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4.3 公式法
题型一 判断能否用公式法分解因式
1．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．4．（25-26八年级上·山东日照·月考）下列多项式：① ；② ；③
；④ ．能用公式法分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）多项式① ；② ；③ ；④ ；⑤
中能用公式法分解因式的有 （填序号）．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；
如果不可以，请说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型二 平方差公式分解因式
1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河南新乡·月考）因式分解 ，则代数式 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解： ．5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式： ．
6．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）因式分解： ＝ ．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解 ．
8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解：
(1) ；
(2) ．
9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解： ．
题型三 完全平方公式分解因式
1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因式分解： ．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解：
(1) ；
(2)
4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：
(1)
(2)
5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分解因式：
(1) ；
(2) ．
(3) ．
6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）因式分解：(1) ；
(2) ．
7．（25-26八年级上·海南海口·期末）把下列多项式分解因式.
(1) ；
(2) ．
8．（25-26八年级上·山东临沂·月考）分解因式：
(1)
(2)
题型四 综合运用公式法分解因式
1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）（1）计算： ；
（2）因式分解： ．
2．（2026八年级上·重庆·专题练习）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）按要求完成下列各题：
(1)计算： ；
(2)因式分解： ．
4．（24-25八年级下·四川甘孜·期中）因式分解：
(1) ；(2) ；
(3) ．
5．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式：
(1) ；
(2) ．
6．（25-26八年级上·四川遂宁·月考）因式分解：
(1)
(2)
7．（24-25八年级上·山东威海·期末）（1）因式分解：
（2）在实数范围内分解因式： ．
8．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： ．
9．（25-26八年级上·天津·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型一 综合运用提公因式法和公式法分解因式
1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）因式分解： ．2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解： ．
3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）因式分解： ．
4．（25-26八年级上·海南海口·期中）把下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
5．（25-26八年级上·江苏南京·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）因式分解：
7．（25-26八年级上·云南昆明·月考）因式分解：
(1) ；
(2) ．
题型二 实数范围内分解因式
1．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（上海市普陀区2025-2026学年上学期八年级期末复习综合卷（B））在实数范围内因式分解：．
3．（25-26八年级上·上海金山·月考）在实数范围内因式分解： ．
4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）在实数范围内进行因式分解 ．
5．（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ．
6．（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内分解因式 ．
题型三 因式分解在有理数简便运算中的应用
1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算 的
结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算 等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
3．（24-25八年级上·山东东营·月考）计算 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·云南怒江·月考）利用因式分解计算： ．
5．（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算
(1) ．
(2)
6．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式或计算
(1) ；
(2) ．
7．（25-26八年级上·陕西延安·月考）简便运算： ．
8．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： ．
题型四 十字相乘法1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）将 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解： ．
3．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）因式分解： ．
4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）分解因式： ．
5．（25-26七年级上·上海·月考）分解因式： ．
6．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ；
7．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料：
我们把形如 的多项式称为“可十字相乘”型．
尝试把多项式 分解：找到两数 、 ，使 ， ，则 ， ，于是
．
问题：
(1)分解 ；
(2)若 可分解为两个一次因式，且 为整数，求 的所有可能值．
题型五 因式分解的应用
1．（2024九年级上·上海·专题练习）有 个女孩， 个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘
个桃子，则男孩有 个．
2．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）已知 为正整数，求证： 能被16整除．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道
很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．
例如，图1可以解释 ．于是小明拼出如图2所示的边长为 的正方形 ，图2可以解释
小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若 满足如下条件：
，求 的值．
(3)已知， ， ， ，且 ．求证： 不能成为一个三角
形的三条边长；
4．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）阅读下面分解因式的过程：
．上述分解因式的方法，叫做分组分
解法．利用以上方法解决下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)若 是 的三边，求证： ．
5．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式 的最小值．
解： ，
， ，
多项式 的最小值是4．
∴
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______；
当 取最小值4时， ______， ______．(2)求多项式 的最小值．
6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺
的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值
生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如： ，取 ，则 ， ，
得因式码14、18，则密码为1418或1814．
(1)根据上述方法，已知多项式为 ，当 时，密码为______；
(2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 ，已知王老师的锁屏密码是3535，
那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由；
(3)若选取的多项式为 ，利用本题方法，当 时可以得到密码2026或2620，求 、 的值．
题型一 因式分解的综合提升运用
1．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如 、 以及
形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两
个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？
【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如 的多项式若改写成具有平方差或
完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解．
例如 ；即先加
一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，
再写成整式乘积的形式．
【解决问题】分解因式：① ；② ．
2．（25-26八年级上·山东日照·月考）“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思
想”对多项式进行因式分解：
因式分解： ．
解：原式．
(1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解： ；
(2)拓展应用：
求证：四个连续自然数 、 、 、 的积与1的和等于一个奇数的平方．
3．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现
背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律．
观察：请计算下列各式的值：
①
②
③
④
发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ．
猜想：（2）如果用 表示一个奇数（ 是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为 ．根据你
的发现，请猜想： （结果请化简）
验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想：
方法一（直接计算）：展开计算 和 ，然后相减．
方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算．
应用：利用你发现的规律，快速计算：
