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4.2 提公因式法
题型一 确定公因式
1．（25-26八年级上·广东汕头·月考）多项式 的最大公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求多项式的公因式；找出多项式中各项系数的最大公因数和公有变量的最低次幂，组
合得到公因式．
【详解】解：∵多项式为 ，
各项系数为12和30，最大公因数为6，
公有变量为 ，最低次幂为 ，
∴公因式为 ，
故选：D．
2．（25-26八年级上·山西大同·月考）把多项式 分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因
数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或
相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可．
【详解】解：∵系数 和 的最大公因数为 ，变量 和 都含有 ，
∴公因式为 ．
故选：C．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式 因式分解时，应提取的公因式是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键．
根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出．
【详解】∵系数 、 、 的最大公约数为 ，字母 的最低次幂为 ，字母 的最低次幂为 ，
∴公因式为 ．
故选：D．
4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）多项式 和 的公因式是（ ）
A． B．x C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到 ，与第一个多项式 对比，可知公因式为 ．
【详解】解：∵ ，
∵ 第一个多项式为 ，
∴二者的公因式为 ，
故选D．
5．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）多项式 的公因式是 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与
各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可．
【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分， 的最小指数为2， 的最小指数为2， 的最小
指数为1，故公因式为 ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·新疆·月考）用提公因式法分解 时，应提出的公因式
．
【答案】 /
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，通过提取多项式中各项的公因式，包括系数的最大公约数和
变量的最低次幂，找出公因式即可．
【详解】解：多项式为 ，系数27和18的最大公约数为9，变量x的指数取较小值2，变量
y的指数取较小值5，
因此公因式为 ，
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·河南周口·月考）把 分解因式时，应提取的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键．
找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式．
【详解】解：多项式 中，
各项系数为 ，最大公约数为2，
字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1，
∴公因式为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司题型一 利用提公因式法进行因式分解
1．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式 的正确结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的 可转化为 ，从而与第一项形成公因式
，提取公因式后进一步分解即可．
【详解】解：原式
，
故选：D．
2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，
确定公因式是3，再提出公因式化成两个整式乘积的形式即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，直接提取公因式x分解因式即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ．
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·湖南永州·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．提公因式 即可分解因式．
【详解】解： ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·广东汕头·月考）用提公因式法分解因式：
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是关键；通过识别多项式中各项的公因式，运用提
公因式法进行因式分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式 即可分解因式．
【详解】解：
．
7．（25-26八年级上·天津宝坻·月考）分解因式：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）直接提出公因式 即可；
（2）原式先变形为 ，然后提出公因式 即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
8．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法．
（1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可；
（2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可；
（3）先提取公因式 ，然后合并同类项，再提取公因式即可；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
题型二 利用因式分解求代数值的值
1．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A． B．6 C．9 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值．
将代数式因式分解为 ，然后代入已知值计算．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ．
故选：B．
2．（25-26八年级上·河北唐山·月考）利用因式分解计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，通过提取公因式 进行因式分解，然后利用乘法分配律简化
计算即可
【详解】解： ，
又 ，
故选：A
3．（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算 等于（ ）
A．1 B． C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，整理原式为 ，即可求解．
提取公因式2025进行因式分解，简化计算即可．
【详解】解： ，
故选：C
4．（25-26八年级上·重庆·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．12 C． D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出 的值，再将原式因式分解为
，再代入已知条件计算．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
，
故选：B．
5．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）若 ，则 的值为（）
A．143 B．134 C． D．153
【答案】A
【分析】本题考查代数式求值，因式分解，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
将表达式中的 提取公因式化为 ，整体表达式转化为 ，直接代入已知条件
计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
．
6．（25-26八年级上·山东德州·月考）若实数x满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得 ，把所求式子可变形为
，代入 得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
，
故答案为：7．
7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如果 ，那么 ．
【答案】63
【分析】本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式 ，将原式化为 ，然后利用已
知条件整体代入计算即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴
∴原式 ，
故答案为：63．
8．（25-26八年级上·新疆·月考）先分解因式，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先化为 ，再提公因式，最后代
入数据进行计算即可.
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，原式
题型三 因式分解的实际应用
1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为 ， 的长方形的周长为 ，面积为 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的
周长和面积可得： ， ，利用完全平方公式可得 ，再利用整体代入法求代数式
的值．
【详解】解： 边长为 ， 的长方形的周长为 ，面积为 ，
， ，
，
，
．
故选：A．
2．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）已知三角形的三边 ， ， 满足关系式 ，则这
个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质．
通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴若 ，则 ，为等腰三角形；
若 ，则 ，不符合三角形三边关系，舍去；
综上，三角形为等腰三角形，
故选：C．
3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则
的值是（ ）
A．30 B．40 C．70 D．140
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形的周长计算公式和面积计算公式可推
出 和 的值，再根据 计算求解即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）长方形的长为 ，宽为 ，在长方形内部挖去一个边长为
的正方形，求剩余部分的面积（用含 的代数式表示，并因式分解）．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查因式分解：用长方形面积减去正方形面积，利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：长方形面积： ，
挖去的正方形面积： ，
剩余面积： ．
5．（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可
对类似代数式进行求值．
例如： ．
请你根据材料，解决下列问题：
已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，仿照例题将 ，整体代入代数式求值，即可．
【详解】解：
+1
6．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，把 ， ， 三个
电阻串联起来，线段AB上的电流为 ，电压为 ，则 ．若 ， ，
， ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】220
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把
，因式分解为 ，再进行计算求值．
【详解】解：根据题意，得
题型一 提公因式法的综合运用
1．（2023八年级上·福建泉州·竞赛）若 ，则 的和为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先分组，再提取公因式，最后代入即可．
【详解】解：
．
故答案为：0 ．
2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式： ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．把 作为一组，
作为一组，分别展开，再把 作为一个整体，继续展开，然后进行因式分解即可．
【详解】解：
．
3．（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知 ， ，求
① ；
② ．
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）① ② （2）29
【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思
想是解题的关键；
（1）①对 两边同时平方求解即可；②对 两边同时平方，可得
，再对其两边同时平方求解即可；
（2）由立方差公式可得 ，由完全平方公式可得 ，进而可得 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，对 两边同时平方可得 ，再由 求解即可．
【详解】解：（1）解：① ， ，
，
；
② ， ，
，
，
；
（2）解： ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司
