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4.3 公式法
题型一 判断能否用公式法分解因式
1．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合
的形式．
【详解】解：完全平方式必须满足 的形式，A、 ，不符合完全平方式，故A不符合题意；
B、 ，符合完全平方式，故B符合题意；
C、 ，不符合完全平方式，故C不符合题意；
D、 ，不符合完全平方式，故D不符合题意．
故选：B．
2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式 和完全平方公
式 ，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答．
【详解】解：A、 ，符合完全平方公式，故该选项不符合题意；
B、 ，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意；
C、 ，符合完全平方公式，故该选项不符合题意；
D、 ，符合完全平方公式，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，解题关
键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断．【详解】解∶ ：可提公因式 ，得 ，不属于公式法，故A不符合；
：平方和无法在实数范围内用公式法分解，故B不符合；
：符合平方差公式，可分解为 ，故C符合；
：不符合完全平方公式的结构，且无法用公式法分解，故D不符合．
故选：C．
4．（25-26八年级上·山东日照·月考）下列多项式：① ；② ；③
；④ ．能用公式法分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注
意多项式的形式是否符合公式要求．
检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式．
【详解】解：① ，能用平方差公式分解；
② ，能用平方差公式、完全平方公式分
解；
③ ，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解；
④ ，平方和不能分解，故不能用公式法分解；
综上，能用公式法分解的有2个，
故选：B．
5．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式．
【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解；
② ，符合完全平方公式，故能分解；
③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解；
④ ，符合平方差公式，故能分解；
⑤ ，符合完全平方公式，故能分解．
∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个．
故选：C．
6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）多项式① ；② ；③ ；④ ；⑤
中能用公式法分解因式的有 （填序号）．
【答案】③④⑤
【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平
方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合
公式法分解因式的条件．
【详解】解：① 不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法．
② 可写为 ，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法．
③ 可写为 ，符合平方差公式，即 ，故能用公式法．
④ 可写为 ，符合完全平方公式，即 ，故能用公式法．
⑤ 可写为 ，符合完全平方公式，即 ，故能用公式法．
综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤．
故答案为：③④⑤．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；
如果不可以，请说明理由．(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式
(2)可以，分解为
(3)不可以，因为不是平方差形式
(4)可以，分解为
【分析】本题考查利用平方差公式分解因式：
（1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解．
【详解】（1）解： 不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（2）解： 可以用平方差公式分解因式，
；
（3）解： 不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（4）解： 可以用平方差公式分解因式，
．
题型二 平方差公式分解因式
1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查平方差公式法因式分解，根据能用平方差公式法进行因式分解的多项式的特点，两个平
方项且符号相反，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、 ，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、 ，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
D、 ，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
根据平方差公式逐项验证即可得到答案．
【详解】解：平方差公式为 = ；
选项A： = ，符合公式，可分解；
选项B： = ，非平方差形式；
选项C： ，为平方和，不符合题意；
选项D： ，为完全平方，不符合题意；
故选：A
3．（25-26八年级上·河南新乡·月考）因式分解 ，则代数式 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键．将 用平方差公式分解得 ，由等式性质两边除以 即可得出．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
使用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，识别出该式为平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）因式分解： ＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解： ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解．直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先根据平方差公式因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，原式两次运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
题型三 完全平方公式分解因式
1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式 ，逐项检查各选
项是否符合该形式．
【详解】解：对于A： 能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意；
对于B： ，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意；
对于C： ，能用完全平方公式分解，故符合题意；对于D： ，常数项应为 ，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意，
故选：C．
2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因式分解： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解： ，
故答案为 ．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，掌握相关方法是解题的关键．
（1）先提取公因式 ，再由完全平方公式分解即可；
（2）提取公因数 ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）先提取公因式a，再利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式y，再利用完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分解因式：
(1) ；
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．（3）运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
．
（3）解：
．
6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先确定公因式 ，提取公因式后，利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
7．（25-26八年级上·海南海口·期末）把下列多项式分解因式.(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）因式分解．熟悉利用提取公因式
法、公式法（完全平方公式、平方差公式）因式分解是解题的关键．
（1）先提取各项系数的公因数 ，再利用完全平方公式分解因式即可．
（2）先提取两项共有的公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
．
8．（25-26八年级上·山东临沂·月考）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可；（2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型四 综合运用公式法分解因式
1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）（1）计算： ；
（2）因式分解： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查整式乘法及因式分解，熟悉掌握公式是关键．
（1）根据整式乘法公式计算即可；
（2）根据公式法因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）．
2．（2026八年级上·重庆·专题练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要注意分解因式要彻底．
（1）提取公因式 即可；
（2）将 看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（3）多次利用平方差公式分解因式即可；
（4）先利用完全平方公式进行整理，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）按要求完成下列各题：
(1)计算： ；
(2)因式分解： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算和因式分解．
（1）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式展开，最后合并同类项即可得出答案．
（2）利用平方差公式和全平方公式分解因式即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解
∶4．（24-25八年级下·四川甘孜·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式可进行分解因式；
（2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式；
（3）根据乘法公式可进行分解因式．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
5．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据完全平方公式可进行因式分解；
（2）根据提公因式及平方差公式可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式
．
6．（25-26八年级上·四川遂宁·月考）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键．
（1）提取公因式 ，即可解答；
（2）运用平方差公式和完全平方公式，即可解答．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
7．（24-25八年级上·山东威海·期末）（1）因式分解：
（2）在实数范围内分解因式： ．
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，然后运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先把原式整理得 ，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：（1）；
（2）
．
8．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的方法，重点在于识别多项式中的结构特征．观察原式中的前三个项构成一个
完全平方公式，而后一项为平方项，整体可转化为平方差的形式，从而使用平方差公式进行因式分解．
【详解】解
∶
9．（25-26八年级上·天津·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解；
（2）先提取公因式，再根据平方差公式因式分解；
（3）根据平方差公式因式分解；
（4）先根据平方差公式因式分解，再合并同类项；
（5）运用整体思想，先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解；
（6）先根据完全平方公式展开，再合并同类项，最后根据完全平方公式分解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：（4）解：
（5）解：
（6）解：
题型一 综合运用提公因式法和公式法分解因式
1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）因式分解： ．
【答案】【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式，乘法公式是关键．先提取公因式 ，再使用完全平方公
式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
先利用计算公式，将 变形为 ，结合 因式分解的公式，得到 ，对
部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到 ，再整体
提取公因式 ，对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：原式．
4．（25-26八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可；
（3）利用提公因式法与平方差公式分解因式即可；
（4）先去括号，再用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，再套学过的平方差公式或完全平方公式，最后一定检查是否
分解彻底．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
5．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握 ， 的结
构特征是正确应用的关键．
（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式因式分解；
（3）提公因式 进行因式分解即可；
（4）利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
7．（25-26八年级上·云南昆明·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ．【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
（1）先提公因式 ，再运用平方差公式继续进行因式分解；
（2）先提公因式 ，再运用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
题型二 实数范围内分解因式
1．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式.
【详解】解：∵对于 ，判别式 ，
∴根为 ，
∴因式分解为 ，
故选：B.
2．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））在实数范围内因式分解：
．
【答案】
【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：
，
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·上海金山·月考）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法
有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
对于二次三项式，通过配方法将其转化为完全平方式与常数的差，然后利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
故答案为： ．4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解．
先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解
结果．
【详解】解：
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：原式．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内分解因式 ．
【答案】
【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
题型三 因式分解在有理数简便运算中的应用
1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算 的
结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法．
先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
2．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算 等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
【答案】C
【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用．
通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算．
【详解】解：
．
故选：C．
3．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式 ．
直接提取公因式 ，进而得出答案．
【详解】解：
．故选：A．
4．（25-26八年级上·云南怒江·月考）利用因式分解计算： ．
【答案】4051
【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算．
【详解】解： ．
故答案为 4051．
5．（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可；
（2）运用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
6．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式或计算
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式；
（1）先提公因式 ，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
7．（25-26八年级上·陕西延安·月考）简便运算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为 ，再计算即可．
【详解】解：
．
8．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解．
利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算．
【详解】解：．
题型四 十字相乘法
1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分解因式，可设 （其中a、b为整数）则可求出
，再根据 可确定a、b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴可设 （其中a、b为整数）
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解： ．
【答案】【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键；
使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可．
【详解】解： ，
分解为 和 ，
将 分解为 和 ，
交叉相乘后相加得 ，
因此因式分解结果为 ，
验证： ，
故答案为 ．
3．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）分解因式： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键．
利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为 ．
5．（25-26七年级上·上海·月考）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．
用十字相乘法分解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
6．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ；
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
．
7．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料：
我们把形如 的多项式称为“可十字相乘”型．
尝试把多项式 分解：找到两数 、 ，使 ， ，则 ， ，于是
．
问题：
(1)分解 ；
(2)若 可分解为两个一次因式，且 为整数，求 的所有可能值．
【答案】(1)
(2) ， ，
【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．
（1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案；（2） 可分解为 ，其中 ， ，根据题意可推出a、b都为整数，再
把 分解成两个整数的乘积即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：由题意得， 可分解为 ，其中 ， ，
∵m为整数，
∴ 为整数，
又∵ ，
∴a、b都为整数，
∵ ，
∴ 或 或 或 或
或
∴ 的可能值为 ， ， ．
题型五 因式分解的应用
1．（2024九年级上·上海·专题练习）有 个女孩， 个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘
个桃子，则男孩有 个．
【答案】 或
【分析】本题主要考查因式分解的应用，根据题意，先写出 的形式，再根据
能被 整除，即可得出答案．
【详解】解：根据题意将 变形可得 ，
∵ 能被 整除，
∴ 能被 整除，
∵n为正整数，
∴ 为大于11的整数，∵30的因数中大于 的有 和 ，
∴若 ，则 ；
若 ，则 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）已知 为正整数，求证： 能被16整除．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．先根据平方差公式进行
运算，然后进行判断即可．
【详解】证明：
．
为正整数， 是2的倍数，
∴ 是16的倍数，
∴原式能被16整除．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道
很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．
例如，图1可以解释 ．于是小明拼出如图2所示的边长为 的正方
形 ，图2可以解释
小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题：(1)已知 ，求 的值；
(2)若 满足如下条件：
，求 的值．
(3)已知， ， ， ，且 ．求证： 不能成为一个三角
形的三条边长；
【答案】(1)38
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得
到 是解题的关键．
（1）直接利用 求解即可；
（2）设 ， ， ，则 ， ， ，
然后根据 可得出关于t的方程，然后利用平方根的定义解方程并检
验即可；
（3）由 ，可得 ，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为
，再根据 ，可得 ，推出 ，根据三
角形三边关系即可判断．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ， ， ，
∵
，
∴ ， ， ，
又 ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
∴ ；
（3）证明：由题意得， ，
∴ ，
整理得： ，
即 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
故 ，即 ，∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长．
4．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）阅读下面分解因式的过程：
．上述分解因式的方法，叫做分组分
解法．利用以上方法解决下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)若 是 的三边，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查因式分解和三角形三边关系．
（1）使用分组分解法进行因式分解；
（2）通过因式分解将表达式变形，结合三角形三边关系证明不等式．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：∵
∵ ， ， 是 的三边
∴ ，
由 得 ，由 得
∴
即
5．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式 的最小值．解： ，
， ，
多项式 的最小值是4．
∴
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______；
当 取最小值4时， ______， ______．
(2)求多项式 的最小值．
【答案】(1)完全平方公式， ，
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的
关键．
（1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出 、 的值；
（2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值．
【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式．
，
当 ， 时，式子取到最小值，
此时， ， ， ；
（2）解：
，
， ，，
∴当且仅当 时， 有最小值 ．
6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺
的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值
生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如： ，取 ，则 ， ，
得因式码14、18，则密码为1418或1814．
(1)根据上述方法，已知多项式为 ，当 时，密码为______；
(2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 ，已知王老师的锁屏密码是3535，
那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由；
(3)若选取的多项式为 ，利用本题方法，当 时可以得到密码2026或2620，求 、 的值．
【答案】(1)1119或1911
(2)32
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意分解因式，代入求解即可；
（2）易得 ，据此即可得解；
（3）根据密码可得多项式因式分解的结果为 ，展开与原式对比，求解即可．
【详解】（1）解： ，
当 时， ， ，
密码为1911或1119；
故答案为：1911或1119；
（2）解：32岁，理由如下：
，
王老师的锁屏密码是3535，，
解得 ，
即王老师当前年龄是32岁；
（3）解：设多项式分解的结果为 ，
当 时可以得到密码2026或2620，
， 或 ， ，
解得 ， 或 ， ，
多项式因式分解的结果为 ，
，
可得 ，
解得
题型一 因式分解的综合提升运用
1．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如 、 以及
形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两
个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？
【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如 的多项式若改写成具有平方差或
完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解．
例如 ；即先加
一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，
再写成整式乘积的形式．
【解决问题】分解因式：① ；② ．
【答案】
①
②【分析】本题考查因式分解，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．①根据题干中所给例子
分解即可；②先将原式提取公因式 ，再根据题干中所给例子分解即可．
【详解】解：①
；
②
．
2．（25-26八年级上·山东日照·月考）“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思
想”对多项式进行因式分解：
因式分解： ．
解：原式．
(1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解： ；
(2)拓展应用：
求证：四个连续自然数 、 、 、 的积与1的和等于一个奇数的平方．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧并运用整体思想是解题关键．
（1）仿照例题，先将 和 进行分组展开运算，将结果中的 看作整体继续展
开，然后用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）仿照例题，先将 和 进行分组展开运算，将结果中的 看作整体继续展开，
用完全平方公式合并后得到 ．对n的奇偶性进行分类讨论，从而确定 的奇偶性．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，，
，
，
当 是偶数时， 是偶数， 是偶数，
∴ 是奇数；
当 是奇数时， 是奇数， 是奇数，
∴ 是奇数．
综上所述， 是奇数．
∴四个连续自然数 、 、 、 的积与1的和等于一个奇数的平方．
3．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现
背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律．
观察：请计算下列各式的值：
①
②
③
④
发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ．
猜想：（2）如果用 表示一个奇数（ 是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为 ．根据你
的发现，请猜想： （结果请化简）
验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想：
方法一（直接计算）：展开计算 和 ，然后相减．
方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算．
应用：利用你发现的规律，快速计算：【答案】观察：① ② ③ ④
发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数
猜想：
验证：见解析
应用：
【分析】本题主要考查平方差公式的应用以及因式分解．
观察和发现：先通过计算给定式子的值，观察规律得出相邻两个奇数的平方差是8的倍数这一发现；
验证：再根据发现对 进行猜想并化简，最后用两种方法验证猜想，一种是直接展开计算，
另一种是利用平方差公式因式分解计算．
应用：利用所找规律进行计算．
【详解】解：观察：① ； ② ； ③ ；
④ ；
发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数；
猜想： ；
验证：方法一（直接计算）：
方法二（因式分解）：
应用：
解析与计算：原式共有10组“相邻奇数平方差”．每组都符合猜想公式 ．找出每一
组对应的n值．
第一组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．第二组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
第三组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
．．．
第十组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
原式
．
