文档内容
1.7 整式除法
单项式➗单项式
知识点一
通常分为三个步骤：
（1）将它们的系数相除作为上的系数；
（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；
（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
多项式➗单项式
知识点二
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某
一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
题型一 单项式除以单项式【例题1】下列计算结果错误的是（ ）
A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy
B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5
C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3
D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4
【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，
则连同它的指数一起作为商的一个因式，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy，正确；
B、（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝（﹣x3y6）÷（﹣x2y）＝xy5，正确；
C、应为（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝8x3y3，故本选项错误；
D、﹣a6b2÷（﹣a2b2）＝a4，正确．
故选：C．
解题技巧提炼
通常分为三个步骤：
（1）将它们的系数相除作为上的系数；
（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因
式；
（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
5
【变式1-1】如果一个单项式与﹣5ab的积为− a2bc，则这个单项式为（ ）
8
1 1 25 25
A． a2c B． ac C． a3b2c D． ac
8 8 8 8
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算，得到答案．
【解答】解：设这个单项式为A，
5
由题意得，A•（﹣5ab）=− a2bc，
8
5 1
∴A=− a2bc÷（﹣5ab）= ac，
8 8
故选：B．
2
【变式1-2】已知6a2 ⋅(−b3 ) 2÷() 1= ab4中的据号内应填入（ ）
3A．9ab2 B．﹣9ab2 C．9a3b6 D．9ab3
【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案．
2
【解答】解：6a2 ⋅(−b3
)
2÷() 1= ab4，
3
2
6a2b6÷（ ）1= ab4，
3
2
则据号内应填入：6a2b6÷ ab4＝9ab2．
3
故选：A．
【变式1-3】计算4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）的结果为（ ）
1 1 1 1
A．− am+2b B． amb C．− amb D．− am+2
2 2 2 2
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）
1
=− a3m+1﹣（2m﹣1）b
2
1
=− am+2b．
2
故选：A．
【变式1-4】17．计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】利用单项式除法法则即可求出答案．
【解答】解：原式 ，
故选： ．
【变式1-5】计算： ．
【分析】利用单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
故答案为： ．题型二 多项式除以单项式
1 1
【例题2】计算(3a3−a2+ a)÷ a的结果正确的是（ ）
2 2
3 1 1
A． a2− a+ B．6a2﹣2a+1
2 2 4
C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．
1 1 1 1
【解答】解：原式＝3a3÷ a﹣a2÷ a+ a÷ a
2 2 2 2
＝6a2﹣2a+1，
故选：B．
解题技巧提炼
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
1
【变式2-1】(x6+2x4−4x2 )÷M=− x4−x2+2中，M为（ ）
2
1 1
A． x2 B．− x2 C．﹣2x2 D．2x2
2 2
【分析】利用除式＝被除式÷商式列出算式即可求得结论．
1
【解答】解：∵(x6+2x4−4x2 )÷M=− x4−x2+2，
2
1
∴M=(x6+2x4−4x2 )÷(− x4−x2+2)
2
1 4 1 4
＝﹣2x2（− x −x2+2）÷（− x −x2+2）
2 2
＝﹣2x2．
故选：C．
【变式2-2】已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（ ）
A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1
【分析】利用整式的除法法则进行倒推即可．
【解答】解：已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，
则M＝﹣4x3+9xy3+1，
故选：B．
【变式2-3】计算 的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据多项式除以单项式的法则求解．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【变式2-4】若一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式为 ．
【分析】根据“其中的一个因式＝积÷另一个因式”列式，然后利用多项式除以单项式的运算法则进行
计算．
【解答】解：∵一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，
∴这个多项式为：
（﹣2x5+4x3﹣x2）÷（﹣2x2）
1
＝x3﹣2x+ ，
2
1
故答案为：x3﹣2x+ ．
2
【变式2-5】计算 的结果是 ．
【分析】根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
故答案为： ．
题型三 由整式除法法则求字母的值
【例题3】xmyn÷x2y3＝xy，则有（ ）A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5
【分析】根据单项式相除的法则，列出方程即可得到答案．
【解答】解：∵xmyn÷x2y3＝xy，
∴m﹣2＝1且n﹣3＝1，
∴m＝3，n＝4，
故选：B．
解题技巧提炼
根据整式除法的法则求出对应的字母的数值
【变式3-1】已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为（ ）
A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2
【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于 m、n的方程，
解方程即可求出m，n的值．
【解答】解：∵28a2bm÷4anb2＝7b2，
∴2﹣n＝0，m﹣2＝2，
解得：m＝4，n＝2．
故选：A．
2
【变式3-2】已知8a3bm÷28an+1b2= b2，则m，n的值分别为（ ）
7
A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝2 C．m＝2，n＝2 D．m＝2，n＝3
【分析】根据整式的除法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3＝n+1，m﹣2＝2，
∴n＝2，m＝4，
故选：B．
【变式3-3】已知28a3bm÷（28anb2）＝b2，那么m，n的值分别为（ ）
A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3【分析】将28a3bm÷（28anb2）依据整式的除法法则得到a3﹣nbm﹣2＝b2，易得3﹣n＝0，m﹣2＝2，即可
求出m，n．
【解答】解：∵28a3bm÷（28anb2）＝（28÷28）a3﹣nbm﹣2＝b2，
∴ ，
解方程组得 ．
故选：A．
1
【变式3-4】如果m(xayb
)
3÷(2x3 y2
)
2= x3y2，求m，a，b的值．
8
【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解
即可．
1
【解答】解：∵m(xayb ) 3÷(2x3y2 ) 2=mx3ay3b÷(4x6 y4 )= mx3a−6 y3b−4，
4
1 1
∴ mx3a−6 y3b−4= x3y2．
4 8
1 1
{ m= ，
4 8
则 ，
3a−6=3，
3b−4=2，
1
{ m= ，
2
解得
a=3，
b=2.
题型四 整式除法中错看问题
【例题4】已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那
么B﹣A的正确结果为（ ）
A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6
【分析】根据题目的已知可知B＝Ax＝x（2x+6），然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵B÷A＝x，
∴B＝Ax
＝x（2x+6）
＝2x2+6x，∴B﹣A＝2x2+6x﹣（2x+6）
＝2x2+6x﹣2x﹣6
＝2x2+4x﹣6，
故选：A．
解题技巧提炼
按照错误的求解方式进行求解，再按照正确的求解方式进行求解
【变式4-1】已知 ， 是多项式，在计算 时，某同学把 看成了 ，结果得 ，
则 ．
【分析】由 除以 商为 ，且 ，利用被除数等于商乘以除数，表示出 ，利用多项式乘以
多项式的法则计算，确定出 ，再由 列出关系式，去括号合并后即可得到结果．
【解答】解：根据题意列出 ，
则 ．
故答案为： ．
【变式4-2】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得
到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案．
【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，
（3x2﹣6xy）（x﹣2y）
＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2
＝3x3﹣12x2y+12xy2．
答：得到的结果应该是3x3﹣12x2y+12xy2．【变式4-3】已知 ， 是多项式，计算 除以 时，某同学把 误写成 ，结果得 ，
试求 ．
【分析】根据题意确定出 ，列出正确的算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得： ，
则 ．
1
【变式4-4】已知A＝2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成B÷A，结果得x2+ x，试求：
2
（1）B+A的值；
1
（2）A2− B的值．
2
【分析】（1）根据被除式＝商式×除式，列式计算求出B，代入求出A+B的结果；
1
（2）把A、B的式子代入A2− B，去括号，合并同类项化为最简形式．
2
1
【解答】解：（1）B＝2x（x2+ x）
2
＝2x3+x2，
A+B＝2x3+x2+2x；
1
（2）A2− B
2
1
＝（2x）2− （2x3+x2）
2
1
＝4x2﹣x3− x2
2
7
= x2﹣x3．
2
【变式4-5】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，
突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3﹣
+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝ +5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．
【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，
则（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y．
题型五 整式除法的应用
【例题5】长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（ ）
A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1
【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，
∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1，
故选：C．
解题技巧提炼
利用公式进行变形，在进行计算即可
【变式5-1】有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．
右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）
1 1
A． B．1 C． (a+b) D．a+b
2 2
【分析】求出左边场地的面积为 a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝
a+b
（a+b）2÷2（a+b）= ．
2
【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，
∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，a+b
∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）= ，
2
故选：C．
【变式5-2】若长方形的面积是 ，长为2a，则这个长方形的周长是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】先求出长方形的宽，再由整式的加法运算，即可求出答案．
【解析】解：根据题意得宽为： ，
则这个长方形的周长为： ．故选：A．
【变式5-3】已知一个长方形的面积是 ，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长
度为______
【分析】直接利用长方形面积等于长乘以宽，列式计算得出答案．
【解析】∵已知一个长方形的面积是 ，且它的一条边长为2a
∴与这条边相邻的边的长= 故答案为：
【变式5-4】一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 ．
1 2S
【分析】根据三角形的面积S= ah，得到：h= ，代入计算即可．
2 a
【解答】解：根据题意得：
2（3xy﹣4y）÷（2y）
＝（6xy﹣8y）÷（2y）
＝3x﹣4，
故答案为：3x﹣4．
【变式5-5】如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，
面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为 ．【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案．
1 πa2 πa2
【解答】解：原面积为：ab+ × =ab+ ，
2 4 8
由于新的长方形的面积保持不变，
πa2 π
∴（ab+ ）÷a＝b+ a，
8 8
π
故答案为：b+ a
8
