文档内容
4.3 公式法
课堂知识梳理
1. 公式法：如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.
(1)平方差公式:
a2 −b2 =(a+b)(a−b)
2. 主要公式:
(2)完全平方公式:
a2 +2ab+b2 =(a+b) 2 a2 −2ab+b2 =(a−b) 2
3. 易错点点评:
因式分解要分解到底.如
x4 −y4 =(x2 +y2 )(x2 −y2
)就没有分解到底.
4. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的
目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
5. 二次三项式
x2 +px+q
的分解:
p=a+b q=ab
x2 +px+q=(x+a)(x+b)
.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4 y2 B．x2+2x−1 C．−x2−4 y2 D．−x2+4 y2
【答案】D
【详解】解：A、x2+4 y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
B、x2+2x−1有三项，不能用平方差公式分解，故不合题意；
C、−x2−4 y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
D、−x2+4 y2=(2y+x)(2y−x)能用平方差公式分解因式，故符合题意；
故选：D．
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
1A．x2+x+1 B．x2+2x−1 C．x2−1 D．81+18x+x2
【答案】D
【详解】A．x2+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B．x2+2x−1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C．x2−1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
D．81+18x+x2=(9+x) 2，符合题意，
故选：D．
3．分解因式：1−4 y2=（ ）
A．(1−2y)(1+2y) B．(1−4 y)(1+4 y)
C．(1−2y)(2+ y) D．(2−y)(1+2y)
【答案】A
【详解】解：1−4 y2
=1−(2y) 2
=(1−2y)(1+2y)．
故选：A．
4．因式分解(x−2) 2−16的结果是（ ）
A．(x−2)(x+6) B．(x+14)(x−18)
C．(x+2)(x−6) D．(x−14)(x+18)
【答案】C
【详解】解：(x−2) 2−16
=(x−2+4)(x−2−4)
=(x+2)(x−6)，
故选C．
5．已知x−y=2，xy=3，则x y2−x2y的值为（ ）
A．5 B．6 C．−6 D．1
【答案】C
【详解】解：∵x−y=2，xy=3，
∴x y2−x2y=−xy(x−y)=−2×3=−6，
故选：C．
6．因式分解：4(a+b) 2−4b2= ___________ ．
【答案】4a(a+2b)
【详解】解：4(a+b) 2−4b2
=4[(a+b) 2−b2]
2=4(a+b−b)(a+b+b)
=4a(a+2b)．
故答案为：4a(a+2b)．
7．如果多项式ax2+b y2只能因式分解为(3x+2y)(3x−2y)，则ab=______．
【答案】−36
【详解】解：∵(3x+2y)(3x−2y)=9x2−4 y2，多项式ax2+b y2只能因式分解为
(3x+2y)(3x−2y)，
∴a=9,b=−4，
∴ab=9×(−4)=−36．
故答案为：−36．
8．因式分解：
(1)3x(a−b)−y(a−b)；
(2)m2+8m+16；
(3)2x3−8x；
(4)(x2+16 y2) 2 −64x2y2．
【答案】(1)(a−b)(3x−y)
(2)(m+4) 2
(3)2x(x+2)(x−2)
(4)(x+4 y) 2 (x−4 y) 2
【详解】（1）解：3x(a−b)−y(a−b)=(a−b)(3x−y)．
（2）解：m2+8m+16=m2+8m+42=(m+4) 2．
（3）解：2x3−8x
=2x(x2−4)
=2x(x+2)(x−2)．
（4）解：(x2+16 y2) 2 −64x2y2
=(x2+16 y2+8xy)(x2+16 y2−8xy)
=(x+4 y) 2 (x−4 y) 2．
9．(1)简便计算：1232−122×124．
(2)简便计算：20222−2022×4042+20212．
【答案】(1)1．（2）1
【详解】
（1）解：20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
3=（2022-2021）2
=12
=1．
（2）1232−122×124
=1232−(123−1)(123+1)
=1232−1232+1
=1．
10．分解因式
(1)1+10t+25t2；
(2)m2−14m+49；
1
(3)y2+ y+ ；
4
(4)(m+n) 2−4m(m+n)+4m2；
(5)25a2−80a+64；
(6)a2+2a(b+c)+(b+c) 2．
【答案】(1)(1+5t) 2
(2)(m−7) 2
( 1) 2
(3) y+
2
(4)(n−m) 2
(5)(5a−8) 2
(6)(a+b+c) 2
【详解】（1）解：1+10t+25t2=(1+5t) 2；
（2）解：m2−14m+49=(m−7) 2；
（3）解：y2+ y+ 1 = ( y+ 1) 2 ；
4 2
（4）解：(m+n) 2−4m(m+n)+4m2=(m+n−2m) 2=(n−m) 2；
（5）解：25a2−80a+64=(5a−8) 2；
（6）解：a2+2a(b+c)+(b+c) 2=(a+b+c) 2．
培优第二阶——拓展培优练
11．如果x+ y，x−y，x2−y2，4，m+n，mm分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，
学，现将4m(x2−y2)+4n(x2−y2)因式分解，结果呈现的可能是哪句话（ ）
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学
4【答案】A
【详解】解：4m(x2−y2)+4n(x2−y2)
=4(x2−y2)(m+n)
=4(x+ y)(x−y)(m+n)
x+ y，x−y，4，m+n，分别对应6个字：鹿，鸣，我，爱，
原式因式分解后结果呈现的可能为：我爱鹿鸣
故选：A．
12．若二次三项式x2+8x+k2可以用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．4 B．−4 C．4或−4 D．16
【答案】C
【详解】解：∵x2+8x+k2可以用完全平方公式进行因式分解，
∴k=±4，
故选：C．
1
13．已知x为任意实数，则多项式x−1− x2 的值为（ ）
4
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零
【答案】B
1 1 1
【详解】解：x−1− x2=− (x2−4x+4)=− (x−2) 2
4 4 4
∵(x−2) 2≥0
1
∴− (x−2) 2≤0
4
故选：B
14．用十字相乘法解方程：
(1)x2+5x−6=0；
(2)x2−2x−3=0．
【答案】(1)x=−6或x=1
(2)x=3或x=−1
【详解】（1）解：x2+5x−6=0
(x+6)(x−1)=0，
x+6=0或x−1=0，
x=−6或x=1；
（2）解：x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
x−3=0或x+1=0，
5x=3或x=−1．
15．因式分解：
(1)8x3y−8x2y2+2x y3
(2)a2(m−n)+25(n−m)
(3)(a2+6a) 2 −81
【答案】(1)2xy(2x−y) 2
(2)(m−n)(a+5)(a−5)
(3)(a+3) 2(a2+6a−9)
【详解】（1）解：8x3y−8x2y2+2x y3
=2xy(4x2−4xy+ y2)
=2xy(2x−y) 2；
（2）解：a2(m−n)+25(n−m)
=(m−n)(a2−25)
=(m−n)(a+5)(a−5)；
（3）解：(a2+6a) 2 −81
=(a2+6a) 2 −92
=(a2+6a+9)(a2+6a−9)
=(a+3) 2(a2+6a−9)；
16．分解因式：
(1)x2−8x+16
(2)4x3−16x y2
(3)(m2+4) 2 −16m2
(4)(x2+6x) 2 +18(x2+6x)+81
【答案】(1)(x−4) 2
(2)4x(x+2y)(x−2y)
(3)(m+2) 2 (m−2) 2
(4)(x+3) 4
【详解】（1）解：x2−8x+16
=(x−4) 2；
（2）解：4x3−16x y2
=4x(x2−4 y2)
=4x(x+2y)(x−2y)；
6（3）解：(m2+4) 2 −16m2
=(m2+4+4m)(m2+4−4m)
=(m+2) 2 (m−2) 2；
（4）解：(x2+6x) 2 +18(x2+6x)+81
=(x2+6x+9) 2
=(x+3) 4．
17．阅读材料，回答下列问题：
若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m，n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2 )+(n2−8n+16)=0，
即(m−n) 2+(n−4) 2=0，
又(m−n) 2≥0，(n−4) 2≥0，
∴(m−n) 2=0，(n−4) 2=0，
∴n=4，m=4．
(1)若a2+b2−4a+4=0，求a，b的值；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2−2ab−2ac=0．判断△ABC的形状，并
说明理由．
【答案】(1)a=2,b=0；
(2)等边三角形，理由见解析．
【详解】（1）∵a2+b2−4a+4=0，
∴(a2−4a+4)+b2=0，
即(a−2) 2+b2=0，
又(a−2) 2≥0,b2≥0，
∴(a−2) 2=0,b2=0，
∴a=2,b=0．
（2）∵a2+2b2+c2−2ab−2ac=0，
∴(a2−2ab+b2 )+(b2−2ac+c2 )=0，
即(a−b) 2+(b−c) 2=0，
又(a−b) 2≥0,(b−c) 2≥0，
∴(a−b) 2=0,(b−c) 2=0，
∴a=b,b=c，
∴a=b=c．
7∴△ABC是等边三角形．
18．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分
解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分
法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
=(ax+ay)+(bx+by)
=a(x+ y)+b(x+ y)
=(x+ y)(a+b)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：x2−y2−x−y；
(2)分解因式：9m2−4x2+4xy−y2；
(3)分解因式：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1．
【答案】(1)(x+ y)(x−y−1)）；
(2)(3m+2x−y)(3m−2x+ y)；
(3)(2a+1) 2 (1+b)(1−b)．
【详解】（1）解：x2+ y2−x−y
=(x2−y2)−(x+ y)
=(x+ y)(x−y)−(x+ y)
=(x+ y)(x−y−1)；
（2）解：9m2−4x2+4xy−y2
=9m2−(4x2−4xy+ y2)
=(3m) 2−(2x−y) 2
=(3m+2x−y)(3m−2x+ y)；
（3）解：4a2+4a−4a 2b2−b2−4ab2+1
❑
=(4a2+4a+1)−(4a2b2+4ab2+b2)
=(2a+1) 2−b2(4a2+4a+1)
=(2a+1) 2−b2(2a+1) 2
=(2a+1) 2(1−b2)
=(2a+1) 2 (1+b)(1−b)．
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数“．
如：4=22−02
12=42−22
20=62−42
8…
所以4，12，20都是“奇巧数“
(1)28，32，36三个数中，是“奇巧数“的为 ；
(2)小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数“，请你说明理由；
(3)2020是“奇巧数“吗？为什么？
【答案】(1)28，36
(2)一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数”
(3)2020是“奇巧数”，理由见解析
【详解】（1）解：∵28=82−62，36=102−82，
而32不能写成两个连续偶数的平方差，
∴28，36是“奇巧数“，
故答案为：28，36；
（2）设这个正奇数为(2n−1)，则4倍可表示为4(2n−1)，
∵ (2n) 2−(2n−2) 2=8n−4=4(2n−1)，
∴4(2n−1)总能表示为两个连续偶数的平方差，
∴4(2n−1)(n为正整数)是“奇巧数“．
答：一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数“；
（3）2020是“奇巧数“．
理由：
∵2020=4×505，即2020是奇数505的4倍，
∴由(2)可知2020是“奇巧数“．
20．材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美
数”．
例如：因为13=32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2=(a+b) 2+b2（
a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ．
(2)试判断(x+3 y)(x+5 y)+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
(3)已知M＝x2+4 y2−6x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，
试求出符合条件的k值，并说明理由．
【答案】(1)2（答案不唯一）
(2)是完美数，见解析
(3)18，见解析
【详解】（1）解：∵2=12+12
∴2是“完美数”
9故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：(x+3 y)(x+5 y)+2y2
=x2+8xy+17 y2
=x2+8xy+16 y2+ y2
=(x+4 y) 2+ y2
∴(x+3 y)(x+5 y)+2y2是“完美数”.
（3）解：∵ M=x2+4 y2−6x+12y+k=(x2−6x+9)+(4 y2+12y+9)+k−18
=(x−3) 2+(2y+3) 2+k−18
∵ M为“完美数” ，
∴ k−18=0 ，
∴k=18
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式x2−4x+4因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【答案】D
【详解】解：x2−4x+4=(x−2) 2．
故选：D．
22．（2022·湖北荆门·统考中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）
恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【答案】A
【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
23．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：3x3−12x y2=_________．
【答案】3x(x+2y)(x−2y)
【详解】解：原式＝3x(x2−4 y2)=3x(x+2y)(x−2y)．
故答案为：3x(x+2y)(x−2y)．
1024．（2022·湖北恩施·统考中考真题）分解因式：a3−6a2+9a=________．
【答案】a(a−3) 2
【详解】解：a3−6a2+9a
=a(a2−6a+9)
=a(a−3) 2，
故答案为：a(a−3) 2．
25.（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：(m+n) 2−6(m+n)+9=________．
【答案】(m+n−3) 2
【详解】解：(m+n) 2−6(m+n)+9
=(m+n) 2−2×3×(m+n)+32
=(m+n−3) 2，
故答案为：(m+n−3) 2．
26．（2022·贵州遵义·统考中考真题）已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为
__________．
【答案】8
【详解】解：∵a+b=4，a−b=2，
∴a2−b2 =(a+b)(a−b)=4×2=8
故答案为：8
27．（2022·广西·统考中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知
3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：
6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的
一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是________．
【答案】14
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=(2a+b) 2+2(2a+b)−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
28．（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式：(2×1+1) 2=(2×2+1) 2−(2×2) 2，
第2个等式：(2×2+1) 2=(3×4+1) 2−(3×4) 2，
11第3个等式：(2×3+1) 2=(4×6+1) 2−(4×6) 2，
第4个等式：(2×4+1) 2=(5×8+1) 2−(5×8) 2，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)(2×5+1) 2=(6×10+1) 2−(6×10) 2
(2)(2n+1) 2=[(n+1)⋅2n+1] 2 −[(n+1)⋅2n] 2，证明见解析
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：
(2×5+1) 2=(6×10+1) 2−(6×10) 2，
故答案为：(2×5+1) 2=(6×10+1) 2−(6×10) 2；
（2）解：第n个等式为(2n+1) 2=[(n+1)⋅2n+1] 2 −[(n+1)⋅2n] 2 ，
证明如下：
等式左边：(2n+1) 2=4n2+4n+1，
等式右边：[(n+1)⋅2n+1] 2 −[(n+1)⋅2n] 2
=[(n+1)⋅2n+1+(n+1)⋅2n]⋅[(n+1)⋅2n+1−(n+1)⋅2n]
=[(n+1)⋅4n+1]×1
=4n2+4n+1，
故等式(2n+1) 2=[(n+1)⋅2n+1] 2 −[(n+1)⋅2n] 2 成立．
29．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)
解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，
再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分
解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分
解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦
12图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角
形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，
先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
【答案】(1)(x+a)(x−a+1)；(2)(a−b)(a−b+x)；(3)(a2+b2)(a−b) 2，9
【详解】（1）解：x2−a2+x+a
=(x2−a2)+(x+a)
=(x+a)(x−a)+(x+a)
=(x+a)(x−a+1)；
（2）解：ax+a2−2ab−bx+b2
=(a2−2ab+b2)+(ax−bx)
=(a−b) 2+x(a−b)
=(a−b)(a−b+x)；
（3）解：a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−(2a3b+2ab3)
=(a2+b2) 2 −2ab(a2+b2)
=(a2+b2)(a2−2ab+b2)
=(a2+b2)(a−b) 2，
∴根据题意得a2+b2=9，(a−b) 2=1，
∴原式=9．
13
