐标为（－６，０），
所以ＡＢ＝３－（－６）＝９．
（２）设点Ｄ的横坐标为ｍ，则Ｄｍ，－１
２ｍ－３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ，
Ｅ（ｍ，ｍ－３）．
由ＤＥ＝３，得ｍ－３－－１
２ｍ－３
æ
è
ç
ö
ø
÷ ＝３，解得ｍ＝２，
所以－１
２ｍ－３＝－１
２×２－３＝－４，所以点Ｄ的坐标为
（２，－４）．
（３）存在，因为三角形ＡＢＰ的面积为９，
所以１
２ＡＢ·｜ｙＰ｜＝９，解得ｙＰ＝±２．
当ｙＰ＝２时，ｘＰ＝－１０，当ｙＰ＝－２时，ｘＰ＝－２，
所以点Ｐ的坐标为（－１０，２）或（－２，－２）．
᮰
6
成功的道路上，肯定会有失败，对于失败，我们要用正确的眼光看待，不怕失败者，必成功；怕失败者，一事无成．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６２
期中综合检测
范围：第一章至第四章
满分
１２０分
限时
１００分钟
一、选择题（每小题３分，共３０分）
１．「2025 四川成都七中期中」下列数２．１３４，０，
３－２７，－１１
７，
π，７中，无理数的个数是
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
２．「2025 河北保定期末」已知点Ａ（－１，３）和点Ｂ（３，
ｍ－１），如果直线ＡＢ⊥ｙ轴，那么ｍ的值为（Ｄ）
Ａ．１
Ｂ．－４
Ｃ．－１
Ｄ．４
３．「2025 贵州毕节期中」若函数ｙ＝（ｋ＋３）ｘ＋ｋ
２－９是关于
ｘ的正比例函数，则
（Ｃ）
Ａ．ｋ＝－３
Ｂ．ｋ＝±３
Ｃ．ｋ＝３
Ｄ．ｋ＝１
３
４．「2025 湖南娄底二中期末」下列运算正确的是
（Ｂ）
Ａ．２＋３＝５
Ｂ．
３
２＝６
２
Ｃ．２× ３＝６
Ｄ．
（－３）
２＝－３
５．「2025 山西运城期中」在如图所示的方格纸上，沿着网
格线画出坐标平面的ｘ轴、ｙ轴并标记原点，且以小
方格边长作为单位长度，则下列画法中，可在方格纸
的范围内标出（５，３），（－４，－４），（－３，４），（３，－５）四
点的是
（Ｄ）
0
Y
Z
Ａ
0
Y
Z
Ｂ
0
Y
Z
Ｃ
0
Y
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Ｄ
６．「2025 河南郑州四十七中期末」大自然是美的设计师，即使
是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，ＢＰ
ＡＰ的值
接近黄金比５－１
２
，则黄金比（参考数据：２．１
２＝
４．４１，２．２
２＝４．８４，２．３
２＝５．２９，２．４
２＝５．７６）
（Ｃ）
Ａ．在０．５０到０．５５之间
Ｂ．在０．５５到０．６０之间
Ｃ．在０．６０到０．６５之间
Ｄ．在０．６５到０．７０之间
1
"
#
第６题图
4
4
4
$
"
#
第７题图
７．「2025 山西运城盐湖期中」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ
＝９０°，分别以这个三角形三边为边向外作正方形，
面积分别记为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，若Ｓ３＋Ｓ１－Ｓ２＝２６，则阴影
部分的面积为
（Ｂ）
Ａ．６
Ｂ．１３
２
Ｃ．１２
Ｄ．１３
８．「2025 贵州黔东南州期中」已知ａ＝５－６，ｂ＝５＋６，
则一次函数ｙ＝（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ的图象大致为
（Ｃ）
0
Y
Z
Ａ
0
Y
Z
Ｂ
0
Y
Z
Ｃ
0
Y
Z
Ｄ
᮰
6
解决几何体上的最短路径问题，往往把几何体的侧面展开成平面，利用“两点之间线段最短”在平面图形上构造直
角三角形．
期
中
综
合
检
测
６３
９．「2025 陕西西安期末」如图所示的是小观的爸爸设置
的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码
点间的距离均为１，手指沿Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ－Ｅ－Ａ顺序解
锁．按此手势解锁一次的路径长为
（Ｂ）
Ａ．８
Ｂ．４＋２５
Ｃ．５＋２５
Ｄ．１
#
"
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第９题图
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第１０题图
１０．「2025 山东枣庄滕州期中」在一条公路上依次有Ａ，Ｂ，
Ｃ三地，甲车从Ａ地出发，驶向Ｃ地，同时乙车从
Ｃ地出发，驶向Ｂ地，到达Ｂ地停留０．５小时后，
按原路原速返回Ｃ地，两车匀速行驶，甲车比乙
车晚１．５小时到达Ｃ地．两车距各自出发地的路
程ｙ（千米）与时间ｘ（小时）之间的函数关系如图
所示，有下列结论：
①甲车的行驶速度是６０千米／小时；
②乙车的行驶速度是９０千米／小时；
③Ａ，Ｂ两地的路程为２４０千米；
④出发４．５小时后，甲、乙两车同时到达Ｂ地．
其中正确的是
（Ａ）
Ａ．①②③
Ｂ．①③④
Ｃ．①②③④
Ｄ．②③④
二、填空题（每小题４分，共２４分）
１１．「2025 湖南娄底二中期末」若
３ｘ＝－３，ｙ＝２，则ｘ－ｙ＝
－３１．
１２．「2025 陕西西安期末」已知点Ｐ（ａ，３）和点Ｑ（４，ｂ）关
于ｘ轴对称，则（ａ＋ｂ）
２０２５的值为１．
１３．「2025 宁夏中卫三中期末」关于函数ｙ＝－ｘ－２，有下列
说法：①ｙ随ｘ的增大而增大；②图象不经过第一
象限；③图象与直线ｙ＝ｘ平行．其中正确的说法是
②．
１４．「2024 北京朝阳期末」华容道是一种古老的中国民间
益智游戏，一些棋子紧密摆放在长方形木框内，其
中有５个完全一样的小长方形木块，代表“五虎上
将”，它们有４个纵向摆放，１个横向摆放，如图所
示．若阴影部分面积为４０，则一个小长方形木块的
对角线的长为２５．
第１４题图
" M
Z
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# Y
#
0
#
第１５题图
１５．新
考向
规律探究题「2025 四川成都温江期末」如图，在
平面直角坐标系中，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋１交ｘ
轴于点Ａ，交ｙ轴于点Ａ１，点Ａ２，Ａ３，…在直线ｌ
上，点Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３，… 在ｘ轴的正半轴上，若
△Ａ１ＯＢ１，△Ａ２Ｂ１Ｂ２，△Ａ３Ｂ２Ｂ３，…均为等腰直角三
角形，直角顶点都在ｘ轴上，则△Ａ８Ｂ７Ｂ８的顶点Ａ８的
坐标为（１２７，１２８）．
１６．「2025 内蒙古包头四十八中期末」如图所示，地面上铺了
一块长方形地毯ＡＢＣＤ，因使用时间过长而变形，中
间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为
１６
π ｍ，已知ＡＥ＋ＢＦ＝１７ｍ，ＢＣ＝１０ｍ，一只蚂蚁从
Ａ点爬到Ｃ点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要
走５２９ｍ．
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三、解答题（共６６分）（答案含评分细则）
１７．「2025 山西运城期中」（１２分）计算：
（１）
３
２＋２
２９４－９６
１
６．
（２）
２４×
１
４－
１８＋
５４
３
．
᮰
6
没有辛勤的汗水，就没有成功的泪水；没有艰辛的付出，就没有丰硕的果实；没有刻苦的训练，就没有闪光的金牌．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６４
（３）（３－５）（５＋２）．
（４）（２３＋１）（２３－１）－（２３－１）
２．
解析 （１）
３
２＋２
２９４－９６
１
６
＝６
２＋１４６－９６× ６
６
（２分）
………………………
＝
６
２＋１４６－１６６＝－３６
２．
（３分）
………………
（２）
２４×
１
４－
１８＋
５４
３
＝６－（６＋３２）
（５分）
…………………………
＝
６－６－３２＝－３２．
（６分）
……………………
（３）（３－５）（５＋２）
＝３５＋６－５－２５
（８分）
…………………………
＝
５＋１．
（９分）
……………………………………
（４）（２３＋１）（２３－１）－（２３－１）
２
＝１２－１－（１２－４３＋１）
（１０分）
…………………
＝１２－１－１２＋４３－１
＝－２＋４３．
（１２分）
………………………………
１８．「2025 甘肃兰州交大附中期末」（６分）在正方形网格中，
每个小正方形的边长均为１，点Ａ（－４，５），Ｃ（－１，３），
Ａ１（４，５），Ｂ１（２，１），△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１关于某直线
对称．
（１）在正方形网格内画出平面直角坐标系及
△Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（２）点Ｂ的坐标是（－２，１），点Ｃ１的坐标是（１，３）．
（３）求△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积．
解析 （１）如图所示．
"
"
#
$
$
0
Y
Z
#
（３分）
……………………………………………
（２）由图可知，Ｂ（－２，１），Ｃ１（１，３）．
（４分）
………
（３）△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积为３×４－１
２×２×１－１
２×２×３－１
２×
２×４＝４．
（６分）
……………………………………
１９．「2025 河北沧州期中」（６分）已知
１１－１在两个连续
的自然数ａ和ｃ之间（ａ＜ｃ），－１是ｂ的一个平方根．
（１）求ａ，ｂ，ｃ的值．
（２）比较ａ＋ｂ－１
２
与１
２的大小．
解析 （１）∵３＜
１１＜４，∴２＜
１１－１＜３，
（１分）
………
…………………………………………
∵
１１－１在两个连续的自然数ａ和ｃ之间（ａ＜
ｃ），
∴ａ＝２，ｃ＝３．
（２分）
………………………………
∵－１是ｂ的一个平方根，∴ｂ＝（－１）
２＝１，
∴ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝３．
（４分）
………………………
（２）
ａ＋ｂ－１
２
＝３－１
２
，∵
３－１＜１，∴
３－１
２
＜１
２，
∴
ａ＋ｂ－１
２
＜１
２．
（６分）
……………………………
２０．「2025 山西太原月考」（６分）已知点Ｐ（２ｍ，ｍ＋２），根
据下列条件分别求出点Ｐ的坐标．
（１）点Ｐ在ｘ轴上．
（２）点Ｐ的纵坐标比横坐标大２．
（３）点Ｐ到ｘ轴的距离是点Ｐ到ｙ轴距离的２倍．
见答案册Ｄ３８
２１．「2025 河南郑州四十七中期末」（８分）勾股定理神秘而
美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在学
习“勾股定理”时，李芳老师带领同学们进行如下
探究活动：图１是用硬纸板剪成的四个全等的直
角三角形（两直角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为ｃ）和
一个边长为ｃ的正方形，请同学们将它们拼成一
个能验证勾股定理的图形．
（１）图２是李明拼成的图形，请你利用图２验证
勾股定理．
（２）一个零件的形状如图３，按规定这个零件中
∠Ａ和∠Ｃ都应是直角．工人师傅测得这个零
件各边尺寸（单位：ｃｍ）如图４所示，这个零件
符合规定吗？
᮰
6
对于自变量ｘ的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．
期
中
综
合
检
测
６５
B
C
D
B
C
D
B
C
D
B
C
D D
D
图１
D
D
D
D
B
B
B
B C
C
C
C
图２
"
%
$
#
图３
"
%
$
#
图４
见答案册Ｄ３８
２２．「2025 吉林长春期末」（８分）某工程的测量人员在测
量一块如图所示的三角形地面时，由于在ＢＣ上有
一处古建筑，ＢＣ的长不能直接测出，于是工作人员
在ＢＣ上取一点Ｄ，测得ＡＤ＝１２０米，ＢＤ＝５０米后，
又测得ＡＢ＝１３０米，ＡＣ＝１５０米．
（１）求证：∠ＡＤＢ＝９０°．
（２）求ＢＣ的长．
"
#
%
$
解析
（１）证明：∵ＡＤ＝１２０米，ＢＤ＝５０米，ＡＢ＝
１３０米，
∴ＡＢ
２＝１６９００，ＡＤ
２＋ＢＤ
２＝１２０
２＋５０
２＝１６９００，
（２分）
……
…………………………………………
∴ＡＢ
２＝ＡＤ
２＋ＢＤ
２，∴∠ＡＤＢ＝９０°．
（４分）
………
（２）由（１）知∠ＡＤＢ＝９０°，∴∠ＡＤＣ＝９０°，
（５分）
………
…………………………………………
在Ｒｔ△ＡＤＣ中，由勾股定理得ＡＣ
２＝ＡＤ
２＋ＣＤ
２，
∴ＣＤ＝
１５０
２－１２０
２＝９０（米），
∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５０＋９０＝１４０（米）．
（８分）
………
２３．「2025 山西晋中期中」（８分）某电信公司的通话收费
标准有甲、乙两种，甲种收费标准：不管通话时间多
长，每月必须交月租费１９元，另外，通话费按
０．２元／分钟计算；乙种收费标准：每月没有月租费，
通话费按０．３元／分钟计算．
（１）甲种收费标准每月应交费用ｙ１（元）与通话时间
ｘ（分钟）之间的关系式为ｙ１＝０．２ｘ＋１９；乙种收
费标准每月应交费用ｙ２（元）与通话时间ｘ（分
钟）之间的关系式为ｙ２＝０．３ｘ．
（２）若该电信公司的某位用户每月平均通话时间
为３００分钟，则该用户选择哪种收费标准更
划算？
（３）当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两种
收费标准所交费用相同？
解析 （１）ｙ１＝０．２ｘ＋１９；ｙ２＝０．３ｘ．
（３分）
………
（２）当ｘ＝３００时，ｙ１＝０．２×３００＋１９＝７９，ｙ２＝０．３×３００
＝９０，∵７９＜９０，∴该用户选择甲种收费标准更划算．
（６分）
…………………………………………
（３）依题意得０．２ｘ＋１９＝０．３ｘ，解得ｘ＝１９０，
∴当每月平均通话时间为１９０分钟时，按甲、乙两
种收费标准所交费用相同．
（８分）
………………
２４．新
考向
动点探究题「2025 河北保定期末」（１２分）如图
１，平面直角坐标系中，直线ＡＢ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ
交ｙ轴于点Ａ（０，３），交ｘ轴于点Ｂ（６，０），直线ｘ＝２
交ＡＢ于点Ｄ，交ｘ轴于点Ｅ．
（１）求直线ＡＢ的表达式和Ｄ点的坐标．
（２）如图２，点Ｐ的坐标为（２，－４），则△ＡＢＰ的面积
是１８．
（３）设点Ｑ是ｘ轴上一动点，求ＡＱ＋ＤＱ的最
小值．
（４）以ＡＢ为腰在第一象限作等腰直角三角形
ＡＢＣ，直接写出点Ｃ的坐标．
"
0
#
%
&
Z
Y
图１
Y
"
0
#
1
&
%
Z
图２
见答案册Ｄ３８
᮰
6
一杯清水因滴入一滴污水而变污浊，一杯污水却不会因一滴清水的存在而变清澈．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６６
第五章
二元一次方程组
１ 认识二元一次方程组
ۻᆱ݆
知识点１ 二元一次方程（组）的概念
１．「2025 四川成都双流期中」下列方程组是二元一次方程
组的是
（Ａ）
Ａ．
４ｘ－ｙ＝－２
ｙ＝２ｘ＋３
{
Ｂ．
１
ｘ－１＝ｙ
３ｘ＋ｙ＝０
ì
î
í
ïï
ïï
Ｃ．
ｘ－ｙ＝１
ｘｙ＝１
{
Ｄ．
ｘ
２－ｘ－２＝０
ｙ＝ｘ＋１
{
２．「2025 四川成都实验中学月考改编」已知方程（ｍ＋２）·
ｘ
ｍ
２－３＋（ｎ－３）ｙ
ｎ
２－８＝２是关于ｘ，ｙ的二元一次方程，
则（ｍ＋ｎ）
２＝１．
知识点２ 二元一次方程（组）的解
３．
学科
特色
直接
代入法下列选项中，同时满足二元一次方程ｘ－ｙ＝９
和４ｘ＋３ｙ＝１的是
（Ａ）
Ａ．
ｘ＝４
ｙ＝－５
{
Ｂ．
ｘ＝－４
ｙ＝５
{
Ｃ．
ｘ＝－２
ｙ＝３
{
Ｄ．
ｘ＝３
ｙ＝－６
{
４．新
考向
开放探究题
「2025 宁夏银川期末」若
ｘ＝１，
ｙ＝１
{
是方程组
ｘ＋ｙ＝２，
……
{
的解，则“……”可以是
ｘ－ｙ＝０（答案不唯
一）．
５．「2022 四川雅安中考」已知
ｘ＝１，
ｙ＝２
{
是方程ａｘ＋ｂｙ＝３的
解，则２ａ＋４ｂ－５的值为１．
６．
学科
特色
教材
变式「2024 陕西西安理工大学附中月考」已知下列三组
数值
ｘ＝－１，
ｙ＝１；
{
ｘ＝２，
ｙ＝５；
{
ｘ＝４，
ｙ＝１１．
{
（１）哪几组数值是方程ｙ＝３ｘ－１的解？
（２）哪几组数值是方程３ｙ－４ｘ＝７的解？
（３）哪几组数值是方程组
ｙ＝３ｘ－１，
３ｙ－４ｘ＝７
{
的解？
见答案册Ｄ３９
知识点３ 列二元一次方程组
７．根据题意列出方程组：
（１）一份试卷共有３０道题，规定答对一道题得４
分，答错一道题扣１分，小明每道题都做了，共
得了９５分，那么他答对了几道题？答错了几
道题？
（２）明明到邮局买单价为０．８元与２元的邮票共１３
枚，共花去２０元钱，问：明明两种邮票各买了
多少枚？
（３）某校为做好大课间活动，计划购买一些体育用
品，备选体育用品及单价如下表：
备选体育用品
篮球
排球
单价／元
１００
８０
购买篮球和排球共１０个，恰好用了９００元．问：
篮球和排球各购买多少个？
见答案册Ｄ４０
ᑧү Ӭ
８．新
考向
数学文化「2024 山东泰安中考，
」我国古代《四元玉
鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用
九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若…
…，……，试问买甜果、苦果各几个？若设买甜果ｘ
个，买苦果ｙ个，则可列出符合题意的二元一次方
程组
ｘ＋ｙ＝１０００，
１１
９ｘ＋４
７ｙ＝９９９，
ì
î
í
ïï
ïï
根据已有信息，题中用“……，
……”表示的缺失的条件应为
（Ｄ）
Ａ．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
Ｂ．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
Ｃ．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
Ｄ．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
᮰
6
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中的实际问题时，根据已知量与未知量之间的联系及相等关系建立方
程或方程组，从而使问题获得解决的思想称为方程思想．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
６７
９．「2023 黑龙江齐齐哈尔中考，
」为提高学生学习兴
趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同
学购买了一根长度为１５０ｃｍ的导线，将其全部截
成１０ｃｍ和２０ｃｍ两种长度的导线用于实验操作
（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有
（Ｃ）
Ａ．５种
Ｂ．６种
Ｃ．７种
Ｄ．８种
１０．「2024 江苏南京外国语学校月考，
」现有甲、乙两种
金属的合金１０千克，第一次加入甲种金属若干，
重新熔炼后的合金中甲种金属占３份，乙种金属
占２份．第二次加入的甲种金属的质量是第一次
的２倍，重新熔炼后的合金中甲种金属占７份，乙
种金属占３份．设原来这块合金中甲种金属是ｘ
千克，第一次加入的甲种金属是ｙ千克，可列二元
一次方程组为
ｘ＋ｙ＝６＋３
５ｙ
ｘ＋３ｙ＝７＋２１
１０ｙ
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
．
１１．跨
物理
天平
「2024 广西河池期中，
」有一架天平，天平
左盘放有一个物体，质量为（５ｘ＋４ｙ）克，右盘放有
砝码，每个砝码的质量为１５克，当右盘放有２个
砝码时，天平处于平衡状态．
（１）若ｙ＝３，求ｘ的值．
（２）若一个二元一次方程的解ｍ，ｎ都是正整数，
我们把ｍ，ｎ称为该方程的正整数解，如方程
ｍ＋ｎ＝２的正整数解为
ｍ＝１，
ｎ＝１，
{
求本题中ｘ，ｙ
的正整数解．
（３）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔
作为奖品给成绩优异的同学，笔记本和圆珠
笔的单价均为正整数．若购买５本笔记本和８
支圆珠笔共需要１２０元，求购买４本笔记本
和５支圆珠笔的费用．
解析
（１）由题意得５ｘ＋４ｙ＝２×１５，
将ｙ＝３代入，得５ｘ＋４×３＝３０，解得ｘ＝３．６．
（２）由题意得５ｘ＋４ｙ＝３０，整理得ｘ＝６－４
５ｙ，
当ｙ＝５时，ｘ＝６－４＝２，当ｙ＝１０时，ｘ＝６－８＝－２，
舍去，
∴ｘ，ｙ的正整数解只有
ｘ＝２，
ｙ＝５．
{
（３）设笔记本的单价为ｘ元，圆珠笔的单价为ｙ
元，由题意得５ｘ＋８ｙ＝１２０，整理得ｘ＝２４－８
５ｙ．
∵ｘ，ｙ均为正整数，∴
ｘ＝１６，
ｙ＝５
{
或
ｘ＝８，
ｙ＝１０．
{
当ｘ＝１６，ｙ＝５时，４ｘ＋５ｙ＝４×１６＋５×５＝８９．
当ｘ＝８，ｙ＝１０时，４ｘ＋５ｙ＝４×８＋５×１０＝８２．
综上，购买４本笔记本和５支圆珠笔的费用为８９
元或８２元．
б ͞
１２．新
课标
运算能力「2024 河南漯河月考」把形如ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ
是常数，ａ≠０，ｘ，ｙ是未知数）的方程称为“雅系二
元一次方程”，当ｙ＝ｘ时，“雅系二元一次方程”ｙ
＝ａｘ＋ｂ中ｘ的值称为“雅系二元一次方程”的“完
美值”．例如：当ｙ＝ｘ时，“雅系二元一次方程”ｙ＝
３ｘ－４可化为ｘ＝３ｘ－４，其“完美值”为ｘ＝２．
（１）求“ 雅系二元一次方程” ｙ＝６ｘ＋５的“ 完美
值”．
（２）若ｘ＝２是“雅系二元一次方程” ｙ＝２ｘ＋ｍ的
“完美值”，求ｍ的值．
解析 （１）当ｙ＝ｘ时，ｙ＝６ｘ＋５可化为ｘ＝６ｘ＋５，
解得ｘ＝－１，即“雅系二元一次方程” ｙ＝６ｘ＋５的
“完美值”是ｘ＝－１．
（２）将ｙ＝ｘ＝２代入“雅系二元一次方程”ｙ＝２ｘ＋
ｍ，得２＝２×２＋ｍ，∴ｍ＝－２．
᮰
6
养心会使身体得到调整，运动能使精神得到休息，养生要有豁达乐观的心态，健身需要坚韧不拔的意志！
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
６８
２ 二元一次方程组的解法
第1 课时 代入消元法
ۻᆱ݆
知识点 代入消元法
１．「2024 福建厦门五中期中」用代入消元法解方程组
ｙ＝－ｘ＋２①，
２ｘ－３ｙ＝４②
{
时，将方程①代入②，所得方程正确的是
（Ｄ）
Ａ．２ｘ－３ｘ－６＝４
Ｂ．２ｘ＋３ｘ－２＝４
Ｃ．２ｘ－３ｘ＋６＝４
Ｄ．２ｘ＋３ｘ－６＝４
２．「2023 江西上饶余干月考」已知二元一次方程组
５ｙ＝４ｘ＋３①，
４ｙ＝ｘ＋４②，
{
下列解法中比较简便的是
（Ｄ）
Ａ．利用①，用含ｘ的式子表示ｙ，再代入②
Ｂ．利用①，用含ｙ的式子表示ｘ，再代入②
Ｃ．利用②，用含ｘ的式子表示ｙ，再代入①
Ｄ．利用②，用含ｙ的式子表示ｘ，再代入①
３．
学科
特色多解法「2025 湖南衡阳耒阳月考」二元一次方程组
ｘ－ｙ＝１，
２ｘ＋３ｙ＝２
{
的解是
（Ａ）
Ａ．
ｘ＝１
ｙ＝０
{
Ｂ．
ｘ＝２
ｙ＝－１
{
Ｃ．
ｘ＝２．５
ｙ＝３．５
{
Ｄ．
ｘ＝１．４
ｙ＝－０．４
{
４．
学科
特色易错题「2024 河南信阳期末」老师设计了一个解方
程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一
步，每人只能看到前一人给的结果，并进行一步计
算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成
该方程组的求解，如图所示，合作中出现错误的同
学是
（Ｂ）
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YZ
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΅
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̭
Ａ．甲 Ｂ．丙 Ｃ．乙和丁 Ｄ．甲和丙
５．
学科
特色易错题「2023 黑龙江哈尔滨哈工大附中月考」若方程组
４ｘ＋３ｙ＝７，
ａｘ＋（ａ－１）ｙ＝３
{
的解中ｘ与ｙ相等，则ａ的值为
（Ｄ）
Ａ．０
Ｂ．－１
Ｃ．１
Ｄ．２
６．「2024 广西南宁三中期末」关于ｘ，ｙ的二元一次方程ａｘ
＋ｂｙ＝５的部分解如下表：
ｘ
１
９
５
ｙ
１
－１
０
则ａ－ｂ的值为－３．
７．「2025 山东济南月考」解方程组：
（１）
２ｙ＝ｘ－５，
３ｘ＋４ｙ＝６５．
{
（２）
４ｘ＋７ｙ＝－１９，
４ｘ－５ｙ＝１７．
{
解析 （１）
２ｙ＝ｘ－５①，
３ｘ＋４ｙ＝６５②，
{
由①得ｘ＝２ｙ＋５③，
把③代入②，得６ｙ＋１５＋４ｙ＝６５，解得ｙ＝５．
把ｙ＝５代入③，得ｘ＝１５．
所以原方程组的解是
ｘ＝１５，
ｙ＝５．
{
（２）
４ｘ＋７ｙ＝－１９①，
４ｘ－５ｙ＝１７②，
{
由②得４ｘ＝１７＋５ｙ③，
把③代入①，得１７＋５ｙ＋７ｙ＝－１９，解得ｙ＝－３，
把ｙ＝－３代入②，得４ｘ－５×（－３）＝１７，解得ｘ＝０．５，
所以原方程组的解是
ｘ＝０．５，
ｙ＝－３．
{
８．请判断下列方程组的解法是否有错误，若有错误，
错误的原因是什么？并求出正确答案．
用代入消元法解方程组
２ｘ＋５ｙ＝－２１①，
ｘ＋３ｙ＝８②．
{
解：由②得ｘ＝８－３ｙ③，
把③代入②，得８－３ｙ＋３ｙ＝８，化简，得８＝８，
∴ｙ可以为任何值，∴ｘ可以为任何值，
∴原方程组有无数组解．
᮰
6
代入法：方程组中看一看，系数简单好替换，替换方程写上③，代入消元更简单，一替一消成一元，解着简单更
方便．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
６９
解析 有错误，原因：等式③是由方程②推导出来
的，应该把③代入①．
将③代入①，得２（８－３ｙ）＋５ｙ＝－２１，解得ｙ＝３７，
∴ｘ＝８－３×３７＝－１０３，
∴原方程组的解为
ｘ＝－１０３，
ｙ＝３７．
{
ᑧү Ӭ
９．「2025 安徽蚌埠月考，
」若单项式２ａ
ｍｂ
２与－ａ
４ｂ
ｎ是
同类项，则方程组
ｘ＝ｍｙ，
ｎｘ＋ｙ＝ｍｎ
{
的解为
（Ａ）
Ａ．
ｘ＝３２
９
ｙ＝８
９
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
Ｂ．
ｘ＝４
９
ｙ＝２
９
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
Ｃ．
ｘ＝－４
９
ｙ＝－２
９
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
Ｄ．
ｘ＝－３２
９
ｙ＝－８
９
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
１０．「2024 宁夏银川月考，
」若３ｘ
３ｍ－４ｎ－１＋５ｙ
ｍ－２ｎ＋１＝４是
关于ｘ，ｙ的二元一次方程，则ｍ
ｎ的值为２．
１１．「2024 河北沧州期末，
」对于关于ｘ，ｙ的二元一次
方程组
ｘ－ｙ＝３ａ，
ｘ＋３ｙ＝２－ａ，
{
佳佳通过计算发现，无论ａ取
何值，ｘ＋２ｙ的值始终不变，这个值是１．５．
１２．「
」解方程组：
（１）２ｘ＋５ｙ
３
＝ｘ－２ｙ
６
＝２．
（２）
３（ｘ＋ｙ）－２（ｘ－ｙ）＝１３，
ｘ＋ｙ
６＋ｘ－ｙ
５＝－５
６．
ì
î
í
ïï
ïï
解析 （１）整理，得
２ｘ＋５ｙ＝６①，
ｘ－２ｙ＝１２②，
{
由②得ｘ＝１２＋２ｙ③，
把③代入①，得２（１２＋２ｙ）＋５ｙ＝６，解得ｙ＝－２，
把ｙ＝－２代入③，得ｘ＝１２＋２×（－２）＝８，
所以原方程组的解为
ｘ＝８，
ｙ＝－２．
{
（２）【解法一】整理，得
ｘ＋５ｙ＝１３①，
１１ｘ－ｙ＝－２５②，
{
由①得ｘ＝１３－５ｙ③，
把③代入②，得１１（１３－５ｙ）－ｙ＝－２５，解得ｙ＝３，
把ｙ＝３代入③，得ｘ＝１３－５×３＝－２．
所以原方程组的解是
ｘ＝－２，
ｙ＝３．
{
【解法二】换元法：设ｘ＋ｙ＝ｍ，ｘ－ｙ＝ｎ，则原方程组
可变为
３ｍ－２ｎ＝１３，
ｍ
６＋ｎ
５＝－５
６，
ì
î
í
ïï
ïï
整理，得
３ｍ－２ｎ＝１３①，
５ｍ＋６ｎ＝－２５②，
{
解得
ｍ＝１，
ｎ＝－５，
{
所以
ｘ＋ｙ＝１，
ｘ－ｙ＝－５，
{
解得
ｘ＝－２，
ｙ＝３，
{
所以原方程组的解是
ｘ＝－２，
ｙ＝３．
{
１３．「
」已知（３ｘ＋２ｙ－４）
２与４ｘ－ｙ－９互为相反数，
求ｙ
ｘ的值．
解析 依题意，得（３ｘ＋２ｙ－４）
２＋４ｘ－ｙ－９＝０，
所以
３ｘ＋２ｙ－４＝０①，
４ｘ－ｙ－９＝０②，
{
由②得ｙ＝４ｘ－９③．
将③代入①，得３ｘ＋２（４ｘ－９）－４＝０，解得ｘ＝２．
将ｘ＝２代入③，得ｙ＝－１，
所以ｙ
ｘ＝（－１）
２＝１．
б ͞
１４．新
课标
运算能力「2024 山东枣庄期末改编」阅读材料：善于思
考的小华在解方程组
２ｘ＋５ｙ＝３①，
４ｘ＋１１ｙ＝５②
{
时，采用了一
种“整体代入”的解法．
解：将方程②变形，得４ｘ＋１０ｙ＋ｙ＝５，
即２（２ｘ＋５ｙ）＋ｙ＝５③，
将方程①代入③，得２×３＋ｙ＝５，解得ｙ＝－１，
把ｙ＝－１代入①，得２ｘ－５＝３，解得ｘ＝４，
所以原方程组的解为
ｘ＝４，
ｙ＝－１．
{
请你模仿小华的“ 整体代入” 法解方程组
３ｘ－２ｙ＝５①，
９ｘ－４ｙ＝１９②．
{
见答案册Ｄ４２
᮰
6
对准一个目标，毫不动摇，全力以赴．只有这样才能逐渐增加自己成功的可能性，甚至成就一番意想不到的事业．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
７０
第2 课时 加减消元法
ۻᆱ݆
知识点 加减消元法
１．「2024 山西吕梁期末」解方程组
８ｘ－５ｙ＝２①，
８ｘ＋ｙ＝１４②
{
时，由②
－①得
（Ａ）
Ａ．６ｙ＝１２
Ｂ．２ｙ＝８
Ｃ．－２ｙ＝８
Ｄ．－４ｙ＝８
２．「2024 山东聊城期中」用加减消元法解方程组
２ｘ－３ｙ＝４①，
３ｘ＋２ｙ＝３②，
{
下列解法正确的是
（Ｃ）
Ａ．①×３＋②×２消去ｘ
Ｂ．①×３－②×２消去ｙ
Ｃ．①×２＋②×３消去ｙ
Ｄ．①×２＋②×３消去ｘ
３．「2024 河南南阳邓州期末」已知方程组Ⅰ
３ｘ－２ｙ＝４，
２ｘ＋５ｙ＝４，
{
Ⅱ
４ｘ－３ｙ＝０，
５ｘ＋３ｙ＝４，
{
Ⅲ
２ｘ＋５ｙ＝１，
２ｘ－３ｙ＝－５，
{
Ⅳ
３ｘ－２ｙ＝１，
３ｙ－２ｘ＝４，
{
用加减消
元法求解较为简便的是
（Ｃ）
Ａ．Ⅰ，Ⅳ
Ｂ．Ⅰ，Ⅱ
Ｃ．Ⅱ，Ⅲ
Ｄ．Ⅰ，Ⅲ
４．
学科
特色多解法「2024 黑龙江牡丹江期末」已知ｍ，ｎ满足方程
组
ｍ－２ｎ＝３ａ，
２ｍ＋５ｎ＝９，
{
则ｍ＋ｎ－ａ的值是
（Ｃ）
Ａ．４
Ｂ．－４
Ｃ．３
Ｄ．－３
５．「2024 江苏徐州铜山月考」若ａ＝１，则关于ｘ，ｙ的二元
一次方程组
ｘ＋ｙ＝３，
２ｘ－ａｙ＝５
{
的解是
ｘ＝８
３
ｙ＝１
３
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
．
６．「2025 陕西西安月考」解下列方程组．
（１）
ｘ－３ｙ＝－１０，
ｘ＋ｙ＝６．
{
（２）
ｘ
２－ｙ－１
３＝１，
４ｘ－ｙ＝７．
ì
î
í
ïï
ïï
见答案册Ｄ４２
７．新
考向
过程性学习试题「2024 山西忻州期末改编」下面是淇淇同学
解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答
问题．
解方程组：２ｘ＋ｙ＝３①，
６ｘ＋２ｙ＝５②．
{
解：①×３，得６ｘ＋３ｙ＝３③．
第一步
………………
③－②，得ｙ＝－２．
第二步
…………………………
将ｙ＝－２代入①，得２ｘ－２＝３，解得ｘ＝５
２．
第三步
……
………………………………………
所以原方程组的解为ｘ＝５
２，
ｙ＝－２．
ì
î
í
ïï
ïï
第四步
…………
（１）这种求解二元一次方程组的方法叫作
加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依
据是等式的基本性质．
（２）第一步开始出现错误，具体错误是等式①
的右边漏乘３．
（３）求该方程组的解．
见答案册Ｄ４２
ᑧү Ӭ
８．「2025 河南驻马店二中月考，
」在解关于ｘ，ｙ的方程
组
（ｍ＋１）ｘ－ｎｙ＝８①，
ｎｘ＋ｍｙ＝１１②
{
时，可以用①× ２＋②消去未
知数ｘ，也可以用①＋②×５消去未知数ｙ，则ｍ－ｎ＝
（Ｄ）
Ａ．４
Ｂ．－８
３
Ｃ．－６
７
Ｄ．８
７
９．「2023 四川眉山中考，
」已知关于ｘ，ｙ的二元一次方程
组
３ｘ－ｙ＝４ｍ＋１，
ｘ＋ｙ＝２ｍ－５
{
的解满足ｘ－ｙ＝４，则ｍ的值为（Ｂ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．２
Ｄ．３
１０．「2024 广东深圳北京师范大学南山附属学校期中，
」若
ｘ＋ｙ＋１＋（ｘ－ｙ＋５）
２＝０，则ｘｙ的值为
（Ｂ）
Ａ．６
Ｂ．－６
Ｃ．５
Ｄ．－５
１１．「2024 河南安阳月考，
」在式子ｘ
２＋ａｘ＋ｂ中，当ｘ＝
２时，其值是３，当ｘ＝－３时，其值是３，则当ｘ＝１
时，其值是
（Ｄ）
Ａ．５
Ｂ．３
Ｃ．－３
Ｄ．－１
᮰
6
消元思想是将未知数的个数由多化少，逐一解决的数学思想，体现了数学的转化与归纳思想．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
７１
１２．「
」已知
３ｘ＋ｙ＝７，
ｘ＋３ｙ＝５，
{
则代数式ｘ
２－ｙ
２的值为３．
１３．新
考向
新定义题「2025 湖南怀化期末，
」对于有理数ｘ，ｙ，
定义新运算：ｘ∗ｙ＝ａｘ＋ｂｙ－５，其中ａ，ｂ为常数，已
知１∗２＝－９，（－３）∗３＝－２，则ａ－ｂ＝－１．
１４．「
」解二元一次方程组：
（１）
ｙ
４－ｘ
３＝１，
０．３ｘ－ｙ＝０．６．
ì
î
í
ïï
ïï
（２）
３（２ｘ－ｙ）＋４（ｘ－２ｙ）＝４３，
２（３ｘ－ｙ）－３（ｘ－ｙ）＝０．
{
解析 （１）方程组整理得
３ｙ－４ｘ＝１２①，
３ｘ－１０ｙ＝６②，
{
①×３＋②×４，得－３１ｙ＝６０，解得ｙ＝－６０
３１，
把ｙ＝－６０
３１代入①，得－１８０
３１－４ｘ＝１２，解得ｘ＝－１３８
３１，
∴原方程组的解是
ｘ＝－１３８
３１，
ｙ＝－６０
３１．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
（２）
３（２ｘ－ｙ）＋４（ｘ－２ｙ）＝４３①，
２（３ｘ－ｙ）－３（ｘ－ｙ）＝０②，
{
化简①，得１０ｘ－１１ｙ＝４３③，化简②，得３ｘ＋ｙ＝０④，
③＋④×１１，得４３ｘ＝４３，解得ｘ＝１，
把ｘ＝１代入④，得ｙ＝－３，∴原方程组的解
为
ｘ＝１，
ｙ＝－３．
{
б ͞
１５．新
课标
运算能力「2024 河南洛阳洛宁期中」阅读下列
材料：
小明同学在学习解二元一次方程组时遇到了这
样一个问题：解方程组
２ｘ＋３ｙ
４
＋２ｘ－３ｙ
３
＝７，
２ｘ＋３ｙ
３
＋２ｘ－３ｙ
２
＝８．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求
解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中
的２ｘ＋３ｙ看成一个整体，把２ｘ－３ｙ看成一个整体，
通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令ｍ＝２ｘ＋３ｙ，ｎ＝２ｘ－３ｙ．原方程组可化为
ｍ
４＋ｎ
３＝７，
ｍ
３＋ｎ
２＝８，
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
解得
ｍ＝６０，
ｎ＝－２４．
{
把
ｍ＝６０，
ｎ＝－２４
{
代入ｍ＝２ｘ＋３ｙ，ｎ＝２ｘ－３ｙ，
得
２ｘ＋３ｙ＝６０，
２ｘ－３ｙ＝－２４，
{
解得
ｘ＝９，
ｙ＝１４，
{
∴原方程组的解为
ｘ＝９，
ｙ＝１４．
{
（１）解方程组：
２（ｘ＋１）＋３（ｙ－２）＝１，
（ｘ＋１）－２（ｙ－２）＝４．
{
（２）已知关于ｘ，ｙ的方程组
ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１，
ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２
{
的解为
ｘ＝３，
ｙ＝４，
{
则关于ｍ，ｎ的方程组
ａ１（ｍ＋２）－ｂ１ｎ＝ｃ１，
ａ２（ｍ＋２）－ｂ２ｎ＝ｃ２
{
的解是
．
解析 （１）令ｍ＝ｘ＋１，ｎ＝ｙ－２．
原方程组可化为
２ｍ＋３ｎ＝１，
ｍ－２ｎ＝４，
{
解得
ｍ＝２，
ｎ＝－１，
{
把
ｍ＝２，
ｎ＝－１
{
代入ｍ＝ｘ＋１，ｎ＝ｙ－２，
得
ｘ＋１＝２，
ｙ－２＝－１，
{
解得
ｘ＝１，
ｙ＝１，
{
∴原方程组的解
为
ｘ＝１，
ｙ＝１．
{
（２）在
ａ１（ｍ＋２）－ｂ１ｎ＝ｃ１，
ａ２（ｍ＋２）－ｂ２ｎ＝ｃ２
{
中，令ｘ＝ｍ＋２，ｙ＝－ｎ，
则
ａ１（ｍ＋２）－ｂ１ｎ＝ｃ１，
ａ２（ｍ＋２）－ｂ２ｎ＝ｃ２
{
可化为
ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１，
ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２，
{
∵方程组
ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＝ｃ１，
ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＝ｃ２
{
的解为
ｘ＝３，
ｙ＝４，
{
∴
ｍ＋２＝３，
－ｎ＝４，
{
∴
ｍ＝１，
ｎ＝－４．
{
᮰
6
年轻的我们自信飞扬，青春的气息如同初升的朝阳，蓬勃的力量如同阳光的挥洒．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
７２
专项突破７ 二元一次方程（组）三种特殊解问题
题型１ 同解问题
１．「2024 陕西省山阳中学期末改编」已知关于ｘ，ｙ的二元一
次方程组
２ｘ＋ｙ＝７，
ｘ＋２ｙ＝ｍ－３
{
的解也是方程ｘ－ｙ＝２的解，
则ｍ的值为８．
２．「2025 陕西西安高新一中月考」已知关于ｘ，ｙ的方程组
ｘ＋２ｙ＝１０，
ａｘ＋ｂｙ＝１
{
与
２ｘ－ｙ＝５，
ｂｘ＋ａｙ＝６
{
的解相同，则代数式４ａ
２＋
ｂ
２的值为２５．
题型２ 错解问题
３．「2024 甘肃兰州十九中期末」小明在解方程组
ａｘ＋ｂｙ＝２，
ｃｘ－３ｙ＝－２
{
时，解得
ｘ＝１，
ｙ＝－１，
{
小英同样解这个方程组，
由于把ｃ抄错了，得到的解是
ｘ＝２，
ｙ＝－６，
{
求ａ，ｂ，ｃ的值．
见答案册Ｄ４４
４．「2025 河南郑州期中」上数学课时，陈老师让同学们解
关于ｘ，ｙ的方程组
ａｘ＋３ｙ＝－５①，
２ｘ－ｂｙ＝１４②，
{
并请小方和小龙
两位同学到黑板上写出求解过程．小方同学看错了
方程①中的ａ，得到方程组的解为
ｘ＝３，
ｙ＝２，
{
小龙同学看
错了方程②中的ｂ，得到方程组的解为
ｘ＝－２，
ｙ＝－１．
{
你能
求出正确的方程组的解吗？请试一试．
见答案册Ｄ４４
题型３ 整数解问题
５．「2025 黑龙江大庆肇源期中」二元一次方程ｘ＋２ｙ＝７的
正整数解有
（Ｃ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
６．「2024 福建泉州德化期中」已知关于ｘ，ｙ的二元一次方
程２ｘ＋３ｙ＝８．
（１）若
ｘ＝２，
ｙ＝ｍ，
{
ｘ＝１，
ｙ＝ｎ
{
是该方程的解，求２ｍ＋ｎ的值．
（２）求该方程的非负整数解，小康给出如下方法：
解：将２ｘ＋３ｙ＝８变形为ｘ＝８－３ｙ
２
＝４－３ｙ
２，
∵ｘ，ｙ均为非负整数，∴ｙ是２的倍数，当ｙ＝０
时，ｘ＝４，当ｙ＝２时，ｘ＝１，当ｙ＝４时，ｘ＝－２＜０，
不合题意，舍去，∴方程２ｘ＋３ｙ＝８的非负整数解
为
ｘ＝４，
ｙ＝０
{
和
ｘ＝１，
ｙ＝２．
{
请仿照上述方法求方程３ｘ＋５ｙ＝２０的非负整
数解．
（３）现有两个二元一次方程ｘ＋３ｙ＝１０和９ｘ＋２ｙ＝
４０，由这两个二元一次方程组成一个二元一次
方程组，是否存在一组非负整数ｘ，ｙ，恰好是这
个二元一次方程组的解？若存在，求出ｘ，ｙ的
值；若不存在，请说明理由．
解析 （１）将
ｘ＝２，
ｙ＝ｍ，
{
ｘ＝１，
ｙ＝ｎ
{
分别代入２ｘ＋３ｙ＝８中，
得４＋３ｍ＝８，２＋３ｎ＝８，解得ｍ＝４
３，ｎ＝２，
∴２ｍ＋ｎ＝２× ４
３＋２＝１４
３．
（２）将３ｘ＋５ｙ＝２０变形为ｙ＝２０－３ｘ
５
＝４－３ｘ
５，
∵ｘ，ｙ均为非负整数，∴ｘ是５的倍数，
当ｘ＝０时，ｙ＝４，当ｘ＝５时，ｙ＝１，当ｘ＝１０时，ｙ＝－２
＜０，不合题意，舍去，
故方程３ｘ＋５ｙ＝２０的非负整数解为
ｘ＝０，
ｙ＝４
{
和
ｘ＝５，
ｙ＝１．
{
（３）存在．
由题意可得
ｘ＋３ｙ＝１０①，
９ｘ＋２ｙ＝４０②，
{
②×３－①×２，得２５ｘ＝１００，解得ｘ＝４，
将ｘ＝４代入①，得４＋３ｙ＝１０，解得ｙ＝２，
故存在一组非负整数ｘ，ｙ，恰好是这个二元一次方
程组的解，即
ｘ＝４，
ｙ＝２．
{
᮰
6
对于古算方程题，读懂大意是关键，两个等量关系式，列出方程组解题，检验无误再作答．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
７３
３ 二元一次方程组的应用
第1 课时 列二元一次方程组解古代问题
ۻᆱ݆
知识点 列方程组解古代问题
１．「2024 山东聊城期末」《九章算术》是中国古代的一本
重要数学著作，其中一道应用题的译文如下：五只
雀、六只燕，共重１６两，雀重燕轻．互换其中一只，
恰好一样重．问每只雀、燕的质量各为多少？设雀
每只ｘ两，燕每只ｙ两，则可列方程组为
（Ｄ）
Ａ．
５ｘ＋６ｙ＝１６
５ｘ＋ｙ＝６ｙ＋ｘ
{
Ｂ．
６ｘ＋５ｙ＝１６
５ｘ＋ｙ＝４ｙ＋ｘ
{
Ｃ．
６ｘ＋５ｙ＝１６
６ｘ＋ｙ＝５ｙ＋ｘ
{
Ｄ．
５ｘ＋６ｙ＝１６
４ｘ＋ｙ＝５ｙ＋ｘ
{
２．新
考向
数学文化「2025 湖南怀化期末」《九章算术》是中国传统
数学著作，“方程术”中记载：“今有大器五、小器一
容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几
何？”译文：今有５个大容器和１个小容器的总容积
为３斛（斛是古代的一种容量单位），１个大容器和
５个小容器的总容积为２斛．问：大容器、小容器的
容积各是多少斛？设１个大容器的容积为ｘ斛，１
个小容器的容积为ｙ斛，根据题意，可列方程组为
（Ｃ）
Ａ．
５ｘ＋ｙ＝３
３ｘ＋ｙ＝２
{
Ｂ．
５ｙ＋ｘ＝３
ｘ＝２＋ｙ
{
Ｃ．
５ｘ＋ｙ＝３
ｘ＋５ｙ＝２
{
Ｄ．
５ｘ＋ｙ＝２
ｘ＋５ｙ＝３
{
３．「2024 湖北黄石月考」我国明代数学读本《算法统宗》
中有一道题，其题意如下：客人一起分银子，若每人
分７两，还剩４两，若每人分９两，还差８两，则人
数为６，银子共有４６两．
４．「2022 江苏徐州中考」《孙子算经》是中国古代重要的
数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四
首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几
何？”译文：今有一种６头４脚的兽与一种４头２脚
的鸟，若兽与鸟共有７６个头与４６只脚，问兽、鸟分
别有多少？
根据译文，解决下列问题：
（１）设兽有ｘ个，鸟有ｙ只，请写出ｘ，ｙ满足的方
程组．
（２）求兽、鸟分别有多少．
解析 （１）
６ｘ＋４ｙ＝７６，
４ｘ＋２ｙ＝４６．
{
（２）
６ｘ＋４ｙ＝７６，
４ｘ＋２ｙ＝４６
{
可化简为
３ｘ＋２ｙ＝３８①，
２ｘ＋ｙ＝２３②，
{
由②得ｙ＝２３－２ｘ③，将③代入①，
得３ｘ＋２（２３－２ｘ）＝３８，解得ｘ＝８，
所以ｙ＝２３－２ｘ＝２３－２×８＝７．
答：兽有８个，鸟有７只．
５．「2024 河北张家口月考」我国古代数学著作《增删算法
统宗》中记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，
一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少
数？”大意：今有１０００官兵分１０００匹布，１官分４
匹，４兵分１匹．问官和兵各有多少人？
解析 设官有ｘ人，兵有ｙ人，
根据题意，得
ｘ＋ｙ＝１０００，
４ｘ＋１
４ｙ＝１０００，
ì
î
í
ïï
ïï
解得
ｘ＝２００，
ｙ＝８００．
{
答：官有２００人，兵有８００人．
ᑧү Ӭ
６．「2024 吉林松原期末，
」《一千零一夜》中有这样一
段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一
部分在树下觅食，树上的一只鸽子对树下的鸽子说：
“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群
的１
３；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数
一样多．”树上有７只鸽子，树下有５只鸽子．
᮰
6
要装进一杯新泉，你就必须倒掉已有的陈水；要获取一枝玫瑰，你就必须放弃到手的蔷薇；要多一份独特的体验，
你就必须多一份心灵的创伤．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
７４
７．「2025 福建福州一中调研，
」我国古典数学文献《增
删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算” 的问
题：“甲乙隔沟放牧，二人暗里参详．甲云得乙九只
羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”
翻译成现代文，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放
牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九
只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你
的九只羊，咱俩的羊就一样多．”求甲、乙各有多少
只羊．
解析 设甲有ｘ只羊，乙有ｙ只羊，
由题意得
ｘ＋９＝２（ｙ－９），
ｘ－９＝ｙ＋９，
{
解得
ｘ＝６３，
ｙ＝４５．
{
答：甲有６３只羊，乙有４５只羊．
８．「2024 陕西咸阳永寿期中，
」中国古代数学家程大位
的著作《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆
中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，
薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜
生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗的意
思是醇酒１瓶，可以醉倒３位客人，薄酒３瓶，可以醉
倒１位客人，如果３３位客人总共饮下了１９瓶酒，且
都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？
解析 设他们醇酒饮了ｘ瓶，薄酒饮了ｙ瓶，
根据题意得
ｘ＋ｙ＝１９，
３ｘ＋１
３ｙ＝３３，
ì
î
í
ïï
ïï
解得
ｘ＝１０，
ｙ＝９．
{
答：他们醇酒饮了１０瓶，薄酒饮了９瓶．
б ͞
９．新
课标
应用意识「2024 湖南长沙一中月考」阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与
《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史
上非常著名的不定方程问题，通常称为“ 百鸡问
题”：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值
钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
译文：一只公鸡值五钱，一只母鸡值三钱，三只小鸡
值一钱．现在用一百钱买一百只鸡，问这一百只鸡
中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
设母鸡有ｘ只，公鸡有ｙ只．
（１）①小鸡有
只，买小鸡一共花费
钱．（用含ｘ，ｙ的式子表示）
②根据题意，列出一个含有ｘ，ｙ的方
程： ．
（２）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量比公
鸡数量的４倍多２只，求此时公鸡、母鸡、小鸡
各有多少只．
（３）除了问题（２）中的解之外，请你再直接写出两
组符合“百鸡问题”的解．
解析 （１）①（１００－ｘ－ｙ）；１００－ｘ－ｙ
３
．
②３ｘ＋５ｙ＋１００－ｘ－ｙ
３
＝１００．
（２）根据题意得
ｘ＝４ｙ＋２，
３ｘ＋５ｙ＋１００－ｘ－ｙ
３
＝１００，
ì
î
í
ïï
ïï
解得
ｘ＝１８，
ｙ＝４，
{
∴１００－ｘ－ｙ＝７８．
答：公鸡有４只，母鸡有１８只，小鸡有７８只．
（３）根据题意得３ｘ＋５ｙ＋１００－ｘ－ｙ
３
＝１００，
化简得ｘ＝２５－７
４ｙ，
当ｙ＝０时，ｘ＝２５，１００－ｘ－ｙ＝７５；
当ｙ＝４时，ｘ＝１８，１００－ｘ－ｙ＝７８；
当ｙ＝８时，ｘ＝１１，１００－ｘ－ｙ＝８１；
当ｙ＝１２时，ｘ＝４，１００－ｘ－ｙ＝８４；
当ｙ＝１６时，ｘ＝－３，舍去．
故除了问题（２）中的解之外，以下三组答案，写出
其中任意两组即可：①公鸡有０只，母鸡有２５只，
小鸡有７５只；②公鸡有８只，母鸡有１１只，小鸡有
８１只；③公鸡有１２只，母鸡有４只，小鸡有８４只．
᮰
6
要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程÷时间；工作量问题：工作效率＝工作总量÷工作时间．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
７５
第2 课时 利用列表法找等量关系
ۻᆱ݆
知识点 借助列表法找等量关系
１．「2025 广东深圳坪山期末」某粮食生产专业户去年计划
生产水稻和小麦共１８ｔ，实际生产了２０ｔ，其中水稻
超产１５％，小麦超产１０％，问该专业户去年计划生
产水稻、小麦各多少？设该专业户去年计划生产水
稻ｘｔ，小麦ｙｔ，则下列方程组正确的是
（Ａ）
Ａ．
ｘ＋ｙ＝１８
（１＋１５％）ｘ＋（１＋１０％）ｙ＝２０
{
Ｂ．
ｘ＋ｙ＝１８
（１＋１０％）ｘ＋（１＋１５％）ｙ＝２０
{
Ｃ．
ｘ＋ｙ＝１８
１５％ｘ＋２０％ｙ＝２０
{
Ｄ．
ｘ＋ｙ＝２０
（１＋１５％）ｘ＋（１＋２０％）ｙ＝１８
{
２．「2025 黑龙江绥化期末」某学校去商场购买办公用品，
买５０件Ａ商品和３０件Ｂ商品需要９２０元，买６０
件Ａ商品和１０件Ｂ商品需要１０００元，则购买一
件Ａ商品和一件Ｂ商品需要２０元．
３．
学科
特色多解法在专家的指导下，小明家种植的大棚草莓
喜获丰收，去年大棚草莓的利润（利润＝收入－支
出）为１２０００元，今年大棚草莓的收入比去年增加
了２０％，支出增加了１０％，预计今年的利润为
１５２００元，求今年小明家大棚草莓的收入和支出各
是多少元．
见答案册Ｄ４５
４．「2024 北京延庆期末」学校和博物馆相距２０千米，小
明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如
果小明比小强早出发３０分钟，那么在小强出发后
２小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么１小时
后两人还相距１１千米．求小明、小强的速度．
解析 设小明的速度是ｘ千米／小时，小强的速度是
ｙ千米／小时，根据题意，得
（０．５＋２）ｘ＋２ｙ＝２０，
ｘ＋ｙ＝２０－１１，
{
解
得
ｘ＝４，
ｙ＝５．
{
答：小明的速度为４千米／小时，小强的速度为
５千米／小时．
ᑧү Ӭ
５．「2023 浙江宁波中考，
」茶叶是浙江省农业十大主
导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有
土地６０公顷，计划将其中１０％的土地种植蔬菜，其
余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积
比种粮食的面积的２倍少３公顷，问茶园和种粮食
的面积各多少公顷？设茶园的面积为ｘ公顷，种粮
食的面积为ｙ公顷，可列方程组为
（Ｂ）
Ａ．
ｘ＋ｙ＝６０
ｙ＝２ｘ－３
{
Ｂ．
ｘ＋ｙ＝５４
ｘ＝２ｙ－３
{
Ｃ．
ｘ＋ｙ＝６０
ｘ＝２ｙ－３
{
Ｄ．
ｘ＋ｙ＝５４
ｙ＝２ｘ－３
{
６．「2022 安徽中考，
」某地区２０２０年的进出口总额为
５２０亿元，２０２１年的进出口总额比２０２０年有所增
加，其中进口额增加了２５％，出口额增加了３０％．
（注：进出口总额＝进口额＋出口额）
（１）设２０２０年的进口额为ｘ亿元，出口额为ｙ亿
元，请用含ｘ，ｙ的代数式填表：
年份进口额／亿元出口额／亿元进出口总额／亿元
２０２０
ｘ
ｙ
５２０
２０２１
１．２５ｘ
１．３ｙ
（２）已知２０２１年的进出口总额比２０２０年增加了
１４０亿元，求２０２１年的进口额和出口额分别是
多少亿元．
解析 （１）根据题意，题表中空格应填１．２５ｘ＋１．３ｙ．
（２）根据题意，得
ｘ＋ｙ＝５２０，
１．２５ｘ＋１．３ｙ＝５２０＋１４０，
{
解得
ｘ＝３２０，
ｙ＝２００．
{
１．２５×３２０＝４００（亿元），１．３×２００＝２６０（亿元）．
答：２０２１年的进口额是４００亿元，出口额是２６０
亿元．
᮰
6
踏上跑道，是一种选择；离开起点，是一种勇气；驰骋赛场，是一种胜利．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
７６
７．「2024 安徽滁州天长实验中学模拟，
」泰安某茶叶店经
销泰山女儿茶，第一次购进了Ａ种茶３０盒，Ｂ种茶
２０盒，共花费６０００元；第二次购进时，两种茶每盒
的价格都提高了２０％，该店又购进了Ａ种茶２０
盒，Ｂ种茶１５盒，共花费５１００元．求第一次购进的
Ａ，Ｂ两种茶的价格．
解析 设第一次购进Ａ种茶的价格为ｘ元／盒，Ｂ
种茶的价格为ｙ元／盒，
依题意，得
３０ｘ＋２０ｙ＝６０００，
２０×（１＋２０％）ｘ＋１５×（１＋２０％）ｙ＝５１００，
{
解得
ｘ＝１００，
ｙ＝１５０．
{
答：第一次购进Ａ种茶的价格为１００元／盒，Ｂ种茶
的价格为１５０元／盒．
８．「2024 浙江金华东阳期末，
」某校计划购置篮球、钢
笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用
品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几
个数据不清楚，如图所示．
B'ᝂᏀ/ߟߍȟߍ /
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请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，
即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
解析 设购置钢笔ｘ支，笔记本ｙ本，
根据题意，得
６＋ｘ＋ｙ＝４６，
６×１００＋１５ｘ＋５ｙ＝９００．
{
解得
ｘ＝１０，
ｙ＝３０．
{
１０×１５＝１５０（元），３０×５＝１５０（元）．
答：购置钢笔１０支，金额为１５０元，购置笔记本３０
本，金额为１５０元．
９．「2024 山东泰安月考，
」清明假期，泰山受广大市民
和全国游客青睐．据统计，假期第一天Ａ入口登山
游客比Ｂ入口多１．２万人，第二天Ａ入口登山游客
增加了１０％，Ｂ入口登山游客减少了１０％，当天Ａ，
Ｂ入口登山游客总人数比第一天增加了３％，试求
第二天Ａ，Ｂ入口登山游客的人数各是多少．
解析 设假期第一天Ａ入口登山游客有ｘ万人，Ｂ
入口登山游客有ｙ万人，
根据题意得
ｘ－ｙ＝１．２，
（１＋１０％）ｘ＋（１－１０％）ｙ＝（１＋３％）（ｘ＋ｙ），
{
解得
ｘ＝２．６，
ｙ＝１．４，
{
∴（１＋１０％）ｘ＝（１＋１０％）×２．６＝２．８６，
（１－１０％）ｙ＝（１－１０％）×１．４＝１．２６．
答：假期第二天Ａ入口登山游客的人数是２．８６万，
Ｂ入口登山游客的人数是１．２６万．
б ͞
１０．新
课标
运算能力「2025 宁夏银川三中期末」五一期间，七年级若
干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票
价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题：
（１）求去景区游玩的家长和学生各有多少人．
（２）如果家长和学生一起购买团体票，是否比分
开购买更省钱？请说明理由．
景区票价
成人票：每张９０元．
学生票：按成人票价５折优惠．
团体票：按成人票价７．５折优惠（１０张及以上）．
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解析 （１）设去景区游玩的家长有ｘ人，学生有
ｙ人，
由题意得
ｘ＋ｙ＝９，
９０ｘ＋９０×０．５ｙ＝６３０，
{
解得
ｘ＝５，
ｙ＝４．
{
答：去景区游玩的家长有５人，学生有４人．
（２）家长和学生一起购买团体票不比分开购票更
省钱．理由如下：
购买团体票需要买１０张或１０张以上，家长和学
生共９人，
购买１０张团体票需要１０×０．７５×９０＝６７５（元），
∵６７５＞６３０，∴家长和学生一起购买团体票不比
分开购票更省钱．
᮰
6
列方程组解应用题的一般步骤：（１）审题；（２）设未知数；（３）找等量关系；（４）列方程组；（５）解方程组；
（６）检验；（７）作答．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
７７
第3 课时 利用画图法找等量关系
ۻᆱ݆
知识点 借助画图法找等量关系
１．「2025 四川眉山期末」如图，用１２个形状和大小均相
同的小长方形拼成一个宽是６０厘米的大长方形，
则每个小长方形的周长是
（Ｄ）
Ａ．６０厘米
Ｂ．８０厘米
Ｃ．１００厘米
Ｄ．１２０厘米
２．已知铁路桥长１０００ｍ，一列火车从桥上通过，测得
火车从开始上桥到完全下桥共用１２０ｓ，火车完全
通过一条长６００ｍ的隧道的时间为８０ｓ．如果火车
速度不变，那么火车的速度是１０ｍ／ｓ，火车的长
度为２００ｍ．
３．「2025 辽宁沈阳铁西期末」小明早上骑自行车上学，中
途因道路施工步行（推着自行车）了一段路，到学
校共用时２０分钟．他骑自行车的平均速度是
２００米／分钟，步行的平均速度是７０米／分钟，他从
家到学校的路程是３３５０米．求小明骑自行车和步
行的时间分别为多少分钟．
解析 设小明骑自行车的时间为ｘ分钟，步行的时
间为ｙ分钟，
根据题意得
ｘ＋ｙ＝２０，
２００ｘ＋７０ｙ＝３３５０，
{
解得
ｘ＝１５，
ｙ＝５．
{
答：小明骑自行车的时间为１５分钟，步行的时间为
５分钟．
４．「2024 上海闵行期中」小王购买了一套经济适用房，他
准备将地面铺上地砖，房屋户型如图所示．根据图
中的数据（单位：米），解答问题．
（１）用含ｘ，ｙ的代数式表示地面总面积．
（２）已知客厅面积比卫生间面积多２１平方米，且
地面总面积是卫生间面积的１５倍．如果铺１平
方米地砖的平均费用为１００元，那么铺地砖的
总费用为多少元？
ა
Z
Y
ᝫ
*
K
解析 （１）根据题意可知地面的总面积为３×４＋２ｙ
＋２×３＋６ｘ＝（６ｘ＋２ｙ＋１８）平方米．
（２）由题意得
６ｘ－２ｙ＝２１，
６ｘ＋２ｙ＋１８＝１５×２ｙ，
{
解得
ｘ＝４，
ｙ＝１．５，
{
∴地面总面积为６×４＋２×１．５＋１８＝４５（平方米），
∴铺地砖的总费用为４５×１００＝４５００（元）．
答：铺地砖的总费用为４５００元．
５．「2024 山东聊城期中」黄玉骑自行车去香山，她先以
８千米／小时的速度骑行经过平路，而后又以
４千米／小时的速度上坡到达香山，共用了１．５小时，返
回时，先以１２千米／小时的速度下坡，而后以
９千米／小时的速度骑行经过平路，回到原出发点，共
用了５５分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米．
解析 设平路为ｘ千米，坡路为ｙ千米，
根据题意得
ｘ
８＋ｙ
４＝１．５，
ｘ
９＋ｙ
１２＝５５
６０，
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
解得
ｘ＝６，
ｙ＝３，
{
则ｘ＋ｙ＝６＋３＝９．
答：从出发点到香山的路程是９千米．
ᑧү Ӭ
６．「2024 山东青岛月考，
」用图１中的长方形和正方
形纸板做成图２中的竖式和横式两种无盖纸盒．现
在仓库里有ｍ张正方形纸板和ｎ张长方形纸板，
如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，
则ｍ＋ｎ的值可能是
（Ｃ）
图１
图２
Ａ．２０２３
Ｂ．２０２４
Ｃ．２０２５
Ｄ．２０２６
᮰
6
大厦巍然屹立，是因为有坚强的支柱，理想和信仰就是人生大厦的支柱；航船破浪前行，是因为有指示方向的罗
盘，理想和信仰就是人生航船的罗盘．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
７８
７．「2025 广东深圳期末，
」用６个正方形拼成如图所示
的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形的边长
为１，则正方形Ｂ的边长是７．
"
#
８．
学科
特色
教材
变式「2025 辽宁沈阳月考，
」爸爸开车带着小明在
公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表
上的数如下：
时刻
９：００
１０：００
１１：３０
里程
表上
的数
是一个两位
数，它的个位
与十位数字
之和是６
是一个两位
数，它的十位
与个位数字与
９：００时看到
的正好互换了
是一个三位数，
它比９：００时看
到的两位数中
间多了个０
设９：００时里程表上的这个两位数的十位数字为
ｘ，个位数字为ｙ，回答下列问题：
（１）用含ｘ，ｙ的代数式表示：９：００时看到的里程表
上的数：１０ｘ＋ｙ
；１０：００时看到的里程表上的
数：１０ｙ＋ｘ
；１１：３０时看到的里程表上的数：
１００ｘ＋ｙ
．
（２）列方程组求１０：００时里程表上的数．
解析 （１）１０ｘ＋ｙ；１０ｙ＋ｘ；１００ｘ＋ｙ．
（２）根据题意可列如下方程组：
ｘ＋ｙ＝６，
１．５［１０ｙ＋ｘ－（１０ｘ＋ｙ）］＝１００ｘ＋ｙ－（１０ｙ＋ｘ），
{
解得
ｘ＝１，
ｙ＝５，
{
∴１０ｙ＋ｘ＝１０×５＋１＝５１．
答：１０：００时里程表上的数为５１．
б ͞
９．新
课标
运算能力「2024 广东梅州月考」周末，小明和他的爸爸
来到环形运动场跑步锻炼，绕环形运动场一圈的路
程为４００米．
（１）若两人同时同起点相向跑步，则经过３６秒后
首次相遇；若两人同时同起点同向跑步，则经
过１８０秒后，爸爸首次从后面追上小明，问小
明和他的爸爸的速度各是多少？
（２）假设爸爸的速度是６米／秒，小明的速度是
５米／秒．两人进行４００米赛跑，同时同起点同
向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为
４米／秒，按此速度继续比赛，小明能否在
４００米终点前追上爸爸？如果能，求追上时距
离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
B%
解析 （１）设小明的速度为ｘ米／秒，他的爸爸的
速度为ｙ米／秒，
由题意得
３６ｘ＋３６ｙ＝４００，
１８０ｙ－１８０ｘ＝４００，
{
解得
ｘ＝４０
９，
ｙ＝２０
３．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
答：小明的速度为４０
９米／秒，他的爸爸的速度为
２０
３米／秒．
（２）小明到４００米终点需要的时间为４００÷ ５＝
８０（秒），他的爸爸到４００米终点需要的时间为
２００
６＋２００
４＝８３１
３（秒），∵８０＜８３１
３，∴小明能在
４００米终点前追上爸爸．
设小明追上爸爸需要的时间为ｍ秒，则追上时距
离终点还有（４００－５ｍ）米，
由题意得５ｍ＝２００＋４ｍ－２００
６
æ
è
ç
ö
ø
÷ ，解得ｍ＝２００
３，
∴４００－５ｍ＝４００－５×２００
３＝２００
３．
答：小明能在４００米终点前追上爸爸，追上时距离
终点还有２００
３米．
᮰
6
图象法解方程组，先把两个方程化成一次函数的一般式，再画出这两个一次函数的图象，找出两直线交点的坐标
（ｘ，ｙ），ｘ与ｙ的值即为方程组的解．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
７９
４ 二元一次方程与一次函数
第1 课时 用图象法求二元一次方程组的解
ۻᆱ݆
知识点１ 二元一次方程与一次函数
１．「2024 山东淄博期中」把方程ｘ＋ｙ＝２的两个解
ｘ＝１，
ｙ＝１
{
和
ｘ＝０，
ｙ＝２
{
组成有序数对（１，１），（０，２），过以
这两对有序数对为坐标的两点画直线ｌ，则下列各
点不在直线ｌ上的是
（Ｂ）
Ａ．点（４，－２）
Ｂ．点（２，１）
Ｃ．点（－２，４）
Ｄ．点（－４，６）
２．在平面直角坐标系中，以二元一次方程２ｘ－ｙ＝１的
解为坐标的点组成的图象可能是
（Ｂ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
知识点２ 二元一次方程组与一次函数
３．「2024 河北保定清苑期末」在平面直角坐标系中，一次
函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ＝ｍｘ＋ｎ的图象如图所示，则关于
ｘ，ｙ的方程组
ｋｘ＋ｂ－ｙ＝０，
ｍｘ＋ｎ－ｙ＝０
{
的解为
（Ｄ）
Ａ．
ｘ＝－４
ｙ＝－６
{
Ｂ．
ｘ＝０
ｙ＝－６
{
Ｃ．
ｘ＝－４
ｙ＝－８
{
Ｄ．
ｘ＝－８
ｙ＝－４
{
４．
学科
特色
教材
变式如图，两条直线ｌ１，ｌ２交点的坐标可以看作下
列哪个方程组的解
（Ｂ）
0
Z
Y
MUZ Y
MUZ Y
Ａ．
ｘ＋ｙ＝４
２ｘ＋ｙ＝１
{
Ｂ．
ｙ－ｘ＝４
２ｘ＋ｙ＝１
{
Ｃ．
ｘ－ｙ＝４
２ｘ－ｙ＝１
{
Ｄ．
ｙ－ｘ＝－４
２ｘ－ｙ＝－１
{
５．
学科
特色
教材
变式「2024 河北石家庄四十八中期末」已知二元一次方
程组
３ｘ－ｙ＝５，
３ｘ－ｙ＝－１
{
无解，则一次函数ｙ＝３ｘ－５与ｙ＝３ｘ
＋１的图象的位置关系为
（Ａ）
Ａ．平行
Ｂ．垂直
Ｃ．相交
Ｄ．重合
６．「2024 浙江湖州期末」已知关于ｘ，ｙ的方程组
ｙ＝ｋｘ＋３，
ｙ＝２ｘ＋ｂ
{
的解为
ｘ＝１，
ｙ＝－２，
{
则一次函数ｙ＝ｋｘ＋３与ｙ
＝２ｘ＋ｂ的图象的交点坐标为（１，－２）．
７．「2024 吉林敦化三中期末」如图，直线ｌ１：ｙ＝ｘ＋１与直线
ｌ２：ｙ＝ｍｘ＋ｎ相交于点Ｐ（１，ｂ）．
（１）求ｂ的值．
（２）不解关于ｘ，ｙ的方程组
ｙ＝ｘ＋１，
ｙ＝ｍｘ＋ｎ，
{
请你直接写
出它的解．
（３）直线ｌ３：ｙ＝ｎｘ＋ｍ是否也经过点Ｐ？说明理由．
0
1
C
Z
Y
M
M
解析 （１）把（１，ｂ）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｂ＝１＋１＝２．
（２）由（１）得Ｐ（１，２），
所以方程组
ｙ＝ｘ＋１，
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
{
的解为
ｘ＝１，
ｙ＝２．
{
（３）直线ｌ３：ｙ＝ｎｘ＋ｍ经过点Ｐ．理由：因为直线ｙ＝ｍｘ＋
ｎ经过点Ｐ（１，２），所以ｍ＋ｎ＝２，所以当ｘ＝１时，ｙ＝ｎｘ
＋ｍ＝ｎ＋ｍ＝２，所以直线ｙ＝ｎｘ＋ｍ也经过Ｐ点．
᮰
6
阅读是汲取知识的重要手段，倘能变阅读为“悦”读，必会激发自身学习的积极性和主动性，并使自己在学习过程
中得到美的享受．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８０
ᑧү Ӭ
８．「2025 内蒙古包头九中期中，
」若以二元一次方程ｘ＋
２ｙ－ｂ＝０的解为坐标的点（ｘ，ｙ）都在直线ｙ＝－１
２ｘ＋
１上，则常数ｂ＝
（Ｂ）
Ａ．１
２
Ｂ．２
Ｃ．－１
Ｄ．１
９．「2025 辽宁沈阳期末，
」如图，直线ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）与ｙ
＝２
３ｘ＋４在第二象限交于点Ａ，直线ｙ＝２
３ｘ＋４与ｘ
轴、ｙ轴分别交于点Ｂ，Ｃ．若Ｓ△ＡＢＯ∶Ｓ△ＡＣＯ＝１∶２，则
方程组
ｋｘ－ｙ＝０，
２ｘ－３ｙ＋１２＝０
{
的解为
ｘ＝－４
ｙ＝４
３
ì
î
í
ïï
ïï
．
0
$
#
"
Z
Z LY
Z Y
Y
１０．「2024 河北唐山迁安期末，
」一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的
图象ｌ１分别交两坐标轴于点Ａ（－２，０）和点
Ｂ（０，－２），如图所示．在研究函数的图象和性质
时，某同学把一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的ｋ，ｂ调换位
置得到一次函数ｙ＝ｂｘ＋ｋ．
（１）求ｋ，ｂ的值．
（２）在图中画出函数ｙ＝ｂｘ＋ｋ的图象．
（３）直接写出方程组
ｙ－ｋｘ＝ｂ，
ｙ－ｂｘ＝ｋ
{
的解．
0
Z
Y
"
M
M
#
解析 （１）∵一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象分别交两
坐标轴于点Ａ（－２，０）和点Ｂ（０，－２），
∴
－２ｋ＋ｂ＝０，
ｂ＝－２，
{
解得
ｋ＝－１，
ｂ＝－２．
{
（２）ｙ＝ｂｘ＋ｋ＝－２ｘ－１，函数图象ｌ２如图所示．
（３）
ｘ＝１，
ｙ＝－３．
{
б ͞
１１．新
课标
推理能力「2025 河南罗山期末」【知识回顾】
（１）通过学习我们知道一次函数ｙ＝５－ｘ和
ｙ＝２ｘ－１的图象如图１所示，所以方程组
ｘ＋ｙ＝５，
２ｘ－ｙ＝１
{
的解为
．
【知识探究】
（２）小友结合学习一次函数的经验，对函数
ｙ＝－２｜ｘ｜＋５的图象进行了探究．下面是小友
的探究过程：
①列表：把下表补充完整．
ｘ
… －４－３－２－１０
１
２
３
４
…
ｙ
… －３
１
３
５
３
－１－３…
②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描
出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函
数的图象．
【知识应用】
（３）利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，
结合函数图象，直接写出方程组
２｜ｘ｜＋ｙ＝５，
ｙ－ｘ＝２
{
的解．
0
Z
Z Y
Z Y
Y
图１
Z
Y
0
图２
解析 （１）由题图可知，一次函数ｙ＝５－ｘ和ｙ＝
２ｘ－１的图象相交于点（２，３），
所以方程组
ｘ＋ｙ＝５，
２ｘ－ｙ＝１
{
的解是
ｘ＝２，
ｙ＝３．
{
（２）①当ｘ＝－３时，ｙ＝－２× ｜－３｜＋５＝－１，
当ｘ＝２时，ｙ＝－２× ｜２｜＋５＝１．
故题表中从左到右依次填写－１；１．
②描点、连线，画出函数图象如图所示．
（３）如图，画出一次函数ｙ＝ｘ＋２的图象，由图可
知，方程组
２｜ｘ｜＋ｙ＝５，
ｙ－ｘ＝２
{
的解为
ｘ＝－３，
ｙ＝－１
{
或
ｘ＝１，
ｙ＝３．
{
᮰
6
在一次函数图象上取两点，将这两点的坐标分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，得到两个方程．由这两个方程组成的方程组解得
ｋ，ｂ的值，将ｋ，ｂ的值代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中即得一次函数的表达式．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
８１
第2 课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
ۻᆱ݆
知识点１ 用二元一次方程组确定函数表达式
１．「2024 甘肃武威凉州月考」经过（２，３），（－１，－３）两点的
直线的表达式为
（Ｃ）
Ａ．ｙ＝ｘ＋１
Ｂ．ｙ＝ｘ－２
Ｃ．ｙ＝２ｘ－１
Ｄ．ｙ＝－２ｘ＋１
２．「2024 湖南邵阳武冈期末」一次函数中，当ｘ＝１时，
ｙ＝５；当ｘ＝－１时，ｙ＝９，则一次函数的表达式为
ｙ＝－２ｘ＋７．
３．「2024 广东中山期末」如图，直线ＡＢ与ｘ轴交于点Ａ
（－４，０），与ｙ轴正半轴交于点Ｂ，△ＡＯＢ的面积等
于４，求直线ＡＢ的表达式．
Z
Y
0
#
"
解析 由题意知Ｓ△ＡＯＢ＝１
２ＯＡ·ＯＢ＝４，
即１
２×４ＯＢ＝４，解得ＯＢ＝２，∴Ｂ（０，２），
设直线ＡＢ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），
将（－４，０），（０，２）代入，得
－４ｋ＋ｂ＝０，
ｂ＝２，
{
解得
ｋ＝１
２，
ｂ＝２，
ì
î
í
ïï
ïï
∴直线ＡＢ的表达式为ｙ＝１
２ｘ＋２．
知识点２ 借助一次函数表达式解决实际问题
４．跨
生物
蛇
「2024 山西中考」生物学研究表明，某种蛇在
一定生长阶段，其体长ｙ（ｃｍ）是尾长ｘ（ｃｍ）的一次
函数，部分数据如下表所示，则ｙ与ｘ之间的表达
式为
（Ａ）
尾长ｘ／ｃｍ
６
８
１０
体长ｙ／ｃｍ
４５．５
６０．５
７５．５
Ａ．ｙ＝７．５ｘ＋０．５
Ｂ．ｙ＝７．５ｘ－０．５
Ｃ．ｙ＝１５ｘ
Ｄ．ｙ＝１５ｘ＋４５．５
Z
Y
0
５．「2024 山东菏泽期末」在物理学中有
很多的公式可以直接或者间接
看作一次函数，例如求物体质量
的公式ｍ＝ρＶ是正比例函数；匀
速直线运动中ｓ＝ｖｔ，路程随着时
间的变化而变化；在弹性限度内的弹簧，其长度随
着拉力的增大而不断增加．如图所示，某弹簧的长
度ｙ（ｃｍ）与所挂物体的质量ｘ（ｋｇ）是一次函数关
系，则弹簧不挂物体时的长度是９ｃｍ．
６．「2024 陕西中考」实验表明，在某地，温度在１５℃至
２５℃的范围内，一种蟋蟀１ｍｉｎ的平均鸣叫次数ｙ
可近似看成该地温度ｘ（℃）的一次函数．已知这种
蟋蟀在温度为１６℃时，１ｍｉｎ平均鸣叫９２次，在温
度为２３℃时，１ｍｉｎ平均鸣叫１５５次．
（１）求ｙ与ｘ之间的函数表达式．
（２）当这种蟋蟀１ｍｉｎ平均鸣叫１２８次时，该地的
温度约是多少？
解析 （１）设ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ
（ｋ，ｂ为常数，且ｋ≠０）．
将ｘ＝１６，ｙ＝９２和ｘ＝２３，ｙ＝１５５分别代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，
得
１６ｋ＋ｂ＝９２，
２３ｋ＋ｂ＝１５５，
{
解得
ｋ＝９，
ｂ＝－５２，
{
∴ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝９ｘ－５２．
（２）将ｙ＝１２８代入ｙ＝９ｘ－５２，得９ｘ－５２＝１２８，解得
ｘ＝２０，∴该地的温度约是２０℃．
ᑧү Ӭ
７．「2025 江苏南京期末，
」如图，一次函数ｙ＝４
３ｘ＋４的
图象分别与ｘ轴、ｙ轴交于点Ａ，Ｂ，点Ｃ在ｙ轴的正
半轴上，若点Ｂ关于直线ＡＣ的对称点Ｂ′恰好落在ｘ
轴上，则直线ＡＣ的函数表达式为
（Ｄ）
Z
Z Y
Y
0
"
$
#
#ĉ
Ａ．ｙ＝２
３ｘ＋３
２
Ｂ．ｙ＝２
３ｘ＋４
３
Ｃ．ｙ＝１
２ｘ＋４
３
Ｄ．ｙ＝１
２ｘ＋３
２
᮰
6
听课要全神贯注，充分调动多种感官，不能一心二用．具体做到“三不四到”，即不乱想，不乱看，不乱动，做到眼
到、耳到、心到、口到．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８２
８．「2024 山东威海期末，
」如图，直线ｌ１，ｌ２的交点坐标
可以看作下列哪个方程组的解
（Ａ）
Z
Y
0
M M
Ａ．
ｘ－２ｙ＝－２
２ｘ－ｙ＝２
{
Ｂ．
ｙ＝－ｘ＋１
ｙ＝２ｘ－２
{
Ｃ．
ｘ－２ｙ＝－１
２ｘ－ｙ＝－２
{
Ｄ．
ｙ＝２ｘ＋１
ｙ＝ｘ－２
{
９．「2024 福建泉州永春一中期中，
」如果函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ
≠０）的自变量ｘ的取值范围是－２≤ｘ≤６，相应的
函数值的取值范围是－１１≤ｙ≤９，则此函数的表达
式是ｙ＝５
２ｘ－６或ｙ＝－５
２ｘ＋４．
１０．「2024 陕西榆林榆阳月考，
」茶文化是中华文化的
重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶
技艺及其相关习俗已被列入联合国教科文组织人
类非物质文化遗产代表作名录．为了对中国茶文化
有更深的认识，王叔叔开车从家出发，前往离家
２００ｋｍ的某茶园进行参观后，原路返回家中，在整
个过程中，王叔叔离家的距离ｙ（ｋｍ）与离家时间
ｘ（ｈ）之间的关系如图所示，请根据图中信息，解答
下列问题：
（１）求图中ＡＢ段ｙ与ｘ之间的函数表达式．
（２）当ｘ的值为多少时，王叔叔距离茶园８０ｋｍ？
ZLN
YI
0
"
#
$
%
&
见答案册Ｄ４９
б ͞
１１．新
课标
运算能力
学科
特色
分类讨
论思想「2025 安徽蚌埠怀远期中」甲、乙两地
相距３００千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地
出发前往乙地，轿车比货车晚出发１．５小时，如
图，线段ＯＡ表示货车与甲地的距离ｙ（千米）与时
间ｘ（小时）之间的函数关系；折线ＢＣＤ表示轿车
与甲地的距离ｙ（千米）与时间ｘ（小时）之间的函
数关系，请解答下列问题：
（１）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离．
（２）求线段ＣＤ对应的函数表达式．
（３）在轿车行驶过程中，轿车行驶多长时间，两车
相距３０千米？
Z 1
Yᄻᬢ
0 #
$
% "
解析 （１）由题中图象可得货车的速度为３００÷６
＝５０（千米／小时），则轿车到达乙地时，货车与甲
地的距离是５０×５＝２５０（千米）．
（２）设线段ＣＤ对应的函数表达式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），
将（３，９０），（５，３００）代入，得
３ｋ＋ｂ＝９０，
５ｋ＋ｂ＝３００，
{
解
得
ｋ＝１０５，
ｂ＝－２２５，
{
∴线段ＣＤ对应的函数表达式是ｙ＝１０５ｘ－２２５
（３≤ｘ≤５）．
（３）当ｘ＝３时，两车之间的距离为５０×３－９０＝６０（千
米），６０千米＞３０千米，
由（１）知，当ｘ＝５时，两车之间的距离为３００－５×
５０＝５０（千米），５０千米＞３０千米，
∴两车相距３０千米时，３＜ｘ＜５，
易知线段ＯＡ对应的函数表达式为ｙ＝５０ｘ（０≤ｘ≤６），
则｜５０ｘ－（１０５ｘ－２２５）｜＝３０，解得ｘ１＝３９
１１，ｘ２＝５１
１１．
∵轿车比货车晚出发１．５小时，３９
１１－１．５＝４５
２２（小
时），
５１
１１－１．５＝６９
２２（小时），
∴在轿车行驶过程中，轿车行驶４５
２２小时或６９
２２小
时，两车相距３０千米．
᮰
6
解三元一次方程组要牢记，系数特点要抓住．三元化两元，两元化一元．代入或加减，消元是关键．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
８３
５ 三元一次方程组
ۻᆱ݆
知识点１ 三元一次方程（组）的有关概念
１．「2024 河南开封期末」下列方程中，属于三元一次方程
的是
（Ｃ）
Ａ．π＋ｘ＋ｙ＝６
Ｂ．ｘｙ＋ｙ＋ｚ＝６
Ｃ．ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝９
Ｄ．３ｘ＋２ｙ－４ｚ＝４ｘ＋２ｙ－２ｚ
２．下列方程组中，三元一次方程组有
（Ｂ）
①
ｘ＋ｙ＝３，
ｙ＋ｚ＝４，
ｘ＋ｚ＝２；
ì
î
í
ïï
ïï
②
ｘ＋ｙ－ｚ＝５，
１
ｘ＋ｙ－ｚ＝３，
２ｘ－２ｙ－ｚ＝１；
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
③
ｘ＋３ｙ－ｚ＝１，
２ｘ－ｙ＋ｚ＝３，
３ｘ－２ｙ－３ｚ＝５；
ì
î
í
ïï
ïï
④
ｘ＋ｙ－ｚ＝７，
ｘｙｚ＝２，
ｘ－３ｙ＝４．
ì
î
í
ïï
ïï
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
知识点２ 三元一次方程组的解法
３．「2024 重庆梁平期末」解三元一次方程组
ｘ＋ｙ＋ｚ＝３①，
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝１０②，
２ｘ－ｙ＋ｚ＝－１③，
ì
î
í
ïï
ïï
如果要消掉未知数ｚ，那么对方
程组进行的变形可以为
（Ｃ）
Ａ．①＋③，①×２－②
Ｂ．①＋③，③×２＋②
Ｃ．②－①，②－③
Ｄ．①－②，①×２－③
４．「2024 四川遂宁期末」下列四组数值中，是方程组
ａ＋ｂ＋ｃ＝０，
２ａ－ｂ＋ｃ＝－５，
３ａ－ｂ－ｃ＝－４
ì
î
í
ïï
ïï
的解的是
（Ｂ）
Ａ．
ａ＝０
ｂ＝１
ｃ＝－１
ì
î
í
ïï
ïï
Ｂ．
ａ＝－１
ｂ＝２
ｃ＝－１
ì
î
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ïï
ïï
Ｃ．
ａ＝－１
ｂ＝１
ｃ＝－２
ì
î
í
ïï
ïï
Ｄ．
ａ＝－１
ｂ＝－２
ｃ＝３
ì
î
í
ïï
ïï
５．解方程组：
（１）
ｘ＝ｙ＋ｚ，
３ｘ＋ｙ＝１８，
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１０．
ì
î
í
ïï
ïï
（２）
ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝３，
２ｘ－３ｙ－ｚ＝－２，
４ｘ＋３ｙ－３ｚ＝－２．
ì
î
í
ïï
ïï
解析 （１）
ｘ＝ｙ＋ｚ①，
３ｘ＋ｙ＝１８②，
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１０③，
ì
î
í
ïï
ïï
将①代入②，得３（ｙ＋ｚ）＋ｙ＝１８，整理得４ｙ＋３ｚ＝
１８④，
将①代入③，得ｙ＋ｚ＋ｙ＋ｚ＝１０，整理得ｙ＋ｚ＝５⑤，
⑤×３，得３ｙ＋３ｚ＝１５⑥，
④－⑥，得ｙ＝３，
把ｙ＝３代入⑤，得３＋ｚ＝５，解得ｚ＝２，
把ｙ＝３，ｚ＝２代入①，得ｘ＝５，
∴原方程组的解为
ｘ＝５，
ｙ＝３，
ｚ＝２．
ì
î
í
ïï
ïï
（２）
ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝３①，
２ｘ－３ｙ－ｚ＝－２②，
４ｘ＋３ｙ－３ｚ＝－２③，
ì
î
í
ïï
ïï
①＋②，得３ｘ＋ｚ＝１④，
（②＋③）÷２，得３ｘ－２ｚ＝－２⑤，
④与⑤联立得
３ｘ＋ｚ＝１，
３ｘ－２ｚ＝－２，
{
解得
ｘ＝０，
ｚ＝１，
{
把
ｘ＝０，
ｚ＝１
{
代入①，得０＋３ｙ＋２＝３，解得ｙ＝１
３，
∴原方程组的解为
ｘ＝０，
ｙ＝１
３，
ｚ＝１．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ïï
知识点３ 三元一次方程组的应用
６．「2024 江苏泰州姜堰期末」下表是某超市Ａ，Ｂ，Ｃ三种
品牌商品连续五天的销售记录，第三天的总收入不
慎被油墨玷污．已知Ａ，Ｂ，Ｃ三种品牌商品这五天
的销售单价保持不变，则第三天的总收入为
１０４０元．
᮰
6
作为一名头脑清醒的学生，应善于在没问题中查找出自己存在的问题，这样才能不断产生好的问题，才能及时解决
好新的问题．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８４
销售数量
Ａ
Ｂ
Ｃ
总收入／元
第一天
１
５
３
１０００
第二天
７
３
０
８８０
第三天
４
４
２
第四天
３
６
０
６６０
第五天
４
５
１
９００
７．「2024 广西南宁三十七中开学测试」三月植树好时节．星
河小学原计划栽杨树、柳树和樟树共１５００棵．当栽
了杨树棵数的３
５和３０棵柳树后，又临时运来了１５
棵樟树，这时未种的三种树的棵数恰好相等，则原
计划要栽三种树各多少棵？
解析
设原计划要栽ｘ棵杨树、ｙ棵柳树、ｚ棵
樟树，
根据题意得
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５００，
１－３
５
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ＝ｙ－３０，
１－３
５
æ
è
ç
ö
ø
÷ ｘ＝ｚ＋１５，
ì
î
í
ï
ï
ïï
ï
ï
ï
解得
ｘ＝８２５，
ｙ＝３６０，
ｚ＝３１５．
ì
î
í
ïï
ïï
答：原计划要栽８２５棵杨树、３６０棵柳树、３１５棵
樟树．
ᑧү Ӭ
８．「2024 山东威海文登期末，
」若三元一次方程组
ｘ＋ｙ＝８，
ｙ＋ｚ＝－２，
ｚ＋ｘ＝４
ì
î
í
ïï
ïï
的解使代数式ｋｘ＋２ｙ－ｚ的值为－５，则ｋ
的值为
（Ｃ）
Ａ．０
Ｂ．５
７
Ｃ．－１０
７
Ｄ．７
５
９．「2024 湖南邵阳新宁月考，
」若ｘ，ｙ，ｚ同时满足ｘ＋ｙ＝
１３，ｙ＋ｚ＝１２，ｘ＋ｚ＝５，则４ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝５８．
１０．「2024 河南洛阳宜阳期中，
」已知某个三角形的周
长为１８ｃｍ，其中两条边的长度之和等于第三条
边长度的２倍，长度之差等于第三条边长度的１
３，
求这个三角形三边的长度．
见答案册Ｄ５１
１１．「2024 湖南岳阳开学测试，
」一个三位数各位数字
之和为１４，十位数字是个位数字与百位数字之
和，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，
那么所得的新数比原数小９９．求这个三位数．
见答案册Ｄ５１
б ͞
１２．新
课标
运算能力新
考向
规律探究题「2025 四川绵阳梓潼期末」
【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的
方法，化难为易．
例：已知
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝４①，
７ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝１０②，
{
求２ｘ＋ｙ＋ｚ的值．
解：②－①，得４ｘ＋２ｙ＋２ｚ＝６③，
③× １
２，得２ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，所以２ｘ＋ｙ＋ｚ的值为３．
【类比迁移】
（１）已知
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１０，
５ｘ＋６ｙ＋７ｚ＝２６，
{
求３ｘ＋４ｙ＋５ｚ的值．
【实际应用】
（２）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学
们买期中奖品，若购买３本笔记本、２支签字
笔、１支记号笔，则需要２８元，若购买７本笔
记本、５支签字笔、３支记号笔，则需要６６元，
该班级共４５位同学，购买４５本笔记本、４５支
签字笔、４５支记号笔需要多少钱？
解析 （１）
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１０①，
５ｘ＋６ｙ＋７ｚ＝２６②，
{
①＋②，得６ｘ＋８ｙ＋１０ｚ＝３６③，
③× １
２，得３ｘ＋４ｙ＋５ｚ＝１８，
∴３ｘ＋４ｙ＋５ｚ的值为１８．
（２）设购买１本笔记本需要ａ元，１支签字笔需要
ｂ元，１支记号笔需要ｃ元，
由题意得
３ａ＋２ｂ＋ｃ＝２８①，
７ａ＋５ｂ＋３ｃ＝６６②，
{
②－①×２，得ａ＋ｂ＋ｃ＝１０③，
③×４５，得４５ａ＋４５ｂ＋４５ｃ＝４５０．
答：购买４５本笔记本、４５支签字笔、４５支记号笔
需要４５０元．
᮰
6
判断一对数值是不是方程组的解，可直接把这对数值代入方程组中的每个方程，若使方程组中的所有方程都成立，则
是方程组的解，否则不是．
第
五
章
二
元
一
次
方
程
组
８５
第五章自主检测
范围：二元一次方程组
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2023 广西南宁月考」在解方程组
３ｘ－ｙ＝７①，
ｙ＝ｘ＋１②
{
的过程
中，将②代入①，可得
（Ｃ）
Ａ．３ｘ＋１－ｙ＝０
Ｂ．３（ｘ＋１）－ｙ＝０
Ｃ．３ｘ－（ｘ＋１）＝７
Ｄ．３ｘ－ｘ＋１＝７
２．「2024 云南文山州期末」若
ｘ＝３，
ｙ＝１
{
是二元一次方程
ａｘ＋ｙ＝７的一个解，则ａ的值为
（Ｃ）
Ａ．４
Ｂ．３
Ｃ．２
Ｄ．１
３．「2024 吉林松原期末」以方程组
ｘ＋２ｙ＝６，
３ｘ＋ｙ＝８
{
的解为坐标
的点（ｘ，ｙ）在平面直角坐标系中的位置是（Ａ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
４．「2024 山东德州期末」方程组
３ｘ－２ｙ＝３ａ，
ｘ＋６ｙ＝ａ－８
{
的解中，ｘ，
ｙ的值互为相反数，则ａ的值是
（Ｂ）
Ａ．－２
Ｂ．２
Ｃ．０．５
Ｄ．－０．５
５．新
考向
数学文化「2025 四川眉山东坡期末」《孙子算经》中有一
道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五
寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一
根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余４．５尺，将
绳子对折再量木条，则木条还剩余１尺，问木条长
多少尺？现设木条长ｘ尺，绳子长ｙ尺，则可列方
程组为
（Ｄ）
Ａ．
ｘ－ｙ＝４．５
２ｘ－ｙ＝１
{
Ｂ．
ｘ－ｙ＝４．５
０．５ｙ－ｘ＝１
{
Ｃ．
ｙ－ｘ＝４．５
２ｘ－ｙ＝１
{
Ｄ．
ｙ－ｘ＝４．５
ｘ－ｙ
２＝１
ì
î
í
ïï
ïï
６．
学科
特色多解法「2025 山西太原三十七中月考」如图，两直线ｌ１，ｌ２
的交点坐标可以看作哪个方程组的解
（Ａ）
Ａ．
ｙ＝－１
４ｘ－１
ｙ＝－２ｘ＋６
ì
î
í
ïï
ïï
Ｂ．
ｙ＝１
４ｘ－１
ｙ＝－２ｘ＋６
ì
î
í
ïï
ïï
Ｃ．
ｙ＝－１
３ｘ－１
ｙ＝－２ｘ－４
ì
î
í
ïï
ïï
Ｄ．
ｙ＝３ｘ－１
ｙ＝－２ｘ＋４
{
Z
0
Y
M
M
第６题图
/I
4
/-
第７题图
７．跨
物理
杠杆原理「2025 河南郑州四十七中期末」如图，杆秤是利
用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，杆秤平衡时
秤砣到提绳的水平距离ｙ（ｃｍ）与所挂物体质量ｘ
（ｋｇ）之间满足一次函数关系，下表为ｘ，ｙ的几组对
应值，则不挂重物时，秤砣到提绳的水平距离是
（Ｂ）
ｘ／ｋｇ
１
２
３
ｙ／ｃｍ
８
１３．５
１９
Ａ．１ｃｍ
Ｂ．２．５ｃｍ
Ｃ．４ｃｍ
Ｄ．５．５ｃｍ
二、填空题（每小题５分，共２０分）
８．已知方程（ａ－３）ｘ
｜ａ－２｜－ｙ＝１是关于ｘ，ｙ的二元一次
方程，则ａ＝１．
９．「2025 陕西理工大学附中月考」若关于ｘ，ｙ的方程组
ｙ＝２ｋｘ－３，
ｙ＝（３ｋ－１）ｘ＋２
{
无解，则函数ｙ＝ｋｘ－２的图象不经
过第二象限．
１０．「2025 湖北潜江园林二中期中」已知兄弟俩的对话如
下，弟弟对哥哥说：“我们的年龄加起来是妈妈年
龄的一半．”哥哥对弟弟说：“我比你大４岁，再过１８
年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了．”哥哥
今年的年龄是１１岁．
᮰
6
每一盏熄灭的心灯后面，都有一个令人感伤的故事，而点亮那盏灯，有时候只需一句温暖的话语、一点恰到好处的帮
助．如果我们都不忘点亮身边的一盏心灯，世界将会充满希望和光明．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８６
１１．「2024 辽宁沈阳沈河期末」如图，在长方形
ＡＢＣＤ中，放入５个形状、大小相同的小长
方形（空白部分），其中ＡＢ＝７ｃｍ，ＢＣ＝１１ｃｍ，则阴
影部分的总面积为２７ｃｍ
２．
"
%
#
$
三、解答题（共４５分）
１２．「2025 广东深圳龙岗期末」（１０分）解下列方程组：
（１）
２ｘ＋３ｙ＝１，
２ｘ－ｙ＝－３．
{
（２）
ｘ＋２
３－ｙ＝０，
２ｘ－３ｙ＝５．
ì
î
í
ïï
ïï
解析 （１）
２ｘ＋３ｙ＝１①，
２ｘ－ｙ＝－３②，
{
①－②，得４ｙ＝４，解得ｙ＝１，
将ｙ＝１代入②，得２ｘ－１＝－３，解得ｘ＝－１，
所以原方程组的解为
ｘ＝－１，
ｙ＝１．
{
（２）原方程组整理得
ｘ－３ｙ＝－２①，
２ｘ－３ｙ＝５②，
{
②－①，得ｘ
＝７，
将ｘ＝７代入①，得７－３ｙ＝－２，解得ｙ＝３，
所以原方程组的解为
ｘ＝７，
ｙ＝３．
{
１３．「2024 江苏连云港期末」（１０分）若关于ｘ，ｙ的二元一
次方程组
ｘ＋２ｙ＝ｍ＋３，
２ｘ＋ｙ＝２ｍ
{
的解是一个等腰三角形的
腰长和底边长，且这个等腰三角形的周长为９，求
ｍ的值．
见答案册Ｄ５２
１４．跨
化学
溶解度「2024 安徽淮南高新区开学测试」（１０分）氯化
钾的溶解度随温度的升高而增大，在０℃～１００℃
条件下，氯化钾的溶解度ｙ（ｇ）与温度ｘ（℃）之间
近似满足一次函数关系．王倩根据实验数据，画出
函数图象如图．（氯化钾的溶解度是在一定温度
下，氯化钾在１００ｇ水里达到饱和状态时所溶解
的氯化钾的质量）
（１）４０℃时，氯化钾的溶解度是４０ｇ．
（２）求ｙ关于ｘ的函数表达式．
（３）当温度是３４℃时，在１００ｇ水中加入３７ｇ氯化
钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说明理由．
0
YĎ
ZH
解析 （１）由题中函数图象可得，４０℃时，氯化钾
的溶解度是４０ｇ．
（２）设ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）．
因为ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象过点（１０，３０）与（４０，４０），
所以
１０ｋ＋ｂ＝３０，
４０ｋ＋ｂ＝４０，
{
解得
ｋ＝１
３，
ｂ＝８０
３．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
所以ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝１
３ｘ＋８０
３．
（３）能完全溶解．理由：当ｘ＝３４时，ｙ＝１
３×３４＋８０
３
＝３８．因为３８＞３７，所以能完全溶解．
１５．（１５分）为更好地落实“双减” 政策，提高课后延
时服务质量，某校根据实际情况，决定增设更多
运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主
选择购买两种体育器材．
（１）七（１）班准备统一购买新的足球和跳绳．请你根
据下图中班长和某体育用品商店售货员的对
话，分别求出足球和跳绳的单价．
（２）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商
店计划购进足球ａ个（ａ＞１５）和跳绳ｂ根，恰
好用了１８００元，其中每个足球的进价为８０
元，每根跳绳的进价为１５元，则有哪几种购
进方案？
ᬺ+βUᗔ᭛ᄥ+U݆ាB)
C4+Fᐰ β
K༔ᗔຩU>Μ͖B) ᵥC
4U᭛̹᭛̬ڝٯ
̹ᄥ U̬ڝᏀA᭛ٯ
见答案册Ｄ５２
᮰
6
算术平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起算术平均数的变动．
第
六
章
数
据
的
分
析
８７
第六章
数据的分析
１ 平均数与方差
第1 课时 众数和算术平均数
ۻᆱ݆
知识点１ 众数
１．「2025 贵州贵阳期末」菲尔兹奖是数学领域的国际最
高奖项之一，每四年颁发一次，相当于数学界的诺
贝尔奖．数据３７，３３，２９，３２，３５，３２是部分获奖者获
奖时的年龄（单位：岁），则这组数据的众数是
（Ｂ）
Ａ．２９岁
Ｂ．３２岁
Ｃ．３３岁
Ｄ．３５岁
知识点２ 算术平均数
２．「2025 江苏扬州期中」某校组织“庆国庆”画展，参展的彩
铅、水墨、水彩、速写四个类别作品的幅数分别为５８，
５６，５８，６０，则这组数据的平均数为
（Ｃ）
Ａ．５６
Ｂ．５７
Ｃ．５８
Ｄ．５９
３．「2024 辽宁大连中山期末」小亮参加校园十佳歌手比
赛，五个评委的评分分别是９６，９２，９５，８８，９２．去掉
一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是
（Ｂ）
Ａ．９２分
Ｂ．９３分
Ｃ．９２．６分
Ｄ．９１．６分
４．「2025 河北沧州泊头期中」某校德育处组织三好学生评
比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三名
学生参与竞选，根据“品行规范”“学习规范”进行量
化考核，成绩（单位：分）统计如图．只有“品行规范”
“学习规范”考核成绩均不低于平均分的学生，才能
被推选为三好学生，则应推选乙同学．（填“甲”
“乙”或“丙”）
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ՅEϦ
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႒Ό>8
ᑧү Ӭ
５．
学科
特色易错题「2024 河北保定月考，
」一组数据３，０，－３，
５，ｘ，２，－３的平均数是１，则这组数据的众数是
（Ｃ）
Ａ．－３
Ｂ．２
Ｃ．３和－３
Ｄ．２和－３
６．「2024 安徽合肥四十五中期末，
」已知一组数据ｘ１，
ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均数是４，那么另一组数据２ｘ１－３，
２ｘ２－３，２ｘ３－３，２ｘ４－３，２ｘ５－３的平均数是
（Ｃ）
Ａ．４
Ｂ．８
Ｃ．５
Ｄ．３
７．「2024 福建晋江期末，
」若ａ，ｂ，ｃ的平均数是５，ｄ，ｅ
的平均数是１０，则ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ的平均数是７．
８．「2024 天津期末，
」为了提高同学们的消防安全意
识，某学校开展了消防知识问答．学校随机抽取了ａ
名学生的消防知识问答成绩，并将统计结果绘制成
图１和图２．
请根据相关信息，解答下列问题：
（１）ａ的值为４０，图１中ｍ的值为３０．
（２）求这ａ名学生成绩的平均数、众数．
ܲ
N
ܲ
ܲ
ܲ
图１
Ϧ
4ܲ
图２
解析 （１）ａ＝４÷１０％＝４０，ｍ％＝１２
４０×１００％＝３０％，
即ｍ＝３０．
（２）这ａ名学生成绩的平均数为１
４０×（７×４＋８×１２＋９
×１６＋１０×８）＝８．７（分），众数为９分．
᮰
6
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的．知识就是积累起来的，经验也是积累起来的．我们对什么事
情都不应该“过眼云烟”．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
８８
第2 课时 加权平均数
ۻᆱ݆
知识点 加权平均数
１．「2025 江苏盐城东台期中」某快递公司快递员六月第三
周投放快递的数量如下：有３天是２０件，有１天是
３１件，有３天是３５件，则该周的日平均投放快递
数量为
（Ｄ）
Ａ．３１件
Ｂ．３０件
Ｃ．２９件
Ｄ．２８件
２．「2025 河南省实验中学期末」在学校举办的合唱比赛
中，八（１）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分
分别为９５分、９０分、８５分，若最终成绩由这三项得
分依次按照４０％，３０％，３０％的百分比确定，则八
（１）班的最终成绩是
（Ｂ）
Ａ．９０分
Ｂ．９０．５分
Ｃ．８９分
Ｄ．９１分
３．「2025 内蒙古包头四十八中期末」学校食堂有１５元、１８
元、２０元三种盒饭供学生选择（每人购买一份）．某
天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费
用的平均数是
（Ｂ）
ٯ
ٯ
ٯ
Ａ．１６元
Ｂ．１７元
Ｃ．１８元
Ｄ．１９元
ᑧү Ӭ
４．「2025 云南昭通期中，
」设甲糖果的单价为ｍ元，乙
糖果的单价为１０元，则由２千克甲糖果和ｎ千克乙
糖果混合而成的什锦糖果的单价应定为
（Ｃ）
Ａ．ｍ＋１０
２
元
Ｂ．ｎ＋２
２元
Ｃ．２ｍ＋１０ｎ
２＋ｎ
元
Ｄ．２ｍ＋１０ｎ
ｍ＋１０元
５．「2025 河南郑州二七期末，
」在一次考试中，某题（满
分１０分）的得分情况如表：
得分／分
０
２
４
６
８
１０
百分率
５％
１０％２５％３０％１５％１５％
则该题的平均得分是
（Ｂ）
Ａ．５．５分
Ｂ．５．７分
Ｃ．５．９分
Ｄ．６．１分
６．「2025 北京三帆中学开学测试，
」一位求职者参加某公
司的招聘，面试和笔试的成绩分别是８６分和９０分，公
司给出他这两项测试的最终成绩为８７．２分，可知此次
招聘中面试（填“面试”或“笔试”）的权重较大．
７．「2024 湖北武汉武昌期末，
」某班为了从甲、乙两同
学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五位老师对演讲答辩情况进行打分，
结果如表所示．另全班５０位同学参与民主测评进
行投票，结果如图所示．
演讲答辩得分表
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
甲
９０
９２
９４
９５
８８
乙
８９
８６
８７
９４
９１
民主测评统计图
.
B C
*΅
ຩDຩ̬7
EM
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最
低分，再算平均分”的方法确定．
民主测评得分＝“ 好” 票数× ２分＋“ 较好” 票数×
１分＋“一般”票数×０分．
（１）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分．
（２）试求民主测评统计图中ａ，ｂ的值．
（３）若演讲答辩得分和民主测评得分按７∶３的权
重比计算两位选手的综合得分，则应选哪位选
手当班长？
解析 （１）甲的演讲答辩得分为（９０＋９２＋９４）÷３＝
９２（分），
乙的演讲答辩得分为（８９＋８７＋９１）÷３＝８９（分）．
（２）根据题意得ａ＝５０－４０－３＝７，ｂ＝５０－４２－４＝４．
（３）甲的民主测评得分为４０× ２＋７× １＋３× ０＝８７
（分），
乙的民主测评得分为４２×２＋４×１＋４×０＝８８（分），
故甲的综合得分为０．７×９２＋０．３×８７＝９０．５（分），
乙的综合得分为０．７×８９＋０．３×８８＝８８．７（分）．
∵９０．５＞８８．７，∴应选甲选手当班长．
᮰
6
当一组数据都加上或减去同一个数时，平均数也加上或减去这个数，方差不变；当一组数据都乘同一个不为０的数
ａ时，平均数也乘ａ，方差乘ａ
２．
第
六
章
数
据
的
分
析
８９
第3 课时 离差平方和、方差和标准差
ۻᆱ݆
知识点 离差平方和、方差和标准差
１．「2025 广东清远期末」５名同学进行投篮比赛，投中的个
数分别是６，８，１０，７，９，则这组数据的方差是
（Ａ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
２．某校举行党史知识竞赛，下图是１０名决赛选手的成
绩．对于这１０名选手的成绩，下列说法中正确的是
（Ｃ）
Ϧ
4ܲ
Ａ．离差平方和是１６
Ｂ．方差是１６０
Ｃ．标准差是４分
Ｄ．众数是５
３．「2024 山东威海望海园中学期中」若一组数据ｍ，１，２，３，
６的平均数为３，则这组数据的方差是
（Ｄ）
Ａ．１２
Ｂ．２．４
Ｃ．１４
Ｄ．２．８
４．某外贸公司要出口一批规格为２００克／盒的红枣，
现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品
质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取１５盒
进行检测，测得它们的平均质量均为２００克，每盒
红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂
家是甲（填“甲”或“乙”）．
BFٷ
*
΅
Ꮋ
５．一个小组共有６名学生，在体育课的一次“定点投
篮”的测试中，他们投中的个数分别为８，１０，８，７，
６，９，这６名学生这次测试成绩的离差平方和
为１０．
６．「2025 江苏南京外国语学校阶段考」小明同学用ｓ
２＝１
１０×
［（ｘ１－８）
２＋（ｘ２－８）
２＋…＋（ｘ１０－８）
２］计算一组数据
ｘ１，ｘ２，…，ｘ１０的方差，那么ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘ１０＝８０．
ᑧү Ӭ
７．「2025 山东烟台福山期中，
」若一组数据１３，１４，１５，
１６，ｘ的方差比另一组数据１，２，３，４，５的方差大，
则ｘ的值可能是
（Ｄ）
Ａ．１２
Ｂ．１６
Ｃ．１７
Ｄ．１８
８．「2025 山东淄博期中，
」体育课上老师组织了跳远测
试，小明６次成绩（单位：米）的平均数为７．８，方差为
１
６０．如果小明再跳两次，成绩分别为７．７，７．９，那么小
明８次跳远成绩的方差为
（Ｄ）
Ａ．１
８０
Ｂ．１
６０
Ｃ．３
２５
Ｄ．３
２００
９．「2024 黑龙江大庆中考改编，
」小庆、小铁、小娜、小萌
四名同学均从１，２，３，４，５，６这六个数字中选出四个
数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出
的四个数字含有１的是
（Ａ）
Ａ．小庆选出的四个数字的方差等于４．２５
Ｂ．小铁选出的四个数字的方差等于２．５
Ｃ．小娜选出的四个数字的平均数等于３．５
Ｄ．小萌选出的四个数字的离差平方和等于８．７５
１０．「2025 山东东营期中，
」已知２，３，５，ｍ，ｎ五
个数据的方差是４，那么３，４，６，ｍ＋１，ｎ＋１五
个数据的标准差是２．
１１．「2024 山东威海期末，
」甲、乙、丙三个小组各有
２０人，一道满分为４分的题目，三个小组的得分
情况如图：
᮰
6
成功并不能用一个人达到什么地位来衡量，而是依据他在迈向成功的过程中，到底克服了多少困难和障碍．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
９０
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Ϧ
（１）请计算甲组的平均数和方差．
（２）乙组和丙组的平均数和方差如下表：
乙组
丙组
平均数／分
２．２５
１．１
方差
０．９８７５
１．３９
则这三组中，得分情况最稳定的小组是
乙组．
（３）对比这三幅条形统计图，“柱子的高度” 都是
１，２，３，６，８，但是它们的排序不同，导致了平
均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法？
解析 （１）根据题意得甲组的平均数是１
２０×（０×１
＋１×２＋２×３＋３×６＋４×８）＝２．９（分），方差是１
２０×［（０－
２．９）
２＋（１－２．９）
２×２＋（２－２．９）
２×３＋（３－２．９）
２×６＋
（４－２．９）
２×８］＝１．３９．
（２）∵０．９８７５＜１．３９，∴乙组的方差＜丙组的方差
＝甲组的方差，∴得分情况最稳定的小组是乙组．
（３）答案不唯一，合理即可，如得高分的人数越
多，平均数越大，在平均数附近的人数越多，方差
越小．
б ͞
１２．新
课标
运算能力第１组数据为０，０，０，１，１，１，第２组数据
为０，０，…，０
ì
î
í
ï
ï
ｍ个０
，１，１，…，１
ì
î
í
ï
ï
ｎ个１
，其中ｍ，ｎ是正整数．下列
结论：①当ｍ＝ｎ时，两组数据的平均数相等；②当
ｍ＞ｎ时，第１组数据的平均数小于第２组数据的
平均数；③当ｍ＜ｎ时，第１组数据的方差小于第２
组数据的方差；④当ｍ＝ｎ时，第２组数据的方差
等于第１组数据的方差．其中正确的是
（Ｃ）
Ａ．①②
Ｂ．①③
Ｃ．①④
Ｄ．③④
微专题
方差
方法指引 一组数据的平均数为ｘ，方差为ｓ
２，若把这组数据的每个数据都加上同一个数ａ，得到一组新
数据，则这组新数据的平均数为ｘ＋ａ，方差不变；若把每个数据都乘ｎ，得到一组新数据，则这组新数据
的平均数为ｎｘ，方差为ｎ
２ｓ
２．
１．已知某电影在５个影院的票价（单位：元）分别为
ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５，其平均数为４０元，方差是４，经过一
段时间，每个影院均降价３元，此时的票价（单位：
元）分别为ｘ１－３，ｘ２－３，ｘ３－３，ｘ４－３，ｘ５－３．降价后，这
５个影院该电影的票价的平均数是３７
元，方差
是４．
２．已知某景区不同区域门票的价格（单位：元）如
下：ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５，其平均数是４０元，方差是４．
涨价后，新的门票价格（单位：元）如下：２ｘ１－３，
２ｘ２－３，２ｘ３－３，２ｘ４－３，２ｘ５－３，涨价后门票价格的
平均数是７７元，方差是１６．
᮰
6
人生是一场单程的旅行，即使有些遗憾，我们也没有从头再来的机会，与其纠结无法改变的过去，不如微笑着珍惜
未来．
第
六
章
数
据
的
分
析
９１
第4 课时 组内离差平方和
ۻᆱ݆
知识点１ 方差的应用
１．「2025 重庆奉节期末」下表记录了小明、小颖、小艾、小
宁四名跳远运动员最近１０次选拔赛成绩的平均数
和方差：
小明
小颖
小艾
小宁
平均数／米
７．１８
７．１８
７．１８
７．１８
方差
５．５
３．３
７．１
８．２
根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员
参加比赛，应该选择
（Ｂ）
Ａ．小明
Ｂ．小颖
Ｃ．小艾
Ｄ．小宁
２．「2025 江苏扬州高邮期末」为迎接学校“英语听说” 大
赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同
的测试条件下，两人５次测试成绩（单位：分）
如下：
甲：２８，２８，２７，２８，２９．
乙：２５，２９，２７，３０，２９．
（１）下表中ａ＝２８，ｂ＝０．４．
平均数／分
众数／分
方差
甲
２８
２８
ｂ
乙
ａ
２９
３．２
（２）班主任根据这５次的测试成绩，选择谁参加学
校“英语听说”大赛更合适？请说明理由．
解析 （１）乙的平均数ａ＝１
５×（２５＋２９＋２７＋３０＋２９）
＝２８（分），甲的方差ｂ＝１
５×［３×（２８－２８）
２＋（２７－
２８）
２＋（２９－２８）
２］＝０．４．
（２）选择甲参加学校“英语听说” 大赛更合适．理
由：因为甲的平均成绩等于乙的平均成绩，且甲的
方差较小，所以甲的成绩更稳定，所以选择甲参加
学校“英语听说”大赛更合适．
知识点２ 组内离差平方和
３．小明将一组数据分成了两组｛７８，８０｝和｛８４，８５，
８５，８６｝，则这种分组情况的组内离差平方和
为４．
４．为考察某品种小麦的长势，测量了８株麦苗的高度
（单位：ｃｍ），数据如下：２１，２６，２２，２４，２５，２４，２５，２１．
按照“组内离差平方和达到最小” 的方法，把这８
个数据分成两组．
见答案册Ｄ５５
ᑧү Ӭ
５．「2024 四川绵阳中考，
」某市射击队将从甲、乙两名
运动员中选拔一人参加全省的比赛，现对他们进行
了６次测试，成绩（单位：环）统计如下：
甲
７
９
７
９
１０
６
乙
５
８
９
１０
１０
６
（１）根据表格中的数据填空：甲的平均成绩是８环，乙
的平均成绩是８环，乙成绩的众数是１０环．
（２）求甲、乙测试成绩的方差．
（３）你认为推荐谁参加全省的比赛更合适？请说
明理由．
解析 （１）甲的平均成绩为１
６×（７＋９＋７＋９＋１０＋６）
＝８（环），乙的平均成绩为１
６×（５＋８＋９＋１０＋１０＋６）
＝８（环）．乙成绩的众数是１０环．
（２）ｓ
２
甲＝１
６×［（７－８）
２× ２＋（９－８）
２× ２＋（１０－８）
２＋
（６－８）
２］＝２，
ｓ
２
乙＝１
６×［（５－８）
２＋（８－８）
２＋（９－８）
２＋（１０－８）
２×２＋
（６－８）
２］＝１１
３．
（３）推荐甲参加全省的比赛更合适，理由：因为两
人的平均成绩相同，但甲的方差比乙小，所以甲比
乙更稳定，所以推荐甲参加全省的比赛更合适．
᮰
6
给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而
是不断地攀登．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
９２
２ 中位数与箱线图
第1 课时 中位数和百分位数
ۻᆱ݆
知识点１ 中位数
１．「2025 四川成都期末」下表是六种运动的耗氧情况，其
中耗氧量的中位数是
（Ｂ）
打羽毛球爬楼梯
跳绳
游泳
慢跑
骑车
７５Ｌ／ｈ
１０２Ｌ／ｈ９０Ｌ／ｈ１１０Ｌ／ｈ１０６Ｌ／ｈ８８Ｌ／ｈ
Ａ．９０Ｌ／ｈ
Ｂ．９６Ｌ／ｈ
Ｃ．１００Ｌ／ｈＤ．１０６Ｌ／ｈ
２．跨
音乐
简谱
「2024 海南陵水期末改编」《最初的梦想》是一首
充满激情与正能量的歌曲，歌词激励人心，旋律欢
快激昂．以下是摘自歌曲简谱的部分旋律，其中出
现的数字的中位数是
（Ｂ）
eeee
ᰬ݉+᷒ᘟ2ᤍ ̶U
e
Ａ．４
Ｂ．５
Ｃ．６
Ｄ．７
３．「2024 四川南充中考」若一组数据６，６，ｍ，７，７，８的众
数为７，则这组数据的中位数为７．
４．「2025 山东淄博期中」在一组数据２１，３０，８，５，２０中插
入一个数，中位数恰好是１９，则插入的数是１８．
５．「2025 贵州三联教育集团期末」某校八年级（１）班５０名
学生参加数学质量监测考试的成绩如下表：
成绩
／分
７１７４７８８０８２８３８５８６８８９０９１９２９３
人数１
２
３
５
４
５
３
７
８
４
３
３
２
（１）该班学生考试成绩的众数是８８分．
（２）该班学生考试成绩的中位数是８６分．
（３）该班张华同学在这次考试中的成绩是８３分，
能不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上？
试说明理由．
解析 （１）成绩为８８分的人数最多，故该班学生
考试成绩的众数是８８分．
（２）全班共有５０名学生，故中位数为将成绩从小
到大排列后，第２５，２６个成绩的平均数，即８６＋８６
２
＝
８６（分）．
（３）不能．理由：因为全班成绩的中位数是８６分，８３
分低于全班成绩的中位数，所以张华同学的成绩处
于全班中游偏下．
知识点２ 百分位数
６．「2024 贵州学业考试」已知１０位同学的身高（单位：
ｃｍ）分别为１６１，１６１，１６２，１６５，１６５，１６５，１７０，１７３，
１７８，１８１，则这组数据的５０％分位数为
（Ｂ）
Ａ．１６３ｃｍ
Ｂ．１６５ｃｍ
Ｃ．１７５ｃｍ
Ｄ．１７８ｃｍ
７．一农科院的研究员根据甲、乙两块试验田玉米高度
数据，制作了如下玉米高度百分位数值表．根据该
表，你能比较这两块试验田玉米高度的整体情
况吗？
试验
田
玉米高度百分位数／ｃｍ
３％分
位数
１０％分
位数
２５％分
位数
５０％分
位数
７５％分
位数
９０％分
位数
９７％分
位数
甲
１５６
１６０
１６６
１７０
１７５
１７７
１８０
乙
１５３
１５７
１６２
１６６
１６９
１７０
１７５
解析 从整体百分位数来看，甲试验田玉米的高度
普遍比乙试验田玉米的高度高．甲试验田约有一半
的玉米高度在１７０ｃｍ以上，乙试验田约有１０％的
玉米高度在１７０ｃｍ以上．
ᑧү Ӭ
８．「2025 河北秦皇岛期中，
」某班共有４１人，在一次
体质测试中，有１人未参加集体测试，老师对集体
测试的成绩按４０人进行了统计，得到测试成绩的
中位数是８５分．缺席集体测试的同学后面进行了
补测，成绩为８８分，关于该班级４１人的体质测试
成绩的中位数，说法正确的是
（Ｂ）
Ａ．变大
Ｂ．不变或变大
Ｃ．不变
Ｄ．无法确定
９．「2024 江苏苏州中考，
」某公司拟推出由７个盲盒
组成的套装产品，现有１０个盲盒可供选择，统计这
１０个盲盒的质量如图所示．序号为１到５的盲盒已
᮰
6
求一组数据的中位数时，必须先把这组数据按从大到小或从小到大的顺序排列．
第
六
章
数
据
的
分
析
９３
选定，这５个盲盒质量的中位数恰好为１００克，６
号盲盒从甲、乙、丙中选择１个，７号盲盒从丁、戊
中选择１个，使选定的７个盲盒质量的中位数仍为
１００克，可以选择
（Ｃ）
*
΅
ͅ
̭
᜶
Ꮋ
BFٷ
Ａ．甲、丁
Ｂ．乙、戊
Ｃ．丙、丁
Ｄ．丙、戊
１０．「2024 黑龙江牡丹江中考，
」已知一组正整数ａ，１，
ｂ，ｂ，３有唯一众数８，中位数是５，则这一组数据
的平均数为５．
１１．「2025 广东揭阳期末，
」一组数据１，３，５，ｘ的平均
数与中位数相同，则ｘ的值是－１或３或７．
１２．「
」某公司销售部有营销人员１５人，销售部为
了制订某种商品的月销售定额，统计了这１５人某
月的销售量，数据如下：
销售
量／件
１８００
５１０
２５０
２１０
１５０
１２０
人数
１
１
３
５
３
２
（１）这１５位营销人员该月销售量的平均数是３２０
件，中位数是２１０件，众数是２１０件．
（２）假设销售部负责人把每位营销人员的月销售
额定为３２０件，你认为是否合理？为什么？
如果不合理，请你制订一个较合理的销售定
额，并说明理由．
（３）某天，一位营销人员辞职了，若其他营销人员
的销售量不变，平均销售量降低了，你认为辞
职的可能是销售量为多少的营销人员？
解析 （１）２１０；２１０．
（２）销售部负责人把每位营销人员的月销售额定
为３２０件是不合理的，理由：由题中表格中的数据
可知，大部分营销人员达不到要求，故不合理．可
以将２１０件作为销售定额，理由：由题中表格中的
数据可知，有一半以上的营销人员达到要求，故
将２１０件作为销售定额是合理的．
（３）之前的平均数是３２０件，由题中表格中的数据可知，
辞职的可能是销售量为１８００件或５１０件的营销人员．
б ͞
１３．新
课标
数据观念「2024 贵州贵阳三中期末」一个小饭店所有员
工的月收入情况如下：
经理
领班
迎宾
厨师
厨师
助理
服务
员
洗碗
工
人数
１
２
２
２
３
８
２
月收
入／元
４７００１９００１５００２２００１５００１４００１２００
（１）求该饭店所有员工的月平均收入、月收入的
中位数和众数．
（２）你觉得用以上三个数据中的哪一个来描述该
饭店员工的月收入水平更合适？说说你的
理由．
（３）某天一个员工辞职了，若其他员工的月收入
不变，月平均收入降低了．你认为辞职的可能
是哪个岗位上的员工？请说明理由．
解析 （１）根据题表可知该饭店共有１＋２＋２＋２＋３
＋８＋２＝２０（名）员工．
该饭店所有员工的月平均收入为１
２０×（４７００＋２×
１９００＋２×１５００＋２×２２００＋３×１５００＋８×１４００＋２×
１２００）＝１７００（元）．
众数为１４００元，中位数为１４００＋１５００
２
＝１４５０
（元）．
（２）用中位数或众数来描述更为合适．理由：平均
数受极端值的影响，只有５个人的工资超过了
１７００元，不合适．
（３）辞职的人可能是领班或经理或厨师．理由：
∵其他员工的月收入不变，月平均收入降低了，
∴辞职的员工月收入在月平均收入以上，∴辞职
的人可能是领班或经理或厨师．
᮰
6
我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还
有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决．”
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
９４
第2 课时 四分位数和箱线图
ۻᆱ݆
知识点１ 四分位数
１．「2025 四川成都期中」在一次篮球比赛中，某支球队共
进行了８场比赛，得分分别为２９，３０，３８，２５，３７，４０，
４２，３２，那么这组数据的上四分位数为
（Ｃ）
Ａ．３７．５
Ｂ．３８
Ｃ．３９
Ｄ．４０
２．「2024 山东聊城模拟」随着互联网的普及、大数据的驱
动，线上、线下相结合的新零售时代已全面开启，新
零售背景下，即时配送行业快速发展．某即时配送
公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高
客户满意度，在其Ａ，Ｂ两个分公司的客户中各随
机抽取１０位客户进行满意度调查（满分１００分），
评分结果如下：
Ａ：６６，８０，７２，７９，８０，７８，８７，８６，９１，９１．
Ｂ：６２，７７，８２，７０，７３，８６，８５，９４，９２，８９．
这２０位客户评分的下四分位数是７５分．
３．９名学生的英语考试成绩（单位：分）分别为６５，７２，
７３，７５，７８，８０，８４，８８，９０，试计算成绩的四分位数．
解析 题中数据已按由小到大的顺序排列，共有９
个数，下四分位数是７３分，数据的中位数为７８分，
上四分位数是８４分．
知识点２ 箱线图
４．「2024 湖北五市州期末改编」已知Ａ，Ｂ两个班级的人数
相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所
示，则Ａ，Ｂ两个班级平均分较高的是Ｂ
班．
")
ܲ
#)
第４题图
ܲ
* ΅ ͅ
第５题图
５．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班
级学生得分的箱线图（如图），根据该图进行判断，
下列说法错误的是③．
①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，
乙班分数的波动最大；③丙班得分低于８０的学生人
数多于得分高于８０的学生人数；④若每班有４２个学
生，则三个班级的第１１名中，丙班的分数最高．
６．某银行为了提高服务水平，随机调查了４０名顾客
的等待时间（单位：ｍｉｎ），结果如下：
２
５
１０
３
８
２０
２５
３０
１０
１５
３５
２１
７
５
４
１８
１１
１３
２０
１６
６
１２
８
１４
１５
１０
５
２１
２３
１０
３
３３
２４
１５
１７
２０
２７
８
６
１６
（１）计算这组数据的四分位数并画出箱线图．
（２）这４０名顾客的平均等待时间是多少？你对该
银行改进服务质量有什么好的建议？
解析 （１）将数据从小到大排列为２，３，３，４，５，５，５，
６，６，７，８，８，８，１０，１０，１０，１０，１１，１２，１３，１４，１５，１５，１５，
１６，１６，１７，１８，２０，２０，２０，２１，２１，２３，２４，２５，２７，３０，３３，
３５，则下四分位数为１
２×（７＋８）＝７．５（ｍｉｎ），中位数为
１
２×（１３＋１４）＝１３．５（ｍｉｎ），上四分位数为１
２×（２０＋
２０）＝２０（ｍｉｎ），数据的最小值为２ｍｉｎ，最大值为
３５ｍｉｎ，
画箱线图如图所示：
0ᒱᬢKNJO
（２）这４０名顾客的平均等待时间是１
４０×（２＋５＋…＋
６＋１６）＝１４．２７５（ｍｉｎ）．应该增加窗口，减少顾客的
等待时间（建议合理即可）．
ᑧү Ӭ
７．「2025 江苏南京学业考试，
」某考生参加某高校的综
合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，８
位老师根据考生表现打分，分数由低到高依次为
７６，ａ，ｂ，８０，８０，８１，８４，８５，若这组数据的下四分位
数为７７，则该名考生的面试分数平均数为（Ｂ）
Ａ．７９
Ｂ．８０
Ｃ．８１
Ｄ．８２
᮰
6
命运掌握在自己手中，命运的好坏由自己去创造．
第
六
章
数
据
的
分
析
９５
８．「2025 山东淄博期末改编，
」某校举行了交通安全知
识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，６位评委
对甲、乙的演讲分别进行打分（满分１０分），得到如
图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（Ｃ）
ᓃܲܲ
*
΅
@ༀ4
Ａ．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
Ｂ．甲得分的最大值与最小值的差大于乙得分的最
大值与最小值的差
Ｃ．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
Ｄ．甲得分的方差大于乙得分的方差
９．「2025 山东枣庄月考，
」有按从小到大排列的９个
数据：１０，１６，２５，３３，３９，４３，ｍ，６５，７０，若这组数据的
下四分位数与上四分位数的和是７３，则ｍ＝４８．
１０．
学科
特色易错题「2025 北京门头沟月考，
」某校抽取了某
班级的１０名学生的竞赛成绩（均为整数），从低
到高排序如下：ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５，ｘ６，ｘ７，ｘ８，ｘ９，ｘ１０．如
果ｘ４＝８３，ｘ７＝８６，该组数据的中位数是８５分，则
ｘ５＝８４或８５．
１１．「
」某学校对学生进行有关“习惯与礼貌”的评
分，抽取的部分数据（单位：分）如下：
男：５４，７０，５７，４６，９０，５８，６３，４６，８５，７３，５５，６６，３８，
４４，５６，７５，３５，５８，９４，５８；
女：７７，５５，６９，５８，７６，７０，７７，８９，５１，５３，５２，６３，６３，
６４，６９，８３，８３，６５，１００，７４．
分别计算男、女生得分的四分位数．
解析 将男生数据从小到大排列为３５，３８，４４，４６，
４６，５４，５５，５６，５７，５８，５８，５８，６３，６６，７０，７３，７５，８５，９０，
９４，共２０个数据，故男生得分的下四分位数为１
２×
（４６＋５４）＝５０（分），中位数为１
２× （５８＋５８）＝
５８（分），上四分位数为１
２×（７０＋７３）＝７１．５（分）．
将女生数据从小到大排列为５１，５２，５３，５５，５８，
６３，６３，６４，６５，６９，６９，７０，７４，７６，７７，７７，８３，８３，８９，
１００，共２０个数据，故女生得分的下四分位数为１
２
×（５８＋６３）＝６０．５（分），中位数为１
２×（６９＋６９）＝６９
（分），上四分位数为１
２×（７７＋７７）＝７７（分）．
б ͞
１２．新
课标
数据观念在一次人才招聘会上，有一家公司的招
聘员说：“我们公司的收入水平很高，去年，在５０
名员工中，最高年收入达到了２００万元，员工年收
入的平均数是１０万元．” 而你的预期是获得９万
元年收入．
（１）试判断自己入职后能否成为此公司的一名高
收入者．
（２）如果招聘员继续说：“员工年收入的变化范围
是从３万元到２００万元．”这个信息能否使你
作出应聘的决定？为什么？
（３）如果招聘员继续给你提供了如下信息：员工
年收入的下四分位数为４．５万元，上四分位数
为９．５万元，那么你该如何使用这条信息来作
出是否应聘的决定？
（４）根据（３）中招聘员提供的信息，你能估计出这
家公司员工年收入的中位数是多少吗？为什
么平均数比估计出的中位数高很多？
解析 （１）不能，因为平均年收入和最高年收入
相差太大，说明高年收入的员工占极少数，如果
有一名员工的年收入为２００万元，那么其余４９名
员工的年收入之和为３００万元，平均年收入约为
６．１２万元．如果再有几个年收入特别高的员工，那
么初进公司的员工的年收入将会更低．
（２）不能，要看员工年收入的中位数是多少．
（３）根据信息可以确定约７５％的员工年收入在４．５
万元以上，约２５％的员工年收入在９．５万元以上，
预期年收入是９万元，故不会应聘．
（４）年收入的中位数大约是４．５＋９．５
２
＝７万元，因为
平均数受极端值的影响，所以平均数比中位数高
很多．
᮰
6
学习是一门大学问，有时“退步”反而能取得更大的进步．任何事物都是辩证的．当我们面对难题止步不前时，不妨考
虑考虑“退一步”，思考思考再前进．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
９６
３ 哪个团队收益大
ۻᆱ݆
知识点 利用数据分析作判断
１．「2024 湖南郴州月考」为践行“环保宣言”，某校开展中
小学生主题演讲比赛，下图是７位评委对甲、乙两
位参赛选手的打分情况，通过折线图发现７位评委
对乙选手在演讲比赛中的表现评价更一致．（填
“甲”或“乙”）
ᓃܲܲ
@ༀ4
*
΅
２．「2025 江苏扬州广陵期末」某校七年级一班和二班各派
出１０名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
跳绳成绩／个
１３２
１３３
１３４
１３５
１３６
１３７
一班人数
１
０
１
５
２
１
二班人数
０
１
４
１
２
２
（１）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均
数和方差如下表：
众数／个
中位数／个平均数／个方差
一班
ａ
１３５
１３５
ｃ
二班
１３４
ｂ
１３５
１．８
则ａ＝１３５，ｂ＝１３４．５，ｃ＝１．６．
（２）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班
跳绳比赛的成绩．
解析 （１）１３５；１３４．５；１．６．
（２）答案不唯一，合理即可．例如：①从众数（或中
位数）的角度来看，一班成绩比二班要高，所以一
班的成绩好于二班．②一班成绩的方差小于二班，
说明一班成绩比二班稳定．
ᑧү Ӭ
３．「2024 湖南衡阳期末改编，
」从甲、乙两种饮料中各
抽取１０盒２５０毫升的饮料，检查其中维生素Ｃ的
含量，所得数据如下（单位：毫克）：
甲：１２０，１２３，１１９，１２１，１２２，１２４，１１９，１２２，１２１，１１９．
乙：１２１，１１９，１２４，１１９，１２３，１２４，１２３，１２２，１２３，１２２．
请判断哪种饮料维生素Ｃ的平均含量高，哪种饮
料维生素Ｃ的含量稳定．
解析 ∵ｘ甲＝１２０＋１２３＋…＋１２１＋１１９
１０
＝１２１（毫克），
ｘ乙＝１２１＋１１９＋…＋１２３＋１２２
１０
＝１２２（毫克），
∴乙种饮料维生素Ｃ的平均含量高．
ｓ
２
甲＝（１２０－１２１）
２＋…＋（１１９－１２１）
２
１０
＝２．８，
ｓ
２
乙＝（１２１－１２２）
２＋…＋（１２２－１２２）
２
１０
＝３，
∴ｓ
２
甲＜ｓ
２
乙，∴甲种饮料维生素Ｃ的含量稳定．
４．「2025 河北衡水武强期中，
」某校举办了国学知识竞
赛，满分１０分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、
乙两组（每组１０人）学生成绩（单位：分）如下：
甲组：３，６，６，６，６，６，７，９，９，１０．
乙组：５，６，６，６，７，７，７，７，８，９．
组别
平均数／分中位数／分众数／分
方差
甲组
ａ
６
ｃ
３．７６
乙组
６．８
ｂ
７
１．１６
（１）以上成绩统计分析表中，ａ＝
６．８，ｂ＝
７，
ｃ＝６．
（２）小明同学说：“这次竞赛我得了７分，在我们小
组中属于中游略偏上！”观察上面的表格判断，
小明可能是甲组的学生．
（３）从平均数和方差的角度来看，若从甲、乙两组
学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？说明
理由．
解析 （１）ａ＝１
１０×（３＋６＋…＋９＋１０）＝６．８，把乙组的
成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是７＋７
２
＝７，故ｂ＝７，甲组学生成绩中，数据６出现次数最
多，所以ｃ＝６．故答案为６．８；７；６．
（２）甲组的中位数是６，小明得了７分，在甲组中属
中游略偏上．故答案为甲．
（３）选乙组参加决赛．理由：因为两组平均数相同，
᮰
6
决策类统计题，要从多个角度来分析情况．平均数、众数和中位数反映了一组数据的集中趋势，方差是一个被广泛用
来衡量数据离散程度的统计量．
第
六
章
数
据
的
分
析
９７
ｓ
２
甲＝３．７６＞ｓ
２
乙＝１．１６，所以乙组的成绩比较稳定，故
选乙组参加决赛．
５．「2024 广东深圳盐田月考，
」【定义】把一组数据从
小到大排列，用ｍ表示中位数，则ｍ把这组数据分
为两部分，依次记为Ｓ和Ｔ．用ａ和ｂ分别表示Ｓ和
Ｔ的中位数．这样ａ，ｍ，ｂ把所有数据分成个数相等
的四部分，称为四分位数．
【应用】甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下：
甲：９１，９６，７０，８９，６０，７０，１００，８０，９２，９８；
乙：９２，９３，７０，８８，８２，７５，９６，８０，９２，９５．
（１）求甲组数据的四分位数ａ，ｍ，ｂ．
（２）观察图中乙组的箱线图，根据甲组的四分位数
绘制甲组的箱线图．
【理解】
（３）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两
组成绩的看法．
*3
΅3
"A4ܲ
B
NC
解析 （１）将甲组的成绩从小到大排列为６０，７０，
７０，８０，８９，９１，９２，９６，９８，１００，
故ｍ＝８９＋９１
２
＝９０，ａ＝７０，ｂ＝９６．
（２）如图所示：
*3
΅3
"A4ܲ
B
B
NC
C
N
（３）根据箱线图和四分位数可知甲组的成绩比较
分散，乙组的成绩比较集中．（答案不唯一）
б ͞
６．新
课标
数据观念有甲、乙两个理财经营团队，２０２５年上半
年这两个团队分别负责经营８项理财产品，收益率
（单位：％）如下：
甲：２．０３，４．１２，４．１２，３．９６，４．８４，４．８８，３．８２，３．１４．
乙：３．１７，３．８４，３．４０，４．２３，３．６０，４．１５，４．０６，４．４４．
某同学想要利用四分位数分析甲、乙两个团队的经
营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率
数据的四分位数．
团队
ｍ２５
ｍ５０
ｍ７５
甲
３．４８
４．０４
４．４８
乙
ａ
３．９５
ｂ
请根据以上信息回答下列问题：
（１）ａ＝３．５０，ｂ＝４．１９．
（２）该同学基于四分位数绘制了甲团队的箱线图，
如图所示．请你根据甲团队的箱线图在图中补
全乙团队的箱线图，并根据箱线图对甲、乙两
个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方
面作出评价．
ᩢ+(
* K
΅ K
NN
N
解析 （１）将乙团队负责经营的８项理财产品的
收益率（单位：％）从小到大排列为３．１７，３．４０，３．６０，
３．８４，４．０６，４．１５，４．２３，４．４４，
∵ａ为前４个数据的中位数，ｂ为后４个数据的中
位数，∴ａ＝３．４０＋３．６０
２
＝３．５０，ｂ＝４．１５＋４．２３
２
＝４．１９．
（２）补全乙团队的箱线图，如图所示．
ᩢ+(
* K
΅ K
N
N
N
N
N
N
通过箱线图可知，甲团队产品收益率的中位数与乙
团队的几乎相等，故两个团队的总体经营效益基本
一样，但甲团队的产品收益率明显比乙团队的波动
性大，故乙团队的经营水平更稳健．
᮰
6
不能盲目做题，有数量不等于有质量，会做的题目就是做上一千道也没有进步，要挑战自己不会做的题目，只有不
断地挑战才能取得进步．
初
中
数
学
八
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大
版
９８
第六章自主检测
范围：数据的分析
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2025 贵州贵阳期末」班会上，小明给大家分享了“节约
第一，合理消费”的主题故事，并调查了五名同学一
周的零花钱（单位：元）使用情况，分别为３０，３５，３０，
４０，２０．这组数据的众数是
（Ｂ）
Ａ．２０元
Ｂ．３０元
Ｃ．３５元
Ｄ．４０元
２．「2025 山西太原期末」在申请加入中国共青团的过程
中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织６５名申
请入团的同学进行团课笔试，其中有３２人笔试合
格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试
是否合格，只需要知道６５人笔试成绩的
（Ａ）
Ａ．中位数
Ｂ．平均数
Ｃ．众数
Ｄ．方差
３．「2025 四川泸州五中期末」某校为了解学生课外锻炼身
体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课
外锻炼时间进行了统计，数据如下：
锻炼时间／ｈ
７
８
９
１０
１１
人数
６
１０
９
８
７
该校学生一周进行课外锻炼的时间的第５０百分位
数是
（Ｄ）
Ａ．８．５ｈ
Ｂ．８ｈ
Ｃ．７ｈ
Ｄ．９ｈ
４．「2025 山东淄博期中」在一次数学考试中，八年级一班
２３名男生的平均分为ａ分，２２名女生的平均分为ｂ
分，则这个班全体同学的平均分为
（Ｃ）
Ａ．ａ＋ｂ
４５分
Ｂ．ａ＋ｂ
２分
Ｃ．２３ａ＋２２ｂ
４５
分
Ｄ．２３（ａ＋ｂ）
４５
分
５．「2024 重庆育才中学期末改编」某校举办小合唱比赛，六
个参赛小组人数如下：５，６，５，７，ｘ，８．已知这组数据
的平均数为６，则这组数据的离差平方和为
（Ｄ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
６．「2024 安徽芜湖期末」如图１所示，在箱线图
中，位于最下面和最上面的实横线分别表
示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部
的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异
常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人
数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图２所
示，则下列说法正确的是
（Ｃ）
ᐮ፤ը
ᐮ፤ը
̶D4
̷D4
̶ ܲѹ
̷ ܲѹ
ը
͙ѹ
图１
4ܲ
̬)
θ)
图２
Ａ．一班成绩比二班成绩集中
Ｂ．一班成绩的上四分位数是８０分
Ｃ．一班有同学的成绩超过１４０分
Ｄ．一班的平均分高于二班的平均分
７．「2025 江苏南京鼓楼期末」下表是某班３５位同学的实
验操作成绩：
成绩／分
５
６
７
８
９
１０
人数
２
３
５
７
已知这３５位同学实验操作成绩的中位数和众数都
是９分，成绩为８分的超过６人，则成绩为９分的
人数是
（Ｃ）
Ａ．９
Ｂ．１０
Ｃ．１１
Ｄ．１２
二、填空题（每小题５分，共１５分）
８．「2024 上海中考改编」科学家同时培育了甲、乙、丙、丁
四种花，从甲、乙、丙、丁中选个开花时间最短并且
最平稳的是乙．
᮰
6
利用统计量分析数据，当平均数相同或接近时，往往考虑利用方差来确定数据的稳定性，从而作出决策，但有时还
需要根据数据的变化趋势，综合各方面的因素来作出决策．
第
六
章
数
据
的
分
析
９９
种类
甲
乙
丙
丁
平均数
２．３
２．３
２．８
３．１
方差
１．０５
０．７８
１．０５
０．７８
９．「2025 辽宁期末改编」在八年级随机抽取１０名男生和
１０名女生的竞赛成绩（满分１００分），按从低到高
的顺序排列，得到表中的样本数据：
男生
８２
８５
８６
８７
８８
９０
９０
９２
９４
９６
女生
８２
８４
８５
８７
８７
８７
８８
８８
９０
９２
则下列说法正确的是①②③．
①男生样本数据的２５％分位数是８６分；②男生样
本数据的中位数大于女生样本数据的众数；③女生
样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后，所得
数据的平均数不变；④女生样本数据的７５％分位
数大于男生样本数据的７５％分位数．
１０．「2024 江苏盐城模拟」一组由７个整数组成的数据：
９，４，ａ，７，ａ，５，１０，它们的中位数与众数相同，则满
足条件的ａ值共有５个．
三、解答题（共５０分）
１１．「2024 山西吕梁期末」（２０分）体育课上张老师对全
班学生进行了体能测试，从跑步、立定跳远、跳绳
三个方面进行了量化考核．小宇和小彬的各项成
绩（单位：分）如下表（百分制）：
跑步
立定跳远
跳绳
小宇
８５
９５
９０
小彬
９５
８６
８８
若跑步、立定跳远、跳绳的成绩按４∶３∶３确定体
能综合成绩，则小宇和小彬谁的体能综合成绩
高？请通过计算说明理由．
解析 小彬的体能综合成绩高，理由如下：
小宇的综合成绩为８５×４＋９５×３＋９０×３
１０
＝８９．５（分），
小彬的综合成绩为９５×４＋８６×３＋８８×３
１０
＝９０．２（分），
∵８９．５＜９０．２，∴小彬的体能综合成绩高．
１２．「2025 广东深圳期末改编」（３０分）从文本生成到语音
识别，从绘画到编程，ＡＩ的应用范围不断扩大，为
各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解
甲、乙两款ＡＩ软件的使用效果，数学兴趣小组从
甲、乙两款软件使用者中各随机抽取２０名，记录
使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描
述和分析如下：
信息处理速度得分情况统计图
*
Ϧ
ᓃܲܲ
΅
信息识别准确度得分情况统计图
ҫ*54
ᓃܲܲ
*ᓃܲᗱۡ
΅ᓃܲᗱۡ
信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数／分中位数／分众数／分平均数／分
方差
甲
７．３
７
ｂ
５．６
４．８４
乙
７．６５
ａ
７
４．９
５．２９
根据以上信息，解答下列问题：
（１）ａ＝７．５，ｂ＝９．
（２）若某市共有２０．４万人使用甲款ＡＩ软件，请你
估计对甲款软件信息识别准确度打分超过７
分的人数．
（３）综合表中的统计量，你认为哪款ＡＩ软件使用
效果更好？请说明理由．（至少列出２条理由）
解析 （１）将乙软件信息处理速度得分由小到大
排列后最中间的两个数为７，８，∴ａ＝７＋８
２＝７．５．
∵甲软件信息处理速度得分中９出现的次数最
多，∴ｂ＝９．
（２）２０４０００× ５
２０＝５１０００（人）．
答：估计对甲款软件信息识别准确度打分超过７
分的人数为５１０００．
（３）答案不唯一．甲款ＡＩ软件使用效果更好．理由
如下：∵甲款ＡＩ软件信息处理速度得分的众数高
于乙款，信息识别准确度得分的平均数高于乙款，
且方差小于乙款，∴甲款ＡＩ软件使用效果更好．
᮰
6
研究科学最宝贵的精神之一，是创造精神，是独立开辟荒原的精神，在“山重水复疑无路”的时候，卓越的科学家
往往是另辟蹊径，创造出“柳暗花明又一村”．
初
中
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师
大
版
１００
第七章
证明
１ 为什么要证明
ۻᆱ݆
知识点 推理证明的必要性
１．下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确
的是
（Ｄ）
Ａ．只需观察得出
Ｂ．只需依靠经验获得
Ｃ．通过实验得出
Ｄ．必须进行有根据的证明
２．先观察再验证．
（１）图１中实线是直的还是弯曲的？
（２）图２中两条线段ａ与ｂ哪一条更长？
图１
B
C
图２
解析 （１）题图①中的实线是直的．
（２）题图②中线段ａ与ｂ一样长．
ᑧү Ӭ
３．「
」某公园计划砌一个形状如图１所示的喷水
池，后来有人建议改为如图２所示的形状，两图中
外圆直径相同，喷水池边缘的高度、宽度相同，你认
为砌喷水池的边缘
（Ｃ）
图１
图２
Ａ．图１需要的材料多
Ｂ．图２需要的材料多
Ｃ．图１、图２需要的材料一样多
Ｄ．无法确定
４．「2023 北京东城一检，
」如图所示的是某剧场第一
排座位分布图．
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为２，３，４，５．每
人选座购票时，只购买第一排座位相邻的票，同时使
自己所选的座位号之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”
的先后顺序购票，那么甲购买１，２号座位的票，乙购
买３，５，７号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到
第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都
能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购
票的先后顺序：丙、丁、甲、乙（答案不唯一）．
５．「2024 福建莆田期末，
」庆祝元旦期间，张老师出了
一道“年份题”：计算２０２３
２＋２０２３
２×２０２４
２＋２０２４
２
的算术平方根．
张老师提示可将上述问题一般化为：计算ｎ
２＋ｎ
２（ｎ
＋１）
２＋（ｎ＋１）
２的算术平方根（ｎ为正整数），然后对
ｎ进行特殊化．
当ｎ＝１时，１
２＋１
２×２
２＋２
２＝（１×２＋１）
２；
当ｎ＝２时，２
２＋２
２×３
２＋３
２＝（２×３＋１）
２；
当ｎ＝３时，３
２＋３
２×４
２＋４
２＝（３×４＋１）
２；……
（１）根据以上等式规律，请写出第ｎ个等式，并验
证其正确性．
（２）某同学将上述问题更一般化为：计算ｎ
２＋ｎ
２ｍ
２＋
ｍ
２的算术平方根，并猜想ｎ
２＋ｎ
２ｍ
２＋ｍ
２＝（ｎｍ＋
ｍ－ｎ）
２，其中ｍ，ｎ为正整数．你认为这个猜想成
立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请说明
以上猜想成立时，ｍ，ｎ应满足什么关系并证明．
解析 （１）ｎ
２＋ｎ
２（ｎ＋１）
２＋（ｎ＋１）
２＝［ｎ（ｎ＋１）＋１］
２，
证明：∵［ｎ（ｎ＋１）＋１］
２＝ｎ
２（ｎ＋１）
２＋２ｎ（ｎ＋１）＋１
＝ｎ
２（ｎ＋１）
２＋２ｎ
２＋２ｎ＋１＝ｎ
２＋ｎ
２（ｎ＋１）
２＋（ｎ＋１）
２，
∴ｎ
２＋ｎ
２（ｎ＋１）
２＋（ｎ＋１）
２＝［ｎ（ｎ＋１）＋１］
２．
（２）不成立，理由如下：
∵（ｎｍ＋ｍ－ｎ）
２＝ｎ
２＋ｎ
２ｍ
２＋ｍ
２＋２ｎｍ
２－２ｎ
２ｍ－２ｍｎ≠
ｎ
２＋ｎ
２ｍ
２＋ｍ
２，∴猜想不成立．
当猜想成立时，２ｎｍ
２－２ｎ
２ｍ－２ｍｎ＝０，
即２ｍｎ（ｍ－ｎ－１）＝０，
∵ｍ，ｎ为正整数，∴ｍ－ｎ－１＝０，∴ｍ－ｎ＝１，
∴当ｍ－ｎ＝１时，ｎ
２＋ｎ
２ｍ
２＋ｍ
２＝（ｎｍ＋ｍ－ｎ）
２成立．
᮰
6
判断事情的语句，数学学名叫命题．证明一个假命题，仅需举出一反例．证明一个真命题，依靠正确的推理．
第
七
章
证
明
１０１
２ 认识证明
第1 课时 定义与命题
ۻᆱ݆
知识点１ 定义
１．「2024 浙江绍兴嵊州期中」下列语句中，属于定义的是
（Ｃ）
Ａ．对顶角相等
Ｂ．作一条直线和已知直线垂直
Ｃ．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
Ｄ．图形的平移不改变图形的形状和大小
知识点２ 命题
２．「2025 贵州贵阳期末」下列句子中属于命题的是（Ｄ）
Ａ．美丽的天空
Ｂ．你的作业完成了吗
Ｃ．过直线ｌ外一点作ｌ的垂线
Ｄ．两直线平行，同位角相等
３．「2025 浙江丽水龙泉期末」下列命题中，是真命题的是
（Ｃ）
Ａ．若３ｘ＝－１，则ｘ＝－３
Ｂ．三个角分别相等的两个三角形全等
Ｃ．同角的补角相等
Ｄ．一个锐角和一个钝角的和等于一个平角
４．「2025 浙江义乌期末」下列选项中，可以用来说明命题
｜ａ｜＝ａ是假命题的反例是
（Ｂ）
Ａ．ａ＝２
Ｂ．ａ＝－４
Ｃ．ａ＝０
Ｄ．ａ＝５
５．把下列命题改写成“如果……那么……” 的形式，
并指出它们的条件与结论．
（１）垂直于同一条直线的两条直线平行．
（２）两点确定一条直线．
（３）直角都相等．
解析 （１）如果两条直线都和第三条直线垂直，那
么这两条直线平行．
条件：两条直线都和第三条直线垂直．结论：这两条
直线平行．
（２）如果过两个已知点作直线，那么只能作一条直线．
条件：过两个已知点作直线．结论：只能作一条直线．
（３）如果几个角都是直角，那么这几个角相等．
条件：几个角都是直角．结论：这几个角相等．
ᑧү Ӭ
６．「
」能说明“锐角α 与锐角β 的和是锐角” 是假
命题的例证图是
（Ｃ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
７．「2025 山西太原期末，
」在判断“对于任意自然数ｎ，
代数式ｎ
２－ｎ＋１１的值一定是质数”这一命题的真假
时，同学们给出如下分析，其中正确的是
（Ｃ）
Ａ．因为ｎ＝１时，代数式ｎ
２－ｎ＋１１的值为质数，所以
该命题是真命题
Ｂ．因为ｎ＝０，１，２，…，１０时，代数式ｎ
２－ｎ＋１１的值
都为质数，所以该命题是真命题
Ｃ．如果ｎ取某一自然数时，代数式ｎ
２－ｎ＋１１的值为
合数，那么该命题是假命题
Ｄ．如果ｎ取某一奇数时，代数式ｎ
２－ｎ＋１１的值为质
数，那么该命题是真命题
８．跨
语文
诗歌
「2025 湖南长沙中雅培粹学校月考，
」“回文诗”
即正读、倒读均成章句的诗，如：“秋江楚雁宿沙
洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚
江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在
数学中有一类数也有这样的特征，即正读、倒读都
一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如１１，３４３
等．下列几个命题：
①２２２２是“回文数”；
②所有两位数中，有９个“回文数”；
③所有三位数中，有８１个“回文数”；
④任意四位数的“回文数”是１１的倍数．
其中真命题为①②④．（填序号）
᮰
6
生活，有着追梦的艰辛，有着成功的喜悦，有着失败的痛苦，总之，不断向前．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１０２
第2 课时 定理与证明
ۻᆱ݆
知识点 公理、定理与证明
１．下列命题不是公理（基本事实）的是
（Ｃ）
Ａ．两点确定一条直线
Ｂ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直
Ｃ．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
Ｄ．三边分别相等的两个三角形全等
２．下列关于基本事实和定理的联系，说法正确的是
（Ｃ）
Ａ．基本事实和定理都不一定是真命题
Ｂ．基本事实就是定理，定理也是基本事实
Ｃ．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
Ｄ．基本事实和定理的正确性均不需要证明
３．下列命题中，可作为证明的出发点和依据的是②
③④⑤⑥．（填序号）
①能被３整除的数一定能被６整除；②对顶角相
等；③三角形的任意两边之和大于第三边；④等角
的余角相等；⑤三边分别相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角的和是９０°，那么称这两个角互为
余角．
ᑧү Ӭ
４．「2025 福建厦门海沧期中，
」证明：如果两个三角形
全等，那么它们的一组对应边上的中线相等．（画出
图形，并写出已知、求证和证明过程）
解析 已知：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ，ＥＦ
的中点．
"
#
.
$
%
&
/
'
求证：ＡＭ＝ＤＮ．
证明：∵△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，
∴ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＦ，∠Ｂ＝∠Ｅ，
∵Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ，ＥＦ的中点，∴ＢＭ＝ＥＮ，
在△ＡＢＭ与△ＤＥＮ中，
ＡＢ＝ＤＥ，
∠Ｂ＝∠Ｅ，
ＢＭ＝ＥＮ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＢＭ≌△ＤＥＮ（ＳＡＳ），∴ＡＭ＝ＤＮ．
５．「
」小明用如下方法画出了互相垂直的两条直
线，你能证明这种画法的正确性吗？
画法：①画∠ＡＯＢ；
②以点Ｏ为圆心，任意长为半径画弧，交ＯＡ于点
Ｃ，交ＯＢ于点Ｄ；
③再分别以点Ｃ和点Ｄ为圆心，大于１
２ＣＤ的长为
半径画弧，两弧相交于∠ＡＯＢ内部一点Ｐ；
④分别画直线ＯＰ，ＣＤ，则ＣＤ与ＯＰ互相垂直．
见答案册Ｄ６１
６．「
」如图，点Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｂ在同一直线上，且ＣＥ＝
ＢＦ，给出下列信息：
①ＡＢ∥ＣＤ；②∠Ａ＝∠Ｄ；③ＡＢ＝ＣＤ．
（１）请在上述三条信息中选择两条作为条件，剩余
一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条
件是
，结论是
（填写序号，写出一
种即可），并说明理由．
（２）在（１）的条件下，若ＡＢ＝ＢＥ，∠Ｂ＝３８°，求∠Ｄ
的度数．
解析 （１）答案不唯一，如条件是①③，结论是②，
理由如下：
∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ｃ＝∠Ｂ，
∵ＣＥ＝ＢＦ，∴ＣＥ＋ＥＦ＝ＢＦ＋ＥＦ，即ＣＦ＝ＢＥ．
在△ＡＥＢ和△ＤＦＣ中，
ＡＢ＝ＤＣ，
∠Ｂ＝∠Ｃ，
ＢＥ＝ＣＦ，
ì
î
í
ïï
ïï
∴△ＡＥＢ≌△ＤＦＣ（ＳＡＳ），∴∠Ａ＝∠Ｄ．
（２）∵ＡＢ＝ＢＥ，∴∠Ａ＝∠ＡＥＢ＝１
２×（１８０°－∠Ｂ）＝
１
２×（１８０°－３８°）＝７１°，∴∠Ｄ＝∠Ａ＝７１°．
᮰
6
平行线的判定口诀：判定两直线平行，同位角等内错等，同旁互补也能行．另外还有两方法，垂直平行同一线（垂直
要在同一平面内），证明平行也常见．
第
七
章
证
明
１０３
３ 平行线的证明
第1 课时 平行线的判定
ۻᆱ݆
知识点 平行线的判定
１．「2025 江苏泰州兴化期末」如图，能判定ＥＦ∥ＡＢ的条
件是
（Ａ）
Ａ．∠ＥＦＣ＝∠Ｂ
Ｂ．∠ＡＤＥ＝∠Ｂ
Ｃ．∠ＡＤＥ＝∠ＥＦＣ
Ｄ．∠ＤＥＦ＝∠ＥＦＣ
"
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第１题图
"
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第２题图
２．如图，下列推理不正确的是
（Ｂ）
Ａ．因为∠１＝∠２，所以ＡＢ∥ＣＤ
Ｂ．因为∠１＝∠２，所以ＡＤ∥ＢＣ
Ｃ．因为∠３＝∠４，所以ＡＤ∥ＢＣ
Ｄ．因为∠４＝∠５，所以ＡＢ∥ＣＤ
３．如图，在正方形网格内，线段ＰＱ的两个
端点都在格点上，网格内另有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
四个格点，下面四个结论中，正确的是
（Ｂ）
Ａ．连接ＡＢ，则ＡＢ∥ＰＱ
Ｂ．连接ＢＣ，则ＢＣ∥ＰＱ
Ｃ．连接ＢＤ，则ＢＤ⊥ＰＱ
Ｄ．连接ＡＤ，则ＡＤ⊥ＰＱ
４．如图所示，已知∠Ｄ＝∠Ａ，∠Ｂ＝
∠ＦＣＢ，ＥＤ与ＣＦ平行吗？试说明理由．
&
%
$
'
"
#
解析 ＥＤ∥ＣＦ．
理由：因为∠Ｄ＝∠Ａ，所以ＡＢ∥ＤＥ（内错角相等，
两直线平行）．
因为∠Ｂ＝∠ＦＣＢ，所以ＡＢ∥ＣＦ（内错角相等，两直
线平行）．
所以ＥＤ∥ＣＦ（平行于同一条直线的两条直线平行）．
%
$
.
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&
"
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'
５．跨
物理
凸透镜
「2024 陕西西安铁一中学期末」如
图，光线ＡＢ从空气中射入薄凸透镜，
再经过凸透镜的光心射入空气中，形
成光线ＣＤ，由光学知识可知∠１＝
∠２，∠３＝∠４，求证：ＡＢ∥ＣＤ．
证明 ∵∠１＝∠２，∴∠ＥＢＣ＝∠ＮＣＢ，
∵∠３＝∠４，∴∠ＥＢＣ＋∠３＝∠ＮＣＢ＋∠４，
即∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∴ＡＢ∥ＣＤ．
６．「2024 湖北襄阳月考」如图，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＣＤ上，
∠１＋∠Ａ＝９０°，∠１＝∠Ｃ，∠Ａ与∠２互余，试说明
ＣＥ∥ＢＦ．
"
&
#
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'
$
0
证明
∵∠１＋∠Ａ＝９０°，
∠Ａ与∠２互余，
∴∠１＝∠２．
∵∠１＝∠Ｃ，∴∠Ｃ＝∠２，
∴ＣＥ∥ＢＦ．
７．「2025 北京五十四中期末」如图，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，ＢＦ，
ＤＥ分别平分∠ＡＢＣ与∠ＡＤＣ，且∠１＝∠３．求证：
ＡＢ∥ＤＣ．
"
%
'
$
#
&
证明
∵ＢＦ，ＤＥ分别平
分∠ＡＢＣ与∠ＡＤＣ，
∴∠１＝１
２∠ＡＢＣ，∠２＝
１
２∠ＡＤＣ，∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，∴∠１＝∠２，
∵∠１＝∠３，∴∠２＝∠３，∴ＡＢ∥ＤＣ．
８．如图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点，ＯＦ⊥ＯＥ，∠ＤＯＥ＝
５５°，ＯＦ平分∠ＡＯＤ，∠Ｄ＝１１０°．求证：ＣＤ∥ＡＢ．
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证明 ∵ＯＦ⊥ＯＥ，∴∠ＦＯＥ＝９０°，
∵∠ＤＯＥ＝５５°，∴∠ＤＯＦ＝３５°，
∵ＯＦ平分∠ＡＯＤ，∴∠ＡＯＤ＝２
∠ＤＯＦ＝２×３５° ＝７０°，
∴∠ＡＯＤ＋∠Ｄ＝７０°＋１１０° ＝１８０°，∴ＣＤ∥ＡＢ．
᮰
6
人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正的机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没
有准备才是浪费了时间．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１０４
ᑧү Ӭ
９．「2024 河北邯郸丛台月考，
」一次数学活动中，要检
验两条纸带①②的边线是否平行，嘉嘉和淇淇采用
了两种不同的方法：嘉嘉将纸带①沿ＡＢ折叠，量
得∠１＝∠２＝５９°；淇淇将纸带②沿ＣＤ折叠，发现
ＣＮ与ＣＭ重合，ＤＱ与ＤＰ重合（点Ｃ在ＭＮ上，点
Ｄ在ＰＱ上），如图所示．下列判断正确的是（Ｂ）
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Ａ．只有纸带①的边线平行
Ｂ．只有纸带②的边线平行
Ｃ．纸带①②的边线都平行
Ｄ．纸带①②的边线都不平行
１０．「2024 海南琼海期末，
」如图所示，把ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ
三根木条钉在一起，使之可以在连接点Ｐ，Ｑ处自
由旋转，若∠１＝７０°，∠２＝５０°，则如何旋转木条
ＣＤ，才能使它与木条ＡＢ平行
（Ｂ）
①把木条ＣＤ绕点Ｐ逆时针旋转２０°；②把木条
ＣＤ绕点Ｐ顺时针旋转１６０°．
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Ａ．①操作正确，②操作错误
Ｂ．①②操作都正确
Ｃ．①操作错误，②操作正确
Ｄ．①②操作都错误
１１．「2024 山东济宁期末改编，
」如图，直线ＥＦ上有两
点Ａ，Ｃ，在直线ＥＦ两侧分别引射线ＡＢ，ＣＤ，使
∠ＢＡＦ＝１１０°，∠ＤＣＦ＝６０°．射线ＡＢ，ＣＤ分别绕点
Ａ，Ｃ以１度／秒和６度／秒的速度同时顺时针转动，
设转动时间为ｔ秒，在射线ＣＤ转动一周的时间内，
当转动时间ｔ的值为多少时，ＣＤ与ＡＢ平行？
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见答案册Ｄ６３
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１２．新
课标
推理能力「2023 山东淄博张店期末」将一副三角尺的两
个直角顶点Ｃ叠放在一起（如图），其中∠Ａ＝
３０°，∠Ｂ＝６０°，∠Ｄ＝∠Ｅ＝４５°．
（１）猜想∠ＢＣＤ与∠ＡＣＥ的数量关系，并说明理由．
（２）若∠ＢＣＤ＝４∠ＡＣＥ，求∠ＢＣＤ的度数．
（３）若按住三角尺ＡＢＣ不动，绕顶点Ｃ转动三角
尺ＤＣＥ，试探究∠ＢＣＤ等于多少度时，ＣＥ∥
ＡＢ，并简要说明理由．
解析 （１）猜想：∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＥ＝１８０°，理由如下：
因为∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝９０° ＋∠ＡＣＤ，所以
∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°＋９０°＝１８０°．
（２）设∠ＡＣＥ＝α，则∠ＢＣＤ＝４α，
由（１）可得∠ＢＣＤ＋∠ＡＣＥ＝１８０°，所以４α ＋α
＝１８０°，
所以α＝３６°，所以∠ＢＣＤ＝４α＝１４４°．
（３）分两种情况：
①如图１所示，当∠ＢＣＤ＝１５０°时，ＡＢ∥ＣＥ．
因为∠ＢＣＤ＝１５０°，∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝９０°，
所以∠ＡＣＥ＝３０°，所以∠Ａ＝∠ＡＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＥ．
图１
图２
②如图２所示，当∠ＢＣＤ＝３０°时，ＡＢ∥ＣＥ．
因为∠ＢＣＤ＝３０°，∠ＤＣＥ＝９０°，
所以∠ＢＣＥ＝６０°，所以∠ＢＣＥ＝∠Ｂ，所以ＡＢ∥ＣＥ．
综上所述，∠ＢＣＤ等于１５０°或３０°时，ＣＥ∥ＡＢ．
᮰
6
平行性质与判定，二者关系应记清．线平行得角关系，平行性质便可知．由角大小定平行，平行判定要记清．条件结论
可互换，性质判定跟着换．
第
七
章
证
明
１０５
第2 课时 平行线的性质
ۻᆱ݆
知识点 平行线的性质
１．「2025 广东揭阳揭西期末」如图，直线ＡＢ，ＣＤ相交于点
Ｅ，ＡＢ∥ＤＦ，若∠ＢＥＣ＝１２５°，则∠Ｄ等于
（Ｂ）
Ａ．４５°
Ｂ．５５°
Ｃ．６５°
Ｄ．１２５°
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第１题图
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第２题图
２．「2024 甘肃陇南武都期末」如图，直线ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，点
Ｏ在直线ＥＦ上，下列结论正确的是
（Ｂ）
Ａ．∠α＋∠β－∠γ＝９０°
Ｂ．∠α－∠β＋∠γ＝１８０°
Ｃ．∠γ＋∠β－∠α＝９０°
Ｄ．∠α＋∠β＋∠γ＝１８０°
３．跨
音乐
五线谱「2024 山东烟台期末」五线谱是一种记谱法，通
过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符
及其他记号来记载音乐．如图，ＡＢ和ＣＤ在五线谱
上，点Ｅ在ＡＢ，ＣＤ之间的一条平行线上，若∠１＝
１２０°，∠２＝３０°，则∠ＢＥＣ的度数是９０° ．
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４．「2025 福建泉州晋江期末」科技改变世界，为提高快递包
裹分拣效率，某物流公司引进了快递自动分拣流水
线，如图１所示，图２是将部分流水线抽象而成的数
学模型示意图．如图２，ＡＢ∥ＣＤ，ＯＥ平分∠ＡＯＣ，ＣＦ
平分∠ＯＣＤ．求证：∠ＥＯＦ＋∠ＯＦＣ＝１８０°．
图１
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图２
证明 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＯＣ＝∠ＯＣＤ，
∵ＯＥ平分∠ＡＯＣ，∴∠ＥＯＣ＝１
２∠ＡＯＣ，
∵ＣＦ平分∠ＯＣＤ，∴∠ＯＣＦ＝１
２∠ＯＣＤ，
∴∠ＥＯＣ＝∠ＯＣＦ，∴ＯＥ∥ＣＦ，∴∠ＥＯＦ＋∠ＯＦＣ
＝１８０°．
ᑧү Ӭ
５．跨
物理
重力
「2024 山西中考，
」一只杯子静止在斜面上，
其受力分析如图所示，重力Ｇ的方向竖直向下，支持
力Ｆ１的方向与斜面垂直，摩擦力Ｆ２的方向与斜面
平行．若斜面的坡角α ＝２５°，则摩擦力Ｆ２与重力Ｇ
方向的夹角β 的度数为
（Ｃ）
Ａ．１５５°
Ｂ．１２５°
Ｃ．１１５°
Ｄ．６５°
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第５题图
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第６题图
６．「2025 重庆西南大学附中期末，
」如图，将长方形
ＡＢＣＤ沿ＥＦ翻折，使点Ａ落在Ａ′处，点Ｂ落在Ｂ′
处．再将得到的图形沿ＥＤ翻折，使点Ａ′落在Ａ″处，
点Ｂ′落在Ｂ″处．若∠ＢＦＥ＝２３°，则∠ＦＥＡ″的度数为
（Ｃ）
Ａ．１３４°
Ｂ．１２１°
Ｃ．１１１°
Ｄ．１０５°
７．「2023 辽宁铁岭西丰期中，
」如图，ＣＤ∥ＡＢ，∠ＤＣＢ＝
７０°，∠ＣＢＦ＝２０°，∠ＥＦＢ＝１３０°．
（１）直线ＥＦ与ＡＢ有怎样的位置关系？
（２）若∠ＣＥＦ＝６０°，则∠ＡＣＢ的度数是多少？
见答案册Ｄ６３
᮰
6
航海者虽比观望者需冒更大的风险，但却有希望到达彼岸．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１０６
８．「2025 江苏连云港海州期末，
」如图，直线ｌ１∥ｌ２，把
一块含３０°角的三角尺按如图所示的方式摆放，直
角边ＢＣ落在直线ｌ２上，斜边与直线ｌ１交于点Ａ．点
Ｐ，Ｑ分别是直线ｌ１和直线ｌ２上的点，连接ＰＱ，作射
线ＢＰ．
（１）若∠ＢＡＰ＝∠ＢＱＰ，判断ＡＢ与ＰＱ是否平行，并
说明理由．
（２）若射线ＢＰ平分∠ＡＢＱ，求∠１的度数．
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解析 （１）ＡＢ∥ＰＱ，理由如下：
∵ｌ１∥ｌ２，∴∠ＢＡＰ＝∠ＡＢＣ，
∵∠ＢＡＰ＝∠ＢＱＰ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＱＰ，∴ＡＢ∥ＰＱ．
（２）∵∠ＡＢＣ＝６０°，∴∠ＡＢＱ＝１２０°，
∵ＢＰ平分∠ＡＢＱ，∴∠ＰＢＱ＝１
２∠ＡＢＱ＝６０°，
∵ｌ１∥ｌ２，∴∠１＝∠ＰＢＱ＝６０°．
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９．新
课标
推理能力「2024 山东栖霞期末」如图，点Ａ，Ｂ分别在直
线ＰＱ，ＭＮ上，ＰＱ∥ＭＮ，∠ＢＡＱ＝６０°，ＢＣ平分
∠ＡＢＭ，将射线ＢＣ绕点Ｂ以每秒４°的速度顺时针
旋转，同时射线ＡＱ绕点Ａ以每秒１０°的速度顺时
针旋转，设旋转时间为ｔｓ（ｔ＜３６），当ＢＣ与ＡＱ平
行时，求ｔ的值．
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见答案册Ｄ６４
微专题
平行线中的拐点问题
例题
「2023 湖北荆州中考」如图所示的“箭
头”图形中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝８０°，∠Ｅ
＝∠Ｆ＝４７°，则图中∠Ｇ的度数是（Ｃ）
Ａ．８０° Ｂ．７６° Ｃ．６６° Ｄ．５６°
变式1 【一个拐点】如图所示，一条公路修到湖
边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯
的∠Ａ是１２０°，第二次拐弯的∠Ｂ是
１５０°，第三次拐弯的角是∠Ｃ，这时的道
路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则∠Ｃ等于
（Ａ）
Ａ．１５０° Ｂ．１４０°
Ｃ．１３０° Ｄ．１２０°
变式2
【两个拐点】如图，ＡＢ∥ＥＦ，
∠Ｃ＝９０°，则α，β，γ 的关系是
（Ｃ）
Ａ．β＋γ－α＝９０°
Ｂ．α＋β＋γ＝１８０°
Ｃ．α＋β－γ＝９０°
Ｄ．β＝α＋γ
᮰
6
命题改写的方法：先弄清命题的条件和结论，通过添加文字写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面
接的是条件，“那么”后面接的是结论，改写的原则是不改变命题的原意．
第
七
章
证
明
１０７
第七章自主检测
范围：证明
满分
１００分
限时
４０分钟
一、选择题（每小题５分，共３５分）
１．「2025 山东青岛期末」下列语句是命题的是
（Ｃ）
Ａ．延长线段ＡＢ
Ｂ．两直线相交有几个交点
Ｃ．同位角相等
Ｄ．连接Ａ，Ｂ两点
２．「2025 重庆万州期末」下列命题中为真命题的是
（Ｄ）
Ａ．２７的立方根是－３
Ｂ．有理数与数轴上的点一一对应
Ｃ．面积相等的两个三角形一定全等
Ｄ．若ａ＋ｂ＝０，则ａ
２＝ｂ
２
３．「2025 浙江浙北六校期中」能说明命题“一个钝角与一个
锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是
（Ｄ）
Ａ．∠１＝９２°，∠２＝４０°
Ｂ．∠１＝８９°，∠２＝２°
Ｃ．∠１＝１１０°，∠２＝３０°
Ｄ．∠１＝１０３°，∠２＝３°
４．「2025 福建泉州洛江期末」如图，添加下列条件，其中不
能判定ｌ１∥ｌ２的是
（Ｃ）
Ａ．∠１＝∠３
Ｂ．∠４＝∠５
Ｃ．∠２＝∠３
Ｄ．∠２＋∠４＝１８０°
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第４题图
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第５题图
５．「2024 河南濮阳月考」通过实验发现凸透镜能使与主
光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所
画的是光线的方向，点Ｆ是凸透镜的焦点，ＢＤ∥
ＣＥ∥ＯＦ，若∠ＢＤＦ＝１５０°，∠ＣＥＦ＝１６１°，则∠ＤＦＥ
的度数是
（Ｂ）
Ａ．１０°
Ｂ．１１°
Ｃ．１２°
Ｄ．１３°
６．「2024 四川凉山州中考」将一副直角三角尺按如图所
示的方式摆放，点Ｅ在ＡＢ的延长线上，当ＤＦ∥ＡＢ
时，∠ＥＤＢ的度数为
（Ｂ）
Ａ．１０°
Ｂ．１５°
Ｃ．３０°
Ｄ．４５°
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第６题图
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第７题图
７．「2025 河南周口沈丘期末」如图，ＡＢ∥ＣＤ，用含∠１，
∠２，∠３的式子表示∠４，则∠４＝
（Ｄ）
Ａ．∠１＋∠２－∠３
Ｂ．∠１＋∠３－∠２
Ｃ．１８０°＋∠３－∠１－∠２
Ｄ．∠２＋∠３－∠１－１８０°
二、填空题（每小题５分，共１５分）
８．「2025 湖南怀化沅陵期中」把命题“直角三角形的两个锐
角互为余角”改写成“如果……那么……”的形式是
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角
互为余角，这个命题是真（填“真”或“假”）命题．
９．「2024 四川宜宾中考」如图，一个圆柱体容器，其底部
有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、
丙槽．有大小、质地完全相同的三个小球，每个小球
标有从１至９中选取的一个数字，且每个小球所标
数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容
器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔
槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记
录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球
上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作
两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别
为２０分、１０分、９分，其中第一次操作计分最高的
是乙槽，则第二次操作计分最低的是乙槽（从
“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填）．
᮰
6
一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值就越小．
初
中
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八
年
级
上
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北
师
大
版
１０８
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第９题图
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第１０题图
１０．「2025 山东青岛期末」小明将一副三角尺按
如图所示的方式叠放在一起．当∠ＡＣＥ＜
９０°且点Ｅ在直线ＡＣ的上方时，他发现若∠ＡＣＥ
＝１５°或６０° ，则三角尺ＢＣＥ有一条边与斜边
ＡＤ平行．
三、解答题（共５０分）
１１．「2024 江苏南通中考」（１５分）如图，点Ｄ在△ＡＢＣ的
边ＡＢ上，ＤＦ经过边ＡＣ的中点Ｅ，且ＥＦ＝ＤＥ．求
证：ＣＦ∥ＡＢ．
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证明 ∵Ｅ是ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＣＥ，
在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，
ＡＥ＝ＣＥ，
∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＦ，
ＤＥ＝ＦＥ，
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í
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∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＳＡＳ），∴∠ＡＤＥ＝∠ＣＦＥ，
∴ＣＦ∥ＡＢ．
１２．跨
物理
光的反射「2024 河南安阳期末」（１７分）图１展示了光的
反射定律，ＥＦ是镜面ＡＢ的垂线，一束光线ｍ射到
平面镜ＡＢ上，经ＡＢ反射后的光线为ｎ，则入射光线
ｍ、反射光线ｎ与垂线ＥＦ所夹的锐角∠θ１＝∠θ２．
（１）求证：∠α＝∠β．
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图１
（２）图２是潜望镜工作原理示意图，ＡＢ，ＣＤ是平行
放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线
ｍ为什么和离开潜望镜的光线ｎ是平行的．
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图２
解析 （１）证明：∵ＥＦ⊥ＡＢ，∴∠ＥＦＡ＝∠ＥＦＢ＝９０°，
∵∠θ１＝∠θ２，∴∠α＝∠β．
（２）由（１）的结论可知∠１＝∠２，∠３＝∠４，
∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠２＝∠３，∴∠１＝∠２＝∠３＝∠４，
∵∠５＝１８０°－∠１－∠２，∠６＝１８０°－∠３－∠４，
∴∠５＝∠６，∴ｍ∥ｎ．
１３．「2025 山西朔州怀仁期末」（１８分）综合与实践．
【问题情境】如图１，ＡＢ和ＣＤ被直线ＨＦ所截，
ＨＦ分别交ＡＢ于点Ｅ，交ＣＤ于点Ｆ，∠ＨＥＢ＝
７０°，∠ＨＦＤ＝７０°．
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图１
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图２
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图３
【探究发现】
（１）由已知条件发现ＡＢ∥ＣＤ，请说明理由．
【拓展探究】
（２）在图１中添加条件，解答相关的问题．
①如图２，勤奋小组添加的条件是：作直线ＭＮ
与ＡＢ交于点Ｍ，与ＣＤ交于点Ｎ，且∠１＝
１３０°，求∠ＢＭＮ的度数．
②如图３，创意小组添加的条件是：∠ＦＥＢ的
平分线交ＣＤ于点Ｇ，求∠ＥＧＤ的度数．
解析 （１）理由：∵∠ＨＥＢ＝７０°，∠ＨＦＤ＝７０°，
∴∠ＨＥＢ＝∠ＨＦＤ＝７０°，∴ＡＢ∥ＣＤ．
（２）①∵∠１＝１３０°，∴∠ＭＮＤ＝∠１＝１３０°．∵ＡＢ
∥ＣＤ，∴∠ＢＭＮ＋∠ＭＮＤ＝１８０°，∴∠ＢＭＮ＝５０°．
②∵∠ＨＥＢ＝７０°，∠ＨＥＢ＋∠ＦＥＢ＝１８０°，
∴∠ＦＥＢ＝１１０°．
∵∠ＦＥＢ的平分线交ＣＤ于点Ｇ，
∴∠ＧＥＢ＝１
２∠ＦＥＢ＝５５°．
∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＢＥＧ＋∠ＥＧＤ＝１８０°，
∴∠ＥＧＤ＝１２５°．
᮰
6
毅力，是千里大堤一沙一石的凝聚：一点点地累积，才有前不见头后不见尾的壮丽．毅力，是春蚕吐丝一缕一缕的环
绕：一丝丝地坚持，才有破茧而出重见光明的辉煌．
综
合
与
实
践
哪
个
城
市
夏
天
更
热
１０９
综合与实践 哪个城市夏天更热
活动
目标
了解比较哪个城市夏天更热的方法和标准，发展数据观念，提高运用数据分析的相关知识解决问
题的能力
素材１
放暑假了，小明和夏冰正在讨论暑假去哪里玩，小明说：“我爷爷在Ａ城市，我想到Ａ城市度假，但
Ａ城市夏天挺热的．”夏冰接着说：“我舅舅在Ｂ城市，我想到Ｂ城市度假，但Ｂ城市夏天也挺热
的．”后来，他们为哪个城市更热而争论起来．如何比较两个城市哪个更热呢
素材２
为了比较Ａ，Ｂ两个城市哪个更热，他们查阅了资料，收集了这两个城市去年七月份１６～３１号最高
温度的数据，如下表：
日期
１６
１７
１８
１９
２０
２１
２２
２３
Ａ城市最高温度／℃
３３
３４
３３
３５
３６
３３
３４
３８
Ｂ城市最高温度／℃
３２
３１
３３
３４
３５
３２
３５
３２
日期
２４
２５
２６
２７
２８
２９
３０
３１
Ａ城市最高温度／℃
３１
３５
３６
３４
３２
３５
３４
３２
Ｂ城市最高温度／℃
３４
３２
３２
３６
３４
３７
３８
３４
素材３
为了对收集的数据进行整理、分析，他们设计出如下统计表：
平均数／℃
四分位数／℃
ｍ２５
ｍ５０
ｍ７５
众数／℃
Ａ城市
Ｂ城市
问题解决
任务１
影响人体冷热感觉的因素有哪些
温度、湿度、风力、人的体质、情绪和年龄等因素都会影响人体冷热感觉．
任务２
根据素材２把素材３中的统计表填写完整
平均数／℃
四分位数／℃
ｍ２５
ｍ５０
ｍ７５
众数／℃
Ａ城市
３４．０６２５
３３
３４
３５
３４
Ｂ城市
３３．８１２５
３２
３４
３５
３２
任务３
根据任务２的统计数据，你认为去年七月份１６～３１号Ａ，Ｂ两个城市哪个更热？请写出支持你观
点的理由
去年七月份１６～３１号Ａ城市更热．理由：Ａ城市温度的平均数、众数都比Ｂ城市高，且下四分位数
也比Ｂ城市高，∴去年七月份１６～３１号Ａ城市更热．
᮰
6
涓滴之水终可磨损大石，不是它力量大，而是昼夜不停地滴坠．只有不懈地努力，才能够获得成功．
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１１０
综合与实践 神奇的加密术
活动
目标
了解加密历史，体验加密的方法，感悟破译密码的过程，提升加密能力
加密的
简单
阐述
在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信
息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具
体验加
密方法
有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，Ｑ，Ｗ，Ｅ，…，Ｎ，Ｍ这２６个字母依次
对应１，２，３，…，２５，２６这２６个自然数（见下表）．设明文字母所对应的自然数为ｘ，通过下列运算程
序把ｘ转化为对应的自然数ｘ′，ｘ′对应的字母为密文．
Ｑ
Ｗ
Ｅ
Ｒ
Ｔ
Ｙ
Ｕ
Ｉ
Ｏ
Ｐ
Ａ
Ｓ
Ｄ
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
Ｆ
Ｇ
Ｈ
Ｊ
Ｋ
Ｌ
Ｚ
Ｘ
Ｃ
Ｖ
Ｂ
Ｎ
Ｍ
１４
１５
１６
１７
１８
１９
２０
２１
２２
２３
２４
２５
２６
运算程序：
DڑY ŋYŋU
Yͦ7&
DܦYĉ ŋYĉŋU
Yĉͦ7&
p
p
p
p
Y=᪠K
Y=K҅
Y=K҅
Y=K҅
例如：将明文Ｍ转换成密文：Ｍ→２６（２６被４除余２）→２６＋２
４
＋１２＝１９→Ｌ，即明文Ｍ的密文为Ｌ；将
密文Ｐ转换成明文：Ｐ→１０→（１０－６）×４－１＝１５→Ｇ，即密文Ｐ的明文为Ｇ
问题解决
任务１
按照以上程序加密１次，明文Ｉ对应的密文是什么？明文ＮＬＺＦ对应的密文是什么
Ｉ→８（８被４整除）→８÷４＝２→Ｗ，∴明文Ｉ对应的密文为Ｗ．Ｎ→２５（２５被４除余１）→２５＋３
４
＋１９＝２６
→Ｍ，Ｌ→１９（１９被４除余３）→１９＋１
４
＋６＝１１→Ａ，Ｚ→２０（２０被４整除）→２０÷４＝５→Ｔ，Ｆ→１４（１４被４
除余２）→１４＋２
４
＋１２＝１６→Ｈ，∴明文ＮＬＺＦ对应的密文是ＭＡＴＨ．
任务２
按＝－照以上程序加密１次的密文“康居学子”的首字母为“ＫＪＸＺ”，写出首字母对应的明文
见答案册Ｄ６６
᮰
6
攀登科学高峰，就像登山运动员攀登珠穆朗玛峰一样，要克服无数艰难险阻，才能享受到胜利的喜悦和幸福．
期
末
专
题
复
习
１１１
期末专题复习
专题精练1 勾股定理
考点１利用勾股定理求几何图形的面积
ᱝ
ᱝ
S
ᱝ
ᱝ
１．「2025 浙江湖州吴兴期末」赵爽弦图
是一个以勾股形的弦为边的大
正方形．图中包含四个全等的
勾股形和一个小正方形，其面
积分别称为朱实和黄实．如图，
设每一个勾股形的两条直角边长分别为ａ和ｂ，若
ａｂ＝８，且ａ
２＋ｂ
２＝２５，则黄实为
（Ｄ）
Ａ．３６
Ｂ．２５
Ｃ．１６
Ｄ．９
２．「2024 黑龙江大庆中考」如图１，直角三角形的两个锐
角分别是４０°和５０°，其三边上分别有一个正方形．
执行下面的操作：由两个较小的正方形向外分别作
锐角为４０°和５０°的直角三角形，再分别以直角三
角形的直角边为边作正方形．图２是１次操作后的
图形．图３是重复上述操作若干次后得到的图形，
人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图１中的直角三
角形的斜边长为２，则１０次操作后的图形中所有
正方形的面积和为４８．
图１
图２
图３
考点２判断三角形的形状
３．「2025 浙江丽水龙泉期末」在数学活动课上，同学们用边
长分别为ｍ，ｎ的两个正方形Ａ，Ｂ（如图１）进行摆
放，其中ｍ＞ｎ．现有两种摆放方式：方式一，如图２，将
正方形Ｂ放在正方形Ａ内部；方式二，如图３，将正
方形Ａ，Ｂ并列放置在边长为ｍ＋ｎ的正方形内部．若
记图１中正方形Ａ，Ｂ的面积之和为ａ，记图２、图３
中阴影部分的面积分别为ｂ，ｃ，解答下列问题：
（１）用含ｍ，ｎ的代数式表示ｃ．
（２）若△ＣＤＥ的三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，试猜想
△ＣＤＥ是哪一类三角形，并证明你的猜想．
（３）已知直角三角形的两边长分别为ｍ，ｎ，且ｍ，ｎ
为整数，若ａ＝２５，求直角三角形第三边的长．
"
N
O
#
图１
N
O
图２
N
O
图３
见答案册Ｄ６７
考点３实际应用问题
４．「2025 江苏宿迁期末」受大风影响，山坡上的甲树从Ａ
点处拦腰折断，如图所示，其顶端恰好落在乙树的
根部Ｃ处，已知ＡＢ＝４米，ＢＣ＝１３米，两棵树的水
平距离为１２米，求甲树原来的高度．
"
#
$
*ᴽ
΅ᴽ
解析 如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ，交ＡＢ的延长线于点Ｄ，
由题意得ＢＣ＝１３米，ＤＣ＝１２米，
∴ＢＤ＝
１３
２－１２
２＝５（米），∴ＡＤ＝９米，
∴ＡＣ＝
ＡＤ
２＋ＣＤ
２＝
９
２＋１２
２＝１５（米），
∴ＡＣ＋ＡＢ＝１５＋４＝１９（米），
∴甲树原来的高度是１９米．
"
#
%
$
*ᴽ
΅ᴽ
考点４最短路程问题
"
$
#
%
DN
DN
DN
５．如图，长方体的长为２０
ｃｍ，宽为１５ｃｍ，高为１０
ｃｍ，点Ｂ在棱ＣＤ上，ＣＢ
＝５ｃｍ．一只蚂蚁要沿长
方体的表面从点Ａ爬到
点Ｂ，爬行的最短路程是２５ｃｍ．
᮰
6
书籍是幼年人的导师，是老年人的护士，在岑寂的时候，书籍使我们欢娱，远离一切的痛苦．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１１２
专题精练2 实数
考点１利用实数的相关概念解决问题
１．「2025 四川省射洪中学校期末」下列说法不正确的是
（Ｃ）
Ａ．２５的算术平方根是５
Ｂ．－９是８１的一个平方根
Ｃ．±２是８的立方根
Ｄ．－２７的立方根是－３
２．「2025 湖南衡阳蒸湘月考」在实数－５，３．１４１５９２６，０，
π
２，
３－２７，２２
７，－９，０．１６１６６１６６６１…（相邻两个１
之间依次多一个６）中，无理数的个数是
（Ｃ）
Ａ．５
Ｂ．４
Ｃ．３
Ｄ．２
３．「2025 陕西西安新城期末」已知一个正数的平方根分别
为２ｘ＋１和３－４ｘ，则这个正数是
（Ａ）
Ａ．２５
Ｂ．１６
Ｃ．８
Ｄ．２
考点２利用实数的相关性质解决问题
４．下列各组数中互为相反数的是
（Ａ）
Ａ．－３与
（－３）
２
Ｂ．－
３２７与
３－２７
Ｃ．－５与－１
５
Ｄ．｜－７｜与７
"
&
#
$
%
５．「2025 吉林长春榆树期末」如图，正方形
ＡＢＣＤ的面积为３，Ａ是数轴上表示
－２的点，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径
画弧，与数轴交于点Ｅ（点Ｅ在点Ａ
右侧），则点Ｅ所表示的数为
（Ｃ）
Ａ．－１＋３
Ｂ．１－３
Ｃ．－２＋３
Ｄ．２－３
６．
学科
特色多解法「2025 甘肃天水四校联考」比较２５，３３，４２
的大小，正确的是
（Ａ）
Ａ．２５＜３３＜４２
Ｂ．３３＜２５＜４２
Ｃ．２５＜４２＜３３
Ｄ．４２＜３３＜２５
７．「2025 河南南阳期中」若ａ是
１６的算术平方根，ｂ是
１１的小数部分，则ａ＋ｂ－１１的值为
（Ａ）
Ａ．－１
Ｂ．１
Ｃ．０
Ｄ．－２
考点３实数的运算
８．计算：（１）
１６－
３２７＋｜２－１｜．
（２）｜１－３｜＋（－１）
２０２４＋
（－４）
２－
３２７．
（３）（
１２－３）×
１
３．
（４）（５－１）
２－（３２－２３）（３２＋２３）．
解析 （１）原式＝４－３＋２－１＝２．
（２）原式＝３－１＋１＋４－３＝３＋１．
（３）原式＝
１２× １
３－
３× １
３＝２－１＝１．
（４）原式＝５－２５＋１－（１８－１２）＝５－２５＋１－６＝－２５．
考点４二次根式中的分母有理化
９．「2025 吉林长春期末」【阅读材料】
（１）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如
果它们的积不含根式，那么这两个代数式相互叫作
有理化因式．例如：２的一个有理化因式是２；２＋
ｍ的一个有理化因式是２－ｍ．
（２）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，
也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式
中分母含有根号，那么通常在分子、分母上同乘一
个二次根式，达到化去分母中根号的目的．例如：１
３
＝１× ３
３× ３
＝３
３；
２
２＋１
＝
２×（２－１）
（２＋１）（２－１）
＝２－２．
【知识运用】
（１）２５的有理化因式是
５；ａ＋３的有理化因式
是ａ－３．（写出一个即可）
（２）把式子６＋２
２－６
分母有理化．
（３）化简：１
２＋１
＋
１
３＋２
＋…＋
１
１５＋
１４
＋
１
１６＋
１５
．
解析 （１）５；ａ－３．（两空答案均不唯一）
（２）６＋２
２－６
＝（６＋２）（２＋６）
（２－６）（２＋６）
＝６＋２１２＋２
２－６
＝８＋４３
－４
＝－２－３．
（３）
１
２＋１
＋
１
３＋２
＋…＋
１
１５＋
１４
＋
１
１６＋
１５
＝２－１＋３－２＋…＋
１５－
１４＋
１６－
１５＝－１＋
１６＝－１＋４＝３．
᮰
6
直角三角形的两直角边（即“勾”“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方．
期
末
专
题
复
习
１１３
专题精练3 坐标与函数
考点１点的坐标
１．「2025 安徽安庆外国语学校期中」点Ｐ（ｍ－１，ｍ＋３）在直角
坐标系的ｙ轴上，则Ｐ点的坐标为
（Ｄ）
Ａ．（－４，０）
Ｂ．（０，－４）
Ｃ．（４，０）
Ｄ．（０，４）
２．已知点Ｐ在第二象限，且到ｘ轴的距离是２，到ｙ
轴的距离是５，则点Ｐ的坐标为（－５，２）．
３．「2025 安徽合肥庐阳中学月考」在平面直角坐标系中，Ａ，
Ｂ两点的坐标分别为（５，－１），（５，２），则Ａ，Ｂ两点
间的距离为３．
考点２轴对称与坐标变化
４．「2022 江苏常州中考」在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ与点
Ａ１关于ｘ轴对称，点Ａ与点Ａ２关于ｙ轴对称．已知点Ａ１
（１，２），则点Ａ２的坐标是
（Ｄ）
Ａ．（－２，１）
Ｂ．（－２，－１）
Ｃ．（－１，２）
Ｄ．（－１，－２）
５．「2024 广东深圳宏扬学校期中」如图．
（１）画出与△ＡＢＣ关于ｙ轴对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（２）在ｙ轴上画出点Ｐ，使ＰＡ＋ＰＣ的值最小．
（３）求△ＡＢＣ的面积．
见答案册Ｄ６８
考点３一次函数的图象与性质
６．「2023 湖北黄石中考」函数ｙ＝
ｘ
ｘ－１的自变量ｘ的取值
范围是
（Ｃ）
Ａ．ｘ≥０
Ｂ．ｘ≠１
Ｃ．ｘ≥０且ｘ≠１
Ｄ．ｘ＞１
７．下列关于一次函数ｙ＝－２ｘ＋２的说法中错误的是
（Ｄ）
Ａ．图象经过点（－１，４）
Ｂ．函数值随ｘ的增大而减小
Ｃ．图象与ｙ轴交于点（０，２）
Ｄ．图象经过第二、三、四象限
８．「2025 安徽安庆四中期中」在平面直角坐标系中，有一
条直线ｙ＝２ｘ＋３，若把ｙ轴向上平移５个单位，则平
移后直线的表达式为ｙ＝２ｘ－２．
９．「2025 贵州贵阳期中」如图，直线ｙ＝１
２ｘ＋ｍ交ｘ轴于
点Ａ（－２，０），点Ｂ（ｎ，２）在该直线上．
（１）求ｍ，ｎ的值．
（２）已知Ｐ是ｘ轴上的动点，若△ＡＢＰ的面积为４，
求点Ｐ的坐标．
"
0
#
Y
Z
见答案册Ｄ６８
考点４一次函数的实际应用
１０．「2025 江苏徐州期末」已知Ａ，Ｂ两种共享单车收取
的骑行费ｙ１（元）、ｙ２（元）都是用车时间ｘ（ｍｉｎ）的
函数，其图象如图所示．
（１）小明计划以０．３ｋｍ／ｍｉｎ的平均速度骑行
９ｋｍ，则Ａ共享单车的骑行费较少（填“Ａ”
或“Ｂ”）．
（２）求ｙ２关于ｘ的函数表达式．
（３）当ｘ为何值时，两种共享单车的骑行费相差
２元？
YNJO
Z
Zٯ
0
Z
见答案册Ｄ６８
᮰
6
每当你学到一个数学难点的时候，尝试着对别人讲解这个知识点并让他理解——你能讲清楚，才说明你真的理解了．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１１４
专题精练4 二元一次方程组
考点１二元一次方程（组）的相关概念
１．「2023 广东揭阳惠来一中月考」下列各式中属于二元一
次方程的有
（Ｃ）
①ｘ－２ｙ＝１；②ｘ＋１
３ｙ＝０；③ｙ－ｚ＝４；④ｘｙ＝１；
⑤５ｘ－３ｙ；⑥１
ｘ－１
ｙ＝０；⑦ｘ（ｘ－１）＝ｘ
２＋ｙ．
Ａ．２个
Ｂ．３个
Ｃ．４个
Ｄ．５个
２．「2025 宁夏银川期末」已知方程组
ｍｘ＋ｙ＝０，
ｘ＋ｎｙ＝３
{
的解是
ｘ＝１，
ｙ＝－２，
{
则２ｍ＋ｎ的值为
（Ｃ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．０
考点２解二（三）元一次方程组
３．解方程组：
（１）
４ｘ＋３ｙ＝５，
２ｘ－ｙ＝－５．
{
（２）
４（ｘ－１）－３（ｙ＋２）＝－８，
３ｘ－２ｙ＝３．
{
（３）
ｘ＋４ｙ
３
－６＝５ｙ－１
２
，
５ｘ＋７ｙ＝９．
ì
î
í
ïï
ïï
（４）
ｘ＋ｙ＝２７，
ｙ＋ｚ＝３３，
ｚ＋ｘ＝３０．
ì
î
í
ïï
ïï
见答案册Ｄ６９
４．「2024 河北廊坊四中月考」若方程组
２ｘ＋ｙ＝５，
ｘ－ｂｙ＝４
{
与
ａｘ＋ｂｙ＝８，
ｘ－ｙ＝１
{
的解相同，求ａ＋ｂ的平方根．
解析
因为方程组
２ｘ＋ｙ＝５，
ｘ－ｂｙ＝４
{
与
ａｘ＋ｂｙ＝８，
ｘ－ｙ＝１
{
的解
相同，
所以
２ｘ＋ｙ＝５，
ｘ－ｙ＝１，
{
解得
ｘ＝２，
ｙ＝１，
{
所以
２ａ＋ｂ＝８，
２－ｂ＝４，
{
解得
ａ＝５，
ｂ＝－２，
{
所以ａ＋ｂ＝５－２＝３．
所以ａ＋ｂ的平方根为± ３．
考点３二元一次方程（组）与一次函数
５．「2024 天津期末」直线ｙ＝－２ｘ＋ｂ与ｘ轴交于点（３，
０），那么关于ｘ的方程－２ｘ＋ｂ＝０的解为
（Ｂ）
Ａ．ｘ＝０
Ｂ．ｘ＝３
Ｃ．ｘ＝２
Ｄ．ｘ＝６
６．「2024 安徽合肥期末」既在直线ｙ＝－３ｘ－２上，又在直
线ｙ＝ｘ＋６上的点的坐标是
（Ｃ）
Ａ．（１，７）
Ｂ．（－３，３）
Ｃ．（－２，４）
Ｄ．（２，８）
考点４列二元一次方程（组）解决实际问题
７．「2024 吉林长春期中」某车间有９０名工人，每人每天
能生产螺栓１５个或螺帽２４个，要使一个螺栓配套
两个螺帽，则生产螺栓的有４０人，生产螺帽的有
５０人．
８．「2025 河南郑州期末改编」２０２４年１０月３０日，神舟十九
号载人飞船成功发射，某中学为了培养学生的科技
创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计
划购进Ａ，Ｂ两种型号的航模．据了解，购买１件Ａ型
航模和２件Ｂ型航模需８００元，购买２件Ａ型航模
和３件Ｂ型航模需１３００元．
（１）求Ａ，Ｂ两种型号的航模的单价．
（２）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商
家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这
次采购预计花费９９０元（全部花完），请问张老
师有哪几种购买方案？
解析
（１）设每件Ａ型航模ｘ元，每件Ｂ型航模
ｙ元，
根据题意得
ｘ＋２ｙ＝８００，
２ｘ＋３ｙ＝１３００，
{
解得
ｘ＝２００，
ｙ＝３００．
{
答：每件Ａ型航模２００元，每件Ｂ型航模３００元．
（２）设购买ｍ件Ａ型航模，ｎ件Ｂ型航模，
根据题意得２００× ０．９ｍ＋３００× ０．９ｎ＝９９０，∴ｍ
＝１１－３ｎ
２
．
∵ｍ，ｎ均为正整数，∴
ｍ＝４，
ｎ＝１
{
或
ｍ＝１，
ｎ＝３，
{
∴张老师共有２种购买方案，
方案１：购买４件Ａ型航模，１件Ｂ型航模；
方案２：购买１件Ａ型航模，３件Ｂ型航模．
᮰
6
确定函数关系式，待定系数来得到．先设相关关系式，代入已知点坐标，解得相关方程（组），待定系数值求出，代回
原设关系式，要求关系式可得．
期
末
专
题
复
习
１１５
专题精练5 数据分析
考点１借助加权平均数求解实际问题
１．「2025 河北承德双桥月考」某校举办歌唱比赛，前三名
选手的成绩（单位：分）统计如下表．
测试项目
唱功
音乐常识
综合知识
嘉嘉
９８
８０
８０
淇淇
９５
９０
９０
珍珍
８０
１００
１００
若唱功、音乐常识、综合知识按６∶３∶１的比例计入
总成绩，则冠军、亚军、季军分别是
（Ｃ）
Ａ．嘉嘉、淇淇、珍珍 Ｂ．嘉嘉、珍珍、淇淇
Ｃ．淇淇、嘉嘉、珍珍 Ｄ．淇淇、珍珍、嘉嘉
考点２借助平均数、中位数、众数和方差作判断
２．「2024 广东梅州一模」某校为了进一步倡导文明、健
康、绿色环保的生活方式，提高学生的节能、绿色环
保、低碳意识，举办了“低碳生活，绿色出行” 知识
竞赛．每班选１０名代表参加比赛，随机抽取两个
班，记为甲班、乙班，现收集这两个班参赛学生的成
绩（单位：分）如下：
【收集数据】
甲班８０８５９０９６９７９０９０１００９９９３
乙班８７８９９２９５９２９２８５９２９６１００
【分析数据】
班级
众数
中位数
平均数
方差
甲班
ａ
ｂ
９２
３６
乙班
９２
９２
ｃ
１７．２
【应用数据】
（１）填空：ａ＝９０，ｂ＝９１．５，ｃ＝９２．
（２）参赛学生人数为６００，若规定竞赛成绩９０分及
以上为优秀，请你估计参加这次知识竞赛成绩
为优秀的学生有多少人．
（３）选择适当的统计量分析这两个班中哪个班成
绩更好．
解析 （１）∵甲班１０名学生竞赛成绩中，９０出现
了３次，出现的次数最多，
∴甲班１０名学生竞赛成绩的众数是９０，即ａ＝９０，
把甲班１０名学生竞赛成绩按从小到大的顺序排
列，第５个数和第６个数分别是９０，９３，
故甲班１０名学生竞赛成绩的中位数是９０＋９３
２
＝
９１．５，即ｂ＝９１．５，乙班１０名学生竞赛成绩的平均数
为８７＋８９＋９２＋９５＋９２＋９２＋８５＋９２＋９６＋１００
１０
＝９２，
即ｃ＝９２．故答案为９０；９１．５；９２．
（２）６００×１５
２０＝４５０（人）．
答：估计参加这次知识竞赛成绩为优秀的学生有
４５０人．
（３）乙班成绩更好．理由：乙班与甲班成绩的平均数
相同，但乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，说明
乙班成绩更稳定，∴乙班成绩更好．（理由不唯一）
考点３借助四分位数或箱线图分析问题
３．一次数学月考，小明绘制了甲、乙两个班级数学成绩
的箱线图．请你结合箱线图比较两个班级的数学成绩．
4ܲ
*)
΅)
解析 甲班：成绩的最小值是４０分，下四分位数是
６０分，中位数是７５分，上四分位数是８５分，最大
值是９５分；乙班：成绩的最小值是５０分，下四分位
数是６５分，中位数是７０分，上四分位数是８０分，
最大值是９０分．
从整体水平看，甲班中位数７５分大于乙班中位数
７０分，说明甲班成绩的平均水平略高于乙班．
从数据离散程度看，甲班的上四分位数与下四分位
数的差是８５－６０＝２５（分），乙班的上四分位数与下
四分位数的差是８０－６５＝１５（分），说明甲班数据离
散程度更大．
从最值看，甲班最小值４０分低于乙班最小值５０
分，最大值９５分高于乙班最大值９０分，表明甲班
成绩跨度更大，即波动更大．
᮰
6
总有些事，管你愿不愿意，它都要发生，你只能接受；总有些东西，管你躲不躲避，它都要来临，你只能面对．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１１６
专题精练6 证明
考点１推理证明
１．「2023 北京中考」学校组织学生参加木艺艺术品加工
劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需Ａ，
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ七道工序，加工要求如下：①工序Ｃ，
Ｄ须在工序Ａ完成后进行，工序Ｅ须在工序Ｂ，Ｄ都
完成后进行，工序Ｆ须在工序Ｃ，Ｄ都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该
学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下
表所示：
工序
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
所需时间／分钟
９
９
７
９
７
１０
２
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完
成此木艺艺术品的加工，则需要５３分钟；若由两
名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要
２８分钟．
考点２命题
２．「2024 福建龙岩上杭三中月考」如图，现有以下３个论
断：①ＡＢ∥ＣＤ；②∠Ｂ＝∠Ｃ；③∠Ｅ＝∠Ｆ．请以其中
２个论断为条件，余下的一个论断为结论构造命题．
（１）你能构造出哪几个命题？（用序号表示即可）
（２）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择
其中一个真命题加以证明．
'
#
&
"
$
%
见答案册Ｄ７０
考点３平行线的性质与判定
３．「2025 江苏扬州期末」如图，∠ＥＮＣ＋∠ＣＭＧ＝１８０°，ＡＢ
∥ＣＤ．
（１）判断ＥＤ与ＦＧ的位置关系，并说明理由．
（２）∠２与∠３相等吗？为什么？
（３）若∠Ａ＝∠１＋７０°，∠ＡＣＢ＝４２°，求∠Ｂ的大小．
"
'
&
#
.
/
%
(
$
见答案册Ｄ７０
４．「2025 江苏连云港期末改编」如图，已知∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦ，
∠Ｅ＝∠Ｆ，求证：ＡＢ∥ＣＤ．
（１）小明同学想到通过连接ＢＣ，作出平行线的截
线，请你帮他完成下列证明过程：
证明：连接ＢＣ．
因为∠Ｅ＝∠Ｆ（已知），
所以
（内错角相等，两直线平行），
所以
（两直线平行，内错角相等），
因为∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦ（已知），
所以∠ＡＢＥ＋
＝∠ＤＣＦ＋
（等式的
性质），
所以
＝
（等量代换），
所以ＡＢ∥ＣＤ（ ）．
（２）
学科
特色多解法「2023 四川成都二中月考」请你试用其他
方法进行推理，并书写证明过程．
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ำ*
解析
（１）ＢＥ∥ＣＦ；∠ＥＢＣ＝∠ＦＣＢ；∠ＥＢＣ；
∠ＦＣＢ；∠ＡＢＣ；∠ＤＣＢ；内错角相等，两直线平行．
（２）【解法一】如图１，延长ＢＥ交直线ＣＤ于点Ｍ，
∵∠ＢＥＦ＝∠Ｆ，∴ＢＭ∥ＣＦ，∴∠ＢＭＣ＝∠ＤＣＦ．
∵∠ＡＢＥ＝∠ＤＣＦ，∴∠ＢＭＣ＝∠ＡＢＥ，∴ＡＢ∥ＣＤ．
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图１
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图２
【解法二】过点Ｅ，Ｆ分别作ＥＧ∥ＡＢ，ＦＨ∥ＡＢ，如图２，
易知∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠３，∵∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ，∴∠１＋
∠２＝∠３＋∠４，易知∠１＋∠２＝∠３＋∠Ｂ，∴∠４＝∠Ｂ，
∵∠Ｂ＝∠Ｃ，∴∠４＝∠Ｃ，∴ＣＤ∥ＦＨ，∴ＡＢ∥ＣＤ．
᮰
6
对不同的问题能选择不同的统计图加以描述，用不同的统计量加以评判，并从统计图中获取信息，作出对未来发展
趋势的预测．
中
考
风
向
标
１１７
中考风向标
考向１跨学科
１．「2024 四川达州中考」当光线从空气射入水中时，光线的
传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，如图，
∠１＝８０°，∠２＝４０°，则∠３的度数为
（Ｂ）
Ａ．３０°
Ｂ．４０°
Ｃ．５０°
Ｄ．７０°
２．「2024 河南中考」把多个用电器连接在同一个插线板
上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发
热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研
究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流Ｉ与使
用电器的总功率Ｐ的函数图象（如图１）和插线板电
源线产生的热量Ｑ与Ｉ的函数图象（如图２）．下列结
论中错误的是
（Ｃ）
*"
18
0
图１
2+
0
*"
图２
Ａ．当Ｐ＝４４０Ｗ时，Ｉ＝２Ａ
Ｂ．Ｑ随Ｉ的增大而增大
Ｃ．Ｉ每增加１Ａ，Ｑ的增加量相同
Ｄ．Ｐ越大，插线板电源线产生的热量Ｑ越多
考向２数学文化
３．「2024 江苏南通中考」“赵爽弦图”巧妙利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个
全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大
正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为ｍ，ｎ
（ｍ＞ｎ）．若小正方形的面积为５，（ｍ＋ｎ）
２＝２１，则大
正方形的面积为
（Ｂ）
N
O
Ａ．１２
Ｂ．１３
Ｃ．１４
Ｄ．１５
４．「2023 湖北武汉中考」皮克定理是格点几何学中的一
个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面
积Ｓ＝Ｎ＋１
２Ｌ－１，其中Ｎ，Ｌ分别表示这个多边形内
部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、
纵坐标都是整数的点为格点．已知Ａ（０，３０），Ｂ（２０，
１０），Ｏ（０，０），则△ＡＢＯ内部的格点个数是（Ｃ）
Ａ．２６６
Ｂ．２７０
Ｃ．２７１
Ｄ．２８５
５．「2024 江苏淮安中考」《张丘建算经》由北魏数学家张
丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其
数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘
各几何？”意思为：现有若干名客人．若２个人共用１
个盘子，则少２个盘子；若３个人共用１个盘子，则
多３个盘子．问客人和盘子各有多少？请你解答这
个问题．
解析 设有ｘ个客人，ｙ个盘子．
根据题意，得
ｘ
２＝ｙ＋２，
ｘ
３＋３＝ｙ．
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
解得
ｘ＝３０，
ｙ＝１３．
{
答：有３０个客人，１３个盘子．
᮰
6
学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点儿东西，必须从不自满开始．对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不
倦”，我们应取这种态度．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１１８
考向３规律探究题
６．「2024 四川德阳中考」将一组数２，２，６，２２，
１０，
２３，…，２ｎ，…，按以下方式进行排列，则第八行
左起第１个数是
（Ｃ）
0̬=
0θ=
0̵=
ćć
ćć
Ａ．７２
Ｂ．８２
Ｃ．５８
Ｄ．４７
７．「2024 黑龙江绥化中考」如图，已知Ａ１（１，－３），Ａ２（３，
－３），Ａ３（４，０），Ａ４（６，０），Ａ５（７，３），Ａ６（９，３），Ａ７
（１０，０），Ａ８（１１，－３），……，依此规律，则点Ａ２０２４
的坐标为（２８９１，－３）．
0
Z
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Y
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ć
８．「2024 山东东营中考」如图，在平面直角坐标系中，已
知直线ｌ的表达式为ｙ＝ｘ，点Ａ１的坐标为（２，０），
以Ｏ为圆心，ＯＡ１长为半径画弧，交直线ｌ于点Ｂ１，
过点Ｂ１作直线ｌ的垂线交ｘ轴于点Ａ２；以Ｏ为圆
心，ＯＡ２长为半径画弧，交直线ｌ于点Ｂ２，过点Ｂ２作
直线ｌ的垂线交ｘ轴于点Ａ３；以Ｏ为圆心，ＯＡ３长为
半径画弧，交直线ｌ于点Ｂ３，过点Ｂ３作直线ｌ的垂
线交ｘ轴于点Ａ４；……按照这样的规律进行下去，
点Ａ２０２４的横坐标是２
１０１２．
"
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#
#
#
Z
M
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ć
Y
0
考向４新定义题
９．「2024 山东威海中考」定义新运算：①在平面直角坐标系
中，｛ａ，ｂ｝表示动点从原点出发，沿着ｘ轴正方向（ａ≥
０）或负方向（ａ＜０）平移｜ａ｜个单位长度，再沿着ｙ轴正
方向（ｂ≥０）或负方向（ｂ＜０）平移｜ｂ｜个单位长度．例
如，动点从原点出发，沿着ｘ轴负方向平移２个单
位长度，再沿着ｙ轴正方向平移１个单位长度，记
作｛－２，１｝．②加法运算法则：｛ａ，ｂ｝＋｛ｃ，ｄ｝＝｛ａ＋ｃ，
ｂ＋ｄ｝，其中ａ，ｂ，ｃ，ｄ为实数．若｛３，５｝＋｛ｍ，ｎ｝＝
｛－１，２｝，则下列结论正确的是
（Ｂ）
Ａ．ｍ＝２，ｎ＝７
Ｂ．ｍ＝－４，ｎ＝－３
Ｃ．ｍ＝４，ｎ＝３
Ｄ．ｍ＝－４，ｎ＝３
１０．「2024 河北中考」平面直角坐标系中，我们把横、纵坐
标都是整数，且横、纵坐标之和大于０的点称为“和
点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点
横、纵坐标之和除以３所得的余数（当余数为０时，
向右平移；当余数为１时，向上平移；当余数为２
时，向左平移），每次平移１个单位长度．
ҷĄ %ą1 U ᠵ̶E>݅E4/ U
ݜD%1 U Uڢ/D/ຮ̷U
1 U 1 U 1 U 1 U
҅
҅
҅
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ጒ
若“和点”Ｑ按上述规则连续平移１６次后，到达点
Ｑ１６（－１，９），则点Ｑ的坐标为
（Ｄ）
Ａ．（６，１）或（７，１）
Ｂ．（１５，－７）或（８，０）
Ｃ．（６，０）或（８，０）
Ｄ．（５，１）或（７，１）
１１．「2024 山东中考」任取一个正整数，若是奇数，就将该数
乘３再加上１；若是偶数，就将该数除以２．反复进行
上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈
１→４→２→１，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系
ｘＯｙ中，将点（ｘ，ｙ）中的ｘ，ｙ分别按照“冰雹猜想”同
步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中ｘ，ｙ均为
正整数．例如，点（６，３）经过第１次运算得到点
（３，１０），经过第２次运算得到点（１０，５），依此类推，
则点（１，４）经过２０２４次运算后得到点（２，１）．
᮰
6
负数方根不能行，零取方根仍为零．正数方根有两个，符号相反值相同（注：方根均指平方根）．
期
末
综
合
检
测
１１９
期末综合检测
范围：第一章至第七章
满分
１２０分
限时
１００分钟
一、选择题（每小题３分，共３０分）
１．「2025 江苏无锡锡山期末」在１１，
３－８，π
２，０，
４
９，０．６，
０．１２１２２１２２２１…（相邻两个１之间２的个数逐次
加１）中，无理数的个数是
（Ｂ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
２．「2024 甘肃临夏州中考」一次函数ｙ＝ｋｘ－１（ｋ≠０）的函
数值ｙ随ｘ的增大而减小，则它的图象不经过的象
限是
（Ａ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
３．下列命题：①２的相反数是± ２；②相等的角是对
顶角；③若ａ
２＝ｂ
２，则ａ＝ｂ；④过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直；⑤立方等于它本身的数有０
和±１；⑥在同一平面内，不重合的两条直线的位置
关系只有两种：平行和相交．其中真命题有（Ｂ）
Ａ．１个
Ｂ．２个
Ｃ．３个
Ｄ．４个
４．「2025 重庆南岸期末」张铭、王亮、李华三位同学周末相
约到公园游玩，张铭到中心广场时，王亮和李华已到
牡丹园，王亮看着景区示意图（如图所示），在电话中
告诉张铭：“我们这里的坐标是（３００，３００）．”根据王亮
建立的坐标系（正北、正东为坐标轴正方向），以下说
法错误的是
（Ｃ）
'ͥ
͈K
͙ᓯᎫ
K
>K
N
Ａ．中心广场的坐标为（０，０）
Ｂ．西门的坐标为（－５００，０）
Ｃ．南门的坐标为（１００，－４００）
Ｄ．东门的坐标为（４００，０）
５．「2023 四川宜宾中考」如图，ＡＢ∥ＣＤ，且∠Ａ＝４０°，∠Ｄ
＝２４°，则∠Ｅ等于
（Ｄ）
Ａ．４０°
Ｂ．３２°
Ｃ．２４°
Ｄ．１６°
"
#
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第５题图
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第８题图
６．「2023 山东泰安中考改编」为了解学生的身体素质状况，
国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年
的抽测中，某校九年级二班随机抽取了１０名男生进
行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：７，１１，
１０，１１，６，１４，１１，１０，１１，９．根据这组数据判断下列结
论中错误的是
（Ｄ）
Ａ．这组数据的众数是１１
Ｂ．这组数据的中位数是１０．５
Ｃ．这组数据的上四分位数是１１
Ｄ．这组数据的下四分位数是１１
７．如果正整数ａ，ｂ，ｃ满足等式ａ
２＋ｂ
２＝ｃ
２，那么正整数
ａ，ｂ，ｃ叫作勾股数．某同学将探究勾股数的过程列
成如下表格，观察表中每列数的规律，可知ｘ＋ｙ的
值为
（Ｃ）
ａ
３
８
１５
２４
…
ｘ
ｂ
４
６
８
１０
…
１６
ｃ
５
１０
１７
２６
…
ｙ
Ａ．６７
Ｂ．９８
Ｃ．１２８
Ｄ．７３
８．「2025 江苏泰州泰兴期末」如图，已知正方形ＡＢＣＤ的
面积为５，点Ａ在数轴上，且表示的数为－２．现以点
Ａ为圆心，ＡＣ的长为半径画圆，所得圆和数轴交于
点Ｅ（Ｅ在Ａ的右侧），则点Ｅ表示的数为（Ａ）
Ａ．１０－２
Ｂ．１．２
Ｃ．１０＋２
Ｄ．１０
᮰
6
能提出新问题，是学生发展的核心．若一个人掌握了许多知识，却一个问题也提不出，那么他掌握的知识就是一堆死
知识．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１２０
９．「2025 广东茂名电白期末」已知关于ｘ，ｙ的方
程组
４ｘ－ｙ＝－５，
ａｘ＋ｂｙ＝－１
{
和
３ｘ＋ｙ＝－９，
３ａｘ＋４ｂｙ＝１８
{
有相同的
解，那么ａ＋ｂ的平方根是
（Ｂ）
Ａ．２
Ｂ．± ２
Ｃ．２
Ｄ．±２
１０．「2025 江苏盐城期末」小明和弟弟周末去图书馆．二人
先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明用
１０ｍｉｎ到达图书馆，弟弟比他早出发２ｍｉｎ，但是在
小明到达时弟弟还距离图书馆３０ｍ．设小明和弟弟
所走的路程分别为ｙ１（ｍ），ｙ２（ｍ），其中ｙ１（ｍ），
ｙ２（ｍ）与时间ｘ（ｍｉｎ）之间的函数关系如图所示，
则下列结论：①小明家与图书馆之间的距离为
７５０ｍ；②当小明出发时，弟弟已经离家１２０ｍ；
③小明每分钟比弟弟多走１５ｍ；④小明出发
７分钟后追上弟弟．其中正确的是
（Ｃ）
ZN
YNJO
"
0
Ａ．①②
Ｂ．①③
Ｃ．①②③
Ｄ．①②④
二、填空题（每小题４分，共２４分）
１１．「2025 重庆八中期末」一次函数ｙ＝ｋｘ与ｙ＝－１
２ｘ－ｎ
的图象如图所示，则关于ｘ，ｙ的方程组
ｙ＝ｋｘ，
ｙ＝－１
２ｘ－ｎ
ì
î
í
ïï
ïï
的解是
ｘ＝－４
ｙ＝－２
{
．
Y
0
Z
第１１题图
݇6߇
A?=
D6߇
4
6߇
第１２题图
１２．某公司招聘一名营销策划人员，候选人成绩由三
项能力测试组成．其中，创新能力占５０％，综合能
力占３０％，语言表达能力占２０％，如图所示．候选
人小李的上述三项成绩依次为９０分，８０分，８５
分，则小李的测试成绩是８６分．
１３．「2025 浙江杭州期末」已知点Ａ（ｍ－１，ｙ１），Ｂ（ｍ，ｙ２），
Ｃ（ｍ＋２，ｙ３）都在一次函数ｙ＝（ｋ
２＋１）ｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为
常数）的图象上，则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是
ｙ１＜ｙ２
＜ｙ３．（用“＜”连接）
１４．「2025 甘肃武威八中期末」如图，在平面直角坐标系
中，已知Ａ（３，４），Ｂ（１，２），Ｃ（３，－１），请你在坐标
系内找一点Ｐ（不与点Ｂ重合），使ＰＡ＝ＢＡ，ＰＣ＝
ＢＣ，则点Ｐ的坐标是（５，２）．
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0
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Y
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第１４题图
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第１５题图
１５．「2024 四川巴中中考改编」“今有方池一丈，葭生其中
央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”
这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，若ＡＣ
＝５，ＤＣ＝１，则ＢＣ＝１２．
１６．「2025 海南海口期末」如图所示的是一盏可调节台灯
及其示意图．固定支撑杆ＡＯ⊥底座ＭＮ于点Ｏ，
ＡＢ与ＢＣ是分别可绕点Ａ和Ｂ旋转的调节杆，台
灯灯罩可绕点Ｃ旋转调节光线角度，在调节过程
中，最外侧光线ＣＤ，ＣＥ组成的∠ＤＣＥ始终保持
不变．现调节台灯，使外侧光线ＣＤ∥ＭＮ，ＣＥ∥
ＢＡ，若∠ＢＡＯ＝１５８°，过点Ｂ作ＢＦ∥ＭＮ，则ＢＦ与
ＣＤ的位置关系是平行，∠ＤＣＥ＝６８°．
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0
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.
三、解答题（共６６分）（答案含评分细则）
１７．「2025 广东茂名期末」（６分）计算：
（１）８－
１８－２
１
２．
᮰
6
在用勾股定理解决实际问题时，首先应该根据实物图抽象出数学图形，即画出符合题意的几何图形，然后根据勾股
定理求解．
期
末
综
合
检
测
１２１
（２）（３－１）
２＋
２７－３
３
．
解析 （１）８－
１８－２
１
２
＝２２－３２－２＝－２２．
（３分）
…………………
（２）（３－１）
２＋
２７－３
３
＝４－２３＋３３－３
３
＝４－２３＋２３
３
＝４－２３＋２＝６－２３．
（６分）
……
１８．（６分）解下列方程组：
（１）２ｘ－ｙ＝－４，
４ｘ－５ｙ＝－２３．
{
（２）
ｙ＋１
４＝ｘ＋２
３，
２ｘ－ｙ＝－４．
ì
î
í
ïï
ïï
见答案册Ｄ７３
１９．「2025 河北石家庄期末」（８分）如图，在平面直角坐标
系ｘＯｙ中，点Ａ的坐标为（－４，４），点Ｂ的坐标为
（－２，０），点Ｃ的坐标为（－１，２），△Ａ１Ｂ１Ｃ１与
△ＡＢＣ关于ｙ轴对称．
（１）请画出△Ａ１Ｂ１Ｃ１．
（２）直接写出Ａ１，Ｂ１，Ｃ１三点的坐标．
（３）求△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积．
Z
Y
0
#
$
"
"
#
$
解析 （１）如图，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求．
（２分）
……………………………………………
（２）由（１）得Ａ１（４，４），Ｂ１（２，０），Ｃ１（１，２）．
（５分）
……
…………………………………………
（３）△Ａ１Ｂ１Ｃ１的面积为３×４－１
２×１×２－１
２×２×４－１
２
×３×２＝４．
（８分）
…………………………………
２０．「2025 甘肃张掖甘州期末」（８分）甘肃省射击队为从
甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国的比赛，
对他们进行了六次测试，测试成绩（单位：环）如
表所示：
第一次第二次第三次第四次第五次第六次
甲
１０
８
９
８
１０
９
乙
１０
１０
１０
９
８
（１）求甲的平均成绩．
（２）已知乙的平均成绩是９环，试计算其第二次
测试成绩．
（３）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为
谁参加全国的比赛更合适？请说明理由．
解析 （１）１
６×（１０＋８＋９＋８＋１０＋９）＝９（环）．
答：甲的平均成绩是９环．
（２分）
………………
（２）９×６－１０－１０－１０－９－８＝７（环）．
答：乙第二次测试成绩为７环．
（４分）
…………
（３）甲参加全国的比赛更合适．理由：ｓ
２
甲＝１
６×
［（１０－９）
２×２＋（８－９）
２×２＋（９－９）
２×２］＝２
３，ｓ
２
乙＝
１
６×［（１０－９）
２×３＋（７－９）
２＋（８－９）
２＋（９－９）
２］＝４
３，
（７分）
…………………………………………
∵ｓ
２
甲＜ｓ
２
乙，∴甲的成绩更稳定，
∴甲参加全国的比赛更合适．
（８分）
……………
２１．「2025 广东河源期末」（８分）如图，在一条东西走向的
河流的一侧有一村庄Ｃ，河边原有两个取水点Ａ，
Ｂ，且ＡＢ＝ＡＣ，由于某种原因，从取水点Ａ到村庄Ｃ
的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定
在河边新建一个取水点Ｈ（点Ａ，Ｈ，Ｂ在一条直线
上），并新修一条路ＣＨ，测得ＣＢ＝３ｋｍ，ＣＨ＝
２．４ｋｍ，ＢＨ＝１．８ｋｍ．
（１）ＣＨ是不是村庄Ｃ到河边最近的路？请说明理由．
（２）求原来的路线ＡＣ的长．
"
)
$
#
解析 （１）ＣＨ是村庄Ｃ到河边最近的路．理由如下：
∵ＣＨ
２＋ＢＨ
２＝２．４
２＋１．８
２＝９，ＢＣ
２＝３
２＝９，
᮰
6
时间是宝贵的，又是无情的，它总是不知不觉地从我们身边匆匆流逝，能抓住时间并刻苦学习的人，才能成功．
初
中
数
学
八
年
级
上
册
北
师
大
版
１２２
∴ＣＨ
２＋ＢＨ
２＝ＢＣ
２，∴△ＣＨＢ是直角三角形，且
∠ＣＨＢ＝９０°，∴ＣＨ⊥ＡＢ．
（３分）
…………………
∵垂线段最短，
∴ＣＨ是村庄Ｃ到河边最近的路．
（４分）
………
（２）∵∠ＣＨＢ＝９０°，∴∠ＣＨＡ＝９０°，
∴ＡＣ
２＝ＡＨ
２＋ＣＨ
２．
（６分）
…………………………
∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＨ＝ＡＢ－ＨＢ＝ＡＣ－１．８，
∴ＡＣ
２＝（ＡＣ－１．８）
２＋２．４
２，∴ＡＣ＝２．５ｋｍ．
答：原来的路线ＡＣ的长为２．５ｋｍ．
（８分）
………
２２．「2025 陕西西安期末」（９分）某商场在年底为了促进
消费，推出赠送优惠券活动，优惠券分为三种类
型，如下表：
Ａ型
Ｂ型
Ｃ型
满３６８减１００
满１６８减６８
满５０减２０
在此次活动中，小西领到了三种不同类型的优惠
券若干张，准备给家人们买礼物．
（１）若小西同时使用了Ａ，Ｂ型优惠券共５张，共优惠
了４０４元，那么他使用了Ａ，Ｂ型优惠券各几张？
（２）若小西共领到三种不同类型的优惠券各１６
张，他同时使用Ａ，Ｂ，Ｃ型优惠券中的两种优
惠券消费，共优惠了７０８元，请问有哪几种优
惠券使用方案？
见答案册Ｄ７４
２３．（９分）如图，直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ＋１与ｘ轴交于点Ｄ，直
线ｌ２：ｙ＝－ｘ＋ｂ与ｘ轴交于点Ａ，且经过点Ｂ（－１，
５），直线ｌ１与ｌ２交于点Ｃ（２，ｍ）．
（１）求ｋ，ｂ和ｍ的值．
（２）求△ＡＤＣ的面积．
（３）在ｘ轴上是否存在一点Ｅ，使△ＢＣＥ的周长最
短？若存在，请求出点Ｅ的坐标；若不存在，
请说明理由．
%
$
"
Y
M
M #
Z
0
见答案册Ｄ７４
２４．「2025 山西太原期末」（１２分）数学课上，李
老师呈现了小宇解答一道习题的过程和
部分同学的反思，请你认真阅读，完成相应的
任务．
如图１，ＡＢ∥ＣＤ，点Ｅ是线段ＡＣ上一点，连接ＥＤ．求
证：∠ＣＡＢ＝∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ．
$
%
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图１
$
%
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"
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'
图２
$
%
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(
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"
图３
小宇的证明方法：
证明：如图２，过点Ｅ作ＥＦ∥ＣＤ，
∴∠１＝∠ＣＤＥ．（依据①）
∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ＡＢ∥ＥＦ，（依据②）
∴∠ＣＥＦ＝∠ＣＡＢ．
∵∠ＣＥＦ＝∠ＣＥＤ＋∠１，
∴∠ＣＡＢ＝∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ．
看完小宇的解答过程后，李老师让同学们进行解题
反思：
小星的反思是：若点Ｅ在线段ＣＡ的延长线上，ＥＤ
与ＡＢ交于点Ｇ，如图３，此时原来的结论仍然成立．
小颖的反思是：若点Ｅ在线段ＡＣ的延长线上，上述
结论发生变化，此时∠ＣＡＢ，∠ＣＥＤ与∠ＣＤＥ的数量
关系为
任务：
（１）请写出上述证明过程中的依据①和依据②．
（２）请证明图３中∠ＣＡＢ＝∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ．
（３）请补充小颖的反思中三个角的数量关系，并
说明理由．
见答案册Ｄ７４
