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4.3 公式法
题型一 判断能否用公式法分解因式
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】③④⑤
7．
【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式
(2)可以，分解为
(3)不可以，因为不是平方差形式
(4)可以，分解为
【分析】本题考查利用平方差公式分解因式：
（1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解；
（4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解．
【详解】（1）解： 不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（2）解： 可以用平方差公式分解因式，
；
（3）解： 不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式；
（4）解： 可以用平方差公式分解因式，．
题型二 平方差公式分解因式
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】
7．【答案】
8．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先根据平方差公式因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
9．【答案】
【分析】本题考查因式分解，原式两次运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
题型三 完全平方公式分解因式
1．【答案】C
2．【答案】 /
3．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，掌握相关方法是解题的关键．
（1）先提取公因式 ，再由完全平方公式分解即可；
（2）提取公因数 ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．4．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）先提取公因式a，再利用平方差公式继续分解；
（2）先提取公因式y，再利用完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
5．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（3）运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
（3）解：
．
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先确定公因式 ，提取公因式后，利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
7．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）因式分解．熟悉利用提取公因式
法、公式法（完全平方公式、平方差公式）因式分解是解题的关键．
（1）先提取各项系数的公因数 ，再利用完全平方公式分解因式即可．
（2）先提取两项共有的公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解： ，，
；
（2）解： ，
，
．
8．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型四 综合运用公式法分解因式
1．
【答案】（1） ；（2）【分析】本题主要考查整式乘法及因式分解，熟悉掌握公式是关键．
（1）根据整式乘法公式计算即可；
（2）根据公式法因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
2．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要注意分解因式要彻底．
（1）提取公因式 即可；
（2）将 看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（3）多次利用平方差公式分解因式即可；
（4）先利用完全平方公式进行整理，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算和因式分解．
（1）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式展开，最后合并同类项即可得出答案．
（2）利用平方差公式和全平方公式分解因式即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解
∶4．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式可进行分解因式；
（2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式；
（3）根据乘法公式可进行分解因式．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据完全平方公式可进行因式分解；
（2）根据提公因式及平方差公式可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式．
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键．
（1）提取公因式 ，即可解答；
（2）运用平方差公式和完全平方公式，即可解答．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
7．
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，然后运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
（2）先把原式整理得 ，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．8．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的方法，重点在于识别多项式中的结构特征．观察原式中的前三个项构成一个
完全平方公式，而后一项为平方项，整体可转化为平方差的形式，从而使用平方差公式进行因式分解．
【详解】解
∶
9．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了因式分解．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解；
（2）先提取公因式，再根据平方差公式因式分解；
（3）根据平方差公式因式分解；
（4）先根据平方差公式因式分解，再合并同类项；
（5）运用整体思想，先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式因式分解；
（6）先根据完全平方公式展开，再合并同类项，最后根据完全平方公式分解．
【详解】（1）解：（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：题型一 综合运用提公因式法和公式法分解因式
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】
4．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可；
（3）利用提公因式法与平方差公式分解因式即可；
（4）先去括号，再用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，再套学过的平方差公式或完全平方公式，最后一定检查是否
分解彻底．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
5．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握 ， 的结
构特征是正确应用的关键．
（1）先提公因式 ，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式因式分解；
（3）提公因式 进行因式分解即可；
（4）利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
（4）解：
6．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
7．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
（1）先提公因式 ，再运用平方差公式继续进行因式分解；
（2）先提公因式 ，再运用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
题型二 实数范围内分解因式
1．【答案】B2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】
6．
【答案】
【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
题型三 因式分解在有理数简便运算中的应用
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】4051
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可；
（2）运用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式；
（1）先提公因式 ，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
7．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，把原式化为 ，再计算即可．
【详解】解：．
8．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解．
利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算．
【详解】解：
．
题型四 十字相乘法
1．【答案】A
2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】 /
5．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．
用十字相乘法分解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ．
6．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
先利用十字相乘法分解因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
．
7．
【答案】(1)
(2) ， ，
【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．
（1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案；
（2） 可分解为 ，其中 ， ，根据题意可推出a、b都为整数，再
把 分解成两个整数的乘积即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：由题意得， 可分解为 ，其中 ， ，
∵m为整数，
∴ 为整数，
又∵ ，
∴a、b都为整数，
∵ ，
∴ 或 或 或 或
或∴ 的可能值为 ， ， ．
题型五 因式分解的应用
1．【答案】 或
2．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．先根据平方差公式进行
运算，然后进行判断即可．
【详解】证明：
．
为正整数， 是2的倍数，
∴ 是16的倍数，
∴原式能被16整除．
3．
【答案】(1)38
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得
到 是解题的关键．
（1）直接利用 求解即可；
（2）设 ， ， ，则 ， ， ，
然后根据 可得出关于t的方程，然后利用平方根的定义解方程并检
验即可；（3）由 ，可得 ，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为
，再根据 ，可得 ，推出 ，根据三
角形三边关系即可判断．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ， ， ，
∵
，
∴ ， ， ，
又 ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意；
∴ ；
（3）证明：由题意得， ，
∴ ，
整理得： ，
即 ，
∴ ，∴
∵ ，
∴ ，
故 ，即 ，
∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长．
4．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查因式分解和三角形三边关系．
（1）使用分组分解法进行因式分解；
（2）通过因式分解将表达式变形，结合三角形三边关系证明不等式．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：∵
∵ ， ， 是 的三边
∴ ，
由 得 ，由 得
∴
即
5．
【答案】(1)完全平方公式， ，(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的
关键．
（1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出 、 的值；
（2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值．
【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式．
，
当 ， 时，式子取到最小值，
此时， ， ， ；
（2）解：
，
， ，
，
∴当且仅当 时， 有最小值 ．
6．
【答案】(1)1119或1911
(2)32
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意分解因式，代入求解即可；（2）易得 ，据此即可得解；
（3）根据密码可得多项式因式分解的结果为 ，展开与原式对比，求解即可．
【详解】（1）解： ，
当 时， ， ，
密码为1911或1119；
故答案为：1911或1119；
（2）解：32岁，理由如下：
，
王老师的锁屏密码是3535，
，
解得 ，
即王老师当前年龄是32岁；
（3）解：设多项式分解的结果为 ，
当 时可以得到密码2026或2620，
， 或 ， ，
解得 ， 或 ， ，
多项式因式分解的结果为 ，
，
可得 ，
解得
题型一 因式分解的综合提升运用
1．
【答案】①
②
【分析】本题考查因式分解，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．①根据题干中所给例子
分解即可；②先将原式提取公因式 ，再根据题干中所给例子分解即可．
【详解】解：①
；
②
．
2．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧并运用整体思想是解题关键．
（1）仿照例题，先将 和 进行分组展开运算，将结果中的 看作整体继续展开，然后用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）仿照例题，先将 和 进行分组展开运算，将结果中的 看作整体继续展开，
用完全平方公式合并后得到 ．对n的奇偶性进行分类讨论，从而确定 的奇偶性．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
当 是偶数时， 是偶数， 是偶数，
∴ 是奇数；
当 是奇数时， 是奇数， 是奇数，
∴ 是奇数．
综上所述， 是奇数．
∴四个连续自然数 、 、 、 的积与1的和等于一个奇数的平方．
3．
【答案】观察：① ② ③ ④发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数
猜想：
验证：见解析
应用：
【分析】本题主要考查平方差公式的应用以及因式分解．
观察和发现：先通过计算给定式子的值，观察规律得出相邻两个奇数的平方差是8的倍数这一发现；
验证：再根据发现对 进行猜想并化简，最后用两种方法验证猜想，一种是直接展开计算，
另一种是利用平方差公式因式分解计算．
应用：利用所找规律进行计算．
【详解】解：观察：① ； ② ； ③ ；
④ ；
发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数；
猜想： ；
验证：方法一（直接计算）：
方法二（因式分解）：
应用：
解析与计算：原式共有10组“相邻奇数平方差”．每组都符合猜想公式 ．找出每一
组对应的n值．
第一组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
第二组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．第三组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
．．．
第十组 ：较大的奇数是 ，即 ，解得 ．
原式
．
