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专题 17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式
目录
题型一：分组求和：公式法.................................................................................................................................................1
题型二：分组求和：奇偶分段型.........................................................................................................................................3
题型三：分组求和：正负相间型.........................................................................................................................................5
题型四：倒序求和型.............................................................................................................................................................7
题型五：裂项相消1：函数型..............................................................................................................................................9
题型六：裂项相消2：指数型............................................................................................................................................12
题型七：裂项相消3：无理根号型....................................................................................................................................14
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型....................................................................................................................17
题型九：裂项相消5：等差指数混合型............................................................................................................................20
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型............................................................................................................................22
题型十一：裂项相消7：三角函数型................................................................................................................................26
题型十二：裂项型证明数列不等式...................................................................................................................................28
题型十三：三角函数型数列不等式证明...........................................................................................................................30
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式.......................................................................................................................35
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式.......................................................................................................................39
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式...................................................................................................................43
题型一：分组求和：公式法
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n项和公式：S＝na＋d＝.
n 1
等比：前n项和公式：S＝
n
1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列 ， ， ．
(1)证明：数列 ， 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）根据已知条件得到 ， ，即可证明答案.
（2）根据题意得到 ，再解方程组即可.
（3）利用分组求和的方法求解即可.【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， .
而 ， ，所以 ，
， .所以数列 是以首项 ，公比为 的等比数列.
数列 是以首项 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知： ， .
（3）因为 ，所以 .
2．（2024·山东·二模）已知数列 ， 中， ， ， 是公差为1的等差数列，数列
是公比为2的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列 的通项公式，再根据等比数列的通项公式
计算出数列 的通项公式，即可计算出数列 的通项公式；
（2）根据数列 的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前
项和 ．
【详解】（1）由题意，可得 ，
故 ， ，
数列 是公比为2的等比数列，且 ， ，
， ．
（2）由题意及（1），可得 ，则
．
3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可；
（2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可.
【详解】（1）由题意可知 ，所以 ，
设 的公差为d，则 ，所以 ；
（2）由题意知， ，易知 ，
故 .
4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列 的前n项和为 ，且满足
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由 和 的关系式消去 得递推式 ，由此构造等比数列 ；
（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.
【详解】（1）当 时， ，解得 因 ①，
当 时， ②
①-②得， ，即 ， 则 ，即 ， ，又
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）法一、由（1）可得 ，即 ，
法二、由（1）可知 ，即 ，
又由题知： 代入可得
题型二：分组求和：奇偶分段型
分组求和法：
1.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
2.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
3.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列{a }中， ，前n项和为 ，{b }为各项均为正数的等
n n
比数列， ，且 ， ．(1)求 与 ；
(2)定义新数列 满足 ， ，求 前20项的和 ．
【答案】(1) (2)【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通
项；
（2）根据数列 的奇偶性特征，运用分组求和法计算 ，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即
得.
【详解】（1）设数列{a }的公差为 ，数列{b }的公比为 ，
n n
则由 可得， ，解得： 故
（2）由（1）得， ， ，
则
2．（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）依题意得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 .
3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列{a }是公差不为0的等差数列，其前n项和为 ， ， ， ，
n
成等比数列．
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ， ，求数列{b }的前100项和 ．
n
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，
（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.【详解】（1）设数列{a }的首项为 ，公差为 ，根据题意得 即
n
解得 或 ．又因 ，所以 ．所以{a }的通项公式为 ．
n
（2）由（1）得 ．即数列{b }的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，
n
奇数项是以 为首项，16为公比的等比数列．
数列{b }的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，
n
数列{b }的前100项和 ．
n
， ．
所以 ．
4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列 的首项为1，公差 .数列 为公比 的等比数
列，且 成等差数列.
(1)求数列 和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果；
（2）分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前 项和即可得结果.
【详解】（1）由于等差数列 的首项为1，公差
所以 ，
由数列 为公比是2的等比数列且 成等差数列，
知 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）知， ，
.
题型三：分组求和：正负相间型正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的
奇数项通项。
1．（24-25高三·全国·练习）已知数列 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】
【分析】分奇偶讨论，结合分组（并项）求和即可.
【详解】若 是偶数，则 ．
若 是奇数，则 ．
综上所述，
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据 与 的关系直接求通项公式即可；
（2）根据（1）中{a }的通项公式得到 ，分奇偶讨论 并整合即可得到答案.
n
【详解】（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，当 时，上式也符合，
所以{a }的通项公式为 .
n
（2）由（1）得， ，所以 ， ．
（ⅰ）当n为偶数时， ；（ⅱ）当n为奇数时， ；
综上所述， .
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据 作差得到 ，从而得到 ，
结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得 ，记 ，则 ，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
记 ，则 ，
4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 是数列 的前 项和.求
【答案】(1) 或 (2)
【分析】（1）设出公差，根据条件求解公差，即可求出通项公式；
（2）利用并项求和法求解即可.
【详解】（1） 为等差数列，设公差为 ， ， ，
， ， 成等比数列， ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
数列 的通项公式为 或 ；
（2） ，由（1）知， ， ，，
.故 .
题型四：倒序求和型
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有
组合数。
1．（2022高三·全国·模拟）设 是函数 的图象上任意两点，且
，已知点 的横坐标为 ．
(1)求证： 点的纵坐标为定值；
(2)若 且 求 ；
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到 ，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运
算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当 时， ，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设 ，因为 ，故可得 ，
由 知 ，故 ，
故 .
故 点的纵坐标为定值 .
（2）由（1）知
，两式相加得：
，
故 .
2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在
函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；（2）若函数 ，令 ，求数列 的前2020项和 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得 ，然后利用 可求出数列 的通项公式；
（2）由题意可得 ，然后利用倒序相加法可求得结果
【详解】（1）∵点 均在函数 的图象上，∴ ．
当 时， ；
当 时， ，适合上式，∴ ．
（2）∵ ，∴ ．又由（1）知 ，∴ ．
∴ ，①
又 ，②
①+②， ，∴ ．
3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 除以5的余数
【答案】（1） ；（2）余数为1.
【分析】（1）根据倒序相加法，结合二项式系数和公式进行求解即可；
（2）根据二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）因为
所以
，
（2）因为 .
除以5余数为1，所以 除以5的余数为1.
4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列 满足： ，数列 满足
.(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根据题意，当 时，可得 ，两式相减，求得 ，再由
，得到 ，即可求得数列{a }的通项公式.
n
（2）由（1）得 ，结合指数幂的运算法则，即可求得 的值；.
（3）由（2）知 ，结合倒序相加法，即可求解.
【详解】（1）由数列{a }满足： ，当 时，可得
n
，
两式相减，可得 ，所以 ，当 ，可得 ，所以 ，适合上式，
所以数列{a }的通项公式为 .
n
（2）由数列{b }满足 ，
n
则 .
（3）由（2）知 ，
可得 ，
则 ，
两式相加可得 ，所以 .
题型五：裂项相消 1：函数型
函数型，指的是
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
1．（24-25高三·广东·开学考试）已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）由题意知，当 时， ，代入题干表达式可得 ，通过计算
数列 的通项公式即可计算出前 项和 的表达式，最后结合公式 ，即可计算出数
列{a }的通项公式；
n
（2）由（1）计算出数列{b }的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 项和 的表达式，最后根据不等
n
式的性质即可证明结论成立．
【详解】（1）由 ，得 ，即 ；
又 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，又{a }是正项数列，所以 ．
n
当 时， ，又当 时， 不符合 时 的形式．
所以
（2）证明：
，
．
2．（23-24高三·江西·模拟）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法得到 ，即可求出 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）因为 ，当 时 ，所以 ；
当 时 ，
所以 ，所以 ，经检验当 时 也成立，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 ，当 时， ，且 ，
所以 单调递增，所以 ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件，利用 与 间的关系，得到 ，再利用累积法，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果得到 ，利用裂项相消法得到 ，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ①，所以当 时， ②，
由① ②得到 ，整理得到 ，又 ，所以 ，得到 ，
所以当 时， ，
当 ，满足 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以 是关于 的递增数列，由 恒成立，得到 ，
所以实数 的最小值为 .
4．（23-24高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列{a }的前n项的和为 成等差数列，且
n
成等比数列.
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ，数列{b }的前n项的和为 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论.
n
【答案】(1) (2) ，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出{a }的通
n
项公式；
（2）将 化简，利用裂项相消法求和，即可得 ，从而判断 .
【详解】（1）设 的公差为 ，由题意得 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2） ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 .
题型六：裂项相消 2：指数型
指数型，类似函数型的列项思维
形如
1．（23-24高三·河南·模拟）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）构造等比数列 ，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求 ，利用裂项求和法，求得 ，再证明即可.
【详解】（1）因为 ，所以 又 ，
所以 ，
所以 是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
，又 ，所以 .
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列 满足
(1)求证: 为等比数列；(2)数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列 的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列{a }中， ，则 ，
n
而 ，即 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ， ， ，
，
所以数列 的前n项和 .
3．（23-24高三·云南曲靖·模拟）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设数列 的公差为 ，然后由已知条件列方程组求出 ，从而可求出其通项公式；
（2）由（1）得 ，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得
；
（2）由（1）可知 ，
.
4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人
称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构
成一个数列{a }
n(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }的前 项和 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和
n
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据给定条件，可得当 时， ， ，再利用累加法求出 的通项.
（2）利用（1）的结论，结合 求出 ，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）依题意，当 时， ， ，
， 满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，当 时， ，而 满足上式，
于是 ， ，
因此 ，所以数列 的前 项和
.
题型七：裂项相消 3：无理根号型
无理根式型裂项：
一般情况下，无理型裂项相消满足：
1．（23-24高三·四川南充·期末）已知数列 是等差数列，且 是数列 的前 项
和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，求证： .
【答案】(1) (2)答案见解析【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，后裂项相消，求出 ，结合不等式性质证明即可.
【详解】（1）由于 则 ，
则 ，因此 ，故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，则 ，
则 ，即 .
，由于 ，则 ，故 成立.
2．（23-24高三·辽宁本溪·期末）设正项数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 ，已知
.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据条件式结合等差数列的前n项和公式，得出 ，进一步得出 的二元一次
方程，解出即可求得{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得 ，进一步得出 ，再采用裂项法即可求得 .
【详解】（1）由 ，得 ，
又 ，所以 ，当 时， ，当 时， ，解得 ，
所以 ，故{a }的通项公式为 .
n
（2）由（1）可知 ，所以 ，
故 .
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，讨论 的单调性；
(2)设曲线 在点 处的切线为 ，证明：除点 外，曲线段
总在 的下方；
(3)设 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）由 在 处取极值待定 ，再求导函数 ，根据导函数的单调性与零点确定符号
变化区间，从而讨论 的单调性；（2）构造函数将命题转化为 在区间[0,2]恒成立，通过二次求导方法，逐次观
察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可；
（3）应用第（2）问结论赋值 得 ，由此放缩后运算求和即可得证.
【详解】（1） ，x∈R， ，
由 在 处取得极值，得 ，解得 .
当 时， ，
设 ，则 在R上单调递减，且 .
则当 时， ，即 ，故 在 单调递增；
当 时， ，即 ，故 在 单调递减；
故 在 处取到极大值，满足题意. 在 单调递增； 在 单调递减.
（2） ，x∈R， ， 曲线y=f (x)在点 处的切线 的斜率为 ，
.
故切线方程为 ，即 ；
构造函数 ， ，即 ，其中 ，
则 ，x∈R设 ，其中 ，
则 ，令 ，得 ，当 时， ，故 在 单调递减；
当 时， ，故 在 单调递增；
所以 在[0,2]单调递减，且 ， .
故当 时， ，即 ，则 在 单调递增；
当 时， ，即 ，则 在 单调递减；
故 在 处取极大值，且极大值为 ，当且仅当 时， .
所以当x∈[0,2]时， 恒成立.即 恒成立，
故除点 外，曲线段 总在 的下方，命题得证.
（3）由（2）结论，任意 ， ， 恒成立.
又由 可知， 单调递减，
则 ，故 恒成立，
令 ，则 恒成立.又由
所以 .故 ，
故
.即 成立，命题得证.
【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图
象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不
能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求
导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第
（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特
殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错
误.
4．（2024·福建三明·三模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记 ，求证： ．
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）当 时求出 ， 时，用 ，即可求解；
（2）由 得出 ，由 得 ，根据对勾函数的单调性及 的值，即可求
出 得范围；
（3）由（1）得 ，则 ，根据放缩法得 即可证明．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ， 时成立， 所以 ．
（2）由 得， ，显然 时， 单调递增， ，
由 得， ，又 ，当且仅当 时，即 时
等号成立，因为 ， ，且 ， ， ，
所以当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，
所以 ．（3）证明：由（1）得 ， ，
因为
所以
．
题型八：裂项相消 4：分子分母齐次分离型
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
1．（23-24高三·浙江丽水·期中）设数列 为等差数列，前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）可得 ，根据裂项相消法计算可得 ，即可证明.
【详解】（1） ，
由 ，
所以 ，
所以 ．
（2）
所以
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{a }的前n项和为 ，已知 .
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n(2)设 ，求数列{b }的前n项和 .
n
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 和 关系作差得 ，再求出首项结合等差数列通项公式即可得到答案；
（2）求出 ，代入化简得 ，最后利用裂项相消求和法即可.
【详解】（1）由 ，得 ①，
当 时， ，解得 （负值舍去）.当 时， ②，
① ②，得 ，化为 ，
因为 ， ，解得 ，所以数列{a }是首项为3、公差为2的等差数列，
n
所以 ，即 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
从而 ，
则 ， ，…， ，
以上n个式子相加，得 .
3．（23-24高三·安徽芜湖·模拟）设 是正项数列，且其前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先求得 的值，然后结合递推关系式整理可得数列{a }为等差数列，结合等差数列通项公
n
式可得数列{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得 ，利用分组法与裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当 时， ，解得： ，
当 且 时， ，∴ ，
整理可得： ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列{a }以2为首项，4为公差的等差数列，∴ .
n
（2） ，.
32．（23-24高三·江苏盐城·期末）数列 中， ， ，设 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ， 为数列 的前 项和，求不超过 的最大的整数.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)2021
【分析】（1）对 两边都加 得到 ，即可证明数列{b }是等比数列；
n
（2）由 ，利用错位相减法求和；
（3）由 得到 ， ，裂项相消法求和得到
，所以不超过 的最大的整数为2021.
【详解】（1）将 两边都加 ，得 ，而 ，所以 ，
即有 ，又 ，即 ， ，
所以数列{b }是首项为 ，公比为 的等比数列；
n
（2）由（1）知， ，则 ， ，
则 ，
因此，两式作差得到， ，所以 ；
（3）由（2）知 ，于是得 ，则 ，
因此， ，
所以 ，
所以不超过 的最大的整数是2021.
题型九：裂项相消 5：等差指数混合型，
注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）由题意进行因式分解，求得 ，再根据 与 的关系式求得通项公式；
（2）由 代入求得 ，结合裂项相消法求和得出结果.
【详解】（1）由题意，得 ，又 ，所以 ，从而 ．
当 时， ．由于 不符合上式，
故
（2）由（1）知 当 时， ，
所以当 时，
．又 也适合上式，所以 ．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列 满足 ．
(1)计算 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ， (2)
【分析】（1）由 ，可得 ，可得
，法一：可得 为常数列，可求数列{a }的通项公式；法二：可得
n，利用累乘法可求数列{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得 ，进而由裂项相消法可求 的前 项和 .
【详解】（1）由题可知， ，
令 ， ，得 ；令 ，得 ．
由已知 ，可得 ，
两式相减得 ．
解法一：整理得： ．又 满足上式．从而 对 均成立．
因此 为常数列，即有 ，故 ．
解法二：
整理得： ．又 满足上式．故 ．
即 ．当 时符合上式，故 ．
（2）由（1）可知 ，所以 ．因此
= .
3．（2024高三·全国·模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，数列 是等比数列， ，
， ．
(1)求 与 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1）可得 ，进而 ，结合裂项相消求和法计算即可求解.
【详解】（1）设数列 的公差为d，数列 的公比为 ，
则由 ， ， ，得 ， ，
两式相除得 ，所以 ， ，
所以 ， ．
（2）由（1）得 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ．
4．（23-24高三·江苏连云港·期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足： ， .(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设数列 的通项公式为 ，问:是否存在正整数 ，使得 成等差数列？
若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) ；(3)存在， ， 取值见解析.
【分析】（1）利用 的关系求得递推公式 ，变形可得 为常数列，然后可得通
项；
（2）由 ，根据裂项相消法可得；
（3）根据等差中项列式整理可得 ，由 和 都为正整数可解.
【详解】（1）由 ①，当 时， ，
当 时， ②，
①-②得 ，即 ，
所以 ，所以 ，当 时， ，上式也成立，
所以数列 为常数列， ， 所以 .
（2）由 ， ，则
，
所以{b }的前 项和为 .
n
（3）由（1）知 .要使 成等差数列，则 ，
即 ，整理得 ， 因为 ， 为正整数，所以 只能取2，3，5.
当 时， ；当 时， ；当 时， .
故存在正整数 ，使得 成等差数列.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将 分裂为 ，然后根据裂项相消法即可
得解.
题型十：裂项相消 6：正负相间裂和型正负型：等差裂和型
1．（23-24高三·湖北武汉·期中）已知数列 的首项 ，且满足 ，数列 的前 项和
满足 ，且 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明；
（2）利用当 时， ，求出数列 是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式；
（3）由 ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.所以 .
（2）当 时， ，得 ；
当 时， ，整理得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故数列 是首项为1，公差为2的等差数列，从而 ，
所以数列 的通项公式为 .
（3）由 ，
设数列 的前 项和为 ，当当 时，
综上： .
2．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前10项和 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）已知 与 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对 时
进行检验，得到数列 是等差数列，从而写出通项公式；
（2）根据 得到 ，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和 .
【详解】（1）由题意知： ，即 ，
当 时， ，两式相减，可得 ，
因为 ，可得 ．
又因为 ，当 时， ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 （符合），
从而 ，所以数列 表示首项为3，公差为2的等差数列．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由题意得 ，
所以
，所以 .
3．（23-24高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列 的前 项和为 ．若对任意的正整数 ，总存在正
整数 ，使得 ，则称 是“ 数列”．
(1)若 ，判断数列 是否是“ 数列”；
(2)设 是等差数列，其首项 ，公差 ，且 是“ 数列”，
①求 的值；
②设 为数列 的前 项和，证明：
【答案】(1) 是“ 数列”(2)① ；②证明见解析【分析】（1）首先求出 ，再根据所给定义判断即可；
（2）①当 时,设{b }的前 项和为 ，根据 得到方程，解得 ，又 ， 为正整
n
数，故只有 时才满足要求，再利用数学归纳法进行证明；②由①可得 ， ，
利用裂项相消法求出 ，即可证明.
【详解】（1）因为 ，当 时， ，
当 时， ，
又 ，即 也满足 ，综上可得 ，
当 时存在 或 使得 （即 或 ），
对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，此时 ，
综上可得对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，此时 ，
故{a }是“ 数列”；
n
（2）①因为{b }是等差数列，其首项 ，公差 ，设{b }的前 项和为 ，
n n
故 ， ，对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得
，
即 ，当 时， ，此时只需 ，
当 时， ，解得 ，
又 ，故 ,又 为正整数，故 ,此时 ；
当 时， ，下面证明 恒为正偶数，
当 时， ，满足要求，假设当 时， 为正偶数，
则当 时， ，
由于 和 均为正偶数，故 为正偶数，满足要求，
所以 恒为正偶数，证毕，所以 .
②由①可得 ，所以 ，
所以
，因为 ，
所以 单调递减且 ，所以 ，所以 .4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差数列{a }的前 项和为 ，且
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和为 ．
n
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得 的通项公式；
（2）将原式变形为 ，再利用裂项相消法即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列{a }的首项为 ，公差为 ．
n
因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 所以数列{a }的通项公式为 ；
n
（2） ，整理得 ，
所以 ，
整理得
题型十一：裂项相消 7：三角函数型
1．（2024高三·全国·模拟）已知在数列{a }中， .
n
(1)求数列{a } 的通项公式；
n
(2)若数列{b }满足 ，求数列 的前2024项和 .
n
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意，化简得到 ，结合裂项法求和法，即可求解；
（2）由（1）知， ，结合 ，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
所以，当 时， ，
即 ，又因为 ，则 ；
当 时， 成立，所以 .
（2）解：由（1）知， ，
所以，
因为 ，
于是 ，
，
所以 ，所以数列{b }的前 项的和为 .
n
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列 的前n项和为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前1012项和 ．
【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案；
（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.
【详解】（1）当 时，因为 ，所以 ，
即 ．又 ，所以{a }是首项为1，公差为2的等差数列，
n
所以 ．
（2）由（1）知， ，
，
而 所以
．
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列{a }和{b }的各项均为正，且 ，{b }是公比3的等比数列．数
n n n
列{a }的前n项和 满足 ．
n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）利用递推公式可证得数列{a }是等差数列，可求出数列{a }的通项；利用等比数列的性质，
n n
可求出{b }通项；
n
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【详解】（1）由题设，当 时 或 （舍），
由 ，知 ，
两式相减得 ，（舍）或 ，即 ，
∴数列{a }是首项为2，公差为2的等差数列， ．
n
又 ．
（2）
则
当n为偶数时， ；当n为奇数时， ．
所以 .
4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知 .
(1)求 ；
(2)证明： 是等差数列，并求出 ；
(3)设 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2)证明见解析， ；(3)
【分析】（1）根据数列递推公式计算即可；
（2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列 通项公式；
（3）由 ，根据裂项相消计算即可.
【详解】（1） .
（2） ，故 是以1为首项1为公差的等差数列.故
.
（3）因为 ，所以
题型十二：裂项型证明数列不等式裂项型证明数列不等式：
1. 裂项求和。
2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。
3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明
45．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求其通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成
立，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）利用数列 中 与 的关系结合等差数列的定义证明求解；
（2）利用裂项相消法求和以及等差数列的前 项和公式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ①， ②，
② ①得 ，即 ③，则 ④，
④ ③得 ，化简得 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，
由 ，当 时 ，解得 ，
因为 ，所以数列 以1为首项，2为公差，所以 .
（2）由（1）可得 ,设 的前 项和中，奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，
所以 ， ，
当 为奇数时， ，
所以 ，
当 为偶数时， ，
所以 ，
由 ，得 ，即 ，
当 为偶数时， 对一切偶数成立，
当 时， 有最小值为5，,所以 ，
当 为奇数时， 对一切奇数成立，即 对一切奇数成立，
当 时， 有最大值为 ，所以此时 ，
综上，对一切 恒成立，则 的取值范围是 ．
2．（23-24高三·安徽·期中）已知数列{a }的前n项和为 ，满足 ， ， .
n(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，证明：当 时 .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）利用公式 时， ，得到关于数列 的递推关系式，法一，转化为
，利用累乘法求通项公式，法二，转化为 ，判断数列 是常数列，即
可求通项公式；
（2）首先根据（1）的结果求数列 的通项公式，并放缩为 ，利用裂项相消
法求和，即可证明.
【详解】（1）根据题意，当 时，
法一： ∴
当 时， ，也满足 .
法二：可得 ，所以数列 是常数列， .
（2） ， ，
首项 满足，所以 ，所以 ，设数列 ，
数列 前n项和为 ，
分析可得，数列 从第2项开始放缩成 ，设数列
数列 前n项和为 ，所以 .
3．（23-24高三·山西·期中）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前 项和公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行证明即可.
【详解】（1）由题可得 ，则 ，…， ， ，
将这 项相加，可得 ，
所以 ，经检验 成立，所以 .（2）由题可得， ，当 时， ，又因为当 时， ，
所以 .
4．（23-24高一下·上海·期中）设 是数列 的前 项和，且 是 和2的等差中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ；
求数列 的前 项和 ；
①
设 ，是否存在常数 ，使 对 恒成立？若存在，求出 的
②最小值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) (2)① ；②存在，
【分析】（1）由等差中项的性质可得 ，再由 可证得数列 是首项为2，
公比为2的等比数列，即可求出数列 的通项公式；
（2） 由等比数列的前 项和公式求解即可；
由裂项相消法可求出 ，再结合 的单调性即可求出答案.
①
【详解】（1） 是 和2的等差中项， ，
②
当 时， ，当 时， ，
①
- 得： ， ， 数列 ②是首项为2，公比为2的等比数列，
① ②
.
（2） ，
①
由 可得： ，
② ①
，
由于 单调递增，可得 ，即 ，则存在常数 ，使 对 恒成
立，
可得 ，即 的最小值为 .
题型十三：三角函数型数列不等式证明三角函数数列不等式：
1. 利用三角函数的周期型。
2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。
3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论
1．（23-24高三·湖北·期中）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）
发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存在时，
．其中，f″(x)表示 的二阶导数，
即为f'(x)的导数， 表示 的 阶导数．
(1)根据公式估计 的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得： ，当 时，请比较 与 的大小，
并给出证明；(3)已知 ，证明： ．
【答案】(1) (2) ，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得 ，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数 ，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再
裂项求和即可证明.
【详解】（1）记 ，则 ，
，所以 ，
因为 ，
所以 且 ， ，
．（2）令 ，则 ，
恒成立， 在 递增， 在 递增，
在 递增， ，即 .
（3）由题， ，则 ，则 ，
令 ，
易得 在 上递增，在 上递减，从而 ，
即 当且仅当 时取等号），
，即 ，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为
，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能
力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开
成无限项的多项式.当 在 处的 阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
.注： 表示函数 在原点处的一阶导
数， 表示在原点处的二阶导数，以此类推， 表示在原点处的 阶导数.
(1)根据公式估算 的值，精确到小数点后两位；
(2)当 时，比较 与 的大小，并证明；
(3)设 ，证明： .
【答案】(1) (2) ，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据泰勒公式求得 ，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数 ，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式左边的通项放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）由公式可得 ，所以 .
（2）由（1）得 ，得到结论：当 时，
下面给出证明：令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，即当 时， ，
所以 在(0,+∞)上恒成立，所以函数 在(0,+∞)上单调递增，
即当 时， ，故当 时， .
（3）因为 ，所以 ，则 ，
由（2）可得： 且 ，故 ，
即 ， ， ，
，所以，
.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式左边的通项放缩为
，再裂项求和即可证明.
3．（2024高三·全国·模拟）已知函数 .(1)证明： ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数 的最小值即可得解.
（2）由 结合放缩法，转化证明 ，即可推理得解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上递减，在 上递增，
所以 .
（2）先证 ，设 ，求导得 ，
即函数 在区间 上单调递减，则 ，即 ，
于是 ，
再证 ，由（1）知 ，当 时等号成立，
令 ，则 ，即 ，
所以 ， ， ，
累加可得 ，所以 .
4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下
垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数 的
图象，类似的可定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论： ________；
(2)当 时，比较 与 的大小，并说明理由；
(3)证明：
【答案】(1) (2) ，理由见解析(3)证明见解析
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解；
（2）构造函数 ， ，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论；
（3）利用导数先证明当 时， 成立，令 ， 且 ，可得 ，再
结合 ，和前面的解答过程可得，即可得证.
【详解】（1） .
（2） ，理由如下：
构造函数 ， ，故 ， ，
而 ，得 ，所以 为增函数，此时 ，故 .
（3）下面证明：当 时， 成立，
令 ，则 ， ，
因此 在 上递增；所以 ，即有 ，
所以 在 上递增，所以 ，
所以当 时， 成立，（1）令 ， 且 ，可得 ，
即 ，
由题意 ，令 ， 且 ，可得 ，
由前面解答过程得当 时， ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以可得
，
可得 ， .
【点睛】方法点睛：解决新概念问题，关键是读懂题意，理解新概念的本质，把新情境下的概念、法则、
运算化归到常规的数学背景中，结合已知结论求解.
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式
1．（24-25高三·辽宁·开学考试）已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 ，证明： .
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式得出等差数列再应用基本量运算得出通项公式；
（2）分组求和分别求出 ,再计算化简结合指数函数单调性计算求解；
（3）先根据 得出 ,再证明 ，结合等比数列求和证明右侧不等式
【详解】（1）由 ，得 ，所以数列 为等差数列，
所以 ，所以 .又 ，所以 ，
设 的公差为d，即 解得 所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
令 ，得 ，设 ，则数列 是递增数列.
又 ， ，所以n的最大值为5.
（3）由（2）知 ，设 是 的前n项和，则 ，所以 是递
增数列，所以 成立.又 ，
所以当 时， ，所以 ，
得 ，
所以 .综上， .
2．（23-24高三·江西南昌·模拟）已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)是否存在实数 ，使数列 为等差数列？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理由；
(3)已知数列 ， ，其前 项和为 ，求使得 对所有 都成立的自
然数 的值.【答案】(1) (2)存在，且 (3)
【分析】
（1）令 ，求出 的值，令 ，由 可得 ，两式作差推导出数列 为等比数
列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列 的通项公式；
（2）记 ，由数列 为等差数列，则 ，求出 的值，然后利用等差数列的定
义验证数列 为等差数列，即可得出结论；
（3）利用裂项相消法求出 的表达式，求出 的取值范围，可得出关于 的不等式，即可得出符合条件
的自然数 的值.
【详解】（1）解：因为数列 的前 项和为 ， ， ，
当 时，有 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，可得 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 .
（2）解：由已知条件可得 ，则 ，
记 ，若数列 为等差数列，且 ， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
此时， ，所以， ，
故当 时，数列 为等差数列.
（3）解：因为
，
所以， ，
因为 ，且 ，故数列 单调递增，
所以， ，且 ，故对任意的 ， ，
因为不等式 对所有 恒成立，所以， ，解得 ，因为 ，则 的值为 .
3．（23-24高三·浙江·模拟）已知数列 满足 ， .
(1)若 ，求数列 的前n项和 ；
(2)若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由数列{a }递推公式可得其通项公式，再由错位相减法求数列 的前n项和；
n
（2）若 ，可得 ，从而 ，利用裂项相消法推导出前n项和为 ，
再由 的单调性可证明不等式成立.
【详解】（1）当 时，则 ，得 ，所以 ，
所以数列{a }是以 为首项，公差为1的等差数列.
n
所以 ，则 ，所以 ，
，两式相减得
，所以 .
（2）当 时，由 ，得 ，所以 ，
所以数列{a }单调递增，因为 ，所以 ，又由 ，可得 ，
n
所以 ，即 ，
则 ，
所以 ，易知 为递增数列，且 ，
所以 ，即： .
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中{a }是等差数列，{b }是等比数列，利用错位相减法求和；
n n
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中{a }是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和.
n4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
【分析】（1）利用对数运算，得 ，再运用累乘法可求 ，由 与 的关系可得
，则 时，数列 是以 为首项的常数列，可求{b }的通项公式；
n
（2）利用错位相减法求 ，从而得证.
【详解】（1）因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ．
当 时，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ． 也符合上式，所以 ．
当 时， ． 因为 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，即 ， 所以当 时，数列 是以 为首项的常数
列，即 （ ），所以 （ ），所以{b }的通项公式为
n
（2）因为 ，
所以 ， 两式相减得
，所以 ．
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中{a }是等差数列，{b }是等比数列，利用错位相减法求和；
n n
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中{a }是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和.
n
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以
求和，所以放缩成能求和的形式。
1．（23-24高三·天津北辰·模拟）已知数列 为等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，
且S =2b −2(n∈N*)，
n n
(1)求 的通项公式．
{
a b ,n为奇数
n n
(2)已知 c n = (3a n −4)b n,n为偶数 ，求数列 的前 项和 ．
a a
n n+2
(3)求证： ．
【答案】(1) ， (2) (3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的项求公差，即可求数列{a }的通项公式，由 ，作差得到
n
，从而得到{b }是以 为首项， 为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
n
（2）分 为奇数和偶数，求数列 的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和；
（3）由 ，再进行放缩，利用列项相消法求和，证明不等式.
【详解】（1）设等差数列{a }的公差为 ，则 ，
n
所以 ，
因为 ，当 时 ，解得 ，
当 时 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即{b }是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 .
n
（2）因为 ，当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ①，
②，
①-②得：即 ，
化简得 .
，所以 .
（3）因为 ，当 时 ，
当 时， ，
所以
，
因为 ，所以 ，故 .
【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列，以及求和，不等式和放缩法的综合应用，第二位问的关
键是当 为偶数时，列项相消法求和，第三问的关键放缩后进行求和.
4．（2024·山东·二模）记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ； .(2)答案见解析
【分析】（1）分别取 和 即可求得 的值，对 进行分奇偶讨论，即可得到 的通项公式；
（2）根据题意化简得到 ，再对该式进行两次放缩，分别求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
当 为奇数时， ，所以 ， ，
作差， ，所以 .
当 为偶数时， ，所以 ， ，作差， ，所以 .
所以， .
（2）由第1小问得， ，所以令 ，
所以
.
所以 .下面证明 ：因为 ，
所以 .
下面证明 ：因为 ，所以 ，
所以 .所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论，通项公式也要
写成分段函数的形式，放缩用到了两个不等式 和 ，放缩之后再进行求和，即可证
明不等式.
3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列{a }为等差数列，数列{b }为等比数列，且 ， ，
n n
， .(1)求 ；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ；(3)求证： .
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列{a }的公差为 ，等比数列{b }的公比为 ，由已知条件求出{a }和{b }的通项，
n n n n
利用等比数列前 项和公式求 ；
（2） 为奇数和 是偶数时，分别求 的通项，利用分组求和求数列 的前 项和 ；
（3）利用放缩和等比数列前 项和公式证明不等式.
【详解】（1）设等差数列{a }的公差为 ，等比数列{b }的公比为 ，
n n
由 ， ，得 ，解得 ，
则 ，
由 ， ，得 ， ，解得 ，则 ，
所以 ．
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ，
于是 ，
两式相减，得
，
所以 ，
，
所以 .
（3）证明：由（1）知， ，当且仅当 时取等号，
则 ，所以 .
【点睛】方法点睛：
1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未
被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
2.一般地，如果数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错位相减法求
n n
和，一般是和式两边同乘以等比数列{b }的公比，然后作差求解.
n
4．（23-24高三·辽宁·期末）已知函数 ，数列{a }满足 正整
n
数
(1)求 的最大值；
(2)求证： ；
(3)求证： ．
【答案】(1)最大值为0；(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数，研究函数单调性，进而得到极值最值；
（2）借助前面证明，运用对数的性质进行裂项，再累加求和即可；（3） ，所以 ，得 ，适当放缩后，再累加即可.
【详解】（1）因为 的定义域为 ，所以
当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，
所以 在 时有最大值，所以 ，即 的最大值为0；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
累加得 ，即 .
（3）因为 ，所以 ，得 ，
， ， ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ， ，所以 ，
，所以 得证．
【点睛】关键点点睛：第一问借助导数研究即可，第二问主要是要借助第一问的结论 ，
得到 ，再用对数性质，裂项累加求和；第三问关键要用 ，两边平方，得到
，再放缩后，累加求和.转化思想要求很高，属于难题.
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式
1．（2024·全国·模拟预测）设整数 ， 且 ，函数 ．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）通过求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最小值 ，从而 ；
（2）构造函数 ，求导数得到函数的单调性，从而得到函数的最大值 ，从
而g(x)<0，所以 ；
（3）利用（1）（2）中的结论， ， ，得到 ，放缩证明.
【详解】（1） ．因为 ， ，所以 单调
递增．
因此，当 时，f'(x)<0， 单调递减；当 时，f'(x)>0， 单调递增，所以
．
（2）设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
故 ，从而当 时， ．
（3）由（1）知 ，所以 ，再利用 ，
于是
因此， ．
【点睛】方法点睛：常见的放缩公式 ； ； ；
2．（24-25高三·四川成都·开学考试）已知 .
(1)求 的定义域；
(2)若 恒成立，求 能够取得的最大整数值；
(3)证明： .
【答案】(1) (2)1(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义，得到不等式组 ，构造函数 ，通过求导推出
，即可得到函数的定义域；
（2）由题设不等式恒成立等价转化为 ， 恒成立，讨论函数
得 ，则须使 ，令 得其
当且仅当 时取到最小值，得解.
（3）利用（2）中得到的不等式进行放缩得到 ，取 ，推得
再对 进行赋值相加即可得证.
【详解】（1）要使函数 有意义，需满足 ，令 ，则 ，令 解得 ，当 时， 在 上单调递
减，
当 时， 在 上单调递增，
∴f (x)的定义域为(0,+∞)；
（2）由 恒成立得， ，当 时，不等式恒成立；
下面说明当 且为整数时不等式成立的情况.当 时，不等式显然成立，
当 时，等价于 恒成立，此时 恒成立，
令 ，则 ，令 得 ，
当 即 且 为整数时，无解；
当 即 且 为整数时，
若 ，则 ，若 ，则 ，即ℎ(x)在 上单调递增，在 上单调递
减，
则要使不等式恒成立，须使 恒成立，
令 则 故 单调递增，
从而 ，当且仅当 时取等号，此时恰有原不等式恒成立，
综上所述， 能够取得的最大整数值是1；
（3）由（2）可知，当 时， 恒成立，即 ，即 ，
当 时， ，即 ，
令 ，则有 即
于是，
，得证..
3．（24-25高三·河北·开学考试）已知函数 .
(1)求证 ；
(2)求方程 解的个数；
(3)设 ，证明 .
【答案】(1)证明见解析(2)有两个解(3)证明见解析
【分析】（1）作差构造函数，结合导数求出构造函数的最小值即可得解；
（2）作差构造函数，将方程的解个数问题转化为了函数的零点个数问题，结合导数求出构造函数的极值
点和单调区间，即可得解；（3）借助第1小问的结论 ，通过换元转化为 ，设 得
，等价于 然后利用裂项相消法进行计算即可
得证.
【详解】（1）令 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 单调递增，则 ，所以 得证.
（2）由 得 ，即 ，
令 ，
所以函数 的零点个数，即为方程 解的个数，
，令 ，即 ，解得 ，
- 0 +
单调递减 单调递增
因为 ，所以 在 上有唯一一个零点，
又 ，所以 在 上有唯一一个零点.
综上所述，方程 有两个解.
（3）由（1）知， ，
令 ，则 ，即 ，
设 ，则满足 ，所以 ，即
，所以
所以
即 .
【点睛】关键点点睛：第（1）、（2）小问是通过转化化归，构造函数进行处理，第（3）问的关键是借
助第（1）问的结论，进行等价变形，然后进行裂项处理，结合数列的裂项相消求和即可得解.
4．（23-24高三·山东日照·期中）已知数列 满足 ，且对任意正整数 都有 .
(1)写出 ，并求数列 的通项公式；(2)设数列 的前 项和为 ，若存在正整数 ，使得 ，求 的值；
(3)设 是数列 的前 项和，求证： .
【答案】(1) ， ，
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）因为对任意正整数 都有 ，
故 ， ，
令 ，可得 ，
所以 .
当 时， ，
当 时， ，符合上式，所以 ；
（2）由（1）得 ，当 为偶数时，
当 为奇数时， 为偶数，
.
综上所述， ；
若 为偶数，则 为奇数，由 ，得 ，
解得 （舍去）或 ；
若 为奇数，则 为偶数，由 ，得 ，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求 的值为2.
（3）由
现在我们来证明 时， ，
令 ，求导得 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，所以 ，
结合当 时， ，有 ，所以 .故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简 ，得 ，再证明 时， ，
利用结论，对数列{b }进行放缩，得到 ，可证结论.
n
